難點(diǎn)與解題模型10平行線中的常見(jiàn)的四種“拐角”模型

題型一：“豬蹄”模型（含“鋸齒”模型）

題型二：“鉛筆”模型

題型三：“雞翅”模型

題型四：“骨折模型”

儲(chǔ)國(guó)￡藉淮撬分

題型一：“豬蹄”模型（含“鋸齒”模型）

|IililS--”……-…-…

一、“豬蹄”模型

i豬蹄模型的基本特征：一組平行線，中間有一個(gè)點(diǎn)，分別與平行線上的點(diǎn)構(gòu)成“豬蹄”。

豬蹄模型（又名燕尾模型、M字模型）

步驟總結(jié)

;步驟一：過(guò)豬蹄（拐點(diǎn)）作平行線

:步驟二：借助平行線的性質(zhì)找相等或互補(bǔ)的角

;步驟三：推導(dǎo)出角的數(shù)量關(guān)系

模型結(jié)論：ZB+ZD=ZDEB.

二、鋸齒模型

已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）證明方法

AB

AB〃DENB+NE=NC

上遇拐點(diǎn)做平行

DE線（方法不唯

AB一）

AB〃DE*NB+NM+NE=NC+NN

DE

,一aF4也

a〃b所有朝左角之和等于所有朝右角的和

力”-l?^****^

b

*--------------^*4

【中考母題學(xué)方法】

【典例1-1］（2023?遼寧盤(pán)錦?中考真題）如圖，直線AB〃CD,將一個(gè)含60。角的直角三角尺EGF按圖中

方式放置，點(diǎn)E在A3上，邊GF、EF分別交CD于點(diǎn)、H、K,若NBEF=64°,則NGHC等于（）.

A.44°B.34°C.24°D.14°

【典例1-2】（2020?湖南?中考真題）如圖，已知ABI3OE,01=30°,02=35°,貝峋BCE的度數(shù)為（）

A.70°B.65°C.35°D.5°

【典例1-3］（2024?在平區(qū)一模）如圖，AB//EF,ZC=90°,則P,7的關(guān)系是（）

A.a+P~y=90°B./?+y-cr=90°

C.。+4+/=180。D.P=a^y

【典例1一4】（2024?河南南陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）傳統(tǒng)文化如同一顆璀璨的明珠，熠熠生輝，為增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，同時(shí)

讓學(xué)生感受中國(guó)傳統(tǒng)文化，某校將國(guó)家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)"抖空竹”引入陽(yáng)光特色大課間.如圖①是某同學(xué)"抖

空竹”時(shí)的一個(gè)瞬間，小紅同學(xué)把它抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題：如圖②，已知AB〃CD,NAEC=131。，ZBAE=57°,

則NDCE的度數(shù)為（）

【典例1-5】（2023?北京西城?統(tǒng)考一模）下面是解答一道幾何題時(shí)兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種,

【中考模擬即學(xué)即練】

【變式1-1］（2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）汽車前照燈的反射鏡具有拋物線的形狀，它們是拋物面（如圖），明亮的

光束是由位于拋物線反射鏡焦點(diǎn)F上的光源產(chǎn)生的，此時(shí)光線沿著與拋物線的對(duì)稱軸平行的方向射出,

若N/C￡>=40。，=70。，則光線FC與FG形成的NCFG的度數(shù)為（）

A.90°B.100°C.110°D.120°

【變式1-2］（2024?湖南長(zhǎng)沙?模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB//CD,OB±OD,若/ABO=36。，則NODC的度數(shù)為

C.72°D.108°

【變式1-3］（2024?甘肅,模擬預(yù)測(cè)）如圖1,是我國(guó)具有自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)、用于探索宇宙的單口徑球面射電望

遠(yuǎn)鏡"中國(guó)天眼如圖2,是"中國(guó)天眼”接收來(lái)自宇宙的電磁波的原理圖，其中EG為豎直方向的饋源（反

射面），入射波AO經(jīng)過(guò)三次反射后沿O'A'水平射出，且。4〃O'A,已知入射波AO與法線的夾角Nl=35。，

則ZA'ON=（）

Si圖2

A.70°B.60°C.45°D.35°

【變式1-4］（2024?云南昆明?模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知。〃6,若與的夾角為105。，4=55。，則N2的

度數(shù)為（）

A

A.105°B.125°C.130°D.150°

【變式1-5］（2024?江蘇常州?一模）如圖，直線。〃以點(diǎn)A在直線a上，點(diǎn)C在直線。上，,若N1=44。,

貝I]Z2=

【變式1-6］問(wèn)題情境：如圖1,已知4BEICD,^APC=108°.求NP4B+NPC。的度數(shù).

圖1圖2圖3圖4

經(jīng)過(guò)思考,小敏的思路是:如圖2,過(guò)P作PEMB,根據(jù)平行線有關(guān)性質(zhì)，可得NPAB+NPCD=360°-ZXPC=

252°.

問(wèn)題遷移：如圖3,ADEIBC,點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，AADP=Na,乙BCP=邛.

⑴當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，上CPD、Na、NS之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、。三點(diǎn)不重合），請(qǐng)你直接寫(xiě)出NCP。、Na、N/?之間

的數(shù)量關(guān)系.

⑶問(wèn)題拓展：如圖4,MA^NAn,X2--------Bnr-4t是一條折線段，依據(jù)此圖所含信息，把你

所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，用簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)式子表達(dá)為

題型二：“鉛筆”模型

「福TMT逑T3.....

從豬蹄模型可以看出，點(diǎn)E是凹進(jìn)去了，如果點(diǎn)E是凸出來(lái)，如下圖:

那么，像這樣的模型，我們就稱為鉛筆頭模型。

模型結(jié)論：ZB+ZE+ZD=360°

【中考母題學(xué)方法】

【典例2-1】（崇川區(qū)校級(jí)三模）如圖，已知ZA=140°,ZE=120°,則NC的度數(shù)是（）

A.80°B.100°C.120°D.140°

【典例2-2[（2024春?啟東市校級(jí)月考）如圖，直線a//b,Nl=28°,則N3=度，N3+N4+/5=

【典例2-3】請(qǐng)?jiān)跈M線上填上合適的內(nèi)容.

（1）如圖（1）已知貝=

解：過(guò)點(diǎn)E作直線E73/AB.

^ZFEB=().()

ABHCD,EF//AB,

0（）//（）.（如果兩條直線和第三條直線平行，那么這兩直線平行）

^ZFED=().().

ZB+ZD=ZBEF+AFED.

?ZB+ZD=NBED.

(2)如圖②，如果AB〃CD,貝!!NB+NfiED+ND=()

【典例2-4】如圖,己知Aaaco.

AB

''衛(wèi)_______

CD

圖4

(1)如圖1所示,131+02

(2)如圖2所示,01+02+B3;并寫(xiě)出求解過(guò)程.

(3)如圖3所示,01+02+03+H4

(4)如圖4所示,試探究團(tuán)1+02+03+回4+回+即=

【中考模擬即學(xué)即練】

【變式2-1］（江蘇模擬）如圖，是賽車跑道的一段示意圖，其中測(cè)得NB=140。ZD=120°,

則NC的度數(shù)為（)

5

A.120°B.100°C.140°D.90°

【變式2-2】問(wèn)題情境：如圖1,AB\\CD,^PAB=130°,zPCO=120°,求N4PC的度數(shù).

圖5備用圖1備用圖2

思路點(diǎn)撥：

小明的思路是：如圖2,過(guò)P作PEII48,通過(guò)平行線性質(zhì)，可分別求出NAPE、NCPE的度數(shù)，從而可求出

乙4PC的度數(shù)；

小麗的思路是：如圖3,連接4C,通過(guò)平行線性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和的知識(shí)可求出N4PC的度數(shù)；

小芳的思路是：如圖4,延長(zhǎng)4P交DC的延長(zhǎng)線于E,通過(guò)平行線性質(zhì)以及三角形外角的相關(guān)知識(shí)可求出乙4PC

的度數(shù).

問(wèn)題解決：請(qǐng)從小明、小麗、小芳的思路中任選一種思路進(jìn)行推理計(jì)算，你求得的乙4PC的度數(shù)為°;

問(wèn)題遷移：

(1)如圖5,4D||BC,點(diǎn)P在射線。M上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)=乙a,乙BCP=邛.乙CPD、

Na、之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)在(1)的條件下，如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)(點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、。三點(diǎn)不重合)，請(qǐng)你直接寫(xiě)

出NCPD、Na、邛間的數(shù)量關(guān)系.

【變式2-3］（1）如圖1,60/2，求財(cái)］+（兇2+朋3=.（直接寫(xiě)出結(jié)果）

（2）如圖2,/曲/2，求04；+蜘2+蜘3+骷4=.（直接寫(xiě)出結(jié)果）

（3）如圖3,/曲/2，求蜘［+蜘2+蜘3+&44+蜘5=.（直接寫(xiě)出結(jié)果）

（4）如圖4,1^12,求0Ai+EM2+...+l3An=.（直接寫(xiě)出結(jié)果）

⑴⑵（3）

題型三：“雞翅”模型

【典例3-1】（2024?廣東深圳?模擬預(yù)測(cè)）抖空竹是我國(guó)的傳統(tǒng)體育，也是國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一.明代

《帝京景物略》一書(shū)中就有空竹玩法和制作方法的記述，明定陵亦有出土的文物為證，可見(jiàn)抖空竹在民間

流行的歷史至少在600年以上.如圖，通過(guò)觀察抖空竹發(fā)現(xiàn)，可以將某一時(shí)刻的情形抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題：

AB//CD,ZBAE=94°,NDCE=122°,則/E的度數(shù)為（）

A

A.28°B.38°C.18°D.25°

【典例3-2]A施CD點(diǎn)P為直線AB,CD所確定的平面內(nèi)的一點(diǎn).

(1)如圖1,寫(xiě)出0ApC、財(cái)、EIC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明;

(2)如圖2,寫(xiě)出0ApC、&4、EIC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明;

(3)如圖3,點(diǎn)E在射線84上，過(guò)點(diǎn)E作EimPC,作附EG=aPEK點(diǎn)G在直線C。上，作財(cái)EG的平分

線EH交PC于點(diǎn)、H,若13Ape=30。，回以8=140。，求回PEHr的度數(shù).

圖3

【典例3-3】（2023?重慶大渡口?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)學(xué)課上老師提出了如下問(wèn)題：

如圖，乙B=160°,當(dāng)乙4與ND滿足什么關(guān)系時(shí)，BC||DE?

小明認(rèn)為ND-乙4=20。時(shí)BC||DE,他解答這個(gè)問(wèn)題的思路和步驟如下，請(qǐng)根據(jù)小明的思路完成下面的作

圖與填軍肇

解：用直尺和圓規(guī)，在的右側(cè)找一點(diǎn)M,^DAM=AD（只保留作圖痕跡）.

SZ.DAM=乙D,

回①_________________

0ZD-乙DAB=20°

=@°,

EIZB=160°,

+Z.BAM=（3）'

回④_________________

0BC||DE.

所以滿足的關(guān)系為：當(dāng)ND—乙4=20。時(shí)，BC||DE.

【中考模擬即學(xué)即練】

【變式3-1］如圖，若AB//CD,則回1+團(tuán)3-回2的度數(shù)為

E

【變式3-2］問(wèn)題探究:

如下面四個(gè)圖形中，AB//CD.

(1)分別說(shuō)出圖1、圖2、圖3、圖4中,"與回2、團(tuán)3三者之間的關(guān)系.

(2)請(qǐng)你從中任選一個(gè)加以說(shuō)明理由.

圖4

解決問(wèn)題:

(3)如圖5所示的是一探照燈燈碗的縱剖面,從位于。點(diǎn)的燈泡發(fā)出兩束光線08、0C經(jīng)燈碗反射后平行

射出.如果她2。=57°,回。。。=44°,那么I38OC=

D

C

圖5

【變式3-3】已知直線ABEICD,P為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接力、PD.

⑴如圖1,已知回4=50°,回。=150°,求回APD的度數(shù)；

(2)如圖2,判斷回力8、0CDP,MPD之間的數(shù)量關(guān)系為.

(3)如圖3,在(2)的條件下，AP0PD,ON平分I3PDC,若團(tuán)%N+；EI%B=0/1PD,求MA/。的度數(shù).

AB

P

C~D

圖1-

題型四：“骨折模型”

?Aiiis......

模型結(jié)論：ZE=ZB-ZD

【中考母題學(xué)方法】

【典例4-1](2024?黑龍江綏化?中考真題)如圖，AB//CD,ZC=33°,OC=OE.則/A=

c

【典