專題10相似三角形

目錄

01理?思維導圖：呈現教材知識結構，構建學科知識體系。

02盤.基礎知識：甄選核心知識逐項分解，基礎不丟分。（4大模塊知識梳理）

知識模塊一：比例線段及其性質

知識模塊二：平行線分線段成比例

知識模塊三：相似三角形的性質與判定

知識模塊四：位似圖形

03究?考點考法：對考點考法進行細致剖析和講解，全面提升。（12大基礎考點）

考點一：黃金分割

考點二：平行線分線段成比例

考點三：選擇合適的方法證明兩個三角形相似

考點四：利用相似三角形的性質求解

考點五：相似三角形的性質與判定綜合

考點六：利用相似三角形列函數關系式

考點七：利用三點定形法證明比例式或等積式

考點八：利用相似三角形解決實際問題

考點九：利用相似三角形的性質與判定解決多結論問題

考點十：相似三角形與函數綜合

考點十一：利用位似圖形的性質求解

考點十二：坐標系中畫位似圖形

04破，重點難點：突破重難點，沖刺高分。（9大重難點）

考點一：利用相似三角形的性質與判定解決折疊問題

考點二：利用相似三角形的性質與判定解決動態函數圖象

考點三：相似模型-A型

考點四：相似模型-X型

考點五：相似模型-母子型

考點六：相似模型-手拉手模型

考點七：相似模型-角含半角模型

考點八：相似模型-三角形內接矩形模型

考點九：相似模型-一線三等角模型

考點十一：05辨?易混易錯：點撥易混易錯知識點，夯實基礎。（3大易錯點）

易錯點1：當三角形對應關系不明確時，未進行分類討論而漏解

易錯點2：未掌握相似比與面積比的關系

易錯點3：求位似圖形對應坐標時漏解

愿緡。吩'

兩條線段被一組對應的線段成比例

基本事實

若將所截出的小線段位置靠上的稱為上

匕上上下下

位置靠下的稱為下下一下'至=至'至二至

平行^分線段成比例q小由5卜

兩條線段合成的線段稱為全

截其它兩邊

me平行于三角形所得對應硼

截兩邊的延長線

的直線

三個角相等

知識梳理定義兩個三角形中

三條邊成比例

相似三角形

相便圖形

點連線交于一點三要素

相

似對應線段平行或共線

位似

三位似圖形相似

角對應邊互相平行或者共線

形對應點到位似中心的距離之比=相似比

若有平行線，直接得出三角形相似

在幾何圖形中

找三角形相似若無平行按判定方法逐個判斷

找題目隱含條件，如公共角、對頂角等

學法指導

結合三角形的性質，確定三角形各角度數

在正方形的網格中

確定三角形相似結合勾股定理，確定三角形各邊長

運用三角腌似的方法得出結論

基森如說

知識模塊一：比例線段及其性質

知識點一：兩條線段的比及比例線段

定義：如果選用同一長度單位的兩條線段a,b的長分別是m和n,就說兩條線段的比是a：b=m：n,或寫

成上n=竺rrj，和數的比一樣，兩條線段的比a:b中a叫做比的前項，b叫做比的后項.（兩條線段長度的比叫

bn

做這兩條線段的比）

【易錯點】

1）“線段的比”與“線段的比值”區別：線段的比是運算，線段的比值是一個結果，是一個數；

2）求兩條線段的比時，須統一成相同的單位，最終的比值與單位無關，比值沒有單位；

3）線段的比，最終要化成最簡整數比.

比例線段：在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線

段，簡稱比例線段.四條線段a,b,c,d,如果幺=￡，那么a,b,c,d叫做組成比例的項，線段a,d

bd

叫做比例外項，線段b,c叫做比例內項.

qr）

比例中項：如果比例線段的內項是兩條相同的線段，即。：沙=沙：C或上=上，那么線段b叫做線段a,c的

bc

比例中項.

知識點二：比例的基本性質

1)基本性質：-=-^ad=bc(bd^O)

bd

智（瓦不為O）

2）推論：冷=j2,〃不為。）

—=—不為0）

3）合比性質:?誓嚀叱。）,分比性質：冷。*=小”）

合分比性質:產沙必0）=審=詈（（即（訓/0）

八小riULH工中4CeTYL7/71rr\\JJV7/^+^+^+...+7717

4)等比性質：如果———二一二…二—=k(b+d+f+…+0),JPA----------------=k

bdfnb+d+f+...+n

5）黃金分割

RC1AR

定義：如圖，點B把線段AC分割成AB和BC兩部分（AB>BC）,滿足——=——（此時線段AB是線段AC,BC

ABAC

的比例中項），那么稱點B為線段AC的黃金分割點，AB與AC（或BC與AB）的比成為黃金比，它們的比值

為J*5L-」1，近似值為0.618.

2

AB

【補充】

1）黃金分割是以線段的比例中項來定義的;

A3（長）_BC?）_乒1

2AC，全）—A3（長j-2~0.618,0.618又被稱為黃金分割數;

知識模塊二：平行線分線段成比例

知識點一：平行線分線段成比例

定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例.

1'7K例."口圖，所倚的對應戌段成比彳列的有=瞿或祟=照或能=整或器=黑或黑=白等等?

上上卡上上—下下一下下一上下梃梃

2）對應線段成比例可用語言形象表示:示〕或蔣鏟于工或至=至或丁下等等?

推論：平行于三角形一邊的直線與其它兩邊（或兩邊的延長線）相交，截得的對應線段成比例.

則有筆=AEADAEDBCD

如圖，若DE〃BC,

AC

知識模塊三：相似三角形的性質與判定

知識點一：相似三角形的定義

相似三角形的定義：三個角對應相等，三條邊對應成比例的兩個三角形叫做相似三角形.如4ABC

和4DEF相似可表示為△ABCs^DEF.

【補充】三角形全等是三角形相似的特殊情況，全等三角形的相似比等于1.

【注意事項】符號“S”表示兩個三角形相似時，要把表示對應頂點的大宇母寫在對應的位置上，如

△ABC^ADEF,表示頂點A與D,B與E,C與F分別對應；

【易錯點】如果僅說aABC與4DEF相似，沒有用“s”連接，則需要分情況討論它們之間的對應關系.

相似比：相似三角形對應邊的比叫做相似比.

【補充】相似比具有順序性，如△ABCs/\DEF,相似比為k,則4DEF與△ABC的相似比為

k

常見的基本圖形:

圖①和圖②分別為“A型”圖和“X型”圖，條件是DE〃BC,基本結論是△ABCS^ADE；

圖③'圖④是圖①的變形圖，圖⑤是圖②的變形圖；

圖⑥是“母子型”圖，條件是BD為直角AABC斜邊上的高，基本結論是△ABCs^BDCs/\ADB.

知識點二：相似三角形的判定

相似三角形的判定方法：

1）判定三角形相似的常用定理：

①平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或其延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似.

②三邊成比例的兩個三角形相似；

③兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似；

④兩角分別相等的兩個三角形相似.

2）直角三角形相似的判定方法：

①有一個銳角相等的兩個直角三角形相似.

②兩組直角邊成比例的兩個直角三角形相似.

③斜邊和直角邊對應成比例的兩個直角三角形相似.

知識點三：相似三角形的性質

相似三角形的性質：

1）相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等.

【補充】己知兩三角形相似，寫對應角相等，對應邊成比例時，原則是“大對大，小對小；長對長，短

對短”.

【小技巧】相似多邊形對應邊的比相等是求某條線段的長或求兩條線段的比的一種常用方法，采用此方

法時一定要注意找準對應關系.

2）相似三角形對應高，對應中線，對應角平分線的比都等于相似比.

3）相似三角形周長的比等于相似比.

4）相似三角形面積比等于相似比的平方.

5）傳遞性：若△ABCS^BDC,AABC^AADB,則△BDCS^ADB.

知識模塊四：位似圖形

知識點一：位似圖形的性質

1）位似圖形的所有對應點的連線所在的直線相交與一點.

2）位似圖形的對應線段平行（或在同一條直線上）且比相等.

3）位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于相似比.

4）位似圖形是相似圖形,具有相似圖形的一切性質.

5）一對對應邊與位似中心（不在同一直線上）形成的兩個三角形相似

知識點二：位似變換的坐標特征

一般地，在平面直角坐標系中，如果以原點為位似中心，畫出一個與原圖形位似的圖形，使它與原

圖形的相似比為k,那么與原圖形上的點（x,y）對應的位似圖形上的點的坐標為（kx,ky）或（-kx,-ky）.

【小結】以原點為位似中心的位似圖形的坐標符號變化：若兩個圖形在原點同側，則對應點的橫、縱坐標

符號相同；若兩個圖形在原點異側，則對應點的橫、縱坐標符號相反.

◎考點著法

考點一：黃金分割

1.（2024?山西?中考真題）黃金分割是漢字結構最基本的規律.借助如圖的正方形習字格書寫的漢字“晉”

端莊穩重、舒展美觀.已知一條分割線的端點A,8分別在習字格的邊MN,PQ上，且力BIINP,“晉”字的筆

畫“、”的位置在48的黃金分割點C處，且黑=浮,若NP=2cm,則BC的長為cm（結果保留根號）.

2.（2023?四川達州?中考真題）如圖，樂器的一根弦48=80cm,兩個端點A,2固定在樂器面板上，支撐

點C是靠近點B的黃金分割點，即AC?=AB-BC,支撐點D是靠近點A的黃金分割點，則兩個支撐點C,

。之間的距離cm.（結果保留根號）

3.（2024.廣東.模擬預測）大自然是美的設計師，校園里一片小小的樹葉，也蘊含著“黃金分割”的美.如圖,

A.0.505B.0.618C.0.707D.0.828

考點二：平行線分線段成比例

1.（2023?江蘇?中考真題）小明按照以下步驟畫線段的三等分點:

畫法圖形

A

1.以A為端點畫一條射線；

X\

2.用圓規在射線上依次截取3條等長線段AC、CD、DE,連接BE；

X\\

3.過點C、。分別畫BE的平行線，交線段48于點M、N,M、N就是

線段A8的三等分點.

AM、N、B

這一畫圖過程體現的數學依據是（）

A.兩直線平行，同位角相等

B.兩條平行線之間的距離處處相等

C.垂直于同一條直線的兩條直線平行

D.兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例

2.（2023?四川雅安?中考真題）如圖，在回48CD中，尸是4。上一點，CF交BD于點E,CF的延長線交B4的

延長線于點G,EF=1,EC=3,貝UGF的長為（）

3.（2024.廣東深圳.中考真題）如圖，在△ABC中,AB=BC,tan/2=*。為BC上一點，且滿足箸=，過

D作DE1AD交2C延長線于點E,則箏=.

A

E

考點三：選擇合適的方法證明兩個三角形相似

1.（2024?廣東廣州?中考真題）如圖，點E,F分別在正方形4BCD的邊BC,CD上，BE=3,EC=6,CF=2.求

證：AABE-^AECF.

2.（2023?貴州?中考真題）如圖，已知。。是等邊二角形4BC的外接圓，連接CO并延長交4B于點。，交。。

于點E,連接E4EB.

（1）寫出圖中一個度數為30。的角：,圖中與Aac。全等的三角形是；

（2）求證：AAEDs^CEB；

（3）連接。40B,判斷四邊形。4E8的形狀，并說明理由.

3.（2022?江蘇鹽城?中考真題）如圖，在△ABC^L4B'C'中，點D、D'分別在邊BC、B'C'上，且△ACD八A'C'D',

若，則請從①黑=黑；②胎=需；③/BAD=NB2D這三個選項中

選擇一個作為條件（寫序號），并加以證明.

考點四：利用相似三角形的性質求解

1.（2022?云南?中考真題）如圖，在AABC中，D、E分別為線段8C、BA的中點，設AABC的面積為51

△E8D的面積為$2,則|j=（）

2.（2024?四川巴中?中考真題）如圖，是用12個相似的直角三角形組成的圖案.若。4=1,貝UOG=（）

3.（2024?上海楊浦?一模）如圖，在A/IBC中，點G是重心，過點G作GDIIBC,交邊AC于點。，聯結BG,

如果SAABC=36,那么S四邊形BGDC=-----

考點五：三角形的性質與判定綜合

1.（2024?寧夏?中考真題）如圖，在EIABCD中，點M,N在4。邊上，AM=DN,連接CM并延長交的延長

線于點E,連接BN并延長交CD的延長線于點R求證：AE=DF.小麗的思考過程如下：

平行四邊形

EF

\壽三角形相似

：對應邊成比例

；i

；AE=DF

參考小麗的思考過程，完成推理.

2.（2024?山東德州?中考真題）有一張如圖所示的四邊形紙片，AB=AD=6m,CB=CD=8cm,乙B為

直角，要在該紙片中剪出一個面積最大的圓形紙片，則圓形紙片的半徑為cm.

3.（2024?山東日照?中考真題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點4（4,0）,C（0,4&）是矩形CMBC的頂點，

點M,N分別為邊力B,OC上的點，將矩形04BC沿直線MN折疊，使點8的對應點8,在邊04的中點處，點C的

對應點C，在反比例函數y=三@手0）的圖象上，則k=

考點六：利用相似三角形列函數關系式

1.（2023?山東青島?中考真題）如圖，在菱形4BCD中，對角線AC,BD相交于點。，AB=10cm,BD=

4V5cm.動點尸從點A出發，沿4B方向勻速運動，速度為lcm/s；同時，動點。從點A出發，沿4。方向勻

速運動，速度為2cm/s.以AP,4Q為鄰邊的平行四邊形4PMQ的邊PM與4C交于點E.設運動時間為

t（s）（0<t<5）,解答下列問題：

D

(2)連接BE.設APEB的面積為S(cm2),求S與t的函數關系式和S的最大值；

(3)是否存在某一時刻右使點B在NPEC的平分線上？若存在，求出f的值；若不存在，請說明理由.

2.(2023?黑龍江綏化?中考真題)已知：四邊形48CD為矩形，AB=4,AD=3,點尸是8C延長線上的一

個動點(點F不與點C重合).連接4F交CD于點G.

(1)如圖一，當點G為CD的中點時，求證：4ADGW4FCG.

(2)如圖二，過點C作CE14F,垂足為E.連接BE,設=x,CE=y.求y關于x的函數關系式.

(3)如圖三，在(2)的條件下，過點B作BM1BE,交F4的延長線于點M.當CF=1時，求線段BM的長.

3.(2022?四川資陽?中考真題)如圖，平行四邊形48CD中，AB=5,8C=10,BC邊上的高AM=4,點、E

為BC邊上的動點(不與B、C重合，過點E作直線4B的垂線，垂足為R連接DE、DF.

⑴求證：AABM~AEBF；

(2)當點E為BC的中點時，求DE的長；

(3)設BE=久,ADEF的面積為y,求y與尤之間的函數關系式，并求當x為何值時，y有最大值，最大值是多

少？

考點七：利用三點定形法證明比例式或等積式

1.(2023?浙江杭州?中考真題)如圖，在。。中，直徑力B垂直弦CD于點E,連接4C,4D,BC,作CF14D于

點F，交線段。B于點G(不與點0,8重合)，連接0F.

(1)若BE=1,求GE的長.

(2)求證：BC2=BG-BO.

(3)若FO=FG,猜想NC4D的度數，并證明你的結論.

2.(2024?黑龍江大慶?中考真題)如圖，AABC為。。的內接三角形，4B為。。的直徑，將△力BC沿直線4B

翻折到AABD,點。在。。上.連接CD,交力B于點E,延長BD,CA,兩線相交于點P,過點4作。。的切線

交BP于點G.

⑴求證：AG||CD；

(2)求證：PA2=PG-PB-,

(3)若sinNAPD=PG=6.求tan/AGB的值.

3.(2024?廣東?中考真題)【知識技能】

(1)如圖1,在A/IBC中，DE是AABC的中位線.連接CD,將△ADC繞點O按逆時針方向旋轉，得到△

A'DC.當點E的對應點E'與點A重合時，求證：AB=BC.

【數學理解】

(2)如圖2,在AABC中(4B<8C),DE是AABC的中位線.連接CD,將△ADC繞點￡>按逆時針方向旋轉,

得到AADC',連接AB,C'C,作AA/D的中線OF.求證：2DF-CD=BD-CC.

【拓展探索】

（3）如圖3,在△力8c中,tanB=%點。在AB上,4。=著.過點D作DE1BC,垂足為E,BE=3,CE=率在

四邊形2DEC內是否存在點G,使得N4GD+NCGE=180。？若存在，請給出證明；若不存在，請說明理由.

考點八：利用相似三角形解決實際問題

1.（2024?四川自貢?中考真題）為測量水平操場上旗桿的高度，九（2）班各學習小組運用了多種測量方法.

圖1（利用影子）圖3（利用標桿）

（1）如圖1,小張在測量時發現，自己在操場上的影長EF恰好等于自己的身高DE.此時，小組同學測得旗桿

AB的影長BC為11.3m,據此可得旗桿高度為m；

（2）如圖2,小李站在操場上E點處，前面水平放置鏡面C,并通過鏡面觀測到旗桿頂部A.小組同學測得小

李的眼睛距地面高度DE=1.5m,小李到鏡面距離EC=2m,鏡面到旗桿的距離CB=16m.求旗桿高度；

（3）小王所在小組采用圖3的方法測量，結果誤差較大.在更新測量工具，優化測量方法后，測量精度明顯

提高，研學旅行時，他們利用自制工具，成功測量了江姐故里廣場雕塑的高度.方法如下：

圖4（找水平線）圖5（定標高線）圖6（測雕塑高）

如圖4,在透明的塑料軟管內注入適量的水，利用連通器原理，保持管內水面M,N兩點始終處于同一水平

線上.

如圖5,在支架上端P處，用細線系小重物。，標高線PQ始終垂直于水平地面.

如圖6,在江姐故里廣場上E點處，同學們用注水管確定與雕塑底部B處于同一水平線的。，G兩點，并標

記觀測視線DA與標高線交點C,測得標高CG=1.8m,DG=1.5m.將觀測點。后移24m到》處，采用同樣

方法，測得C'G，=1.2m,D'G'-2m.求雕塑高度（結果精確到lm）.

2.（2022?江蘇連云港?中考真題）我市的花果山景區大圣湖畔屹立著一座古塔一阿育王塔，是蘇北地區

現存最高和最古老的寶塔.小明與小亮要測量阿育王塔的高度，如圖所示，小明在點a處測得阿育王塔最高

點C的仰角NC4E=45°,再沿正對阿育王塔方向前進至B處測得最高點C的仰角NCBE=53。，AB=10m；

小亮在點G處豎立標桿FG,小亮的所在位置點0、標桿頂尸、最高點C在一條直線上,FG=1.5m,GO=2m.（注:

結果精確到。01m,參考數據：sin53°?0.799,cos53°~0.602,tan53°?1.327）

c

（1）求阿育王塔的高度CE;

（2）求小亮與阿育王塔之間的距離ED.

3.（2024福建漳州?模擬預測）為了加強視力保護意識，歡歡想在書房里掛一張測試距離為5m的視力表，

但兩面墻的距離只有3m.在一次課題學習課上，歡歡向全班同學征集“解決空間過小，如何放置視力表問題”

的方案，其中甲、乙兩位同學設計方案新穎，構思巧妙.

方如圖①是測試距離為5m的大視力表，可以用硬紙板使用平面鏡成像的原理來解決房間小的問題.如

案制作一個測試距離為3m的小視力表②.通過測量大圖，在相距3m的兩面墻上分別懸掛視力表（4B）

視力表中的高度（8C的長），即可求出小視力與平面鏡（MN）,由平面鏡成像原理，作出了

表中相應的“E”的高度（。尸的長）光路圖,通過調整人的位置,使得視力表4B的上、

下邊沿4,8發出的光線經平面鏡MN的上下邊沿

反射后射入人眼C處，通過測量視力表的全長

（X5）就可以計算出鏡長MN

（1）甲生的方案中如果大視力表中“E”的高是3.5cm,那么小視力表中相應“E”的高是多少？

（2）乙生的方案中如果視力表的全長為0.8m,請計算出鏡長至少為多少米.

考點九：利用相似三角形的性質與判定解決多結論問題

1.（2023?山東泰安?中考真題）如圖，△ABC是等腰三角形，AB=AC,乙4=36。.以點8為圓心，任意長

為半徑作弧，交A8于點孔交BC于點G,分別以點P和點G為圓心，大于^FG的長為半徑作弧，兩弧相

交于點H作射線88交AC于點分別以點B和點。為圓心，大于18。的長為半徑作弧，兩孤相交于M、

N兩點，作直線交于點E,連接。E.下列四個結論：①"ED=〃BC；@BC=AE；③ED=|SC；

④當4C=2時，AD=>/5-l.其中正確結論的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

2.（2022.黑龍江牡丹江.中考真題）如圖，在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形AOE中，ABAC=/.DAE=

90°,點。在BC邊上，OE與AC相交于點F,AH1DE,垂足是G,交BC于點H.下列結論中：①AC=CD；

@V2AD2=BC-AF；③若AD=3逐，DH=5,貝UBD=3；@AH2=DH-AC,正確的是.

A

3.（2022?江蘇揚州?中考真題）如圖，在2L4BC中，AB<AC,將△ABC以點4為中心逆時針旋轉得到△ADE,

點D在BC邊上，DE交2C于點F.下歹!J結論：①AAFE?ADFC；②平分NBDE；③NCDF=NB力D,其

中所有正確結論的序號是（）

A.①②B.②③C.①③D.①②③

考點十：相似三角形與函數綜合

1.（2024?山東東營.中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=/+b久+c與x軸交于4（一1,0）,

B（2,0）兩點，與y軸交于點C,點。是拋物線上的一個動點.

（1）求拋物線的表達式；

（2）當點。在直線BC下方的拋物線上時，過點。作y軸的平行線交BC于點E,設點。的橫坐標為t,DE的長為I,

請寫出2關于t的函數表達式，并寫出自變量t的取值范圍；

（3）連接4D,交BC于點F,求受空的最大值.

SAAEF

2.（2024?江西?中考真題）綜合與實踐

如圖，在RtZkABC中，點。是斜邊4B上的動點(點。與點A不重合)，連接CD,以CD為直角邊在CD的右

側構造RtACDE,KDCE=90°,連接BE,—=—=m.

圖1圖2圖3

特例感知

(1)如圖1,當機=1時，BE與2D之間的位置關系是,數量關系是；

類比遷移

(2)如圖2,當小大1時，猜想BE與2。之間的位置關系和數量關系，并證明猜想.

拓展應用

(3)在(1)的條件下，點廠與點C關于DE對稱，連接。尸，EF,BF,如圖3.已知4C=6,設4。=%,

四邊形CDFE的面積為y.

①求y與x的函數表達式，并求出y的最小值；

②當BF=2時，請直接寫出4。的長度.

3.(2023?山東濱州?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，菱形04BC的一邊OC在x軸正半軸上，頂點4的

坐標為(2,2次)，點。是邊OC上的動點，過點。作DE1OB交邊。4于點E,作DF||OB交邊8c于點F,連接

EF.設。D=%,△DEF的面積為S.

(1)求S關于x的函數解析式；

(2)當支取何值時，S的值最大？請求出最大值.

考點十一：利用位似圖形的性質求解

1.(2024?黑龍江綏化?中考真題)如圖，矩形6MBe各頂點的坐標分別為。(0,0),4(3,0),C(0,2),

以原點。為位似中心，將這個矩形按相似比：縮小，則頂點B在第一象限對應點的坐標是()

A.(9,4)B.(4,9)C.(1,|)D.(1,|)

2.(2024?四川涼山?中考真題)如圖，一塊面積為60cm2的三角形硬紙板(記為AaBC)平行于投影面時,

在點光源。的照射下形成的投影是△若。B:BB】=2:3,貝必A/16的面積是()

3.(2023?遼寧?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，四邊形O4BC的頂點坐標分別是

0(0,0),4(1,0),B(2,3),c(-l,2),若四邊形。49C，與四邊形。ABC關于原點。位似，且四邊形

。48(，的面積是四邊形。48。面積的4倍，則第一象限內點夕的坐標為.

考點十二：在坐標系中畫位似圖形

1.(2022?廣西河池?中考真題)如圖、在平面直角坐標系中，AA8C的三個頂點的坐標分別為A(1,2),

B(2,3)，C(4,1).

⑴畫出與"BC關于y軸對稱的AA向G；

⑵以原點。為位似中心，在第二象限內畫一個△4282C2,使它與AABC的相似比為2:1,并寫出點治的坐標.

2.(2020?遼寧丹東?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，網格的每個小方格都是邊長為1個單位長度

的正方形，點4,B,C的坐標分別為4(1,2),5(3,1),C(2,3),先以原點。為位似中心在第三象限內畫一個

AA.B.C.,使它與ZL4BC位似，且相似比為2：1,然后再把/4BC繞原點。逆時針旋轉90。得到2c2.

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(1)畫出44/16，并直接寫出點4的坐標；

(2)畫出d4B2c2,直接寫出在旋轉過程中，點力到點&所經過的路徑長?

@■31點醴點

重難點一：利用相似三角形的性質與判定解決折疊問題

1.(2024?湖北?中考真題)在矩形力BCD中，點E,尸分別在邊AD,BC上，將矩形4BCD沿EF折疊，使點A

的對應點尸落在邊CD上，點8的對應點為點G,PG交BC于點H.

圖1圖2圖3

⑴如圖1,求證：4DEP“4CPH；

(2)如圖2,當尸為CD的中點，AB=2,力。=3時，求GH的長；

(3)如圖3,連接BG,當尸，X分別為CD,BC的中點時，探究8G與4B的數量關系，并說明理由.

2.(2023?湖北武漢?中考真題)如圖，DE平分等邊△注呂。的面積，折疊ABDE得到△?￡)￡1,2C分別與

相交于G,"兩點.若DG==71,用含m,?i的式子表示G”的長是.

重難點二：利用相似三角形的性質與判定解決動態函數圖象

1.(2022?遼寧營口?中考真題)如圖1,在四邊形力BCD中，BC||AD,^D=90°,Z71=45°,動點P,。同時

從點A出發,點P以&cm/s的速度沿力B向點8運動(運動到B點即停止)，點。以2cm/s的速度沿折線4D-

DC向終點C運動，設點。的運動時間為x(s),AAPQ的面積為y(cm2),若y與x之間的函數關系的圖像如

圖2所示，當x=1(s)時，貝！jy=cm2.

圖1圖2

2?(2023?遼寧錦州?中考真題)如圖，在RtA4BC中，乙4cB=90°,AC=3,BC=4,在△DEF中，DE=DF=5,

EF=8,BC與EF在同一條直線上，點C與點E重合.△4BC以每秒1個單位長度的速度沿線段EF所在直

線向右勻速運動，當點2運動到點尸時，△ABC停止運動.設運動時間為t秒，△力8C與ADEF重疊部分的

面積為S,則下列圖象能大致反映S與t之間函數關系的是()

3.(2021?湖北?中考真題)如圖1,已知NRPQ=45。，△ABC中乙4cB=90。，動點尸從點A出發，以2遍cm/s

的速度在線段4C上向點C運動，PQ,PR分別與射線4B交于E,尸兩點，且PE14B,當點P與點C重合時

停止運動，如圖2,設點尸的運動時間為xs,NRPQ與△ABC的重疊部分面積為ycm2,y與尤的函數關系由

G(0<x<5)和金(5<x<n)兩段不同的圖象組成.

yCcrn2)

圖1圖2

(1)填空：①當x=5s時，EF—cm；

②sinA=；

(2)求y與尤的函數關系式，并寫出尤的取值范圍；

(3)當y236cm2時，請京揆寫出x的取值范圍.

重難點三：相似模型-A型

1.（2023?四川甘孜?中考真題）如圖，在矩形4BCD中，=4,B2=6,點尸，。分別在4B和4c上,PQ||BC,

M為PQ上一點，且滿足PM=2MQ.連接2M、DM,若M2=MD,貝MP的長為.

2.（2023?遼寧鞍山?中考真題）如圖，在A4BC中，BA=BC,頂點C,8分別在尤軸的正、負半軸上，點

A在第一象限,經過點A的反比例函數y=^（x>0）的圖象交AC于點E,過點E作EF1x軸，垂足為點F.若

點E為AC的中點，BD=2AD,BF-CF=3,則上的值為.

3.（2023?河南?中考真題）如圖,P2與。。相切于點A,PO交O。于點8,點C在上，且CB=CA.^OA=5,

PA=12,則CH的長為

重難點四：相似模型-X型

1.（2024?四川樂山?中考真題）如圖，在梯形2BCD中，AD||BC,對角線4C和BD交于點O,若等皿=工,

S&BCD3

則號”。。

S^BOC

AD

2.（2024?江蘇常州?中考真題）如圖，在矩形A8CD中，對角線BD的垂直平分線分別交邊4B、CD于點、E、

F.若力D=8,BE=10,貝!!tanZTlBD=.

3.（2024?四川宜賓?中考真題）如圖，在平行四邊形4BCD中，AB=2,AD=4,E、/分別是邊CD、AD上

的動點，且CE=DF.當4E+CF的值最小時，貝|CE=.

重難點五：相似模型-母子型

1.（2024.山東泰安.中考真題）如圖，4B是。。的直徑，4H是。。的切線，點C為。。上任意一點，點。為

然的中點，連接BD交2C于點E,延長BD與4”相交于點尸，若DF=1,tanB=貝UAE的長為

2.（2023?湖北武漢?模擬預測）探索發現；（1）如圖1,在△ABC中，乙8=Z.C4F；求證：AC2=CF-BC；

初步應用：（2）如圖2,在△力中，AB=AC,BDLAB,BELAD,連接CE、CA*Dn；求—P*證'T：一BE=—CE

BDCD

遷移拓展：（3）如圖3,在△ABC中，NB=NC4F,H為AC上一點使CH=CF,過/作HG||BC交AB于G,

AG=AF,求竺的值;

CF

圖1

重難點六：相似模型-手拉手模型

1.（2022?安徽合肥?三模）如圖，A4BC中,ABAC=30°,Z.ACB=90°,且△ABC“AABC,連接CC1

將CC，沿C0方向平移至EBI連接BE,若CC'=V6,貝的長為（）

A.1B.V2C.V3D.2

2.（2023?湖南常德?中考真題）如圖1,在RtAABC中，AABC=90°,AB=8,BC=6,。是4B上一點，

且4。=2,過點。作DEIIBC交4C于￡,將42DE繞A點順時針旋轉到圖2的位置.則圖2中差的值為

重難點七：相似模型-角含半角模型

1.（2022?廣東深圳?二模）【教材呈現】（1）如圖1,在同一平面內，將兩個全等的等腰直角三角形力BC和

4FG擺放在一起，點A為公共頂點，Z.BAC=ZG=90°,若AdBC固定不動，將AAFG繞點A旋轉，邊AF,

4G與邊BC分別交于點Z）,￡（點。不與點2重合，點E不與點C重合），則結論BE?CD=45是否成立_（填

“成立”或，不成立”）；

【類比引申】（2）如圖2,在正方形ABCD中，NE4F為NBAD內的一個動角，兩邊分別與BO,BC交于點E,

F,且滿足NE4F=N4DB,求證：AADE-AAXCF；