專題02不等式與復數

目錄

01考情透視目標導航............................................................2

02知識導圖思維引航............................................................3

03知識梳理方法技巧............................................................4

04真題研析精準預測............................................................6

05核心精講題型突破............................................................8

題型一：基本不等式二元式8

題型二：和式與積式9

題型三：柯西不等式二元式10

題型四：齊次化與不等式最值11

題型五：復數的四則運算12

題型六：復數的幾何意義13

重難點突破：不等式與復數新定義問題15

差情;奏汨?日標旦祐

有關不等式的高考試題，是歷年高考重點考查的知識點之一，其應用范圍涉及高中數學的很多章節，

且常考常新，但考查內容卻無外乎大小判斷、求最值和求最值范圍等問題，考試形式多以一道選擇題為主,

分值5分.復數的代數運算、代數表示及其幾何意義是高考的必考內容，題型多為選擇題或填空題，分值5

分，考題難度為低檔“

考點要求目標要求考題統計考情分析

2024年北京卷第9題，5分

2023年上海卷第6題，4分

預測2025年高考，多

掌握基本不等2022年上海卷第14題，5分

基本不等式以小題形式出現，不等式

式的應用2022年新高考II卷第12題，5分

在高考中主要考查基本不

2021年上海卷第16題，5分

等式求最值、大小判斷，

2023年天津卷第13題，5分

求取值范圍問題；預測

2024年新高考甲卷第1題，5分

2025年高考仍將以復數的

熟練掌握并靈2023年新高考I卷第2題，5分

基本概念以及復數的代數

復數的四則運算活應用復數四2023年新高考甲卷第2題，5分

則運算法則運算為主要考點，其中復

2023年新高考乙卷第1題，5分

數的除法運算、共能復數

2022年新高考H卷第2題，5分

及復數的幾何意義是最可

理解復數的幾2023年新高考II卷第1題，5分

能出現的命題角度！

復數的幾何意義何意義，能直觀2023年上海卷第11題，5分

應用2022年新高考乙卷第2題，5分

〃用識導圖?思維引航\\

知過捺孑里?右比怙IE

1、幾個重要的不等式

（1）a2>0（aeR）,Va>0（a>0）,|a|>0（aeR）.

（2）基本不等式：如果a,beR+,則竽2而（當且僅當“a=b”時取

特例：a>0,a+^>2;^+^>2（a力同號）.

（3）其他變形：

①a?+爐之誓！（溝通兩和a+b與兩平方和a?+/的不等關系式）

②abW守（溝通兩積ab與兩平方和a2+62的不等關系式）

③abW（吟）（溝通兩積ab與兩和a+b的不等關系式）

④重要不等式串：J孚（a,b€R+）即

調和平均值<幾何平均值<算數平均值<平方平均值（注意等號成立的條件）.

2、均值定理

已知久,yeR+.

（1）如果x+y=S（定值），貝收丫三（等）2=9（當且僅當，%=y"時取即“和為定值，積有最大

值”.

（2）如果xy=P（定值），則x+=（當且僅當"=y"時取即積為定值，和有最小

值”.

3、常見求最值模型

模型一?：mx+-^>2y[mn（m>0,n>0）,當且僅當％=正時等號成立；

xAIm

模型二：mx+=m（x—a）++ma>2Vmn+ma（jn>0,n>0）,當且僅當％—a=白時等號成

立；

模型三：=—（a〉0，c〉0），當且僅當x=J時等號成立；

模型四：x（n—mx）=>丁茨皿）-5?（mx+^~m%）2=^（m>0,n>0,0<x<^）,當且僅當久=琮時等號

成立.

4、對復數幾何意義的理解及應用

（1）復數z,復平面上的點z及向量8?相互聯系，即2=（1+兒（a,beR）=Z（a,6）=3?；（2）由于復數、

點、向量之間建立了一一對應的關系，因此可把復數、向量與解析幾何聯系在一起，解題時可運用數形結

合的方法，使問題的解決更加直觀.

1.（2024年北京高考數學真題）已知（久i，y。，（應,及）是函數丫=2天的圖象上兩個不同的點，則（）

A.噫空什B.1喻空〉中

C.Iog2%;'2<*1+42D.logz'1；'?>+比2

2.（2024年北京高考數學真題）已知（=—l—則2=（）.

A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i

3.（2024年高考全國甲卷數學（理）真題）若z=5+i,貝|i（2+z）=（）

A.10iB.2iC.10D.2

4.（2024年新課標全國n卷數學真題）已知z=—1—i,貝ij|z|=（）

A.0B.1C.V2D.2

5.（2024年新課標全國I卷數學真題）若言=l+i,貝（）

A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i

6.（2024年上海市1月春考數學試題）己知ab=1,4a2+9b2的最小值為.

7.（2024年天津高考數學真題）i是虛數單位，復數（乃+i）?（遮—2i）=.

8.（2023年北京高考數學真題）在復平面內，復數z對應的點的坐標是（一1,舊），貝Uz的共軌復數2=（）

A.1+V3iB.1-V3i

C.-1+V3iD.-1-V3i

9.（2023年高考全國甲卷數學（文）真題）提*=<）

A.-1B.1C.1-iD.1+i

10.（2023年高考全國乙卷數學（理）真題）設2=*=,貝物=（）

1+12+15

A.1—2iB.1+2iC.2—iD.2+i

11.（2023年新課標全國II卷數學真題）在復平面內，（l+3i）（3—i）對應的點位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

12.（2022年高考全國乙卷數學（理）真題）已知z=l—2i,Az+az+b=0,其中a,6為實數，則

（）

A.a=l,b=—2B.a=-l,b=2C.a=l,b=2D.a=—l,b=—2

13.（多選題）（2022年新高考全國n卷數學真題）若X,歹滿足/+y2—盯=1,則（）

A.x+y<1B.x+y>—2

C.x2+y2<2D.x2+y2>1

14.（2022年高考全國甲卷數學（理）真題）已知△ABC中，點。在邊上，2LADB=120°,AD=2,CD=

2BD.當*取得最小值時，BD=______.

AD

15.（2022年高考全國甲卷數學（文）真題）已知9M=10,a=10m—11力=8巾一9,則（）

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

16.（2021年浙江省高考數學試題）已知是互不相同的銳角，則在sinacos/?,sinScosy,sinycosa三個值中,

大于甘勺個數的最大值是（）

A.0B.1C.2D.3

17.（2021年全國高考乙卷數學（文）試題）下列函數中最小值為4的是（）

A.y=%2+2%+4B.y=|sin%|+曲回

C.y=2x+22-xD.y=Inx+A

J/Inx

18.（2021年天津高考數學試題）若a>0">0,則工+2+b的最小值為_________.

a爐

孩心切道?題型助破

題型一：基本不等式二元式

【典例1-1］［新考法］（2024?浙江寧波?一模）不等式Q2一同一l）（x-b）>0對任意x>0恒成立，則a2+b2

的最小值為（）

A.2V2-2B.2C.2V2D.2^2+2

【典例1-2］（2024?陜西寶雞?二模）己知正數x,y滿足x+；=1,則：+2y的最小值是（）

A.2+2V2B.6C.4V2D.3+2V2

巧

如果a>0,b>0,那么瘋工等，當且僅當a=6時，等號成立.其中，等叫作a,6的算術平均

數，而叫作a,b的幾何平均數.即正數a,b的算術平均數不小于它們的幾何平均數.

不等式可變形為：（莉+圾224Ao或（竽下，其中a,bER+.

【變式1-1］（2024?遼寧大連?模擬預測）已知函數y=loga（x—1）+1（a>0,且a41）的圖象恒過定點4

若點力在直線+ny—1=0（m>0,?1>0）上，則'+，的最小值為（）

A.13B.8V2C.9+4V2D.8

【變式1-2］［新考法］（2024?廣西柳州?一模）設函數/（久）=xln久一（a+6）lnx,若f（x）20,則5。+5b的最

小值為（）

A.1B.2C.V5D.2V5

命題預測T

1.（多選題）（2024?浙江?一模）已知a>0,匕>0,則下列說法正確的是（）

A.若a+b=l,則log2。+log2b4—2

B.若a+b=l,則VH+VF<1

C.若a—6=1,則2。一￡>1

D.若a—b=l,則尼+按〉］

2.（多選題）若實數a,6滿足3a2+3b2+4ab=5,則下列結論正確的是（）

2

A.ab<1B.ab>--

C.a2+b2>2D.-V2<a+fo<V2

3.|新考法]設函數/(X)=(2a-x)ln(x+b),若/(x)WO,則(^+爐的最小值為()

題型二：和式與積式

【典例2-1】(2024?廣西?模擬預測)已知a,6e(—8,0),且a+4b=ab—5,則ab的取值范圍為()

A.[25,+oo)B.[1,+oo)C.(0,5]D.(0,1]

【典例2-2]已知%2+y2=x2y2(xy70),則1-16/—9y2的最大值為()

A.-48B.-49C.-42D.-35

巧

已知式目標式方法選取

和式積式基本不等式

積式和式基本不等式

和式和式柯西不等式

積式積式柯西不等式

【變式2-1]（2024?四川綿陽?一模）已知久＞0,y＞0,且滿足％+y=%y-3,則%y的最小值為（）

A.3B.2V3C.6D.9

【變式2-2]（2024?山西?三模）已知正實數%,＞滿足%2+3%y—2=0,貝!J2x+y的最小值為（

A.亨B.孚C.|D.1

【變式2?3】（多選題）已知租＞0,九＞0,zn2+九2—血幾=*貝U（）

A.log2m+log2n＜1B.m+n＜4

C.m3+n3<16D.yjm+Vn2V2

命題預測

1.（多選題）設正實數a,6滿足a+b=l,則下列說法中正確的有（）

A.而有最大值B.T+：有最大值4

c.仿+VF有最大值魚D.。2+爐有最小值T

2.（多選題）已知a>0,b>0,且a+2b=2,則下列說法正確的是（）

A.ccb>B.y[a+72b<2

C.2。+4b24D.2+熹^^2

a+ba+3b4

3.（多選題）已知正實數a力滿足a2—帥+按=1,則（）

A.a+b的最大值為2

B.ab的最小值為1

C.a2+F的最大值為2

D.42+爐的最小值為i

4.（多選題）（2024?海南?模擬預測）若正實數a,6滿足a+26=L貝U（）

A."押最小值為1+2四B.3b(2a+b)的最大值為1

C.a2+2》2的最小值為:D.(a+1)(6+1)的取值范圍為(1,2)

題型三：柯西不等式二元式

【典例3-1】新考法]（多選題）柯西不等式（Caiichy-SchwarzInequality）是一種在數學和物理學中廣泛使

用的不等式，它是由法國數學家奧古斯丁?路易?柯西提出的，柯西不等式可以用于證明其他不等式，也可以

用于解決一些數學問題.以下是柯西不等式的原始形式：

①對于所有實數%和%有（a2+&2）（c2+d2）>（ac+bd）2.

②等式條件：當且僅當ad-6c=0時，等號成立.

例：已知久+2y=2,由柯西不等式（/+必）（12+22）N（X+2y產可得（久2+產"皿=?運用柯西不等式,

判斷以下正確的選項有（）

A.若。2+力2=],則（2a+3b）max=

B.若0<a<2,貝+）=3+2V2

C.若a+b=4,則（府^1+2^^）11^=2①

D.若l<a<3,則"a—1+，6—2a)max=逐

【典例3-2】（多選題）已知久>0,y>0,且不等式工（X+1）2+y（y+1）2一（62—2根）％y20恒成立，則相

的取值可能是（）

A.-4B.-2C.2D.4

國國目巧

+

設a,b,c,dERf有(a+b)(c+d)2(VHE+，酸￥當且僅當］=&時等號成立.

【變式3-1］存在正數無y,z,使得不等式?+y/Sy+V5z>+y+z成立,則租的最大值是.

【變式3-2］（2024?河南信陽?模擬預測）已知正數a力滿足a+b=霽+巖，則a+b的最小值為.

;命題預測;I

1.已知汽，y,z是正實數，且％+y+z=5,則/+2y2+z2的最小值為.

2.［新考法］設角a、S均為銳角，則5也a+$也6+8$（a+/?）的范圍是

3.己知正實數a力滿足a+26=1，則號+等的最小值為——?

題型四：齊次化與不等式最值

【典例4-1］［新考法］若正實數x,y滿足（3久一2）3+8（y—l）3=4—3x—2y,則2x+（+平的最小值

人y

是.

【典例4-2］設x>0,y>0,x+2y=2,則7^信。的最大值為.

國國畫

關于齊次化，就是將不等式最值轉化為方程的實根分布，從而實現不等式與函數方程的無縫切換。

-1_?丫2

【變式4-1］已知x>0,y>0,2x3+2y3-x-y,則十一的最小值為.

【變式4-2］已知正實數a,6,c,a+6=3,則ab的最大值為,能+壓+系的最小值為.

命題預測

1.（2024?江西新余?二模）已知x,y為正實數，且久+y=2,則一^的最小值為（）

A.12B.3+2V2C.yD.

2.［新考法］己知正數X,y滿足總加+詼垢=1，則孫的最小值是（）

A.JB.?C.￡D.I

433Z

3.（2024?黑龍江?二模）已知實數a,b且ab>0,則裝京先而取得最大值時，a+b的值為（）

A.V3B.2V3C.-2V3D.2舊或一2g

題型五：復數的四則運算

【典例5-1］若復數z滿足3z-7=i?(4z+24),則zi=()

A.5B.25C.125D.625

【典例5?2】若復數z滿足^^=1—i,貝舊=()

A.-1+iB.l+3iC.1+iD.3+i

國國畫

1、復數運算

(1)(a+bi)±(c4-di)=(a±c)+(b±d)i

(2)(a+bi)?(c+di)=(ac—bd)+(ad+bc)i

(a+hi)?(a—bi)=z-z=a2+Z?2=\z\2

l注意Z)=|Z|2),

1z+z=2a

其中|z|=Va2+b2,叫z的模；萬=a—九是z=a+6的共軌復數(a,beR).

,、a+bi_(a+bi)?_di)_(ac+bd)+(bc-ad)［2?^2nA

7+di=(c+di)-(c-d0=c2+-2?十0

實數的全部運算律(加法和乘法的交換律、結合律、分配律及整數指數幕運算法則)都適用于復數.

【變式5?1］［新考法］(2024?陜西咸陽?模擬預測)若復數Z滿足z2+z+l=0,則Z2023+Z2024=()

A.1B.-1C.iD.i

【變式5-2］（2024?江蘇蘇州?模擬預測）復數句、Z2滿足Zi+z2=ZiZ2,若萬=l+i,則氏尸（）

A.芋B.IC.2V2D.V2

【變式5-3］［新考法I（2024?江西新余?模擬預測）已知復數z滿足：|z|=l,1+Z+Z2+Z3為純虛數，則這

樣的復數z共有（）個.

A.1B.2C.3D.4

;命題預測1

1.（2024?湖北?模擬預測）已知復數Z滿足信=i2024（i為虛數單位），貝加=（）

A.3B.V10C.4D.5

2.［新考法］（2024?四川宜賓?模擬預測）已知虛數z滿足z3—1=0,且2是z的共輾復數，則下列結論錯誤的

是（）

A.z2+z+1=0B.|z|=1

C.z2=2D.Z+z2+z3+…+z2°24=0

3.（2024?浙江杭州?模擬預測）已知方程/+&+1=0（其中i為虛數單位）的兩根分別為zi，Z2,則有

（）

7Z1Z2.

A.z1=z2>0B.Zi+Z2=Z1Z2C.|1+Zi|=|1+Z2ID.Z1+Z2=i

4.［新考法］（2024?黑龍江佳木斯?三模）復數Z=i+2i2+3i3+.??+202省2。24的虛部是（）

A.1012B.1011C.-1011D.-1012

題型六：復數的幾何意義

【典例6-1】（2024?吉林?模擬預測）已知復數z滿足|z+2|+|z—2|=6,則復數z在復平面內所對應的點的

軌跡為（）

A.線段B.圓C.橢圓D.雙曲線

【典例6-2】（2024?湖南林B州?模擬預測）設復數2=號，貝舊的共輾復數2在復平面內對應點的坐標為

（）

A.（0,1）B.（1,0）

C.（-1,0）D.（0,-1）

回國目國

復數的幾何意義

(1)復數z=a+bi(a,bWR)對應平面內的點z(a,b)；

(2)復數z=a+加(a,bER)對應平面向量0Z；

(3)復平面內實軸上的點表示實數，除原點外虛軸上的點表示虛數，各象限內的點都表示復數.

(4)復數z=a+bi(a,b€R)的模|z|表示復平面內的點z(a,b)到原點的距離.

【變式6-11已知復數2=。+折，其中￡R且a+b=1,則|z+1+i|的最小值是()

A.V2B.2C.孝D.唱

【變式6-2］已知復數zi=l—2i,復數z滿足|z+zj=2,貝ij()

A.Zi-Zi=|2+i|

B.復數無在復平面內所對應的點的坐標是(一1,2)

C.V5-2<|z|<V5+2

D.復數z在復平面內所對應的點為Z(x,y),貝U(x+l)2+(y—2)2=2

【變式6-3］設zi的實部與虛部相等，且實部不為0,Z2的虛部是實部的2倍，且Z2在復平面內對應的點位于

第三象限，貝eZi在復平面內對應的點位于第一象限”是，管在復平面內對應的點位于第二象限”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

命題預測H

1.(2024?山西太原?一模)復平面內復數z滿足|z—2|=1,則|z—i|的最小值為()

A.1B.V5-1C.V5+1D.3

2.已知復數Zi，Z2在復平面上對應的點分別為4B,且。為復平面原點，若Zi=苧+m(i為虛數單位),

向量而繞原點逆時針方向旋轉90°,且模伸長為原來的2倍后與向量方重合，則()

A.Z2的虛部為亨B.無對應的點在第二象限

C.|Zi+z|=V5D.—=4

2zi

3.(多選題)(2024?廣西?模擬預測)復數z=x+yi(x,yeR,i為虛數單位)在復平面內內對應點Z(x,y),

則下列為真命題的是()

A.若|z+1|=|z—1］,則點Z在圓上

B.若|z—l|+|z+l|=4,則點Z在橢圓上

C.若|z+l|—|z—1|=2,則點Z在雙曲線上

D.若|x+l|=|z—1|,則點Z在拋物線上

重難點突破：不等式與復數新定義問題

【典例7-1】定義:正割seca=L,余割csca」—.已知m為正實數，且m-csc2*+tar&侖15對任意的實數％

coscvsina

均成立，則小的最小值為（）

A.1B.4C.8D.9

【典例7-2］（多選題）一般地，對于復數2=a+齒（i為虛數單位，a,6CR）,在平面直角坐標系中，設

\z\=|oz|=r（r>0）,經過點Z的終邊的對應角為仇則根據三角函數的定義可知a=rcos。，b=rsind,因

此z=r（cos8+isin。），我們稱此種形式為復數的三角形式，/稱為復數z的模，。稱為復數z的輻角.為使所

研究的問題有唯一的結果，我們規定，適合0<。<2兀的輻角8的值叫做輻角的主值.已知復數z滿足|z—1|

<r,re（0,1）,Re（z）為z的實部，。為z的輻角的主值，則（）

A.|z—兩i|的最大值為r+,2025

B.|z-V^演i|的最小值為何芯一7

C.cosd<V1—r2

D-Reg）2品（I—T-2）

巧

面對不等式新定義問題，首要步驟是準確理解題目中給出的新定義，把握其本質含義。接著，運用不等

式的基本性質，如傳遞性、可加性、可乘性等，對不等式進行化簡。同時，注意結合新定義的特點，靈活

運用數學變換和邏輯推理，將復雜不等式轉化為熟悉的形式。

復數新定義問題，需深入理解復數概念及其幾何意義，熟練運用四則運算，結合題目新定義，靈活運用

復數的模、輻角、共輾等性質進行推理計算，注意復數運算的特殊性，確保解題步驟邏輯清晰、嚴謹無誤。

兩類問題均需注重方法選擇和邏輯推導。

【變式7-1］（多選題）（2024?山西?模擬預測）數系的擴充是數學發展的一個重要內容，1843年，數學家哈

密頓發現了四元數.四元數的產生是建立在復數的基礎上的，和復數相似，四元數是實數加上三個虛數單

位i,j和k,而且它們有如下關系：i2=j2=k2=—l,iO=jO=kO=l,ij=k,ji=—k,jk=i,kj=—i,ki=j,ik=—

j.四元數一般可表示為a+6i+cj+dk,其中a,b,c,d為實數.定義兩個四元數：a=的+人工+qj+心工/?=

a2+b2i++d2k,那么這兩個四元數之間的乘法定義如下：鄧=（的。2-b1b2-crc2—4也）+

+人1。2+—d［C2