難點與解題模型n與角平分線'中點有關問題（5大熱考題型）

題型一：與角平分線有關問題

題型二：與中線有關問題

題型三：與中位線有關問題

題型四：與等腰三角形底邊中點有關問題

題型五：倍長中線模型

,精淮握分

題型一：與角平分線有關問題

：指?點?迷?津

常考模型及步驟

:第一步：依據特征找模型一一找是否存在角平分線

:第二步：抽離模型一一判斷角平分線上一點與角兩邊上點的連線與角平分線的位置關系

I

:第三步：利用性質解題一一利用角平分線的性質、全等三角形、等腰三角形“三線合一”及平行線的性質

解題

【中考母題學方法】

【典例1-1】（2023?湖南?中考真題）如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,按以下步驟作圖：①以點A為圓心，

以小于AC長為半徑作弧，分別交AC,AB于點“，N；②分別以M,N為圓心，以大于的長為半

徑作弧，在—3AC內兩弧交于點0；③作射線AO,交BC于點、D.若點。到的距離為1,則CD的長

【典例1-2】（2023?江蘇?中考真題）如圖，B、E、C、/是直線/上的四點，AB=DE,AC=DF,BE=CF.

⑴求證：△ABC四△DEF；

（2）點尸、。分別是VABC、的內心.

①用直尺和圓規作出點。（保留作圖痕跡，不要求寫作法）;

②連接PQ,則P。與BE的關系是.

【典例1-3】（2023?甘肅蘭州?中考真題）綜合與實踐

問題探究：（1）如圖1是古希臘數學家歐幾里得所著的《幾何原本》第1卷命題9："平分一個已知角.”即：

作一個已知角的平分線，如圖2是歐幾里得在《幾何原本》中給出的角平分線作圖法：在。4和08上分別

取點C和，使得OC=OD,連接CD,以CD為邊作等邊三角形CDE,則OE就是NAO3的平分線.

請寫出OE平分，的依據：；

類比遷移：

（2）小明根據以上信息研究發現：一CDE不一定必須是等邊三角形，只需CE=DE即可.他查閱資料：我

國古代已經用角尺平分任意角.做法如下：如圖3,在-403的邊。4,02上分別取QW=0N,移動角尺，

使角尺兩邊相同刻度分別與點N重合，則過角尺頂點C的射線0C是NAO3的平分線，請說明此做法

的理由；

拓展實踐：

（3）小明將研究應用于實踐.如圖4,校園的兩條小路和AC,匯聚形成了一個岔路口A,現在學校要

在兩條小路之間安裝一盞路燈E,使得路燈照亮兩條小路（兩條小路一樣亮），并且路燈E到岔路口A的距

離和休息椅〃到岔路口A的距離相等.試問路燈應該安裝在哪個位置？請用不帶刻度的直尺和圓規在對應

的示意圖5中作出路燈E的位置.（保留作圖痕跡，不寫作法）

圖3圖4圖5

【典例1-4］（2023?河南?中考真題）如圖，VABC中，點。在邊AC上，且=

⑴請用無刻度的直尺和圓規作出ZA的平分線（保留作圖痕跡，不寫作法）.

⑵若（1）中所作的角平分線與邊交于點E,連接DE.求證：DE=BE.

【中考模擬即學即練】

【變式1-1］（2024?貴州銅仁?一模）如圖，在VABC中，NC=90。，以A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別

交AC,A3于點N,再分別以M,N為圓心，大于!長為半徑畫弧，兩弧交于點0,作射線40,

2

交BC于點、E.已知CE=2,AB=6,AEB的面積為（)

C.10D.6

【變式1-2］（2024?山東濟寧?一模）如圖，在VABC中，ZC=90,AC=12.

⑴請用無刻度的直尺和圓規在邊BC上求作一點D,使得點。到邊AB,AC的距離相等（保留作圖痕跡,

不寫作法）;

⑵在（1）所作的圖形中，過點、D作DEJ.AB于點、E.

①求證：AE=AC；

②若CD=4,SABD=30,求BE的長.

【變式1-3］（2024?河南周口?模擬預測）如圖，在VABC中，NC=90。.

B

⑴請用無刻度的直尺和圓規作出-3的平分線.（保留作圖痕跡，不寫作法）

⑵若（1）中所作的角平分線與邊AC交于點。，CD=3,A3=8,求的面積.

【變式1-4］（2023?廣西桂林?模擬預測）在VABC中，3。是邊AC上的高.

⑴尺規作圖：作/C的平分線，交BD于E.

（2）若DE=4,BC=10,求，BCE的面積.

【變式1-5］（2023?廣東惠州?二模）如圖，CB=CD,ZD+ZABC=180°,CE_LAOTE.

⑴求證：AC平分/DAB；

(2)若AE=10,DE=4,求AB的長.

題型二：與中線有關問題

「輻TMT屣T承..................

與中線有關的解題關鍵解題關鍵是利用中線的性質，如圖，在4ABC中,AD是4ABC的中線則BD=CD,

i

【中考母題學方法】

【典例2-1】（2024?山東德州?中考真題）如圖，在VABC中，AD是高，AE是中線，AD=4,S^ABC=12,

則BE的長為（）

A.1.5B.3C.4D.6

【典例2-2】（2023?浙江?中考真題）如圖，點P是VABC的重心，點。是邊AC的中點，PE〃AC交BC于

點、E,DF〃BC交EP千點、F,若四邊形CDEE的面積為6,則VABC的面積為（）

A.15B.18C.24D.36

【典例2-3】（2024?福建福州?模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數y=d（x>0）的圖象分別

X

與等腰RtAO3的直角邊和斜邊02交于點C,。，點A在無軸正半軸上，連接AD,CD,若

則ABCD的面積為.

B

O

【典例2-4】（2024,河北?中考真題）如圖，VA3C的面積為2,AD為BC邊上的中線，點A,G，G，C3是

線段CC4的五等分點，點A,2，2是線段。2的四等分點，點A是線段8月的中點.

（1）△AGR的面積為

（2）的面積為

【典例2-5】（2024?湖北武漢?模擬預測）如圖是由小正方形組成的9x9網格，每個小正方形的頂點叫做格點

A,B,C三點是格點,尸點是與網格線的交點.，僅用無刻度直尺在給定網格中完成畫圖.

（1）在圖1中，取A3的中點￡）,AC的中點E,連接ED,再作平行四邊形3DEK；

（2）在圖2中，在上畫出一點G,使ZACG=ZACF；

（3）在圖3中，點T在格點上，連接87,CT,在CT上畫點使AM平分四邊形ABTC的面積.

【中考模擬即學即練】

【變式2-1］（2024?云南昆明?二模）如圖，AD,CE是VABC的兩條中線，連接即.若^^^=16,則陰

影部分的面積是（）

【變式2-2］（2024?安徽六安?模擬預測）如圖，是VA3C的中線，點E是仞的中點，連接CE并延長,

交A3于點F,若A3=6.則AF的長為（）

A.1B.2C.3D.4

【變式2-3］（2024?安徽蚌埠?模擬預測）如圖，D,E,尸分別為VABC三邊上一點，且

交于點G,若SBDG=6,SS3=4,SAEG=15,貝”ABC=（）

【變式2-4］（2024?重慶?模擬預測）如圖，在RtABC中，ABAC=90°,AB=5,AC=W,。為8C的中點,

E為AC中點，連接BE交A￡＞于點/，貝尸的面積為.

A

【變式2-5］（2024?遼寧?模擬預測）如圖，將VABC沿直線AC翻折得到△ADC,BD交AC于點E,F為CD

的中點，連接AF并延長，交2C的延長線于點G,連接班若AB=10,AE=6,的面積為18,

則JJEF的面積為.

【變式2-6］（2024?山東臨沂?模擬預測）如圖，將VABC沿8c邊上的中線AD平移到,A'3'C'的位置，已知

VABC的面積為25cm2,陰影部分三角形的面積為9cn?,若A4'=lcm,則AD的值為cm.

【變式2-7］（2024?廣東東莞?模擬預測）如圖，在菱形ABCD中，兩條對角線相交于點O,AC=4,BO=2,

過點C作CE1AS,交A3的延長線于點E,連接OE,則COE的面積是

【變式2-8］（2024?上海浦東新?一模）如圖，在VABC中，AB=4,AC=6,石為3。中點，AD為VABC的

角平分線，VABC的面積記為豆，VADE的面積記為$2,則$2：5=

4

【變式2-9］（2024,廣東廣州?二模）如圖，已知△ABO中，AC1BD,BC=8,CD=4,cosZABC=-,BE

為A。邊上的中線.

⑴求AC的長；

(2)求BED的面積.

題型三：與中位線有關問題

指I點I迷I津

與中位線有關的解題關鍵

利用中位線的性質解題，如圖，在△ABC中，D,E分別為AB,AC的中點，則DE//BQ

DE=—0,B/C,SAAy|DE/\=fXr_Sl.SAABC

【中考母題學方法】

【典例3-1】(2024?廣東深圳?模擬預測)【定義】我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為"中垂三角形

【示例】如圖，AF,BE是VA3C的中線，MAF±BE,垂足為尸，像VA3C這樣的三角形稱作"中垂三角

形”.設BC=a,AC=b,AB=c.數學興趣小組想研究"中垂三角形"的三邊是否存在某種關系，進行了如

下探究過程：

(1)【特例探究】如圖2,VABC為"中垂三角形"，當/4BE=30。，c=4時，求。，b的值;

解：回VABC為"中垂三角形"，即AFXBE,

X0ZABE=3O°,AB=c=4,

0AP=2,BP=@,

國AF、BE分別是中線，連接班

I3E尸是VABC的中位線，

^EF//AB,EF=-AE,

2

^ZABP=Z.FEB,ZBAP=NEFP,

^AABP^AFEP,

^FP=-AP=\,

...（此處省略部分步驟）

Elj?C=a=②，AC=b=@.

完成上述解題過程中的填空；

①：，②：，③：$

2

⑵【歸納證明】請你觀察（1）中的解題思路及計算結果，猜想b,0?三者之間的關系，用等式表示

出來，并利用圖3證明你發現的關系式；

⑶【拓展應用】利用（2）中的結論，解答下列問題：如圖4,在邊長為8的菱形ABCD中，。為對角線AC,

即的交點，E,尸分別為線段Q4,的中點，連接BE,CF并延長交于點BM,CM分別交AD于

點G,H,直接寫出MG2+MH?的值.

【典例3-2】（2024?重慶九龍坡?三模）小明想利用三角形全等的知識，再探三角形中位線定理，他的探究思

路如下：如圖，在VABC中，點。、E分別為A3、AC的中點，連接。E,過點C在AC的右邊作/Ab,

使得ZACF=ABAC,延長。E交CF于點尸，然后通過證明.ADE'CFE和平行四邊形BCFD來證明三角

形中位線定理，請完成下面的作圖和填空.

⑴用尺規完成以下基本作圖：以點C為頂點，在AC的右側作N4CF=4LC,延長DE,交CF于點尸；（保

留作圖痕跡，不寫作法，不下結論）

（2）求證：BC=2DE,BC//DE.

證明：回點E為4C的中點，

0AE=CE,

y.SZACF=ZBAC,

回①.

在VADE和△era1中，

ZDAE=ZFCE

<AE=CE,

②

回.ADEMCFE,

團③，DE=FE,

回點。為A3的中點，

團AD=BD,

0@,

國四邊形DBCF是平行四邊形,

團DF=BC,DF//BC,

國DE=FE,

回⑤，

^BC=2DE,BC//DE.

【典例3-3】（2024?廣西南寧?模擬預測）閱讀下面材料，并回答問題.

在幾何學習中，經常通過添加輔助線構造圖形，將未知問題轉化為已知問題.

在八下課本49頁中，我們得到了三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第

三邊的一半.證明過程如下：

已知：如圖1,D、E分別是VABC的邊AB,AC的中點；

求證：DE〃BCMDE=LBC.

2

證明：如圖1,延長。E到點R使EF=DE,連接尸C,DC,AF.

SE為AC中點

:.AE=（1）

DE=EF,

回四邊形AOCF是平行四邊形，（@_）（填推理的依據）

前開平行且等于ZM

即CP平行且等于3D

團四邊形O8CF是平行四邊形

DF//BC,DF=BC,

又?DE=-DF,:.DE//BC,DE=-BC.

22

這個證明方法，就體現了三角形問題和平行四邊形問題的相互轉化.

⑴請完成證明過程中的填空：

①②

（2）在學習的過程中，我們可以用轉化的數學思想，解決很多數學問題.

例如：如圖2,在四邊形ABC。中，AD//BC,且點E,尸分別為和C。中點.

猜想：線段A。，8C和EF之間的數量和位置關系，并寫出證明過程.

⑶類比運用：如圖3,在四邊形ABC。中，AD//BC,且AB=CD.求證：ZABC=NDCB.

【中考模擬即學即練】

【變式3-1］（2024?山西陽泉,一模）閱讀下面材料，并完成相應的任務.

三角形中位線的折法

如圖1,在Rt^ABC中，ZACB=90°,將3A向下對折，使點A與點C重合，得到折痕DE,則OE垂直

平分AC,易得DE是VABC的中位線,

如圖2,借鑒直角三角形中位線的折法，可以折出銳角三角形的中

H

位線.

第一步，將NC向左對折，使點C的對應點C'落在2C上，展開后，得到折痕AP；

第二步，將一A向下對折，使點A與點P重合，得到折痕￡>E,則OE是VA3C的中位線.

理由如下：設”與DE交于點。.

第一次折疊可得APLCC',第二次折疊可得DELAP,且AQ=PQ.

^ZAQD=ZAPB=90°.

ADAQAE

^DE//BC-回而=瓦=無（依據）.

^\AQ=PQ,^\AD=BD,AE=CE.

EIOE是VABC的中位線,

如圖3,繼續探究其他折法:

第一步，將/C向左對折，使點C的對應點C落在BC上，展開后，得到折痕MN；

第二步，將/A向下對折，使點A的對應點A落在BC上，點M的對應點落在折痕上，則DE是VABC

的中位線.

任務:

⑴寫出材料中的依據：.

(2)請根據圖3的折法，求證：OE是V43C的中位線.

【變式3-2](2024,江蘇淮安?模擬預測)在初二下學期我們學習了三角形中位線的定義以及三角形中位線定

理，并且能用相關知識解決問題.

【問題再現】

己知：如圖1,在VA3C中，D、E分別是邊AB、AC的中點，求證：DE//BC,DE=；BC.

(1)如圖2,A、2兩地被建筑物阻隔，為測量A、B兩地的距離，在地面上選一點C,連接C4、CB,分

別取C4、CB的中點。、E.測得DE的長為20m,則A、B兩地的距離為m.

A

BECBC

圖2圖3

(2)如圖3,在四邊形ABC。中，AD〃BC,點、E、尸分別是8。和AC的中點，AD=3,BC=5,求砂的

長.

【靈活運用】

如圖4,在邊長為6的正方形ABCD中，點E是3C上一點，點P是A3上一點，點/關于直線DE的對稱

點G恰好在的延長線上，FG交DE于點點M為AD的中點，若MH=再，求8E的長.

圖4

【變式33］（2024?遼寧錦州?二模）【問題提出】

如圖1,在VABC中，ZBAC=90°,AB=AC,/為VABC內一點，連接AF,將AF繞點尸順時針旋轉90。

得到。/，連接所并延長到點E,使EF=BF,連接3D,CD,DE.求證：DE±CD,DE=CD.

A

圖1圖2圖3

圖4備用圖1備用圖2

【思路探究】

“神州小組”的解題思路：將線段OE借助平行線進行平移，如圖2,過點B作BG平行DE交DF的延長線

于點G,這樣可以將證明DE和S的關系轉化為8G和的關系;

智慧小組”的解題思路：結合/為防的中點構造三角形的中位線,如圖3,過點8作平行DF交即

延長線于點從而借助三角形中位線性質，將OE和CD的關系轉化為和CD的關系.

（1）請你選擇其中一個小組的思路，或者用你自己探究的思路寫出證明過程；

【思維訓練】

王老師為了進一步讓學生體會平行線在圖形證明中的作用，又出示了下列問題：

（2）如圖4,在VABC中，NACB=90。，ZA=30°,。為AB上一點，將CO繞點C逆時針旋轉60。得到CE,

連接BE,DE,。為。E中點，連接30并延長交CD的延長線于點尸，若NEBO=2ZBCE,探究OP,OB,

班之間的數量關系，并說明理由；

【能力提升】

（3）“北斗小組”的同學在【問題提出】的基礎上對該問題又進一步拓展：連接CE,若F為平面內一點,

AD//CE,CD=2,AC=3,其他條件不變，求AF的長.

【變式3-4](2024?遼寧大連?二模)【問題初探】

(1)在數學活動課上，李老師給出如下問題：

如圖1,在VABC中，點。是的中點，點E是AC的一個三等分點，S.AC=3CE,連接CO,BE交于

點、F,求證：CF=FD.

①如圖2,小鵬同學利用"三角形中位線的性質"的解題經驗，取￡8的中點G,連接DG,再通過“全等三角

形的性質"解決問題;

②如圖3,小亮同學利用"三角形相似的性質"的解題經驗，過點C作CG〃鈿，交BE的延長線于點G,再

通過“全等三角形的性質"解決問題.

請你選擇一名同學的解題思路，寫出證明過程.

【類比分析】

(2)李老師發現之前兩名同學都運用了數學的轉化思想，將證明三角形線段的關系轉化為我們熟悉的角度

去理解.為了幫助同學們更好地感悟轉化思想，李老師又提出了一個問題，請你解答：如圖4,在VABC中，

點。是AB的中點，點E,G是AC的三等分點，BG,8E與CD分別交于點H,F,求的值.

【學以致用】

(3)如圖5,在VABC中，AC=BC,在射線A3上取點。，使=連接CD,在CD上取點E,

射線班，G4相交于點尸，當歷=ED時，求BE:8k的值.

圖4圖5

【變式3-5］（2024?寧夏銀川?一模）如圖1.在VA8C中，D、E分別為AB、AC的中點，連接DE：

A

一7

操作1.將VADE繞點E按順時針方向旋轉180。到△CEE的位置.

操作2.延長DE到點E使EF=DE,連接CF.

試探究DE與BC有怎樣的位置關系和數量關系？B4--------------

圖1

（1）請結合操作1或操作2的方法所得出的結論，我們可以得到三角形中位線定理,

【結論應用】

（2）如圖2,四邊形中，對角線AC、5D相交于點O,四條邊上的中點分別為E、F、G、H、依次

連接EF、FG、GH、HE,得到四邊形EFGH.

圖2

①求證：四邊形EFG”為平行四邊形；

②當AC與8。滿足一時，四邊形EFGH是矩形，當AC與8。滿足一時，四邊形EFGH是菱形.

③若AC=16,次）=20,ZA（9fi=60°,求四邊形EFGH的面積.

【問題解決】

（3）如圖3所示，在一個四邊形ABCD的草坪上修一條小路，其中點尸和點。分別為邊48和邊。的中

點，且NA+NABC=90。，BC=6,AD=8,求小路P。的長度.

圖3

題型四：與等腰三角形底邊中點有關問題

:藉TMT逑T承....................

三線合一法

解題關鍵是利用等腰三角形“三線合一”，即頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高線重合，利用角平分線、

中線和高線的性質解題.

【中考母題學方法】

【典例4-1】（2023?四川綿陽?中考真題）如圖，廠房屋頂人字架（等腰三角形）的跨度BC=10m,々=30。,

則中柱4。（。為底邊中點）的長為m.

【典例4-2】（2024?湖北武漢?中考真題）如圖，VABC為等腰三角形，。是底邊3C的中點，腰AC與半圓。

相切于點D,底邊3C與半圓。交于E,尸兩點.

⑴求證：A3與半圓。相切；

（2）連接OA.若CD=4,CF=2,求sin/Q4c的值.

【典例4-3】（2022?山東德州?中考真題）如圖1,在等腰三角形A3C中，AB=AC,。為底邊3C的中點,

過點。作ODLAfi,垂足為。，以點。為圓心，0。為半徑作圓，交BC于點M,N.

⑴A8與。的位置關系為

（2）求證：4。是（。的切線；

⑶如圖2,連接。欣，DM=4,ZA=96°,求：。的直徑.（結果保留小數點后一位.參考數據:

sin24°?0.41,cos24°?0.9Ltan24°~0.45)

【中考模擬即學即練】

【變式4-1］（2024?湖南長沙?模擬預測）如圖，廠房屋頂人字形鋼架（等腰三角形）的中柱AD（。為底邊

中點）的長為5m,ZB=30°,則它的跨度BC為m.

【變式4-2］（2024?貴州遵義?模擬預測）輔助線是解決幾何圖形問題的利劍，合理添加輔助線，會使問題變

得簡單，下表給出了三角形中幾個常見利用中點添加輔助線的模型，請根據要求解決問題.

2.等腰三角形+底邊中3.直角三角形+斜邊中

題眼1.普通三角形+中點4.兩個中點

點點

A_______EA

L3A

—

大致圖形

BC

/A

BCBDC

輔助線名

倍長中線二線合一斜邊中線中位線

稱

延長3。到點E,

具體做法連接AD連接co連接。E

使DE=BD,連接

△AED沿ACBDAD1BC

產生效果①②

AE//BCABAD=ACAD

⑴請在①，②中任選擇一個填空：

你選擇的是,產生效果是.（產生效果寫一個或兩個）

（2）如圖①，在三角形中，AD是VABC的一條中線，AB=5,AC=3,AD=2,求的長.

⑶如圖②，在VA3C中，4=30。,/。=90。,43=4,點"，N是邊AC上兩個不同的動點，以為邊在

VA3C內部（包括邊界）作等邊三角形一點E,F分別是AM,PM的中點，當的周長取最大

值時，求線段族的長.

【變式4-3］（2024?廣西?模擬預測）如圖，已知VA3C為等腰三角形，點。是底邊BC上中點，腰與

相切于點D.

⑴求證：4。是(。的切線；

(2)當NC=45。，。的半徑為1時，求圖中陰影部分的面積；

⑶設。與的交點為G、H,若BGxBH=12,求的長.

【變式4-4](2024?遼寧,模擬預測)問題情境

數學活動課上，王老師給同學們每人發了一張等腰三角形紙片(各等腰三角形形狀不同)探究旋轉的特性，

如圖①，AB^AC,。為底邊2C的中點.將VABC以點。為旋轉中心，逆時針方向旋轉，設旋轉后得到

的三角形記為旋轉角為打(0。＜。＜180。).同學們經過操作探究后發現：旋轉角a等于2倍底角的

度數時，邊AC'總能落在原三角形邊A3所在的直線上.在此基礎上同學們進行如下探究:

獨立思考:

小明："設AE與3c相交于點D,當與2C垂直時，則夕=60。.”

小紅："若a=45。,過點A作AEL3C,垂足為E,交3'C'于點F,則AN=30."

實踐探究

奮進小組的同學們經過探究后提出問題1,請你回答:

(1)問題1：在等腰三角形ABC中，AB^AC,.A?C'由VABC繞底邊2C中點。旋轉得到，當旋轉角

a=2ZC時，邊A'C'總能落在原三角形邊AB所在的直線上.

(0如圖②，設AE與BC相交于點。，當A笈與2C垂直時，求證：a=60。；

(z7)如圖③，若々=45。，過點H作AELBC,垂足為E,交3'C'于點/，求證：A'F=BD.

問題解決

小明經過探究發現：在問題1的基礎上，若給出等腰三角形ABC腰與底的長，圖中用字母標記的線段都可

求，可以將問題進一步拓展.

(2)問題2：如圖④，在等腰三角形ABC中，AB=AC=5,BC=6.若？H與CB的延長線相交于點。，

請直接寫出的長.

題型五：倍長中線模型

倍長中線法

題中已知三角形及中線，或已知過一邊中點的線段，常考慮倍長中線或倍長類中線構造全等三角形.

類型倍長中線倍長類中線

圖示

4co

8

\[DC

E

E

條件在^ABC中.AD是邊BC的中線在4ABC中點D是邊BC的中點，點E是邊

AB上一點，連接ED

作法延長AD至點E,使DE=AD,連接BE延長ED至點F,使DF=DE,連接CF

結論△ACD^AEBD△BDE^ACDF

【中考母題學方法】

【典例5-1】(2024?貴州遵義?模擬預測)輔助線是解決幾何圖形問題的利劍，合理添加輔助線，會使問題變

得簡單，下表給出了三角形中幾個常見利用中點添加輔助線的模型，請根據要求解決問題.

2.等腰三角形+底邊中3.直角三角形+斜邊中

題眼1.普通三角形+中點4.兩個中點

點點

A_______EA

3A

—

大致圖形

1ABC

BCBDC

輔助線名

倍長中線三線合一斜邊中線中位線

稱

延長3。到點E,

具體做法連接A。連接CD連接。E

使DE=BD,連接A￡

△AED^ACBDAD1BC

產生效果①②

AE//BCZBAD=ZCAD

⑴請在①，②中任選擇一個填空：

你選擇的是,產生效果是.（產生效果寫一個或兩個）

⑵如圖①，在三角形中，AD是VABC的一條中線，AB=5,AC=3,AD=2,求8c的長.

（3）如圖②，在VABC中，44=30。,/。=90。,45=4,點M,N是邊AC上兩個不同的動點，以為邊在

VABC內部（包括邊界）作等邊三角形aPMN,點E,F分別是AM,尸河的中點，當的周長取最大

值時，求線段族的長.

【典例5-2】(2024?吉林長春?一模)【發現問題】數學興趣小組在活動時，老師提出了這樣的一個問題:

如圖①，在VA3C中，AB=6,AC=8,第三