不等式與不等式組重點考點歸納練

2025年中考數學一輪復習備考

一、單選題

1.已知實數。，"滿足a—b+l=0,0<a+b+l<l,則下列判斷正確的是（）

A.~—<a<0B.—<b<］

22

C.—2<2a+4Z?<lD.—1<4Q+2Z?<0

Y—1

2.在數軸上表示不等式彳<0的解集，正確的是（）

B___I___I___I___I___1J1I>

2345

-2-1012345

XD京

‘-■■■■■

—O2

-O2345

3.不等式=<二工-1的解集是（

23

,77-2c2

A.x<—B.x>一C.x>—D.x<—

5555

I—x+1>3

4.在數軸上表示不等式組。］八的解集，正確的是（）

5.已知點PS+1M）在平面直角坐標系的第四象限，則。的取值范圍在數軸上可表示為（）

D.------1二----?

-10

2x—15x+1〉］

6.若關于x的不等式組-I——解集為尤<2〃?，則機的取值范圍（）

5x-m<3（x+m）

1155

A.m<——B.m<——C.m<-----D.m<-----

222222

7.對一個實數%按如圖所示的程序進行操作，規定：程序運行從“輸入一個實數爐'到“判斷結果是否

大于190?”為一次操作，如果操作恰好進行三次才停止，那么》的取值范圍是（）

A.8<x<22B.22<x<64C.22<x<62D.8<x<20

，“心，f3x+2y=4m+5

8.若存在一個整數祖，使得關于x,y的方程組,的解滿足元+4yV-9,且讓不等式

[X—y=m-l

[5x—m>0

cI只有兩個整數解，則滿足條件的所有整數機的和是（）

A.-17B.-27C.-35D.-40

fx-128

9.若關于X的分式方程3=?二的解為正整數，且關于X的不等式組-^+可>有解且最多有6

x2-x

個整數解，則滿足條件的所有整數。的值之和是（）

A.4B.0C.-1D.-3

10.對非負實數x“四舍五入”到個位的值記為{尤},即當"為非負整數時，若+貝U

{x\=n.反之，當w為非負整數時，若{x}=〃，貝+例如：{0.36}=0,{4.71}=5.給

出下列說法：

①{1.49}=1；

②{2x}=2{x}；

③當xNO,m為非負整數時，有{m+2023x}=m+{2023x}；

④若{x-l}=3,則非負實數x的取值范圍為3.5<x<4.5；

⑤滿足{》}=gx的所有非負實數%的值有4個.

以上說法中正確的個數為（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空題

11.選擇適當的不等號填空：若a<b,則J一2〃+1-2&+1.

12.若不等式（相-3）%v3-根的兩邊同除以（根-3）,得%>-1,則根的取值范圍為一.

13.一元一次不等式三>1的最小整數解是.

14.已知不等式2x—2a2的解集如圖所示，貝（JQ=.

----1----1----1------?

-1012

大丁的解集是

15.不等式組

16.某校需要更換部分體育器材，打算用1800元購買足球和籃球，并且把1800元全部花完.已知每

個足球60元，每個籃球120元，根據需要，購買的足球數要超過籃球數，并且足球數不超過籃球數

的2倍，寫出一種滿足條件的購買方案

17.2022年北京冬奧會已經越來越近了，這是我國重要歷史節點的重大標志性活動，更是全國人民

的一次冰雪運動盛宴，與此同時北京冬奧會吉祥物冰墩墩也受到人們的喜愛，關于冰墩墩的各種周邊

紀念品：徽章、風鈴、抱枕、公仔正在某商場火熱銷售中.已知徽章和抱枕的價格相同，公仔的單價

是風鈴的兩倍，且徽章和風鈴的單價之和不超過120元.元旦節期間，徽章的銷售數量是公仔數量的

2倍，風鈴和抱枕的銷售數量相同，其中徽章和風鈴共賣出120件，抱枕和公仔的銷售總額比風鈴和

徽章的銷售總額多2200元，則徽章和風鈴銷售總額的最大值是一元.

18.某陶藝工坊有A和8兩款電熱窯，可以燒制不同尺寸的陶藝品.兩款電熱窯每次可同時放置陶藝

品的尺寸和數量如下表所示.

尺寸

大中小

A81525

B01020

燒制一個大尺寸陶藝品的位置可替換為燒制兩個中尺寸或六個小尺寸陶藝品，但燒制較小陶藝品的位

置不能替換為燒制較大陶藝品.

某批次需要生產10個大尺寸陶藝品，50個中尺寸陶藝品，76個小尺寸陶藝品.

(1)燒制這批陶藝品，A款電熱窯至少使用.次;

(2)若A款電熱窯每次燒制成本為55元，8款電熱窯每次燒制成本為25元，則燒制這批陶藝品成

本最低為.元.

三、解答題

3（無一1）<4+2龍,

19.解不等式組：〈x-9.

------<2x

L5

2。.解不等式〈手,并把它的解集在數軸上表示出來.

-3-2-10123

21.某咖啡店提供“到店自取”和“線上配送”兩種模式，收費標準如下：到店自取20元/杯；線上配送

24元/杯，配送費為6元/次.選擇“線上配送”模式如果總費用達到58元及以上，可用平臺“滿58元

立減18元”優惠券一次.小明一次性購買若干杯咖啡，發現“到店自取”和“線上配送”的實際支付金額

一樣，求小明一次性購買了多少杯咖啡？

22.為提升學生身體素質，落實教育部門“在校學生每天鍛煉時間不少于1小時”的文件精神，某校利

用課后服務時間，在八年級開展“體育賦能，助力成長”班級籃球賽，共16個班級參加.投籃得分規則：

在三分線外投籃，投中一球可得3分，在三分線內（含三分線）投籃投中一球可得2分，某班級在其

中一場比賽中，共投中26個球（只有2分球和3分球）.所得總分不少于56分，該班級這場比賽中

至少投中了多少個3分球？

23.某商場計劃撥款9萬元從廠家購買50臺電視機，已知該廠家生產三種不同型號的電視機的出廠

價分別為：甲種每臺1500元，乙種每臺2100元，丙種每臺2500元，商場銷售一臺甲種電視機可獲

利150元，銷售乙種電視機每臺可獲利200元，銷售丙種電視機每臺可獲利250元.

（1）若同時購進其中兩種不同型號電視機共50臺，用去9萬元，請你研究一下商場的進貨方案；

（2）經市場調查這三種型號的電視機是最受歡迎的，且銷售量乙種是丙種的3倍.商場要求成本不能

超過計劃撥款數額，利潤不能少于8500元的前提，購進這三種型號的電視機共50臺，請你設計這三

種不同型號的電視機各進多少臺？

24.對機、〃定義一種新運算“V”,規定：=-加+5（其中a、6均為非零常數），等式右邊

的運算是通常的四則運算，例如：5V6=5?-6&+5.

⑴已知2V3=1,3V（-l）=10.

①求a、b的值.

fxV（2x-3）＜9

②若關于x的不等式組有且只有兩個整數解，求字母f的取值范圍.

⑵若運算“V”滿足加法交換律，即對于我們所學過的任意數相、小結論=都成立，試探

究a、b應滿足的關系.

參考答案

1.C

題目主要考查不等式的性質和解一元一次不等式組，根據等量代換及不等式的性質依次判斷即可得出

結果，熟練掌握不等式的性質是解題關鍵

解：??Z—8+1=0,

a=b-l,

?0<a+b+l<l,

0<&-1+&+1<1,

：.0<b<^,選項B錯誤，不符合題意；

*.*。-6+1=0,

b=a-\-l,

?0<a+b+l<l,

??0<Q+〃+1+1<1,

選項A錯誤，不符合題意；

2

V-\<a<——,0<Z?<—,

22

丁?—2v2av—1,0<4b<2,

???—2<2a+4b<1,選項C正確，符合題意；

V-1<a<~—,0<b<—,

22

**?—4v4av—290<2Z?<1,

T<4a+2Z?<-1,選項D錯誤，不符合題意；

故選：C

2.A

先解不等式，然后在數軸上表示不等式的解集即可求解.

X—1

解：寸<0

解得：x<\,

數軸上表示不等式的解集

A

2

故選：A.

3.B

本題考查解一元一次不等式.先去分母，再去去括號，移項，再合并同類項，系數化為1可得.

去分母,得3(1—x)<2(x+l)—6,

去括號，得3-3x<2x+2-6,

移項，得一3x—2x<2-6-3，

合并同類項，得-5x<-7,

7

解得x>:.

故選：B.

4.B

本題考查的是解一元一次不等式組.熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到

的原則是解答此題的關鍵.

分別求出各個不等式的解集，再求出這些解集在數軸上表示出來即可.

-x+l>3①

解：令

2m②

解不等式①得x<-2,

解不等式②得xWl,

...該不等式組的解集為x<-2,

...該不等式組的解集在數軸上表示如圖所示.

-2-1012

故選：B.

5.C

本題考查象限內點的坐標的特點，解不等式組及表示不等式的解集，熟練掌握每個象限內點的坐標的

特點是解題關鍵.根據點P在第四象限可得橫坐標為正，縱坐標為負，由此列出不等式組，解不等式

組即可.

解：?.?點P(a+l,a)在平面直角坐標系的第四象限，

+1>0

"\a<0，

解得：-l<o<0,

把解集在數軸上表示為：

故選c.

6.A

本題考查根據不等式組的解集求參數的值，以及解一元一次不等式，先求出每一個不等式的解集，再

根據不等式組的解集，求出機的值即可.

^_5￡±1>IQ

解：32,

5x-m<3(九+m)②

解不等式①得：x<-b

解不等式②得：x<2m,

不等式組的解集為2機，

，2m<—1,

解得：m<--,

故選：A.

7.A

本題考查了一元一次不等式組的應用，根據題意列出不等式組即可求解，看懂題意是解題的關鍵.

3（3x-2）-2<190

解：由題意得，

3[3（3x-2）-2]-2>190

解得8g22,

故選：A.

8.B

本題主要考查了解二元一次方程組、解不等式組，求不等式組的整數解等知識點.根據方程組的解的

情況，以及不等式組的解集情況，求出加的取值范圍，再進行求解即可.

j3x+2y=4加+5①

牛.[x-y=m-l?，

@+(2)x2,得：5x=6m+3,

①—②x3,得：5丁=根+8,

x+4y<-9,

.6根+3+4（m+8）<9

55

解得m<-8,

解不等式5%-機>0,得：X>y,

解不等式x-2<-l,得：x<l,

:不等式組只有兩個整數解，

解得一104根<一5,

—10<m<—8,

符合條件的整數m的值的和為-10-9-8=-27,

故選：B.

9.C

本題主要考查了分式方程的解和一元一次不等式組的解，先解分式方程結合解的情況得出。=-2或

-1或5,再解不等式組結合解的情況得出-2<a<5,從而得出。的值，即可得解.

解：由分式方程±=U，去分母得(a+3)x=8,

x2-x

Q

當a+3w0即aw—3時，x=----,

4+3

???該分式方程的解為正整數，且工。2,

。=一2或一1或5,

x_l28c_

.-------1---->2x|尤<5

解不等式組63得：

[x>a

a—x<0i

??,該不等式有解且最多有6個整數解，

??一2<Q<5,

???4的值為—1,

???滿足條件的所有整數。的值之和是-1,

故選：C.

10.C

對于①根據新定義直接判斷，②可用舉反例法判斷，③根據題意所述利用不等式的性質判斷，④利用

對非負實數尤“四舍五入''到個位的值記為{M，進而列出不等式得出尤的取值范圍即可判斷，⑤根據

新定義得出尤是|■的倍數，進而得出x的值.

解：①{L49}=1,故結論正確；

②{2x}=2{x}錯誤，比如x=0.4時，{2%}={2x0.4}={0.8}=1,而2{x}=2x{0.4}=2x0=0,故結論②錯

誤;

③機為非負整數，貝帥"}=機，不影響“四舍五入”，所以當XNO時,{m+2023x}=m+{2023x}故結論③

正確；

@V{^-1}=3,

2.5<x—1<3.5,

.**3.5<x<4.5,故④錯誤；

⑤又?.?卜}專且X為非負實數，即：|x-1<x<|x+1,

解得：0<x<|,

若滿足{x}="x,則"x為整數，X必然是|■的倍數，貝卜=。左，左為整數，

5566

則可得0<心3,

62

即：當左=0,1,2,3時，亦即當尤=0,|■時，滿足{x}=?x的所有非負實數尤的值有4

6325

個，故⑤正確；

綜上，正確的有①③⑤，共3個；

故選：C.

11.>

本題主要考查了不等式的性質，熟練掌握不等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），不等號的方向

不變；不等式兩邊乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變；不等式兩邊乘（或除以）同一個負

數，不等號的方向改變.

W："-a<b,

**?—2〃>—2b,

**?—2a+1>—2b+1,

故答案為：>.

12.m<3

此題考查了不等式的性質和解一元一次不等式,根據不等式的兩邊同除以一個負數,不等號方向改變,

即可得到相-3<0,求出機的取值范圍即可.

解：不等式（加一3）兀<3-機即（加一3）%<-（加一3）,

兩邊同除以（根-3）,得無>-1,

m—3<0,

m<3

故答案為：m<3

13.6

先求出一元一次不等式的解集，然后問題可求解.

解：3>1

去分母得：x-3>2,

??%>5,

???一元一次不等式W3>1的最小整數解是6；

故答案為6.

14.2

本題考查了數軸上表示不等式的解集，解題的關鍵是熟練掌握解集的表示方法以及求解不等式的方法;

先用含a的式子表示出不等式的解集，再根據數軸上不等式的解集，即可解答；

解：2%—2a2—2

2x>2a—2

x>a-l,

又.由數軸可得不等式2x-2〃2-2的解集為：x>l

a—1=1,

即a=2,

故答案為：2

2

15.x>—

3

本題考查了解一元一次不等式組，分別求出不等式組中兩不等式的解集，用“同大取大，同小取小，

大小小大取中間，大大小小是無解”進行判斷，再在數軸上表示出解集，即可求解；掌握不等式組的

解法是解題的關鍵.

fx+4>2（1—犬）①

[3-2x<5②

2

解：解不等式①，得：x>--,

解不等式②，得：x>-L

???原不等式組的解集為1〉-：；

2

故答案：x>--.

16.購買8個籃球，14個足球（或購買9個籃球，12個足球）

設購買籃球X個，則購買足球的個數為身紇警=30-2x（個），根據“購買的足球數要超過籃球數，

并且足球數不超過籃球數的2倍”,即可得出關于x的一元一次不等式組，解之即可得出x的取值范圍,

結合龍，30-2x均為正整數，即可得出各購買方案，任寫一種即可.

1800-120x

解：設購買籃球x個，則購買足球的個數為:=30-2x（個）

60

30-2元>尤

依題意得:解得：梳Vx<10,

30—2x<2x

又30-2x均為正整數，

可以取8,9.

.,.當x=8時，30-2x=14；當x=9時，30-2x=12；

故答案為：購買8個籃球，14個足球(或購買9個籃球，12個足球).

17.6100

本題考查了方程和不等式的應用，解題關鍵是根據題意中的數量關系，設未知數，列出方程，根據等

式的性質進行變形，整體代入求解.

設徽章和抱枕的價格為。元，風鈴的價格為b元，公仔的價格為沙元，公仔的銷售數量為加件，徽章

的銷售數量為2加件，則風鈴和抱枕的銷售數量為(120-2間件，根據題意列出方程求解即可.

解：設徽章和抱枕的價格為。元，風鈴的價格為b元，公仔的價格為沙元，公仔的銷售數量為加件,

徽章的銷售數量為2m件，則風鈴和抱枕的銷售數量為(120-2㈤件，

根據題意列方程得，o(120-2m)+2bm-b(120-2m)-2ma=2200,

化簡得，2aw—2/MZ=60a—606-1100；

徽章和風鈴銷售總額為2ma+6(120-2m)=2ma-2bm+12Qb,

把2am—2bm=60a-60&-1100代入得60a+606—1100,

a+&<120,

當a+6=120時，徽章和風鈴銷售總額的最大，最大值是60x120-1100=6100(元)；

故答案為：6100.

18.2135

(1)根據需要生產10個大尺寸陶藝品，A款電熱窯每次燒制8個大尺寸陶藝品，3款電熱窯每次燒

制0個大尺寸陶藝品即可得到答案；

(2)要使成本最低，則在保證能夠完成燒制任務的前提下，A款電熱窯的使用次數要保證使用次數

最少，且8款電熱窯的使用次數也要最少，據此求解即可.

解：(1):需要生產10個大尺寸陶藝品，A款電熱窯每次最多可放8個大尺寸陶藝品，8款電熱窯

不能放大尺寸陶藝品，且燒制較小陶藝品的位置不能替換為燒制較大陶藝品，

燒制這批陶藝品，A款電熱窯至少使用2次，

故答案為：2；

(2)款電熱窯每次燒制成本為55元，8款電熱窯每次燒制成本為25元，

，要使成本最低，則在保證能夠完成燒制任務的前提下，A款電熱窯的使用次數要保證使用次數最少,

且B款電熱窯的使用次數也要最少；

當A款電熱窯的使用次數為2次時，則可以燒制10個大尺寸陶藝品，30+2x(8*2-10-1)=40個中

尺寸陶藝品，25*2+1x6=56個小尺寸陶藝品，

...在此種情形下，只需要8款電熱窯的使用次數1次即可完成任務，

，燒制這批陶藝品成本最低為55*2+25=135,

故答案為：135.

19.-l<x<7

先求出每一個不等式的解集，再根據不等式組解集的確定方法“同大取大，同小取小，大小小大中間

找，大大小小無解”確定不等式組的解集.

本題考查了一元一次不等式組的解法，熟練進行不等式求解是解題的關鍵.

3(x-l)<4+2x@

<一<2遨

解不等式①，得x<7,

解不等式②，得x>T,

不等式組的解集為-l<x<7.

20.x>-2,在數軸上表示見解析

首先解不等式，可求得不等式的解集，再把解集在數軸上表示出來即可.

解：去分母，得：2x-4<5x+2,

移項、合并同類項，得-3x<6,

解得x>-2,

所以，原不等式的解集為》>-2,

把解集在數軸上表示出來如下：

____1glI____|____|____Ia

-3-2-10123

21.3杯

本題考查了一元一次方程、一元一次不等式的應用，根據數量關系列出一元一次方程和不等式是解題

的關鍵.設小明購買了工杯咖啡，先根據題意得出小明一定用了“滿58元立減18元”優惠券，可列不

等式求出x的取值范圍，然后根據題意列出方程求解即可.

解:設小明購買了X杯咖啡，若“到店自取”和“線上配送”的實際支付金額一樣，則小明一定用了“滿

58元立減18元”優惠券，

故24x+6N58,

13

解得xN

6

13

當x上一時，可歹!J方程為20x=24x+6-18,

6

解得x-3.

13

3>丫，符合題意，

6

二小明一次性購買了3杯咖啡.

22.該班級這場比賽中至少投中了4個3分球.

設該班級這場比賽中至少投中了尤個3分球，根據題意列不等式即可解答.本題考查了一元一次不等

式與實際問題，審清題意明確題目中的數量關系是解題的關鍵.

解：設該班級這場比賽中至少投中了x個3分球，根據題意得，

3x+2(26-x)>56,

解得：x>4,

答：該班級這場比賽中至少投中了4個3分球.

23.(1)進貨方案有兩種：①購進甲型號電視機25臺，乙型號電視機25臺；②購進甲型號電視機35

臺，丙型號電視機15臺

(2)購進方案有兩種：①購進丙型號電視機4臺，則購進乙型號電視機12臺，購進甲型號電視機34

臺，②購進丙型號電視機5臺，則購進乙型號電視機15臺，購進甲型號電視機30臺

(1)根據題意得出：兩個等量關系：兩種不同型號電視機共50臺，花費90000元，分情況討論：①

購進甲型號電視機和乙型號電視機②設購進丙型號電視機和乙型號電視機③設購進甲型號電視機和

丙型號電視機，分別求出結果.

(2)根據題意設出未知數，設購進丙型號電視機s臺，則購進乙型號電視機3s臺，購進甲型號電視

機(50-4s)臺，再找出題目中列不等式的關鍵詞：①成本不能超過計劃撥款數額，②利潤不能少于

8500元，解不等式組可得答案.

(1)解：①設購進甲型號電視機x臺，乙型號電視機y臺，由題意得：

=50

[1500x+2100y=90000,

…fx=25

解得：”,

IV=25

m+n=50

②設購進丙型號電視機機臺，乙型號電視機〃臺,