2025年中考數學一輪復習-專題動點在二次函數中的綜合（2）

1.如圖，拋物線y=-爐+法+（:與x軸交于A、8兩點（A在B的左側），與y軸交于點M過A點的直線

/：y—kx+n與y軸交于點C,與拋物線y=-x^+bx+c的另一個交點為D,已知A（-1,0）,D（5,-6）,

尸點為拋物線y=-x2+bx+c上一動點（不與A、。重合）.

（1）直接寫出拋物線和直線/的解析式；

（2）當點尸在直線/上方的拋物線上時，連接PA、PD,

①當APA。的面積最大時，尸點的坐標是；

②當平分/D4P時，求線段P4的長.

（3）設M為直線/上的點，探究是否存在點M,使得以點MC,M、尸為頂點的四邊形為平行四邊形？

若存在，直接寫出點"的坐標；若不存在，請說明理由.

2.如圖，拋物線＞=-尤2+bx+c的圖象與X軸交于A、2兩點（點A在點2的左邊），與y軸交于點C,點

。為拋物線的頂點.點A坐標的為（-3,0）,點C的坐標為（0,3）.

（I）求拋物線的解析式；

（II）點〃為線段AB上一點（點M不與點48重合），過點M作x軸的垂線，與直線AC交于點E,

與拋物線交于點P,過點尸作交拋物線于點。，過點。作QNLx軸于點N.若點尸在點。左

邊,當矩形PMNQ的周長最大時，求AAEM的面積；

（III）在（II）的條件下，當矩形PMNQ的周長最大時，連接。。，過拋物線上一點尸作y軸的平行線，

與直線AC交于點G（點G在點尸的上方）.若尸G=2加。。求點尸的坐標.

3.已知：二次函數>=尤2--%2+4〃7-2的對稱軸為/,拋物線與y軸交于點C,頂點為￡).

(1)判斷拋物線與x軸的交點情況；

(2)如圖1,當根=1時，點尸為第一象限內拋物線上一點，且△尸。是以尸。為腰的等腰三角形，求

點P的坐標；

(3)如圖2,直線和拋物線交于點A、8兩點，與/交于點且A/0=A/8,點。(xo,yo)

在拋物線上，當機>1時，/i+12g-加婚-6/wyo時，求/?的最大值.

4.已知點P(2,-3)在拋物線L：y=ax1-2ax+a+k(a,%均為常數，且存0)上，L交y軸于點C,連

接CP.

(1)用。表示也并求乙的對稱軸及乙與y軸的交點坐標；

(2)當Z,經過(3,3)時，求此時工的表達式及其頂點坐標；

(3)橫、縱坐標都是整數的點叫做整點.如圖，當a<0時，若L在點C,P之間的部分與線段CP所圍

成的區域內(不含邊界)恰有4個整點，求。的取值范圍；

(4)點M(xi,yi),N(xz,>2)是L上的兩點，若合尤Ef+1,當尤2當時，均有刀步2,直接寫出f的取

值范圍.

5.如圖①，直線y=-尤-3分別與無軸、y軸交于點B,C,拋物線〉=辦2+法+(?經過8,C兩點，且與x

軸的另一交點為A(1,0).

Cl)求拋物線的函數解析式；

(2)如圖①，點P在第三象限內的拋物線上.

①連接AC,PB,PC,當四邊形ABPC的面積最大時，求點尸的坐標；

②在①的條件下，G為x軸上一點，當PG+gAG取得最小值時，求點G的坐標；

(3)如圖②，。為無軸下方拋物線上任意一點，。是拋物線的對稱軸與無軸的交點，直線A。，8。分別

交拋物線的對稱軸于點N.問：OM+OV是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明

理由.

6.如圖，拋物線>=°尤2-3ax+4(tz<0)與無軸交于A、8兩點，與y軸交于點C,直線>=機，交拋物線于

。、E兩點.

9

(1)當。=-3■時，求A,3兩點的坐標；

5

(2)當機=2,?！?4時，求拋物線的解析式；

(3)當〃=-1時,方程〃N-3QX+4=根在-6勺<4的范圍內有實數解,請直接寫出機的取值范圍：

7.如圖1所示，拋物線y4x2+bx+c與無軸交于48兩點，與y軸交于點C,已知C點坐標為（0,4）,

O

拋物線的頂點的橫坐標為卷，點P是第四象限內拋物線上的動點，四邊形。尸4。是平行四邊形，設點尸

的橫坐標為m.

（1）求拋物線的解析式；

（2）求使AAPC的面積為整數的尸點的個數；

（3）當點尸在拋物線上運動時，四邊形。尸4。可能是正方形嗎？若可能，請求出點尸的坐標，若不可

能，請說明理由；

（4）在點。隨點P運動的過程中，當點0恰好落在直線AC上時，則稱點。為“和諧點”，如圖（2）所

8.如圖，一條拋物線與x軸交于A（-1,0）,B（3,0）兩點，與y軸交于點C（0,3）,。為拋物線的

頂點，點尸在x軸上.

（1）求拋物線解析式；

（2）若NPCB=NCBD,求點尸的坐標；

（3）過點尸作直線/〃AC交拋物線于。是否存在以點A,P,Q,C為頂點的四邊形是平行四邊形？

若存在，請求出點。的坐標；若不存在，請說明理由；

(4)坐標平面內一點〃到點3的距離為1個單位，求。M+^OM的最小值.

O

9.在四邊形。4BC中，AB//OC,軸于C,A(1,-1),8(3,-1),動點P從。點出發，沿x

4.

軸正方向以3個單位/秒的速度運動.過尸作PQLO4于。.設尸點運動的時間為f秒(0?弓)，AOP。

O

與四邊形0ABe重疊的面積為S.

(1)求經過。、A、B三點的拋物線的解析式并確定頂點加的坐標；

(2)用含/的代數式表示P、0兩點的坐標；

(3)將AOP。繞P點逆時針旋轉90。，是否存在f,使得AOP。的頂點?；?。落在拋物線上？若存在，

直接寫出/的值；若不存在，請說明理由；

(4)求S與/的函數解析式；

10.如圖所示，拋物線>=辦2+法+4的頂點坐標為(3,—),與y軸交于點A.過點A作AB〃x軸，交

4

拋物線于點以點C是第四象限的拋物線上的一個動點，過點C作y軸的平行線，交直線AB于點D

(1)求拋物線的函數表達式；

(2)若點E在y軸的負半軸上，且AE=AD,直線CE交拋物線y=a無2+桁+4于點尸.

①求點F的坐標；

②過點。作OGLCE于點G,連接。。、ED,當NOOE=/C￡)G時，求直線。G的函數表達式.

1.解：（1）將點A、D的坐標代入直線表達式得：卜卜依=0,解得：”=-1,

I5ktn=-6ln=-l

故直線/的表達式為：y=-1-1,

將點4D的坐標代入拋物線表達式，

同理可得拋物線的表達式為：y=-/+3x+4；

（2）當△P4O的面積最大時，尸點到直線AD的距離就最大.

：.P點在與直線AD平行且與拋物線相切的直線上，即P點是這兩個圖象的唯一的交點,

y=-x+m

設尸點坐標為（羽y）,由題意得，19，

y=-xz+3x+4

Ax2-4x+m-4=0,

?.?直線y=-x+機與拋物線只有一個交點，

/.A=42+4（m-4）=0,

???加=8,

Ax2-4x+4=0,

??X1=X2=2,

???代入拋物線的解析式得了=-4+6+4=6,

：.P（2,6）；

故答案為：（2,6）.

②過點P作PE_Lx軸于點E,

???ZAOC=90°,

：.ZCAB=45°,

???當AB平分NDAP時，ZBAP=ZDABf則NR4尸=45。,

???△PE4是等腰直角三角形，

：.PE=EA,

設尸點坐標為（相，幾），

由題意得，m+l=-m2+3m+4,

.'.mi=3,m2=-1（舍去），

：.PE=EA=4f

:?PA=4品.

（3）NC=5,

①當NC是平行四邊形的一條邊時，

設點尸坐標為（羽-N+3x+4）、則點M（x,-X-1）,

由題意得：\yM-yp|—5,即：|-N+3%+4+x+l|=5,

解得：％=2土J逋或0或4（舍去0）,

則點M坐標為-3-或（2-*7y4,-3+VT^）或（4，-5）;

②當NC是平行四邊形的對角線時，

則NC的中點坐標為（0,半），

設點尸坐標為（m,-m2+3m+4）、則點-n-1）,

N、C,M、P為頂點的四邊形為平行四邊形，則NC的中點即為PM中點，

2

即：加+〃=0,2=-m+3m+4-n-l,

2

解得：m=0(舍去)或加=4,

故點M(-4,3)；

故點M的坐標為：(2+//，-3-J五)或(2-JN，-3+J宜)或(4,-5)或(-4,3).

0法刀/Tx比日而上(-(一3)2+bX(-3)+c=0,

2.解：(I)依題思<

,c=3.

解得『=-2,

[c=3.

.?.拋物線的解析式y=-x2-2尤+3；

(II)Vy=-X2-2x+3=-(x+1)2+4,

拋物線的對稱軸是直線了=-1,

設M(無，O),P(x,-尤2-2x+3),其中-3<x<-1,

；P、。關于直線x=-1對稱，

設。的橫坐標為a,

貝!|a-(-1)=-1-x,

?*ci^~一2一x,

Q(-2-xf-N-2x+3),

:?MP=-x2-2x+3,PQ=-2-x-x=-2--2x,

I.周長d=2(-2-2x-x2-2x+3)=-2N-8x+2=-2(x+2)2+10,

當x=-2時，d取最大值，

止匕時，M(-2,0),

：.AM=-2-(-3)=1,

設直線AC的解析式為y=kx+b,

J-3k+b=0

則

lb=3

k=l

解得

b=3'

?*.設直線AC的解析式為y=x+3,

將x=-2代入y=x+3,得y=l,

：.E(-2,1),

S△杷卷XIX—

（Ill）由（II）知，當矩形PMNQ的周長最大時，尤=-2,

此時點。（0,3）,與點C重合，

02=3,

Vj=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,

：.D(-1,4),

如圖，過。作DKLy軸于K,

則。K=l,OK=4,

：.QK=OK-OQ=4-3=1,

.\ADKQ是等腰直角三角形，

??.。。=物K=血，

?**FG=2A/^DQ=4,

設尸(m,-m2-2m+3),則G(m,m+3),

FG=m+3-(-m2-2m+3)=m2+3m,

/.m2+3m=4,

解得m\=-4,儂=1,

當m=-4時，-*-2M+3=-5,

當根=1時,-m2-2m+3=0,

???點廠(-4,-5)或(1,0).

3.解：(1)針對于二次函數y=N-2爾-加2+4根-2,

令y—0,貝!jx2-2mx--2=0,

/.△=(-2m)2-4xlx(-m2+4m-2)=4m2+4m2-16m+8=8(m-1)2>0,

J拋物線與無軸必有交點，

即當m=1時，有一個交點，當機時，有兩個交點;

（2）當根=1時，拋物線的解析式為y=N-2x+l=（x-1）2①,

：.C(0,1)，D(1,0)，

???△PC。是以尸。為腰的等腰三角形，如圖1,

①當尸C=P。時，點尸是的垂直平分線上,

VC(0,1),D(1,0),

???OC=OZ)=1,

???CD的垂直平分線的解析式為y=@,

_3的3-Vs

x=2

聯立①②解得，L或，

??.點P的坐標為（苧’苧）或（苧，聲,

2

②當尸D=C。時，點。是C尸的垂直平分線上,

???點尸的縱坐標為1,貝!J/-2x+l=l,

/.x=0或x=2,

：.P(2,1),

即滿足條件的點尸的坐標為（更近■,更匹）或（三返，主返）或（2,

2222

（3）.?,二次函數y=x1-2mx-源+4m-2的對稱軸為I,

???拋物線的對稱軸/為工m,

點M的橫坐標為m,

?點M在直線y=~mx上,

4

.\M(m,—m2),

4

?：MO=MB,

工點、B（2m,12、

2

代入二次函數y=x2-2mx-m2+4m-2得，-^-m2=4m2-

將點5(2m,-m2+4m-2,

4

/.m=1或相

Vm>l,

拋物線的解析式為尸/-冬+警=(X-4)2-*

3939

???點。(xo,yo)在拋物線上,

（X0-4）2Y，

；?yo=

39

444944

/.-myo2_6myo=-m（yo2+6yo）=-（yo+3）2-9]=-爭Go-￡）2-《+3]2+12=-?Go-仔）

OOOyoo

2+—]2+12,

9

V/z+12<-myo2_6myo,

（迎-J）2+m2,

ooy

4.解：解:(1)..?點尸(2,-3)在拋物線L：y=ax2-2ax+a+k(〃，女均為常數且〃加)上,

；?-3=4〃-4。+。+鼠

:?k=-3-a；

拋物線L的對稱軸為直線x=-孚=1,即x=l；

2a

(2),?Y經過點(3,3)，

9a-6〃+〃+%=3,

■:k=-3-4，

.*.61=2,k=-5

：.L的表達式為y=2x2-4x-3；

?；y=2（x-1）2-5,

，頂點坐標為(I,-5)；

(3)頂點坐標(1,-A-3),

???在點C,尸之間的部分與線段C尸所圍成的區域內(不含邊界)恰有5個整點,

2<-a-3<3,

/.--5；

(4)當”>0時，侖3或/+1W-1,

.?.侖3或匹-2；

觀察圖象，此時有不符合條件的點使心步2,

故此情況舍去；

當a<0時，葉上3且侖-1,

/.-1<1<2；

綜上所述，-1WW2；

5.解：(1)在y=-x-3中，令x=0,得y=-3；令y=0,得x=-3.

：.B(-3,0),C(0,-3).

設拋物線的函數解析式為y=a(無+3)(X-1).

將點C(0,-3)代入，得a=l.

.?.拋物線的函數解析式為y=x2+2x-3；

(2)①如圖1,過點尸作尸￡，無軸于點E,交BC于點尸.

圖1

設點尸的坐標為(/,A+2/-3),則點尸的坐標為(叁7-3).

:,PF=-t-3-(fi+2t-3)=-fl-3九

:?S四邊形A8PC=SABPC+S\ABC=\尸尸-t2-30+6=-(t+~)+個.

222228

2

2

?*?當t=時，S四邊形ABPC取得最大值.

此時點尸的坐標為-：‘)；

②如圖2,在y軸上取一點。(0,告)，作直線A。，過點G作G7UA。于T,連接PG

圖2__________

在RtAAOQ中，^2=VOA2-K)Q2=JF+g)2=g，

,si逢音

Z.GT=AG?逅，

5

PG+-^-AG=PG+GT,

5

根據垂線段最短，可知當尸，G,T共線，且P7UA。時，PG+Y14G的值最小,

5

直線AQ的解析式為y=-

又：尸TU。，

直線PT的解析式為J=2X-4，

4

2

G(W,0).

(3)￡>M+￡W是定值.

如圖3,過點。作。軸于點H.

；N￡)_L尤軸，

：.QH//ND.

：./\BND,^AMD^△A?！?

.HQ_BHDM_AD

"DN"BD'HQ'AH'

設點。的坐標為(k,k2+2k-3),

則HQ=-產-2k+3,BH=3+k,AH=1-k.

是拋物線的對稱軸與x軸的交點，

：.AD=BD=2.

--k2-2k+3_3+k

DN~~2~,-k2-2k+31-k-

：.DN=2-2k,DM=2k+6.

：.DM+DN=2k+6+2-2k=8.

.??OM+DN是定值，該定值為8.

999,

6.解：(1)當a=-三時，令＞=--X2-3x(--)x+4=0,解得：x=5或-2,

555

故點A、3的坐標分別為(5,0)、(-2,0)；

(2)函數的對稱軸為元號,

7

VDE=4,m=2,故點。(y,2),

將點D的坐標代入y=ax2-3ax+4并解得：a=-y,

故拋物線的表達式為：尸-尹+鄂+4；

(3)當。=-1時，y=-x2+3x+4,

令y=0,則尤=-6或4,

當x=-6時，y=-尤2+3X+4=-50,

函數的對稱軸為則頂點坐標為(?，尊)，

224

當-64<4時，-50<y<-^-,

4

故他的取值范圍為：-50<m<^,

4

OR

故答案為：-503在=-.

4

'C=4r

.14

7.解：(1)拋物線與y軸交于點C,頂點的橫坐標為《，則(一二二工，解得飛~,

2x1-2c=4

o

故拋物線的拋物線為：尸白一昌*4；

Oo

914.

(2)對于丁=萬/一x+4,令>=0,則1=1或6,故點3、A的坐標分別為(1,0)、(6,0)；

oO

如圖，過點P作尸”〃y軸交AC于點H,

由點A、C的坐標得，直線AC的表達式為：y=-■|x+4①，

O

914.9

設點P(龍，萬——x+4),則點H(x,-三元+4),

ooO

119914.

2

△APC的面積S=S^PHA'^'S^PHC=_XPHXOA—-X6X(-—x+4-—X2H——x-4)=-2x+12(1VxV6),

//ooo

當x=l時，S=10,當x=6時，S=0,

故使AAPC的面積為整數的P點的個數為9個；

(3)當四邊形0尸4。是正方形時，點尸只能在x軸的下方，

此時。4P為等腰直角三角形，設點P(x,y),則x+y=0,

即尸今2-魯4+4=-X，解得：■或4,

QQ

故點P的坐標為(/■,~)或(4,-4)；

914

(4)設點尸(m,-=-m2-^-m+4),為點A(6,0),

oo

設直線AP的表達式為：y=kx+t,

9

同理可得，直線AP的表達式為：尸卷(m-1)(x-6),

O

?：AP//OQf則AP和。。表達式中的女值相同，

9

故直線0。的表達式為：>=萬(m-1)尢②，

O

聯立①②并解得：%=-,則點。(2，4-A),

mmin

???四邊形OPhQ是平行四邊形，則A0的中點即為尸。的中點,

則加+2=6,解得：m=3

m

則2=3±\]"29

m

故。的橫坐標的值為3±行.

8.解：(1),?,拋物線與x軸交于A(-1,0),B(3,0)兩點，

???設此拋物線的解析式為(x+1)(x-3),

將點C(0,3)代入，得〃=-1,

>\y=-(x+1)(x-3)=-N+2x+3；

(2)?.}=-N+2x+3=-(x-1)2+4,

???頂點。(1,4),

設直線DB解析式為y=kx+b,

將O(1,4),B(3,0)代入得(k+b-4,解得：Jk--2,

l3k+b=0Ib=6

直線DB解析式為y=-2x+6,

①如圖1,當點尸在點8左側時,

D

圖1

u：ZPCB=ZCBD,

J.CP//BD,

設直線CP解析式為y=-2x+m,

將。(0,3)代入，得根=3,

直線CP解析式y=-2x+3,

當y=0時，

3

：.P(p0)；

②如圖2,當點尸在點3右側時，

作點尸關于直線3。的對稱點N,延長CN交x軸于點P,止匕時NPCB=NCB。,

VC(0,3),B(3,0),

???OC=OB,

???AOBC為等腰直角三角形,

：.ZCPB=45°,

：.NNBC=45。,

???APBN為等腰直角三角形,

：.NB=PB=3--,

22

3

：.N(3,微)；

設直線CN的解析式為：y=nx+t,

(t=3(二二

將C(0,3),N(3,g)代入直線CN解析式y=nx+f得,3，解得，”一方,

2l3n+t=2lt=3

直線CN解析式為＞=-*x+3,

當y=0時，x=6,

：.P'(6,0),

2

綜上所述，點尸坐標為(半0)或(6,0).

(3)①如圖3,當四邊形APQC為平行四邊形時，

ACQ//AP,CQ=AP,

;”=3,

?力0=3，

令-N+2x+3=3,

解得：a=0,及=2,

：.Q(2,3),

②如圖4,當四邊形AQPC為平行四邊形時,

AC//PQ,AC=PQ,

??yc-yA=yp-y0=3,

丁丁尸=0,

???M2=-3,

令-x2+2x+3=-3,

解得，尤1=1+B,X2~1-"

Qi(1+^7)-3),。2(1_~3),

綜上所述，點Q的坐標為Q(2,3)或(1+，^,-3)或(1-A/7,-3).

(4)V點M到點B的距離為1個單位，

...點M在以點3為圓心，半徑為1的圓上運動，如圖5,

Q

在x軸上作點E(亭0),連接EM、DE,

O

圖5

QI

：.BE=OB-OE=3--=—

33

BE_31BM>

而丁3而

'：ZMBE=ZOBM,

：.AMBEs/\OBM,

.ME_MB_1

：.ME=^OM,

：.DM+—OM=DM+ME,

3

...當點。、M、E在同一直線上時，0M■+1。〃=。加+旌=?！曜疃?

o

VD(1,4),

?**DM+^OM的最小值為.

oo

9.解：(1)：拋物線過點A(1,-1),B(3,-1),

拋物線的對稱軸為直線x=2,

.,.拋物線與x軸的另一個交點坐標為(4,0),

設拋物線的解析式為y="(x-4),

把A(1,-1)代入得a*l*(-3)=-1,解得。=春

O

???拋物線的解析式為■尤(x-4),即＞=￡爐七

ooO

G-2)2_g,

33

一4.

???頂點M的坐標為(2,-￡)；

O

(2)作QNJ_x軸于N,軸于〃，如圖1,

：.OH=AH=1,

△AOH為等腰直角三角形，

：.^ONQ為等腰直角三角形，

13+

：.QN=ON=NP=-^OP=^~,

/.P(3/,0),Q(―/,-■—?)；

22

(3)存在.

△。尸。繞尸點逆時針旋轉90。得到△07。，如圖2,作軸于K,

NQPQ'=90。，尸O'_Lx軸，尸O'=尸。=33PQ,=PQ=^-^t,則。'(33-30；

,/NKPQ'=90。-ZOPQ=45°,

???△PQ'K為等腰三角形，

3

.\PK=Qrk=-t,

q-卻3，

當O(33-30落在拋物線上時，-3/=’?9.一告?3r,解得力=0,[=]■；

OOO

當。(小，-殺)落在拋物線上時，-宗=[■?爭2-等劣，解得『0,/2=爭

//4ssJ/o

綜上所述，當/為得或￡時，使得△。尸。的頂點?；?。落在拋物線上；

OO

912q

（4）當0V"w時，如圖1,S=—93f—t=—t2；

o//s

912122

當年〈收1時,如圖3,PQ交AB于E點,S=S△尸O0-S?EQ=亭*?3/-今（*T）*2（導-1）=3t

△尸。。為等腰直角三角形，

：.ZCPF=45°,

???APCF為等腰直角三角形，

:?PC=CF=3t-3,

：.BF=\-(3L3)=4-33

1q

:?SABEF=5(4-302——f2-12/+8,

1qq11

.??S=S梯形OABC-(2+3)?1-(—Z2-12Z+8,)=--Z2+12z——.

一9S

10.解：(1)?.?拋物線>="2+陵+4的頂點坐標為(3,—),

4

'.y=a(x-3)2+2-=〃%2,6依+9〃+?至，

44

9R

.9.9a+—=4

4f

?,?〃_——1-，

4

???拋物線解析式為尸-力+奈+4;

42

12

(2)如圖1,設C(m，--m2+—m+4)；

42

圖1

9：AD=AE,AD〃x軸