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文檔簡介

第四章三角形

第19講直角三角形

口題型11趙爽弦圖

模擬基礎(chǔ)練

?□題型12利用勾股定理構(gòu)造圖形解決實際問題

口題型13在網(wǎng)格中判斷直角三角形

□題型01由直角三角形的性質(zhì)求解

口題型14利用勾股定理逆定理求解

口題型02根據(jù)已知條件判定直角三角形

口題型15利用勾股定理解決實際問題

口題型03利用勾股定理求解

□題型16利用勾股定理逆定理解決實際問題

口題型04判斷勾股數(shù)問題

口題型17最短距離問題

□題型05以直角三角形三邊為邊長的圖形面積

口題型06勾股定理與網(wǎng)格問題重難創(chuàng)新練

口題型07勾股定理與折疊問題

口題型08勾股定理與無理數(shù)問題

口題型09利用勾股定理證明線段的平方關(guān)系真題實戰(zhàn)練

口題型10勾股定理的證明方法

模擬基礎(chǔ)練?

口題型01由直角三角形的性質(zhì)求解

1.(2023?山東濟南?三模)將正六邊形與正方形按如圖所示擺放,且正六邊形的邊力B與正方形的邊CD在同

一條直線上,則NBOC的度數(shù)是

2.(2024?山西?模擬預(yù)測)如圖,在AABC中,AB=AC,ABAC=120°,分別以點4,C為圓心,大于24c的

長為半徑作弧,兩弧分別相交于點E,F,連接EF交邊BC于點。,連接力D.若BD=8,則△2CD的周長

3.(2024?河北?模擬預(yù)測)如圖,在RtAABC,^BAC=90°,4D是BC邊上的高,以點B為圓心,適當(dāng)長為

半徑畫弧,分別交ZB,8C于點M,N,分別以點M,N為圓心,大于]MN長為半徑畫弧,兩弧交于點P,

作射線BP交4C于點E,交4。于點R下列說法不一定正確的是()

B.7./.ABE=/.CAD

C.BF=2DFD.AF=AE

4.(2024貴州貴陽二模)如圖,菱形4孔。的對角線47、8。相交于點0,過點4作4石1屋于點£,若。8=4,

S菱形4BCD=16,貝UOE的長為()

C.2D.V5

□題型02根據(jù)已知條件判定直角三角形

5.(23-24七年級下.陜西西安?期末)在△ABC中,乙4,乙B,NC的對邊分別是a,b,c,下列條件:

①NA=ZC-ZB;

②(a+6)(a—b)=c2;

③a=32,b—42,c=52;

④乙4:NB:NC=3:4:5,其中可以判定△ABC是直角三角形的有個.

6.(2024?陜西模擬預(yù)測)如圖,在AABC中,。為邊8C上一點,。。過點C,且與4B相切于點。,連接CD,

OD,AD=AC.

2

(1)求證:△ABC為直角三角形.

(2)延長D。與。。交于點E,連接CE,若AD=DE=6,求CE的長.

7.(2024?河北秦皇島?一模)如圖,在等邊AABC中,AB=10,P為BC上一點(不與點8,C重合),過點

尸作PM18C于點P,交線段48于點將PM繞點尸順時針旋轉(zhuǎn)60。,交線段4C于點N,連接MN,有三位

同學(xué)提出以下結(jié)論:

嘉嘉:△PNC為直角三角形.

淇淇:當(dāng)AM=2時,AN=7.

珍珍:在點P移動的過程中,MN不存在平行于BC的情況.

下列說法正確的是()

A.只有嘉嘉正確B.嘉嘉和淇淇正確

C.淇淇和珍珍正確D.三人都正確

口題型03利用勾股定理求解

8.(2024?廣東深圳?模擬預(yù)測)如圖,。是坐標(biāo)原點,菱形。ABC的頂點C在彳軸的負半軸上,4C=3,BO=4,

9.(2024?河南鶴壁?模擬預(yù)測)如圖,P4與。。相切于點A,P。與弦4B相交于點C,OB1OP,若OB=3,

OC=1,貝/力的長為.

3

A

10.(2024?貴州?模擬預(yù)測)下面是多媒體上的一道試題:

如圖,在菱形ABC。中,過點B作BE1CD于點E,點F在邊48上,AF=CE,連接B。,DF.求

證:四邊形BFDE是矩形.

下面是兩位同學(xué)的對話:

,'小星:先證明四邊形8FDE,小紅:先證明與△C8E全、

t一片是平行四邊形,然后利用矩等,然后利用“有三個角是直角;

;、形定義即可得證.,、的四邊形是矩形”即可得證.;

、一一,、___________________________/

(1)請你選擇一位同學(xué)的說法,并證明;

(2)若BE=2百,DE=2,求菱形4BCD的周長.

11.(2024四川眉山.二模)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,己知點4(1,0),B(1-a,0),C(1+a,0)(a>0),

點P在以。(4,4)為圓心,1為半徑的圓周上運動,且始終滿足NBPC=90°,則a的最小值是().

A.V3B.4C.6D.2V3

口題型04判斷勾股數(shù)問題

12.(2024?四川德陽?二模)勾股定理最早出現(xiàn)在商高的《周髀算經(jīng)》:“勾廣三,股修四,經(jīng)隅五”.觀察下

列勾股數(shù):3,4,5:5,12,13;7,24,25;…這類勾股數(shù)的特點是:勾為奇數(shù),弦與股相差為1.柏拉

圖研究了勾為偶數(shù),弦與股相差為2的一類勾股數(shù),如6,8,10;8,15,17;…若此類勾股數(shù)的勾為2m(機2

3,相為正整數(shù)),則其股是(結(jié)果用含機的式子表示).

13.(2024?山東淄博二模)觀察下列幾組勾股數(shù):①3、4、5;②5、12、13;③7、24、25;④9、40、41;...

根據(jù)上面的規(guī)律,寫出第8組勾股數(shù):.

14.(2024?河北滄州.一模)當(dāng)直角三角形的三邊長都是正整數(shù)時,我們稱這三個正整數(shù)為勾股數(shù).

(1)若a,6為一個直角三角形的兩條直角邊長,c為斜邊長,a,b,c為勾股數(shù),且a=7i+7,c=n+8,n

4

為正整數(shù),求6的值(用含"的式子表示),并直接寫出符合題意的最小的6值.

(2)當(dāng)w是大于1的整數(shù)時,判斷2",n2-l,1+1是否是勾股數(shù),并說明理由.

15.(2024.四川成都.模擬預(yù)測)一個直角三角形的邊長都是整數(shù),則稱這種直角三角形為“完美勾股三角形”,

上為其面積和周長的比值.當(dāng)k=2時,滿足條件的“完美勾股三角形”的周長為;當(dāng)0<kWl時,

若存在“完美勾股三角形“,貝艮=.

口題型05以直角三角形三邊為邊長的圖形面積

16.(2024.河北唐山?三模)如圖,所有陰影部分的四邊形都是正方形,所有三角形都是直角三角形,若正

方形4、B、。的面積依次為5、13、30,則正方形C的面積為()

17.(2024?甘肅天水?二模)我國是最早了解勾股定理的國家之一,早在三千多年前,周朝數(shù)學(xué)家商高就提

出了“勾三、股四、弦五”這一結(jié)論.勾股定理與圖形的面積存在密切的關(guān)系,如圖,這是由兩個直角三角形

和三個正方形組成的圖形,若APEF的面積為6,則陰影部分的周長為—.

18.(2021?浙江金華?中考真題)如圖,在等腰RM4BC中,^ACB=90°,以該三角形的三條邊為邊向形外

作正方形,正方形的頂點民F,G,H,M,N都在同一個圓上.記該圓面積為I,△28C面積為S2,則金的值是()

S2

57r117T

A.B.3nC.57rD.

22

19.(2023?河北石家莊?模擬預(yù)測)如圖所示,在Rt2kABC中,Z.BCA=90°,Nb4c=30。,分別以三條邊

BC,AC,ZB為一邊,在的外部作正五邊形,三個五邊形的面積分別記作Si,S2,S3,則下列結(jié)論不

5

正確的是()

A.S1+S2=S3B.11=|C.=iD.底=苧店

?2J?JO-4

20.(2022?浙江寧波?模擬預(yù)測)如圖①,分別以RtAPMN的各邊為一邊向外作三個三角形,使41=43=45,

Z2=Z4=Z6,再按圖②的方式將兩個較小的三角形放在最大的三角形內(nèi),使4B=MN,AD=PM,BF=

PN,AGFB=AA=Z2.若要求出ACEH的面積,則需要知道下列哪個圖形的面積()

N

A

①②

A.四邊形CZFGB.四邊形EDBCC.AGFBD.\HFD

口題型06勾股定理與網(wǎng)格問題

21.(2024?內(nèi)蒙古包頭.模擬預(yù)測)如圖,在邊長為1的正方形網(wǎng)格中,點4、B、C、D、E都在小正方形格點

的位置上,連接ZB,CD相交于點P,根據(jù)圖中提示所添加的輔助線,可以求得tan/BPC的值是()

A.-B.—C.2D.V5

25

22.(2024?云南昆明?模擬預(yù)測)如圖是由邊長為1的小正方形構(gòu)成的8X6的網(wǎng)格,其中點O,A,B均在格

點上,將扇形20B圍成一個圓錐,則該圓錐的底面半徑為.

6

23.(2024?廣東清遠?模擬預(yù)測)如圖,象棋盤中各個小正方形的邊長為1.“馬”從圖中的位置出發(fā),不走重

復(fù)路線,按照馬走日的規(guī)則,走兩步后的落點與出發(fā)點間的最遠距離為.

24.(2024?陜西西安.模擬預(yù)測)如圖,△ABC的頂點坐標(biāo)分別為4(4,4),2(4,1),C(2,l).將△ABC關(guān)于原

點0中心對稱得到△

(1)畫出△AiZG;

(2)點名的坐標(biāo)為,點C、G之間的距離是

口題型07勾股定理與折疊問題

25.(2024?廣東深圳?模擬預(yù)測)如圖,在RtaABC中,^ACB=90°,AC=6,BC=8,E是AB中點,F(xiàn)是

BC上一點,沿著E尸折疊AB'EF,若AB'=2,貝.

26.(2024.河南.模擬預(yù)測)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點A的坐標(biāo)是(一5,0),點B的坐標(biāo)是(0,12),點M

是。8上一點,將△力8M沿4M折疊,點B恰好落在x軸上的點B'處,則點M的坐標(biāo)為()

7

AO\

A.(0,5)B.(0,y)C.(O,2V3)D.(0,y)

27.(2024?四川綿陽?模擬預(yù)測)如圖,在ATIBC中,AC=BC,zC=90°,將△28C沿EF折疊,使點2落

在北邊上的點。處,若含=[,則器的值為.

28.(2024?浙江?模擬預(yù)測)綜合與實踐

【問題情境】

在一次數(shù)學(xué)探究課上,老師帶領(lǐng)大家一起研究特殊三角形的性質(zhì).

圓圓小組對直角三角形進行了各種類型的折疊探究,并嘗試用數(shù)學(xué)方法說明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.

類型1.如圖1,沿著DE折疊,使點8與點4重合,折痕交48于點E,交BC于點。,他們發(fā)現(xiàn):點。的位置

與4C和BC的長有關(guān).

問題1.若BC=3,AC=1,貝!JBD=.

【變式探究】

類型2.如圖2,點。為CB上一點,沿著4。折疊,2C恰好落在4B上,點C的對稱點為C',折痕交BC于點D.

問題2.①若震=|,則詈=_.

②請猜測案與篙有何關(guān)系,并證明.

8

【拓展思考】

方方小組對等腰三角形進行了各種折疊探究.如圖3,在等腰三角形4BC中,BC為底邊,乙4為鈍角,點。為

邊4C上一點,將44BD沿直線BD翻折得到4A'BD.

問題3.若AD=CD=4,A'C=6,求BD的長.

口題型08勾股定理與無理數(shù)問題

29.(2024?陜西西安?模擬預(yù)測)如圖,在數(shù)軸上點2表示原點,點B表示的數(shù)為2,AB1BC,垂足為B,且

BC=3,以點4為圓心,AC長為半徑畫弧,交數(shù)軸正半軸于點。,則點。表示的數(shù)為.

-1012345

30.(2024.甘肅天水.一模)如圖,在數(shù)軸上,OB=1,過。作直線11。8于點O,在直線/上截取。4=2,

且A在。C上方.連接以點8為圓心,4B為半徑作弧交直線OB于點C,則C點對應(yīng)的數(shù)為.

31.(2020?山西?三模)嘉淇學(xué)習(xí)了“數(shù)軸上的點與實數(shù)是一一對應(yīng)的關(guān)系”后,便嘗試在數(shù)軸上找一個表示無

理數(shù)的點.如圖,數(shù)軸的原點為O,RtAAOB中,Z.OAB=90°,邊4。在數(shù)軸上,AB=3,以點。為圓心,

0B長為半徑作弧,交數(shù)軸負半軸于點C,則點C所表示的數(shù)介于()

9

B

B.—2和一3之間

C.一3和一4之間D.一4和一5之間

32.(2023?廣東深圳?二模)數(shù)形結(jié)合是解決代數(shù)類問題的重要思想,在比較e+1與店的大小時,可以通

過如圖所示幾何圖形解決問題:若要比較加+3與舊的大小,以下數(shù)形結(jié)合正確的是()

口題型09利用勾股定理證明線段的平方關(guān)系

33.(2024.安徽合肥.模擬預(yù)測)如圖,四邊形48CD的兩條對角線相交于點O,/.BAD=乙BCD=90°,

48=2。,則下列結(jié)論錯誤的是()

A.4C平分N8CDB.BC+CD=近AC

C.OA2+OC2=OB2+OD2D.AC2-AB2=BC-CD

34.(2024?河北.模擬預(yù)測)如圖1,正方形4BCD與斜邊為BC的Rt△48C按如圖所示的方式放在同一平面

內(nèi),使點4與A重合,點。在上,BCWA'C,其中4C=4L=6,正方形4夕C:D固定不動.

10

(1)求a'。的長和NC的度數(shù).

(2)將ABAC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn),當(dāng)4C與4C'重合后,立刻沿射線4C'方向平移,點。在邊上時停

止.

①求邊力B旋轉(zhuǎn)結(jié)束時掃過的面積;

②求平移結(jié)束時,正方形力'9LD與RtAABC重疊部分的面積S.

(3)如圖2,若將(2)中的旋轉(zhuǎn)和平移同時進行,設(shè)邊48與邊4D的交點為邊力C與邊的交點為N,4M=a,

AC=VkAA',直接寫出在運動過程中DM?+DN2的值.(用含°,左的式子表示)

35.(2024?江蘇鹽城?三模)【閱讀發(fā)現(xiàn)】

小明在閱讀數(shù)學(xué)課外讀物時,讀到了海倫一一秦九韶公式.他了解到海倫公式和秦九韶公式分別是由古希

臘的幾何家海倫和我國南宋時期數(shù)學(xué)家秦九韶提出的.這兩個公式有什么關(guān)系呢?于是小明進行了下列思

考:

兩個公式:

海倫公式:已知一個三角形的三邊長分別為a,b,c,設(shè)p=:(a+b+c),那么這個三角形的面積5=

Jp(p-a)(p-b)(p-c);

秦九韶公式:已知一個三角形的三邊長分別為a,b,C,那么這個三角形的面積s=Jipirrpi+piyj.

圖1圖2

【嘗試應(yīng)用】

(1)已知一個三角形的三邊長分別4,5,6.請任選一個公式算出這個三角形的面積為;請用學(xué)過

的知識來解這個三角形的面積.

(2)己知一個三角形的三邊長分別為a,b,c,試求出這個三角形面積的一般表達形式.(用a,b,c表示)

【發(fā)現(xiàn)關(guān)聯(lián)】

思考關(guān)聯(lián):請你由秦九韶公式S=4式2—(竺17)2]推導(dǎo)到海倫公式:s=dp(p-a)(p-b)(p-c),

p=[(a+b+c).

口題型10勾股定理的證明方法

11

36.(2022.河北邯鄲.三模)在證明勾股定理時,甲、乙兩位同學(xué)分別設(shè)計了如下方案:

甲乙

如圖是兩個全等的直角三角板ABC和直角三角板

如圖,用四個全等的直角三角形拼成,其中四邊形

DEF,頂點尸在BC邊上,頂點C,。重合,通過用兩

ABOE和四邊形CF均是正方形,通過用兩種方法

種方法表示四邊形ACBE的面積來進行證明.

表示正方形ABDE的面積來進行證明.

E

-A

C(D)F

對于甲、乙分別設(shè)計的兩種方案,下列判斷正確的是()

A.甲、乙均對B.甲對、乙不對C.甲不對,乙對D.甲、乙均不對

37.(2023?遼寧阜新?二模)動手實踐、歸納和猜想是我們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的重要一環(huán),你也來試試吧!

(1)如圖,兩個邊長分別為小爪c的直角三角形和一個兩條直角邊都是c的直角三角形拼成一個梯形.用兩

種不同的方法計算梯形的面積,得到我們學(xué)習(xí)過的一個重要公式,

請你寫出來:面積等式為,結(jié)論為;

(2加邊形有n個頂點,在它的內(nèi)部再畫小個點,以(爪+九)個點為頂點,把n邊形剪成若干個三角形,設(shè)最多

可以剪得y個這樣的三角形.當(dāng)n=3,爪=3時,如圖,最多可以剪得7個這樣的三角形,所以y=7.

①當(dāng)?1=4,爪=2時,如圖,y—;

當(dāng)n=5,m=時,y=9;

②對于一般的情形,在n邊形內(nèi)畫m個點,通過歸納猜想,可得y=(用含加、n的代數(shù)式表示).

38.(2022?江蘇鹽城?三模)2000多年來,人們對勾股定理的證明頻感興趣,不但因為這個定理重要、基本

還因為這個定理貼近人們的生活實際所以很多人都探討、研究它的證明,新的證法不斷出現(xiàn),如圖2是將

圖1中的直角三角形通過旋轉(zhuǎn)、平移得到的正方形48CD.

12

(1)請你利用圖2證明勾股定理;

⑵如圖3,以MN為直徑畫圓。,延長CF交DM于點E,判斷直線CE與。。的位置關(guān)系,并說明理由;

(3)若b=3a,則圖3中陰影部分的面積為(用含a的式子表示)

39.(2022?廣東佛山?三模)幾千年來,在勾股定理的多種證明方法中,等面積法是典型的一種證法,清代

數(shù)學(xué)家李銳運用這一方法借助三個正方形也證明了勾股定理.如圖,四邊形4BCD,四邊形DEFG,四邊形

CG”/均為正方形,EF交BG于點、L,DG交IH于點、K,點、B,L,C,G在同條直線上,若S“DE=16,S.HK=9,

記四邊形DELC的面積為£,四邊形CGK/的面積為S2,則引的值為()

37716

A.D.

4459

40.(2024.陜西西安.模擬預(yù)測)如圖所示的圖案是我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》中“趙爽弦圖”

經(jīng)修飾后的圖形,四邊形48CD與四邊形EFG”均為正方形,點”是DE的中點,陰影部分的面積為27,貝

的長為

41.(2024.廣東清遠.模擬預(yù)測)三國時代吳國數(shù)學(xué)家趙爽第一次對勾股定理加以證明:用4個全等的直角

三角形拼成如圖所示“弦圖RtZkABC中,乙4cB=90。,AC=b,BC=a,AB=c,大正方形的面積

=小正方形的面積+4個直角三角形的面積,化簡證得勾股定理:a2+b2=c2.

13

(1)若b=2a,則S小正方形:S大正方形=_;

(2)如果大正方形的面積是13,a=2,求小正方形的面積.

□題型11趙爽弦圖

42.(2024?河北.模擬預(yù)測)如圖1,嘉嘉用四個全等的直角三角形拼接了一個“趙爽弦圖”,其中大正方形48CD

的面積為25,小正方形EFGH的面積為1.

圖I

(1)如圖2,連接DG,CF,BE,得到一個風(fēng)車圖案(陰影部分),則風(fēng)車圖案的周長為

(2)如圖3,連接AC,交8G于點P,交DE于點M,則SUFP-SACGP=.

43.(2024?山東濟南?二模)公元三世紀(jì),我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出了“趙爽弦圖”.將

兩個大小相同的“趙爽弦圖”(如圖1)中的兩個小正方形和八個直角三角形按圖2方式擺放圍成邊長為10

的正方形ABCD,則空白部分面積為

44.(2024?浙江杭州?一模)如圖,是我國漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的,人們稱它為“趙爽弦圖”,

它是由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的一個大正方形.

14

(1)連接BF,若F恰為4G中點,則N8FG的度數(shù)為°;

(2)連接CF,若AABF與AFEC的面積相等,DF=2,則4F的長為

口題型12利用勾股定理構(gòu)造圖形解決實際問題

45.(2023?四川瀘州?一模)我國古代偉大的數(shù)學(xué)家劉徽將直角三角形分割成一個正方形和兩對全等的直角

三角形,如圖所示的矩形由兩個這樣的圖形拼成.若a=6,b=8,則該矩形的面積為()

c-VD.90

46.(24-25八年級上?山西太原?階段練習(xí))如圖是一所大型游樂場,工人在對游樂設(shè)施進行測試.大擺錘從

高為9m的房屋A處,劃過90。到達與房屋A水平距離為17m,高為2m的房屋2處,求大擺錘的長度。N=_

m.

47.(2024?貴州?模擬預(yù)測)意大利著名畫家達芬奇用如圖所示的方法證明了勾股定理,圖2是將圖1沿直

線FD剪開,將右半部分上下翻轉(zhuǎn)得到的圖形,其中四邊形4FEG,四邊形CDBG與四邊形均為正方

形,若圖1中空白部分面積為37,線段的長為7,則圖2中兩個直角三角形的面積和為()

15

圖1圖2

A.6B.12C.15D.25

48.(2022.江西九江.二模)俊俊和霞霞共同合作將一張長為魚,寬為1的矩形紙片進行裁剪(共裁剪三次),

裁剪出來的圖形剛好是4個等腰三角形(無紙張剩余).霞霞說:“有一個等腰三角形的腰長是1”;俊俊說:

“有一個等腰三角形的腰長是應(yīng)-1”;那么另外兩個等腰三角形的腰長可能是.

口題型13在網(wǎng)格中判斷直角三角形

49.(2024.黑龍江哈爾濱.三模)如圖,網(wǎng)格紙中每個小正方形的邊長均為1,線段AB,CD的端點均在小正

(1)在圖中畫出以4B為斜邊的等腰直角△ABE,點E在小正方形的頂點上;

(2)在圖中畫出以CD為腰的等腰ACDF,其△CDF的面積為4,點尸在正方形的頂點上;

(3)連接EF,請直寫出線段所的長.

50.(23-24九年級下.吉林.階段練習(xí))圖①、圖②、圖③均是6義6的正方形網(wǎng)格,每個小正方形的頂點為格

點,△力BC的頂點均在格點上.在圖①、圖②、圖③給定的網(wǎng)格中,只用無刻度的直尺,按要求畫圖,保留

作圖痕跡,不要求寫出畫法.

m

BBB

圖①圖②圖③

(1)圖①中,ANBC的形狀是..

(2)圖②中,在AB邊上取一點D,連接CD,使CD=之力B.

(3)圖③中,在AB邊上取一點E,連接CE,使CE為N4C8的平分線.

16

51.(2024.江蘇無錫?一模)如圖,在網(wǎng)格圖中(每個小正方形的邊長為1),點4、B、C,。均為格點,給出

下列三個命題:

①點a到點8的最短距離為VTU;

②點a到直線CD的距離為W;

③直線ZB、CD所交的銳角為45。;

其中,所有正確命題的序號為.(填序號)

52.(2024?陜西西安?模擬預(yù)測)如圖,在7x5的網(wǎng)格中,每個小正方形的邊長均為1,點4B,C都在格點

上,4D是BC邊上的中線,則4D的長為()

口題型14利用勾股定理逆定理求解

53.(2024?湖南.模擬預(yù)測)如圖,在AABC中,AB=AC,4。,8c交BC于點。,CE||AD,交B4的延長線

于點E.

(1)試判斷線段CE與線段4D之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

(2)若4。=2,AE=2V2,請證明△2EC是等腰直角三角形.

54.(2024?廣東廣州?一模)如圖,點E為菱形2BCD的邊2D上一點,且力E=3,DE=2,點尸為對角線4C上

一動點,若ADEF的周長最小值為6,貝卜inNBCD=

17

55.(2023?貴州銅仁?三模)如圖,平行四邊形4BCD中以點B為圓心,適當(dāng)長為半徑作弧,交B4BC于F,G,

分別以點F,G為圓心大于[FG長為半作弧,兩弧交于點”,作交4。于點E,連接CE,若AB=10,DE=

6,CE=8,貝UBE的長為()

A.2V41B.40V2C.4V5D.8V5

56.(2023?山東濟寧?一模)將一張以AB為邊的矩形紙片,先沿一條直線剪掉一個直角三角形,在剩下的紙

片中,再沿一條直線剪掉一個直角三角形(剪掉的兩個直角三角形相似),剩下的是如圖所示的四邊形紙片

ABCD,其中N4=90。,AB=9,BC=7,CD=6,AD=2,則剪掉的兩個直角三角形的斜邊長可能是

喧鱷③1。或其中正確的序號是

口題型15利用勾股定理解決實際問題

57.(2024?河南周口?模擬預(yù)測)如圖,A,8兩地之間被一座大山擋在中間,導(dǎo)致一直沒有直通的公路,需

要繞行C地,嚴(yán)重阻礙了A,B兩地間的區(qū)域經(jīng)濟發(fā)展.為促進區(qū)域經(jīng)濟發(fā)展,A,B兩地準(zhǔn)備通過開挖隧

道的方式修建一條直通4B兩地的公路.已知4C=60km,BC=90km,zC=60°,求48的長.(結(jié)果保留

根號)

58.(2024?福建三明?三模)綜合實踐:閱讀下列材料,解答問題.

任務(wù):如圖1,現(xiàn)要測量某校旗桿的高度(系在旗桿頂端的繩子垂到地面,并多出一小段).

18

工具:一把皮尺(測量長度達不到旗桿長一半).

李明學(xué)習(xí)小組測量過程和部分求解過程如下(如圖2):

測量過程:

步驟1:測得多出一小段繩子的長度為a(m);

步驟2:將繩子拉直,繩子末端與地面接觸點為A,測得A點到旗桿底部C點距離4C=b(m).

部分求解過程:

設(shè)旗桿高度BC=h,

?.,在RtAABC中,AACB=90°,

BC2+AC2=AB2.

"."AC=b,AB=h+a,

h2+b2=(h+a)2

(1)根據(jù)李明學(xué)習(xí)小組求解過程,請直接寫出旗桿高度h=—(用含a,b的代數(shù)式表示);

(2)李明學(xué)習(xí)小組求解過程,所用到的幾何知識是—;

(3)請你利用所提供的工具,通過2次測量,設(shè)計另外一種方案,寫出你的測量和求解過程.(測量得到的長

度用字母”表示)

59.(2024.安徽.一模)甲、乙兩船同時從4碼頭開出,45分鐘后,甲船到達B碼頭,乙船到達C碼頭;己知

甲船航行的速度是12海里/時.乙船航行的速度是16海里/時,甲船航行的方向是北偏東40。,乙船航行的方

向是南偏東50。,求甲、乙兩船之間的距離BC.

19

B

60.(22-23八年級上?廣東深圳?期中)如圖所示,一艘輪船由A港口沿著北偏東60。的方向航行100km到達8

港口,然后再沿北偏西30。方向航行100km到達C港口.

(1)求A,C兩港口之間的距離;(結(jié)果保留根號)

(2)C港口在A港口的什么方向.

口題型16利用勾股定理逆定理解決實際問題

61.(2024?廣東清遠.二模)綜合與實踐

主題:檢測雕塑(下圖)底座正面的邊力。和邊BC是否分別垂直于底邊4B.

素材:一個雕塑,一把卷尺.

步驟1:利用卷尺測量邊4D,邊BC和底邊4B的長度,并測量出點8,D之間的距離;

步驟2:通過計算驗證底座正面的邊4D和邊BC是否分別垂直于底邊力B.

圖1圖2

解決問題:

(1)通過測量得到邊力D的長是60厘米,邊4B的長是80厘米,BD的長是100厘米,邊力D垂直于邊力B嗎?為

什么?

20

(2)如果你隨身只有一個長度為30cm的刻度尺,你能有辦法檢驗邊4。是否垂直于邊48嗎?如果能,請寫出

你的方法,并證明.

62.(23-24八年級下.河北衡水.階段練習(xí))如圖,某社區(qū)有一塊四邊形空地4BCD,AB=15m,CD=8m,

AD=17m.從點A修了一條垂直BC的小路4E(垂足為E),E恰好是BC的中點,且4E=12m.

⑴求邊8c的長;

(2)連接2C,判斷AADC的形狀;

(3)求這塊空地的面積.

□題型17最短距離問題

63.(2024?廣東?模擬預(yù)測)綜合與實踐

“轉(zhuǎn)化”是一種重要的數(shù)學(xué)思想,將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題是轉(zhuǎn)化思想的一個重要方面.為了讓同學(xué)們探究

“轉(zhuǎn)化”思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用,在數(shù)學(xué)活動課上,老師帶領(lǐng)學(xué)生研究幾何體的最短路線問題:

問題情境:

如圖1,一只螞蟻從點a出發(fā)沿圓柱側(cè)面爬行到點c,其最短路線正是側(cè)面展開圖中的線段ac,若圓柱的高

48為2cm.底面直徑BC為8cm.

O

圖1圖2

問題解決:

(1)判斷最短路線的依據(jù)是;

(2)求出螞蟻沿圓柱側(cè)面爬行的最短路線4C的長(結(jié)果保留根號和it);

拓展遷移:

如圖2,。為圓錐的頂點,M為底面圓周上一點,點P是。M的中點,母線。M=8,底面圓半徑為2,粗線為

螞蟻從點P出發(fā)繞圓錐側(cè)面爬行回到點P時所經(jīng)過的路徑的痕跡.

(3)請求出螞蟻爬行的最短距離.

64.(2023?湖北十堰?一模)如圖,這是一個供滑板愛好者使用的U形池,該U形池可以看作是一個長方體去

21

掉一個“半圓柱”而成,中間可供滑行部分的截面是弧長為12m的半圓,其邊緣48==20m(邊緣的寬

度忽略不計),點E在CO上,CE=4m.一滑板愛好者從/點滑到E點,則他滑行的最短距離為()

A.28mB.24mC.20mD.18m

65.(2023?湖北十堰?三模)如圖,地面上有一個長方體盒子,一只螞蟻在這個長方體盒子的頂點A處,盒

子的頂點C'處有一小塊糖粒,螞蟻要沿著這個盒子的表面A處爬到C'處吃這塊糖粒,已知盒子的長和寬為

均為20cm,高為30cm,則螞蟻爬行的最短距離為()cm.

66.(2024?四川德陽?二模)如圖,透明圓柱形容器(容器厚度忽略不計)的高為18cm,底面周長為12cm,

在容器內(nèi)壁離容器底部7cm的A處有一飯粒,此時一只螞蟻正好在容器外壁且距離容器上沿1cm的點B處,

則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑長度是—cm.

重難創(chuàng)新練

1.(2024?江蘇常州?中考真題)對于平面內(nèi)有公共點的兩個圖形,若將其中一個圖形沿著某個方向移動一定

的距離d后與另一個圖形重合,則稱這兩個圖形存在“平移關(guān)聯(lián)”,其中一個圖形叫做另一個圖形的“平移關(guān)

聯(lián)圖形”.

22

-G

c

圖1圖2圖3

(1)如圖1,B、C、D是線段4E的四等分點.若4E=4,則在圖中,線段AC的“平移關(guān)聯(lián)圖形”是,

d=(寫出符合條件的一種情況即可);

(2)如圖2,等邊三角形力BC的邊長是2.用直尺和圓規(guī)作出△ABC的一個“平移關(guān)聯(lián)圖形”,且滿足d=2(保

留作圖痕跡,不要求寫作法);

(3)如圖3,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點。、E、G的坐標(biāo)分別是(—1,0)、(1,0)、(0,4),以點G為圓心,「為

半徑畫圓.若對OG上的任意點心連接DE、EF、FD所形成的圖形都存在“平移關(guān)聯(lián)圖形”,且滿足d23,

直接寫出r的取值范圍.

2.(2024?江蘇徐州?中考真題)在△ABC中,點。在邊上,^CD2=ADDB,則稱點2是點C的“關(guān)聯(lián)點”.

⑴如圖(1),在AABC中,若NACB=90。,CD1AB于點D.試說明:點。是點C的“關(guān)聯(lián)點”.

(2)如圖(2),已知點D在線段4B上,用無刻度的直尺和圓規(guī)作一個△ABC,使其同時滿足下列條件:①點。

為點C的“關(guān)聯(lián)點”;②乙4cB是鈍角(保留作圖痕跡,不寫作法).

(3)若AABC為銳角三角形,且點D為點C的“關(guān)聯(lián)點設(shè)力。=爪,DB=n,用含小、n的代數(shù)式表示力C的取

值范圍(直接寫出結(jié)果).

3.(2024?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題)圖1、2是一個折疊梯的實物圖.圖3是折疊梯展開、折疊過程中的一個主

視圖.圖4是折疊梯充分展開后的主視圖,此時點E落在AC上,已知AB=2C,sinNBAC?點點、D、F、

G、/在48上,DE、FM,GH、JK均與BC所在直線平行,DE=FM=GH=JK=20cm,DF=FG=GJ=

30cm.點N在AC上,AN、MN的長度固定不變.圖5是折疊梯完全折疊時的主視圖,此時2B、4C重合,

點E、M、H、N、K、。在48上的位置如圖所示.

【分析問題】

(1)如圖5,用圖中的線段填空:AN=MN+EM+AD-;

(2)如圖4,sin乙MENa,由力N=EN+2E=EN+AD,且AN的長度不變,可得MN與EN之

23

間的數(shù)量關(guān)系為

【解決問題】

(3)求MN的長.

4.(2024.吉林長春.中考真題)【問題呈現(xiàn)】

小明在數(shù)學(xué)興趣小組活動時遇到一個幾何問題:如圖①,在等邊△48C中,48=3,點M、N分別在邊4C、

BC上,且4M=CN,試探究線段MN長度的最小值.

【問題分析】

小明通過構(gòu)造平行四邊形,將雙動點問題轉(zhuǎn)化為單動點問題,再通過定角發(fā)現(xiàn)這個動點的運動路徑,進而

解決上述幾何問題.

【問題解決】

如圖②,過點C、M分別作MN、BC的平行線,并交于點P,作射線4P.在【問題呈現(xiàn)】的條件下,完成下

列問題:

圖③

(1)證明:AM=MP;

(2)N01P的大小為一度,線段長度的最小值為

【方法應(yīng)用】

某種簡易房屋在整體運輸前需用鋼絲繩進行加固處理,如圖③.小明收集了該房屋的相關(guān)數(shù)據(jù),并畫出了

示意圖,如圖④,AABC是等腰三角形,四邊形8CDE是矩形,2B=AC=CD=2米,N2CB=30。.MN是

一條兩端點位置和長度均可調(diào)節(jié)的鋼絲繩,點M在4C上,點N在DE上.在調(diào)整鋼絲繩端點位置時,其長度

也隨之改變,但需始終保持AM=DN.鋼絲繩MN長度的最小值為多少米.

5.(2024?河南?中考真題)綜合與實踐

24

在學(xué)習(xí)特殊四邊形的過程中,我們積累了一定的研究經(jīng)驗,請運用已有經(jīng)驗,對“鄰等對補四邊形”進行研究

定義:至少有一組鄰邊相等且對角互補的四邊形叫做鄰等對補四邊形.

(1)操作判斷

用分別含有30。和45。角的直角三角形紙板拼出如圖1所示的4個四邊形,其中是鄰等對補四邊形的有

(填序號).

(2)性質(zhì)探究

根據(jù)定義可得出鄰等對補四邊形的邊、角的性質(zhì).下面研究與對角線相關(guān)的性質(zhì).

如圖2,四邊形4BCD是鄰等對補四邊形,AB=AD,AC是它的一條對角線.

①寫出圖中相等的角,并說明理由;

②若BC=m,DC=n,乙BCD—26,求2C的長(用含m,n,。的式子表示).

(3)拓展應(yīng)用

如圖3,在Rt△4BC中,乙8=90。,AB=3,BC=4,分別在邊BC,AC上取點M,N,使四邊形4BMN是

鄰等對補四邊形.當(dāng)該鄰等對補四邊形僅有一組鄰邊相等時,請直接寫出BN的長.

真題實戰(zhàn)練

1.(2024.山東濟寧?中考真題)如圖,菱形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,£是AB的中點,連接OE.若

OE=3,則菱形的邊長為()

25

A.6B.8C.10D.12

2.(2024.黑龍江大興安嶺地?中考真題)如圖,A4BC內(nèi)接于。。,4。是直徑,若=25。,貝吐C4D

3.(2024?甘肅臨夏?中考真題)如圖,等腰AABC中,AB=AC=2,^BAC=120°,將A/IBC沿其底邊中線

4。向下平移,使4的對應(yīng)點A滿足44'則平移前后兩三角形重疊部分的面積是.

4.(2024?江蘇徐州?中考真題)如圖,在徐州云龍湖旅游景區(qū),點4為“彭城風(fēng)華”觀演場地,點B為“水族展

覽館”,點C為“徐州漢畫像石藝術(shù)館”.已知NBAC=60°,ABCA=45°,AC=1640m.求“彭城風(fēng)華”觀演

場地與“水族展覽館”之間的距離4B(精確到1m).(參考數(shù)據(jù):V2~1.41,V3-1.73)

5.(2024?湖南長沙?中考真題)如圖,在RtAABC中,AACB=90°,AB=2瓜AC=2,分別以點A,B

為圓心,大于14B的長為半徑畫弧,兩弧分別交于點加和N,作直線MN分別交4B,BC于點D,E,連接

CD,AE.

26

⑴求CD的長;

⑵求△ACE的周長.

6.(2024?山東淄博?中考真題)《九章算術(shù)》中提到:今有戶高多于廣六尺八寸.兩隅相去適一丈.問戶高、

廣各幾何?其大意為:己知矩形門的高比寬多6尺

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