第25課時(shí)矩形、菱形、正方形

基礎(chǔ)夯實(shí)

1.（2024.成都）如圖,在矩形A3CD中,對(duì)角線AC與3。相交于點(diǎn)。，則下列結(jié)論一定正確的是（）

A.AB=AD

C.AC=BDD.ZACB=ZACD

2.（2024.邢臺(tái)一模）如圖,有甲、乙兩個(gè)四邊形，分別標(biāo)出了部分?jǐn)?shù)據(jù),則下列判斷正確的是（）

A.甲是矩形

B.乙是矩形

C.甲、乙均是矩形

D.甲、乙都不是矩形

3.（2024?濟(jì)寧）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,E是AB的中點(diǎn)，連接OE.若。石=3,則

菱形的邊長(zhǎng)為)

A.6B.8

C.10D.12

4.（2024.遷安二模）已知下列選項(xiàng)中圖形均為菱形，所標(biāo)數(shù)據(jù)有誤的是（）

ABCD

5.（2024.唐山路南區(qū)二模）如圖1是由一根細(xì)鐵絲圍成的正方形，其邊長(zhǎng)為1.現(xiàn)將該細(xì)鐵絲圍成一

個(gè)三角形（如圖2所示），則AB的長(zhǎng)可能為

圖1圖2

A.1.5B.2.0C.2.5D.3.0

6.（2024?滄州南皮縣三模）已知四邊形ABCD是平行四邊形，若AC,3D,要使得四邊形ABCD是正

方形，則需要添加條件（）

A.AB=BCB.ZABC=90°

C.ZADB=30°D.AC=AB

7.（2023?大慶）將兩個(gè)完全相同的菱形按如圖方式放置，若NA4￡）=a,NC8￡=A則介（）

A.450+1Z3B.45°+-aC.90°」1aD.90°-3-a

2222

8.（2024?甘肅）如圖,在矩形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)。,/43。=60。,43=2,則AC的長(zhǎng)為

9.（2024?邯鄲二模）已知:在四邊形ABCD中AB=3C=CD=D4,如圖，求證，四邊形ABCD是菱形.

證明:四邊形ABCD是平行四邊形,

又：

???四邊形A3。是菱形.

在以上證明過(guò)程中,“”可以表示的是（）

A.ZA=ZCB.AD//BCC.AB=BCD.AB//DC

10.（2024.石家莊長(zhǎng)安區(qū)模擬）如圖,在正方形紙片ABCD上進(jìn)行如下操作：

第一步:剪去矩形紙條AEFD-

第二步:從矩形紙片BCFE上剪去矩形紙條CFGH.

若矩形紙條AEFD和CFGH的面積相等，則AB的長(zhǎng)度為（）

A.30cmB.15cmC.16cmD.90cm

11.（2024.邯鄲峰峰礦區(qū)三模）如圖，菱形ABCD中AC交BD于點(diǎn)0,CE，A3于點(diǎn)瓦連接。瓦若N

A3C=80。,貝IZOEC的度數(shù)為°.

A

12.（2023?臺(tái)州）如圖，矩形ABCD中A3=4,AD=6.在邊AD上取一點(diǎn)瓦使班=3。,過(guò)點(diǎn)C作CfU

BE,垂足為點(diǎn)￡則BF的長(zhǎng)為.

13.傳統(tǒng)文化“福”字象征著中華民族的歷史文化與精神.如圖1是小紅家大門上的“福”字，如圖2是

抽離出來(lái)的菱形ABCD,對(duì)角線AJBD相交于點(diǎn)。,/43。=80。,后是線段A。上一點(diǎn)，且3C=CE,則

/OBE的度數(shù)是.

圖1圖2

14.(2024.揚(yáng)州)如圖I將兩個(gè)寬度相等的矩形紙條疊放在一起，得到四邊形A3CD

圖1圖2

⑴試判斷四邊形ABCD的形狀，并說(shuō)明理由.

(2)已知矩形紙條寬度為2cm,將矩形紙條旋轉(zhuǎn)至如圖2位置時(shí)，四邊形ABCD的面積為8cn?,求

此時(shí)直線所夾銳角N1的度數(shù).

能力提升

1.(2024.通遼)如圖尸ABCD的對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)。以下條件不能證明口A3CD是菱形的是

AD

BC

A.ZBAC=ZBCAB.ZABD=ZCBD

C.O^+OB1=AD2D.AD2+OA2=OD2

2.(2024.邯鄲峰峰礦區(qū)三模)演示課上,王林用四根長(zhǎng)度都為4cm的木條制作了圖1所示正方形,

而后將正方形的3c邊固定，平推成圖2的圖形，并測(cè)得NB=60。,則在此變化過(guò)程中結(jié)論錯(cuò)誤的是

()

A.AB長(zhǎng)度不變，為4cmB.AC長(zhǎng)度變小，減少4(V2-l)cm

C.BD長(zhǎng)度變大，增大4(V3-V2)cmD.四邊形ABCD面積變小，減少8(V3-l)cm2

3.（2024.邯鄲峰峰礦區(qū)二模）如圖1,在菱形A3CD中,對(duì)角線AC,3。相交于點(diǎn)。，要在對(duì)角線3。上

找兩點(diǎn)跖N,使得四邊形AMCN是菱形，現(xiàn)有圖2中的甲、乙兩種方案，則正確的方案是（）

1方案甲：取:盤。。的角平分線AM,AN

圖2

A.只有甲B.只有乙

C.甲和乙D.甲乙都不是

4.（2024?邯鄲大名縣三模）在口A3CD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,E是邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與

A,B重合），連接EO并延長(zhǎng)，交CD于點(diǎn)￡連接ARCE,下列四個(gè)結(jié)論中：

甲:對(duì)于動(dòng)點(diǎn)E,四邊形AECT始終是平行四邊形；

乙:若乙鉆C<90。,則至少存在一個(gè)點(diǎn)E,使得四邊形AECR是矩形；

丙:若則至少存在一個(gè)點(diǎn)E,使得四邊形AECF是菱形；

T:若4c=45。,則至少存在一個(gè)點(diǎn)瓦使得四邊形AECF是正方形.

以上所有正確說(shuō)法的序號(hào)是（）

A.甲、丙、丁正確，乙錯(cuò)誤

B.甲、乙、丙、丁都正確

C.甲、乙、丙正確，丁錯(cuò)誤

D.甲、乙、丙錯(cuò)誤，丁正確

5.（2023?荷澤）（1）如圖1,在矩形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在邊DC,BC上AELDf垂足為G.求證:△

ADEs叢DCF.

【問(wèn)題解決】

（2）如圖2,在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在邊DC,BC上,AE=DR,延長(zhǎng)BC到點(diǎn)H,使CH=DE,連接

DH.^VE:ZADF=ZH.

【類比遷移】

(3)如圖3,在菱形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在邊DC,BC±.,AE=DF=11,DE=8,ZAED=6Q°,^CF的長(zhǎng).

圖1圖3

【詳解答案】

基礎(chǔ)夯實(shí)

1.C解析:?..四邊形ABCD是矩形，

1

：.AC=BD,ZADC=90°,AD=BC,AD//BC,OA=^AC,

：.AC.LBD,ZACB=ZACD不一定成立,AC=B。一定成立,A8=AD不一定成立.故選C.

2.A解析:由題意知，甲中對(duì)角線相等且互相平分，

甲中的四邊形是矩形，

如圖，記AC,8。的交點(diǎn)為0,

由圖可知,。4=。￡>,。2=0。,。4,。2的數(shù)量關(guān)系未知，

???乙中的四邊形不一定是矩形.故選A.

3.A解析:???四邊形是菱形，

J.ACLBD,

...△A0B是直角三角形，

■：E^AB的中點(diǎn)，

1

：.0E=-AB,

2

'：OE=3,：,AB=6,

即菱形的邊長(zhǎng)為6.故選A.

4.D解析:由菱形的性質(zhì)得,菱形的四條邊都相等，對(duì)角線互相垂直，對(duì)角線平分每一對(duì)對(duì)角得到選項(xiàng)A,B,C不

符合題意，選項(xiàng)D符合題意.故選D.

5.A解析:由正方形的性質(zhì)知，鐵絲的總長(zhǎng)度為1+1+1+1=4,

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系知，兩邊之和大于第三邊，

...AB邊的長(zhǎng)小于2.故選A.

6.B解析:需要添加條件NA8C=90。，

?/四邊形ABCD是平行四邊形,AC_LBD,

四邊形ABC。是菱形，

,?ZABC=9Q°,

四邊形ABCD是正方形.故選B.

7.D解析:,??四邊形ABCD和四邊形BGHF是完全相同的菱形，

???ZDBE=ZBAD=a,AB=AD,ZABD=ZCBD=ZCBE+/DBE=/3+a,

：.ZADB=ZABD=^+a,

9：ZBAD+ZADB-^-ZABD=180°,

a+B+a+B+a=180°,

.??夕二90。-|&故選D.

8.C解析:??,四邊形ABCD為矩形，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,AB=2,

：.OA=OB=OC=OD,

9：ZABD=60°,

：.AOAB為等邊三角形，

OA=OB=AB=2,

：.OC=OA=2,

???AC=OA+OC=4.故選C.

9.C解析:根據(jù)“有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形”，可得“”可以表示的是故選C.

10.A解析:設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為acm,

由題意，得5〃=6(小5),解得4=30.故選A.

11.40解析:四邊形ABCD是菱形,NABC=80。5AB

???ZCAB=NAC3=；x(180o-80°)=50°,A(?=CO,

9：CE±AB,

：.OE=OA=OC,NAEC=9。。,

：.ZOEA=ZOAE=50°,

：.ZOEC=90°-50°=40°

12.2芯解析:,?,四邊形ABC。是矩形，

：.AD//BC,ZA=90°,

：./AEB=/FBC,

9：CFtBE,

：.ZCFB=90°,

：.ZCFB=ZA,

(AA=乙CFB

在ZVIBE和△/C5^AAAEB=乙FBC,

BE=CB

AABE^AFCB(AAS),

：.FC=AB=4,

..?四邊形ABC。是矩形，

：.BC=AD=6,

在RtAFCB中,由勾股定理得BF=<BC2-FC2=V62-42=2V5.

13.25°解析:；四邊形ABCD是菱形,/ABC=80。，

ZABO=ZCBO=40°AC±BD,

：.ZBAC=90°-40°=50°=ZACB,

;BC=CE,

：.ZCBE=ZC￡B=|x(180°-50°)=65°,

ZOBE=65°-40o=25°.

14.解:⑴四邊形ABC。是菱形，理由如下:如圖1,過(guò)點(diǎn)C作CHLAB,垂足為垂足為G,

???兩個(gè)紙條均為矩形，

J.AB//CDAD//BC,

...四邊形ABCD是平行四邊形，

\'S=ABCH=ADCG,S.CH=CG,：,AB=AD,

nABCD

...四邊形48。是菱形.

圖1圖2

(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)A作AMLCD,垂足為M

?「S菱形=CDAM=Scm?,且AM=2cm,

CZ)=4cm,

.\AD=CD=4cm,

在RtAADM中,sin/仁受=1

AZ1=30°.

能力提升

1.D解析:A.：/BAC=NBCA,；.AB=BC,

：.-ABCD是菱形，故選項(xiàng)A不符合題意；

B.：四邊形ABCD是平行四邊形，

J.AD//BC,：./ADB=NCBD,

'：ZABD=ZCBD,：.ZABD=ZADB,：.AB=AD,

：.^ABCD是菱形，故選項(xiàng)B不符合題意；

C.V四邊形ABCD是平行四邊形，

：.OB=OD,

'：OA^+OB^AD1,：.OA^+O^AD2,：.ZAOD=90°,

：.AC±BD,：.^ABCD是菱形，故選項(xiàng)C不符合題意，

D.：41)2+042=002,...ZOAD=90°,：.0A±AD,

不能證得%BCD是菱形，故選項(xiàng)D符合題意.故選D.

2.D解析:如圖1,連接AC,瓦)，

:四邊形是正方形，

ZABC=90°,AB=BC^4cm,AB2+BC2=AC2,

；.AC2=32,正方形ABCD面積=42=16(3?),

：.AC=BD=4^cm,

BCBHc

圖1圖2

如圖2,在菱形ABCD中，連接過(guò)A作AH±BC于點(diǎn)H,AB=BC=4cm,BO=DO,AO=CO,

ZABC=60°,

??.△ABC是等邊三角形，

AC=AB=BC=4cm,A0=2cm,BH=CH=2cm,

BD=2BO=2,ylAB2-A02=4V3(cm),

A/7=VXB2-SW2=2V3(cm),

菱形ABCD面積=4x2V^=8V^(cm2),

故選項(xiàng)A不符合題意；

V4V2-4=4(V2-l)(cm),

故選項(xiàng)B不符合題意；

?/4V3-4V2=4(V3—V2)(cm),

故選項(xiàng)C不符合題意；

V16-8V3=8(2-V3)(cm2),

故選項(xiàng)D符合題意.故選D.

3.C解析:...四邊形ABC。是菱形，

OB=OD,OA=OCAC.LBD,

,:BM=DN,

：.OM=ON,

'：OA=OC,MN±AC,

四邊形AMCN是菱形，

故方案甲正確；

?.?四邊形ABC。是菱形，

OB=OD,OA=OC,AC.LBD,ZBAC=ZDAC,

：AMAN分別是/BAC和ND4C的平分線,

：.ZMAC=ZNAC,

?/ZAOM=ZAON=90°,

AMAC=ANAC,

在△AOM和△AON中,%。=AO,

.AAOM=乙AON,

：.△AOM之△AON(ASA),

：.OM=ON,

\'OA=OC,

四邊形AMCN是平行四邊形，

'：AC±MN,

二四邊形AMCN是菱形，

故方案乙正確.故選C.

4.A解析:如圖1,

圖1

?/四邊形ABCD為平行四邊形，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,

：.AB//DC,AB=DC,OA=OC,OB=OD,

：.ZOAE=ZOCF,

??ZAOE=ZCOF,

：.AAOE^△COF(ASA),

：.AE=CF,

5L'：AE//CF,

...四邊形AECF為平行四邊形，

即E在AB上任意位置(不與A,2重合)時(shí),四邊形AEC尸恒為平行四邊形，故結(jié)論甲正確;

如圖2,