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文檔簡(jiǎn)介
難點(diǎn)與解題模型10平行線中的常見(jiàn)的四種“拐角”模型
題型一:“豬蹄”模型(含“鋸齒”模型)
題型二:“鉛筆”模型
題型三:“雞翅”模型
題型四:“骨折模型”
儲(chǔ)國(guó)£藉淮撬分
題型一:“豬蹄”模型(含“鋸齒”模型)
|IililS--”……-…-…
一、“豬蹄”模型
i豬蹄模型的基本特征:一組平行線,中間有一個(gè)點(diǎn),分別與平行線上的點(diǎn)構(gòu)成“豬蹄”。
豬蹄模型(又名燕尾模型、M字模型)
步驟總結(jié)
;步驟一:過(guò)豬蹄(拐點(diǎn))作平行線
:步驟二:借助平行線的性質(zhì)找相等或互補(bǔ)的角
;步驟三:推導(dǎo)出角的數(shù)量關(guān)系
模型結(jié)論:ZB+ZD=ZDEB.
二、鋸齒模型
已知圖示結(jié)論(性質(zhì))證明方法
AB
AB〃DENB+NE=NC
上遇拐點(diǎn)做平行
DE線(方法不唯
AB一)
AB〃DE*NB+NM+NE=NC+NN
DE
,一aF4也
a〃b所有朝左角之和等于所有朝右角的和
力”-l?^****^
b
*--------------^*4
【中考母題學(xué)方法】
【典例1-1](2023?遼寧盤(pán)錦?中考真題)如圖,直線AB〃CD,將一個(gè)含60。角的直角三角尺EGF按圖中
方式放置,點(diǎn)E在A3上,邊GF、EF分別交CD于點(diǎn)、H、K,若NBEF=64°,則NGHC等于().
A.44°B.34°C.24°D.14°
【典例1-2】(2020?湖南?中考真題)如圖,已知ABI3OE,01=30°,02=35°,貝峋BCE的度數(shù)為()
A.70°B.65°C.35°D.5°
【典例1-3](2024?在平區(qū)一模)如圖,AB//EF,ZC=90°,則P,7的關(guān)系是()
A.a+P~y=90°B./?+y-cr=90°
C.。+4+/=180。D.P=a^y
【典例1一4】(2024?河南南陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))傳統(tǒng)文化如同一顆璀璨的明珠,熠熠生輝,為增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì),同時(shí)
讓學(xué)生感受中國(guó)傳統(tǒng)文化,某校將國(guó)家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)"抖空竹”引入陽(yáng)光特色大課間.如圖①是某同學(xué)"抖
空竹”時(shí)的一個(gè)瞬間,小紅同學(xué)把它抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題:如圖②,已知AB〃CD,NAEC=131。,ZBAE=57°,
則NDCE的度數(shù)為()
【典例1-5】(2023?北京西城?統(tǒng)考一模)下面是解答一道幾何題時(shí)兩種添加輔助線的方法,選擇其中一種,
【中考模擬即學(xué)即練】
【變式1-1](2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè))汽車前照燈的反射鏡具有拋物線的形狀,它們是拋物面(如圖),明亮的
光束是由位于拋物線反射鏡焦點(diǎn)F上的光源產(chǎn)生的,此時(shí)光線沿著與拋物線的對(duì)稱軸平行的方向射出,
若N/C£>=40。,=70。,則光線FC與FG形成的NCFG的度數(shù)為()
A.90°B.100°C.110°D.120°
【變式1-2](2024?湖南長(zhǎng)沙?模擬預(yù)測(cè))如圖,AB//CD,OB±OD,若/ABO=36。,則NODC的度數(shù)為
C.72°D.108°
【變式1-3](2024?甘肅,模擬預(yù)測(cè))如圖1,是我國(guó)具有自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)、用于探索宇宙的單口徑球面射電望
遠(yuǎn)鏡"中國(guó)天眼如圖2,是"中國(guó)天眼”接收來(lái)自宇宙的電磁波的原理圖,其中EG為豎直方向的饋源(反
射面),入射波AO經(jīng)過(guò)三次反射后沿O'A'水平射出,且。4〃O'A,已知入射波AO與法線的夾角Nl=35。,
則ZA'ON=()
Si圖2
A.70°B.60°C.45°D.35°
【變式1-4](2024?云南昆明?模擬預(yù)測(cè))如圖,已知。〃6,若與的夾角為105。,4=55。,則N2的
度數(shù)為()
A
A.105°B.125°C.130°D.150°
【變式1-5](2024?江蘇常州?一模)如圖,直線。〃以點(diǎn)A在直線a上,點(diǎn)C在直線。上,,若N1=44。,
貝I]Z2=
【變式1-6]問(wèn)題情境:如圖1,已知4BEICD,^APC=108°.求NP4B+NPC。的度數(shù).
圖1圖2圖3圖4
經(jīng)過(guò)思考,小敏的思路是:如圖2,過(guò)P作PEMB,根據(jù)平行線有關(guān)性質(zhì),可得NPAB+NPCD=360°-ZXPC=
252°.
問(wèn)題遷移:如圖3,ADEIBC,點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng),AADP=Na,乙BCP=邛.
⑴當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí),上CPD、Na、NS之間有何數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)說(shuō)明理由.
(2)如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)(點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、。三點(diǎn)不重合),請(qǐng)你直接寫(xiě)出NCP。、Na、N/?之間
的數(shù)量關(guān)系.
⑶問(wèn)題拓展:如圖4,MA^NAn,X2--------Bnr-4t是一條折線段,依據(jù)此圖所含信息,把你
所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論,用簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)式子表達(dá)為
題型二:“鉛筆”模型
「福TMT逑T3.....
從豬蹄模型可以看出,點(diǎn)E是凹進(jìn)去了,如果點(diǎn)E是凸出來(lái),如下圖:
那么,像這樣的模型,我們就稱為鉛筆頭模型。
模型結(jié)論:ZB+ZE+ZD=360°
【中考母題學(xué)方法】
【典例2-1】(崇川區(qū)校級(jí)三模)如圖,已知ZA=140°,ZE=120°,則NC的度數(shù)是()
A.80°B.100°C.120°D.140°
【典例2-2[(2024春?啟東市校級(jí)月考)如圖,直線a//b,Nl=28°,則N3=度,N3+N4+/5=
【典例2-3】請(qǐng)?jiān)跈M線上填上合適的內(nèi)容.
(1)如圖(1)已知貝=
解:過(guò)點(diǎn)E作直線E73/AB.
^ZFEB=().()
ABHCD,EF//AB,
0()//().(如果兩條直線和第三條直線平行,那么這兩直線平行)
^ZFED=().().
ZB+ZD=ZBEF+AFED.
?ZB+ZD=NBED.
(2)如圖②,如果AB〃CD,貝!!NB+NfiED+ND=()
【典例2-4】如圖,己知Aaaco.
AB
''衛(wèi)_______
CD
圖4
(1)如圖1所示,131+02
(2)如圖2所示,01+02+B3;并寫(xiě)出求解過(guò)程.
(3)如圖3所示,01+02+03+H4
(4)如圖4所示,試探究團(tuán)1+02+03+回4+回+即=
【中考模擬即學(xué)即練】
【變式2-1](江蘇模擬)如圖,是賽車跑道的一段示意圖,其中測(cè)得NB=140。ZD=120°,
則NC的度數(shù)為()
5
A.120°B.100°C.140°D.90°
【變式2-2】問(wèn)題情境:如圖1,AB\\CD,^PAB=130°,zPCO=120°,求N4PC的度數(shù).
圖5備用圖1備用圖2
思路點(diǎn)撥:
小明的思路是:如圖2,過(guò)P作PEII48,通過(guò)平行線性質(zhì),可分別求出NAPE、NCPE的度數(shù),從而可求出
乙4PC的度數(shù);
小麗的思路是:如圖3,連接4C,通過(guò)平行線性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和的知識(shí)可求出N4PC的度數(shù);
小芳的思路是:如圖4,延長(zhǎng)4P交DC的延長(zhǎng)線于E,通過(guò)平行線性質(zhì)以及三角形外角的相關(guān)知識(shí)可求出乙4PC
的度數(shù).
問(wèn)題解決:請(qǐng)從小明、小麗、小芳的思路中任選一種思路進(jìn)行推理計(jì)算,你求得的乙4PC的度數(shù)為°;
問(wèn)題遷移:
(1)如圖5,4D||BC,點(diǎn)P在射線。M上運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)=乙a,乙BCP=邛.乙CPD、
Na、之間有何數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)在(1)的條件下,如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)(點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、。三點(diǎn)不重合),請(qǐng)你直接寫(xiě)
出NCPD、Na、邛間的數(shù)量關(guān)系.
【變式2-3](1)如圖1,60/2,求財(cái)]+(兇2+朋3=.(直接寫(xiě)出結(jié)果)
(2)如圖2,/曲/2,求04;+蜘2+蜘3+骷4=.(直接寫(xiě)出結(jié)果)
(3)如圖3,/曲/2,求蜘[+蜘2+蜘3+&44+蜘5=.(直接寫(xiě)出結(jié)果)
(4)如圖4,1^12,求0Ai+EM2+...+l3An=.(直接寫(xiě)出結(jié)果)
⑴⑵(3)
題型三:“雞翅”模型
【典例3-1】(2024?廣東深圳?模擬預(yù)測(cè))抖空竹是我國(guó)的傳統(tǒng)體育,也是國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一.明代
《帝京景物略》一書(shū)中就有空竹玩法和制作方法的記述,明定陵亦有出土的文物為證,可見(jiàn)抖空竹在民間
流行的歷史至少在600年以上.如圖,通過(guò)觀察抖空竹發(fā)現(xiàn),可以將某一時(shí)刻的情形抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題:
AB//CD,ZBAE=94°,NDCE=122°,則/E的度數(shù)為()
A
A.28°B.38°C.18°D.25°
【典例3-2]A施CD點(diǎn)P為直線AB,CD所確定的平面內(nèi)的一點(diǎn).
(1)如圖1,寫(xiě)出0ApC、財(cái)、EIC之間的數(shù)量關(guān)系,并證明;
(2)如圖2,寫(xiě)出0ApC、&4、EIC之間的數(shù)量關(guān)系,并證明;
(3)如圖3,點(diǎn)E在射線84上,過(guò)點(diǎn)E作EimPC,作附EG=aPEK點(diǎn)G在直線C。上,作財(cái)EG的平分
線EH交PC于點(diǎn)、H,若13Ape=30。,回以8=140。,求回PEHr的度數(shù).
圖3
【典例3-3】(2023?重慶大渡口?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))在數(shù)學(xué)課上老師提出了如下問(wèn)題:
如圖,乙B=160°,當(dāng)乙4與ND滿足什么關(guān)系時(shí),BC||DE?
小明認(rèn)為ND-乙4=20。時(shí)BC||DE,他解答這個(gè)問(wèn)題的思路和步驟如下,請(qǐng)根據(jù)小明的思路完成下面的作
圖與填軍肇
解:用直尺和圓規(guī),在的右側(cè)找一點(diǎn)M,^DAM=AD(只保留作圖痕跡).
SZ.DAM=乙D,
回①_________________
0ZD-乙DAB=20°
=@°,
EIZB=160°,
+Z.BAM=(3)'
回④_________________
0BC||DE.
所以滿足的關(guān)系為:當(dāng)ND—乙4=20。時(shí),BC||DE.
【中考模擬即學(xué)即練】
【變式3-1]如圖,若AB//CD,則回1+團(tuán)3-回2的度數(shù)為
E
【變式3-2]問(wèn)題探究:
如下面四個(gè)圖形中,AB//CD.
(1)分別說(shuō)出圖1、圖2、圖3、圖4中,"與回2、團(tuán)3三者之間的關(guān)系.
(2)請(qǐng)你從中任選一個(gè)加以說(shuō)明理由.
圖4
解決問(wèn)題:
(3)如圖5所示的是一探照燈燈碗的縱剖面,從位于。點(diǎn)的燈泡發(fā)出兩束光線08、0C經(jīng)燈碗反射后平行
射出.如果她2。=57°,回。。。=44°,那么I38OC=
D
C
圖5
【變式3-3】已知直線ABEICD,P為平面內(nèi)一點(diǎn),連接力、PD.
⑴如圖1,已知回4=50°,回。=150°,求回APD的度數(shù);
(2)如圖2,判斷回力8、0CDP,MPD之間的數(shù)量關(guān)系為.
(3)如圖3,在(2)的條件下,AP0PD,ON平分I3PDC,若團(tuán)%N+;EI%B=0/1PD,求MA/。的度數(shù).
AB
P
C~D
圖1-
題型四:“骨折模型”
?Aiiis......
模型結(jié)論:ZE=ZB-ZD
【中考母題學(xué)方法】
【典例4-1](2024?黑龍江綏化?中考真題)如圖,AB//CD,ZC=33°,OC=OE.則/A=
c
【典
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