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文檔簡(jiǎn)介
第四章三角形
第19講直角三角形
口題型11趙爽弦圖
模擬基礎(chǔ)練
?□題型12利用勾股定理構(gòu)造圖形解決實(shí)際問(wèn)題
口題型13在網(wǎng)格中判斷直角三角形
□題型01由直角三角形的性質(zhì)求解
口題型14利用勾股定理逆定理求解
口題型02根據(jù)已知條件判定直角三角形
口題型15利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題
口題型03利用勾股定理求解
□題型16利用勾股定理逆定理解決實(shí)際問(wèn)題
口題型04判斷勾股數(shù)問(wèn)題
口題型17最短距離問(wèn)題
□題型05以直角三角形三邊為邊長(zhǎng)的圖形面積
口題型06勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題重難創(chuàng)新練
口題型07勾股定理與折疊問(wèn)題
口題型08勾股定理與無(wú)理數(shù)問(wèn)題
口題型09利用勾股定理證明線段的平方關(guān)系真題實(shí)戰(zhàn)練
口題型10勾股定理的證明方法
模擬基礎(chǔ)練?
口題型01由直角三角形的性質(zhì)求解
1.(2023?山東濟(jì)南?三模)將正六邊形與正方形按如圖所示擺放,且正六邊形的邊力B與正方形的邊CD在同
一條直線上,則NBOC的度數(shù)是
2.(2024?山西?模擬預(yù)測(cè))如圖,在AABC中,AB=AC,ABAC=120°,分別以點(diǎn)4,C為圓心,大于24c的
長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧分別相交于點(diǎn)E,F,連接EF交邊BC于點(diǎn)。,連接力D.若BD=8,則△2CD的周長(zhǎng)
3.(2024?河北?模擬預(yù)測(cè))如圖,在RtAABC,^BAC=90°,4D是BC邊上的高,以點(diǎn)B為圓心,適當(dāng)長(zhǎng)為
半徑畫弧,分別交ZB,8C于點(diǎn)M,N,分別以點(diǎn)M,N為圓心,大于]MN長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)P,
作射線BP交4C于點(diǎn)E,交4。于點(diǎn)R下列說(shuō)法不一定正確的是()
B.7./.ABE=/.CAD
C.BF=2DFD.AF=AE
4.(2024貴州貴陽(yáng)二模)如圖,菱形4孔。的對(duì)角線47、8。相交于點(diǎn)0,過(guò)點(diǎn)4作4石1屋于點(diǎn)£,若。8=4,
S菱形4BCD=16,貝UOE的長(zhǎng)為()
C.2D.V5
□題型02根據(jù)已知條件判定直角三角形
5.(23-24七年級(jí)下.陜西西安?期末)在△ABC中,乙4,乙B,NC的對(duì)邊分別是a,b,c,下列條件:
①NA=ZC-ZB;
②(a+6)(a—b)=c2;
③a=32,b—42,c=52;
④乙4:NB:NC=3:4:5,其中可以判定△ABC是直角三角形的有個(gè).
6.(2024?陜西模擬預(yù)測(cè))如圖,在AABC中,。為邊8C上一點(diǎn),。。過(guò)點(diǎn)C,且與4B相切于點(diǎn)。,連接CD,
OD,AD=AC.
2
(1)求證:△ABC為直角三角形.
(2)延長(zhǎng)D。與。。交于點(diǎn)E,連接CE,若AD=DE=6,求CE的長(zhǎng).
7.(2024?河北秦皇島?一模)如圖,在等邊AABC中,AB=10,P為BC上一點(diǎn)(不與點(diǎn)8,C重合),過(guò)點(diǎn)
尸作PM18C于點(diǎn)P,交線段48于點(diǎn)將PM繞點(diǎn)尸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。,交線段4C于點(diǎn)N,連接MN,有三位
同學(xué)提出以下結(jié)論:
嘉嘉:△PNC為直角三角形.
淇淇:當(dāng)AM=2時(shí),AN=7.
珍珍:在點(diǎn)P移動(dòng)的過(guò)程中,MN不存在平行于BC的情況.
下列說(shuō)法正確的是()
A.只有嘉嘉正確B.嘉嘉和淇淇正確
C.淇淇和珍珍正確D.三人都正確
口題型03利用勾股定理求解
8.(2024?廣東深圳?模擬預(yù)測(cè))如圖,。是坐標(biāo)原點(diǎn),菱形。ABC的頂點(diǎn)C在彳軸的負(fù)半軸上,4C=3,BO=4,
9.(2024?河南鶴壁?模擬預(yù)測(cè))如圖,P4與。。相切于點(diǎn)A,P。與弦4B相交于點(diǎn)C,OB1OP,若OB=3,
OC=1,貝/力的長(zhǎng)為.
3
A
10.(2024?貴州?模擬預(yù)測(cè))下面是多媒體上的一道試題:
如圖,在菱形ABC。中,過(guò)點(diǎn)B作BE1CD于點(diǎn)E,點(diǎn)F在邊48上,AF=CE,連接B。,DF.求
證:四邊形BFDE是矩形.
下面是兩位同學(xué)的對(duì)話:
,'小星:先證明四邊形8FDE,小紅:先證明與△C8E全、
t一片是平行四邊形,然后利用矩等,然后利用“有三個(gè)角是直角;
;、形定義即可得證.,、的四邊形是矩形”即可得證.;
、一一,、___________________________/
(1)請(qǐng)你選擇一位同學(xué)的說(shuō)法,并證明;
(2)若BE=2百,DE=2,求菱形4BCD的周長(zhǎng).
11.(2024四川眉山.二模)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,己知點(diǎn)4(1,0),B(1-a,0),C(1+a,0)(a>0),
點(diǎn)P在以。(4,4)為圓心,1為半徑的圓周上運(yùn)動(dòng),且始終滿足NBPC=90°,則a的最小值是().
A.V3B.4C.6D.2V3
口題型04判斷勾股數(shù)問(wèn)題
12.(2024?四川德陽(yáng)?二模)勾股定理最早出現(xiàn)在商高的《周髀算經(jīng)》:“勾廣三,股修四,經(jīng)隅五”.觀察下
列勾股數(shù):3,4,5:5,12,13;7,24,25;…這類勾股數(shù)的特點(diǎn)是:勾為奇數(shù),弦與股相差為1.柏拉
圖研究了勾為偶數(shù),弦與股相差為2的一類勾股數(shù),如6,8,10;8,15,17;…若此類勾股數(shù)的勾為2m(機(jī)2
3,相為正整數(shù)),則其股是(結(jié)果用含機(jī)的式子表示).
13.(2024?山東淄博二模)觀察下列幾組勾股數(shù):①3、4、5;②5、12、13;③7、24、25;④9、40、41;...
根據(jù)上面的規(guī)律,寫出第8組勾股數(shù):.
14.(2024?河北滄州.一模)當(dāng)直角三角形的三邊長(zhǎng)都是正整數(shù)時(shí),我們稱這三個(gè)正整數(shù)為勾股數(shù).
(1)若a,6為一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng),c為斜邊長(zhǎng),a,b,c為勾股數(shù),且a=7i+7,c=n+8,n
4
為正整數(shù),求6的值(用含"的式子表示),并直接寫出符合題意的最小的6值.
(2)當(dāng)w是大于1的整數(shù)時(shí),判斷2",n2-l,1+1是否是勾股數(shù),并說(shuō)明理由.
15.(2024.四川成都.模擬預(yù)測(cè))一個(gè)直角三角形的邊長(zhǎng)都是整數(shù),則稱這種直角三角形為“完美勾股三角形”,
上為其面積和周長(zhǎng)的比值.當(dāng)k=2時(shí),滿足條件的“完美勾股三角形”的周長(zhǎng)為;當(dāng)0<kWl時(shí),
若存在“完美勾股三角形“,貝艮=.
口題型05以直角三角形三邊為邊長(zhǎng)的圖形面積
16.(2024.河北唐山?三模)如圖,所有陰影部分的四邊形都是正方形,所有三角形都是直角三角形,若正
方形4、B、。的面積依次為5、13、30,則正方形C的面積為()
17.(2024?甘肅天水?二模)我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一,早在三千多年前,周朝數(shù)學(xué)家商高就提
出了“勾三、股四、弦五”這一結(jié)論.勾股定理與圖形的面積存在密切的關(guān)系,如圖,這是由兩個(gè)直角三角形
和三個(gè)正方形組成的圖形,若APEF的面積為6,則陰影部分的周長(zhǎng)為—.
18.(2021?浙江金華?中考真題)如圖,在等腰RM4BC中,^ACB=90°,以該三角形的三條邊為邊向形外
作正方形,正方形的頂點(diǎn)民F,G,H,M,N都在同一個(gè)圓上.記該圓面積為I,△28C面積為S2,則金的值是()
S2
57r117T
A.B.3nC.57rD.
22
19.(2023?河北石家莊?模擬預(yù)測(cè))如圖所示,在Rt2kABC中,Z.BCA=90°,Nb4c=30。,分別以三條邊
BC,AC,ZB為一邊,在的外部作正五邊形,三個(gè)五邊形的面積分別記作Si,S2,S3,則下列結(jié)論不
5
正確的是()
A.S1+S2=S3B.11=|C.=iD.底=苧店
?2J?JO-4
20.(2022?浙江寧波?模擬預(yù)測(cè))如圖①,分別以RtAPMN的各邊為一邊向外作三個(gè)三角形,使41=43=45,
Z2=Z4=Z6,再按圖②的方式將兩個(gè)較小的三角形放在最大的三角形內(nèi),使4B=MN,AD=PM,BF=
PN,AGFB=AA=Z2.若要求出ACEH的面積,則需要知道下列哪個(gè)圖形的面積()
N
A
①②
A.四邊形CZFGB.四邊形EDBCC.AGFBD.\HFD
口題型06勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題
21.(2024?內(nèi)蒙古包頭.模擬預(yù)測(cè))如圖,在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中,點(diǎn)4、B、C、D、E都在小正方形格點(diǎn)
的位置上,連接ZB,CD相交于點(diǎn)P,根據(jù)圖中提示所添加的輔助線,可以求得tan/BPC的值是()
A.-B.—C.2D.V5
25
22.(2024?云南昆明?模擬預(yù)測(cè))如圖是由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的8X6的網(wǎng)格,其中點(diǎn)O,A,B均在格
點(diǎn)上,將扇形20B圍成一個(gè)圓錐,則該圓錐的底面半徑為.
6
23.(2024?廣東清遠(yuǎn)?模擬預(yù)測(cè))如圖,象棋盤中各個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1.“馬”從圖中的位置出發(fā),不走重
復(fù)路線,按照馬走日的規(guī)則,走兩步后的落點(diǎn)與出發(fā)點(diǎn)間的最遠(yuǎn)距離為.
24.(2024?陜西西安.模擬預(yù)測(cè))如圖,△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為4(4,4),2(4,1),C(2,l).將△ABC關(guān)于原
點(diǎn)0中心對(duì)稱得到△
(1)畫出△AiZG;
(2)點(diǎn)名的坐標(biāo)為,點(diǎn)C、G之間的距離是
口題型07勾股定理與折疊問(wèn)題
25.(2024?廣東深圳?模擬預(yù)測(cè))如圖,在RtaABC中,^ACB=90°,AC=6,BC=8,E是AB中點(diǎn),F(xiàn)是
BC上一點(diǎn),沿著E尸折疊AB'EF,若AB'=2,貝.
26.(2024.河南.模擬預(yù)測(cè))如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(一5,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)是(0,12),點(diǎn)M
是。8上一點(diǎn),將△力8M沿4M折疊,點(diǎn)B恰好落在x軸上的點(diǎn)B'處,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為()
7
AO\
A.(0,5)B.(0,y)C.(O,2V3)D.(0,y)
27.(2024?四川綿陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))如圖,在ATIBC中,AC=BC,zC=90°,將△28C沿EF折疊,使點(diǎn)2落
在北邊上的點(diǎn)。處,若含=[,則器的值為.
28.(2024?浙江?模擬預(yù)測(cè))綜合與實(shí)踐
【問(wèn)題情境】
在一次數(shù)學(xué)探究課上,老師帶領(lǐng)大家一起研究特殊三角形的性質(zhì).
圓圓小組對(duì)直角三角形進(jìn)行了各種類型的折疊探究,并嘗試用數(shù)學(xué)方法說(shuō)明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.
類型1.如圖1,沿著DE折疊,使點(diǎn)8與點(diǎn)4重合,折痕交48于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)。,他們發(fā)現(xiàn):點(diǎn)。的位置
與4C和BC的長(zhǎng)有關(guān).
問(wèn)題1.若BC=3,AC=1,貝!JBD=.
【變式探究】
類型2.如圖2,點(diǎn)。為CB上一點(diǎn),沿著4。折疊,2C恰好落在4B上,點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)為C',折痕交BC于點(diǎn)D.
問(wèn)題2.①若震=|,則詈=_.
②請(qǐng)猜測(cè)案與篙有何關(guān)系,并證明.
8
【拓展思考】
方方小組對(duì)等腰三角形進(jìn)行了各種折疊探究.如圖3,在等腰三角形4BC中,BC為底邊,乙4為鈍角,點(diǎn)。為
邊4C上一點(diǎn),將44BD沿直線BD翻折得到4A'BD.
問(wèn)題3.若AD=CD=4,A'C=6,求BD的長(zhǎng).
口題型08勾股定理與無(wú)理數(shù)問(wèn)題
29.(2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè))如圖,在數(shù)軸上點(diǎn)2表示原點(diǎn),點(diǎn)B表示的數(shù)為2,AB1BC,垂足為B,且
BC=3,以點(diǎn)4為圓心,AC長(zhǎng)為半徑畫弧,交數(shù)軸正半軸于點(diǎn)。,則點(diǎn)。表示的數(shù)為.
-1012345
30.(2024.甘肅天水.一模)如圖,在數(shù)軸上,OB=1,過(guò)。作直線11。8于點(diǎn)O,在直線/上截取。4=2,
且A在。C上方.連接以點(diǎn)8為圓心,4B為半徑作弧交直線OB于點(diǎn)C,則C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為.
31.(2020?山西?三模)嘉淇學(xué)習(xí)了“數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系”后,便嘗試在數(shù)軸上找一個(gè)表示無(wú)
理數(shù)的點(diǎn).如圖,數(shù)軸的原點(diǎn)為O,RtAAOB中,Z.OAB=90°,邊4。在數(shù)軸上,AB=3,以點(diǎn)。為圓心,
0B長(zhǎng)為半徑作弧,交數(shù)軸負(fù)半軸于點(diǎn)C,則點(diǎn)C所表示的數(shù)介于()
9
B
B.—2和一3之間
C.一3和一4之間D.一4和一5之間
32.(2023?廣東深圳?二模)數(shù)形結(jié)合是解決代數(shù)類問(wèn)題的重要思想,在比較e+1與店的大小時(shí),可以通
過(guò)如圖所示幾何圖形解決問(wèn)題:若要比較加+3與舊的大小,以下數(shù)形結(jié)合正確的是()
口題型09利用勾股定理證明線段的平方關(guān)系
33.(2024.安徽合肥.模擬預(yù)測(cè))如圖,四邊形48CD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O,/.BAD=乙BCD=90°,
48=2。,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()
A.4C平分N8CDB.BC+CD=近AC
C.OA2+OC2=OB2+OD2D.AC2-AB2=BC-CD
34.(2024?河北.模擬預(yù)測(cè))如圖1,正方形4BCD與斜邊為BC的Rt△48C按如圖所示的方式放在同一平面
內(nèi),使點(diǎn)4與A重合,點(diǎn)。在上,BCWA'C,其中4C=4L=6,正方形4夕C:D固定不動(dòng).
10
(1)求a'。的長(zhǎng)和NC的度數(shù).
(2)將ABAC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),當(dāng)4C與4C'重合后,立刻沿射線4C'方向平移,點(diǎn)。在邊上時(shí)停
止.
①求邊力B旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)掃過(guò)的面積;
②求平移結(jié)束時(shí),正方形力'9LD與RtAABC重疊部分的面積S.
(3)如圖2,若將(2)中的旋轉(zhuǎn)和平移同時(shí)進(jìn)行,設(shè)邊48與邊4D的交點(diǎn)為邊力C與邊的交點(diǎn)為N,4M=a,
AC=VkAA',直接寫出在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中DM?+DN2的值.(用含°,左的式子表示)
35.(2024?江蘇鹽城?三模)【閱讀發(fā)現(xiàn)】
小明在閱讀數(shù)學(xué)課外讀物時(shí),讀到了海倫一一秦九韶公式.他了解到海倫公式和秦九韶公式分別是由古希
臘的幾何家海倫和我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶提出的.這兩個(gè)公式有什么關(guān)系呢?于是小明進(jìn)行了下列思
考:
兩個(gè)公式:
海倫公式:已知一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,設(shè)p=:(a+b+c),那么這個(gè)三角形的面積5=
Jp(p-a)(p-b)(p-c);
秦九韶公式:已知一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a,b,C,那么這個(gè)三角形的面積s=Jipirrpi+piyj.
圖1圖2
【嘗試應(yīng)用】
(1)已知一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別4,5,6.請(qǐng)任選一個(gè)公式算出這個(gè)三角形的面積為;請(qǐng)用學(xué)過(guò)
的知識(shí)來(lái)解這個(gè)三角形的面積.
(2)己知一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,試求出這個(gè)三角形面積的一般表達(dá)形式.(用a,b,c表示)
【發(fā)現(xiàn)關(guān)聯(lián)】
思考關(guān)聯(lián):請(qǐng)你由秦九韶公式S=4式2—(竺17)2]推導(dǎo)到海倫公式:s=dp(p-a)(p-b)(p-c),
p=[(a+b+c).
口題型10勾股定理的證明方法
11
36.(2022.河北邯鄲.三模)在證明勾股定理時(shí),甲、乙兩位同學(xué)分別設(shè)計(jì)了如下方案:
甲乙
如圖是兩個(gè)全等的直角三角板ABC和直角三角板
如圖,用四個(gè)全等的直角三角形拼成,其中四邊形
DEF,頂點(diǎn)尸在BC邊上,頂點(diǎn)C,。重合,通過(guò)用兩
ABOE和四邊形CF均是正方形,通過(guò)用兩種方法
種方法表示四邊形ACBE的面積來(lái)進(jìn)行證明.
表示正方形ABDE的面積來(lái)進(jìn)行證明.
E
-A
C(D)F
對(duì)于甲、乙分別設(shè)計(jì)的兩種方案,下列判斷正確的是()
A.甲、乙均對(duì)B.甲對(duì)、乙不對(duì)C.甲不對(duì),乙對(duì)D.甲、乙均不對(duì)
37.(2023?遼寧阜新?二模)動(dòng)手實(shí)踐、歸納和猜想是我們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的重要一環(huán),你也來(lái)試試吧!
(1)如圖,兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為小爪c的直角三角形和一個(gè)兩條直角邊都是c的直角三角形拼成一個(gè)梯形.用兩
種不同的方法計(jì)算梯形的面積,得到我們學(xué)習(xí)過(guò)的一個(gè)重要公式,
請(qǐng)你寫出來(lái):面積等式為,結(jié)論為;
(2加邊形有n個(gè)頂點(diǎn),在它的內(nèi)部再畫小個(gè)點(diǎn),以(爪+九)個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn),把n邊形剪成若干個(gè)三角形,設(shè)最多
可以剪得y個(gè)這樣的三角形.當(dāng)n=3,爪=3時(shí),如圖,最多可以剪得7個(gè)這樣的三角形,所以y=7.
①當(dāng)?1=4,爪=2時(shí),如圖,y—;
當(dāng)n=5,m=時(shí),y=9;
②對(duì)于一般的情形,在n邊形內(nèi)畫m個(gè)點(diǎn),通過(guò)歸納猜想,可得y=(用含加、n的代數(shù)式表示).
38.(2022?江蘇鹽城?三模)2000多年來(lái),人們對(duì)勾股定理的證明頻感興趣,不但因?yàn)檫@個(gè)定理重要、基本
還因?yàn)檫@個(gè)定理貼近人們的生活實(shí)際所以很多人都探討、研究它的證明,新的證法不斷出現(xiàn),如圖2是將
圖1中的直角三角形通過(guò)旋轉(zhuǎn)、平移得到的正方形48CD.
12
(1)請(qǐng)你利用圖2證明勾股定理;
⑵如圖3,以MN為直徑畫圓。,延長(zhǎng)CF交DM于點(diǎn)E,判斷直線CE與。。的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(3)若b=3a,則圖3中陰影部分的面積為(用含a的式子表示)
39.(2022?廣東佛山?三模)幾千年來(lái),在勾股定理的多種證明方法中,等面積法是典型的一種證法,清代
數(shù)學(xué)家李銳運(yùn)用這一方法借助三個(gè)正方形也證明了勾股定理.如圖,四邊形4BCD,四邊形DEFG,四邊形
CG”/均為正方形,EF交BG于點(diǎn)、L,DG交IH于點(diǎn)、K,點(diǎn)、B,L,C,G在同條直線上,若S“DE=16,S.HK=9,
記四邊形DELC的面積為£,四邊形CGK/的面積為S2,則引的值為()
37716
A.D.
4459
40.(2024.陜西西安.模擬預(yù)測(cè))如圖所示的圖案是我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》中“趙爽弦圖”
經(jīng)修飾后的圖形,四邊形48CD與四邊形EFG”均為正方形,點(diǎn)”是DE的中點(diǎn),陰影部分的面積為27,貝
的長(zhǎng)為
41.(2024.廣東清遠(yuǎn).模擬預(yù)測(cè))三國(guó)時(shí)代吳國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽第一次對(duì)勾股定理加以證明:用4個(gè)全等的直角
三角形拼成如圖所示“弦圖RtZkABC中,乙4cB=90。,AC=b,BC=a,AB=c,大正方形的面積
=小正方形的面積+4個(gè)直角三角形的面積,化簡(jiǎn)證得勾股定理:a2+b2=c2.
13
(1)若b=2a,則S小正方形:S大正方形=_;
(2)如果大正方形的面積是13,a=2,求小正方形的面積.
□題型11趙爽弦圖
42.(2024?河北.模擬預(yù)測(cè))如圖1,嘉嘉用四個(gè)全等的直角三角形拼接了一個(gè)“趙爽弦圖”,其中大正方形48CD
的面積為25,小正方形EFGH的面積為1.
圖I
(1)如圖2,連接DG,CF,BE,得到一個(gè)風(fēng)車圖案(陰影部分),則風(fēng)車圖案的周長(zhǎng)為
(2)如圖3,連接AC,交8G于點(diǎn)P,交DE于點(diǎn)M,則SUFP-SACGP=.
43.(2024?山東濟(jì)南?二模)公元三世紀(jì),我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出了“趙爽弦圖”.將
兩個(gè)大小相同的“趙爽弦圖”(如圖1)中的兩個(gè)小正方形和八個(gè)直角三角形按圖2方式擺放圍成邊長(zhǎng)為10
的正方形ABCD,則空白部分面積為
44.(2024?浙江杭州?一模)如圖,是我國(guó)漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的,人們稱它為“趙爽弦圖”,
它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成的一個(gè)大正方形.
14
(1)連接BF,若F恰為4G中點(diǎn),則N8FG的度數(shù)為°;
(2)連接CF,若AABF與AFEC的面積相等,DF=2,則4F的長(zhǎng)為
口題型12利用勾股定理構(gòu)造圖形解決實(shí)際問(wèn)題
45.(2023?四川瀘州?一模)我國(guó)古代偉大的數(shù)學(xué)家劉徽將直角三角形分割成一個(gè)正方形和兩對(duì)全等的直角
三角形,如圖所示的矩形由兩個(gè)這樣的圖形拼成.若a=6,b=8,則該矩形的面積為()
c-VD.90
46.(24-25八年級(jí)上?山西太原?階段練習(xí))如圖是一所大型游樂(lè)場(chǎng),工人在對(duì)游樂(lè)設(shè)施進(jìn)行測(cè)試.大擺錘從
高為9m的房屋A處,劃過(guò)90。到達(dá)與房屋A水平距離為17m,高為2m的房屋2處,求大擺錘的長(zhǎng)度。N=_
m.
47.(2024?貴州?模擬預(yù)測(cè))意大利著名畫家達(dá)芬奇用如圖所示的方法證明了勾股定理,圖2是將圖1沿直
線FD剪開,將右半部分上下翻轉(zhuǎn)得到的圖形,其中四邊形4FEG,四邊形CDBG與四邊形均為正方
形,若圖1中空白部分面積為37,線段的長(zhǎng)為7,則圖2中兩個(gè)直角三角形的面積和為()
15
圖1圖2
A.6B.12C.15D.25
48.(2022.江西九江.二模)俊俊和霞霞共同合作將一張長(zhǎng)為魚,寬為1的矩形紙片進(jìn)行裁剪(共裁剪三次),
裁剪出來(lái)的圖形剛好是4個(gè)等腰三角形(無(wú)紙張剩余).霞霞說(shuō):“有一個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)是1”;俊俊說(shuō):
“有一個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)是應(yīng)-1”;那么另外兩個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)可能是.
口題型13在網(wǎng)格中判斷直角三角形
49.(2024.黑龍江哈爾濱.三模)如圖,網(wǎng)格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,線段AB,CD的端點(diǎn)均在小正
(1)在圖中畫出以4B為斜邊的等腰直角△ABE,點(diǎn)E在小正方形的頂點(diǎn)上;
(2)在圖中畫出以CD為腰的等腰ACDF,其△CDF的面積為4,點(diǎn)尸在正方形的頂點(diǎn)上;
(3)連接EF,請(qǐng)直寫出線段所的長(zhǎng).
50.(23-24九年級(jí)下.吉林.階段練習(xí))圖①、圖②、圖③均是6義6的正方形網(wǎng)格,每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)為格
點(diǎn),△力BC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.在圖①、圖②、圖③給定的網(wǎng)格中,只用無(wú)刻度的直尺,按要求畫圖,保留
作圖痕跡,不要求寫出畫法.
m
BBB
圖①圖②圖③
(1)圖①中,ANBC的形狀是..
(2)圖②中,在AB邊上取一點(diǎn)D,連接CD,使CD=之力B.
(3)圖③中,在AB邊上取一點(diǎn)E,連接CE,使CE為N4C8的平分線.
16
51.(2024.江蘇無(wú)錫?一模)如圖,在網(wǎng)格圖中(每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1),點(diǎn)4、B、C,。均為格點(diǎn),給出
下列三個(gè)命題:
①點(diǎn)a到點(diǎn)8的最短距離為VTU;
②點(diǎn)a到直線CD的距離為W;
③直線ZB、CD所交的銳角為45。;
其中,所有正確命題的序號(hào)為.(填序號(hào))
52.(2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè))如圖,在7x5的網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)4B,C都在格點(diǎn)
上,4D是BC邊上的中線,則4D的長(zhǎng)為()
口題型14利用勾股定理逆定理求解
53.(2024?湖南.模擬預(yù)測(cè))如圖,在AABC中,AB=AC,4。,8c交BC于點(diǎn)。,CE||AD,交B4的延長(zhǎng)線
于點(diǎn)E.
(1)試判斷線段CE與線段4D之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.
(2)若4。=2,AE=2V2,請(qǐng)證明△2EC是等腰直角三角形.
54.(2024?廣東廣州?一模)如圖,點(diǎn)E為菱形2BCD的邊2D上一點(diǎn),且力E=3,DE=2,點(diǎn)尸為對(duì)角線4C上
一動(dòng)點(diǎn),若ADEF的周長(zhǎng)最小值為6,貝卜inNBCD=
17
55.(2023?貴州銅仁?三模)如圖,平行四邊形4BCD中以點(diǎn)B為圓心,適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧,交B4BC于F,G,
分別以點(diǎn)F,G為圓心大于[FG長(zhǎng)為半作弧,兩弧交于點(diǎn)”,作交4。于點(diǎn)E,連接CE,若AB=10,DE=
6,CE=8,貝UBE的長(zhǎng)為()
A.2V41B.40V2C.4V5D.8V5
56.(2023?山東濟(jì)寧?一模)將一張以AB為邊的矩形紙片,先沿一條直線剪掉一個(gè)直角三角形,在剩下的紙
片中,再沿一條直線剪掉一個(gè)直角三角形(剪掉的兩個(gè)直角三角形相似),剩下的是如圖所示的四邊形紙片
ABCD,其中N4=90。,AB=9,BC=7,CD=6,AD=2,則剪掉的兩個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)可能是
喧鱷③1。或其中正確的序號(hào)是
口題型15利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題
57.(2024?河南周口?模擬預(yù)測(cè))如圖,A,8兩地之間被一座大山擋在中間,導(dǎo)致一直沒(méi)有直通的公路,需
要繞行C地,嚴(yán)重阻礙了A,B兩地間的區(qū)域經(jīng)濟(jì)發(fā)展.為促進(jìn)區(qū)域經(jīng)濟(jì)發(fā)展,A,B兩地準(zhǔn)備通過(guò)開挖隧
道的方式修建一條直通4B兩地的公路.已知4C=60km,BC=90km,zC=60°,求48的長(zhǎng).(結(jié)果保留
根號(hào))
58.(2024?福建三明?三模)綜合實(shí)踐:閱讀下列材料,解答問(wèn)題.
任務(wù):如圖1,現(xiàn)要測(cè)量某校旗桿的高度(系在旗桿頂端的繩子垂到地面,并多出一小段).
18
工具:一把皮尺(測(cè)量長(zhǎng)度達(dá)不到旗桿長(zhǎng)一半).
李明學(xué)習(xí)小組測(cè)量過(guò)程和部分求解過(guò)程如下(如圖2):
測(cè)量過(guò)程:
步驟1:測(cè)得多出一小段繩子的長(zhǎng)度為a(m);
步驟2:將繩子拉直,繩子末端與地面接觸點(diǎn)為A,測(cè)得A點(diǎn)到旗桿底部C點(diǎn)距離4C=b(m).
部分求解過(guò)程:
設(shè)旗桿高度BC=h,
?.,在RtAABC中,AACB=90°,
BC2+AC2=AB2.
"."AC=b,AB=h+a,
h2+b2=(h+a)2
(1)根據(jù)李明學(xué)習(xí)小組求解過(guò)程,請(qǐng)直接寫出旗桿高度h=—(用含a,b的代數(shù)式表示);
(2)李明學(xué)習(xí)小組求解過(guò)程,所用到的幾何知識(shí)是—;
(3)請(qǐng)你利用所提供的工具,通過(guò)2次測(cè)量,設(shè)計(jì)另外一種方案,寫出你的測(cè)量和求解過(guò)程.(測(cè)量得到的長(zhǎng)
度用字母”表示)
59.(2024.安徽.一模)甲、乙兩船同時(shí)從4碼頭開出,45分鐘后,甲船到達(dá)B碼頭,乙船到達(dá)C碼頭;己知
甲船航行的速度是12海里/時(shí).乙船航行的速度是16海里/時(shí),甲船航行的方向是北偏東40。,乙船航行的方
向是南偏東50。,求甲、乙兩船之間的距離BC.
19
B
60.(22-23八年級(jí)上?廣東深圳?期中)如圖所示,一艘輪船由A港口沿著北偏東60。的方向航行100km到達(dá)8
港口,然后再沿北偏西30。方向航行100km到達(dá)C港口.
(1)求A,C兩港口之間的距離;(結(jié)果保留根號(hào))
(2)C港口在A港口的什么方向.
口題型16利用勾股定理逆定理解決實(shí)際問(wèn)題
61.(2024?廣東清遠(yuǎn).二模)綜合與實(shí)踐
主題:檢測(cè)雕塑(下圖)底座正面的邊力。和邊BC是否分別垂直于底邊4B.
素材:一個(gè)雕塑,一把卷尺.
步驟1:利用卷尺測(cè)量邊4D,邊BC和底邊4B的長(zhǎng)度,并測(cè)量出點(diǎn)8,D之間的距離;
步驟2:通過(guò)計(jì)算驗(yàn)證底座正面的邊4D和邊BC是否分別垂直于底邊力B.
圖1圖2
解決問(wèn)題:
(1)通過(guò)測(cè)量得到邊力D的長(zhǎng)是60厘米,邊4B的長(zhǎng)是80厘米,BD的長(zhǎng)是100厘米,邊力D垂直于邊力B嗎?為
什么?
20
(2)如果你隨身只有一個(gè)長(zhǎng)度為30cm的刻度尺,你能有辦法檢驗(yàn)邊4。是否垂直于邊48嗎?如果能,請(qǐng)寫出
你的方法,并證明.
62.(23-24八年級(jí)下.河北衡水.階段練習(xí))如圖,某社區(qū)有一塊四邊形空地4BCD,AB=15m,CD=8m,
AD=17m.從點(diǎn)A修了一條垂直BC的小路4E(垂足為E),E恰好是BC的中點(diǎn),且4E=12m.
⑴求邊8c的長(zhǎng);
(2)連接2C,判斷AADC的形狀;
(3)求這塊空地的面積.
□題型17最短距離問(wèn)題
63.(2024?廣東?模擬預(yù)測(cè))綜合與實(shí)踐
“轉(zhuǎn)化”是一種重要的數(shù)學(xué)思想,將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題是轉(zhuǎn)化思想的一個(gè)重要方面.為了讓同學(xué)們探究
“轉(zhuǎn)化”思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用,在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,老師帶領(lǐng)學(xué)生研究幾何體的最短路線問(wèn)題:
問(wèn)題情境:
如圖1,一只螞蟻從點(diǎn)a出發(fā)沿圓柱側(cè)面爬行到點(diǎn)c,其最短路線正是側(cè)面展開圖中的線段ac,若圓柱的高
48為2cm.底面直徑BC為8cm.
O
圖1圖2
問(wèn)題解決:
(1)判斷最短路線的依據(jù)是;
(2)求出螞蟻沿圓柱側(cè)面爬行的最短路線4C的長(zhǎng)(結(jié)果保留根號(hào)和it);
拓展遷移:
如圖2,。為圓錐的頂點(diǎn),M為底面圓周上一點(diǎn),點(diǎn)P是。M的中點(diǎn),母線。M=8,底面圓半徑為2,粗線為
螞蟻從點(diǎn)P出發(fā)繞圓錐側(cè)面爬行回到點(diǎn)P時(shí)所經(jīng)過(guò)的路徑的痕跡.
(3)請(qǐng)求出螞蟻爬行的最短距離.
64.(2023?湖北十堰?一模)如圖,這是一個(gè)供滑板愛好者使用的U形池,該U形池可以看作是一個(gè)長(zhǎng)方體去
21
掉一個(gè)“半圓柱”而成,中間可供滑行部分的截面是弧長(zhǎng)為12m的半圓,其邊緣48==20m(邊緣的寬
度忽略不計(jì)),點(diǎn)E在CO上,CE=4m.一滑板愛好者從/點(diǎn)滑到E點(diǎn),則他滑行的最短距離為()
A.28mB.24mC.20mD.18m
65.(2023?湖北十堰?三模)如圖,地面上有一個(gè)長(zhǎng)方體盒子,一只螞蟻在這個(gè)長(zhǎng)方體盒子的頂點(diǎn)A處,盒
子的頂點(diǎn)C'處有一小塊糖粒,螞蟻要沿著這個(gè)盒子的表面A處爬到C'處吃這塊糖粒,已知盒子的長(zhǎng)和寬為
均為20cm,高為30cm,則螞蟻爬行的最短距離為()cm.
66.(2024?四川德陽(yáng)?二模)如圖,透明圓柱形容器(容器厚度忽略不計(jì))的高為18cm,底面周長(zhǎng)為12cm,
在容器內(nèi)壁離容器底部7cm的A處有一飯粒,此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁且距離容器上沿1cm的點(diǎn)B處,
則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑長(zhǎng)度是—cm.
重難創(chuàng)新練
1.(2024?江蘇常州?中考真題)對(duì)于平面內(nèi)有公共點(diǎn)的兩個(gè)圖形,若將其中一個(gè)圖形沿著某個(gè)方向移動(dòng)一定
的距離d后與另一個(gè)圖形重合,則稱這兩個(gè)圖形存在“平移關(guān)聯(lián)”,其中一個(gè)圖形叫做另一個(gè)圖形的“平移關(guān)
聯(lián)圖形”.
22
-G
c
圖1圖2圖3
(1)如圖1,B、C、D是線段4E的四等分點(diǎn).若4E=4,則在圖中,線段AC的“平移關(guān)聯(lián)圖形”是,
d=(寫出符合條件的一種情況即可);
(2)如圖2,等邊三角形力BC的邊長(zhǎng)是2.用直尺和圓規(guī)作出△ABC的一個(gè)“平移關(guān)聯(lián)圖形”,且滿足d=2(保
留作圖痕跡,不要求寫作法);
(3)如圖3,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)。、E、G的坐標(biāo)分別是(—1,0)、(1,0)、(0,4),以點(diǎn)G為圓心,「為
半徑畫圓.若對(duì)OG上的任意點(diǎn)心連接DE、EF、FD所形成的圖形都存在“平移關(guān)聯(lián)圖形”,且滿足d23,
直接寫出r的取值范圍.
2.(2024?江蘇徐州?中考真題)在△ABC中,點(diǎn)。在邊上,^CD2=ADDB,則稱點(diǎn)2是點(diǎn)C的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”.
⑴如圖(1),在AABC中,若NACB=90。,CD1AB于點(diǎn)D.試說(shuō)明:點(diǎn)。是點(diǎn)C的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”.
(2)如圖(2),已知點(diǎn)D在線段4B上,用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作一個(gè)△ABC,使其同時(shí)滿足下列條件:①點(diǎn)。
為點(diǎn)C的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”;②乙4cB是鈍角(保留作圖痕跡,不寫作法).
(3)若AABC為銳角三角形,且點(diǎn)D為點(diǎn)C的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)設(shè)力。=爪,DB=n,用含小、n的代數(shù)式表示力C的取
值范圍(直接寫出結(jié)果).
3.(2024?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題)圖1、2是一個(gè)折疊梯的實(shí)物圖.圖3是折疊梯展開、折疊過(guò)程中的一個(gè)主
視圖.圖4是折疊梯充分展開后的主視圖,此時(shí)點(diǎn)E落在AC上,已知AB=2C,sinNBAC?點(diǎn)點(diǎn)、D、F、
G、/在48上,DE、FM,GH、JK均與BC所在直線平行,DE=FM=GH=JK=20cm,DF=FG=GJ=
30cm.點(diǎn)N在AC上,AN、MN的長(zhǎng)度固定不變.圖5是折疊梯完全折疊時(shí)的主視圖,此時(shí)2B、4C重合,
點(diǎn)E、M、H、N、K、。在48上的位置如圖所示.
【分析問(wèn)題】
(1)如圖5,用圖中的線段填空:AN=MN+EM+AD-;
(2)如圖4,sin乙MENa,由力N=EN+2E=EN+AD,且AN的長(zhǎng)度不變,可得MN與EN之
23
間的數(shù)量關(guān)系為
【解決問(wèn)題】
(3)求MN的長(zhǎng).
4.(2024.吉林長(zhǎng)春.中考真題)【問(wèn)題呈現(xiàn)】
小明在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)時(shí)遇到一個(gè)幾何問(wèn)題:如圖①,在等邊△48C中,48=3,點(diǎn)M、N分別在邊4C、
BC上,且4M=CN,試探究線段MN長(zhǎng)度的最小值.
【問(wèn)題分析】
小明通過(guò)構(gòu)造平行四邊形,將雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題,再通過(guò)定角發(fā)現(xiàn)這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑,進(jìn)而
解決上述幾何問(wèn)題.
【問(wèn)題解決】
如圖②,過(guò)點(diǎn)C、M分別作MN、BC的平行線,并交于點(diǎn)P,作射線4P.在【問(wèn)題呈現(xiàn)】的條件下,完成下
列問(wèn)題:
圖③
(1)證明:AM=MP;
(2)N01P的大小為一度,線段長(zhǎng)度的最小值為
【方法應(yīng)用】
某種簡(jiǎn)易房屋在整體運(yùn)輸前需用鋼絲繩進(jìn)行加固處理,如圖③.小明收集了該房屋的相關(guān)數(shù)據(jù),并畫出了
示意圖,如圖④,AABC是等腰三角形,四邊形8CDE是矩形,2B=AC=CD=2米,N2CB=30。.MN是
一條兩端點(diǎn)位置和長(zhǎng)度均可調(diào)節(jié)的鋼絲繩,點(diǎn)M在4C上,點(diǎn)N在DE上.在調(diào)整鋼絲繩端點(diǎn)位置時(shí),其長(zhǎng)度
也隨之改變,但需始終保持AM=DN.鋼絲繩MN長(zhǎng)度的最小值為多少米.
5.(2024?河南?中考真題)綜合與實(shí)踐
24
在學(xué)習(xí)特殊四邊形的過(guò)程中,我們積累了一定的研究經(jīng)驗(yàn),請(qǐng)運(yùn)用已有經(jīng)驗(yàn),對(duì)“鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形”進(jìn)行研究
定義:至少有一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形.
(1)操作判斷
用分別含有30。和45。角的直角三角形紙板拼出如圖1所示的4個(gè)四邊形,其中是鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形的有
(填序號(hào)).
(2)性質(zhì)探究
根據(jù)定義可得出鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形的邊、角的性質(zhì).下面研究與對(duì)角線相關(guān)的性質(zhì).
如圖2,四邊形4BCD是鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形,AB=AD,AC是它的一條對(duì)角線.
①寫出圖中相等的角,并說(shuō)明理由;
②若BC=m,DC=n,乙BCD—26,求2C的長(zhǎng)(用含m,n,。的式子表示).
(3)拓展應(yīng)用
如圖3,在Rt△4BC中,乙8=90。,AB=3,BC=4,分別在邊BC,AC上取點(diǎn)M,N,使四邊形4BMN是
鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形.當(dāng)該鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形僅有一組鄰邊相等時(shí),請(qǐng)直接寫出BN的長(zhǎng).
真題實(shí)戰(zhàn)練
1.(2024.山東濟(jì)寧?中考真題)如圖,菱形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,£是AB的中點(diǎn),連接OE.若
OE=3,則菱形的邊長(zhǎng)為()
25
A.6B.8C.10D.12
2.(2024.黑龍江大興安嶺地?中考真題)如圖,A4BC內(nèi)接于。。,4。是直徑,若=25。,貝吐C4D
3.(2024?甘肅臨夏?中考真題)如圖,等腰AABC中,AB=AC=2,^BAC=120°,將A/IBC沿其底邊中線
4。向下平移,使4的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A滿足44'則平移前后兩三角形重疊部分的面積是.
4.(2024?江蘇徐州?中考真題)如圖,在徐州云龍湖旅游景區(qū),點(diǎn)4為“彭城風(fēng)華”觀演場(chǎng)地,點(diǎn)B為“水族展
覽館”,點(diǎn)C為“徐州漢畫像石藝術(shù)館”.已知NBAC=60°,ABCA=45°,AC=1640m.求“彭城風(fēng)華”觀演
場(chǎng)地與“水族展覽館”之間的距離4B(精確到1m).(參考數(shù)據(jù):V2~1.41,V3-1.73)
5.(2024?湖南長(zhǎng)沙?中考真題)如圖,在RtAABC中,AACB=90°,AB=2瓜AC=2,分別以點(diǎn)A,B
為圓心,大于14B的長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧分別交于點(diǎn)加和N,作直線MN分別交4B,BC于點(diǎn)D,E,連接
CD,AE.
26
⑴求CD的長(zhǎng);
⑵求△ACE的周長(zhǎng).
6.(2024?山東淄博?中考真題)《九章算術(shù)》中提到:今有戶高多于廣六尺八寸.兩隅相去適一丈.問(wèn)戶高、
廣各幾何?其大意為:己知矩形門的高比寬多6尺
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