專題15與同有關(guān)的位置關(guān)系

目錄

01理?思維導(dǎo)圖：呈現(xiàn)教材知識結(jié)構(gòu)，構(gòu)建學(xué)科知識體系。

02盤.基礎(chǔ)知識：甄選核心知識逐項分解，基礎(chǔ)不丟分。（3大模塊知識梳理）

知識模塊一：與圓有關(guān)的位置關(guān)系

知識模塊二：與切線有關(guān)的知識

知識模塊三：三角形的外接圓與內(nèi)切圓

03究?考點考法：對考點考法進(jìn)行細(xì)致剖析和講解，全面提升。（9大基礎(chǔ)考點）

考點一：點與圓的位置關(guān)系

考點二：直線與圓的位置關(guān)系

考點三：圓與圓的位置關(guān)系

考點四：利用切線的性質(zhì)求解

考點五：切線的性質(zhì)與判定綜合

考點六：應(yīng)用切線長定理求解或證明

考點七：由三角形外接圓求值

考點八：由三角形內(nèi)切圓求值

考點九：三角形外接圓與內(nèi)切圓綜合

04破，重點難點：突破重難點，沖刺高分。（5大重難點）

重難點一：證明某直線是圓的切線（有明確的交點）

重難點二：證明某直線是圓的切線（無明確的交點）

重難點三：直線與圓的最值問題

重難點四：胡不歸問題

重難點五：阿氏圓問題

05辨?易混易錯：點撥易混易錯知識點，夯實基礎(chǔ)。（1大易錯點）

易錯點1：討論與圓有關(guān)位置關(guān)系時漏解

耀

與圓有關(guān)的位置關(guān)系

有明確交點，連半徑,證直線與半徑垂直

證明直線與圓相切

無明確的交點，過圓心乍垂線段，證其等于半徑

盒基琳如識、

知識模塊一：與圓有關(guān)的位置關(guān)系

知識點一：點與圓的位置關(guān)系

點和圓共有三種位置關(guān)系，分別是點在圓內(nèi)，點在圓上，點在圓外，如下表所示:

已知。O的半徑為r,點P到圓心O的距離為d,

點和圓的位置關(guān)系點到圓心的距離與半徑的關(guān)系

點在圓內(nèi)點P在圓內(nèi)gd<r3)

P

點在圓上點P在圓上Od=r3

點在圓外點P在圓外Od>r

【注意】掌握已知點的位置，可以確定該點到圓心的距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點到圓心的距離與半

徑的關(guān)系，可以確定該點與圓的位置關(guān)系.

知識點二：直線與圓的位置關(guān)系

直線和圓共有三種位置關(guān)系，分別是相離，相切，相交，如下表所示:

設(shè)。0的半徑為r,圓心。到直線1的距離為d

直線和圓的位置關(guān)系相交相切相離

直線和圓有兩個公共點直線和圓只有一個公共點直線和圓沒有公共點時，

定義

時，叫做直線與圓相交時，叫做直線與圓相切叫做直線與圓相離

圖示

事/5------1

公共點個數(shù)2個1個無

圓心到直徑的距離d與

圓半徑r之間的大小關(guān)d<rd二rd>r

系

公共點名稱交點切點無

直線名稱交線/割線切線無

直線1與。0相交Od〈r直線1與。。相切Od=r直線1與00相離Od>r

結(jié)論從左端推出右端是直線與圓的位置關(guān)系的性質(zhì)，從右端推出左端是直線與圓的位置

關(guān)系的判斷.

知識點三：圓與圓的位置關(guān)系

設(shè)的半徑分別為「、R（其中R>r）,兩圓圓心距為d,則兩圓位置關(guān)系如下表:

位置關(guān)系圖形公共點個數(shù)性質(zhì)及判定

外離無兩圓外離=d>R+r

外切1個切點兩圓外切=d=R+r

相交兩個交點兩圓相交=R—r<dVR+r

內(nèi)切1個切點兩圓內(nèi)切=d=R—r

內(nèi)含無兩圓內(nèi)含"OWd<R—r

兩圓相切、相交的重要性質(zhì)：如果兩圓相切，那么切點一定在連心線上，它們是軸對稱圖形，對稱軸是兩圓的連心

線；相交的兩個圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦.

知識模塊二：與切線有關(guān)的知識

知識點一：切線的性質(zhì)定理與判定定理

切線的定義：線和圓只有一個公共點時，這條直線叫圓的切線，這個公共點叫做切點.

切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.（實際上過切點的半徑也可理解為過切點的直徑或經(jīng)過

切點與圓心的直線）

【補(bǔ)充】1）經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必過切點；

2）經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必過圓心.

切線的判定定理：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

用切線的判定定理時，兩個條件缺一不可：1）經(jīng)過半徑的外端；2）垂直于這條半徑.

知識點二：切線長定理

切線長：經(jīng)過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長.

切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角.

【解題技巧】切線長定理經(jīng)常用來證明線段相等，通常要連接圓心與切點構(gòu)造直角二角形來求解.

知識模塊三：三角形的外接圓與內(nèi)切圓

知識點一：三角形的外接圓與外心

三角形外接圓：經(jīng)過三角形三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形.

三角形的外心：三角形的外接圓的圓心叫做三角形的外心，三角形的外心是三角形三條邊垂直平分線的交

點.

三角形的外心的性質(zhì)：三角形的外心到三個頂點的距離相等，等于外接圓半徑.

知識點二：三角形內(nèi)切圓與內(nèi)心

三角形內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，這個三角形叫做圓的外切三角形.

三角形的內(nèi)心：內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，三角形的內(nèi)心是三角形三條內(nèi)角平分性的交點.

三角形的內(nèi)心的性質(zhì)：內(nèi)心到三角形各邊的距離相等.

考點一：點與圓的位置關(guān)系

1.（2024?廣東廣州?中考真題）如圖，。。中，弦2B的長為4百，點C在。。上，0clAB,^ABC=30°.O

。所在的平面內(nèi)有一點P,若。P=5,則點P與。。的位置關(guān)系是（）

AB

A.點P在。。上B.點P在。。內(nèi)C.點P在O。外D.無法確定

2.（2022.吉林.中考真題）如圖，在AABC中，ZXCB=90°,4B=5,BC=4.以點4為圓心，r為半徑作

圓，當(dāng)點C在04內(nèi)且點B在外時，r的值可能是（）

C.4D.5

3.（2024?江蘇宿遷?模擬預(yù)測）已知。。的半徑為1,點4到圓心。的距離為a,若關(guān)于x的方程/一2x+a=0

不存在實數(shù)根，則點4與。。的位置關(guān)系是（）

A.點力在。。外B.點力在。。上

C?點4在。。內(nèi)D.無法確定

考點二：直線與圓的位置關(guān)系

1.（2020?廣東廣州?中考真題）如圖，RtZMBC中，ZC=90°,AB=5,cos4=￡以點B為圓心，r為半徑

作OB,當(dāng)r=3時，08與4C的位置關(guān)系是（）

A.相離B.相切C.相交D.無法確定

2.（2024?湖北?模擬預(yù)測）A/IBC的三邊48,AC,BC的長度分別是3,4,5,以頂點A為圓心，2.4為半徑

作圓，則該圓與直線BC的位置關(guān)系是（）

A.相交B.相離C.相切D.以上都不是

3.（2023?湖北孝感?一模）已知O。的半徑是一元二次方程/一3%-4=0的一個根，圓心。到直線/的距

離d=6,則直線I與。。的位置關(guān)系是（）

A.相切B.相離C.相交D.相切或相交

4.（2021?四川遂寧?中考真題）已知平面直角坐標(biāo)系中，點尸（x0，yo）和直線Ax+2y+C=0（其中A,B

不全為0）,則點尸到直線Av+8y+C=0的距離d可用公式d=M寒貨。來計算.

例如：求點尸（1,2）到直線y=2x+l的距離，因為直線y=2x+l可化為2%—丁+1=0,其中A=2,B=

-bc=l,所以點P（l,2）到直線y=2x+l的距離為：d==%=1.

根據(jù)以上材料，解答下列問題：

（1）求點M（0,3）到直線y=Ex+9的距離；

（2）在（1）的條件下，的半徑廠=4,判斷與直線y=舊久+9的位置關(guān)系，若相交，設(shè)其弦長

為小求〃的值；若不相交，說明理由.

考點三：圓與圓的位置關(guān)系

1.（2024?上海?中考真題）在△ABC中，AC=3,BC=4,4B=5,點P在△4BC內(nèi)，分別以4、B、P為圓

心畫，圓4半徑為1,圓B半徑為2,圓P半徑為3,圓4與圓P內(nèi)切，圓P與圓B的關(guān)系是（）

A.內(nèi)含B.相交C.外切D.相離

2.（2022.內(nèi)蒙古鄂爾多斯.中考真題）實驗學(xué)校的花壇形狀如圖所示，其中，等圓O。/與。。2的半徑為3

米，且0O/經(jīng)過。。2的圓心。2.已知實線部分為此花壇的周長，則花壇的周長為（）

A.4兀米B.6兀米C.8兀米D.12兀米

3.（2023?湖北恩施?中考真題）如圖，等圓O01和。。2相交于48兩點。1經(jīng)過O4的圓心。2,若。1。2=2,

考點四：利用切線的性質(zhì)求解

1.（2024?甘肅臨夏?中考真題）如圖，直線1與。。相切于點D,4B為。。的直徑，過點4作2E12于點E,

延長4B交直線/于點C.

（2）如果=1,DC=3,求O。的半徑.

2.（2024?北京?中考真題）如圖，AB是。。的直徑，點C,D在。。上，OD平分N40C.

（2）延長。。交O。于點￡,連接CE交。B于點尸，過點B作O。的切線交DE的延長線于點P.若%[PE=1,

BF6

求O。半徑的長.

3.（2024?四川樂山?中考真題）如圖，。。是AZBC的外接圓，AB為直徑，過點C作O。的切線CD交B4延

長線于點。，點￡為CB上一點，且=

⑴求證：DC||AE；

（2）若EF垂直平分OB,DA=3,求陰影部分的面積.

考點五：切線的性質(zhì)與判定綜合

1.（2023?湖北隨州?中考真題）如圖，是。。的直徑，點E,C在。。上，點C是方E的中點，AE垂直于

過C點的直線DC,垂足為。，4B的延長線交直線DC于點E

D

C

E.

(1)求證：DC是。。的切線;

(2)若AE=2,sinNAFD=%①求。。的半徑；②求線段DE的長.

2.(2023?湖南懷化?中考真題)如圖，4B是。。的直徑，點P是。。外一點，P4與。。相切于點4點C為。。

上的一點.連接PC、AC,oc,且PC=pa.

(1)求證：PC為o。的切線;

(2)延長PC與2B的延長線交于點。，求證：PDOC=PA-0D-,

(3)若NC4B=30°,OD=8,求陰影部分的面積.

考點六：應(yīng)用切線長定理求解或證明

1.(2022?四川眉山?中考真題)如圖是不倒翁的主視圖，不倒翁的圓形臉恰好與帽子邊沿P4PB分別相切

于點力，B,不倒翁的鼻尖正好是圓心。，若NOAB=28。，則乙4PB的度數(shù)為()

A.28°B.50°C.56°D.62°

2.(2024?山西?模擬預(yù)測)如圖，是。。的直徑，點C是。。上的一點，射線BDVAB,AB=10,AC=6.CP

與O。相切時，連接CP,求8P的長.

3.（2024?湖南長沙.模擬預(yù)測）在△28C中，為。。的直徑，AC為過C點的切線.

（1）如圖①，以點B為圓心，BC為半徑作圓弧交4B于點M,連結(jié)CM,若NABC=66。，求N4CM的大小；

（2）如圖②，過點。作。。的切線DE交4C于點E,求證：AE=EC；

⑶如圖③，在⑴（2）的條件下，若tan2=￡求SMDE：SA4cM的值.

考點七：由三角形外接圓求值

1.（2023.山東泰安.中考真題）如圖，。。是AABC的外接圓，半徑為4,連接08,OC,OA,若"4。=40°,

乙4cB=70°,則陰影部分的面積是（）

A

2.（2023?內(nèi)蒙古?中考真題）如圖，。。是銳角三角形4BC的外接圓，。。14B,OE1BC,OF1AC,垂足

分別為O,E,F,連接DE,EF,FD.若DE+DF=6.5八ABC的周長為21,貝!]EF的長為（）

C.3.5D.3

3.（2022?廣西玉林?中考真題）如圖，在5x7網(wǎng)格中，各小正方形邊長均為1,點O,A,B,C,D,E均

在格點上，點。是△ABC的外心，在不添加其他字母的情況下，則除△48C外把你認(rèn)為外心也是。的三角

形都寫出來.

考點八：由三角形內(nèi)切圓求值

1.（2023?四川攀枝花?中考真題）已知△ABC的周長為I,其內(nèi)切圓的面積為兀產(chǎn)，貝以4BC的面積為（）

11

A.-rlB.-TirlC.rlD.irrl

22

2.（2024?四川內(nèi)江?中考真題）如圖，在△ABC中，乙48c=60。，BC=8,E是BC邊上一點，且BE=2,

點/是AABC的內(nèi)心,B/的延長線交4C于點D,P是BD上一動點，連接PE、PC,則PE+PC的最小值為.

3.【多選】（2022?山東濰坊?中考真題）如圖，ANBC的內(nèi)切圓（圓心為點。）與各邊分別相切于點。，E,

F,連接EF,DE,DF.以點8為圓心，以適當(dāng)長為半徑作弧分別交AB,BC于G,H兩點；分別以點G,H為

圓心，以大于的長為半徑作弧，兩條弧交于點P；作射線BP.下列說法正確的是（）

A

A.射線BP一定過點。B.點。是△DEF三條中線的交點

C.若△ABC是等邊三角形，貝=D.點。不暈ADEF三條邊的垂直平分線的交點

考點九：三角形外接圓與內(nèi)切圓綜合

1.（2024.福建南平.模擬預(yù)測）如圖，以RtZkABC的直角邊力B為直徑的。。交斜邊力C于點D,過點。作。。

的切線與BC交于點E,弦。M與A8垂直，垂足為H.

（2）若。。的面積為12兀，兩個△2"。和ABMH的外接圓面積之比為3,求△DEC的內(nèi)切圓面積S1和四邊形

OBED的外接圓面積52的比.

2.（2023糊北武漢?模擬預(yù)測）如圖，。是AABC的外心，/是AABC的內(nèi)心，連接力/并延長交BC和。。于D,

E.

(1)求證：EB=Eh

(2)若AB=8,AC=6,BE=4,求力/的長.

3.(2024?上海.模擬預(yù)測)已知△ABC的內(nèi)心為。，AO=V3.

(1)如果AABC的外心也為O,求證：△ABC為等邊三角形,并尺規(guī)作線段40；

(2)延長4。交邊BC于￡,求證：—.

?t點晦點

重難點一：證明某直線是圓的切線(有明確的交點)

1.(2023?四川資陽?中考真題)如圖，已知O。的圓心。在△ABC的邊4C上，與AC相交于A、E兩點，且

與邊BC相切于點。，連結(jié)DE.

(1)若B2=8D,求證：4B是。。的切線；

(2)若CD=4,CE=2,求。。的半徑.

2.(2024?山東濟(jì)南?中考真題)如圖，48,CD為。。的直徑，點E在勵上，連接點G在BD的延長

線上，AB=AG,AEAD+AEDB=45°.

(1)求證：4G與。。相切；

(2)若BG=4V5,sinzD71E=求。E的長.

3.(2024?湖北?中考真題)如圖，在RtAABC中，乙4c8=90。，點E在AC上，以CE為直徑的。0經(jīng)過4B上

的點D,與。B交于點尸，且BD=BC.

B

(1)求證：4B是。。的切線；

(2)若4。=V3,AE=1,求)1的長.

重難點二：證明某直線是圓的切線(無明確的交點)

1.(2024?湖北武漢?中考真題)如圖，△ABC為等腰三角形，。是底邊8C的中點，腰AC與半圓。相切于點D,

底邊8c與半圓。交于E,F兩點.

(1)求證：與半圓。相切；

(2)連接04.若CD=4,CF=2,求sin丑。4c的值.

2.(2023?湖北襄陽?中考真題)如圖，在△ABC中，AB=AC,。是BC的中

點，。。與48相切于點0,與交于點E,F,DG是。。的直徑，弦GF的延長線交2C于點H,5.GH1AC.

(1)求證：4C是。。的切線；

(2)若OE=2,GH=3,求DE1的長2.

3.(2024?黑龍江綏化?中考真題)如圖1,。是正方形4BCD對角線上一點，以。為圓心，OC長為半徑的。。

與4。相切于點E,與4C相交于點F.

(1)求證：力B與。。相切.

⑵若正方形48CD的邊長為e+1,求。。的半徑.

（3）如圖2,在（2）的條件下，若點M是半徑0C上的一個動點，過點M作MN10C交CE于點N.當(dāng)CM:FM=1:4

時，求CN的長.

重難點三：直線與圓的最值問題

1.（2024?山東煙臺?中考真題）如圖，在團(tuán)48CD中，ZC=120°,4B=8,BC=10.E為邊CD的中點，F(xiàn)

為邊力D上的一動點，將ADEF沿EF翻折得△Z/EF,連接BD',則面積的最小值為.

2.（2024?四川涼山?中考真題）如圖，OM的圓心為M（4,0）,半徑為2,P是直線y=久+4上的一個動點,

過點P作OM的切線，切點為Q,貝UPQ的最小值為

3.（2023?陜西?中考真題）（1）如圖①，在AOaB中，。4=。8,AAOB=120°,AB=24.若。。的半

徑為4,點P在。。上，點M在4B上，連接PM,求線段PM的最小值；

（2）如圖②所示，五邊形4BCDE是某市工業(yè)新區(qū)的外環(huán)路，新區(qū)管委會在點B處，點E處是該市的一個交

通樞紐.已知：Z/4=^ABC=AAED=90°,AB=AE=10000m,BC=DE=6000m.根據(jù)新區(qū)的自然

環(huán)境及實際需求，現(xiàn)要在矩形4FDE區(qū)域內(nèi)（含邊界）修一個半徑為30m的圓型環(huán)道。。；過圓心。，作0M1

AB,垂足為M,與。。交于點N.連接2N,點P在O。上，連接EP.其中，線段BN、EP及MN是要修的三

條道路，要在所修道路BN、EP之和最短的情況下，使所修道路MN最短，試求此時環(huán)道。。的圓心。到A2的

距離。M的長.

圖②

重難點四：胡不歸問題

1.（2023?湖南湘西?中考真題）如圖，。。是等邊三角形ABC的外接圓，其半徑為4.過點B作BE14C于

點E,點尸為線段BE上一動點（點P不與8,￡重合），貝UCP+^BP的最小值為.

重難點五：阿氏圓問題

1.（2023?江蘇鹽城?模擬預(yù)測）如圖，點尸在y軸上，OP交無軸于A,B兩點,連接BP并延長交。P于C,

過點C的直線y=2久+6交無軸于。，交y軸于點E,且O