2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《思維拓展卷》同步測(cè)試題-附答案

學(xué)校:班級(jí)：姓名：考號(hào)：

1.已知RtZkABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,CD±AB,垂足為D,點(diǎn)尸是線段

CO上一點(diǎn)（不與C、。重合），過點(diǎn)8作BELA尸交AP的延長線于點(diǎn)E,AE與2C交

于點(diǎn)”，聯(lián)結(jié)CE.

(1)求證：—=—；

CHEH

(2)當(dāng)CE〃42時(shí)，求CE的長;

(3)當(dāng)△CF”是等腰三角形時(shí),求C”的長.

（備用圖）

2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知二次函數(shù)yi=or2+3x+c的圖象經(jīng)過原點(diǎn)及點(diǎn)A（1,2）,

與x軸相交于另一點(diǎn)B.

（1）求：二次函數(shù)”的解析式及2點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）若將拋物線力以x=3為對(duì)稱軸向右翻折后，得到一個(gè)新的二次函數(shù)”，已知二次

函數(shù)”與x軸交于兩點(diǎn)，其中右邊的交點(diǎn)為C點(diǎn).點(diǎn)尸在線段0C上，從。點(diǎn)出發(fā)向C

點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，過尸點(diǎn)作x軸的垂線，交直線A。于。點(diǎn)，以尸。為邊在尸￡＞的右側(cè)作正方形

PDEF（當(dāng)尸點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)。、點(diǎn)E、點(diǎn)F也隨之運(yùn)動(dòng)）；

①當(dāng)點(diǎn)E在二次函數(shù)yi的圖象上時(shí)，求OP的長.

②若點(diǎn)P從。點(diǎn)出發(fā)向C點(diǎn)做勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長度，同時(shí)線段OC上另

一個(gè)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)向0點(diǎn)做勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位長度（當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)0點(diǎn)

時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，P點(diǎn)也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)）.過。點(diǎn)作x軸的垂線，與直線AC交于G點(diǎn)，以

QG為邊在QG的左側(cè)作正方形QGMN（當(dāng)。點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)G、點(diǎn)M、點(diǎn)N也隨之運(yùn)動(dòng)），

若尸點(diǎn)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，兩個(gè)正方形分別有一條邊恰好落在同一條直線上（正方形在x軸上

的邊除外），求此刻/的值.

0X

3.如圖1,在中，ZC=90°，ZA,/B,NC的對(duì)邊分別為〃，b,c（注：sin90°

1).

a

...4a.Dbab.b

?SLYt/k——，SLTLD——，??C—■T,C—■rZ???——

CCsinAsinBSinAsinB

abc

Vsin90°=1,——=-------=——.

sinAsinBsinC

拓展探究:

a

如圖2,在銳角中，/A,，B,/C的對(duì)邊分別為a,b,c.思考特例中的結(jié)論,=

b=-J是否仍然成立？請(qǐng)說明理由.

sinBsinC

解決問題:

如圖3,為測(cè)量點(diǎn)A到河對(duì)岸點(diǎn)8的距離，選取與點(diǎn)4在河岸同一側(cè)的點(diǎn)C,測(cè)得AC=

40/w,ZA=75°,ZC=60°.請(qǐng)用前面的結(jié)論，求點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離（不取近似值）.

4.綜合實(shí)踐小組研究某個(gè)籃球自由落地和反彈現(xiàn)象.

實(shí)驗(yàn)探索：該小組把該籃球從不同的高度放開，讓其自由落下，測(cè)量其落地后反彈的高

度，得到數(shù)據(jù)如表:

試次第1次第2次第3次第4次第5次

下落高度/cm8090100110120

反彈高度/cm4045505660

任務(wù)1:請(qǐng)選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型描述該籃球反彈高度與下落高度之間的關(guān)系，設(shè)出變量,

求出函數(shù)解析式.

解決問題：該小組進(jìn)一步提出研究籃球各次反彈的最高點(diǎn)出現(xiàn)的時(shí)間間隔規(guī)律，經(jīng)查閱

資料發(fā)現(xiàn)，籃球第一次從高度為例（單位：，"）處落下到達(dá)地面的運(yùn)動(dòng)過程中，其高度刀

（單位：加）與運(yùn)動(dòng)時(shí)間f（單位：S）的函數(shù)關(guān)系是h=%0-其中g(shù)為重力加速

度.第一次自由下落及以后每次反彈再落地的過程中，籃球離地高度都是運(yùn)動(dòng)時(shí)間的二

次函數(shù)，且它們的二次項(xiàng)系數(shù)相同.

任務(wù)2：根據(jù)任務(wù)1中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，求籃球從高為加（單位：相）處下落到第一次反彈到

最高點(diǎn)所用的時(shí)間（用只含已知量彷，g的式子表示）.

任務(wù)3：籃球從100c機(jī)處下落，g的值取lOmls1.當(dāng)籃球反彈高度小于2cm時(shí)，下次不

再反彈.直接寫出籃球反彈的總次數(shù)，并用式子表示籃球從第n次反彈最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到第

/1+1次反彈最高點(diǎn)間隔的時(shí)間（用只含反彈次數(shù)n的式子表示）.

5.【發(fā)現(xiàn)問題】

小明在練習(xí)簿的橫線上取點(diǎn)。為圓心，相鄰橫線的間距為半徑畫圓，然后半徑依次增加

一個(gè)間距畫同心圓，描出了同心圓與橫線的一些交點(diǎn)，如圖1所示，他發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)的位

置有一定的規(guī)律.

【提出問題】

小明通過觀察，提出猜想：按此步驟繼續(xù)畫圓描點(diǎn)，所描的點(diǎn)都在某二次函數(shù)圖象上.

圖1圖2備用圖

【分析問題】

小明利用已學(xué)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，以圓心。為原點(diǎn)，過點(diǎn)。的橫線所在直線為x軸，過點(diǎn)。且

垂直于橫線的直線為y軸，相鄰橫線的間距為一個(gè)單位長度，建立平面直角坐標(biāo)系，如

圖2所示.當(dāng)所描的點(diǎn)在半徑為5的同心圓上時(shí)，其坐標(biāo)為.

【解決問題】

請(qǐng)幫助小明驗(yàn)證他的猜想是否成立.

【深度思考】

小明繼續(xù)思考：設(shè)點(diǎn)尸（0,根），初為正整數(shù)，以。尸為直徑畫OM,是否存在所描的點(diǎn)

在上.若存在，求7"的值；若不存在，說明理由.

6.［綜合探究］運(yùn)用二次函數(shù)來研究植物幼苗葉片的生長狀況.在大自然里，有很多數(shù)學(xué)的

奧秘.圖1是一片美麗的心形葉片，圖2是一棵生長的幼苗都可以看作把一條拋物線的

一部分沿直線折疊而形成.

圖3圖4

【探究一】確定心形葉片的形狀

(1)如圖3建立平面直角坐標(biāo)系，心形葉片下部輪廓線可以看作是二次函數(shù)>="2-4辦

-4a+l圖象的一部分，已知圖象過原點(diǎn)，求拋物線的解析式及頂點(diǎn)。的坐標(biāo)；

【探究二】研究心形葉片的寬度：

(2)如圖3,在(1)的條件下，心形葉片的對(duì)稱軸，即直線>=尤+1與坐標(biāo)軸交于A,B

兩點(diǎn)，拋物線與x軸交于另一點(diǎn)C,點(diǎn)C,Q是葉片上的一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，CCi交直線于

點(diǎn)G.求葉片此處的寬度CG；

【探究三】探究幼苗葉片的長度

(3)小李同學(xué)在觀察幼苗生長的過程中，發(fā)現(xiàn)幼苗葉片下方輪廓線都可以看作是二次函

數(shù)了二辦2-4ax-4a+l圖象的一部分；如圖4,幼苗葉片下方輪廓線正好對(duì)應(yīng)探究一中的

二次函數(shù).已知直線尸。(點(diǎn)P為葉尖)與水平線的夾角為45°,求幼苗葉片的長度尸￡>.

7.(1)如圖1,在RtZXABC中，AC=3,BC=4,ZC=90°,D為BC上一點(diǎn),DELAB

于點(diǎn)E,若BE=3,則OE=.

(2)如圖2,在銳角△ABC中(ABCAC),ZC=45°,AB=4,AD為邊上的高，

若SMBD=/求BC的長.

(3)如圖3,。。為△ABD的外接圓，已知的半徑為5,弦ACLBD于點(diǎn)”.且AC

BD,DE為。。的一條直徑.M、N分別為BD、DE上一點(diǎn),連MN、ME.若NDMN

7

/BAD,SAABH=±，求△EMN面積的最大值.

圖2圖3

8.(1)【知識(shí)再現(xiàn)】我們知道，直角三角形中有6個(gè)元素一一三個(gè)角，三條邊，由已知元素

求出所有未知元素的過程叫解直角三角形，下列三個(gè)條件中，不能解直角三角形的

是.

①已知兩條邊；②已知一條邊和一個(gè)銳角；③已知兩個(gè)角.

(2)【聯(lián)系拓展】擴(kuò)展開去，任意三角形中有6個(gè)元素一一三個(gè)角，三條邊，由已知元

素求出所有未知元素的過程叫解三角形.三角函數(shù)是三角形邊角關(guān)系的紐帶，也可以作

為解三角形的常用工具.如圖1,已知AABC中，ZA=30°,ZB=45°,AB=5+5V3,

解這個(gè)三角形;

(3)【延伸應(yīng)用】如圖2,AABC中，AC=28，cosA=空，BC=m,在解這個(gè)三角形

時(shí)，若未知元素都有兩解的根的取值范圍是

圖1圖2

9.射水魚以陸生昆蟲為食物，它在捕食時(shí)，能從口中射出一股水流，準(zhǔn)確擊中2根以內(nèi)的

昆蟲.如果不考慮空氣阻力，那么射水魚射出的水流可以看成一條拋物線的一部分(如

圖).在一次捕食時(shí)，射水魚射出的水流向上運(yùn)動(dòng)的高度》(單位：CH1)與向前運(yùn)動(dòng)的水

平距離x(單位：cm)的關(guān)系可以近似地表示為y=-0.1/+4x.

(1)如果這次射出的水流沒有遇到障礙物，它運(yùn)動(dòng)的高度逐步上升時(shí)，水流向前運(yùn)動(dòng)的

水平距離X的范圍是,它運(yùn)動(dòng)的高度逐步下降時(shí)，水流向前運(yùn)動(dòng)的水平

距離X的范圍是；

（2）假設(shè)要捕食的昆蟲位于射水魚正前方水平距離20cm,高度50cm處，那么這次射出

的水流能否擊中這只昆蟲？

（3）假設(shè)捕食的昆蟲位于射水魚正前方30a”高度，并沿水平直線飛行，那么這次射出

的水流要擊中這只昆蟲，可能在射水魚正前方多遠(yuǎn)處？

，人昆蟲

/射水魚

參考答案

1.已知RtZXABC中，ZACB=90°，AC=6,BC=8,CD1AB,垂足為。，點(diǎn)尸是線段

上一點(diǎn)（不與C、。重合），過點(diǎn)2作交AP的延長線于點(diǎn)E,AE與BC交

于點(diǎn)H,聯(lián)結(jié)CE.

AHBH

（1）求證:

CH—EH

（2）當(dāng)CE〃A2時(shí)，求CE的長;

（3）當(dāng)△CE??是等腰三角形時(shí)，求C8的長.

【分析】（1）根據(jù)題意ZAHC=ZBHE,證明即可求

證;

（2）根據(jù)題意可得△CHES^AHB,則有NCE8=NA皮/,由C￡〃AB,得到

如圖所示，作HGLAB,垂足是G,由勾股定理、三角函數(shù)的計(jì)算得到2B：

A54

10,cos^ABC=在RtA^XG中，cos(ABC=需,則有一=一，得到=午，再

5BHBHS4

CECH

根據(jù)77=77?即可求解；

ABBH

(3)根據(jù)等腰三角形的判定和性質(zhì)分類討論：第一種情況：當(dāng)NUH=NC”/時(shí)，可證

A”平分NC4B根據(jù)角平分線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)即的計(jì)算可解得“G；第二種情況：

ACBC68

當(dāng)/CHF=NHCF時(shí),可得tanNCH/=tan/CA8,則一二—,即一=一，即可求解；

CHACCH6

第三種情況：當(dāng)時(shí)，結(jié)合(2)的計(jì)算即可求解.

【解答】(1)證明：???3EJ_AR

AZAEB=90°,

VZACB=90°,

???ZAEB=ZACB,

'：/AHC=/BHE,

：.LACHsLBEH,

AHCHAHBH

—=—up—=—；

BHEHCHEH

—AHBH

(2)解：???一=一,NCHE=/AHB,

CHEH

???NCEH=NABH,

\9CE//AB,

：.ZCEH=/HAB,

：./ABH=NHAB,

:?AH=BH,

如圖所示，HGLAB,垂足是G,

1

：.BG-AB,

在RtZXABC中，AC=69BC=8,

4

.\AB=10fcosZ-ABC=『

：.BG=5,

nr

在RtZXBHG中，cos(ABC=需,

?54

??—―,

BH5

2s

???BH、，

ACH=BC-BH=(,

U：CE//AB,

7

日口生—五

??一,即一2q，

ABBH10—

4

14

：.CE=~

(3)解：①當(dāng)NCFH=NCHF時(shí),

■:NCFH=/AFD,

：.ZCHF=NAFD,

*.?/CHF+/CAH=ZAF￡>+ZM￡>=90°,

：.ZCAH=ZFADf

VZACB=90°,BPAC±BC,HGLAB,

：.CH=HG,

VAH=AH,CH=GH,

：.AACH^AAGH(HL),

???AG=AC=6,

：.BG=AB-AG=4,

在RtZ\BHG中，tan乙ABC=詼,

：.HG=4x7=3,即CH=3；

②當(dāng)ZFHC=ZFCH時(shí)，

■:/HCF=/CAB,

：.ZCHF=ZCAB,

tanZCHF=tanZCAB,

ACBC68

—=—,HP—=一,

CHACCH6

9

：.CH=^；

③當(dāng)ZHCF=ZHFC時(shí)，

VZCFH=ZAFD,

：.ZHCF=/AFD,

???ZHCF+ZABC=NA尸D+NEW=90°,

???ZABC=ZFAD,

???ZABC=ZCEA,

：.ZFAD=ZCEA,

：.CE//AB,

r>r

由（2）可知，在RtZ\BHG中，cos乙ABC=磊,

?54

??—―,

BH5

25

??仰=不

：.CH=BC-BH=%,即C”=:；

97

綜上所述，CH=3或-或一.

24

2.在平面直角坐標(biāo)系尤0y中，已知二次函數(shù)yiUG^+Sx+c的圖象經(jīng)過原點(diǎn)及點(diǎn)A（1,2）,

與x軸相交于另一點(diǎn)氏

（1）求：二次函數(shù)”的解析式及2點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）若將拋物線以以x=3為對(duì)稱軸向右翻折后，得到一個(gè)新的二次函數(shù)”，已知二次

函數(shù)”與x軸交于兩點(diǎn)，其中右邊的交點(diǎn)為C點(diǎn).點(diǎn)尸在線段0C上，從。點(diǎn)出發(fā)向C

點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，過尸點(diǎn)作x軸的垂線，交直線A0于。點(diǎn)，以PD為邊在尸。的右側(cè)作正方形

尸DEF（當(dāng)尸點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)。、點(diǎn)E、點(diǎn)尸也隨之運(yùn)動(dòng)）；

①當(dāng)點(diǎn)E在二次函數(shù)”的圖象上時(shí)，求OP的長.

②若點(diǎn)尸從。點(diǎn)出發(fā)向C點(diǎn)做勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長度，同時(shí)線段0C上另

一個(gè)點(diǎn)。從C點(diǎn)出發(fā)向O點(diǎn)做勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位長度（當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)O點(diǎn)

時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，尸點(diǎn)也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)）.過。點(diǎn)作x軸的垂線，與直線AC交于G點(diǎn)，以

QG為邊在QG的左側(cè)作正方形QGMNQ當(dāng)。點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)G、點(diǎn)M、點(diǎn)N也隨之運(yùn)動(dòng)），

若P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，兩個(gè)正方形分別有一條邊恰好落在同一條直線上(正方形在X軸上

的邊除外)，求此刻f的值.

；y

0.x

【分析】(1)利用二次函數(shù)yi=o?+3x+c的圖象經(jīng)過原點(diǎn)及點(diǎn)A(1,2),分別代入求出

a,c的值即可；

(2)①過A點(diǎn)作軸于H點(diǎn)，根據(jù)。P〃AH,得出△。「〃/△。瀏，進(jìn)而求出op

的長；

②分別利用當(dāng)點(diǎn)只點(diǎn)N重合時(shí)，當(dāng)點(diǎn)只點(diǎn)。重合時(shí)，當(dāng)點(diǎn)尸、點(diǎn)N重合時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P、

點(diǎn)。重合時(shí)，求出t的值即可.

【解答】解：(1)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)及點(diǎn)A(1,2),

...將(0,0),代入得出：

c=0,

將(1,2)代入得出：

。+3=2,

解得：a=-1,

故二次函數(shù)解析式為：yi=-f+3x,

?.?圖象與x軸相交于另一點(diǎn)B,

，0=-X2+3X,

解得：尤=0或3,

貝IB(3,0)；

(2)①由已知可得C(6,0)

如圖：過A點(diǎn)作48,無軸于X點(diǎn),

\9DP//AH,

：.AOPD^AOHA,

.OPOH

?.=,

PDAH

a1

即—=

PD2

*.PD=2a,

???正方形POEE

:?E(3a,2a),

VE(3a,2a)在二次函數(shù)yi=-x?+3x的圖象上,

??〃=；

7

即OP=

當(dāng)點(diǎn)尸、點(diǎn)N重合時(shí)，有OF+CN=6,

?.?直線49過點(diǎn)（1,2）,

故直線解析式為：y=2x,

當(dāng)OP=t,

則AP=2t,

?.,直線AC過點(diǎn)（1,2）,（6,0）,

代入y=ax+b,

a+b=2

6a+b=O'

a=一工

解得：

,12

b=T

故直線AC的解析式為：y=-|x+*

:當(dāng)OP=f,QC=2t,

QO—6-2t,

212

?*.GQ=—5(6-2z)+~g-=

即NQ=%,

???O尸+PN+NQ+QC=6,

4

則有3f+2f+率=6,

解得：/=瑞;

解得：u二;

如圖3：

解得：U譚,

解得：t=2.

3.如圖1,在RtZXABC中，ZC=90°，ZA,ZB,/C的對(duì)邊分別為a,b,c（注：sin90°

1).

a

...4a.Dbab.b

?SLYt/k——，SLTLD——，??C—■T,C—■rZ???——

CCsinAsinBSinAsinB

abc

Vsin90°=1,——=------=——.

sinAsinBsinC

拓展探究:

如圖2,在銳角中，4心，ZC的對(duì)邊分別為a",c.思考特例中的結(jié)論?

b三是否仍然成立？請(qǐng)說明理由.

sinBsinC

解決問題:

如圖3,為測(cè)量點(diǎn)A到河對(duì)岸點(diǎn)B的距離，選取與點(diǎn)A在河岸同一側(cè)的點(diǎn)C,測(cè)得AC=

40m,ZA=75°,ZC=60°.請(qǐng)用前面的結(jié)論，求點(diǎn)A到點(diǎn)2的距離（不取近似值）.

【分析】拓展研究：仍然成立，理由：過點(diǎn)C作CDL4B于點(diǎn)。，過點(diǎn)A作AELBC于

點(diǎn)E,先根據(jù)正弦的定義可得s譏8=餐=穿，sin乙BAC=筵=筆,從而可得

ab，同樣的方法可得一L

由此即可得;

sinZ-BACsinBsinBsinZ-BCA

解決問題：先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得/CBA=45°,再根據(jù)拓展研究的結(jié)論求解

即可得.

b

【解答】解：拓展探究：結(jié)論三仍然成立.

sinAsinBsinC

理由如下：過點(diǎn)C作。OLA8于點(diǎn)O,過點(diǎn)A作AEL5C于點(diǎn)屏

BEQ

,AEAE

在RtAABE中，SinB=AB=^

.nCDCD

在RtZXBCC中,SinB=BC=^

CDCD

在RtAACD中，smZ-BAC=

CD=asmB,CD=bsinZBAC,

asinB=bsmZBAC,

ab

-——,

sinZ.BACsinB

b

同理可得:

sinBsinZ-BCA'

ab

sinZ.BACsinBsinZ.BCA

解決問題：在△ABC中，ZCBA=180°-ZA-ZC=45°,

ABAC

------=-------------,AC—40m,

sinCsinZ.CBA

AB40

sin60°sm45Q，

.".AB=40sin60°Xsin45°=20遍(m),

答：點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離為20^7”.

4.綜合實(shí)踐小組研究某個(gè)籃球自由落地和反彈現(xiàn)象.

實(shí)驗(yàn)探索：該小組把該籃球從不同的高度放開，讓其自由落下，測(cè)量其落地后反彈的高

度，得到數(shù)據(jù)如表:

試次第1次第2次第3次第4次第5次

下落高度/c小8090100110120

反彈高度/cm4045505660

任務(wù)1：請(qǐng)選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型描述該籃球反彈高度與下落高度之間的關(guān)系，設(shè)出變量,

求出函數(shù)解析式.

解決問題：該小組進(jìn)一步提出研究籃球各次反彈的最高點(diǎn)出現(xiàn)的時(shí)間間隔規(guī)律，經(jīng)查閱

資料發(fā)現(xiàn)，籃球第一次從高度為加（單位：相）處落下到達(dá)地面的運(yùn)動(dòng)過程中，其高度//

（單位：m）與運(yùn)動(dòng)時(shí)間￡（單位：s）的函數(shù)關(guān)系是九=%g/,其中g(shù)為重力加速

度.第一次自由下落及以后每次反彈再落地的過程中，籃球離地高度都是運(yùn)動(dòng)時(shí)間的二

次函數(shù)，且它們的二次項(xiàng)系數(shù)相同.

任務(wù)2：根據(jù)任務(wù)1中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，求籃球從高為瓦（單位：相）處下落到第一次反彈到

最高點(diǎn)所用的時(shí)間（用只含已知量加，g的式子表示）.

任務(wù)3：籃球從100cm處下落，g的值取\0mls1.當(dāng)籃球反彈高度小于2cm時(shí)，下次不

再反彈.直接寫出籃球反彈的總次數(shù)，并用式子表示籃球從第n次反彈最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到第

〃+1次反彈最高點(diǎn)間隔的時(shí)間（用只含反彈次數(shù)w的式子表示）.

【分析】任務(wù)1：由表格數(shù)據(jù)知，對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為一次函數(shù)；

任務(wù)2：令九=生+=0,則仁楞^,反彈時(shí)，y=0.5x,則此時(shí)高度為|/孫同理

可得:t=件，即可求解；

N9

任務(wù)3：y=^x,100X（1）6=||<2,故反彈的次數(shù)為6次，參考任務(wù)2,即可求解.

【解答】解：任務(wù)1：設(shè)下落的高度為無反彈的高度為

設(shè)函數(shù)的表達(dá)式為：y=kx+b,

將（80,40）、（90,45）代入上式得：

膘=嚷2,解得：C=O5,

145=90/c+b3=0

故函數(shù)的表達(dá)式為：y=0.5x；

任務(wù)2：令h=h0-2gt2=o,則t=

1

反彈時(shí)，y=0.5x,則此時(shí)高度為”o，

同理可得：t=佟，

N9

則總時(shí)間為：仁再+舊;

任務(wù)3：100cm=1m,

11A2s

y=2Xf100X（—）6=玄<2,

故反彈的次數(shù)為6次,

由（2）知，開始的時(shí)間U再=

第一次反彈u曲=梟孝，

則第n次反彈t=件=造X（―）",

7g52

第（H+1）次反彈U.=\x（―）.

7g52

則從第n次反彈最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到第n+1次反彈最高點(diǎn)間隔的時(shí)間=爭X（y）n+^X（y）

?+1__2V5+V10四?

_102

5.【發(fā)現(xiàn)問題】

小明在練習(xí)簿的橫線上取點(diǎn)。為圓心，相鄰橫線的間距為半徑畫圓，然后半徑依次增加

一個(gè)間距畫同心圓，描出了同心圓與橫線的一些交點(diǎn)，如圖1所示，他發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)的位

置有一定的規(guī)律.

【提出問題】

小明通過觀察，提出猜想：按此步驟繼續(xù)畫圓描點(diǎn)，所描的點(diǎn)都在某二次函數(shù)圖象上.

【分析問題】

小明利用已學(xué)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，以圓心。為原點(diǎn)，過點(diǎn)。的橫線所在直線為x軸，過點(diǎn)。且

垂直于橫線的直線為y軸，相鄰橫線的間距為一個(gè)單位長度，建立平面直角坐標(biāo)系，如

圖2所示.當(dāng)所描的點(diǎn)在半徑為5的同心圓上時(shí)，其坐標(biāo)為（-3,4）或（3,4）.

【解決問題】

請(qǐng)幫助小明驗(yàn)證他的猜想是否成立.

【深度思考】

小明繼續(xù)思考：設(shè)點(diǎn)P（0,機(jī)），機(jī)為正整數(shù)，以。尸為直徑畫OM,是否存在所描的點(diǎn)

在OM上.若存在，求相的值；若不存在，說明理由.

【分析】【分析問題】根據(jù)題意可知：該點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4,利用勾股定理，即可求出該點(diǎn)

的橫坐標(biāo)，進(jìn)而可得出點(diǎn)的坐標(biāo)；

【解決問題】設(shè)所描的點(diǎn)在半徑為w（〃為正整數(shù)）的同心圓上，則該點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（w

-1）,利用勾股定理可得出該點(diǎn)的坐標(biāo)為（—癡二I,1）或（物—，"-1）,結(jié)

合點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)間的關(guān)系，可得出該點(diǎn)在二次函數(shù)丫=%2一帝的圖象上，進(jìn)而可證出小明

的猜想正確；

【深度思考】設(shè)該點(diǎn)的坐標(biāo)為（土揚(yáng)E,”-1）,結(jié)合的圓心坐標(biāo)，利用勾股定

理，即可用含n的代數(shù)式表示出m的值，再結(jié)合m,n均為正整數(shù)，即可得出m,n的值.

【解答】【分析問題】解：根據(jù)題意，可知：所描的點(diǎn)在半徑為5的同心圓上時(shí)，其縱坐

標(biāo)y=5-1=4,

橫坐標(biāo)x=±V52—42=±3,

???點(diǎn)的坐標(biāo)為(-3,4)或(3,4).

【解決問題】證明：設(shè)所描的點(diǎn)在半徑為〃（〃為正整數(shù)）的同心圓上，則該點(diǎn)的縱坐標(biāo)

為(n-1),

???該點(diǎn)的橫坐標(biāo)為土（層一（九一1）2=±yj2n-1,

???該點(diǎn)的坐標(biāo)為（一咳2九一1,"-1）或“2幾一1,n-1）.

(±V2n-1)2=2〃-1,n-1=叱二,

.?.該點(diǎn)在二次函數(shù)y另（?-1）="一匏圖象上,

小明的猜想正確.

______1

【深度思考】解：設(shè)該點(diǎn)的坐標(biāo)為（土山J一1,n-1）,0M的圓心坐標(biāo)為（0,-m）,

J(±V2n—1—0)2+(n—1—^m)2=排,

2

._n2_(n-1+1)2(n-1)(n-l_1

??ITl-'T-4+21)+=n]+2+

n—1n—1n—1n—1

又?：m,〃均為正整數(shù),

:?n-1=1,

.?.加=1+2+1=4,

???存在所描的點(diǎn)在OM上，加的值為4.

6.［綜合探究］運(yùn)用二次函數(shù)來研究植物幼苗葉片的生長狀況.在大自然里，有很多數(shù)學(xué)的

奧秘.圖1是一片美麗的心形葉片，圖2是一棵生長的幼苗都可以看作把一條拋物線的

一部分沿直線折疊而形成.

圖3圖4

【探究一】確定心形葉片的形狀

(1)如圖3建立平面直角坐標(biāo)系，心形葉片下部輪廓線可以看作是二次函數(shù)>="2-4辦

-4a+l圖象的一部分，已知圖象過原點(diǎn)，求拋物線的解析式及頂點(diǎn)。的坐標(biāo)；

【探究二】研究心形葉片的寬度：

(2)如圖3,在(1)的條件下，心形葉片的對(duì)稱軸，即直線y=x+l與坐標(biāo)軸交于A,B

兩點(diǎn)，拋物線與x軸交于另一點(diǎn)C,點(diǎn)C,。是葉片上的一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，CCi交直線A3于

點(diǎn)G.求葉片此處的寬度CCi；

【探究三】探究幼苗葉片的長度

(3)小李同學(xué)在觀察幼苗生長的過程中，發(fā)現(xiàn)幼苗葉片下方輪廓線都可以看作是二次函

數(shù)y=o?-4"-4a+l圖象的一部分；如圖4,幼苗葉片下方輪廓線正好對(duì)應(yīng)探究一中的

二次函數(shù).已知直線尸。（點(diǎn)P為葉尖）與水平線的夾角為45°,求幼苗葉片的長度尸￡>.

【分析】（1）把原點(diǎn)（0,0）代入解析式y(tǒng)=o?-4ox-4a+l,求得。值，將拋物線化成

頂點(diǎn)式即可確定頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4,0）,再求出CCi的解析式為：y=-.r+4.然后求出點(diǎn)G

的坐標(biāo)為（|,|）,最后求出結(jié)果即可；

（3）作尸尸，拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)R則NPFL>=90°,設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為x,得出PP

=FD=2-x,根據(jù)點(diǎn)P在拋物線上，列出方程1—%=,/一久，得出點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（-

2,3）,最后求出尸O即可.

【解答】解：（1）心形葉片下部輪廓線可以看作是二次函數(shù)〉=辦2-4依-4〃+1圖象的

一部分，且圖象過原點(diǎn)，將（0,0）代入得：

-4。+1=0.

解得：a=上.

；?拋物線的解析式為y=1%2-%=1（%-2）2-1,

頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為（2,-1）；

（2）?..拋物線與x軸交于另一點(diǎn)C,點(diǎn)C,G是葉片上的一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，

當(dāng)y=0時(shí)得：0=；%2一%,

解得：%i=0,X2—4,

???點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4,0）,

???設(shè)CCi的解析式為y=-x+b.將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得：

-4+/?=0.

解得:b=4.

CCi的解析式為y=-x+4.

聯(lián)立得：”了累，

（V=X+1

???點(diǎn)G的坐標(biāo)為（2，2）,

"G=J(4—#+(0_|)2=孚

/.CC'=2CG=5V2；

(3)作PPL拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)R則NPFL>=90°,

圖4

:直線P。與水平線的夾角為45°,

：.PF=FD.

設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為X,

???拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2,

：.PF=FD=2-x.

?.?頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,-1),

；?點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-1+2-尤=1-尤.

,/點(diǎn)P在拋物線上，

?112

..1—X=

-4TX—X,

解得：x=±2,

.?.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-2,3),

：.PD=7(-2-2)2+(-1-3)2=4V2.

7.(1)如圖1,在RtZXABC中，AC=3,BC=4,ZC=90°,D為BC上一點(diǎn),DELAB

9

于點(diǎn)E,若3E=3,則DE=-.

-4—

(2)如圖2,在銳角△ABC中(ABCAC),ZC=45°,AB=4,AO為BC邊上的高，

g

若SUB。=2?求5C的長?

(3)如圖3,。。為△ABO的外接圓，已知OO的半徑為5,弦ACLBO于點(diǎn)”.且AC

=BD,DE■為OO的一條直徑.M、N分別為2D、DE上一點(diǎn)、,連MN、ME.若/DMN

7

=ZBAD,SAABH=2-求△EMN面積的最大值.

【分析】(1)根據(jù)同角的正切即可解答;

9

得1Q

22-

(2)先根據(jù)勾股定理得：AEr+BD^AB,由以人知4—BD'AD=,兩式結(jié)合變

24z

形后即可解答；

(3)如圖3,連接EB,根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理證明/EM0=9O°,過點(diǎn)。作OPLAC

于尸，作于Q,證明四邊形。尸”。是正方形，設(shè)HQ=a,BH=x,利用勾股定

理列方程/+(°+x)2=52,結(jié)合S“BH=：和二次函數(shù)的最值即可解答.

【解答】解：(1)如圖b'：DE±AB,

:./DEB=90°,

VZC=90°,

?,_DE_AC

?』annB=麗=瓦,

VAC=3,BC=4,BE=3,

.DE3

??—―,

34

：.DE=I；

、9

故答案為：

4

(2)如圖2,〈A。為8C邊上的高,

AZADB=ZADC=90°,

212

由勾股定理得：AD+BD=ABf

???A8=4,

AAD2+B￡>2=16,

VZC=45°,

：.AD=CD,

?S^ABD=4，

19

A—BD-AD=7,

24

9

：.AD^BD=方

(AD+BD)2-2AO?3O=16,

ABC2-9=16,

.*.BC2=25,

???5C=5(負(fù)值舍)；

圖3

?：/BED=/BAD,/BAD=/DMN,

：./DMN=/BED,

?:NDMN+/BMN=180°,

AZBED-^ZBMN=1SO°,

ZEBD+ZENM^180°,

???￡。是。。的直徑，

AZEBD=90°,

AZENM=90°,

過點(diǎn)。作OPJ_AC于P,作OQL5O于Q,

：.BQ=DQ,CP=AP,

*：AC=BD,

???OP=OQ,AP=CP=BQ=DQ,

VZOPH=ZOQH=ZPHQ=90°,

???四邊形OP”Q是正方形，

:,PH=HQ,

設(shè)“Q=〃，BH=x,

DQ=BQ—AP—a+x,

???。。的半徑為5,

?2+(〃+%)2=52,

IcP'+lax+j?—25,

?,7

,?*S^ABH=2f

1717

J.-*BH*AH=77,BR—*X*(2^+^)=5，

2222

??2QX+x7,

2/+7=25,

??.Q=3(負(fù)值舍)，

OQ=3,

???。。=5,

???0Q=4,

?./八八八_OQ_MN_3

■AanZQDO=DQ=DN=4,

：.設(shè)MN=3m,DN=4m,則EN=10-4m,

.?.△EMN面積=士?MN?EN=%3/n?10-4m)=-6rr^+l5m=-6(m-1)2+^,

ZZ4o

75

**?小EMN面積的最大值是

8

8.(1)【知識(shí)再現(xiàn)】我們知道，直角三角形中有6個(gè)元素一一三個(gè)角，三條邊，由已知元素

求出所有未知元素的過程叫解直角三角形，下列三個(gè)條件中，不能解直角三角形的是

③.

①已知兩條邊；②已知一條邊和一個(gè)銳角；③已知兩個(gè)角.

(2)【聯(lián)系拓展】擴(kuò)展開去，任意三角形中有6個(gè)元素一一三個(gè)角，三條邊，由已知元

素求出所有未知元素的過程叫解三角形.三角函數(shù)是三角形邊角關(guān)系的紐帶，也可以作

為解三角形的常用工具.如圖1,已知△ABC中，ZA=30°,ZB=45°,AB=5+5A/3,

解這個(gè)三角形；

(3)【延伸應(yīng)用】如圖2,AABC中，AC=2V3,cosA=BC=m,在解這個(gè)三角形

時(shí)，若未知元素都有兩解的根的取值范圍是V3<m<2<3.