專題17圖形的平移,旋轉與軸對稱

目錄

01理?思維導圖：呈現教材知識結構，構建學科知識體系。

02盤.基礎知識：甄選核心知識逐項分解，基礎不丟分。（3大模塊知識梳理）

知識模塊一：圖形的平移

知識模塊二：圖形的旋轉

知識模塊三：圖形的軸對稱與中心對稱

03究?考點考法：對考點考法進行細致剖析和講解，全面提升。（8大基礎考點）

考點一：軸對稱圖形、中心對稱圖形，平移，旋轉的識別

考點二：利用平移的性質求解

考點三：利用旋轉的性質求解

考點四：利用軸對稱的性質求解

考點五：利用中心對稱的性質求解

考點六：用平移、軸對稱、旋轉、中心對稱作圖

考點七：利用平移、軸對稱、旋轉、中心對稱設計圖案

考點八：與坐標系有關的對稱、平移、旋轉問題

04破?重點難點：突破重難點，沖刺高分。（5大重難點）

重難點一：與三角形有關的折疊問題

重難點二：與特殊平行四邊形有關的折疊問題

重難點三：與函數圖象有關的折疊問題

重難點四：利用軸對稱求最值

重難點五：旋轉或軸對稱綜合題之線段、線段問題

05辨?易混易錯：點撥易混易錯知識點，夯實基礎。（2大易錯點）

易錯點1：判斷軸對稱圖形與中心對稱圖形時出錯

易錯點2：未對旋轉方向進行分類討論，導致漏解

「沿一^直線折疊、

定義個圖形直線兩旁重合

軸對稱圖形

對稱軸沿著折疊的直線

各^吩

對稱點對折后重合的點

軸對稱

兩個圖形沿一條直線折疊能夠重合

成軸對稱對應線段相等

性質對應角相等

對應點連線被對稱軸垂直平分

某點旋轉180°、

定義一個圖形與另一圖形重合

「繞某點旋轉180、

中對稱

中心又摘圖形定義f圖形與自身重合

懈線段經颯稱中心

連結中心對稱的兩個圖形的對稱點?-------------------------

而且被對稱中心平分

中心龍豚的兩個圖形全等

知熾梳理

作軸對稱圖形

作謝圖形?-----------------

—段土■—作中心對稱圖形

定義圖形沿直線移動

平移前后的兩個圖形全等

平移前后對應線段平行（或在同一條直線上）且相等、對應角相等

平移

任意兩組對應點的連線平行（或在同一條直線上）且相等

對應點之間的距離就是平移的距離

方向

兩要素

距離

定義平面圖形繞點轉動一個角度

軸對稱、平移、旋轉

旋轉圖形全等旋轉前，后

距離相等對應點到旋轉中心

對應點

夾角=旋轉角———所連線段的夾角

------------------

解決平移問題的關鍵先是找準平移前后圖形中的對應點，然后利用平移的性質來解決

解決旋轉問題的關鍵先找出旋轉角，即對應點，然后利用旋轉的性質去解決

誤認為中心對稱圖形都是軸對稱圖形如平行四邊形是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形

判斷T圖案是否是軸對稱或中心對稱圖形，往往只注意復合圖案中較大的圖案，而忽視了

這個圖案中較小圖案的對稱性

學法指導學習誤區

不能正確運用圖形的又挪性，將有關的線段集中（轉換）在一個三角形中來運用勾股定理求解

在解答有關平移、旋轉問題時，不能充分運用平移、旋轉是全等變換這

個思想方法，沒有找出有關相等線段或相等的角

對稱、平移、旋轉是全等變換，要抓住"全等形"得出有關的線段相等，有關的角相等

技能提升

求兩條線段和的最短距離問題將軍飲馬

?盤基礎如識

知識模塊一：圖形的平移

知識點一：平移的定義

平移的定義：把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，圖形這種移動叫做平移.它是

由移動方向和距離決定的.

知識點二：平移的性質

1）平移不改變圖形的大小、形狀，只改變圖形的位置，因此平移前后的兩個圖形全等.

2）平移前后對應線段平行（或在同一條直線上）且相等、對應角相等.

3）任意兩組對應點的連線平行（或在同一條直線上）且相等，對應點之間的距離就是平移的距離.

知識點三：平移作圖的步驟

1）定：根據題目要求，確定平移的方向和距離；

2）找：找出確定圖形形狀的關鍵點；

3）移：過這些關鍵點作與平移方向平行的射線，在射線上截取與平移的距離相等的線段，得到關鍵點的對

應點；

4）連：按原圖順序依次連接各對應點.

【注意】確定一個圖形平移后的位置需要三個條件：①圖形原位置；②平移的方向；③平移的距離.

知識模塊二：圖形的旋轉

知識點一：旋轉的基礎

旋轉的概念：在平面內，一個圖形繞一個定點沿某個方向（順時針或逆時針）轉過一個角度，這樣的圖形運動

叫旋轉.這個定點叫做旋轉中心，轉過的這個角叫做旋轉角.

旋轉的三要素：旋轉中心、旋轉方向和旋轉角度.

知識點二：旋轉的性質

1）對應點到旋轉中心的距離相等；

2）每對對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；

3）旋轉前后的圖形全等.

知識點三：旋轉作圖的步驟

1）根據題意，確定旋轉中心、旋轉方向及旋轉角；

2）找出原圖形的關鍵點；

3）連接關鍵點與旋轉中心，按旋轉方向與旋轉角將它們旋轉，得到各關鍵點的對應點；

4）按原圖形依次連接對應點，得到旋轉后的圖形.

知識模塊三：圖形的軸對稱與中心對稱

知識點一：軸對稱與中心對稱

類別軸對稱中心對稱

定義把一個圖形沿著某一條直線翻折，如果它能夠與另如果一個圖形繞某點旋轉180。后與另一個

一個圖形重合，那么稱這兩個圖形關于這條直線對圖形重合，我們就把這兩個圖形叫做成中心對

稱，也稱這兩個圖形成軸對稱，這條直線叫做對稱稱.

軸.折疊后重合的點是對應點，也叫做對稱點.

性質1）對應點的連線被對稱軸垂直平分；1）對應點的連線都經過對稱中心，且被對稱

2）成軸對稱的兩個圖形全等；中心平分；

3）只有一條對稱軸.2）成中心對稱的兩個圖形全等；

3）只有一個對稱中心.

知識點二：軸對稱圖形與中心對稱圖形

類別軸對稱圖形中心對稱圖形

定義如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部如果一個圖形繞某一點旋轉180°后能與它

分能夠互相重合，那么這個圖形就叫做軸對稱圖自身重合，我們就把這個圖形叫做中心對稱圖

形.這條直線就是它的對稱軸.形，這個點叫做它的對稱中心.

性質1）有對稱軸；1）有對稱中心；

2）將圖形沿對稱軸折疊后，對稱軸兩旁的部分完2）將圖形繞對稱中心旋轉180°旋轉后的圖

全重合.形能與原來的圖形重合.

考點一：軸對稱圖形、中心對稱圖形，平移，旋轉的識別

1.（2023?湖南郴州?中考真題）下列圖形中，能由圖形a通過平移得到的是（）

圖形。

A.-------B.1^------------、/IC.I-----------------D.iz-------------------------1

2.（2024?江蘇徐州?中考真題）古漢字“雷”的下列四種寫法，可以看作軸對稱圖形的是（）

田

?

十一

田

C

B.

3.（2024.山西?中考真題）1949年，伴隨著新中國的誕生，中國科學院（簡稱“中科院”）成立.下列是中

科院部分研究所的圖標，其文字上方的圖案是中心對稱圖形的是（）

A.拿山西煤炭化學研究所B.?—東北地理與農業生

C.▼西安光學精密機械研究所D..生態環境研究中心

考點二：利用平移的性質求解

4.（2024?山東東營?中考真題）如圖，將ADEF沿FE方向平移3cm得到AaBC,若△DEF的周長為24cm,

則四邊形4BFD的周長為cm.

5.（2024?甘肅臨夏?中考真題）如圖，等腰AABC中，AB=AC2,Z.BAC=120°,將AABC沿其底邊中

線力。向下平移，使力的對應點4滿足44'=14。，則平移前后兩三角形重疊部分的面積是

6.（2024.河北.中考真題）平面直角坐標系中，我們把橫、縱坐標都是整數，且橫、縱坐標之和大于。的

點稱為“和點”.將某“和點”平移，每次平移的方向取決于該點橫、縱坐標之和除以3所得的余數(當余數為

。時，向右平移；當余數為1時，向上平移；當余數為2時，向左平移)，每次平移1個單位長度.

例：“和點”P(2,l)按上述規則連續平移3次后，到達點P3(2,2),其平移過程如下：

,、右，、上，、左，、

"(2.1)-----?匕(3,1?~?1\(3,2)-----?P、(2,2)

余0余1余2

若“和點”。按上述規則連續平移16次后，到達點Q16(-1,9),則點。的坐標為()

A.(6,1)或(7,1)B.(15,-7)或(8,0)C.(6,0)或(8,0)D.(5,1)或(7,1)

考點三：利用旋轉的性質求解

7.(2024?湖北?中考真題)如圖，點A的坐標是(-4,6),將線段繞點。順時針旋轉90。，點A的對應點

的坐標是()

斗

OX

A.(4,6)B.(6,4)C.(-6,-4)D.(-4,-6)

8.(2024?內蒙古赤峰?中考真題)如圖，AZBC中，AB=BC=1,zC=72°.將△ABC繞點A順時針旋轉

得到△力力廣，點方與點2是對應點，點L與點C是對應點.若點C'恰好落在邊上，下列結論：①點B

在旋轉過程中經過的路徑長是巳兀；②B四||BC；③BD=CD；④絮=震.其中正確的結論是()

A.①②③④B.①②③C.①③④D.②④

9.(2024?山東德州?中考真題)在△ABC中，AC=BC,乙4cB=120。，點。是4B上一個動點(點。不與

A,8重合)，以點。為中心，將線段DC順時針旋轉120。得到線DE.

ccC

N

M

EEE

圖1圖2圖3

(1)如圖L當乙4CD=15。時,求乙引用的度數；

(2)如圖2,連接BE,當V90。時，乙4BE的大小是否發生變化？如果不變求，乙4BE的度數；如

果變化，請說明理由；

(3)如圖3,點“在上，且CM:MD=3:2,以點。為中心，將線CM逆時針轉120。得到線段CN,連接

EN,若AC=4,求線段￡N的取值范圍.

考點四：利用軸對稱的性質求解

10.(2024?甘肅臨夏?中考真題)如圖，在△ABC中，點力的坐標為(0,1),點B的坐標為(4,1),點C的坐標為

(3,4),點。在第一象限(不與點C重合)，且△4BD與△718C全等，點。的坐標是.

11.(2024?福建?中考真題)小明用兩個全等的等腰三角形設計了一個“蝴蝶”的平面圖案.如圖，其中AOAB

與△ODC都是等腰三角形，且它們關于直線1對稱，點E,尸分別是底邊力8,CD的中點，OE1OF.下列推

斷錯誤的是()

OB10DB.乙BOC=LAOB

C.OE=OFD.NBOC+NA。。=180°

12.（2023?山東泰安?中考真題）如圖，在△力8c中，AC=BC=16,點。在4B上，點E在BC上，點、B關

于直線DE的軸對稱點為點B',連接DB',EB',分別與AC相交于F點，G點，若4F=8,DF=7,B'F=4,

則CG的長度為.

考點五：利用中心對稱的性質求解

13.（2024.江蘇南京.模擬預測）如圖，在正六邊形4BCDEF中，4B=6,點M在邊4尸上，且AM=2,若

經過點M的直線I將正六邊形面積平分，則直線I被正六邊形所截的線段長是.

14.（2024?山東臨沂?模擬預測）如圖，四邊形ABCD是菱形，。是兩條對角線的交點，過。點的三條直線

將菱形分成陰影和空白部分，當菱形的兩條對角線的長分別為8和15時,則陰影部分的面積為.

15.（2024?陜西咸陽?三模）如圖，分別以平行四邊形4BCD的邊48和CD為直角邊，向平行四邊形A8CD內

作等腰Rt△4BE和等腰段△CDF,在AABE的斜邊4E、△CDF的斜邊CF上分別取點N、M,連接EM、FN,

四邊形EMFN為正方形，若平行四邊形4BCD的面積為4,則AABE的面積為.

D

A/

考點六：用平移、軸對稱、旋轉、中心對稱作圖

16.（2023?江蘇?中考真題）如圖，B、E、C、尸是直線Z上的四點，AB=DE,AC=DF,BE=CF.

（1）求證：AABC=ADEF；

（2）點P、Q分別是ATIBC、△DEF的內心.

①用直尺和圓規作出點Q（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；

②連接PQ,貝UPQ與BE的關系是.

17.（2023?江蘇宿遷?中考真題）如圖，在團4BCD中，AB=5,AD=3^/2,乙4=45。.

（1）求出對角線的長；

⑵尸軍伊圖：將四邊形ABCD沿著經過4點的某條直線翻折，使點B落在CD邊上的點E處，請作出折痕.（不

寫作法，保留作圖痕跡）

18.（2024.安徽六安.模擬預測）如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，ATIBC的頂點

（1）以點4為中心將△ABC旋轉180。，得到△ABiG，畫出AABiCi；

⑵將AABC向右平移7個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到△&殳。2，畫出△42%。2；

（3）連接/Ba，利用網格作出線段的中點P.（保留作圖痕跡即可）

19.（2024?寧夏銀川?模擬預測）按下列要求在如圖的格點中作圖：

⑴作出AABC關于原點成中心對稱的AAiBiG（4B,C的對應點分別為4,Ct）；

（2）以點C為位似中心，作出AABC放大兩倍的A4B2c（4B的對應點分別為4，B2）.

考點七：利用平移、軸對稱、旋轉、中心對稱設計圖案

20.（2023?山東棗莊?中考真題）（1）觀察分析：在一次數學綜合實踐活動中，老師向同學們展示了圖①,

圖②，圖③三幅圖形，請你結合自己所學的知識，觀察圖中陰影部分構成的圖案，寫出三個圖案都具有的

兩個共同特征：

/\

/\

/

\/

圖①圖②圖③

（2）動手操作：請在圖④中設計一個新的圖案，使其滿足你在（1）中發現的共同特征.

21.（2022?四川廣安?中考真題）數學活動課上，張老師組織同學們設計多姿多彩的幾何圖形，下圖都是

由邊長為1的小等邊三角形構成的網格，每個網格圖中有3個小等邊三角形已涂上陰影，請同學們在余下

的空白小等邊三角形中選取一個涂上陰影，使得4個陰影小等邊三角形組成一個軸對稱圖形或中心對稱圖

形，請畫出4種不同的設計圖形.規定：凡通過旋轉能重合的圖形視為同一種圖形）

22.（2024?四川廣安?模擬預測）如圖是在北京舉辦的世界數學家大會的會標“弦圖”.請將“弦圖”中的四個

直角三角形通過你所學過的圖形變換，在以下方格紙中按要求設計另外四個不同的圖案.作圖要求：①每

個直角三角形的頂點均在方格紙的格點上，且四個三角形互不重疊；②所設計的圖案（不含方格紙）經過

變換后與其它圖案相同的視為一種設計.

只是軸對稱圖形只是中心對稱圖形既是軸對稱圖形既不是軸對稱圖形

也是中心對稱圖形也不是中心對稱圖形

23.（2024.四川廣安.二模）如圖，網格中每個小正方形的邊長為1.請你認真觀察圖1中的三個網格中的

黑色部分構成的圖案，解答下列問題：

圖1圖2圖3

（1）這三個圖案都具有以下共同特征：都是對稱圖形，都不是對稱圖形；

（2）在圖2中選一個白色的小正方形并涂黑，使圖2中黑色部分是軸對稱圖形；

（3）請在圖3中設計出一個面積為4的圖案，且具備（1）中的特征（不與圖1中所給圖案相同）.

考點八：與坐標系有關的對稱、平移、旋轉問題

24.（2024?山東淄博?中考真題）如圖，已知4,B兩點的坐標分別為4（一3,1）,5（-1,3）,將線段4B平移得

到線段CD.若點4的對應點是C（l,2）,則點8的對應點。的坐標是.

25.（2024?四川成都?中考真題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知4（3,0）,B（0,2）,過點B作y軸的垂

26.(2024?湖北?中考真題)平面坐標系xOy中，點4的坐標為(一4,6),將線段。4繞點。順時針旋轉90。，則

點力的對應點4的坐標為()

A.(4,6)B.(6,4)C.(-4,-6)D.(-6,-4)

27.(2024.江蘇常州?中考真題)如圖，在平面直角坐標系xOy中，正方形48CD的對角線AC、BD相交于原

點。若點A的坐標是(2,1),則點C的坐標是.

t點臉點

重難點一：與三角形有關的折疊問題

1.(2023?浙江紹興?中考真題)如圖，在紙片AABC中，ZC=90°,ZB=60°,點D,E分別在邊力B,AC上,

且4。=4號將△2DE沿DE折疊，使點A落在邊BC上的點尸處，則BD:CE=()

C.2V3:3D.4:3

2.（2024?四川?中考真題）如圖，RtAABC中，zC=90°,AC=8,BC=4,折疊△ABC,使點A與點B

重合，折痕DE與AB交于點。，與2C交于點E,貝UCE的長為

3.（2023?江蘇徐州?中考真題）如圖，在Rt△48c中，ZC=90°,CA=CB=3,點。在邊BC上.將△4CD沿

4。折疊，使點C落在點L處，連接BC，，貝UBC，的最小值為

重難點二：與特殊平行四邊形有關的折疊問題

1.（2024.江蘇徐州?中考真題）如圖，將矩形紙片A8CD沿邊EF折疊，使點。在邊8c中點M處.若48=4,BC=

6,貝|CF=

2.（2023?江蘇南京?中考真題）如圖，在菱形紙片48CD中，點E在邊4B上，將紙片沿CE折疊，點B落

在B'處，CB'工AD,垂足為尸若CF=4cm,FB'=1cm,貝!|BE=cm

B'

3.(2024?湖北?中考真題)在矩形2BCD中，點E,尸分別在邊AD,BC上，將矩形4BCD沿EF折疊，使點A

的對應點尸落在邊CD上，點2的對應點為點G,PG交BC于點、H.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,求證：4DEPFCPH；

(2)如圖2,當尸為CD的中點，AB=2,4。=3時，求GH的長；

(3)如圖3,連接BG,當尸，X分別為CO,BC的中點時，探究BG與4B的數量關系，并說明理由.

重難點三：與函數圖象有關的折疊問題

1.(2024?內蒙古包頭?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-2x2+bx+c與x軸相交于4(1,0),

B兩點(點4在點B左側),頂點為M(2,d),連接

(1)求該拋物線的函數表達式；

(2)如圖1,若C是y軸正半軸上一點，連接AC,CM.當點C的坐標為(0,1)時，求證：zXCM=ZBXM；

(3)如圖2,連接將A4BM沿x軸折疊，折疊后點M落在第四象限的點相處，過點B的直線與線段力"相

交于點D,與y軸負半軸相交于點E.當黑=?時，3S-BD與2sAM，BD是否相等？請說明理由.

De.7

2.(2024.天津?中考真題)將一個平行四邊形紙片0aBe放置在平面直角坐標系中，點。(0,0),點4(3,0),

點在第一象限，且。C=2/4OC=60。.

(1)填空：如圖①，點C的坐標為，點B的坐標為；

(2)若P為其軸的正半軸上一動點，過點P作直線軸，沿直線/折疊該紙片，折疊后點。的對應點。'落在x軸

的正半軸上，點C的對應點為C，.設。P=t.

①如圖②，若直線，與邊C8相交于點Q,當折疊后四邊形PO'C'Q與回。A8C重疊部分為五邊形時，09與AB

相交于點E.試用含有t的式子表示線段BE的長，并直接寫出t的取值范圍；

②設折疊后重疊部分的面積為S,當(wtw昔時，求S的取值范圍(直接寫出結果即可).

3.(2024?廣東?中考真題)【問題背景】如圖1,在平面直角坐標系中，點、B,。是直線丫=ax(a>0)上第

一象限內的兩個動點(。。>0B),以線段BD為對角線作矩形ZBCD,4D||x軸.反比例函數y=g的圖象經

過點A.

【構建聯系】(1)求證：函數y=的勺圖象必經過點C.

(2)如圖2,把矩形ABCD沿BD折疊，點C的對應點為E.當點E落在y軸上，且點B的坐標為(1,2)時，

求左的值.

【深入探究】(3)如圖3,把矩形4BCD沿BD折疊，點C的對應點為E.當點E,A重合時，連接4C交BD于點

P.以點。為圓心，AC長為半徑作O0.若。P=3或,當。。與△ABC的邊有交點時，求上的取值范圍.

mi圖2卻

重難點四：利用軸對稱求最值

1.（2022?山東德州?中考真題）如圖，正方形4BCD的邊長為6,點E在BC上，CE=2,點M是對角線BD上

的一個動點，貝UEM+CM的最小值是（）

C.2V13D.4V13

2.（2024?山東煙臺?中考真題）如圖，在團4BCD中，ZC=120°,AB=8,BC=10.E為邊CD的中點，F

為邊4。上的一動點，將ADEF沿EF翻折得△ZTEF,連接2。'，BD',則面積的最小值為

3.（2023?遼寧盤錦?中考真題）如圖，四邊形4BCD是矩形，AB=V10,AD=4/，點P是邊4。上一點（不

與點A,。重合），連接PB,PC.點M,N分別是PB,PC的中點，連接MN,AM,ON,點E在邊4。上,

MEWDN,則AM+ME的最小值是（）

A.2V3B.3C.3V2D.4企

重難點五：旋轉或軸對稱綜合題之線段、面積問題

1.（2023?湖北隨州?中考真題）1643年，法國數學家費馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一條直

線上的三個點A,B,C,求平面上到這三個點的距離之和最小的點的位置，意大利數學家和物理學家托里

拆利給出了分析和證明，該點也被稱為“費馬點”或“托里拆利點”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題.

（1）下面是該問題的一種常見的解決方法，請補充以下推理過程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，

②處從“兩點之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數，④處填寫該三

角形的某個頂點）

當小4BC的三個內角均小于120。時，

如圖L,將A4PC繞,點C順時針旋轉60。得到A4P'C,連接PP',

由PC=P'C,/-PCP'=60°,可知APCP'為①三角形,故PP'=PC,又P'4=P4,故P4+PB+PC=

PA'+PB+PP'>A'B,

由②