9平面直角坐標系與函數基礎

分值：50分時間30分鐘

一、選擇題（15分）

1、（2024?四川廣元?中考真題）如果單項式與單項式2/丁一"的和仍是一個單項

式，則在平面直角坐標系中點（加,〃）在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2、（2024?遼寧大連?三模）在化學學習中，我們在研究某物質的性質時，常常會用到

“價類二維圖”來研究該物質化合價的變化問題.如下圖所示為硫元素化合價的“價類

二維圖”，則在4B、E、〃四種物質中，硫元素化合價最低的為（)

硫元素的化合價

PEG

+6

+4T--T--H

|C：F

+2

0--------:B

-2-]A

I

氫單氧酸鹽物質類別

化質化

物物

A.AB.BC.ED.H

3、（2024?山西?模擬預測）某樹苗的初始高度為50cm,如圖，這是該樹苗的高度與

生長的月數的有關數據示意圖，假設以后一段時間內，該樹苗高度的變化與月數保持此

關系，則該樹苗的高度丁（cm）與生長月數x之間的函數關系式為（）

E王堂華

30cm60cm70cmROcm

原始生長I個叢生儂個月生氏3個月

A.y=50+5（%-1）B.y=50+5%

C.y=50+10(%—l)D.y=50+10x

4、（2024?陜西西安?模擬預測）正比例函數丫=區僅工0）圖象上一點尸到x軸的距離與

y軸距離之比為2,且y的值隨x值的增大而減小，則4的值為（）

11

A.—2B.2C.——D.-

22

5、（2024?湖北?模擬預測）如圖，等邊VA5C的邊長為3cm,動點尸從點A出發，以每

秒1cm的速度，沿AfB-CfA的方向運動，當點尸回到點A時運動停止.設運動時間為

尤（秒），y=PC2,則V關于x的函數的圖象大致為（）

二、填空題（15分）

6、（2024?重慶?模擬預測）已知點尸（-6,8）,則點尸到原點的距離是.

7、（2024?全國?模擬預測）在函數y=-三-G■中，自變量尤的取值范圍是

8、（2024?山西?中考真題）國際上常用的溫標有華氏溫標、攝氏溫標和熱力學溫標.已

知華氏溫標"°F）與攝氏溫標c（C）之間的函數關系為/=|c+32,熱力學溫標T（K）與攝氏

溫標c（℃）之間的函數關系為T=C+273.15.當熱力學溫度T=73.15K時，所對應的華氏溫

度為°F.

9、（2024?浙江?模擬預測）生活中很多圖案都與斐波那契數列1,1,2,3,5,8,…

相關，如圖，在平面直角坐標系中，依次以這組數為半徑作90°的圓弧，得到一組螺旋

線，若各點的坐標分別為々（TO）,￡（0,1）,心（1刀），L則點尸7的坐標為.

10、（2024?河南?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABC。的邊A3在X

軸上，點/的坐標為（-2,0）,點￡在邊CD上.將3CE沿BE折疊，點。落在點尸處.若

點少的坐標為（。，6）,則點￡的坐標為

三、解答題（20分）

11、（2024?河北?模擬預測）某班級同學從學校出發去白鹿原研學旅行，一部分坐大

客車先出發，余下的幾人20min后乘坐小轎車沿同一路線出行,大客車中途停車等候，5min

后小轎車趕了上來，大客車隨即開動，以出發時速度的:繼續行駛，小轎車保持原速度

不變，最終兩車相繼到達了景點入口，兩車距學校的路程S（單位：km）和行駛時間,（單位：

而n）之間的函數關系如圖所示，請結合圖象解決下列問題.

（1）求大客車在途中等候時距學校的路程有多遠？

⑵在小轎車到達景點入口時，大客車離景點入口還有多遠？

12、(2024?湖南長沙?模擬預測)某校與當地國防大學聯合開展紅色之旅研學活動，

如地圖1,上午7:00,國防大學官兵乘坐軍車從營地出發，同時學校師生乘坐大巴從學

校出發，沿公路到紅軍抗戰紀念基地進行研學.上午8:00,軍車在離營地60km的地方追

上大巴并繼續前行，到達倉庫后，國防大學官兵下車領取研學物資，然后乘坐軍車繼續

按原速前行，最后和師生同時到達基地，圖2為軍車和大巴離營地的路程s(km)與所用時

間/(h)的函數關系.

⑴求國防大學官兵在倉庫領取物資所用的時間.

⑵求大巴離營地的路程，與所用時間，的函數表達式及“的值.

⑶請直接寫出軍車領先大巴4km時對應的大巴離營地的路程.

13、（2024?重慶?模擬預測）如圖，四邊形ABCD是邊長為9的菱形，ZA=6O°,動點尸、Q

分別以每秒3個單位長度的速度同時從點A出發，點P沿折線AfDfC方向運動，點。沿

折線Af8fC方向運動，當兩點相遇時停止運動.設運動時間為/秒，點P、。兩點間的

距離為九

（1）請直接寫出'關于f的函數表達式并注明自變量f的取值范圍；

⑵在給定的平面直角坐標系中畫出這個函數的圖象，并寫出該函數的一條性質；

⑶結合函數圖象，直接寫出點P、。相距4個單位長度時/的值.（結果保留一位小數）

14、（2024?北京?中考真題）小云有一個圓柱形水杯（記為1號杯），在科技活動中，

小云用所學數學知識和人工智能軟件設計了一個新水杯，并將其制作出來，新水杯（記

為2號杯）示意圖如下，

當1號杯和2號杯中都有VmL水時，小云分別記錄了1號杯的水面高度用（單位：cm）

和2號杯的水面高度為（單位：cm）,部分數據如下:

V/mL040100200300400500

4/cm02.55.07.510.012.5

^2/cm02.84.87.28.910.511.8

⑴補全表格（結果保留小數點后一位）；

⑵通過分析數據，發現可以用函數刻畫4與丫，為與V之間的關系.在給出的平面直角坐

標系中，畫出這兩個函數的圖象;

⑶根據以上數據與函數圖象，解決下列問題:

①當1號杯和2號杯中都有320mL水時，2號杯的水面高度與1號杯的水面高度的差約

為cm（結果保留小數點后一位）；

②在①的條件下，將2號杯中的一都分水倒入1號杯中，當兩個水杯的水面高度相同時,

其水面高度約為cm（結果保留小數點后一位）.

答案：

一、選擇題（15分）

1、（2024?四川廣元?中考真題）如果單項式-01y與單項式2/產一”的和仍是一個單項

式，則在平面直角坐標系中點（根,〃）在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【詳解】解：???單項式-/勾3與單項式2/y”的和仍是一個單項式,

???單項式-與單項式是同類項,

2m=4,2—n=3,

解得，m=2,n=-l,

...點（私〃）在第四象限,

故選：D

2、（2024?遼寧大連?三模）在化學學習中，我們在研究某物質的性質時，常常會用到

“價類二維圖”來研究該物質化合價的變化問題.如下圖所示為硫元素化合價的“價類

二維圖”，則在/、B、E、〃四種物質中，硫元素化合價最低的為（)

硫元素的化合價

DEG

+6

+4H

CF

+2

01B

-2-：A

氫單氧酸鹽物質類別

化質化

物物

A.AB.BC.ED.H

【答案】A

3、（2024?山西?模擬預測）某樹苗的初始高度為50cm,如圖，這是該樹苗的高度與

生長的月數的有關數據示意圖，假設以后一段時間內，該樹苗高度的變化與月數保持此

關系，則該樹苗的高度y（cm）與生長月數尤之間的函數關系式為（）

50cm60cm70cm80cm

原始生長1個月生長2個月生長3個月

A.y=50+5（工一1）B?y=50+5%C.y=50+10（x—l）D,y=50+10%

【答案】D

【詳解】解：由題意得，樹苗每個月增長的高度是10cm,

故該樹苗的高度'（cm）與生長月數x之間的函數關系式為y=50+10x,

故選：D.

4、（2024?陜西西安?模擬預測）正比例函數丫=辰（左片。）圖象上一點P到x軸的距離與

y軸距離之比為2,且y的值隨x值的增大而減小，則/的值為（）

A.—2B.2C.—D.一

22

【答案】A

【詳解】解；設P（帆km）,

???點P到x軸的距離與y軸距離之比為2,

/.=2,

\k\=2,

???y的值隨x值的增大而減小，

：.k<0,

k=—2,

故選：A.

5、（2024?湖北?模擬預測）如圖，等邊VMC的邊長為3cm,動點尸從點A出發，以每

秒1cm的速度，沿Af8-CfA的方向運動，當點尸回到點A時運動停止.設運動時間為

尤（秒），y=PC2,則'關于x的函數的圖象大致為（）

AC

【答案】D

【詳解】解：如圖，過C作CDLAB于點。,

則AD=1.5cm,CD=^AC2-AD2=(cm),

①當點P在AB上時，04x43,AP=xcm,P￡)=|1.5-x|cm,

y=PC2=(￥『+(1-5-x)2=X2-3X+9(0<X<3),

該函數圖象是開口向上的拋物線，對稱軸為直線X=；；

由此可排除A,B,C.

②當3<xW6時，即點尸在線段BC上時，PC=(6-x)cm.

則y=(6-x)2=(%—6)2(3<X<6),

,該函數的圖象是在3<xW6上的拋物線，且對稱軸為x=6；

③當6<x49時，即點尸在線段C4上，此時，PC=(x-6)cm,

貝Uy=(x-6)2(6<x<9),

該函數的圖象是在6<xW9上的拋物線，且對稱軸為直線x=6；

二、填空題(15分)

6、(2024?重慶?模擬預測)已知點P(-6,8),則點P到原點的距離是

【答案】10

【詳解】解：???點尸坐標為(-6,8),

???P到原點的距離為7(-6)2+82=10,

故答案：10.

7、(2024?全國?模擬預測)在函數y=-而1中，自變量尤的取值范圍是

x-2

【答案】且XW2

8、(2024?山西?中考真題)國際上常用的溫標有華氏溫標、攝氏溫標和熱力學溫標.已

知華氏溫標"°F)與攝氏溫標c(C)之間的函數關系為/=|c+32,熱力學溫標T(K)與攝氏

溫標。(℃)之間的函數關系為T=C+27345.當熱力學溫度T=73.15K時，所對應的華氏溫

度為°F.

【答案】-328

【詳解】解：VT=c+273.15,T=73.15K

/.73.15=c+273.15,

解得：c=-200,

9

/./=-x(-200)+32=-328

故答案為：-328.

9、(2024?浙江?模擬預測)生活中很多圖案都與斐波那契數列1,1,2,3,5,8,…

相關，如圖，在平面直角坐標系中，依次以這組數為半徑作90°的圓弧，得到一組螺旋

線，若各點的坐標分別為々(TO),5(0」)，A。,。)，L則點尸7的坐標為.

圖1圖2

【答案】(9,-2)

【詳解】解：觀察發現：々(TO)先向右平移1個單位，再向上平移1個單位得到6(0,1);

2(0,1)先向右平移1個單位，再向下平移1個單位得到1(1,0)；

8(1,0)先向左平移2個單位，再向下平移2個單位得到4(-1,-2)；

月先向左平移3個單位，再向上平移3個單位得到心(<1)；

月（Tl）先向右平移5個單位，再向上平移5個單位得到《。,6）；

根據1,1,2,3,5,8,13,…的變化規律可知，

心。，6）先向右平移8個單位，再向下平移8個單位得到弓（9,-2）；

故答案為（9,-2）

10、（2024?河南?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD的邊A3在x

軸上，點/的坐標為（-2,0）,點￡在邊C￡＞上.將刀CE沿BE折疊，點C落在點尸處.若

點尸的坐標為（。，6）,則點￡的坐標為.

【答案】（3,1。）

【詳解】解：設正方形的邊長為a,CD與y軸相交于G,

則四邊形AOGD是矩形，

/.OG=AD=a,DG=AO,ZEGF=90°,

???折疊，

/.BF=BC=a,CE=FE,

???點A的坐標為(-2,0)，點尸的坐標為(0,6),

.?.49=2,FO=6,

??BO-AB—AO=a—2,

在RtZ\BO尸中，BO-+FO-=BF2,

：.(a-2)2+62=a2,

解得。=10，

:.FG=OG—OF=4,GE=CD-DG-CE=8-CE,

在Rt.EGb中，GE2+FG2=EF2,

：.（8-CE）2+42=CE2,

解得CE=5,

GE=3,

.??點￡的坐標為（3,10）,

故答案為：（3,10）.

三、簡單題（20分）

11、（2024?河北?模擬預測）某班級同學從學校出發去白鹿原研學旅行，一部分坐大

客車先出發，余下的幾人20min后乘坐小轎車沿同一路線出行,大客車中途停車等候，5min

后小轎車趕了上來，大客車隨即開動，以出發時速度的與繼續行駛，小轎車保持原速度

不變，最終兩車相繼到達了景點入口，兩車距學校的路程義單位：km）和行駛時間f（單位：

min）之間的函數關系如圖所示，請結合圖象解決下列問題.

小轎車

大客車

（1）求大客車在途中等候時距學校的路程有多遠?

（2）在小轎車到達景點入口時，大客車離景點入口還有多遠?

【答案】（1）15km

（2）ykm

【詳解】（1）解：由圖象可得，

小轎車的速度為：40+（6。-2O）=l（km/min）,

4=1x(35—20)=15,

即大客車在途中等候時距學校的路程有15km；

（2）解：大客車開始的速度為：15^30=0.5（km/min）,

大客車后來的速度為：0.5x^=1（km/min）,

40-15-1x（60-35）=y（km）,

即在小轎車到達景點入口時，大客車離景點入口還有，km.

12、（2024?湖南長沙?模擬預測）某校與當地國防大學聯合開展紅色之旅研學活動，

如地圖1,上午7:00,國防大學官兵乘坐軍車從營地出發，同時學校師生乘坐大巴從學

校出發，沿公路到紅軍抗戰紀念基地進行研學.上午8:00,軍車在離營地60km的地方追

上大巴并繼續前行，到達倉庫后，國防大學官兵下車領取研學物資，然后乘坐軍車繼續

按原速前行，最后和師生同時到達基地，圖2為軍車和大巴離營地的路程s（km）與所用時

間〃h）的函數關系.

⑴求國防大學官兵在倉庫領取物資所用的時間.

⑵求大巴離營地的路程$與所用時間?的函數表達式及。的值.

⑶請直接寫出軍車領先大巴4km時對應的大巴離營地的路程.

【答案】⑴〉

（2）s=40/+20,〃=2

（3）68km或76km

【詳解】（1）解：由圖象可知，軍車的速度為：60+l=60km/h,大巴車的速度為:

（60-20）-l=40km/h,

4

.??軍車到達倉庫所用時間為：80+60=§h,

從倉庫到達基地所用時間為：（100-80）+60=；h,

大巴車到達基地的時間為：（100-20）+40=2h,

...部隊官兵在倉庫領取物資所用的時間為2-=.

（2）解：由（1）知：大巴車的速度為：（60-20）+1=40km/h,大巴車到達基地的時間為:

（100-20）^40=2h,

/.s=40/+20,a=2；

（3）解：①當軍車到達倉庫之前：60r=407+20+4,

解得：r=L2,

把t=1.2代入s=40r+20,得：5=40x1.2+20=68；

13、（2024?重慶?模擬預測）如圖，四邊形ABC。是邊長為9的菱形，ZA=60°,動點尸、Q

分別以每秒3個單位長度的速度同時從點A出發，點P沿折線AfDfC方向運動，點。沿

折線AfC方向運動，當兩點相遇時停止運動.設運動時間為/秒，點P、。兩點間的

距離為九

（1）請直接寫出y關于f的函數表達式并注明自變量f的取值范圍；

⑵在給定的平面直角坐標系中畫出這個函數的圖象，并寫出該函數的一條性質；

⑶結合函數圖象，直接寫出點尸、。相距4個單位長度時r的值.（結果保留一位小數）

_j3r（0<r<3）

【答案】y-118-3z（3</<6）

⑵圖象見解析，當0V/W3時，y隨著/的增大而增大，當3</6時，y隨著/的增大而減

小

（3）1.3秒或4.7秒

【詳解】（1）解：???四邊形是菱形，

AB=BC=CD=AD=9,NC=ZA=60°,

由題意知，當0W3時，P、Q在仞、AB上運動，如圖1,且△4尸。是等邊三角形，

D

R

圖1

B

圖1

/.y=PQ=AP=3,；

當3</6時，p、Q在CD、BC上運動，如圖2,且.CPQ是等邊三角形,

圖2

I.y=PQ=CP=18-3t;

J3104r43）

綜上所述,[18-3/（3</<6）;

由圖象可得，當04W3時，p隨著f的增大而增大，當3<區6時，'隨著，的增大而減小；

（3）解：當y=4時，3t=4或18-3/=4,

,414

解得，,=可。1.3或”可它4.7,

...點P、。相距4個單位長度時/的值為1.3秒或4.7秒.

14、（2024?北京?中考真題）小云有一個圓柱形水杯（記為1號杯），在科技活動中，

小云用所學數學知識和人工智能軟件設計了一個新水杯，并將其制作出來，新水杯（記

為2號杯）示意圖如下，

當1號杯和2號杯中都有VmL水時，小云分別記錄了1號杯的水面高度九（單位：cm）

和2號杯的水面高度外（單位：cm）,部分數據如下:

V/mL040100200300400500

%/cm02.55.07.510.012.5

^2/cm02.84.87.28.910.511.8

⑴補全表格（結果保留小數點后一位）；

⑵通過分析數據，發現可以用函數刻畫九與丫，色與V之間的關系.在給出的平面直角坐

標系中，畫出這兩個函數的圖象;

A〃/cm

OLWOJ2Q0J3Q0L40QJ5Q0；JTmL

⑶根據以上數據與函數圖象，解決下列問題：

①當1號杯和2號杯中都有320mL水時，2號杯的水面高度與1號杯的水面高度的差約

為cm（結果保留小數點后一位）；

②在①的條件下，將2號杯中的一都分水倒入1號杯中，當兩個水杯的水面高度相同時,

其水面高度約為cm（結果保留小數點后一位）.

【答案】（1）1.0

⑵見詳解

（3）1.2,8.5

【詳解】（1）解：由題意得，設么與九的函數關系式為：丫=協（左wO）,

由表格數據得：100=2.5人,

解得：左=40,

AV=40%,

...當V=40時，40〃[=40,

/.4=1.0cm；

（2）解：如圖所示，即為所畫圖像,

Ah/cm

13-

1-2-4

i十—；

10-

；9i-

!

R--

；6-

方一一F

斤一；

3一

O100200300；4005Q0：力mL

（3）解：①當V=320ml時，/&=F=8