第01講不等式

題型歸納________________________________________

【題型1不等式的定義】

【題型2在數軸上表示不等式的解集】

【題型3不等式的性質】

【題型4不等式的解集】

基礎知識/知識梳理理清教材

考點1:不等式的定義

（1）不等式：用不等號表示不相等關系的式子，叫做不等式，例如：

-5<-2,a+3>-l+4,x+l<0,a2+1>0,|x|>0,3a5a等都是不等式.

（2）常見的不等號有5種：能”、“S.

題型分類深度剖析,）

【題型1不等式的定義】

【典例1】（24-25八年級上?浙江紹興?期中）

222

1.以下表達式：①4x+3”0；②0>3；③x?+xy；?a+b=c;⑤x/5.其中不

等式有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

【變式1一1]（24-25八年級上?寧夏銀川?期末）

2.已知“①x+y=l；②x-y；③x+2y；@x2-y>l；⑤無<0”屬于不等式的有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【變式1—2]（23—24七年級下?山西臨汾?期中）

3.交通法規人人遵守，文明城市處處安全.在通過隧道時，我們往往會看到如圖所示的標

志，該標志表示車輛高度不超過4.5m,則通過該隧道的車輛高度x（m）的范圍可表示為

（）

試卷第1頁，共6頁

A.x>4.5B.x>4.5C.x<4.5D.0<x<4.5

【變式1—3］（23—24八年級下?遼寧沈陽?期末）

4.某發酵乳的包裝瓶上標注“每100克含鈣>87毫克”，它的含義是（）

A.每100克含鈣高于87毫克B.每100克含鈣低于87毫克

C.每100克含鈣不低于87毫克D.每100克含鈣不超過87毫克

基礎知識,知識梳理理清教材

考點2：不等式的解集

不等式的解集

①概念：一般地，一個含有未知數的不等式的所有的解，組成這個不等式的解集，求不等

式的解集的過程叫做解不等式.

②用數軸表示不等式解集

解集》>-4在數軸上表示為

解集史-4在數軸上表示為

解集x<4在數軸上表示為

解集xW在數軸上表示為

試卷第2頁，共6頁

題型分類深度剖析,

【題型2在數軸上表示不等式的解集】

【典例2】（23—24七年級下?四川眉山?期中）

5.下列不等式的解集中，不包括-4的是（）

A.x<4B.x>-4C.x<-5D.x>-5

【變式2一1］（2023?吉林白城?模擬預測）

6.下列說法正確的是（）

A.不等式x<0的解是x=0

B.不等式無<0的解是x=-l

C.x=0是不等式x<0的一個解

D.苫=-1是不等式％<0的一個解

【變式2—2］（23—24八年級下?廣東茂名?期中）

7.x=3是下列不等式（）的一個解.

A.x-l<0B.x+l<4C.2x-3>4D.2x+3<10

【變式2—31（23—24七年級下?河北保定?期末）

8.下列說法中，正確的是（）

A.x=l是不等式3無>5的解B.x=2是不等式3x>5的唯一解

C.x=2是不等式3x>5的解集D.x=2是不等式3x>5的一個解

基礎知識知識梳理理清教材

考點2：不等式的基本性質

基本性質1：不等式兩邊都加上（或減去）同一個數（或式子），不等號方向不變.

如果a>b,那么。土c>b±c

如果a<6,那么3x+22a（x-l）

基本性質2：不等式兩邊都乘以（或除以）同一個正數，不等號的方向不變.

如果。>6,并且c>0,那么ac>bc（或巴>2）

cc

如果。<6,并且c>0,那么ac〈比（或曰<2）

CC

基本性質3：不等式兩邊都乘以（或除以）同一個負數，不等號的方向改變.

試卷第3頁，共6頁

nh

如果。>6,并且c<0,那么犯<比（或一<一）

CC

如果。<6,并且c<0,那么〃。〉歷（或分>6）

不等式的互逆性：如果那么6<Q；如果6<Q,那么a>b.

不等式的傳遞性：如果b>c,那么

易錯點：①不等式兩邊都乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變.

②在計算的時候符號方向容易忘記改變.

題型分類深度剖析/\

【題型3不等式的性質】

【典例3】（24-25八年級上?黑龍江綏化?期末）

9.已知》>>，則下列不等式成立的是（）

A.-2x>-2yB.x-3>y-3C.-x+5>-y+5D.1-<^-

【變式3一1］（24-25八年級上?浙江?期末）

10.如果a<0,則下列式子錯誤的是（）

aa

A.5+。〉3+。B.5-a>3-aC.5a>3aD.—>—

53

【變式3—2］（24—25七年級下?全國?期末）

11.若。>6,則下列不等式不一定成立的是（）

A.-5a<-5bB.a-5>b-5C.a1>b2D.5a>5b

【變式3—3］（24—25七年級上?吉林?期末）

12.如圖，三人分別坐在質地均勻且到中心點。距離相等的蹺蹺板上，則表示三人體重4,

B,C的大小關系正確的是（）

BA

B>A>CB.B>C>AC.C>A>BC>B>A

【題型4根據不等式的解集求參數取值范圍】

【典例4】（22-23七年級下?湖南衡陽?期中）

13.若關于X的不等式（加的解集為X<1,則加的取值范圍是（）

A.冽W1B.m>1C.m<1D.m<0

試卷第4頁，共6頁

【變式4一1］（22—23七年級下?全國?期末）

14.如果關于x的不等式（a+l）x>2的解集為x>l,則。的值是（）

A.a=-lB.a>-lC.a=\D.a>\

【變式4一2］（23—24七年級下?湖北襄陽?期末）

2

15.已知關于X的不等式（q-1）%>2的解集為％<-則Q的取值范圍是（）

a-\

A.6z<1B.a>lC.6z<0D.a>0

%達標測試f

（22-23八年級下?陜西咸陽?期中）

16.在-3<-2、2x+7y<0、尤=3、x2+4j?2>x+2<5中，不等式的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

（23-24八年級下?遼寧遼陽?期末）

17.用不等式表示：f是非負數，則下列各式中正確的是（）

A.x2>0B.%2>0C.x2HoD.x2<Q

（23-24七年級下?吉林四平?期末）

18.某廣告強調“一罐飲料凈重400克，蛋白質含量至少2克”，“蛋白質含量至少2克”這句

你換一種廣告語言可以是（）

A.“蛋白質含量20.5%”B.“蛋白質含量>0.5%”

C.“蛋白質含量<0.5%"D.“蛋白質含量40.5%”

（23-24七年級下?山西長治?期末）

19.某雙向六車道高速公路，分車道、分車型組合限速，其標牌版面如圖所示.每個標牌上

左側數字代表該車道車型的最高通行車速（單位：km/h）,右側數字代表該車道車型的最低

通行車速（單位：km/h）.王師傅駕駛一輛貨車在該高速公路上依規行駛，車速為vkm/h,

則車速v的范圍是（）

^小客車道,

<J

A.90<v<100B.80<v<100C.60<v<100D.60<v<120

試卷第5頁，共6頁

（24—25八年級上?浙江杭州?期中）

20.若a<b,則下列結論錯誤的是（）

ab

A.a+2<b+2B.3-a<3-bC.4a<4bD.—；—<—；—

k2+\k2+l

（22-23七年級下?四川宜賓?期中）

21.如果不等式1的解集為x<l,那么a滿足的條件是（）

A.a>0B.a<-2C.a>-lD.a<-l

（2023?江蘇無錫?三模）

22.已知關于x的不等式S+2）尤<1的解集為x>二z，則a的取值范圍為.

（2024?廣東東莞?一模）

23.若點M（2機-1,1+加）關于了軸的對稱點在第二象限，則加的取值范圍是.

（2024九年級?河北?學業考試）

24.有一個數學游戲，如圖，一個實數從4B,C三個位置中任選一個位置出發，按照通

道內標注的要求進行運算后到下一個位置.例如：將3按照C（或C-2）的順序進

行運算，是將數據3經過“乘以-2”的運算得出結果-6.

（1）將-2按照4-C-4的順序進行運算，列出算式并求出運算結果；

（2）將一個大于3的數按照8一/的順序進行運算，發現運算結果總小于1.請

驗證這個結論.

試卷第6頁，共6頁

1.B

【分析】本題主要考查了不等式的定義，根據不等式的定義進行判斷即可，熟知用不等號連

接的式子是不等式是解本題的關鍵.

【詳解】解：①4x+3共0是不等式；

②。>3是不等式；

③x2+孫是整式；

④是等式；

⑤X/5是不等式；

綜上：①②⑤是不等式，共3個，

故選：B.

2.A

【分析】本題考查不等式的識別，一般地，用不等號表示不相等關系的式子叫做不等式.主

要依據不等式的定義來判斷.

【詳解】解：①x+y=l是等式；

②XT是多項式；

③x+2y是多項式；

④V->21符合不等式的定義；

⑤x<0符合不等式的定義；

所以，不等式是④⑤，共2個，

故選：A.

3.D

【分析】本題主要考查不等式的定義.根據標志牌的含義列不等式即可求解.

【詳解】解：由題意得：0<x44.5,故D正確.

故選：D.

4.A

【分析】本題考查不等式的定義，根據不等式的定義求解即可.

【詳解】解：“每100克含鈣>87毫克”的含義是每100克含鈣高于87毫克，

故選：A.

5.C

答案第1頁，共7頁

【分析】主要考查了不等式的解集的概念：一個含有未知數的不等式的所有解，組成這個不

等式的解的集合，稱為這個不等式的解集.根據不等式的解集的概念進行判斷即可.

【詳解】解：不等式的解集中，不包括-4的是xV-5,

故選：C.

6.D

【分析】本題考查不等式的解和解集的定義.根據不等式的解集的定義逐一判斷即可.

【詳解】解：A、x=0不是不等式x<0的解，故本選項不符合題意；

B、不等式無<0的解是所有小于0的數，故本選項不符合題意；

C、x=0不滿足x<0,故本選項不符合題意；

D、x=-l是不等式x<0的一個解，故本選項符合題意.

故選：D.

7.D

【分析】本題考查了不等式的解，解題的關鍵是理解不等式的解的意義；把x=3分別代入

各選項判定即可；

【詳解】解：A、當x=3時，x-l-2>0,故本選項不符合題意；

B、當無=3時，x+1=4,故本選項不符合題意；

C、當x=3時，2x-3=3<4,故本選項不符合題意；

D、當x=3時，2尤+3=9<10,故本選項符合題意；

故選：D.

8.D

【分析】本題考查了不等式，解集，唯一解，一個解的定義的知識，熟練掌握以上知識是解

題的關鍵.

所有滿足不等式的數的全體稱為這個不等式的解集，x=。。是不等式解集中的一個數）我們

僅可以說它是滿足這個不等式的一個解，所有解的全體稱為解集，解集中的一個數稱為不等

式的一個解，當不等式的解有且只有一個時，則稱它為這個不等式的唯一解，根據解集，唯

一解，一個解的定義，以此判斷四個選項即可選出正確答案.

【詳解】解：解不等式3x>5,

可得

A.由于x=l<g,故x=l不是不等式3x>5的解，故選項錯誤；

答案第2頁，共7頁

B.由于x=2>g,故x=2是不等式3x>5的一個解，但不是唯一解，故選項錯誤；

C.由于x=2>g,故x=2不是不等式3x>5的一個解，但不是解集，故選項錯誤；

D.由于x=2>；,故x=2不是不等式3x>5的一個解，故選項正確；

故選D.

9.B

【分析】本題主要考查了不等式的性質，熟知不等式的性質是解題的關鍵：不等式兩邊同時

加上（或減去）一個數或者式子，不等號不改變方向，不等式兩邊同時乘以（或除以）一個

正數，不等號不改變方向，不等式兩邊同時乘以（或除以）一個負數，不等號改變方向.

利用不等式的性質逐項判斷即可.

【詳解】解：已知x>九兩邊同乘-2得-2x<-2y,則A不符合題意；

已知x>>,兩邊同時減去3得x-3>y-3,則B符合題意；

已知尤>了，兩邊同乘一1再同時力口上5得-x+5<-y+5,則C不符合題意；

已知龍>y，兩邊同乘g得;>1，則D不符合題意；

故選：B.

10.C

【分析】本題考查的是不等式的基本性質，根據不等式的基本性質對各選項進行逐一分析即

可.

【詳解】解：A、因為5>3,所以5+a>3+a,故A選項正確；

B、因為5>3,所以5-a>3-a,故B選項正確；

C、因為5>3,a<0,所以5a<3a,故C選項錯誤；

D、因為5>3,所以:<；，因為0<0,所以|>三，故D選項正確.

故選：C.

11.C

【分析】此題主要考查了不等式的性質，熟練掌握不等式的有關性質是解題的關鍵.根據不

等式的基本性質，逐項進行判斷即可.

【詳解】解：A.由。>6可得-5“<-56,成立，不符合要求；

B.由a>b可得。-5>6-5,成立，不符合要求；

C.由a>b可得力>/不一定成立，例如1>_5,但仔<（-5）2,符合要求；

答案第3頁，共7頁

D.由a>b可得5a>5b,成立，不符合要求.

故選：C.

12.C

【分析】本題主要考查了不等式的性質和應用，根據圖示，可得/>8C>A,據此判斷出

三人體重B,C的大小關系即可.

【詳解】解：根據圖示，可得/>瓦C>A,

■■.C>A>B.

故選：C.

13.C

【分析】根據不等式的性質可知兩邊同時除以的數是負數即可求解.

【詳解】解：根據題意得m-1<0,

???m<\,

故選C.

【點睛】本題考查了不等式的性質，解題關鍵是掌握不等式的兩邊同時乘以或除以同一個

負數，不等號的方向發生改變.

14.C

【分析】根據不等式（a+l）x>2的解集為x>l,可得方程4+1=2,再解方程即可.

【詳解】解：：關于x的不等式（。+1）無>2的解集為x>l,

Q+1=2,

解得：a=l,

故選：C.

【點睛】本題考查了根據不等式的解集情況求參數，解一元一次方程，熟練掌握不等式的性

質是解題的關鍵.

15.A

【分析】先根據不等式的基本性質及此不等式的解集判斷出左-4的符號，再求出左的取值

范圍即可.

2

【詳解】解：???關于X的不等式（6Z-1）x>2的解集為-

a-1

???〃-1<0,

答案第4頁，共7頁

故選：A.

【點睛】本題考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出關于左的不等式是解題關鍵.

16.C

【分析】本題考查了不等式的定義.熟練掌握不等式的定義是解題的關鍵.

根據不等式的定義判斷作答即可.

【詳解】解：由題意知，-3<-2、2X+7”0、尤+2<5是不等式，故符合要求；

x=3是等式，x?+4/是整式，故不符合要求；

故選：C.

17.B

【分析】本題考查用不等式表示，涉及非負數定義，根據非負數定義將f是非負數表示為

X2>Q,逐項驗證即可得到答案，熟記非負數定義是解決問題的關鍵.

【詳解】解：/是非負數，用不等式表示為x2N0,

A、/>0錯誤，不符合題意；

B、/20正確，符合題意；

C、/wo錯誤，不符合題意；

D、錯誤，不符合題意；

故選：B.

18.A

【分析】本題考查了列不等式，理解至少的含義即可求解，讀懂題意是解題的關鍵.將蛋白

質含量至少2克轉化為百分比，再根據至少的含義，即可解題.

2

【詳解】解：：一x100%=0.5%,

400

二蛋白質含量至少2克，即蛋白質含量20.5%,

故選：A.

19.C

【分析】本題考查了不等式的定義.由王師傅駕駛的車輛是貨車，可得出王師傅應走右側兩

車道，結合右側兩車道標牌上速度，即可得出車速v的范圍.

【詳解】解：；王師傅駕駛的車輛是貨車，

王師傅應走右側兩車道，

車速v的范圍是60<v<100.

答案第5頁，共7頁

故選：c.

20.B

【分析】本題考查了不等式的性質“性質1：不等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），不

等號的方向不變；性質2：不等式兩邊乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變；性質

3：不等式兩邊乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變”，熟練掌握不等式的性質是解

題關鍵.根據不等式的性質逐項判斷即可得.

【詳解】解：A、由a<6可得。+2<6+2,則此項正確，不符合題意;

B、由。<6可得貝Ij3-a>3-b,則此項錯誤，符合題意;

C、由a<6可得4a<46,則此項正確，不符合題意;

D、因為">。，所以由"