專題12圓

1.圓的有關(guān)概念

⑴圓上各點(diǎn)到圓心的距離都等于.圓由兩個(gè)元素決定,分別是______和圓心確定圓的

半徑確定圓的.圓心相同，半徑不等的圓是；圓心不同，半徑相等的圓是.

(2)連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫作_____.直徑是經(jīng)過_______的弦，是圓中的弦.

⑶圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫作_______大于半圓的弧叫作小于半圓的弧叫作.

2.圓周角與圓心角的關(guān)系

頂點(diǎn)在圓心的角叫作；頂點(diǎn)在圓上,并且兩邊都和圓相交的角叫作.在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓

心角、兩條弧、兩條弦、兩條弦心距、兩個(gè)圓周角中有一組量_________那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別—

—.同弧或等弧所對(duì)的圓周角,都等于它所對(duì)的圓心角的_______.直徑所對(duì)的圓周角是__________；90°

的圓周角所對(duì)的弦是.

3.垂徑定理

垂直于弦的直徑平分并且平分；平分弦(不是直徑)的________垂直于弦，并且

平分.

4.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有三種：①②，③.

5直線與圓的位置關(guān)系

⑴直線與圓的位置關(guān)系共有三種：①，②，③—.對(duì)應(yīng)的圓心到直線的距離d和圓的半徑r之間的

數(shù)量關(guān)系分別為④dr,⑤dr,@dr.

(2)切線的判定方法有：①與圓有公共點(diǎn)的直線是圓的切線；②到的距離等于的直線是圓的切

線；③經(jīng)過半徑的并且____這條半徑的直線是圓的切線.在經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線

段的長(zhǎng)叫作這點(diǎn)到圓的；從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)圓心和這一點(diǎn)的連線

兩條切線的夾角.

6.圓與圓的位置關(guān)系

⑴圓與圓的位置關(guān)系共有三大種：①，③，②，也可分為五小種：①,③,③—

一④，⑤.

(2)兩圓的圓心距d和兩圓的半徑R,r(RNr)之間的數(shù)量關(guān)系分別為①dR-r,②dR-r,③R-r_

dR+r,?dR+r,⑤dR+r.

7.圓的有關(guān)計(jì)算

(1)弧長(zhǎng)、扇形面積的計(jì)算

已知0O的半徑為R,圓心角為n。的弧長(zhǎng)1的計(jì)算公式為；圓心角為n。的扇形的面積為_______或_

(2)圓錐側(cè)面積、全面積的計(jì)算

圓錐的側(cè)面積就是其側(cè)面展開圖的扇形面積；圓錐的全面積就是它的與它的的和.

8.圓中常見的輔助線

(1)遇到時(shí)，一般要引直徑上的圓周角，將直徑這一條件轉(zhuǎn)化為的條件.

(2)遇到時(shí)，一般要引的半徑，以便利用切線的性質(zhì)定理；或連接的弦，以便利用弦切角

定理.

(3)遇到過圓外一點(diǎn)作圓的兩條時(shí)，常常引這點(diǎn)到圓心的以便利用切線長(zhǎng)定理及其推論.

(4)遇兩圓_______，要添加，或者連心線，特別是它在相交兩圓中起著橋梁作用.

實(shí)戰(zhàn)演練

1.如圖，在△ABC中,NACB=9(T,AB=5,BC=4.以點(diǎn)A為圓心,r為半徑作圓，當(dāng)點(diǎn)C在。A內(nèi)且點(diǎn)B在。A

外時(shí)，r的值可能是()

A.2B.3

C.4D.5

2.如圖,AD,BC是。O的直任點(diǎn)P在BC的延長(zhǎng)線上,PA與。O相切于點(diǎn)A,連接BD,若NP=40°,則NAD

B的度數(shù)為()

C.500D.25°

3.某款“不倒翁”(圖1)的主視圖是圖2,PA,PB分別與4姐所在圓相切于點(diǎn)A,B,若該圓半徑是9cm,/P=40。,則

AMB的長(zhǎng)是)

M

正面

圖1圖2

A.l1兀cm

11

B.—ncm

2

C.771cm

Dc.7-ncm

2

4.如圖,△ABC內(nèi)接于。O,AD是。O的直徑，若/B=20。,則NCAD的度數(shù)是)

A.60°

B.65°

C.70°

D.75°

5.如圖,△ABC內(nèi)接于OO,NC=46。,連接OA,則NOAB=()

A.44°

B.45°

C.54°

D.67°

6.如圖,AB是圓O的直徑，弦AD平分NBAC,過點(diǎn)D的切線交AC于點(diǎn)E,NEAD=25。,則下列結(jié)論錯(cuò)誤

的是（）

E,

D

AB

A.AE±DE

B.AE/70D

C.DE=OD

D.ZBOD=50°

7.如圖是一位同學(xué)從照片上剪切下來的海上日出時(shí)的畫面，“圖上”太陽與海平線交于A,B兩點(diǎn)，他測(cè)得“圖上”

圓的半徑為10厘米，AB=16厘米.若從目前太陽所處位置到太陽完全跳出海平面的時(shí)間為16分鐘，則“圖上”太陽

升起的速度為)

海平線

A.1.0厘米/分

B.0.8厘米/分

C.1.2厘米/分

D.1.4厘米/分

8.如圖，在矩形ABCD中，AB=?BC=2,以點(diǎn)A為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫弧交邊BC于點(diǎn)E,連接AE,則

DE的長(zhǎng)為（）

A.47I/3

B.兀

C.2兀/3

D.71/3

9.如圖,AB是。O的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)E,連接AC,AD.gZBAC=28°J!JZD=

10.如圖,。0是四邊形ABCD的外接圓，若ZABC=110。,則/ADC='

11.如圖，在口ABCD中,AD=12以AD為直徑的。。與BC相切于點(diǎn)E,連接0C.若OC=AB,則口ABCD的周長(zhǎng)為

12.已知圓錐的母線長(zhǎng)為3,底面半徑為1,該圓錐的側(cè)面展開圖的面積為.

13.已知AB為0O的直徑,AB=6,C為。O上一點(diǎn)，連接CA,CB.(1)如圖①，若C為四的中點(diǎn)，求/CAB的大小

和AC的長(zhǎng)；⑵如圖②，若AC=2,OD為。O的半徑，且ODLCB,垂足為E,過點(diǎn)D作。0的切線，與AC的延長(zhǎng)

線相交于點(diǎn)F,求FD的長(zhǎng).

14.如圖.AB為。O的直徑,CD是0O的切線,C為切點(diǎn)，連接BC.ED垂直平分OB，垂足為E且交BC-于點(diǎn)F,

交BC于點(diǎn)P,連接BF,CF.

(1)求證:/DCP=/DPC;

(2)當(dāng)BC平分/ABF時(shí)，求證:CF〃AB;

⑶在⑵的條件下,OB=2,求陰影部分的面積

D

15.如圖，圓0中兩條互相垂直的弦AB,CD交于點(diǎn)E.

（DM是CD的中點(diǎn),OM=3,CD=12,求圓O的半徑長(zhǎng)；

⑵點(diǎn)F在CD上，且CE=EF,求證:AF_LBD.

壓軸預(yù)測(cè)

1.如圖，矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm以B為圓心,BC為半徑畫弧交AD于點(diǎn)E,則扇形EBC的面

積為（）

B.8ncm2

C.12ncm2

D.ISncm2

2.如圖.△ABC中,AB=2,AC=V2以點(diǎn)A為圓心,1為半徑的圓與BC相切分別交AB,AC于點(diǎn)D,E,則DE的

長(zhǎng)是（）

C.it/2

3.如圖，一個(gè)寬為2cm的刻度尺在圓上移動(dòng)，當(dāng)刻度尺的一邊與圓相切時(shí)，另一邊與圓兩個(gè)交點(diǎn)處的讀數(shù)恰

好為“2”和“8”(單位cm),那么該圓的半徑為cm.

4.如圖.扇形AOB中.半徑OA=2,圓心角/AOB=60。以O(shè)A為直徑的半圓交OB于點(diǎn)C,則圖中兩個(gè)陰影部分

面積的差的絕對(duì)值是.

5.如圖,△ABC為0O的內(nèi)接三角形，且AB為。。的直徑,DE與。O相切于點(diǎn)D,交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,OD與

BC交于點(diǎn)F,ZE=ZADC.

(1)求證:AD平分/BAC;

⑵若CF=2DF,AC=6,求。0的半徑r.

參考答案

1.(1)圓的半徑圓心半徑位置大小同心圓等圓

⑵弦圓心最長(zhǎng)

⑶弧優(yōu)弧劣弧

2.圓心角圓周角相等相等相等一半直角圓的直徑

3.弦弦所對(duì)的兩條弧直徑弦所對(duì)的兩條弧

4.點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)在圓上點(diǎn)在圓外

5.⑴相離相切相交>=<

⑵唯一圓心半徑外端垂直于切線長(zhǎng)相等平分

6.(1)相離相切相交內(nèi)含內(nèi)切相交外切外離

(2)<=<<=>

7.(1)Z=—S=—S=-Zff

'J1803602

⑵底面積側(cè)面積

8.⑴直徑直角

(2)切線過切點(diǎn)過切點(diǎn)

⑶切線連線

⑷相交公共弦公共弦

1.C【解析】本題考查勾股定理、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系.在RtAABC中,AB=5,BC=4,由勾股定理可得AC=3.:點(diǎn)

C在。A內(nèi),：.r>3又點(diǎn)B在。A外,.」‘.匕弋仃,即r的值可能是4,故選C.

2.A【解析】本題考查切線的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、圓周角定理.因?yàn)镻A與OO相切，所以NOAP=90。.

又/P=40。,所以/AOB=NOAP+ZP=130。,所以^ADB=|NAOB=65。，故選A.

3.A【解析】本題考查圓的切線的性質(zhì)、弧長(zhǎng)公式.設(shè)圓心為O,連接OA,OB,由題意得OAJ_PAQBJ_PB,

由四邊形的性質(zhì)知乙AOB=180°一乙P=180°-40°=140。,所以AMB的度數(shù)是360°-140°=220。,所以

AMB=皆孩。=11兀(cm)故選A.

4.C【解析】本題考查圓周角定理的推論.連接BD.因?yàn)锳D是圓O的直徑，所以NABD=90。又/ABC=20。,所

以乙CBD=90°-20°=70°,,所以NCAD=NCBD=70°,故選C.

c.

5.A【解析】本題考查圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì).如圖，連接OB.：/C=46°,.\ZAOB=2ZC92°.

一180°—92°44

又。力=0B,：.A0AB=2"=。，故選A.

6.C【解析】本題考查切線的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、圓周角定理.因?yàn)镺A=OD,所以NOAD=NODA.因

為AD平分NBAC,所以NOAD=NCAD,所以/ODA=NCAD,所以AE〃OD,故B選項(xiàng)正確;因?yàn)镈E是圓。的切線,

所以O(shè)DJ_DE,所以AEJ_DE,故A選項(xiàng)正確;在直角梯形ODEA中,OA>DE.又OA=OD.所以O(shè)D>DE,故C選項(xiàng)

錯(cuò)誤;因?yàn)?EAD=25°,所以NBAD=NEAD=25。,所以NBOD=2NBAD=50。,故D選項(xiàng)正確，故選C.

7.A【解析】本題考查圓的性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理如圖過點(diǎn)。作OHLAB于點(diǎn)H,連接OA,則AH=BH=

\AB=8厘米在RtAAOH中,/OHA=90OQA=10厘米，所以由勾股定理得OH=y/OA2-AH2=6厘米.又因?yàn)閺?/p>

目前太陽所處位置到太陽完全跳出海平面的時(shí)間為16分鐘，所以“圖上”太陽升起的速度為(6+10)+16=1.0厘米/分

故選A.

8.C【解析】本題考查矩形的性質(zhì)、勾股定理、弧長(zhǎng)公式.在矩形ABCD中,NDAB=/B=9(r,AD=BC=2,，A

E=AD=2.在RtAABE中,AB=V3,.\BE=y/AE2-AB2=1,BE=\AE,：.^BAE=30。，:^DAE=60°,???I

607T-2=|兀，故選

DEc.

180

9.62【解析】本題考查圓周角定理的推論.如圖,連接BC.TAB是。O的直徑,NACB=90o「?,NBAC=28。,

???ZABC=90o-28o=62o,.\ND=NABC=62。.

10.70【解析】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).???四邊形ABCD內(nèi)接于OO,NABC=ll(r,???NADC=180。-乙4BC

=180°-110°=70°.

11.24+6遙【解析】本題考查圓的性質(zhì)、圓的切線的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì).如圖，連接0E,

過點(diǎn)C作CH±OD于點(diǎn)H,則OE，BC,OE〃CH.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以AD〃BC又AD=12,所以CH

=OE=6.因?yàn)锳B=CD,OC=AB,所以O(shè)C=CD,所以(OH=DH=^0D=3.在RtACDH中,由勾股定理得CD=

V32+62=3店,所以AB=CD=3V5,,所以平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為((12+3有)x2=24+6乘.

12.3兀【解析】本題考查圓錐的側(cè)面展開圖、扇形的面積..??圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，.

S砌=7rM=3X1X兀=3兀，，該圓錐的側(cè)面展開圖的面積為3兀

側(cè)

掌握?qǐng)A錐的側(cè)面展開圖的扇形面積公式是解答本題的關(guān)鍵.

13.⑴45°,3V2(2)2V2

⑴根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角得/ACB=90。，再根據(jù)等弧所對(duì)的弦相等，進(jìn)而證明^ABC是等腰直角三角

形，利用勾股定理可求出AC的長(zhǎng)；⑵根據(jù)切線的性質(zhì)和已知垂直關(guān)系以及NACB=90。,可判定四邊形ECFD是矩

形，得對(duì)邊相等，求出FD與CB的數(shù)量關(guān)系，在RtAABC中，利用勾股定理求出CB的長(zhǎng)，即可求出FD的長(zhǎng).

解:(1)：AB為。O的直徑，

ZACB=90°.

由C為AB的中點(diǎn)，得.左=BC.

：.AC=BC得/ABC=NCAB.

在RtAABC中./ABC+/CAB=90。，

ZCAB=45°.

根據(jù)勾股定理，有力C2+BC2=AB2.

又AB=6,得24c2=36.AC=372.

(2)；FD是。。的切線,

ODXFD.gpZODF=90°.

：OD_LCB,垂足為E,

???Z.CED=90°,CE=-CB.

，2

同⑴可得/ACB=90°,有/FCE=90°.

ZFCE=ZCED=ZODF=90°.

四邊形ECFD為矩形.

；.FD=CE.于是FD=\CB.

在RtAABC中，由AB=6,AC=2彳導(dǎo)

CB=y/AB2-AC2=4V2.FD=2但

14.(1)略⑵略⑶等一百

(1)連接OC,根據(jù)切線的性質(zhì)及EDXOB得到兩組互余的角，再根據(jù)等邊對(duì)等角結(jié)合等角的余角相等進(jìn)行等

量代換，即可得證；⑵連接OF,證明△OFB是等邊三角形,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)與圓周角定理求出NFCB的度

數(shù)，結(jié)合角平分線的性質(zhì)求出/OBC的度數(shù)，然后利用平行線的判定即可證明結(jié)論成立，?⑶根據(jù)圓周角定理及半

徑相等證明△COF是等邊三角形，再結(jié)合垂直平分線及勾股定理求出EF的長(zhǎng)，然后利用三角形的面積公式與扇形

的面積公式求解即可.

解:⑴證明:連接OC.

：CD是。。的切線，

ZOCB+ZDCP=90°.

VEDXOB,

ZOBC+ZEPB=90°.

VOC=OB,

ZOCB=ZOBC.

/.ZDCP=ZEPB.

/EPB=NDPC,

ZDCP=ZDPC.

(2)證明:連接OF.

,/ED垂直平分OB,/.OF=FB.

又；OF=OB,

???△OFB是等邊三角形.

.\ZFOB=ZFBO=60°.

???NFCB=%NFOB=30°,

2

VBC平分NABF,

i

???乙OBC=乙FBC=-^FBO=30°.

2

:.ZOBC=ZFCB.

???CF〃AB.

(3)由(2)得NFBC=30。，

JZCOF=60°.

VOF=OC,

??.△COF是等邊三角形.

OB=2,JOF=OC=CF=2.

VED垂直平分OB,OF=2,

???ZOEF=90°,OE=1,

???由勾股定理，得EF=V3.

SC0F=|x2xV3=V3.

..S_60X7TX22_271

.鬲物”_360_3，

?'S^=S^^OF-SCOF=%—回

15.(1)3曲(2)略

⑴連接OCQD.根據(jù)M是CD的中點(diǎn)可得DM=CM=在RtAOMD中，利用勾股定理即可得出半徑O

D的長(zhǎng);⑵連接AC,延長(zhǎng)AF交BD于點(diǎn)N,證明△AEC04AEF,可得ZEAC=ZEAF,根據(jù)NBAC=/BDC

以及三角形外角的性質(zhì)即可證明/AND=90。.

解:⑴如圖，連接OC,OD,

因?yàn)镸是CD的中點(diǎn)且CD=12,

所以CM=DM=6且OM±DM.

在RtAOMD中,由勾股定理得

0D=y/OM2+MD2=V32+62=3有，

所以圓O的半徑長(zhǎng)為3V5

⑵證明:如圖.連接AC,延長(zhǎng)AF交BD于點(diǎn)N.

在小AEC與4AEF中，

因?yàn)锳E=AE,/AEC=NAEF,EC=EF,

所以△AEC^AAEF.

于是/EAC=NEAF.

又因?yàn)镹BAC=/BDC.

所以/AND=NBAN+NABN

=ZCDB+ZABD=90°.

于是AF_LBD.

壓軸預(yù)測(cè)

1.C【解析】本題考查矩形的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、扇形的面積公式.在矩形ABCD中,NA=NABC=9

0°.在RtAABE中,AB=6,BE=BC=12,；.cos/ABE=ABE=—=ZABE=60°,/.ZEBC=30°,:.S5=

1,5122,角形EBC

當(dāng)當(dāng)=12兀皿2,即扇形EBC的面積為1271cm2,故選C.

2.D【解析】本題考查圓的切線的性質(zhì)、弧長(zhǎng)的計(jì)算公式.設(shè)BC與圓相切于點(diǎn)F,連接AF,則AFXBC.在R

tAAFB中,AB=2,AF=1,；.ZABF=30°,.\/BAF=60°.在RtAAFC中,AC=V^,AF=1,；.CF=1,，ZCAF=45。，;

ABAC=105°,；.DE=="故選D.

18012

3.今【解析】本題考查垂徑定理、勾股定理.如圖，取圓心O,設(shè)切點(diǎn)為點(diǎn)C,直尺與圓相交于A,B兩點(diǎn)，

連接OAQCQC交A