第四章三角形

第19講直角三角形

口題型11趙爽弦圖

模擬基礎(chǔ)練

?□題型12利用勾股定理構(gòu)造圖形解決實(shí)際問(wèn)題

口題型13在網(wǎng)格中判斷直角三角形

□題型01由直角三角形的性質(zhì)求解

口題型14利用勾股定理逆定理求解

口題型02根據(jù)已知條件判定直角三角形

口題型15利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題

口題型03利用勾股定理求解

□題型16利用勾股定理逆定理解決實(shí)際問(wèn)題

口題型04判斷勾股數(shù)問(wèn)題

口題型17最短距離問(wèn)題

□題型05以直角三角形三邊為邊長(zhǎng)的圖形面積

口題型06勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題重難創(chuàng)新練

口題型07勾股定理與折疊問(wèn)題

口題型08勾股定理與無(wú)理數(shù)問(wèn)題

口題型09利用勾股定理證明線段的平方關(guān)系真題實(shí)戰(zhàn)練

口題型10勾股定理的證明方法

模擬基礎(chǔ)練?

口題型01由直角三角形的性質(zhì)求解

1.（2023?山東濟(jì)南?三模）將正六邊形與正方形按如圖所示擺放，且正六邊形的邊力B與正方形的邊CD在同

一條直線上，則NBOC的度數(shù)是

2.（2024?山西?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在AABC中，AB=AC,ABAC=120°,分別以點(diǎn)4,C為圓心，大于24c的

長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧分別相交于點(diǎn)E,F,連接EF交邊BC于點(diǎn)。，連接力D.若BD=8,則△2CD的周長(zhǎng)

3.（2024?河北?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在RtAABC,^BAC=90°,4D是BC邊上的高，以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為

半徑畫弧，分別交ZB,8C于點(diǎn)M,N,分別以點(diǎn)M,N為圓心，大于］MN長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P,

作射線BP交4C于點(diǎn)E,交4。于點(diǎn)R下列說(shuō)法不一定正確的是（）

B.7./.ABE=/.CAD

C.BF=2DFD.AF=AE

4.（2024貴州貴陽(yáng)二模）如圖，菱形4孔。的對(duì)角線47、8。相交于點(diǎn)0,過(guò)點(diǎn)4作4石1屋于點(diǎn)￡,若。8=4,

S菱形4BCD=16,貝UOE的長(zhǎng)為（）

C.2D.V5

□題型02根據(jù)已知條件判定直角三角形

5.（23-24七年級(jí)下.陜西西安?期末）在△ABC中，乙4,乙B,NC的對(duì)邊分別是a,b,c,下列條件：

①NA=ZC-ZB；

②（a+6）（a—b）=c2；

③a=32,b—42,c=52；

④乙4:NB:NC=3:4:5,其中可以判定△ABC是直角三角形的有個(gè).

6.（2024?陜西模擬預(yù)測(cè)）如圖，在AABC中，。為邊8C上一點(diǎn)，。。過(guò)點(diǎn)C,且與4B相切于點(diǎn)。，連接CD,

OD,AD=AC.

2

（1）求證：△ABC為直角三角形.

（2）延長(zhǎng)D。與。。交于點(diǎn)E,連接CE,若AD=DE=6,求CE的長(zhǎng).

7.（2024?河北秦皇島?一模）如圖，在等邊AABC中，AB=10,P為BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)8,C重合），過(guò)點(diǎn)

尸作PM18C于點(diǎn)P,交線段48于點(diǎn)將PM繞點(diǎn)尸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，交線段4C于點(diǎn)N,連接MN,有三位

同學(xué)提出以下結(jié)論：

嘉嘉：△PNC為直角三角形.

淇淇：當(dāng)AM=2時(shí)，AN=7.

珍珍：在點(diǎn)P移動(dòng)的過(guò)程中，MN不存在平行于BC的情況.

下列說(shuō)法正確的是（）

A.只有嘉嘉正確B.嘉嘉和淇淇正確

C.淇淇和珍珍正確D.三人都正確

口題型03利用勾股定理求解

8.（2024?廣東深圳?模擬預(yù)測(cè)）如圖，。是坐標(biāo)原點(diǎn),菱形。ABC的頂點(diǎn)C在彳軸的負(fù)半軸上,4C=3,BO=4,

9.（2024?河南鶴壁?模擬預(yù)測(cè)）如圖，P4與。。相切于點(diǎn)A,P。與弦4B相交于點(diǎn)C,OB1OP,若OB=3,

OC=1,貝/力的長(zhǎng)為.

3

A

10.(2024?貴州?模擬預(yù)測(cè))下面是多媒體上的一道試題:

如圖，在菱形ABC。中，過(guò)點(diǎn)B作BE1CD于點(diǎn)E,點(diǎn)F在邊48上，AF=CE,連接B。，DF.求

證：四邊形BFDE是矩形.

下面是兩位同學(xué)的對(duì)話:

，'小星：先證明四邊形8FDE,小紅：先證明與△C8E全、

t一片是平行四邊形，然后利用矩等，然后利用“有三個(gè)角是直角;

；、形定義即可得證.，、的四邊形是矩形”即可得證.；

、一一,、___________________________/

(1)請(qǐng)你選擇一位同學(xué)的說(shuō)法，并證明；

(2)若BE=2百，DE=2,求菱形4BCD的周長(zhǎng).

11.(2024四川眉山.二模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，己知點(diǎn)4(1,0),B(1-a,0),C(1+a,0)(a>0),

點(diǎn)P在以。(4,4)為圓心，1為半徑的圓周上運(yùn)動(dòng)，且始終滿足NBPC=90°,則a的最小值是().

A.V3B.4C.6D.2V3

口題型04判斷勾股數(shù)問(wèn)題

12.(2024?四川德陽(yáng)?二模)勾股定理最早出現(xiàn)在商高的《周髀算經(jīng)》：“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”.觀察下

列勾股數(shù)：3,4,5：5,12,13；7,24,25；…這類勾股數(shù)的特點(diǎn)是：勾為奇數(shù)，弦與股相差為1.柏拉

圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差為2的一類勾股數(shù)，如6,8,10；8,15,17；…若此類勾股數(shù)的勾為2m(機(jī)2

3,相為正整數(shù))，則其股是(結(jié)果用含機(jī)的式子表示).

13.(2024?山東淄博二模)觀察下列幾組勾股數(shù)：①3、4、5；②5、12、13；③7、24、25；④9、40、41；...

根據(jù)上面的規(guī)律，寫出第8組勾股數(shù)：.

14.(2024?河北滄州.一模)當(dāng)直角三角形的三邊長(zhǎng)都是正整數(shù)時(shí)，我們稱這三個(gè)正整數(shù)為勾股數(shù).

(1)若a,6為一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)，c為斜邊長(zhǎng)，a,b,c為勾股數(shù)，且a=7i+7,c=n+8,n

4

為正整數(shù)，求6的值（用含"的式子表示），并直接寫出符合題意的最小的6值.

（2）當(dāng)w是大于1的整數(shù)時(shí)，判斷2",n2-l,1+1是否是勾股數(shù)，并說(shuō)明理由.

15.（2024.四川成都.模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)直角三角形的邊長(zhǎng)都是整數(shù)，則稱這種直角三角形為“完美勾股三角形”,

上為其面積和周長(zhǎng)的比值.當(dāng)k=2時(shí)，滿足條件的“完美勾股三角形”的周長(zhǎng)為；當(dāng)0<kWl時(shí),

若存在“完美勾股三角形“，貝艮=.

口題型05以直角三角形三邊為邊長(zhǎng)的圖形面積

16.（2024.河北唐山?三模）如圖，所有陰影部分的四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正

方形4、B、。的面積依次為5、13、30,則正方形C的面積為（）

17.（2024?甘肅天水?二模）我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一，早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提

出了“勾三、股四、弦五”這一結(jié)論.勾股定理與圖形的面積存在密切的關(guān)系，如圖，這是由兩個(gè)直角三角形

和三個(gè)正方形組成的圖形，若APEF的面積為6,則陰影部分的周長(zhǎng)為—.

18.（2021?浙江金華?中考真題）如圖，在等腰RM4BC中，^ACB=90°,以該三角形的三條邊為邊向形外

作正方形,正方形的頂點(diǎn)民F,G,H,M,N都在同一個(gè)圓上.記該圓面積為I,△28C面積為S2,則金的值是（）

S2

57r117T

A.B.3nC.57rD.

22

19.（2023?河北石家莊?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在Rt2kABC中，Z.BCA=90°,Nb4c=30。，分別以三條邊

BC,AC,ZB為一邊，在的外部作正五邊形，三個(gè)五邊形的面積分別記作Si，S2,S3,則下列結(jié)論不

5

正確的是（）

A.S1+S2=S3B.11=|C.=iD.底=苧店

?2J?JO-4

20.（2022?浙江寧波?模擬預(yù)測(cè)）如圖①，分別以RtAPMN的各邊為一邊向外作三個(gè)三角形，使41=43=45,

Z2=Z4=Z6,再按圖②的方式將兩個(gè)較小的三角形放在最大的三角形內(nèi)，使4B=MN,AD=PM,BF=

PN,AGFB=AA=Z2.若要求出ACEH的面積，則需要知道下列哪個(gè)圖形的面積（）

N

A

①②

A.四邊形CZFGB.四邊形EDBCC.AGFBD.\HFD

口題型06勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題

21.（2024?內(nèi)蒙古包頭.模擬預(yù)測(cè)）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)4、B、C、D、E都在小正方形格點(diǎn)

的位置上，連接ZB,CD相交于點(diǎn)P,根據(jù)圖中提示所添加的輔助線，可以求得tan/BPC的值是（）

A.-B.—C.2D.V5

25

22.（2024?云南昆明?模擬預(yù)測(cè)）如圖是由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的8X6的網(wǎng)格，其中點(diǎn)O,A,B均在格

點(diǎn)上，將扇形20B圍成一個(gè)圓錐，則該圓錐的底面半徑為.

6

23.（2024?廣東清遠(yuǎn)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，象棋盤中各個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1.“馬”從圖中的位置出發(fā)，不走重

復(fù)路線，按照馬走日的規(guī)則，走兩步后的落點(diǎn)與出發(fā)點(diǎn)間的最遠(yuǎn)距離為.

24.（2024?陜西西安.模擬預(yù)測(cè)）如圖，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為4（4,4）,2（4,1）,C（2,l）.將△ABC關(guān)于原

點(diǎn)0中心對(duì)稱得到△

(1)畫出△AiZG；

（2）點(diǎn)名的坐標(biāo)為，點(diǎn)C、G之間的距離是

口題型07勾股定理與折疊問(wèn)題

25.（2024?廣東深圳?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在RtaABC中，^ACB=90°,AC=6,BC=8,E是AB中點(diǎn)，F(xiàn)是

BC上一點(diǎn)，沿著E尸折疊AB'EF,若AB'=2,貝.

26.（2024.河南.模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（一5,0）,點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0,12）,點(diǎn)M

是。8上一點(diǎn)，將△力8M沿4M折疊，點(diǎn)B恰好落在x軸上的點(diǎn)B'處，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（）

7

AO\

A.（0,5）B.（0,y）C.（O,2V3）D.（0,y）

27.（2024?四川綿陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在ATIBC中，AC=BC,zC=90°,將△28C沿EF折疊，使點(diǎn)2落

在北邊上的點(diǎn)。處，若含=［，則器的值為.

28.（2024?浙江?模擬預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐

【問(wèn)題情境】

在一次數(shù)學(xué)探究課上，老師帶領(lǐng)大家一起研究特殊三角形的性質(zhì).

圓圓小組對(duì)直角三角形進(jìn)行了各種類型的折疊探究，并嘗試用數(shù)學(xué)方法說(shuō)明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.

類型1.如圖1,沿著DE折疊，使點(diǎn)8與點(diǎn)4重合，折痕交48于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)。，他們發(fā)現(xiàn)：點(diǎn)。的位置

與4C和BC的長(zhǎng)有關(guān).

問(wèn)題1.若BC=3,AC=1,貝！JBD=.

【變式探究】

類型2.如圖2,點(diǎn)。為CB上一點(diǎn)，沿著4。折疊，2C恰好落在4B上，點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)為C',折痕交BC于點(diǎn)D.

問(wèn)題2.①若震=|，則詈=_.

②請(qǐng)猜測(cè)案與篙有何關(guān)系，并證明.

8

【拓展思考】

方方小組對(duì)等腰三角形進(jìn)行了各種折疊探究.如圖3,在等腰三角形4BC中，BC為底邊，乙4為鈍角，點(diǎn)。為

邊4C上一點(diǎn)，將44BD沿直線BD翻折得到4A'BD.

問(wèn)題3.若AD=CD=4,A'C=6,求BD的長(zhǎng).

口題型08勾股定理與無(wú)理數(shù)問(wèn)題

29.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)2表示原點(diǎn)，點(diǎn)B表示的數(shù)為2,AB1BC,垂足為B,且

BC=3,以點(diǎn)4為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫弧，交數(shù)軸正半軸于點(diǎn)。，則點(diǎn)。表示的數(shù)為.

-1012345

30.（2024.甘肅天水.一模）如圖，在數(shù)軸上，OB=1,過(guò)。作直線11。8于點(diǎn)O,在直線/上截取。4=2,

且A在。C上方.連接以點(diǎn)8為圓心，4B為半徑作弧交直線OB于點(diǎn)C,則C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為.

31.（2020?山西?三模）嘉淇學(xué)習(xí)了“數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系”后，便嘗試在數(shù)軸上找一個(gè)表示無(wú)

理數(shù)的點(diǎn).如圖，數(shù)軸的原點(diǎn)為O,RtAAOB中，Z.OAB=90°,邊4。在數(shù)軸上，AB=3,以點(diǎn)。為圓心，

0B長(zhǎng)為半徑作弧，交數(shù)軸負(fù)半軸于點(diǎn)C,則點(diǎn)C所表示的數(shù)介于（）

9

B

B.—2和一3之間

C.一3和一4之間D.一4和一5之間

32.（2023?廣東深圳?二模）數(shù)形結(jié)合是解決代數(shù)類問(wèn)題的重要思想，在比較e+1與店的大小時(shí)，可以通

過(guò)如圖所示幾何圖形解決問(wèn)題：若要比較加+3與舊的大小，以下數(shù)形結(jié)合正確的是（）

口題型09利用勾股定理證明線段的平方關(guān)系

33.（2024.安徽合肥.模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形48CD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O,/.BAD=乙BCD=90°,

48=2。，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.4C平分N8CDB.BC+CD=近AC

C.OA2+OC2=OB2+OD2D.AC2-AB2=BC-CD

34.（2024?河北.模擬預(yù)測(cè)）如圖1,正方形4BCD與斜邊為BC的Rt△48C按如圖所示的方式放在同一平面

內(nèi)，使點(diǎn)4與A重合，點(diǎn)。在上，BCWA'C,其中4C=4L=6,正方形4夕C:D固定不動(dòng).

10

(1)求a'。的長(zhǎng)和NC的度數(shù).

(2)將ABAC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)4C與4C'重合后，立刻沿射線4C'方向平移，點(diǎn)。在邊上時(shí)停

止.

①求邊力B旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)掃過(guò)的面積；

②求平移結(jié)束時(shí)，正方形力'9LD與RtAABC重疊部分的面積S.

(3)如圖2,若將(2)中的旋轉(zhuǎn)和平移同時(shí)進(jìn)行，設(shè)邊48與邊4D的交點(diǎn)為邊力C與邊的交點(diǎn)為N,4M=a,

AC=VkAA',直接寫出在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中DM?+DN2的值.(用含°,左的式子表示)

35.(2024?江蘇鹽城?三模)【閱讀發(fā)現(xiàn)】

小明在閱讀數(shù)學(xué)課外讀物時(shí)，讀到了海倫一一秦九韶公式.他了解到海倫公式和秦九韶公式分別是由古希

臘的幾何家海倫和我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶提出的.這兩個(gè)公式有什么關(guān)系呢？于是小明進(jìn)行了下列思

考：

兩個(gè)公式：

海倫公式：已知一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,設(shè)p=：(a+b+c),那么這個(gè)三角形的面積5=

Jp(p-a)(p-b)(p-c)；

秦九韶公式：已知一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b,C,那么這個(gè)三角形的面積s=Jipirrpi+piyj.

圖1圖2

【嘗試應(yīng)用】

(1)已知一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別4,5,6.請(qǐng)任選一個(gè)公式算出這個(gè)三角形的面積為；請(qǐng)用學(xué)過(guò)

的知識(shí)來(lái)解這個(gè)三角形的面積.

(2)己知一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,試求出這個(gè)三角形面積的一般表達(dá)形式.(用a,b,c表示)

【發(fā)現(xiàn)關(guān)聯(lián)】

思考關(guān)聯(lián)：請(qǐng)你由秦九韶公式S=4式2—(竺17)2]推導(dǎo)到海倫公式:s=dp(p-a)(p-b)(p-c),

p=[(a+b+c).

口題型10勾股定理的證明方法

11

36.（2022.河北邯鄲.三模）在證明勾股定理時(shí)，甲、乙兩位同學(xué)分別設(shè)計(jì)了如下方案:

甲乙

如圖是兩個(gè)全等的直角三角板ABC和直角三角板

如圖，用四個(gè)全等的直角三角形拼成，其中四邊形

DEF,頂點(diǎn)尸在BC邊上，頂點(diǎn)C,。重合，通過(guò)用兩

ABOE和四邊形CF均是正方形，通過(guò)用兩種方法

種方法表示四邊形ACBE的面積來(lái)進(jìn)行證明.

表示正方形ABDE的面積來(lái)進(jìn)行證明.

E

-A

C（D）F

對(duì)于甲、乙分別設(shè)計(jì)的兩種方案，下列判斷正確的是（）

A.甲、乙均對(duì)B.甲對(duì)、乙不對(duì)C.甲不對(duì)，乙對(duì)D.甲、乙均不對(duì)

37.（2023?遼寧阜新?二模）動(dòng)手實(shí)踐、歸納和猜想是我們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的重要一環(huán)，你也來(lái)試試吧!

（1）如圖，兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為小爪c的直角三角形和一個(gè)兩條直角邊都是c的直角三角形拼成一個(gè)梯形.用兩

種不同的方法計(jì)算梯形的面積，得到我們學(xué)習(xí)過(guò)的一個(gè)重要公式，

請(qǐng)你寫出來(lái)：面積等式為,結(jié)論為；

（2加邊形有n個(gè)頂點(diǎn)，在它的內(nèi)部再畫小個(gè)點(diǎn)，以（爪+九）個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，把n邊形剪成若干個(gè)三角形，設(shè)最多

可以剪得y個(gè)這樣的三角形.當(dāng)n=3,爪=3時(shí)，如圖，最多可以剪得7個(gè)這樣的三角形，所以y=7.

①當(dāng)?1=4,爪=2時(shí)，如圖，y—；

當(dāng)n=5,m=時(shí),y=9；

②對(duì)于一般的情形，在n邊形內(nèi)畫m個(gè)點(diǎn)，通過(guò)歸納猜想，可得y=（用含加、n的代數(shù)式表示）.

38.（2022?江蘇鹽城?三模）2000多年來(lái)，人們對(duì)勾股定理的證明頻感興趣，不但因?yàn)檫@個(gè)定理重要、基本

還因?yàn)檫@個(gè)定理貼近人們的生活實(shí)際所以很多人都探討、研究它的證明，新的證法不斷出現(xiàn)，如圖2是將

圖1中的直角三角形通過(guò)旋轉(zhuǎn)、平移得到的正方形48CD.

12

（1）請(qǐng)你利用圖2證明勾股定理;

⑵如圖3,以MN為直徑畫圓。，延長(zhǎng)CF交DM于點(diǎn)E,判斷直線CE與。。的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由;

（3）若b=3a,則圖3中陰影部分的面積為（用含a的式子表示）

39.（2022?廣東佛山?三模）幾千年來(lái)，在勾股定理的多種證明方法中，等面積法是典型的一種證法，清代

數(shù)學(xué)家李銳運(yùn)用這一方法借助三個(gè)正方形也證明了勾股定理.如圖，四邊形4BCD,四邊形DEFG,四邊形

CG”/均為正方形，EF交BG于點(diǎn)、L,DG交IH于點(diǎn)、K,點(diǎn)、B,L,C,G在同條直線上，若S“DE=16,S.HK=9,

記四邊形DELC的面積為￡,四邊形CGK/的面積為S2,則引的值為（）

37716

A.D.

4459

40.（2024.陜西西安.模擬預(yù)測(cè)）如圖所示的圖案是我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》中“趙爽弦圖”

經(jīng)修飾后的圖形，四邊形48CD與四邊形EFG”均為正方形，點(diǎn)”是DE的中點(diǎn)，陰影部分的面積為27,貝

的長(zhǎng)為

41.（2024.廣東清遠(yuǎn).模擬預(yù)測(cè)）三國(guó)時(shí)代吳國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽第一次對(duì)勾股定理加以證明：用4個(gè)全等的直角

三角形拼成如圖所示“弦圖RtZkABC中，乙4cB=90。，AC=b,BC=a,AB=c,大正方形的面積

=小正方形的面積+4個(gè)直角三角形的面積，化簡(jiǎn)證得勾股定理：a2+b2=c2.

13

（1）若b=2a,則S小正方形：S大正方形=_；

（2）如果大正方形的面積是13,a=2,求小正方形的面積.

□題型11趙爽弦圖

42.（2024?河北.模擬預(yù)測(cè)）如圖1,嘉嘉用四個(gè)全等的直角三角形拼接了一個(gè)“趙爽弦圖”，其中大正方形48CD

的面積為25,小正方形EFGH的面積為1.

圖I

（1）如圖2,連接DG,CF,BE,得到一個(gè)風(fēng)車圖案（陰影部分），則風(fēng)車圖案的周長(zhǎng)為

（2）如圖3,連接AC,交8G于點(diǎn)P,交DE于點(diǎn)M,則SUFP-SACGP=.

43.（2024?山東濟(jì)南?二模）公元三世紀(jì)，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出了“趙爽弦圖”.將

兩個(gè)大小相同的“趙爽弦圖”（如圖1）中的兩個(gè)小正方形和八個(gè)直角三角形按圖2方式擺放圍成邊長(zhǎng)為10

的正方形ABCD,則空白部分面積為

44.（2024?浙江杭州?一模）如圖，是我國(guó)漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”,

它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成的一個(gè)大正方形.

14

（1）連接BF,若F恰為4G中點(diǎn)，則N8FG的度數(shù)為°；

（2）連接CF,若AABF與AFEC的面積相等，DF=2,則4F的長(zhǎng)為

口題型12利用勾股定理構(gòu)造圖形解決實(shí)際問(wèn)題

45.（2023?四川瀘州?一模）我國(guó)古代偉大的數(shù)學(xué)家劉徽將直角三角形分割成一個(gè)正方形和兩對(duì)全等的直角

三角形，如圖所示的矩形由兩個(gè)這樣的圖形拼成.若a=6,b=8,則該矩形的面積為（）

c-VD.90

46.（24-25八年級(jí)上?山西太原?階段練習(xí)）如圖是一所大型游樂(lè)場(chǎng)，工人在對(duì)游樂(lè)設(shè)施進(jìn)行測(cè)試.大擺錘從

高為9m的房屋A處，劃過(guò)90。到達(dá)與房屋A水平距離為17m,高為2m的房屋2處，求大擺錘的長(zhǎng)度。N=_

m.

47.（2024?貴州?模擬預(yù)測(cè)）意大利著名畫家達(dá)芬奇用如圖所示的方法證明了勾股定理，圖2是將圖1沿直

線FD剪開，將右半部分上下翻轉(zhuǎn)得到的圖形，其中四邊形4FEG,四邊形CDBG與四邊形均為正方

形，若圖1中空白部分面積為37,線段的長(zhǎng)為7,則圖2中兩個(gè)直角三角形的面積和為（）

15

圖1圖2

A.6B.12C.15D.25

48.(2022.江西九江.二模)俊俊和霞霞共同合作將一張長(zhǎng)為魚,寬為1的矩形紙片進(jìn)行裁剪(共裁剪三次)，

裁剪出來(lái)的圖形剛好是4個(gè)等腰三角形(無(wú)紙張剩余).霞霞說(shuō)：“有一個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)是1”；俊俊說(shuō)：

“有一個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)是應(yīng)-1”；那么另外兩個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)可能是.

口題型13在網(wǎng)格中判斷直角三角形

49.(2024.黑龍江哈爾濱.三模)如圖，網(wǎng)格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,線段AB,CD的端點(diǎn)均在小正

(1)在圖中畫出以4B為斜邊的等腰直角△ABE,點(diǎn)E在小正方形的頂點(diǎn)上；

(2)在圖中畫出以CD為腰的等腰ACDF,其△CDF的面積為4,點(diǎn)尸在正方形的頂點(diǎn)上；

(3)連接EF,請(qǐng)直寫出線段所的長(zhǎng).

50.(23-24九年級(jí)下.吉林.階段練習(xí))圖①、圖②、圖③均是6義6的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)為格

點(diǎn)，△力BC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.在圖①、圖②、圖③給定的網(wǎng)格中,只用無(wú)刻度的直尺，按要求畫圖，保留

作圖痕跡，不要求寫出畫法.

m

BBB

圖①圖②圖③

(1)圖①中，ANBC的形狀是..

(2)圖②中，在AB邊上取一點(diǎn)D,連接CD,使CD=之力B.

(3)圖③中，在AB邊上取一點(diǎn)E,連接CE,使CE為N4C8的平分線.

16

51.（2024.江蘇無(wú)錫?一模）如圖，在網(wǎng)格圖中（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1）,點(diǎn)4、B、C,。均為格點(diǎn)，給出

下列三個(gè)命題：

①點(diǎn)a到點(diǎn)8的最短距離為VTU；

②點(diǎn)a到直線CD的距離為W；

③直線ZB、CD所交的銳角為45。；

其中，所有正確命題的序號(hào)為.（填序號(hào)）

52.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在7x5的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)4B,C都在格點(diǎn)

上，4D是BC邊上的中線，則4D的長(zhǎng)為（）

口題型14利用勾股定理逆定理求解

53.（2024?湖南.模擬預(yù)測(cè)）如圖，在AABC中，AB=AC,4。，8c交BC于點(diǎn)。，CE||AD,交B4的延長(zhǎng)線

于點(diǎn)E.

（1）試判斷線段CE與線段4D之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

（2）若4。=2,AE=2V2,請(qǐng)證明△2EC是等腰直角三角形.

54.（2024?廣東廣州?一模）如圖，點(diǎn)E為菱形2BCD的邊2D上一點(diǎn)，且力E=3,DE=2,點(diǎn)尸為對(duì)角線4C上

一動(dòng)點(diǎn)，若ADEF的周長(zhǎng)最小值為6,貝卜inNBCD=

17

55.（2023?貴州銅仁?三模）如圖，平行四邊形4BCD中以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交B4BC于F,G,

分別以點(diǎn)F,G為圓心大于［FG長(zhǎng)為半作弧，兩弧交于點(diǎn)”，作交4。于點(diǎn)E,連接CE,若AB=10,DE=

6,CE=8,貝UBE的長(zhǎng)為（）

A.2V41B.40V2C.4V5D.8V5

56.（2023?山東濟(jì)寧?一模）將一張以AB為邊的矩形紙片，先沿一條直線剪掉一個(gè)直角三角形，在剩下的紙

片中，再沿一條直線剪掉一個(gè)直角三角形（剪掉的兩個(gè)直角三角形相似），剩下的是如圖所示的四邊形紙片

ABCD,其中N4=90。，AB=9,BC=7,CD=6,AD=2,則剪掉的兩個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)可能是

喧鱷③1。或其中正確的序號(hào)是

口題型15利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題

57.（2024?河南周口?模擬預(yù)測(cè)）如圖，A,8兩地之間被一座大山擋在中間，導(dǎo)致一直沒(méi)有直通的公路，需

要繞行C地，嚴(yán)重阻礙了A,B兩地間的區(qū)域經(jīng)濟(jì)發(fā)展.為促進(jìn)區(qū)域經(jīng)濟(jì)發(fā)展，A,B兩地準(zhǔn)備通過(guò)開挖隧

道的方式修建一條直通4B兩地的公路.已知4C=60km,BC=90km,zC=60°,求48的長(zhǎng).（結(jié)果保留

根號(hào)）

58.（2024?福建三明?三模）綜合實(shí)踐：閱讀下列材料，解答問(wèn)題.

任務(wù)：如圖1,現(xiàn)要測(cè)量某校旗桿的高度（系在旗桿頂端的繩子垂到地面，并多出一小段）.

18

工具：一把皮尺（測(cè)量長(zhǎng)度達(dá)不到旗桿長(zhǎng)一半）.

李明學(xué)習(xí)小組測(cè)量過(guò)程和部分求解過(guò)程如下（如圖2）：

測(cè)量過(guò)程：

步驟1：測(cè)得多出一小段繩子的長(zhǎng)度為a（m）；

步驟2：將繩子拉直，繩子末端與地面接觸點(diǎn)為A,測(cè)得A點(diǎn)到旗桿底部C點(diǎn)距離4C=b（m）.

部分求解過(guò)程：

設(shè)旗桿高度BC=h,

?.,在RtAABC中，AACB=90°,

BC2+AC2=AB2.

"."AC=b,AB=h+a,

h2+b2=（h+a）2

（1）根據(jù)李明學(xué)習(xí)小組求解過(guò)程，請(qǐng)直接寫出旗桿高度h=—（用含a,b的代數(shù)式表示）；

（2）李明學(xué)習(xí)小組求解過(guò)程，所用到的幾何知識(shí)是—；

（3）請(qǐng)你利用所提供的工具，通過(guò)2次測(cè)量，設(shè)計(jì)另外一種方案，寫出你的測(cè)量和求解過(guò)程.（測(cè)量得到的長(zhǎng)

度用字母”表示）

59.（2024.安徽.一模）甲、乙兩船同時(shí)從4碼頭開出，45分鐘后，甲船到達(dá)B碼頭，乙船到達(dá)C碼頭；己知

甲船航行的速度是12海里/時(shí).乙船航行的速度是16海里/時(shí)，甲船航行的方向是北偏東40。，乙船航行的方

向是南偏東50。，求甲、乙兩船之間的距離BC.

19

B

60.（22-23八年級(jí)上?廣東深圳?期中）如圖所示，一艘輪船由A港口沿著北偏東60。的方向航行100km到達(dá)8

港口，然后再沿北偏西30。方向航行100km到達(dá)C港口.

（1）求A,C兩港口之間的距離；（結(jié)果保留根號(hào)）

（2）C港口在A港口的什么方向.

口題型16利用勾股定理逆定理解決實(shí)際問(wèn)題

61.（2024?廣東清遠(yuǎn).二模）綜合與實(shí)踐

主題：檢測(cè)雕塑（下圖）底座正面的邊力。和邊BC是否分別垂直于底邊4B.

素材：一個(gè)雕塑，一把卷尺.

步驟1：利用卷尺測(cè)量邊4D,邊BC和底邊4B的長(zhǎng)度，并測(cè)量出點(diǎn)8,D之間的距離;

步驟2：通過(guò)計(jì)算驗(yàn)證底座正面的邊4D和邊BC是否分別垂直于底邊力B.

圖1圖2

解決問(wèn)題：

（1）通過(guò)測(cè)量得到邊力D的長(zhǎng)是60厘米，邊4B的長(zhǎng)是80厘米，BD的長(zhǎng)是100厘米，邊力D垂直于邊力B嗎？為

什么？

20

（2）如果你隨身只有一個(gè)長(zhǎng)度為30cm的刻度尺，你能有辦法檢驗(yàn)邊4。是否垂直于邊48嗎？如果能，請(qǐng)寫出

你的方法，并證明.

62.（23-24八年級(jí)下.河北衡水.階段練習(xí)）如圖，某社區(qū)有一塊四邊形空地4BCD,AB=15m,CD=8m,

AD=17m.從點(diǎn)A修了一條垂直BC的小路4E（垂足為E）,E恰好是BC的中點(diǎn)，且4E=12m.

⑴求邊8c的長(zhǎng)；

（2）連接2C,判斷AADC的形狀；

（3）求這塊空地的面積.

□題型17最短距離問(wèn)題

63.（2024?廣東?模擬預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐

“轉(zhuǎn)化”是一種重要的數(shù)學(xué)思想，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題是轉(zhuǎn)化思想的一個(gè)重要方面.為了讓同學(xué)們探究

“轉(zhuǎn)化”思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師帶領(lǐng)學(xué)生研究幾何體的最短路線問(wèn)題：

問(wèn)題情境：

如圖1,一只螞蟻從點(diǎn)a出發(fā)沿圓柱側(cè)面爬行到點(diǎn)c,其最短路線正是側(cè)面展開圖中的線段ac,若圓柱的高

48為2cm.底面直徑BC為8cm.

O

圖1圖2

問(wèn)題解決：

（1）判斷最短路線的依據(jù)是；

（2）求出螞蟻沿圓柱側(cè)面爬行的最短路線4C的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)和it）；

拓展遷移：

如圖2,。為圓錐的頂點(diǎn)，M為底面圓周上一點(diǎn)，點(diǎn)P是。M的中點(diǎn)，母線。M=8,底面圓半徑為2,粗線為

螞蟻從點(diǎn)P出發(fā)繞圓錐側(cè)面爬行回到點(diǎn)P時(shí)所經(jīng)過(guò)的路徑的痕跡.

（3）請(qǐng)求出螞蟻爬行的最短距離.

64.（2023?湖北十堰?一模）如圖，這是一個(gè)供滑板愛好者使用的U形池，該U形池可以看作是一個(gè)長(zhǎng)方體去

21

掉一個(gè)“半圓柱”而成，中間可供滑行部分的截面是弧長(zhǎng)為12m的半圓，其邊緣48==20m（邊緣的寬

度忽略不計(jì)），點(diǎn)E在CO上，CE=4m.一滑板愛好者從/點(diǎn)滑到E點(diǎn)，則他滑行的最短距離為（）

A.28mB.24mC.20mD.18m

65.（2023?湖北十堰?三模）如圖，地面上有一個(gè)長(zhǎng)方體盒子，一只螞蟻在這個(gè)長(zhǎng)方體盒子的頂點(diǎn)A處，盒

子的頂點(diǎn)C'處有一小塊糖粒，螞蟻要沿著這個(gè)盒子的表面A處爬到C'處吃這塊糖粒，已知盒子的長(zhǎng)和寬為

均為20cm,高為30cm,則螞蟻爬行的最短距離為（）cm.

66.（2024?四川德陽(yáng)?二模）如圖，透明圓柱形容器（容器厚度忽略不計(jì)）的高為18cm,底面周長(zhǎng)為12cm,

在容器內(nèi)壁離容器底部7cm的A處有一飯粒，此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁且距離容器上沿1cm的點(diǎn)B處,

則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑長(zhǎng)度是—cm.

重難創(chuàng)新練

1.（2024?江蘇常州?中考真題）對(duì)于平面內(nèi)有公共點(diǎn)的兩個(gè)圖形，若將其中一個(gè)圖形沿著某個(gè)方向移動(dòng)一定

的距離d后與另一個(gè)圖形重合，則稱這兩個(gè)圖形存在“平移關(guān)聯(lián)”，其中一個(gè)圖形叫做另一個(gè)圖形的“平移關(guān)

聯(lián)圖形”.

22

-G

c

圖1圖2圖3

(1)如圖1,B、C、D是線段4E的四等分點(diǎn).若4E=4,則在圖中，線段AC的“平移關(guān)聯(lián)圖形”是,

d=(寫出符合條件的一種情況即可)；

(2)如圖2,等邊三角形力BC的邊長(zhǎng)是2.用直尺和圓規(guī)作出△ABC的一個(gè)“平移關(guān)聯(lián)圖形”，且滿足d=2(保

留作圖痕跡，不要求寫作法)；

(3)如圖3,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)。、E、G的坐標(biāo)分別是(—1,0)、(1,0)、(0,4),以點(diǎn)G為圓心，「為

半徑畫圓.若對(duì)OG上的任意點(diǎn)心連接DE、EF、FD所形成的圖形都存在“平移關(guān)聯(lián)圖形”，且滿足d23,

直接寫出r的取值范圍.

2.(2024?江蘇徐州?中考真題)在△ABC中，點(diǎn)。在邊上，^CD2=ADDB,則稱點(diǎn)2是點(diǎn)C的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”.

⑴如圖(1),在AABC中，若NACB=90。，CD1AB于點(diǎn)D.試說(shuō)明：點(diǎn)。是點(diǎn)C的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”.

(2)如圖(2),已知點(diǎn)D在線段4B上，用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作一個(gè)△ABC,使其同時(shí)滿足下列條件：①點(diǎn)。

為點(diǎn)C的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”；②乙4cB是鈍角(保留作圖痕跡，不寫作法).

(3)若AABC為銳角三角形，且點(diǎn)D為點(diǎn)C的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)設(shè)力。=爪，DB=n,用含小、n的代數(shù)式表示力C的取

值范圍(直接寫出結(jié)果).

3.(2024?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題)圖1、2是一個(gè)折疊梯的實(shí)物圖.圖3是折疊梯展開、折疊過(guò)程中的一個(gè)主

視圖.圖4是折疊梯充分展開后的主視圖，此時(shí)點(diǎn)E落在AC上，已知AB=2C,sinNBAC?點(diǎn)點(diǎn)、D、F、

G、/在48上，DE、FM,GH、JK均與BC所在直線平行，DE=FM=GH=JK=20cm,DF=FG=GJ=

30cm.點(diǎn)N在AC上，AN、MN的長(zhǎng)度固定不變.圖5是折疊梯完全折疊時(shí)的主視圖，此時(shí)2B、4C重合，

點(diǎn)E、M、H、N、K、。在48上的位置如圖所示.

【分析問(wèn)題】

(1)如圖5,用圖中的線段填空：AN=MN+EM+AD-；

(2)如圖4,sin乙MENa,由力N=EN+2E=EN+AD,且AN的長(zhǎng)度不變，可得MN與EN之

23

間的數(shù)量關(guān)系為

【解決問(wèn)題】

（3）求MN的長(zhǎng).

4.（2024.吉林長(zhǎng)春.中考真題）【問(wèn)題呈現(xiàn)】

小明在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)時(shí)遇到一個(gè)幾何問(wèn)題：如圖①,在等邊△48C中，48=3,點(diǎn)M、N分別在邊4C、

BC上，且4M=CN,試探究線段MN長(zhǎng)度的最小值.

【問(wèn)題分析】

小明通過(guò)構(gòu)造平行四邊形，將雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，再通過(guò)定角發(fā)現(xiàn)這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑，進(jìn)而

解決上述幾何問(wèn)題.

【問(wèn)題解決】

如圖②，過(guò)點(diǎn)C、M分別作MN、BC的平行線,并交于點(diǎn)P,作射線4P.在【問(wèn)題呈現(xiàn)】的條件下，完成下

列問(wèn)題:

圖③

（1）證明：AM=MP；

（2）N01P的大小為一度，線段長(zhǎng)度的最小值為

【方法應(yīng)用】

某種簡(jiǎn)易房屋在整體運(yùn)輸前需用鋼絲繩進(jìn)行加固處理，如圖③.小明收集了該房屋的相關(guān)數(shù)據(jù)，并畫出了

示意圖，如圖④，AABC是等腰三角形，四邊形8CDE是矩形，2B=AC=CD=2米，N2CB=30。.MN是

一條兩端點(diǎn)位置和長(zhǎng)度均可調(diào)節(jié)的鋼絲繩，點(diǎn)M在4C上，點(diǎn)N在DE上.在調(diào)整鋼絲繩端點(diǎn)位置時(shí)，其長(zhǎng)度

也隨之改變，但需始終保持AM=DN.鋼絲繩MN長(zhǎng)度的最小值為多少米.

5.（2024?河南?中考真題）綜合與實(shí)踐

24

在學(xué)習(xí)特殊四邊形的過(guò)程中，我們積累了一定的研究經(jīng)驗(yàn)，請(qǐng)運(yùn)用已有經(jīng)驗(yàn)，對(duì)“鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形”進(jìn)行研究

定義：至少有一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形.

（1）操作判斷

用分別含有30。和45。角的直角三角形紙板拼出如圖1所示的4個(gè)四邊形，其中是鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形的有

（填序號(hào)）.

（2）性質(zhì)探究

根據(jù)定義可得出鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形的邊、角的性質(zhì).下面研究與對(duì)角線相關(guān)的性質(zhì).

如圖2,四邊形4BCD是鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形，AB=AD,AC是它的一條對(duì)角線.

①寫出圖中相等的角，并說(shuō)明理由；

②若BC=m,DC=n,乙BCD—26,求2C的長(zhǎng)（用含m,n,。的式子表示）.

（3）拓展應(yīng)用

如圖3,在Rt△4BC中，乙8=90。，AB=3,BC=4,分別在邊BC,AC上取點(diǎn)M,N,使四邊形4BMN是

鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形.當(dāng)該鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形僅有一組鄰邊相等時(shí)，請(qǐng)直接寫出BN的長(zhǎng).

真題實(shí)戰(zhàn)練

1.（2024.山東濟(jì)寧?中考真題）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,￡是AB的中點(diǎn)，連接OE.若

OE=3,則菱形的邊長(zhǎng)為（）

25

A.6B.8C.10D.12

2.（2024.黑龍江大興安嶺地?中考真題）如圖，A4BC內(nèi)接于。。，4。是直徑，若=25。，貝吐C4D

3.（2024?甘肅臨夏?中考真題）如圖，等腰AABC中，AB=AC=2,^BAC=120°,將A/IBC沿其底邊中線

4。向下平移，使4的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A滿足44'則平移前后兩三角形重疊部分的面積是.

4.（2024?江蘇徐州?中考真題）如圖，在徐州云龍湖旅游景區(qū)，點(diǎn)4為“彭城風(fēng)華”觀演場(chǎng)地，點(diǎn)B為“水族展

覽館”，點(diǎn)C為“徐州漢畫像石藝術(shù)館”.已知NBAC=60°,ABCA=45°,AC=1640m.求“彭城風(fēng)華”觀演

場(chǎng)地與“水族展覽館”之間的距離4B（精確到1m）.（參考數(shù)據(jù)：V2~1.41,V3-1.73）

5.（2024?湖南長(zhǎng)沙?中考真題）如圖，在RtAABC中，AACB=90°,AB=2瓜AC=2,分別以點(diǎn)A,B

為圓心，大于14B的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧分別交于點(diǎn)加和N,作直線MN分別交4B,BC于點(diǎn)D,E,連接

CD,AE.

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⑴求CD的長(zhǎng)；

⑵求△ACE的周長(zhǎng).

6.（2024?山東淄博?中考真題）《九章算術(shù)》中提到：今有戶高多于廣六尺八寸.兩隅相去適一丈.問(wèn)戶高、

廣各幾何？其大意為：己知矩形門的高比寬多6尺