2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《重難突破》同步測試題-附答案

學(xué)校:班級：姓名:考號：

重難一規(guī)律探究問題

1.[2023云南]按一定規(guī)律排列的單項式：a,V^a2,ga3,V5a4,芯05,…，第n個單項式是（）

A.-\/nB.Vn—lan-1C.y/nanD.Vnan-1

2.[2024江蘇揚州]1202年數(shù)學(xué)家斐波那契在《計算之書》中記載了一列數(shù)：1,1,2,3,5,…，

這一列數(shù)滿足：從第三個數(shù)開始，每一個數(shù)都等于它的前兩個數(shù)之和.則在這一列數(shù)的前

2024個數(shù)中，奇數(shù)的個數(shù)為（）

A.676B.674C.1348D.1350

3.[2024長沙三模]我國宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出“楊輝三角”

（如圖），此圖揭示了（。+5廣（n為非負整數(shù)）展開式的項數(shù)及各項系數(shù)的有關(guān)規(guī)律.

例如：

（a+b）°-1；

（a+b）1—a+b；

（a+b）2-a2+2ab+b2；

（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；

（a+b）4-a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；

請你猜想（a+5）8的展開式中所有系數(shù)的和是（）

A.2018B.512C.128D.256

4.[2023常德]觀察數(shù)表（橫排為行，豎排為列），按數(shù)表中的規(guī)律，分?jǐn)?shù)募排在第a行匕

列，則a—b的值為（）

A.2003B.2004C.2022D.2023

5.[2024山東濟寧]如圖，用大小相等的小正方形按照一定規(guī)律拼正方形.第一幅圖有1

個正方形，第二幅圖有5個正方形，第三幅圖有14個正方形，……按照此規(guī)律，第六

幅圖中正方形的個數(shù)為（）

第一幅圖第二幅圖第三幅圖第四幅圖

A.90B.91C.92D.93

6.[2024郴州桂陽一模]如圖,NMON=30°,在OM上截取=服過點&作2祝1OM,

交。N于點當(dāng)，以點/為圓心，Bi。為半徑畫弧，交。M于點兒；過點兒作為B2，CW,

交。N于點B2，以點B2為圓心，B2。為半徑畫弧，交。M于點&；……，按此規(guī)律，所得

線段2202282022的長等于（）

A.22021B.22020c.22023D.22022

3

7.[2024湖北武漢]如圖，小好同學(xué)用計算機軟件繪制函數(shù)y=%-3/+3%-1的圖象，

發(fā)現(xiàn)它關(guān)于點（1,0）中心對稱.若點

4（0.1,%）,4（02%），23（03為），…419（19月9），420（2,%0）都在函數(shù)圖象上，這20個

點的橫坐標(biāo)從0」開始依次增加0.1,則%+為+為+-+為9+丁20的值是（）

8.[2024岳陽平江模擬]正偶數(shù)2,4,6,8,10,…，按如下規(guī)律排列，

2

46

81012

14161820

則第27行的第21個數(shù)是—.

9.[2023山西]如圖是一組有規(guī)律的圖案，它由若干個大小相同的圓片組成.第1個圖案中

有4個白色圓片，第2個圖案中有6個白色圓片，第3個圖案中有8個白色圓片，第4

個圖案中有10個白色圓片，……，依此規(guī)律，第n個圖案中有個白色圓片

(用含n的代數(shù)式表示).

受82as8W88W88???

第1個第2個第3個第4個

10.[2024岳陽華容一模]在中國歷法中，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被

稱為“十天干”，它們經(jīng)常和其他漢字來搭配命名，如化學(xué)中的“甲烷、乙烷、丙烷”等，

下圖為有機物甲烷、乙烷、丙烷的分子結(jié)構(gòu)圖，請你依照規(guī)律，推測出壬烷中“H”的個數(shù)

為一

HHHIH

——

——

——I

JCcC

H-HH--

—

——

——I—H

HHH4H

烷

烷

甲烷

乙

11.[2023衡陽蒸湘一模]如圖，在平面直角坐標(biāo)系久0y中，點4(2,2)在直線y=%上，過

點為作為Bi〃y軸，交直線y=于點/，以&為直角頂點，為直角邊，在&當(dāng)?shù)?/p>

右側(cè)作等腰直角三角形a/iG；再過點G作&B2〃y軸，分別交直線y=%和y=于4,

B2兩點，以外為直角頂點，AB2為直角邊，在的右側(cè)作等腰直角三角形2c2；……

按此規(guī)律進行下去，點C2021的橫坐標(biāo)為.

12.[2023江蘇宿遷]如圖，AaBC是正三角形，點4在第一象限，點B(0,0)、C(l,0).將線

段以4繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)120。至CP1；將線段BP1繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)120。至

BP2；將線段近2繞點&按順時針方向旋轉(zhuǎn)120。至ZP3；將線段CP3繞點C按順時針方向旋

轉(zhuǎn)120。至CP.……，以此類推，則點P99的坐標(biāo)是.

13.[2023張家界]如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形2B0C是正方形，點2的坐標(biāo)為(1,1),

A%是以點B為圓心，為半徑的圓弧；a/?是以點。為圓心，。①為半徑的圓弧；

是以點C為圓心，C4為半徑的圓弧；是以點2為圓心，為半徑的圓弧，繼續(xù)以

點B、。、C、2為圓心，按上述作法得到的曲線4412223a44…稱為正方形的“漸開線”，

則點&2023的坐標(biāo)是.

14.[2023懷化]在平面直角坐標(biāo)系中，AZOB為等邊三角形，點2的坐標(biāo)為(1,0).把AZOB

按如圖所示的方式放置，并將△ZOB進行變換：第一次變換將AZOB繞著原點。順時針旋

轉(zhuǎn)60。，同時邊長擴大為△ZOB邊長的2倍，得到△40B1；第二次旋轉(zhuǎn)將△4OB1繞著

原點。順時針旋轉(zhuǎn)60。，同時邊長擴大為△&0B1邊長的2倍，得到△&0B2,…….依

次類推,得到△42023。&023，則△&023。82023的邊長為，點42023的

坐標(biāo)為.

15.[2024江蘇鹽城]發(fā)現(xiàn)問題

小明買菠蘿時發(fā)現(xiàn)，通常情況下，銷售員都是先削去菠蘿的皮，再斜著鏟去菠蘿的籽.

提出問題

銷售員斜著鏟去菠蘿的籽，除了方便操作，是否還蘊含著什么數(shù)學(xué)道理呢?

圖1

分析問題.某菠蘿可以近似看成圓柱體，若忽略籽的體積和鏟去果肉的厚度與寬度，那

么籽在側(cè)面展開圖上可以看成點，每個點表示不同的籽.該菠蘿的籽在側(cè)面展開圖上呈交

錯規(guī)律排列，每行有ri個籽，每列有人個籽，行上相鄰兩籽、列上相鄰兩籽的間距都為d（n,/c

均為正整數(shù)，n>k>3,d>0）,如圖1所示.

小明設(shè)計了如下三種鏟籽方案.

?--?--?-----?--?

?--?--?——?■?-.--?

?--?--?…——?--?Thbhhl-

?--?--????——?--?

?--?--?——…-?--?1中：叫L.

圖2圖3圖4

方案1:圖2是橫向鏟籽示意圖，每行鏟的路徑長為—__________,共鏟_________行，則

鏟除全部籽的路徑總長為

方案2:圖3是縱向鏟籽示意圖，則鏟除全部籽的路徑總長為;

方案3:圖4是銷售員斜著鏟籽示意圖，寫出該方案鏟除全部籽的路徑總長.

解決問題.在三個方案中，哪種方案鏟籽路徑總長最短?請寫出比較過程，并對銷售員的

操作方法進行評價.

重難二新定義問題

1.[2023山東苗澤]若一個點的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的3倍,則稱這個點為“三倍點”,如：4(1,3),

B(—2,—6),C(0,0)等都是“三倍點”.在一3<%<1的范圍內(nèi)，若二次函數(shù)y=—％2一%+。

的圖象上至少存在一個“三倍點”，則c的取值范圍是()

A.--<c<1B.-4<c<-3

C.--<%<6D.-44c<5

2.[2024湖南模擬]定義：如果兩個函數(shù)的圖象上分別存在唯一的一個點，這兩點關(guān)于％軸

對稱，則稱這兩個函數(shù)是“有關(guān)系的”.若一次函數(shù)y=久+1與二次函數(shù)y=-x2+3x-t

是“有關(guān)系的''，則t的值為.

3.[2023四川樂山]定義：若%,y滿足％2=4y+t,/=4%+t且％0y(t為常數(shù))，則

稱點MQy)為“和諧點”.

(1)若P(3,Wl)是“和諧點”，則771=;

(2)若雙曲線y=：(—3<%<—1)存在“和諧點”，則上的取值范圍為..

4.[2024長沙一模]已知四邊形有兩組對角，我們把有一組對角互余的四邊形叫做“對余

四邊形

(1)若四邊形2BCD是“對余四邊形”，則其一組對角乙4+

乙C=；

(2)如圖1,MN是。。的直徑，點4B,C在O。上，AM,CN相交于點D,求證：

四邊形ZBCD是“對余四邊形”；

圖1

(3)如圖2,在“對余四邊形”4BCD中，AB=BC,乙4BC=60。，探究線段ZD,和

BD之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫出猜想，并說明理由.

D

A

BC

圖2

5.[2024長沙湘江新區(qū)一模]新定義：如果實數(shù)犯n滿足=-2,則稱P(m,n)為“立

足點”，稱Q(m-1,5-n)為“制高點”.例如，P(l,3)是“立足點”,Q(0,2)是“制高點”.

(1)求正比例函數(shù)y=為圖象上“制高點”的坐標(biāo)；

(2)若點2是反比例函數(shù)y=：圖象上唯一的“立足點”，點B,C是反比例函數(shù)y=:圖象上

的"制高點''，點M是反比例函數(shù)y=3圖象上的動點，求當(dāng)△MBC的面積與44BC的面積相

等時點M的坐標(biāo)；

(3)已知點。(%”1)￡(%2，)2)是拋物線y=ax2+(2b-l)x+3c+2上的“制高點”，若

a+b+c=0,且a>2b>3c,求出—亞1的取值范圍.

6.[2024婁底婁星一模]定義：在平面直角坐標(biāo)系中，圖形G上點PQ,y)的縱坐標(biāo)y與其橫

坐標(biāo)久的差y-久稱為點P的“坐標(biāo)差”，而圖形G上所有點的“坐標(biāo)差”中的最大值稱為圖形G

的“特征值”.

圖1圖2

(1)

①點4(4,7)的“坐標(biāo)差”為；

②拋物線y=-%2+3%+6的“特征值”為..

(2)某拋物線y=--+b%+c(cH0)的“特征值”為-1,且b+c=l,求此拋物線的

解析式.

(3)如圖，二次函數(shù)y=-/+p%+q的圖象的頂點在“坐標(biāo)差”為2的一次函數(shù)的圖象

上，四邊形DEF。是矩形，點E的坐標(biāo)為(7,3),點。為坐標(biāo)原點，點。在%軸上，點F在y軸

上，當(dāng)二次函數(shù)y=-產(chǎn)+p%+q的圖象與矩形的邊只有三個公共點時，求此二次函數(shù)

的解析式及其圖象的“特征值”.

重難三圓的綜合問題

L[2024益陽沅江一模]

(1)如圖，是O0的直徑，2C與O。交于點F,弦4。平分ZB2C,點E在4C上，連

接DE、DB,,求證：.從①DE與。0相切；②DE14C中選擇一個

作為已知條件，余下的一個作為結(jié)論(填寫序號)，并完成證明過程.

(2)在(1)的條件下，若EF=1,DE=2,求ZB的長.

2.[2024常德一模]如圖，為。。的直徑，點P為半徑。4上異于點。和點2的一個點，

過點P作與直徑垂直的弦CD,連接4。，作BELAB,連接ZE、DE,4E交CD于點F,

且DE與O。相切于點D.

(1)求證：OE”AD；

(2)若O。的半徑為5,tanNP4D=3,求CD的長；

(3)已知PF=%，PD=y,求y與％之間的函數(shù)關(guān)系.

3.[2024婁底婁星一模]如圖，在等腰△ABC中，ZB=BC,點。是2C上一點，以CD為直

徑的O。過點B,連接BD,且ZG4B=ZDB4NDBC的平分線BE交O。于點E,交2C于點

F,連接。E.

(1)求證：ZB與O。相切；

(2)求證：△DEF-ABED；

(3)已知D4=2,求的值.

4.[2024郴州二模]如圖，△^鳥^:內(nèi)接于。。，為直徑，0F14C于點凡延長。F交。。

于點E,過E作O。的切線ED,與BC的延長線交于點。，連接EB交ZC于點G,連接CE.

(1)求證：四邊形EFC。為矩形；

(2)求證：CE2=EG-EB-,

(3)若嶗=2(m為常數(shù))，求sinzCEB的值(用含m的代數(shù)式表示).

GFm

5.[2023長沙瀏陽一模]如圖，是O。的直徑，C是O。上的一個動點，延長至P,

使BP=OB,BD垂直于弦BC,垂足為點B,點。在PC上.

(1)當(dāng)PC與。。相切時，求NPCB的度數(shù).

(2)芳芳觀察后發(fā)現(xiàn)，片的值為j點點說黑的值隨動點C的變化而變化，你認為誰的

結(jié)論是正確的？請給予證明.

(3)^tanzPCB=x,tan(|zPOC)=y,求y與久之間的函數(shù)關(guān)系式.

6.[2024長沙三模]如圖，AB^AD,ZB為O。的直徑，C在O。上且為BD的中點，過點

2作2F//BD,連接CF,。尸14。于點瓦

AF

——D

(1)求證：CF為O。的切線；

I

(2)記△ZEF,^AEC,△CEO的面積分別為S，S2,S3,若士匹=3,求(tanB)2的值；

$3

(3)若O。的半徑為1，設(shè)BC=%,AE-DE'/—^―+-y＞試求y關(guān)于％的函數(shù)

vCECFDEAD“

解析式，并寫出自變量》的取值范圍.

重難四二次函數(shù)壓軸題

1.[2024岳陽一模]如圖，拋物線y=|%2一2%-6與％軸相交于點2、點B,與y軸相交于

點C.

(1)請直接寫出點4B,C的坐標(biāo).

(2)若點P是拋物線BC段上的一點，當(dāng)APBC的面積最大時求出點P的坐標(biāo)，并求出△

PBC面積的最大值.

(3)點F是拋物線上的動點，作EF〃2C交%軸于點E,是否存在點F,使得以4C、E、

F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出所有符合條件的點F的坐標(biāo)；若不存在,

請說明理由.

2.[2024懷化一模]如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-%2+b%+c與％軸交于4

B兩點(點4在點B的左側(cè))，與y軸交于點C,OB=OC=S,頂點為。，對稱軸交%軸于

點E.

圖1圖2圖3

(1)求拋物線的解析式、對稱軸及頂點。的坐標(biāo).

(2)如圖2,點Q為拋物線對稱軸上一動點，當(dāng)Q在什么位置時Q2+QC的值最小？求

出此時Q點的坐標(biāo)，并求出此時AQAC的周長.

(3)如圖3,在對稱軸左側(cè)的拋物線上有一點M,在對稱軸右側(cè)的拋物線上有一點N,

滿足ZMDN=90。.求證：直線MN恒過定點.

3.[2023湖北武漢]拋物線Q：y=/一2%—8交X軸于4B兩點(4在B的左邊)，交y軸

于點C.

圖①圖②

(1)直接寫出4B,C三點的坐標(biāo).

(2)如圖①，作直線％=t(0<t<4),分別交％軸，線段BC,拋物線G于。，E,F三點，

連接CF,若ABDE與ACEF相似，求t的值.

(3)如圖②，將拋物線G平移得到拋物線。2,其頂點為原點，直線y=2%與拋物線C2交

于。，G兩點，過。G的中點”作直線MN(異于直線。G)交拋物線。2于M,N兩點，直線M。

與直線GN交于點P,問點P是否在一條定直線上？若是，求該直線的解析式；若不是，請

說明理由.

4.[2024長沙一模]如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=巳%2+匕％+。與％軸交于

4B兩點，與y軸交于C點，且。B=OC=2。4

(1)求該拋物線的解析式.

(2)連接BC,拋物線上是否存在點M,使乙4BC=NBCM?如果存在，求點M的坐標(biāo)；

如果不存在，說明理由.

(3)若點。是拋物線上位于第二象限的一動點，過點。作DF1%軸于點F,過點的

圓與。尸交于點E,連接4E,BE,求AZBE的面積.

5.[2024長沙寧鄉(xiāng)模擬]定義：在平面直角坐標(biāo)系中，若某函數(shù)圖象上至少存在不同的兩

點關(guān)于直線久=n(n為常數(shù))對稱，則稱該函數(shù)為“X(n)函數(shù)”.

(1)在下列函數(shù)中，是“X(n)函數(shù)”的有(填序號).

(f)y—x；@y-2024%+1；③y=%@y-x2.

(2)若關(guān)于久的函數(shù))/=(%-九)2+k是，%(0)函數(shù)”，且圖象與直線y=4相交于4B兩

點，函數(shù)y=(久一九/十k圖象的頂點為P,當(dāng)乙PBA=45。時，求九，左的值.

(3)若關(guān)于％的函數(shù)y=ax2+bx+4(a豐0)是“X(l)函數(shù)”,且過點(3,1),當(dāng)t一1￡%W

t時，函數(shù)的最大值為與最小值力的差為2,求t的值.

6.[2024安徽]已知拋物線y=-%2+bx(5為常數(shù))的頂點橫坐標(biāo)比拋物線y=-%2+2x

的頂點橫坐標(biāo)大1.

(1)求b的值.

22

(2)點4(久1，%)在拋物線y=-x+2%上,點B(%i+t,y1+九)在拋物線y=-%+b%上.

(i)若九=3t,且打>0,t>0,求九的值；

(ii)若%1-t-1,求九的最大值.

7.[2024重慶A卷]如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a/+加;+4(aH0)經(jīng)過點

(—1,6),與y軸交于點C,與％軸交于4B兩點(4在B的左側(cè))，連接aC,BC,tanzCB4=4.

yt

(i)求拋物線的表達式.

(2)點P是射線ca上方拋物線上的一動點，過點P作PEIX軸，垂足為瓦交ac于點D

點M是線段DE上一動點，MNly軸，垂足為N,點F為線段BC的中點，連接2M,NF.當(dāng)線

段PD長度取得最大值時，求AM+MN+NF的最小值.

(3)將該拋物線沿射線C2方向平移，使得新拋物線經(jīng)過(2)中線段PD長度取得最大

值時的點。，且與直線ac相交于另一點K.點Q為新拋物線上的一個動點，當(dāng)"DK=^ACB

時，直接寫出所有符合條件的點Q的坐標(biāo).

8.[2024江蘇蘇州]如圖①，二次函數(shù)yx2+bx+c的圖象心與才以向下的二次函數(shù)圖象

。2均過點a(—l，0),B(3,0).

(1)求圖象G對應(yīng)的函數(shù)表達式；

(2)若圖象C2過點C(0,6),點P位于第一象限，且在圖象C2上，直線，過點P且與無軸平行，

與圖象C2的另一個交點為Q(Q在P左側(cè))，直線，與圖象G的交點為(N在M左側(cè)).

當(dāng)PQ=MP+QN時，求點P的坐標(biāo)；

(3)如圖②,分別為二次函數(shù)圖象QG的頂點，連接4。,過點2作2F12。,交圖象C2

于點F,連接EF,當(dāng)EF〃2。時，求圖象。2對應(yīng)的函數(shù)表達式.

重難五幾何壓軸題

1.[2024張家界桑植一模]如圖，O。的直徑垂直于弦CD,垂足為點瓦=10,CD=6,

點P是CD延長線上異于點。的一個動點，連接2P交O。于點Q,連接CQ交于點F,則點F

的位置隨著點P位置的改變而改變.

圖1圖2

(1)如圖1,當(dāng)DP=4時，求tanP的值.

(2)如圖2,連接2C,DQ.

①求證：乙4CQ=ACPA;

②在點P運動的過程中，設(shè)DP=",沁=y,求y與久之間的函數(shù)關(guān)系式.

S^QDC

2.[2024常德安鄉(xiāng)一模]問題提出：如圖①，△ABC中，ABAC,。是AC的中點，延長

BC至點E,使DE=DB,延長交ZB于點F,探究空的值.

圖①

問題探究：.

(1)先將問題特殊化，如圖②，當(dāng)NBZC=60。時，直接寫出空的值;

圖②

(2)再探究一般情形，如圖①，證明(1)中的結(jié)論仍然成立.

問題拓展：.如圖③，在△ABC中，AB^AC,。是AC的中點，G是邊BC上一點，四=工(n<

BCn

2),延長BC至點E,使DE=DG,延長ED交ZB于點F.直接寫出黨的值(用含n的式子表

示).

A

D

BGCE

圖③

3.[2023湖北武漢響題提出如圖①,E是菱形4BCD邊BC上一點，△2EF是等腰三角形,

AE=EF,^AEF=^ABC=a{a>90°),4F交CD于點G,探究ZGCF與a的數(shù)量關(guān)系.

問題探究.

(1)先將問題特殊化，如圖②，當(dāng)a=90。時，直接寫出ZGCF的大小;

(2)再探究一般情形，如圖①，求ZGCF與a的數(shù)量關(guān)系.

問題拓展.將圖①特殊化，如圖③，當(dāng)a=120。時，若卷=%求胃的值.

4.[2024永州東安一模]在4ABC^ACDE中，乙4cB=乙CDE=90°,AC=BC,CD=DE,

點F是ZB的中點，連接4瓦。/，將ACDE繞點C旋轉(zhuǎn)一周，試判斷4E和DF的關(guān)系.

圖①圖②備用圖

(1)如圖①，當(dāng)點E在2C上時，2E和DF的數(shù)量關(guān)系為，直線2E和直線DF

相交所成的銳角的度數(shù)為.

(2)如圖②，當(dāng)點E不在2C上時，(1)中的關(guān)系是否仍然成立？如果成立，請證明；

如果不成立，請寫出新的關(guān)系，并說明理由.

(3)若CD=5,BC=13,將△CDE繞著點C旋轉(zhuǎn)一周的過程中，當(dāng)D,E,B三點共線

時，直接寫出DF的長.

5.[2024重慶A卷]在AZBC中，ZB=4C,點。是BC邊上一點(點。不與端點重合)點D

關(guān)于直線的對稱點為點E,連接2。,。氏在直線上取一點F,使ZEFD=NBZC,直線EF

與直線2C交于點G.

(1)如圖1,若NB2C=60°,BD<CD/BAD=a，求乙4GE的度數(shù)(用含a的代數(shù)式表

示)；

(2)如圖1,若NBZC=60°,BD<CD,用等式表示線段CG與DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證

明；

(3)如圖2,若ZB2C=90。，點。從點B移動到點C的過程中，連接Z瓦當(dāng)△2EG為等腰三

角形時，請直接寫出此時靠的值.

6.[2024江西]綜合與實踐

如圖，在Rt^ZBC中，點。是斜邊上的動點(點。與點2不重合)，連接CD,以CD為直角

邊在CD的右側(cè)構(gòu)造Rt△CDE/DCE=90。，連接BE笠==m.

特例感知

圖1圖2圖3

（1）如圖1,當(dāng)m=1時，BE與4。之間的位置關(guān)系是,

數(shù)量關(guān)系是.

類比遷移

（2）如圖2,當(dāng)mA1時，猜想BE與2。之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明猜想.

拓展應(yīng)用

（3）在（1）的條件下，點F與點C關(guān)于。E對稱，連接DF,EF,BF,如圖3.已知4C=6,設(shè)

AD=%,四邊形CDFE的面積為y.

①求y與久的函數(shù)表達式，并求出y的最小值；

②當(dāng)BF=2時，請直接寫出的長度.

參考答案

重難突破

重難一規(guī)律探究問題

1.[2023云南]按一定規(guī)律排列的單項式：61,7^（22,8（13,75￡14,芯125,...,第72個單項式是（）

A.y/nB.yjn—la71-1C.y/nanD.y/nd11-1

【答案】C

【解析】觀察排列的單項式，發(fā)現(xiàn)第n個單項式的系數(shù)為迎，字母a的指數(shù)為人所以第n

個單項式為迎a”,故選C.

2.[2024江蘇揚州]1202年數(shù)學(xué)家斐波那契在《計算之書》中記載了一列數(shù):1,123,5,???,

這一列數(shù)滿足：從第三個數(shù)開始，每一個數(shù)都等于它的前兩個數(shù)之和.則在這一列數(shù)的前

2024個數(shù)中，奇數(shù)的個數(shù)為（）

A.676B.674C.1348D.1350

【答案】D

【解析】這列數(shù)為1,1,2,3,5,8,13,21,34,…，可以發(fā)現(xiàn)每3個數(shù)為一組，每

一組前2個數(shù)為奇數(shù)，第3個數(shù)為偶數(shù)，

???2024+3=674……2,即前2024個數(shù)中共有674組,且余2個數(shù),???奇數(shù)有674X2+

2=1350（個），故選D.

3.[2024長沙三模]我國宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出“楊輝三角”

（如圖），此圖揭示了（a+5產(chǎn)（n為非負整數(shù)）展開式的項數(shù)及各項系數(shù)的有關(guān)規(guī)律.

例如：

(a+b)0=1；

(a+b)i—a+b；

(a+b}2—a2+2ab+b2；

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；

(a+b)4-a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；

請你猜想（a+5）8的展開式中所有系數(shù)的和是（）

A.2018B.512C.128D.256

【答案】D

【解析】（a+5）。的展開式中所有系數(shù)的和為2。=1；

（a+b）i的展開式中所有系數(shù)的和為21=2；

（a+5）2的展開式中所有系數(shù)的和為22=4；

（a+b尸的展開式中所有系數(shù)的和為2%

（a+5）8的展開式中所有系數(shù)的和是28=256.故選D.

4.[2023常德]觀察數(shù)表（橫排為行，豎排為列），按數(shù)表中的規(guī)律，分?jǐn)?shù)孤排在第a行匕

列，則a—b的值為（）

1

T

12

27

j_23

IIT

1224

4121

A.2003B.2004C.2022D.2023

【答案】C

【解析】觀察數(shù)表可知，第n行從左到右的每一個分?jǐn)?shù)的分母依次為n,(n-1),(n-2),

(n—3),…，1,分子依次為1,2,3,4,…，n.

顯然分?jǐn)?shù)建在第a行20列，

即匕=20.觀察數(shù)表發(fā)現(xiàn)行數(shù)=分子+分母-1,

a=20+2023—1=2042,

；.a-b=2042-20=2022,故選C.

5.[2024山東濟寧]如圖，用大小相等的小正方形按照一定規(guī)律拼正方形.第一幅圖有1

個正方形，第二幅圖有5個正方形，第三幅圖有14個正方形，……按照此規(guī)律，第六

幅圖中正方形的個數(shù)為()

【答案】B

【解析】第一幅圖中正方形的個數(shù)為M；

第二幅圖中正方形的個數(shù)為#+22=5；

第三幅圖中正方形的個數(shù)為M+22+32=14；

第六幅圖中正方形的個數(shù)為12+22+32+42+52+62=91.

6.[2024郴州桂陽一模]如圖,NMON=30。，在。M上截取=低過點兒作2祝1OM,

交ON于點4，以點名為圓心，Bi。為半徑畫弧,交。M于點兒；過點兒作為B21OM,

交。N于點B2，以點為為圓心，B2。為半徑畫弧,交。M于點公；,按此規(guī)律，所得

2022

A.22°21B22020c.22°23D2

【答案】A

【解析】???4/11OM,AMON=30°,OAr=V3,B[。=^|^=2,

，

v0B1=B]&,42。=30°,：?Z-A2B1B2=60°.

VA2B21OM,：.B2A2B1=60°,.?.△BI&B?是等邊三角形，???A2B2=2.

2

同理△B2&B3是等邊三角形，??.A3B3=2X2=4=2.

同理△B2021&2022B2022是等邊二角形，二&20224022=22°21.故選A.

2

7.[2024湖北武漢]如圖，小好同學(xué)用計算機軟件繪制函數(shù)y=爐_3%+3%-1的圖象，

發(fā)現(xiàn)它關(guān)于點（1,0）中心對稱.若點

4（0.1,yi）/2（0Z乃）,4（03丫3），“?419（19'19）/20（2,乃。）都在函數(shù)圖象上，這20個

點的橫坐標(biāo)從0.1開始依次增加0.1,則yi+y2+y3+???+y19+為0的值是（）

【答案】D

【解析】???這20個點的橫坐標(biāo)從0.1開始依次增加0.1,

.0.1+1.9_0.2+1.8__0.9+1.1_

222

函數(shù)y=%3-3%2+3%-1的圖象關(guān)于點（1,0）中心對稱，

為+%9=°，％+y18=°，...，%+yn~°，

?'171+y-i+y-iH-----Hy9+yriH--------1-yi9=0,

Vl+>2+'3++719+720=710+>20'&10（1，°），二y10~°,

將％=2代入y—x3—3x2+3x—1,

得曠20=L

1-?Vl+>2+>3■!----H719+720-710+720-0+1-1-

8.[2024岳陽平江模擬]正偶數(shù)2,4,6,8,10,…，按如下規(guī)律排列，

2

46

81012

14161820

則第27行的第21個數(shù)是—.

【答案】744

【解析】由題意知，第72行有幾個數(shù)，第九行的最后一個偶數(shù)是幾何+1）,

???第27行的最后一個數(shù)，即第27個數(shù)為27X28=756,

???第27行的第21個數(shù)與第27個數(shù)差6個數(shù)，756-2X6=744.

故答案為744.

9.[2023山西]如圖是一組有規(guī)律的圖案，它由若干個大小相同的圓片組成.第1個圖案中

有4個白色圓片，第2個圖案中有6個白色圓片，第3個圖案中有8個白色圓片，第4

個圖案中有10個白色圓片，……，依此規(guī)律，第八個圖案中有個白色圓片

（用含n的代數(shù)式表示）.

受8W888W8???

第1個第2個第3個第4個

【答案】（2+2n）

【解析】第1個圖案中有2+2x1=4個白色圓片；

第2個圖案中有2+2x2=6個白色圓片；

第3個圖案中有2+2x3=8個白色圓片；

???第n個圖案中有（2+2n）個白色圓片.

10.[2024岳陽華容一模]在中國歷法中，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被

稱為“十天干”，它們經(jīng)常和其他漢字來搭配命名，如化學(xué)中的“甲烷、乙烷、丙烷”等，

下圖為有機物甲烷、乙烷、丙烷的分子結(jié)構(gòu)圖，請你依照規(guī)律，推測出壬烷中“H”的個數(shù)

為一

HHHIH

——

——

——I

JHCHHcCH

---一

——

—

——I

HHH1HI

烷

烷

甲烷

乙

【答案】20

【解析】甲烷分子結(jié)構(gòu)圖中“H”的個數(shù)是2+2x1=4；

乙烷分子結(jié)構(gòu)圖中“H”的個數(shù)是2+2x2=6；

丙烷分子結(jié)構(gòu)圖中“H”的個數(shù)是2+2x3=8；

壬烷分子結(jié)構(gòu)圖中“H”的個數(shù)是2+2X9=20.

11.［2023衡陽蒸湘一模］如圖，在平面直角坐標(biāo)系無。y中，點4(2,2)在直線y=%上，過

點兒作軸，交直線y=：%于點名,以4為直角頂點，4/1為直角邊，在Z/i的

右側(cè)作等腰直角三角形a/iCi；再過點Q作4臺?〃、軸，分別交直線y=%和丁=［為于4，

B2兩點，以外為直角頂點，久多為直角邊，在&B2的右側(cè)作等腰直角三角形2c2；

按此規(guī)律進行下去，點C2021的橫坐標(biāo)為.

【答案］2X(|)2021

【解析】???點4(2,2),4tBi〃y軸交直線y=：久于點Bp

:.8式2,1),:.力/i=2—1=1,即力IG=1,

點G的橫坐標(biāo)為3=2x|；

過點a作①殳〃、軸，分別交直線y=%和y=［%于&,4兩點,

???4(3,3),B2(3,-),A&B2=3-|=?.-.A2C2^I，

???點C2的橫坐標(biāo)為幸=2X?)2；

以此類推，A3B3=p即43c3=P

???點C3的橫坐標(biāo)為？=2x弓＞，AB^即24c4=2，

424488

???點C4的橫坐標(biāo)為羨=2x?)4,

.??點G的橫坐標(biāo)為2XG)n,

點。2。21的橫坐標(biāo)為2X^)2021

12.[2023江蘇宿遷]如圖,ALBC是正三角形，點71在第一象限，點8(0,0)、C(l,0).將線

段C4繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)120。至CP1；將線段BP】繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)120。至

BP2；將線段近2繞點&按順時針方向旋轉(zhuǎn)120。至北3；將線段CP3繞點C按順時針方向旋

轉(zhuǎn)120。至CP”……，以此類推，則點P99的坐標(biāo)是.

【答案】(―49,50b)

【解析】如圖，畫出前4次旋轉(zhuǎn)后點Pi，P2,P3,P4的位置，

由圖象可得，點Pi，P4在％軸正半軸上，

???旋轉(zhuǎn)3次為一個循環(huán)，

99+3=33,???點P99在射線C2上，點Pioo在％軸正半軸上，

???△ABC是正三角形，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，AC=CP1=1,ABP1=OC+CP1=2,Pi(2,0),

???BP2=BP】=2,??.AP3=AP2=BP2+AB=3,

:.CP4=CP3=CA+AP3=1+3=4,

??.BP4=BC+CP4=5,?,?旦(5,0),

同理可得P7(8,0)，P1O(11,O),Ploo(lOl,O),BP100=101,

CP100=101-1=100,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，CP99=100,

如圖，過點「99作P99E1X軸于點E,

vZ.ACB=60°,乙EP99c=30°,

i

:.EC=5P99c=50,

EO=EC—OC=49,P99E=JP99c2—EC?=50V3,

???點P99的坐標(biāo)是(一49,50g).

13.[2023張家界]如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形2B0C是正方形，點2的坐標(biāo)為(1,1),

4%是以點B為圓心，為半徑的圓弧；4二I2是以點。為圓心，。&為半徑的圓弧；A^A3

是以點C為圓心，C&為半徑的圓弧；4工4是以點2為圓心，為半徑的圓弧，繼續(xù)以

點B、0、C、2為圓心，按上述作法得到的曲線44122a344…稱為正方形的“漸開線”，

則點&2023的坐標(biāo)是.

【答案】(—2023,1)

【解析】???點a的坐標(biāo)為(1,1),且4為a點繞B點順時針旋轉(zhuǎn)90°所得，.?.點4的坐標(biāo)為

(2,0),

又???4為4點繞。點順時針旋轉(zhuǎn)90°所得，；?點4的坐標(biāo)為(0,-2),

又???4為4點繞C點順時針旋轉(zhuǎn)90°所得，；?點4的坐標(biāo)為(-3,1),

又???4為4點繞4點順時針旋轉(zhuǎn)90。所得，???點兒的坐標(biāo)為(1,5)，

由此可得出規(guī)律：B、。、C、2四點作為圓心依次循環(huán)，An順時針旋轉(zhuǎn)90。，且半徑為1、

2、3、…、n,每次增加1.

???2023+4=5053,

???&023為4022繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°，以2023為半徑所得，

???點4023的坐標(biāo)為（一2023,1）.

14.[2023懷化]在平面直角坐標(biāo)系中，AZOB為等邊三角形，點2的坐標(biāo)為（1,0）.把AZOB

按如圖所示的方式放置，并將AaOB進行變換：第一次變換將AZOB繞著原點。順時針旋

轉(zhuǎn)60。，同時邊長擴大為AZOB邊長的2倍，得到△40B1；第二次旋轉(zhuǎn)將AaiOBi繞著

原點。順時針旋轉(zhuǎn)60°,同時邊長擴大為△&OB1邊長的2倍，得到△&0B2，…….依

次類推,得到△42023。82023,則△42023。82023的邊長為，點&2023的

坐標(biāo)為.

【答案】22。23；02。22,_22。22x遮）

123

【解析】由題意得。4—1—2°,OAr=2=2,OA2—4—2,OA3=8=2,,OAn-

2n,

42023°B2023的邊長為22°23.

360°+60°=6,.,.每6次一■循環(huán)，

???2023+6=337……1,

.??4023在第四象限，坐標(biāo)為（22°22,—22022義百）.

15.[2024江蘇鹽城」發(fā)現(xiàn)問題

小明買菠蘿時發(fā)現(xiàn)，通常情況下，銷售員都是先削去菠蘿的皮，再斜著鏟去菠蘿的籽.

提出問題

銷售員斜著鏟去菠蘿的籽，除了方便操作，是否還蘊含著什么數(shù)學(xué)道理呢？

4:???

圖1

分析問題.某菠蘿可以近似看成圓柱體，若忽略籽的體積和鏟去果肉的厚度與寬度，那

么籽在側(cè)面展開圖上可以看成點，每個點表示不同的籽.該菠蘿的籽在側(cè)面展開圖上呈交

錯規(guī)律排列，每行有n個籽，每列有人個籽，行上相鄰兩籽、列上相鄰兩籽的間距都為

均為正整數(shù)，n>k>3,d>0),如圖1所示.

小明設(shè)計了如下三種鏟籽方案.

圖2圖3圖4

方案1：圖2是橫向鏟籽示意圖，每行鏟的路徑長為,共鏟行，則

鏟除全部籽的路徑總長為;

方案2:圖3是縱向鏟籽示意圖，則鏟除全部籽的路徑總長為.；

方案3:圖4是銷售員斜著鏟籽示意圖，寫出該方案鏟除全部籽的路徑總長.

解決問題.在三個方案中，哪種方案鏟籽路徑總長最短?請寫出比較過程，并對銷售員的

操作方法進行評價.

【解析】

分析問題方案1：(n-l)d；2k；2(n-l)dk.詳解：根據(jù)每行有n個籽，行上相鄰兩籽的

間距為d,???每行鏟的路徑長為(n-l)d,v每列有k個籽，呈交錯規(guī)律排列，有2k行，

即共鏟2k行鏟除全部籽的路徑總長為2(n-l)dk.方案2：2(k-l)dn.詳解：根據(jù)每列

有k個籽，列上相鄰兩籽的間距為d,每列鏟的路徑長為(k-l)d,；每行有n個籽，呈

交錯規(guī)律排列，有2n列，???縱向鏟除全部籽的路徑總長為2(k-l)dn.方案3：由題圖

4得斜著鏟時路徑上每相鄰兩個點之間的距離為由尹=子.沿著斜著鏟籽的路徑展開菠

蘿側(cè)面，由每行有n個籽可知，斜著鏟除全部籽所需路徑為n條線段，由共有2k行可知每

條線段長為日(2k-l)d,???斜著鏟除全部籽的路徑總長為亨(2k-l)nd.

解決問題2(n—l)dk—2(k—l)dn=2ndk—2dk—2ndk+2dn=2d(n—k)>0,:.方

案1的路徑總長大于方案2的路徑總長;2(k-l)dn-yx(2k-l)dn=[(2-V2)k-

2+dn,n>k>3>(2-V2)k-2+，>(2-V2)x3-2+，—4—>0,

???2(k-l)dn-yx(2k-l)dn>0,???方案2的路徑總長大于方案3的路徑總長.???方

案3鏟籽路徑總長最短，銷售員的操作方法是最短的路徑，減少了對菠蘿的損耗.

重難二新定義問題

1.[2023山東苗澤]若一個點的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的3倍，則稱這個點為“三倍點”，如：2(1,3),

B(—2,—6),C(0,0)等都是“三倍點”.在一3<久<1的范圍內(nèi)，若二次函數(shù)y=—/—%+c

的圖象上至少存在一個“三倍點”，則c的