難點09與圓有關的計算常考題型

（5大熱考題型）

自走4港

題型一：正多邊形和圓

題型二：與弧長有關的運算

題型三：與扇形面積有關的計算

題型四：不規則圖形的面積計算

題型五：與圓錐有關的計算

赭淮提分

題型一：正多邊形和圓

【中考母題學方法】

【典例1】（山東青島?中考真題）如圖，正六邊形/BCDEb內接于。。，點M在標上，則/CME的度數

為（）

A.30°B.36°C.45°D.60°

【答案】D

【分析】先求出正六邊形的中心角，再利用圓周角定理求解即可.

【詳解】解：連接。C、OD、OE,如圖所示：

正六邊形ABCDEF內接于。。,

：.ZCOD=—=60°,則NCO￡=120。，

6

：.ZCME=g/COE=60。,

故選：D.

【點睛】本題考查正多邊形的中心角、圓周角定理，熟練掌握正〃多邊形的中心角為出是解答的關鍵.

【典例2】（2023?上海?中考真題）如果一個正多邊形的中心角是20。，那么這個正多邊形的邊數為.

【答案】18

【分析】根據正n邊形的中心角的度數為360。一〃進行計算即可得到答案.

【詳解】根據正"邊形的中心角的度數為360。士〃，

貝！|〃=360+20=18,

故這個正多邊形的邊數為18,

故答案為：18.

【點睛】本題考查的是正多邊形內角和中心角的知識，掌握中心角的計算公式是解題的關鍵.

【變式1-1］（2024?內蒙古?中考真題）如圖，正四邊形4BCD和正五邊形CEFG”內接于AD和斯相

交于點M,則4的度數為（）

A.26°B.27°C.28°D.30°

【答案】B

【分析】本題考查了圓內接正多邊形的性質，圓周角定理，三角形內角和定理，對頂角的性質，直角三角

形的性質，連接OC、OE、OD,設CD與所相交于點N,由圓的內接正多邊形的性質可得/CO0=9O。，

ZCOE=72°,即得/。。￡=/。0。一/。0￡；=18。，即可由圓周角定理得NOCE==9。，進而由三

2

角形內角和定理得/OW=NCA￡=63。，再由直角三角形兩銳角互余得到44MF=NDMN=27。，正確作

出輔助線是解題的關鍵.

【詳解】解：連接。C、OE、OD,設CD與斯相交于點N,

?.?正四邊形ABCD和正五邊形CEFGH內接于，

ZCOD=360°+4=90°,ZCOE=360°+5=72°,

/DOE=ZCOD-ZCOE=90°-72°=18°,

NDCE=-ZDOE=Lx,

22

（5-2）x180°

ZCEF——1--------=108°,

5

???ACNE=180。一108。-9。二63。，

J/DNM=/CNE=63。,

*/ZADC=90°,

：.ZDMN=90°-63°=21°,

：.4MF=/DMN=27。,

故選：B.

【變式1-2］（2024?內蒙古通遼?中考真題）如圖，平面直角坐標系中，原點。為正六邊形尸的中心，

跖〃x軸，點區在雙曲線歹=與左為常數，左＞0）上，將正六邊形45czm廠向上平移百個單位長度，點。恰

x

【答案】A

【分析】本題主要考查了求反比例函數解析式，正六邊形的性質，等邊三角形的性質與判定，勾股定理等

等，過點E作即，x軸于〃，連接。￡,可證明AOED是等邊三角形，則。E=OZ）,OH=DH=^OH,

進而得到設OD=2加，則OH=加，HE=#m,則E（加，屈/）,。（2m,0）,即可得到點（2加，后

在雙曲線上，再由點E也在雙曲線上，得到左=2機加，據此求解即可.

【詳解】解：如圖所示，過點E作瓦軸于X,連接OE,

原點。為正六邊形ABCDEF的中心，

360°

OE=OD,Z.EOD=^-=6CP,

6

???是等邊三角形，

：?DE=OD,

丁EHLOD,

：.OH=DH=-OD,

2

__________h

JEH=^DE2-DH2=^-OD,

2

設。。=2冽，則OH=加，HE=W,

E（加，右加），D（2m,0）,

???將正六邊形ABCDEF向上平移V3個單位長度，點。恰好落在雙曲線上,

又??,點E也在雙曲線上，

k=2m-V3=m-V3m,

解得加=2或加=0（舍去），

k=2m-V3=4\/3，

故選：A.

【變式1-3]（2024?山東東營?中考真題）我國魏晉時期數學家劉徽在《九章算術注》中提到著名的“割圓術”,

即利用圓的內接正多邊形逼近圓的方法來近似估算，指出“割之彌細，所失彌少.割之又割，以至于不可割,

則與圓周合體，而無所失矣”.“割圓術”孕育了微積分思想，他用這種思想得到了圓周率兀的近似值為3.1416,

如圖，。。的半徑為1,運用“割圓術”，以圓內接正六邊形面積近似估計。。的面積，可得兀的估計值為

處.若用圓內接正八邊形近似估計。。的面積，可得兀的估計值為.

【答案】2V2

【分析】本題考查了圓內接正多邊形的性質，三角形的面積公式，勾股定理等，正確求出正八邊形的面積

是解題的關鍵.過點/作求得乙4。3=360。+8=45。，根據勾股定理可得/M?+OA/2=。泉，

即可求解.

【詳解】

如圖，45是正八邊形的一條邊，點。是正八邊形的中心，過點4作

在正八邊形中，44。5=360。+8=45。

/.AM=OM

:04=1,AM2+OM2=OA2,解得：AM=—

2

:.S.0AB=goBxAM=9

二正八邊形為8x正=2百

4

2行=Fx萬

--71=25/2

.??兀的估計值為2收

故答案為：2立.

【變式1-4]（2024?山東濰坊?中考真題）【問題提出】

在綠化公園時，需要安裝一定數量的自動噴灑裝置，定時噴水養護，某公司準備在一塊邊長為18m的正方

形草坪（如圖1）中安裝自動噴灑裝置，為了既節約安裝成本，又盡可能提高噴灑覆蓋率，需要設計合適的

安裝方案.

說明：一個自動噴灑裝置的噴灑范圍是半徑為r(m)的圓面.噴灑覆蓋率夕=后,

S為待噴灑區域面積，發為

S

待噴灑區域中的實際噴灑面積.

這個問題可以轉化為用圓面覆蓋正方形面積的數學問題.

【探索發現】

(1)如圖2,在該草坪中心位置設計安裝1個噴灑半徑為9m的自動噴灑裝置，該方案的噴灑覆蓋率

9

(2)如圖3,在該草坪內設計安裝4個噴灑半徑均為;m的自動噴灑裝置；如圖4,設計安裝9個噴灑半徑

2

9

均為3m的自動噴灑裝置；……，以此類推，如圖5,設計安裝/個噴灑半徑均為'm的自動噴灑裝置.與

n

Cl)中的方案相比，采用這種增加裝置個數且減小噴灑半徑的方案，能否提高噴灑覆蓋率？請判斷并給出

理由.

(3)如圖6所示，該公司設計了用4個相同的自動噴灑裝置噴灑的方案,且使得該草坪的噴灑覆蓋率。=1.己

知正方形ABCD各邊上依次取點F,G,H,E,使得AE=BF=CG=DH,設AE=x(m),OQ的面積為y(n?),

求了關于x的函數表達式，并求當V取得最小值時『的值.

圖6

【問題解決】

（4）該公司現有噴灑半徑為3am的自動噴灑裝置若干個，至少安裝幾個這樣的噴灑裝置可使該草坪的噴

灑覆蓋率。=1?（直接寫出結果即可）

【答案】（1）￡；（2）不能，理由見解析；（3）/=￡（》-9）2+竺；當y取得最小值時廠=速；（4）9

42V722

【分析】（1）根據定義，分別計算圓的面積與正方形的面積，即可求解；

（2）根據（1）的方法求得噴灑覆蓋率即可求解；

（3）根據勾股定理求得x/的關系，進而根據圓的面積公式得出函數關系式，根據二次函數的性質，即可

求解；

（4）根據（3）的結論可得當圓為正方形的外接圓時，面積最小，則求得半徑為3am的圓的內接正方形的

邊長為6,進而將草坪分為9個正方形，即可求解.

【詳解】⑴當噴灑半徑為9m時，噴灑的圓面積s=-=?x92=81加？.

2

正方形草坪的面積S=/=182=324m.

故噴灑覆蓋率2=勺=券=￡.

s3244

（2）對于任意的〃，噴灑面積發“=〃2萬（2）2=81萬m2,而草坪面積始終為324m2.

n

TT

因此，無論"取何值，噴灑覆蓋率始終為彳.

這說明增加裝置個數同時減小噴灑半徑，對提高噴灑覆蓋率不起作用.

（3）如圖所示，連接所，

圖6

要使噴灑覆蓋率夕=1,即要求8=1,其中S為草坪面積，上為噴灑面積.

,0。3，都經過正方形的中心點。，

在RtA4E/中，EF=2r,AE=x,

；AE=BF=CG=DH

：.AF=\^-x,

在RG/E尸中，AE2+AF2=EF2

：.4r2=X2+(18-X)2

.__x2+(18-x)2

??y=兀尸2

???當x=9時，V取得最小值，此時4/=92+92

(4)由(3)可得，當。。1的面積最小時，此時圓為邊長為9m的正方形的外接圓,

則當I屆時，圓的內接正方形的邊長為%2x346m

而草坪的邊長為18m,—=3,即將草坪分為9個正方形，將半徑為3gm的自動噴灑裝置放置于9個正方

形的中心，此時所用裝置個數最少，

二至少安裝9個這樣的噴灑裝置可使該草坪的噴灑覆蓋率。=1

【點睛】本題考查了正方形與圓綜合問題，二次函數的應用；本題要求我們先理解和計算噴灑覆蓋率，然

后通過調整噴灑裝置的數量和噴灑半徑來分析噴灑覆蓋率的變化，最后在一個特定的條件下找出噴灑面積

和噴灑半徑之間的函數關系.解決此類問題的關鍵在于將實際問題轉化為數學問題，即如何將噴灑覆蓋率

的計算問題轉化為面積計算和函數求解問題.同時，在解決具體問題時，需要靈活運用已知的數學知識，

如圓的面積公式，正方形面積公式，以及函數解析式求解等.最后，還需要注意將數學計算結果還原為實

際問題的解決方案.

【中考模擬即學即練】

1.（2024?云南昭通?一模）如圖，正八邊形內接于。。，連接。4。5,則Z4O8的度數為（）

A.55°B.50°C.45°D.40°

【答案】C

【分析】本題考查正多邊形的性質.根據題意，由正八邊形內接于OO知，44。8=360。+8=45。.

【詳解】解：??,正八邊形內接于O。

.?.//。8=360°+8=45°.

故選：C.

2.（2024?河北?模擬預測）如圖，正六邊形和正六邊形Gm血L均以點。為中心，連接

AG,BH,CI,DJ,EK,FL（A,G,〃三點共線），若C7=2,〃=3,則正六邊形N3CDE廠的邊長為（

C.V19D.19

【答案】C

【分析】本題考查正多邊形的性質，全等三角形的性質，30。直角三角形的性質，連接3,OB,OG,OH,

根據正六邊形的性質證明A4OG也△80”,得到UGO=NB〃O=120。，BH=AG,即可得到2,I,H三

點共線，同理可得C,/,J三點共線，D,K,J三點共線，S.CI=DJ=2,然后在三角形CM中計算即可.

【詳解】連接。4,OB,OG,OH,過。作于

???正六邊形ABCDEF和正六邊形GHIJKL均以點。為中心，

AOG=OH,OA=OB,ZLGH=AGHI=ZIJK=120°,ZAOB=NGOH=N60。，

：.ZAOG=/BOH=Z60°-/BOG,ZOHI=ZHGO=Z60°,

???AAOG咨ABOH,

：.ZAGO=ZBHO,BH=AG,

,?Z,G,a三點共線，

JZAGO=180。—ZHGO=120°,

???NAGO=NBHO=120。,

：.ZBHO+ZOHI=180°f

:?B,I,H二點共線，

同理可得C,I,J三點共線，D,K,J三點共線，且C/="=2,

???NCJD=60。,

*：CJLDM,

：.ZJMD=ZCMD=9009ZJDM=30°9

**?JM=-DJ=1，DM=JD2—JM2=V22—I2=y/3，

?.?C7=2,Z/=3,

：.CM=CI+IJ-JM=A,

CD7DM?+CM。="=V19)

即正六邊形4BC￡>EF的邊長為JI?,

故選：C.

3.（2024?山西太原?模擬預測）如圖，正五邊形/BCDE內接于O。，C尸與。。相切于點C,則Z8C尸的度

數為（）

A.120°B.108°C.144°D.162°

【答案】C

【分析】連接oc,OB,OD,首先根據正多邊形的性質得到/58=上生幽=108。，然后證明出

5

△08C名AODC(SSS),得到ZOCB=ZOCD=：NBCD=54°,然后切線的性質得到ZOCP=90°,進而求解

即可.

【詳解】如圖所示，連接OC,OB,OD

?：四邊形ABCDE是正五邊形

（5-2）x180°

NBCD——』--------=108°

5

?：OB=OD,OC=OC,BC=DC

AOBC%ODC(SSS)

ZOCB=ZOCD=-ZBCD=54°

2

與。。相切于點C,

：.OC1CP

：.ZOCP=90°

NBCP=NBCO+NOCP=54°+90°=144°.

故選：C.

【點睛】此題考查了正多邊形和圓，全等三角形的性質和判定，圓切線的性質等知識，解題的關鍵是正確

作出輔助線.

4.(2024?湖南益陽?模擬預測)如圖，正五邊形的邊長為5,以頂點A為圓心，的長為半徑畫圓,

則圓與正五邊形重疊部分（圖中陰影部分）的面積為（）

B.7.5兀C.8兀D.10K

【答案】B

【分析】本題考查正多邊形和圓，扇形面積的計算.根據正五邊形的內角和定理求出正五邊形的一個內角

的度數，再根據扇形面積的計算方法進行計算即可.

【詳解】解：???五邊形/3CDE是正五邊形,

.”心（5一2:80。=]08。,

108^-X5215ru

?m——7C—7.57C,

1?3602

故選：B.

5.（2024?福建泉州?模擬預測）如圖，等邊三角形/8C和正方形。EFG均內接于O。，若EF=2,則5c的

長為（）

C.yjsD.V6

【答案】D

【分析】本題考查了正多邊形與圓，準確掌握正多邊形及圓的相關性質并能準確計算是解題關鍵.連接OE、

OF、OB、OC,過點。作0〃工BC于點利用所求出圓的半徑，再求出N80C和利用30。

直角三角形性質和勾股定理求出28,即可求出8C.

【詳解】解：連接。￡、OF,OB、OC,過點。作工BC于點石，如圖，

A

??,正方形DEFG內接于OO,

???NEO9=360。+4=90。，

?：OE=OF,EF=2,

??OE=OF=5/2,

??OB=OC=5/2,

?:等邊三角形4BC內接于OO,

JZBOC=360°^3=120°,

?：OB=OC,OHIBC,

：.BH=CH,￡BOH=0cOH=60°,

：.OH=-OB=—,

22

BH=^OB2-OH2=—,

2

BC=2BH=y[6,

故選：D.

6.（2024?廣東?模擬預測）《墨子?天志》記載：“輪匠執其規、矩，以度天下之方圓.”知圓度方，感悟數學

之美.如圖，以正方形N5C。的對角線交點為位似中心，作它的位似圖形N'B'C'D',若四邊形的外

接圓半徑為4,AB':AB=2:1,則正方形/BCD的周長為.

【答案】8&

【分析】此題考查了位似圖形的性質，正多邊形和圓的性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是掌握以上知

識點.設位似中心為。，連接CM',OB',首先得到=4,然后利用勾股定理求出

A'B'=ylOA'+OB'=4^/2,然后根據位似圖形的性質得到=2收，進而求解即可.

【詳解】解：如圖所示，設位似中心為。，連接。4',OB'

?.?正方形HB'C'D'的外接圓半徑為4,

OA'=OB'=4,ZAOB=90°

/.A'B'=s/OA'+OB'=4也

A'B':AB=2:1,

?*-AB=2>/2

?*-4AB=872.

正方形ABCD的周長為8拒.

故答案為：8^/2.

二與弧長有關的運算

題型二：與弧長有關的運算

【中考母題學方法】

【典例1】（2024?江蘇鎮江?中考真題）如圖，四邊形/BCD為平行四邊形，以點A為圓心，NB長為半徑

畫弧，交8c邊于點E,連接NE,AB=1,ZD=60°,則前的長/=（結果保留兀）.

【分析】本題考查弧長的計算，平行四邊形的性質，等邊三角形的判定和性質，關鍵是判定A42E是等邊三

角形，得到乙84E=60。.

由平行四邊形的性質推出/5=/。=60。，判定△ZBE是等邊三角形，得到NH4E=60。，由弧長公式即可求

出彘的長.

【詳解】解：???四邊形45C。是平行四邊形，

/./B=/D=60°,

由題意得：AB=AE,

..△ABE是等邊三角形，

/./B4E=60。,

AB=1,

,60^x11

，/=------=一%.

1803

故答案為：；萬.

【典例2】（2024?吉林長春?中考真題）一塊含30。角的直角三角板/3C按如圖所示的方式擺放，邊AB與

直線/重合，^=12cm.現將該三角板繞點B順時針旋轉，使點C的對應點C，落在直線/上，則點/經過

的路徑長至少為cm.（結果保留"）

【答案】8兀

【分析】本題主要考查了旋轉的性質、弧長公式等知識點，掌握弧長公式成為解題的關鍵.

由旋轉的性質可得NABCuZ^'BCuGOo叁PN4%=120°,再根據點/經過的路徑長至少為以B為圓心,

以為半徑的圓弧的長即可解答.

【詳解】解：???將該三角板繞點8順時針旋轉，使點。的對應點C'落在直線/上，

ZABC=ZA'BC=60°,BPZA'BA=120°,

120。.萬J2

點A經過的路徑長至少為，。一=871.

180

故答案為：8元.

【變式2-1］（2024?江蘇宿遷?中考真題）如圖，已知正六邊形/3CDEb的邊長為2,以點￡為圓心，所長

為半徑作圓，則該圓被正六邊形截得的方的長為.

【分析】本題主要考查了正多形的內角和和內角以及弧長公式，根據六邊形45c。斯是正六邊形，根據正

多邊內角和等于(〃-2)x180。，求出內角/。跖，再根據弧長公式即可得出答案.

【詳解】解：,??六邊形4BCQEb是正六邊形,

(6-2)x180°

JZDEF——1-------=120。,

6

4%

~3~

故答案為：？-.

【變式2-2](2024?甘肅蘭州?中考真題)“輪動發石車”是我國古代的一種投石工具，在春秋戰國時期被廣

泛應用，圖1是陳列在展覽館的仿真模型，圖2是模型驅動部分的示意圖，其中eN的半徑分別是

1cm和10cm,當。M順時針轉動3周時，eN上的點尸隨之旋轉〃。，則〃=.

圖1

【答案】108

【分析】本題主要考查了求弧長.先求出點P移動的距離，再根據弧長公式計算，即可求解.

【詳解】解：根據題意得：點尸移動的距離為3x2%xl=6%cm,

.n°x7rxl0

)?—\)7T,

180

解得：n=108.

故答案為：108

【變式2-3](2024?山東濟寧?中考真題)如圖，V/3C三個頂點的坐標分別是N(1,3),3(3,4),C(1,4).

yA

6--；--；--7--!--!--

~O123456x

（1）將V/5C向下平移2個單位長度得△44G，畫出平移后的圖形，并直接寫出點用的坐標；

⑵將△44G繞點及逆時針旋轉90。得A44c2.畫出旋轉后的圖形，并求點q運動到點c2所經過的路徑長.

【答案】⑴作圖見解析，4（30

⑵作圖見解析，兀

【分析】本題考查了作圖一平移變換和旋轉變換，弧長公式，解題的關鍵熟練掌握平移和旋轉的性質，

（1）利用平移的性質作出對應點，再連線即可，

（2）利用旋轉的性質分別作出對應點，再連線，。運動到點&所經過的路徑長即為弧長即可可求解

【詳解】（i）解：呂G如下圖所示:

（2）解：如上圖所示:

%X4Gx90°TTX2X90°

G運動到點C所經過的路徑為:---------------------------------------------------二71

2180180

【變式2-4X2024?遼寧?中考真題）如圖是V/3C的外接圓，是OO的直徑，點。在布上，就=麗,

￡在胡的延長線上，/CEA=NCAD.

cI)

（1）如圖1,求證：CE是OO的切線；

（2）如圖2,ZCEA=2ZDAB,CM=8,求前的長.

【答案】（1）見詳解

（2）2萬

【分析】（1）連接C。，貝!JZ1=N2,故/3=/1+/2=2/2,由就=而，得至I」N4=N2,而NNC3=90。,

則/G4D+2/2=90。，由NCE/=NCAD,得NCE4+2/2=90。，因止匕NCE/1+/3=90°,故NECO=90°,

則CE是。。的切線；

90°

（2）連接CO,。。，可得23=2/2=2/4=/CE4,則/3=/CEN=下=45。，故/4=22.5。，由麗=麗,

45X77"X8

得/DOB=2/4=45。,那么麗長為=2萬.

lov

【詳解】（1）證明：連接co,

??,OC=OB,

???Z1=Z2,

???/3=/l+/2=2/2,

??,公=前，

：.Z4=Z2,

???AB為直徑，

：.ZACB=90°,

???/C4D+/4+/2=90。，即/C4O+2/2=90。,

ZCEA=/CAD，

：./出+2/2=90。，

???ZCEL4+Z3=90°,

/ECO=9。。,

JOC.LCE,

：?CE是OO的切線；

(2)解：連接CO。。，

由（1）得N3=2/2=2/4,

ACEA=2ZDAB,

???/CEA=/3,

*：NECO=90。，

90°

??./3=/CEA=—=45。，

2

???Z4=22.5°,

丁麗=麗，

：.ZDOB=2Z4=45°f

【點睛】本題考查了圓周角定理，切線的判定，直角三角形的性質，三角形的外角性質，弧長公式等，正

確添加輔助線是解決本題的關鍵.

【中考模擬即學即練】

1.(2024?浙江溫州?一模)點4、B、。在。。上的位置如圖所示，乙4=70。，的半徑為3,則前的長

C.-71D.7兀

2

【答案】B

【分析】本題主要考查了弧長計算公式，圓周角定理，解題的關鍵是熟練掌握弧長公式，先根據圓周角定

理求出N3OC=2x70°=140°,然后根據弧長計算公式進行計算即可.

【詳解】解：；乙4=70。，

NBOC=2/4=2x70°=140°,

..―.s,140x3xp7

?.5C的長lx為：-^=尸

故選：B.

JT

2.（2024?湖南?模擬預測）如圖,用一個半徑為6cm的滑輪將物體G向上拉升,若物體G的上升速度為:cm/s,

上升的時間為4s,假設繩索（粗細不計）與滑輪之間沒有滑動，則圖中線段OP在這段時間內掃過的面積（單

位：cm2）是（）

A.2兀B.3兀C.4兀D.64

【答案】C

ITD

【分析】本題考查了弧長公式以及扇形面積公式，先得出物體G的上升距離是mx4=：7!（cm）,再設點尸

63

n2

旋轉路徑所對的圓心角為〃，歹|式**2/*6=2、;萬，解出〃=40。，最后運用扇形面積公式列式計算，

3603

即可作答.

【詳解】解：???物體G的上升速度為?JTcm/s,上升的時間為4s,

6

7TQ

物體G的上升距離是己、4=：兀（（?）,

則在這個時間內，設點P旋轉路徑所對的圓心角為〃，

..x2/x6=2x—/,

3603

解得〃=40。，

線段OP在這段時間內掃過的面積=警x萬x6?=4Mem?）,

2An\）

故選：C.

3.（2024?陜西商洛?模擬預測）傳統服飾日益受到關注，如圖①為明清時期女子主要裙式之一的馬面裙，如

圖②馬面裙可以近似地看作扇形的一部分，其中石的長度為？米，裙長/8=0.8米，圓心角

ZAOD=ZBOC=60°,則OB的長為（）

O

圖①圖②

A.1米B.1.8米C.2米D.2.2米

【答案】B

【分析】本題考查了弧長公式.由題意知，*==g乃，求得。4=1,得到03=1.8米即可.

【詳解】解：由題意知，除=叱J"叫,

loO3

解得OA=1,

?.?裙長42為0.8米，

05=1.8米，

故選：B.

4.（2024?四川眉山?二模）7個半徑均為『的硬幣兩兩外切，如圖所示，若將左邊第一個硬幣沿著剩下硬幣

的圓周滾動一圈回到原來的位置（其余6個硬幣固定不動），那么這個硬幣在滾動時圓心移動的路徑長為（

【答案】C

【分析】本題主要考查了弧長的計算的應用等知識點，根據題意確定運動路徑是由由4個孤1與8個孤2

組成，然后利用弧長公式計算即可得解，熟練掌握弧長的計算是解決此題的關鍵.

該硬幣圓心路徑由4個孤1與8個孤2組成,

，由圓半徑相等得，AB=AC=BC=方，

.?.V4BC為等邊三角形，

，ZABC=ABAC=NCAB=60°,

ZDAC=120°,ZCBE=60°,

.,.弧1的長==：萬廠，弧2的長=二^萬廠，

4932

二總路徑長=一乃rx4+—TZTx8——7TK,

333

故選：C.

5.（2023?內蒙古呼倫貝爾?一模）已知一弧長為加，此弧所對圓心角為120。，則此弧所在圓的半徑為—

cm.

【答案】15

【分析】根據弧長公式進行求解即可.此題考查了弧長公式，/=篙Y17TV，其中〃是圓心角度數，『為半徑,

180

熟練掌握弧長公式是解題的關鍵.

【詳解】解：設扇形所在圓的半徑為rcm,

1120萬一

則E=i。％,

解得r=15,

故答案為：15.

6.（2024?浙江溫州?三模）在半徑為18cm的圓上有一段弧，弧長是12;rcm,則該弧所對的圓周角的度數

為

【答案】60。/60度

【分析】考查了弧長的計算，解答本題關鍵是熟練掌握弧長的計算公式，及公式字母表示的含義.

ijjrr

根據弧長的計算公式：1=嘿（弧長為/,圓心角度數為“，圓的半徑為，,），代入即可求出圓心角的度數.

1oO

【詳解】根據弧長的公式/=篙

180

/日卻MX18

得到：12萬=------

180

解得〃=120。，

故圓周角為60。

故答案為：60°.

7.（2024?山東濟南?一模）如圖1,我國是世界上最早制造使用水車的國家.如圖2是水車舀水灌溉示意圖,

水車輪的輻條（圓的半徑）0/長約為6米，輻條盡頭裝有刮板，刮板間安裝有等距斜掛的長方體形狀的水

斗，當水流沖動水車輪刮板時，驅使水車徐徐轉動，水斗依次舀滿河水在點A處離開水面，逆時針旋轉150。

上升至輪子上方5處，斗口開始翻轉向下，將水傾入木槽，由木槽導入水渠，進而灌溉，那么水斗從A處（舀

水）轉動到B處（倒水）所經過的路程是米.（結果保留萬）

圖1圖2

【答案】5萬

【分析】本題考查了弧長的計算，根據弧長公式進行計算，即可解答，熟練掌握弧長公式是解題的關鍵.

【詳解】解：由題意得：叱：*6=5%（米）,

180

...水斗從A處（舀水）轉動到B處（倒水）所經過的路程是5萬米,

故答案為：5萬.

8.（2023?四川綿陽?模擬預測）如圖，正三角形的高是3厘米，正方形的邊長是正三角形的2倍，木塊從圖

①的位置開始，沿著木樁的邊緣滾動，滾動過程如圖②，圖③所示，木塊滾動一周后回到原位置，那么正

三角形正中心的點/經過的路徑長度為（%=3）.

【分析】本題考查了弧長的計算、旋轉的性質.找出點4軌跡是解題的關鍵.利用弧長公式，可以解決問

題.

【詳解】解：如圖,

4和4都是正三角形的中心，

AAfiC=ZA2OD=-X60°=30°,

2

，=120。，四個角上的弧所對圓心角為N&O4=210。，O4=O4=§x3=2,

第1次滾動，點/運動軌跡是以圓心。、圓心角150。，/O為半徑的弧44，

第2次滾動，是以圓心。'、圓心角為210。，O4半徑的弧44接下來運動類似，

如圖中虛線，

.__1/心120^x2210^-2^44

二/點運動的路徑長度=4|=—^~44.

I1oil1oOy5

故答案為：44.

9.(22-23九年級上?浙江紹興?期末)如圖，在OO中，CD是直徑，弦48LCD,垂足為點E,連接/C,

AD.

(1)求證：NC=NBAD.

⑵若/C=30。，OC=3,求標的長度.

【答案】(1)見解析

(2)2萬，見解析

【分析】本題考查垂徑定理，圓周角定理及推論，弧長計算；連接輔助線，從而運用圓周角定理及推論得

到角之間的關系是解題的關鍵.

(1)連接C8,由垂徑定理，得益=麗,由圓周角定理推論知/BCD=N4CD,ZBCD=ABAD,所以

ZACD=ABAD.

（2）如圖，連接ON,OB,由圓周角定理可推出乙4。8=2//。8=120。，根據弧長公式計算求解.

【詳解】（1）證明：連接C5,

D

是直徑，弦48LCD,

,,AD=BD?

???/BCD=ZACD.

又：/BCD=/BAD.

：.ZACD=/BAD；

(2)解：如圖，連接CM,OB,則//O8=2乙4c5,

D

;AD=BD，

：.ZACD=/BCD,

???AACB=2ZACD=60°,

：.ZAOB=nO°

???蕊的長度1=20燃4=2彳3兀=2萬.

1oilJ

題型三：與扇形面積有關的計算

【中考母題學方法】

【典例1】（2024?廣東深圳?中考真題）如圖，在矩形45CD中，BC=42AB,。為3c中點，OE=4B=4,

則扇形E。尸的面積為.

【分析】本題考查了扇形的面積公式，解直角三角形.利用解直角三角形求得=0,NCOb=45。，

得到NEOF=90°,再利用扇形的面積公式即可求解.

【詳解】解：=48=4,

BC=4五,

為8c中點,

：.OB=OC=-BC=2y/2f

2

OE=4,

在RMO5E中，cosZBOE=—2也收

OE42

NBOE=45°,

同理/COF=45°,

40尸=180°—45°—45°=90°,

QOTT-42

???扇形EOF的面積為-=4%,

360

故答案為：47.

【典例2X2024?山東青島?中考真題）如圖，4B,C,。是。O上的點，半徑3=3,蕊=CD，/DBC=25。,

連接4D，則扇形的面積為（）

555

A.-71B.-71C.一兀D.—71

48212

【答案】A

【分析】本題考查了圓周角定義，扇形的面積，連接。C、OD,由圓周角定理可得/COD=2/D8C=50。,

進而得乙403=/COD=50。，再根據扇形的面積計算公式計算即可求解，掌握圓周角定理及扇形的面積計

算公式是解題的關鍵.

【詳解】解:連接OC、OD,則ZCOD=2NDBC=50°,

50XJIX32

故選：A.

【變式3-1]（2024?山東東營?中考真題）習近平總書記強調，中華優秀傳統文化是中華民族的根和魂.東

營市某學校組織開展中華優秀傳統文化成果展示活動，小慧同學制作了一把扇形紙扇.如圖，CM=20cm,

05=5cm,紙扇完全打開后，外側兩竹條（竹條寬度忽略不計）的夾角44。。=120。.現需在扇面一側繪

制山水畫，則山水畫所在紙面的面積為（）cn?.

B.75兀C.12571D.150TI

【答案】C

【分析】將山水畫所在紙面的面積轉化為大小兩個扇形的面積之差即可解決問題.本題主要考查了扇形面

積的計算，熟知扇形面積的計算公式是解題的關鍵.

【詳解】解：由題知，

c120-^--202400（2\

$扇形。"=——=—^cm-）

所以山水畫所在紙面的面積為：寸Z-3萬=125萬（cm）.

故選：C.

【變式3-2］（2024?河南?中考真題）如圖，。。是邊長為4G的等邊三角形Z5C的外接圓，點。是數的

中點，連接3D,CD.以點。為圓心，5。的長為半徑在0。內畫弧，則陰影部分的面積為（）

A

D

A.—B.47tC.”藝D.16K

33

【答案】C

【分析】過。作于E,利用圓內接四邊形的性質，等邊三角形的性質求出NBDC=120。，利用弧、

弦的關系證明AD=CD,利用三線合一性質求出8E=,BC=26，ZBDE=-NBDC=60。，在RtABDE中,

22

利用正弦定義求出BD,最后利用扇形面積公式求解即可.

【詳解】解：過D作。于E,

A

D

VOO是邊長為4G的等邊三角形4BC的外接圓,

50=473'N4=60°,Z8DC+Z4=180°，

NBDC=120°,

:點。是病的中點，

二防=①，

BD=CD,

：.BE=-BC=1^,ZBDE=-ABDC=6Q°,

22

2A/3

???BD=———二=4,

sinZBDEsin60°

.01207r4167r

影一F

3

故選：C.

【點睛】本題考查了圓內接四邊形的性質，等邊三角形的性質，等腰三角形的性質，扇形面積公式，解直

角三角形等知識，靈活應用以上知識是解題的關鍵.

【變式3-3］（2024?河北?中考真題）扇文化是中華優秀傳統文化的組成部分，在我國有著深厚的底蘊.如

圖，某折扇張開的角度為120。時，扇面面積為S、該折扇張開的角度為〃。時，扇面面積為色，若機=寸

3

則加與“關系的圖象大致是（）

【分析】本題考查正比例函數的應用,扇形的面積，設該扇面所在圓的半徑為R,根據扇形的面積公式表示

rmR”率即可得出結論.掌握扇形的面積公式是解題的關

出成2=35,進一步得出邑=—,再代入機=

360120

鍵.

【詳解】解：設該扇面所在圓的半徑為尺,

。120位?22

S=---=-n-R

3603

/.兀&=3S,

?.?該折扇張開的角度為〃。時，扇面面積為

.rmR2nnnS

??S=-------=-----xnR2=-----x3S=------,

360360360120

nS

Sionn1

m=—n=-L型=---=----n

SS120120

加是〃的正比例函數,

,/M>0,

.??它的圖像是過原點的一條射線.

故選：C.

【中考模擬即學即練】

1.（2024?云南?模擬預測）已知扇形的弧長為4?cm,面積為24〃cm2,則此扇形的圓心角為度.

【答案】60

【分析】本題考查求扇形的圓心角，根據扇形的面積公式進行求解即可.

【詳解】解：設扇形的半徑為廠，圓心角的度數為〃。，

由題意，得：—x4^r=247T,

2

Ar=12,

〃=60；

故答案為：60.

2.（2024?北京?三模）已知一個扇形的面積是12兀，弧長是2無，則這個扇形的半徑為.

【答案】12

【分析】本題考查扇形面積公式S=（》,根據扇形面積公式直接代入求解即可得到答案.

【詳解】解：???一個扇形的面積是12兀，弧長是2萬，

127r=-x27ir,

2

解得：r二12,

故答案為：12.

3.（2024?黑龍江大慶?中考真題）如圖所示的曲邊三角形也稱作“萊洛三角形”，它可以按下述方法作出：作

等邊三角形/5C；分別以點A,B,。為圓心，以48的長為半徑作前，AC，AB.三段弧所圍成的圖形

就是一個曲邊三角形.若該“萊洛三角形”的周長為3兀，則它的面積是.

2

【分析】本題考查了弧長的計算，扇形面積的計算，三角函數的應用，曲邊三角形是由三段弧組成，如果

周長為3兀,則其中的一段弧