難點05多邊形和平行四邊形常考題型

（5大熱考題型）

題型一：多邊形的內角和

題型二：多邊形的外角和

題型三：平行四邊形的性質

題型四：平行四邊形的判定

題型五：三角形中位線的性質

題型六：平行線間的距離折疊背景下的三角形內角計算

R糖淮握分

題型一：多邊形的內角和

【中考母題學方法】

【典例1】（2024?山東青島?中考真題）為籌備運動會，小松制作了如圖所示的宣傳牌，在正五邊形/BCDE和

正方形CDFG中，CF,DG的延長線分別交NE,48于點N,則/?E的度數是（）

【答案】B

【分析】本題考查的是正多邊形內角和問題，熟記正多邊形的內角的計算方法是解題的關鍵.

根據正五邊形的內角的計算方法求出/CDE、NE,根據正方形的性質分別求出NCD尸、/CFD,根據四

邊形內角和等于360。計算即可.

【詳解】解：???五邊形/8CQE是正五邊形,

.（5-2）x180。

..ZCDE=ZE=---------------=108°,

5

?..四邊形CZ）FG為正方形，

AZCDF=90°,ZCFD=45°,

，/五D￡=108°-90°=18°,/DFM=180°—45°=135°,

Z?E=360°-18°-135°-108°=99°,

故選：B.

【典例2】（2024?吉林長春?中考真題）在剪紙活動中，小花同學想用一張矩形紙片剪出一個正五邊形，其中

正五邊形的一條邊與矩形的邊重合，如圖所示，則/a的大小為（）

A.54°B.60°C.70°D.72°

【答案】D

【分析】本題考查了多邊形內角與外角，正多邊形的內角和，熟練掌握正多邊形的內角和公式是解題的關

鍵.

根據正五邊形的內角和公式和鄰補角的性質即可得到結論.

【詳解】解：Na=180。-（5-2,8。。=72°,

故選：D.

【變式1-1］（2024?河北?中考真題）直線/與正六邊形N8CDE尸的邊分別相交于點N,如圖所

示，貝（）

CD

A.115°B.120°C.135°D.144°

【答案】B

【分析】本題考查了多邊形的內角和，正多邊形的每個內角，鄰補角，熟練掌握知識點是解決本題的關鍵.

先求出正六邊形的每個內角為120。，再根據六邊形MBCDEN的內角和為720°即可求解ZENM+NNMB的

度數，最后根據鄰補角的意義即可求解.

62X180

【詳解】解：正六邊形每個內角為：（-）\120O,

6

而六邊形MBCDEN的內角和也為（6-2）x180。=720。，

ZB+ZC+ZD+ZE+ZENM+ZNMB=720°,

：.ZENM+ZNMB=720°-4xl20°=240°,

J3+ZENM+a+ZNMB=lS00x2=360°,

.?.&+￡=360°-240°=120°,

故選：B.

【變式1-2］（2024?寧夏?中考真題）如圖，在正五邊形N3CDE的內部，以。。邊為邊作正方形,連

接BH,PIOABHC=°.

【分析】本題考查正多邊形的內角問題，正方形的性質，等腰三角形的性質等.先根據正多邊形內角公式

求出/BCD,進而求出NBC〃，最后根據8C=HC求解.

【詳解】解：：正五邊形/3CQE中，ZBCD=1x(5-2)xl80°=108°,BC=DC,

正方形CDW中，ZHCD=90°,HC=DC,

NBCH=NBCD-NHCD=108°-90°=18°,HC=BC,

NBHC=NHBC,

Z5/7C=1(180o-Z5CH)=1x(180°-18o)=81°,

故答案為：81.

5.(2024?山東日照?中考真題)一個多邊形的內角和是1080。，則這個多邊形是邊形.

【答案】八

【分析】本題考查了多邊形的內角和公式，熟記多邊形的內角和公式為(〃-2)x180。是解答本題的關鍵.根

據多邊形內角和公式求解即可.

【詳解】設這個多邊形是〃邊形,

由題意得(-2)180。=1080。,

解得?=8,

,這個多邊形是八邊形.

故答案為：A.

【變式1-3](2024?四川廣元?中考真題)點廠是正五邊形/5CAE邊DE的中點，連接8尸并延長與CD延長

線交于點G,則N3GC的度數為.

【分析】連接B。，8E,根據正多邊形的性質可證/BE也ACBD(SAS),得至1」8￡=加，進而得到BG是。E

的垂直平分線，即/D尸G=90。，根據多邊形的內角和公式可求出每個內角的度數，進而得到/EDG=72。,

再根據三角形的內角和定理即可解答.

【詳解】解：連接8。，BE,

五邊形ABCDE是正五邊形，

:.AB=BC=CD=AE,N4=NC

：.AABE%CBD(SAS),

/.BE=BD,

:點尸是DE的中點，

/.BG是DE的垂直平分線，

NDFG=90°,

在正五邊形ABCDE中，ZCDE=(5-2卜180=趣不，

5

ZFDG=180°-ZCDE=72°,

ZG=180°-ZDFG-ZFDG=180°-90°-72°=18°.

故答案為：18。

【點睛】本題考查正多邊形的性質，內角，全等三角形的判定及性質，垂直平分線的判定，三角形的內角

和定理，正確作出輔助線，綜合運用相關知識是解題的關鍵.

【變式1-4］（2024?甘肅臨夏?中考真題）“香渡欄干屈曲，紅妝映、薄綺疏根.”圖1窗根的外邊框為正六

邊形（如圖2）,則該正六邊形的每個內角為。.

【答案】120

【分析】本題考查多邊形內角和，正多邊形的性質.掌握〃邊形內角和為（"-2）x180。和正多邊形的每個內

角都相等是解題關鍵.根據多邊形內角和公式求出正六邊形的內角和為720。，再除以6即可.

【詳解】解：：正六邊形的內角和為（6-2卜180。=720。，

正六邊形的每個內角為720°+6=120。.

故答案為：120.

【變式1-5］（2024?山東威海?中考真題）如圖，在正六邊形48cDE/中，AH//FG,BI1AH,垂足為

點/.ZEFG=20°,貝.

【答案】50。/50度

【分析】本題考查了正六邊形的內角和、平行線的性質及三角形內角和定理，先求出正六邊形的每個內角

為120。，即/￡/弘=/E43=120。，則可求得NGE4的度數，根據平行線的性質可求得NE48的度數，進而

可求出AHAB的度數，再根據三角形內角和定理即可求出AABI的度數.

【詳解】解：???正六邊形的內角和=（6-2）x180=720。，

每個內角為：720。+6=120。，

NEFA=NFAB=120°,

ZEFG=20°,

ZGK4=120°-20°=100°,

AH//FG,

ZFAH+ZGFA=^0°,

ZFAH=180°-AGFA=180°-100°-80°,

AHAB=ZFAB-ZFAH=120°-80°=40°,

BIVAH,

ABIA=90°,

.,.43/=90°-40°=50°.

故答案為：50°.

【中考模擬即學即練】

1.（2024?山西?模擬預測）如圖，將正五邊形紙片/3CDE沿BP折疊，得到△3。'尸，點C的對應點為點C，,

8C'的延長線交。￡■于點尸，若DF=EF,則/APC的度數為（）

【答案】B

【分析】本題考查了正多邊形的內角和，折疊的性質，三角形內角和定理等知識.熟練掌握正多邊形的內

角和，折疊的性質，三角形內角和定理是解題的關鍵.由正五邊形紙片ABCDE,可得

ZABC=ZC=I'。*（5-2）=10S>,由。下=斯，可得ZFBC=-ZABC=54°,由折疊的性質可知，

52

ZBC'P=ZC=108°,NC'BP=ZCBP=-ZFBC=27,根據NBPC'=18。。-ZBC'P-ZC'BP,求解作答即

2

可.

【詳解】解：：正五邊形紙片/8CDE,

.?"C=/C『x（5一2）“

5

?/DF=EF,

NFBC=L/ABC=54°,

2

由折疊的性質可知，ZSCP=ZC=108°,2CBP=2CBP=L/FBC=2T,

2

ZBPC=180°-ZBC'P-ACBP=45°,

故選：B.

2.（2024?吉林長春?模擬預測）如圖，三個正方形一些頂點已標出了角的度數，則x的值為（）

30。/V/124^^

1______________________c

A.30B.39C.40D.41

【答案】D

【分析】本題考查多邊形的內角和公式，多邊形的內角和等于（邊數-2）xl80°,先根據多邊形的內角和公

式計算出內角和，再根據各個角的度數建立方程，解方程即可求得答案

【詳解】解：根據題意得，三個正方形與下面的圖像構成一個九邊形，

九邊形的內角和為：（9-2）x180°=1260°,

30°+124°+75°+x°+2x90°+3x270°=1260c,

解得x=41,

故選：D.

3.（2024?湖南?二模）如圖，在四邊形4BC7）內部，若NC=78。，5=66。,Z￡=40°,貝!J/l+N2=

（）

D

-----------

A.36°B.76°C.140°D.176°

【答案】B

【分析】此題考查了三角形和四邊形內角和，解題的關鍵是掌握以上知識點.

首先根據三角形內角和定理得到/￡/3+/6以=180。-/￡=140。，然后根據四邊形內角和求解即可.

【詳解】?；/￡=40。

ZEAB+ZEBA=180°-/￡=140°

ZC=78°,ZZ）=66°,

Zl+Z2=360°-ZD-ZC-ZEAB-ZEBA=76°.

故選：B.

4.（2024?湖南?模擬預測）如圖，將任意四邊形紙片剪掉一角得五邊形，設四邊形紙片與五邊形紙片的內角

和的度數分別為。和￡,則下列關系正確的是（）

A.B—a=0B.a=180°

C.Z?-a=270°D.￡-a=360。

【答案】B

【分析】本題考查了多邊形內角和問題，掌握多邊形內角和公式是解題關鍵.先求出四邊形紙片與五邊形

紙片的內角和的度數，再求解即可.

【詳解】解：?.?四邊形的內角和a=（4-2）x180=360。,五邊形的內角和尸=（5-2*180。=540。，

.-.^-?=540P-360°=180°,

故選：B.

5.（2024?湖南長沙?模擬預測）小強用一些完全相同的等腰三角形紙片（圖中VN3C）拼接圖案，已知AC=BC,

NB=72。.若按照如圖所示的方法拼接下去，則得到的圖案的外輪廓是（）

A.正四邊形B.正五邊形C.正六邊形D.正七邊形

【答案】B

【分析】本題主要考查了多邊形的外角的性質與內角的性質等知識點，先求出/C4B的度數，再求出圖中

正多邊形的每一個內角的度數，進而求出答案，熟記正多邊形的性質是解題的關鍵.

【詳解】解：,；/C=JBC,4=72°,

NA=NB=72°,

：.4cs=180°-72°-72°=36°,

多邊形的每一個內角的度數為：72。+36。=108。，

:多變形的每一條邊相等，

,多變形為正多邊形，

.?.正多邊形的邊數等于：360。+（180。-108。）=5,

故選：B.

6.（2024?江蘇南京?模擬預測）如圖，在正六邊形48cZ）跖中，48=6,點M在邊/尸上，且4W=2,若

經過點W的直線/將正六邊形面積平分，則直線/被正六邊形所截的線段長是.

CD

【答案】4&

【分析】本題考查的是勾股定理，等邊三角形的性質和判定，正多邊形的知識，掌握“正六邊形既是軸對稱

圖形也是中心對稱圖形”是解本題的關鍵.

如圖，連接/2。尸，交于點O,作直線交CO于a,過。作。尸，/尸于P,由正六邊形是軸對稱圖形

可得：S四邊"BCO=S四邊形3EFO,由正六邊形是中心對稱圖形可得：S.AOM=SADOH，S*M0F=S.CHOQM=OH,可

得直線平分正六邊形的面積，。為正六邊形的中心，再利用直角三角形的性質可得答案.

【詳解】解：如圖，連接CF,交于點。，作直線MO交于打，過。作。尸，/尸于尸，

4PF

由正六邊形是軸對稱圖形可得：S四邊形Z6C。=S四邊形DEEO，

由正六邊形是中心對稱圖形可得：S.AOM=S.DOH，S.MOF=S.CH。，0M=0H,

??.直線MZ平分正六邊形的面積，O為正六邊形的中心.

由正六邊形的性質可得：ZXOF=360°4-6=60°,

**?^AOF為等邊三角形，

：.ZAFO=60°,AF=OF=OA,

?：AB=6,OPLAF,

：.AB=AF=OF=OA=6,AP=FP=3,

「?OP=762-32=373，

?.*AM=2,貝1J依=1,

/.OM=+0仆『=277,

：.MH=2OM=^H.

故答案為：4近.

7.（2023?山東濟南?三模）將正六邊形與正方形按如圖所示擺放，且正六邊形的邊N8與正方形的邊CQ在

同一條直線上，則/80C的度數是.

【答案】30。/30度

【分析】本題考查了正多邊形的內角問題，先根據多邊形的內角和公式求出正六邊形的內角，然后根據正

多邊形內角與外角的互補，求得正六邊形和正方形的外角，最后根據三角形的內角和即可求得/80C的度

數.

【詳解】解：?.?圖中五邊形為正六邊形，

Z^SO=1x（6-2）xl80o=120°,

ZOSC=180°-120°=60°,

?.?正方形中。CLCD,

ZOC5=90°,

..ZBOC=180°-90°-60°=30°,

故答案為：30°.

8.（2024?陜西?模擬預測）如圖，在正五邊形4BCDE中，相交于點尸，連接8尸，則NC77的度數

是.

【分析】根據五邊形48CDE是正五邊形，求出NCDE=/DE/=108。，再根據等腰三角形的定義及三角形內

角和定理求出/瓦%=/￡>/￡=36。，同理得NDEC=36。，再求出/DFE=108。，證明"FE■會ACFD,得到

AF=CF,再證明△NB尸出△CAP,推出NCFB=N/FB=L/AFC=L/OFE,即可解答.

22

【詳解】解：：五邊形488E是正五邊形,

??.N8E="EN=I^2LIO3,

?：DE=AE,

ZEDA=ZDAE=1(180°-NDEA)=36°,

同理ZDEC=36。，

/.ZDFE=180°-/DEF-ZEDF=180-36°-36°=108°,

???ZDEF=/EDF,ZEDF=/EAD,

/./DEF=ZEAD,

?；/DEF=/DCE,

ZDCE=NEAD,

???ZAFE=/CFD,CD=AE,

:.^AFE^CFD,

AF=CF,

/BAE=/BCD,/DAE=ZDCE,

:./BAE-/DAE=/BCD-ZDCE,即/BAF=/BCF,

,;BF=BF,

:.^ABF=^CBF,

/./CFB=ZAFB=-ZAFC=-ZDFE=54°,

22

故答案為：54°.

【點睛】本題考查正多邊形的性質，三角形內角和定理，等腰三角形的性質，三角形全等的判定與性質，

熟練掌握正多邊形的性質是解題的關鍵.

9.（2024?山西大同?二模）推光漆器是山西省著名的傳統手工藝品.如圖是小明媽媽的一個平遙推光漆器的

首飾盒，其俯視圖是正八邊形，小明好奇它的一個內角的度數，但他沒有量角器，請你幫他計算這個正八

邊形的一個內角度數為_____.

【答案】135°/135度

【分析】本題考查了正多邊形的內角和定理.根據多邊形內角和定理：（?-2）-180°（"23且〃為正整數）

求出內角和，然后再計算一個內角的度數即可.

【詳解】解：正八邊形的內角和為：（?-2）180°=1080°,

每一個內角的度數為：1080。+8=135。，

故答案為：135。.

題型二：多邊形的外角和

【中考母題學方法】

【典例1】（2024?山東?中考真題）如圖，已知48,BC,CD是正〃邊形的三條邊，在同一平面內，以BC

為邊在該正〃邊形的外部作正方形5cMN.若N/5N=120。，則〃的值為（）

A.12B.10C.8D.6

【答案】A

【分析】本題考查的是正多邊形的性質，正多邊形的外角和，先求解正多邊形的1個內角度數，得到正多

邊形的1個外角度數，再結合外角和可得答案.

【詳解】解：：正方形3cAW,

ZNBC=90°,

,/ZABN=110°,

：.ZABC=360°-90°-120°=150°,

正n邊形的一個外角為180。-150。=30。，

〃的值為36器0°=12；

故選A

【變式2-1]（2024?西藏?中考真題）已知正多邊形的一個外角為60。，則這個正多邊形的內角和為（）

A.900°B.720°C.540°D.360°

【答案】B

【分析】本題考查了多邊形的內角和外角，先求出正多邊形的邊數，再根據多邊形的內角和公式計算即可

得解，根據多邊形的外角求出邊數是解此題的關鍵.

【詳解】解：???正多邊形的一個外角為60。，

正多邊形的邊數為360。+60。=6,

...這個正多邊形的內角和為180。*（6-2）=720。，

故選：B.

【變式2-2]（2024?內蒙古赤峰?中考真題）如圖，是正〃邊形紙片的一部分，其中/,根是正〃邊形兩條邊

的一部分，若/，機所在的直線相交形成的銳角為60。，則〃的值是（）

A.5B.6C.8D.10

【答案】B

【分析】本題考查了正多邊形，求出正多邊形的每個外角度數，再用外角和360。除以外角度數即可求解,

掌握正多邊形的性質是解題的關鍵.

【詳解】解：如圖，直線/、機相交于點A,則N/=60。，

?.?正多邊形的每個內角相等,

.?.正多邊形的每個外角也相等,

.?/，2=丁=6。。，

??.”="6,

60°

故選：B.

【變式2-3］（2024?四川遂寧?中考真題）佩佩在“黃娥古鎮”研學時學習扎染技術，得到了一個內角和為1080。

的正多邊形圖案，這個正多邊形的每個外角為（）

A.36°B.40°C.45°D.60°

【答案】C

【分析】本題考查了正多邊形的外角，設這個正多邊形的邊數為"，先根據內角和求出正多邊形的邊數，再

用外角和360。除以邊數即可求解，掌握正多邊形的性質是解題的關鍵.

【詳解】解：設這個正多邊形的邊數為“，

則（〃一2）x180。=1080。,

〃=8,

，這個正多邊形的每個外角為360。+8=45。，

故選：C.

【變式2-4］（2024?江蘇徐州?中考真題）正十二邊形的每一個外角等于度.

【答案】30

【分析】主要考查了多邊形的外角和定理.根據多邊形的外角和為360度，再用360度除以邊數即可得到

每一個外角的度數.

【詳解】解：：多邊形的外角和為360度，

正十二邊形的每個外角度數為：360°4-12=30°.

故答案為：30.

【中考模擬即學即練】

1.（2024?廣東?模擬預測）若一個多邊形的內角和是它的外角和的8倍，則該多邊形的邊數為（

A.19B.18C.17D.16

【答案】B

【分析】本題考查了多邊形的內角和與外角和的綜合，先設多邊形的邊數為〃條，因為一個多邊形的內角和

是它的外角和的8倍，所以（"-2）x180=8x360,解出“值，即可作答.

【詳解】解：設該多邊形的邊數為〃條，

則列方程為（"-2）x180=8x360,

解得：〃=18,

故選B.

2.（2024?湖北?模擬預測）已知一個正多邊形的一個內角是與它相鄰外角的3倍，則這個正多邊形的邊數是

（）

A.8B.10C.15D.18

【答案】A

【分析】設這個正多邊的外角為為x,則內角為3x,根據內角和外角互補可得x+3x=180,解可得尤的

值，再利用外角和360。+外角度數可得邊數；

此題主要考查了多邊形的內角和外角，關鍵是計算出外角的度數，進而得到邊數.

【詳解】解：設這個正多邊的外角為x,則內角為3x,

根據內角和外角互補可得x+3x=180,

解得：x=45°

360°+45°=8

故選：A.

3.（2024?廣東清遠?模擬預測）若一個正多邊形的每一個外角都等于三角形內角和的工，則這個正多邊形的

6

邊數為（）

A.六邊形B.八邊形C.十邊形D.十二邊形

【答案】D

【分析】本題考查了多邊形內角和外角及三角形內角和定理，設多邊形的邊數為"，則根據“一個正多邊形

的每一個外角都等于三角形內角和的，”可知多邊形各外角相等，然后根據多邊形外角和為360。進行解答即

可解答本題的關鍵在于熟練掌握多邊形內角和外角的概念以及多邊形外角和等于360。.

【詳解】解：三角形內角和為180。，

?..一個正多邊形的每一個外角都等于三角形內角和的，，

6

.??多邊形各外角都為180。、5=30。,

6

設多邊形的邊數為"，

30〃=360,

解得：n=12.

故多邊形的邊數為12,

故選：D.

4.（2024?云南?模擬預測）一個多邊形的外角和是內角和的一半，這個多邊形的邊數是（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【分析】根據題意并結合多邊形的外角和是360。，求得這個多邊形的內角和是720。，再利用多邊形的內角

和公式求解即可.

【詳解】解：：多邊形的外角和是內角和的一半，且多邊形的外角和是360。，

.?.這個多邊形的內角和是2x360。=720°,

設多邊形的邊數是小則（"-2）x180。=720。,

解得n=6,

故選：C.

5.（2024?福建福州?模擬預測）正六邊形ABCDEF與正五邊形BGHIJ按如圖方式擺放，點B,G在

一條直線上，則的度數為

【答案】48。/48度

【分析】本題考查了正多邊形的內角與外角，據正五邊形和正六邊形性質得出各外角度數，進而可得答案.

【詳解】解：???在正六邊形48co斯和正五邊形8G印7中,

360°

ZCBG=——=60°,

6

NABJ==72°,

5

Z.JBC=180°-NABJ-ZCBG=180°-72°-60°=48°,

故答案為：48。.

6.（2024?廣東汕頭?模擬預測）如圖，孔明在駕校練車，他由點A出發向前行駛10米到8處，向左轉45。.繼

續向前行駛同樣的路程到C處，再向左轉45。.按這樣的行駛方法，第一次回到點A總共行駛了.

【答案】80米

【分析】本意主要考查了多邊形的外角和定理，即任意多邊形的外角和都是360。.根據題意可知汽車所走

的路程正好是一個外角為45。的多邊形的周長，求出多邊形的周長即可.

【詳解】解：根據題意可知汽車所走的路程正好是一個外角為45。的多邊形的周長，

該多邊形的邊數為：360。+45。=8,

第一次回到點A總共行駛了：8x10=80（米），

故答案為：80米.

7.（2024?福建?模擬預測）如果凸多邊形的邊數由3增加到〃（〃>3）,那么內角和的度數增加

了,外角和的度數增加了.

【答案】（〃-3）180。0。/0度

【分析】本題考查了多邊形內角和與外角和定理，熟記多邊形內角和與外角和定理是解題的關鍵.根據凸

多邊形的內角和為（〃-2}180。外角和為360。，即可解決問題.

【詳解】解：：凸多邊形的內角和為（"-2）-180°（?>3）,外角和為360。,

,凸多邊形的邊數由3增加到〃（〃>3）時，內角和從180。增加到（〃-2>180。，外角和為360。不變，

內角和的度數增加了（〃-2）-180°-180°=（n-3）180。，外角和的度數增加了360°-360°=0°,

故答案為：（?-3}180°,0°.

8.（2024?山西晉城?三模）小宇閱讀了一篇《東方窗祿之美》的文章，文章中有一張如圖1所示的圖片，圖

中有許多不規則的多邊形組成，代表一種自然和諧美.如圖2是從圖1圖案中提取的由六條線段組成的圖形,

若/1=60。，則Z2+/3+/4+/5+/6的度數是.

【答案】300。/300度

【分析】本題考查了多邊形的外角，根據外角和為360。即可求解.

【詳解】???多邊形的外角和等于360。

Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=360°

V/I=60°

Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=360°-Zl=300°

故答案為：300°.

題型三：平行四邊形的性質

【中考母題學方法】

【典例1】（2024?浙江?中考真題）如圖，在口/BCD中，AC,AD相交于點。，AC--2,BD=2y[3.過點/

作4ELBC的垂線交8c于點E,記BE長為x,3c長為必當x,y的值發生變化時,下列代數式的值不變

的是（）

A.x+yB.C.切D.x2+y2

【答案】C

【分析】此題考查了平行四邊形的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理等知識，過點。作與1BC

交8C的延長線于點尸，證明A/8EgADCb（AAS）,得至*4E=DF,BE=CF=x,由勾股定理可得，

AE2=4-(y-x)2,DF2=12-(y+x)2,則4一(y-x)?=12-(y+x『，整理后即可得到答案.

【詳解】解：過點。作。尸±BC交8c的延長線于點R

；4E1BC的垂線交BC于點E,

：.ZAEB=ZDFC=90P,

,/四邊形ABCD是平行四邊形，

AB=DC,AB//CD,

：.ZABE=ZDCF,

：.絲AOC廠(AAS)

AE=DF,BE=CF=x,

由勾股定理可得，AE2=AC2-CE2=AC2-(BC-BE^=4-(y-x^,

DF2=BD--BF1=BD2-[BC+CF^=BD2-{BC+BE^=\2-{y+x^,

4-(y-x)2=12-(y+x)2,

?*-Q+x)2-(y-x)2=8

x2+2xy+y2—y2+2xy-x2=8

即4孫=8,解得刈=2,

...當x,y的值發生變化時，代數式的值不變的是孫，

故選：C

【典例2】(2024?新疆?中考真題)(1)解方程：2(x-l)-3=x；

(2)如圖，已知平行四邊形/8CA.

①尺規作圖：請用無刻度的直尺和圓規，作//的平分線交C。于點E；(要求：不寫作法，保留作圖痕跡,

并把作圖痕跡用黑色簽字筆描黑)

②在①的條件下，求證：A/DE是等腰三角形.

【答案】（1）x=5；（2）①作圖見解析；②證明見解析.

【分析】（1）按照解一元一次方程的步驟解答即可求解；

（2）①按照作角平分線的方法作圖即可；②由平行四邊形的性質及角平分線的性質可得=

即得=即可求證；

本題考查了解一元一次方程，作角的平分線，角平分線的性質，平行四邊形的性質，等腰三角形的判定，

根據題意正確畫出圖形是解題的關鍵.

【詳解】（1）解：去括號得，2x-2-3=x,

移項得，2x—x—2+3,

合并同類項得，x=5；

（2）①解：如圖，/￡即為所求；

②???四邊形/BCD是平行四邊形,

AB//CD,

：.NBAE=ZDEA,

AE平分/B4D,

：.NDAE=ZBAE,

.*?NDAE=NDEA,

DA=DE,

；.V4DE是等腰三角形.

【變式3-1］（2024?四川巴中?中考真題）如圖，口/8。的對角線/C、8。相交于點O,點￡是2C的中點,

AC=4.若n/BCD的周長為12,貝UACOE的周長為（）

ZD

A.4B.5C.6D.8

【答案】B

【分析】本題考查了平行四邊形的性質和三角形的中位線的性質.由平行四邊形的性質和三角形的中位線

的性質可求得答案.

【詳解】解：???四邊形是平行四邊形，

二。是NC中點，

又是中點，

二。￡是V/8C的中位線，

OE=-AB,CE=-BC,

22

?.?口23。的周長為12,4c=4,

：.AB+BC=-x\2=6,

2

ACOE的周長為OE+CE+OC=；（/5+8C+/C）=；x（6+4）=5.

故選：B.

【變式3-2]（2024?貴州?中考真題）如圖，口/BCD的對角線/C與BD相交于點。，則下列結論一定正確

的是（）

A.AB=BCB.AD=BCC.OA=OBD.AC1BD

【答案】B

【分析】本題主要考查平行四邊形的性質，掌握平行四邊形的對邊平行且相等，對角線互相平分是解題的

關鍵.

【詳解】解：：/BCD是平行四邊形，

AB=CD,AD=BC,AO=OC,BO=OD,

故選B.

【變式3-3]（2024?廣東廣州?中考真題）如圖，口/BCD中，8c=2,點E在。/的延長線上，BE=3,若

BA平分ZEBC,則DE=

B

【答案】5

【分析】本題考查了平行四邊形的性質，等腰三角形的判定和性質，掌握平行四邊形的性質是解題關鍵.由

平行四邊形的性質可知，AD=BC=2,BC//AD,進而得出N8NE=/ER4,再由等角對等邊的性質，得

到8￡=/￡=3,即可求出DE的長.

【詳解】解：在口/3CD中，BC=2,

：.AD=BC=2,BC//AD,

ZCBA=ZBAE,

???BA平分NEBC,

ZCBA=ZEBA,

ZBAE=ZEBA,

BE=AE=3,

:.DE=AD+AE=2+3=5,

故答案為：5.

【變式3-4](2024?吉林?中考真題)如圖，在口/BCD中，點。是48的中點，連接CO并延長，交。/的

延長線于點E,求證：AE=BC.

【答案】證明見解析

【分析】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，平行四邊形的性質，先根據平行四邊形對邊平行推出

ZOAE=ZOBC,ZOCB=ZE,再由線段中點的定義得到=08,據此可證明烏△BOC(AAS),

進而可證明/E=5C.

【詳解】證明：?.?四邊形42C。是平行四邊形，

AD//BC,

：.NO4E=NOBC,ZOCB=ZE,

?.?點。是48的中點,

0A=OB,

ZUOE也△BOC（AAS）,

AE=BC.

【變式3-5］（2024?江西?中考真題）追本溯源：

題（1）來自于課本中的習題，請你完成解答，提煉方法并完成題（2）.

（1）如圖1,在V/BC中，BD平分NABC,交/C于點D過點。作BC的平行線，交4B于點、E,請判

斷ABDE的形狀，并說明理由.

方法應用：

（2）如圖2,在口/BCD中，BE平分N4BC,交邊4D于點E,過點/作NALBE交DC的延長線于點R

交2C于點G.

①圖中一定是等腰三角形的有（）

A.3個B.4個C.5個D.6個

②已知/B=3,BC=5,求C尸的長.

【答案】（1）ABDE是等腰三角形；理由見解析；（2）①B；②CF=2.

【分析】本題考查了平行四邊形的性質和等腰三角形的判定和性質等知識，熟練掌握平行四邊形的性質和

等腰三角形的判定是解題的關鍵；

（1）利用角平分線的定義得到乙43。=/置。，利用平行線的性質得到/助￡=/CS￡>,推出

ABDE=ZABD,再等角對等邊即可證明是等腰三角形；

（2）①同（1）利用等腰三角形的判定和性質可以得到四個等腰三角形；

②由①得DA=DF,利用平行四邊形的性質即可求解.

【詳解】解：（1）ABDE是等腰三角形；理由如下：

；BD平分/4BC,

：.ZABD=ZCBD,

DE//BC,

???/BDE=ZCBD,

：./BDE=ZABD,

:.EB=ED,

???△5。石是等腰三角形；

(2)@VuABCD^f

：.AE//BC,AB//CD,

同(1)ZABE=ZCBE=ZAEB,

AB=AE,

VAF.LBE,

???ZBAF=ZEAF,

AE//BC,AB//CD,

：.ZBGA=ZEAF,NBAF=ZF,

ZBGA=ZCGF,

???ZBGA=/BAG,ZDAF=ZF,ZCGF=ZF,

:?AB=AG,DA=DF,CG=CF,

即△/5E、AABG、AADF、△CG尸是等腰三角形；共有四個，

故選：B.

②?.?口/3。。中，AB=3,BC=5,

:.AB=CD=3,BC=AD=5f

由①得。/尸，

：.CF=DF-CD=5-3=2.

【中考模擬即學即練】

1.（2024?湖南?模擬預測）如圖，在口/BCD中，E是邊上一點，若分別是24DC,/BCD的平分

線，若口48CD的周長為18,則48的長為（）

【答案】c

【分析】本題考查平行四邊形的性質，角平分線的定義，根據平行四邊的性質結合角平分線的定義得到

NADE=NAED,NBCE=NCEB,進而得到4D=4E,BE=BC,由平行四邊形48。的周長18,即可求

解.

【詳解】解：：。石、CE分別是/4DC、/BCD的平分線，

ZADE=ZCDE,ZDCE=ZBCE.

,：四邊形ABCD是平行四邊形，

AB//CD,AD=BC,

：.ZCDE=NDEA,NDCE=NCEB,

NADE=NAED,NBCE=NCEB,

AD=AE,BE=BC,

AE=BE=AD=BC=-AB,

2

;平行四邊形48C￡）的周長18.

AB+AD+CD+BC=?>AB=].'i,

AB=6,

故選：c.

2.（2024?陜西?模擬預測）如圖，在口/3。中，過點/分別作8C,的垂線段，垂足為￡,F,若BC=4,

AE=4,CE=\,則線段/尸的長為（）

A.3B.3.2C.3.6D.4

【答案】B

【分析】本題考查了平行四邊形的性質，勾股定理，先根據勾股定理求出=5,由平行四邊形的性質得

4B=CD=5,然后利用面積法求解即可.

【詳解】解：???8C=4,CE=\,

：.8E=4—1=3.

*.?AE1BE,AE=4,

?,AB=讓??+4?=5-

?.,四邊形ABCD是平行四邊形,

AB=CD=5.

CDAF=BC-AE,

5/尸=4x4,

/.4F=3.2.

故選B.

3.（2024?河北?模擬預測）如圖，已知平行四邊形48c0,AB<BC.用尺規作圖的方法在8C上取一點尸,

使得尸/+PC=BC,則下列做法正確的是（）

【分析】本題考查了線段垂直平分線的判定，作圖-線段垂直平分線等知識，證明則可知點尸在

線段的垂直平分線上，由此求解即可解答.

【詳解】解："PA+PC=BC,PB+PC=BC,

：.PA=PB,

：.點P在線段AB的垂直平分線上，

只有選項D中的作圖方法符合題意.

故答案為：D.

【中考模擬即學即練】

1.（2024?河北?模擬預測）在平面直角坐標系中，平行四邊形N8CD的對角線交點落在原點處，已知點/的

坐標為（T,3）,則點C的坐標為（）

A.(4,3)B.(4,-3)C.(-4,-3)D.(3,-4)

【答案】B

【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質和坐標與圖形的關系.要會根據平行四邊形的性質得到點A與

點。關于原點對稱的特點，是解題的關鍵.根據平行四邊形是中心對稱的特點可知，點”和點C關于原點

對稱，即可求解.

【詳解】解：：在平行四邊形/BCD中，點/和點C關于原點對稱，點/的坐標為(-4,3),

...點C的坐標為(4,-3).

故選：B.

2.(2024?廣東?模擬預測)如圖，平行四邊形/BCD中以點3為圓心，適當長為半徑作弧，交AB、BC于F、

G,分別以點尸、G為圓心，大于1廠G長為半徑作弧，兩弧交于點〃，連接8〃并延長，與AD交于點E,

2

若4B=5,CE=4,DE=3,則8E的長為.

【答案】475

【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質、勾股定理以及平行四邊形的性質，由題中作圖過程得3E是

/N3C的角平分線，由平行四邊形的性質得/O〃BC,CD=NB=5,進而由平行線的性質、角平分線的定

義及等量代換得=由等角對等邊得/E=/8=5,再由線段的和差得ND=4E+DE=8；由勾

股定理的逆定理判斷出△CED是直角三角形，且NCED=90。，由平行四邊形的性質得

BC=AD=S,AD//BC,再由平行線的性質得/BC￡=NCED=90。，最后在RLBCE中，利用勾股定理算

出3E的長即可.

【詳解】解：「BE是//BC的角平分線，

ZABE=ZCBE,

???四邊形/BCO是平行四邊形，

AD//BC,CD=AB=5,

ZAEB=ZCBE,

ZABE=ZAEB,

/.AE=AB=5,

/.AD=AE+DE—8,

在△CEO中，?；CD=5,CE=4,DE=3,

:.DE2+CE2^CD2,

是直角三角形，且NCED=90。，

,??四邊形ABCD是平行四邊形，

:.BC=AD=?,,AD//BC,

NBCE=NCED=90°,

BE=^BC2+CE2=A/82+42=4退

故答案為：4\[s-

3.（2024?山東濟南?一模）如圖，口/BCD中，E是4B的中點，連結CE并延長交D4的延長線于點E求證:

AF=AD.

【答案】見解析

【分析】此題考查全等三角形的判定與性質，平行四邊形的性質等知識點，根據題意得4D〃BC,=

進而得ZBCF=ZF,證VAFE到2CE即可.

【詳解】證明：???平行四邊形/BCD

/.AD//BC,AD=BC

：.ZBCF=NF

?：E為AB中點

/.AE=EB

'：NBAF=ZABC

：.VAFE到BCE

：.AF=BC

：.AF=AD

4.（2024?福建莆田?模擬預測）如圖，在平行四邊形/BCD中，點E,F在4B,CD邊上，且=

求證：ZAED=NCFB.

DFC

【答案】見解析

【分析】此題考查平行四邊形的性質和全等三角形的性質和判定，關鍵是根據平行四邊形的性質得出

==解答.

根據平行四邊形的性質得出=8C,乙4=NC,進而利用MS證明VADE和VC8尸全等，利用全等三角形

的性質解答即可.

【詳解】證明：?.?四邊形是平行四邊形，

AD=BC,N4=/C.

在V4DE和VCAF中，

AD=CB

<NA=NC,

AE=CF

：.AADEACBF(SAS),

：.ZAED=NCFB.

5.(2024?廣西貴港?模擬預測)如圖，在口/BCD中，BE平分NABC,交/。于點E.

(1)實踐與操作：過點/作BE的垂線，分別交BE,8C于點尸，G；(要求：尺規作圖并保留作圖痕跡，不

寫作法，標明字母)

(2)猜想與證明：試猜想線段/￡與NB的數量關系，并加以證明.

【答案】(1)見解析

(2)AE=AB,證明見解析

【分析】本題考查了基本作圖，平行四邊形的性質，等腰三角形的判定.

(1)根據“過直線外一點作已知直線的垂線的基本作法”作圖；

(2)根據平行四邊形的性質和等腰三角形的性質證明.

【詳解】(1)解：如圖，ZG即為所求；

(2)解：AE=AB,證明如下：

BE平濟NABC,

ZABE=ZEBC,

v四邊形ABCD是平行四邊形,

.-.AD//BC,

ZAEB=/EBC,

?..ZAEB=NABE,

，AB=AE.

6.（2024?山西?模擬預測）如圖，正比例函數V=狽（。=0）與反比例函數》="（左〉0）的圖象交于A,8兩點,

x

過點A作軸，垂足為C,連接2C,SMBC=2.

（1）求反比例函數＞的表達式.

X

（2）若/（I,。），以NC為邊作平行四邊形/8DC,點〃在第三象限內，求點。的坐標.

2

【答案】（1）1

x

⑵D（-2,-2）

【分析】（1）聯立正比例函數與反比例函數，解方程組可得/（J,。）圖形結合分析，再根據

S&ABC=2,由此即可求解；