專題15四邊形

考情聚焦

課標(biāo)要求考點(diǎn)考向

①了解多邊形的概念及多邊形的頂點(diǎn)、邊、內(nèi)角、外角與對(duì)

多邊形考向一多邊形的內(nèi)角和

角線;探索并掌握多邊形內(nèi)角和與外角和公式。

及其內(nèi)

②理解平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，以

角和考向二多邊形的外角和

及它們之間的關(guān)系;了解四邊形的不穩(wěn)定性。

③探索并證明平行四邊形的性質(zhì)定理:平行四邊形的對(duì)邊相考向一平行四邊形的性質(zhì)

等、對(duì)角相等、對(duì)角線互相平分。探索并證明平行四邊形的

考向二平行四邊形的判定

判定定理:一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形;兩組平行四

考向三平行四邊形的性質(zhì)好判

對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形;對(duì)角線互相平分的四邊形

定綜合

邊形是平行四邊形。

④探究并證明三角形中位線定理?？枷蛩娜切蔚闹形痪€

⑤探索并證明矩形、菱形的性質(zhì)定理:矩形的四個(gè)角都是直

角，對(duì)角線相等;菱形的四條邊相等，對(duì)角線互相垂直。探考向一矩形

特殊的

索并證明矩形、菱形的判定定理:三個(gè)角是直角的四邊形是

平行四

矩形，對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形;四邊相等的四邊形考向二菱形

邊形

是菱形，對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。正方形既是

考向三正方形

矩形，又是菱形;理解矩形、菱形、正方形之間的包含關(guān)系。

真題透視

考點(diǎn)一多邊形及其內(nèi)角和

A考向一多邊形的內(nèi)角和

1.（2024?河北?中考真題）直線/與正六邊形ABCD跖的邊尸分別相交于點(diǎn)M,N,如圖所示，則“+6=

B.120°C.135°D.144°

2.（2024?云南?中考真題）一個(gè)七邊形的內(nèi)角和等于（）

A.540°B.900°C.980°D.1080°

3.（2024?吉林長春?中考真題）在剪紙活動(dòng)中，小花同學(xué)想用一張矩形紙片剪出一個(gè)正五邊形，其中正五

邊形的一條邊與矩形的邊重合,如圖所示，則的大小為（）

A.54°B.60°C.70°D.72°

4.（2024?山東青島?中考真題）為籌備運(yùn)動(dòng)會(huì)，小松制作了如圖所示的宣傳牌，在正五邊形ABCDE和正方

形CDFG中，CF.OG的延長線分別交AE,43于點(diǎn)N,則6ME的度數(shù)是（）

5.（2024?山西?中考真題）如圖是某一水塘邊的警示牌，牌面是五邊形其中

ZB=NE=102o,NC=ND=110。，則這個(gè)五邊形的內(nèi)角-A的度數(shù)為。.

A考向二多邊形的外角和

6.（2024?西藏?中考真題）已知正多邊形的一個(gè)外角為60。，則這個(gè)正多邊形的內(nèi)角和為（）

A.900°B.720°C.540°D.360°

7.（2024?山東?中考真題）如圖，已知AB,BC,是正〃邊形的三條邊，在同一平面內(nèi)，以8c為邊在

該正〃邊形的外部作正方形3cMV.若NABN=120。，貝M的值為（）

A.12B.10C.8D.6

8.（2024?湖南?中考真題）下列命題中,正確的是（）

A.兩點(diǎn)之間，線段最短B.菱形的對(duì)角線相等

C.正五邊形的外角和為720。D,直角三角形是軸對(duì)稱圖形

9.（2024?青海?中考真題）正十邊形一個(gè)外角的度數(shù)是.

10.（2010?江蘇徐州?中考真題）若正多邊形的一個(gè)外角是45。，則該正多邊形的邊數(shù)是.

考點(diǎn)二平行四邊形

A考向一平行四邊形的性質(zhì)

11,（2024?海南?中考真題）如圖，在QABCL（中，AB=8,以點(diǎn)。為圓心作弧，交A3于點(diǎn)M、N,分別以

點(diǎn)A/、N為圓心,大于:血W為半徑作弧,兩弧交于點(diǎn)￡作直線OF交A3于點(diǎn)E,若NBCE=NDCE,DE=4,

則四邊形BCDE的周長是（）

12.（2024?貴州?中考真題）如圖，nABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)。則下列結(jié)論一定正確的是（）

AD

A.AB=BCB.AD=BCC.OA=OBD.ACJ.BD

13.（2024河南?中考真題）如圖，在口468中，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)。點(diǎn)E為OC的中點(diǎn)，EF//AB

交3c于點(diǎn)F.若AB=4,則跖的長為（）

A.-B.1C.-D.2

23

14.（2024?山東?中考真題）如圖，點(diǎn)￡為nABCD的對(duì)角線AC上一點(diǎn)，AC=5,CE=1,連接并延長

至點(diǎn)F,使得EF=DE,連接卸"貝方為（）

22

15.（2024?浙江?中考真題）如圖，在口ABCD中，AC,相交于點(diǎn)。AC=2,BD=26.過點(diǎn)A作

的垂線交5C于點(diǎn)E記篦長為羽5c長為y.當(dāng)羽y的值發(fā)生變化時(shí)，下列代數(shù)式的值不變的是（）

A考向二平行四邊形的判定

16.（2024?廣西?中考真題）如圖，兩張寬度均為3cm的紙條交叉疊放在一起，交叉形成的銳角為60。，則

重合部分構(gòu)成的四邊形ABCD的周長為cm.

若以上解答過程正確，①，②應(yīng)分別為（）

A.Zl=Z3,AASB.Zl=Z3,ASA

C.N2=N3、AASD.N2=N3、ASA

18.（2024?四川樂山?中考真題）下列條件中，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）

A.AB//CD,AD//BCB.AB=CD,AD=BC

C.OA=OC,OB=ODD.AB//CD,AD=BC

19.（2024?湖南?中考真題）如圖，在四邊形A3CD中，AB〃CD,點(diǎn)E在邊A3上一.請(qǐng)從"①=；

@AE=BE,AE=CD"這兩組條件中任選一組作為已知條件，填在橫線上（填序號(hào)），再解決下列問題：

DC

（1）求證：四邊形3CDE為平行四邊形；

（2）若AOSAB,AD=8,3c=10,求線段AE的長.

A考向三平行四邊形的性質(zhì)好判定綜合

20.（2024?浙江?中考真題）如圖，在正方形ABCD中，E,H,F,G分別是邊AB,BC,CD,D4上的點(diǎn)，

2

且A3=2,EF=RG,X分別在邊ADBC±,且GH與E戶交于點(diǎn)O,^ZGOF=a,若tana=§,則

“3765D2病廣3765n2765

5577

21.（2024?遼寧?中考真題）如圖，口ABCD的對(duì)角線AC,3。相交于點(diǎn)。，DE//AC,CE〃BD,若AC=3,

BD=5,則四邊形OCa的周長為（）

A.4B.6C.8D.16

22.（2024?新疆?中考真題）如圖，拋物線y尤2-4x+6與y軸交于點(diǎn)A,與x軸交于點(diǎn)8,線段CD在拋

物線的對(duì)稱軸上移動(dòng)（點(diǎn)C在點(diǎn)。下方），且CE>=3.當(dāng)AD+3C的值最小時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為.

23.（2024?浙江?中考真題）尺規(guī)作圖問題：

圖1圖2

如圖1,點(diǎn)E是DABCD邊AD上一點(diǎn)（不包含A,,連接CE.用尺規(guī)作A尸〃CE,尸是邊3C上一點(diǎn).

小明：如圖2.以C為圓心，AE長為半徑作弧，交8c于點(diǎn)￡連接AF,則A/〃CE.

小麗：以點(diǎn)A為圓心，CE長為半徑作弧，交BC于點(diǎn)￡連接AF,則A/〃CE.

小明：小麗，你的作法有問題，小麗：哦......我明白了！

（1）證明A尸〃CE；

⑵指出小麗作法中存在的問題.

A考向四三角形的中位線

24.（2024?湖南?中考真題）如圖，在VABC中，點(diǎn)DE分別為邊ABAC的中點(diǎn).下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的

A.DE//BCB.AADE^AABCC.BC=2DED.SAAnDUEi-j=-SA/BIQCL

25.（2024?甘肅蘭州?中考真題）如圖，小張想估測(cè)被池塘隔開的AB兩處景觀之間的距離，他先在A3外

取一點(diǎn)C,然后步測(cè)出AC,3c的中點(diǎn)E,并步測(cè)出DE的長約為18m,由此估測(cè)A,2之間的距離約為

c

C.36mD.54m

26.（2024?浙江?中考真題）如圖，D,E分別是VABC邊A3,AC的中點(diǎn)，連接8E,DE.若

ZAED=ZBEC,DE=2,則班的長為

27.（2024?天津?中考真題）如圖，正方形的邊長為3直,對(duì)角線AC,2。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E在C4的

延長線上，OE=5,連接DE.

（1）線段AE的長為

（2）若F為DE■的中點(diǎn)，則線段AF的長為.

28.（2024?青海?中考真題）綜合與實(shí)踐

順次連接任意一個(gè)四邊形的中點(diǎn)得到一個(gè)新四邊形，我們稱這個(gè)新四邊形為原四邊形的中點(diǎn)四邊形.數(shù)學(xué)

興趣小組通過作圖、測(cè)量，猜想：原四邊形的對(duì)角線對(duì)中點(diǎn)四邊形的形狀有著決定性作用.

以下從對(duì)角線的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系兩個(gè)方面展開探究.

【探究一】

原四邊形對(duì)角線關(guān)系中點(diǎn)四邊形形狀A(yù)

；；

不相等、不垂直平行四邊形

如圖1,在四邊形ABCD中，E、F、G、X分別是各邊的中點(diǎn).

求證：中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形.

證明：回石、F、G、X分別是2B、BC、CD、DA的中點(diǎn)，

SEF,G"分別是VABC和AACD的中位線，

0EF=|AC,GH=^AC(①)

SEF=GH.

同理可得：EH=FG.

團(tuán)中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形.

結(jié)論：任意四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形.

(1)請(qǐng)你補(bǔ)全上述過程中的證明依據(jù)①

【探究二】

從作圖、測(cè)量結(jié)果得出猜想回：原四邊形的對(duì)角線相等時(shí)，中點(diǎn)四邊形是菱形

(2)下面我們結(jié)合圖2來證明猜想回，請(qǐng)你在探究一證明結(jié)論的基礎(chǔ)上，寫出后綾的證明過程.

【探究三】

⑷下面我們結(jié)合圖3來證明猜想回，請(qǐng)你在探究一證明結(jié)論的基礎(chǔ)上，寫出后續(xù)的證明過程.

【歸納總結(jié)】

（5）請(qǐng)你根據(jù)上述探究過程，補(bǔ)全下面的結(jié)論，并在圖4中畫出對(duì)應(yīng)的圖形.

中點(diǎn)四邊形形狀

原四邊形對(duì)角線關(guān)系

③________④________

圖4

結(jié)論：原四邊形對(duì)角線③時(shí)，中點(diǎn)四邊形是④

考點(diǎn)三特殊的平行四邊形

A考向一矩形

29.（2024?遼寧?中考真題）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在AD上，當(dāng)△￡3c是等邊三角形時(shí)，NAEB為

C.60°D.120°

30..（2024?吉林?中考真題）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（T,0）,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,2）以O(shè)AOC

為邊作矩形GHBC,若將矩形繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到矩形OAB'C,則點(diǎn)3,的坐標(biāo)為（）

C.（2,4）D.（4,2）

31.（2024?河北?中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，我們把一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值稱為該點(diǎn)的"特

征值”.如圖，矩形A3CD位于第一象限，其四條邊分別與坐標(biāo)軸平行，則該矩形四個(gè)頂點(diǎn)中"特征值"最小

的是（）

DC

AB

—>

Ox

A.點(diǎn)AB.點(diǎn)8C.點(diǎn)CD.點(diǎn)。

32.（2024?西藏?中考真題）如圖，在RtAABC中，NC=90。，AC=12,BC=5,點(diǎn)尸是邊A3上任意一點(diǎn),

過點(diǎn)P作尸D，AC,PE±BC,垂足分別為點(diǎn)DE,連接DE,則DE的最小值是（）

13601230

A.——B.—C.—D.—

213513

33.（2024?新疆?中考真題）如圖，在正方形ABCD中，若面積S矩形的?！?12,周長C矩形,則

5正方形EBFO+S正方形ROG。

34.（2024?新疆?中考真題）如圖，VABC的中線3D,CE交于點(diǎn)。，點(diǎn)EG分別是OB,OC的中點(diǎn).

⑴求證：四邊形DEFG是平行四邊形；

⑵當(dāng)8。=支時(shí)，求證：DDEFG是矩形.

A考向二菱形

35.（2024?浙江?中考真題）如圖，已知菱形ABCD的面積是24,E,尸分別是菱形ABCD的邊5C,CD的中

點(diǎn)，連結(jié)AE,BF,AE與BF交于點(diǎn)G,則ABEG的面積為（）

36.（2024?海南?中考真題）如圖，菱形ABC￡＞的邊長為2,ZABC=120°,邊A3在數(shù)軸上，將AC繞點(diǎn)A

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)C落在數(shù)軸上的點(diǎn)E處，若點(diǎn)E表示的數(shù)是3,則點(diǎn)A表示的數(shù)是（）

37.（2024?遼寧?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，菱形AO3c的頂點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，頂點(diǎn)

8在直線尸去上，若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是8,為點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）

38.（2024?上海?中考真題）四邊形ABCD為矩形，過A、C作對(duì)角線3D的垂線，過8、。作對(duì)角線AC的垂

線，如果四個(gè)垂線拼成一個(gè)四邊形，那這個(gè)四邊形為（）

A.菱形B.矩形C,直角梯形D.等腰梯形

39.（2024?四川?中考真題）如圖，在菱形ABCD中，AB=2,則菱形A3CD的周長為

AD

40.（2024,廣東?中考真題）如圖，菱形ABC。的面積為24,點(diǎn)E是A3的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是BC上的動(dòng)點(diǎn)若△BEF

的面積為4,則圖中陰影部分的面積為

41.（2024?云南?中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、//分別是各邊的中點(diǎn)，且AB〃CD,

⑴求證：四邊形ABCD是菱形；

⑵若矩形EFG”的周長為22,四邊形ABCD的面積為10,求的長.

A考向三正方形

42.（2024?陜西?中考真題）如圖，正方形CEFG的頂點(diǎn)G在正方形ABC。的邊CO上，AF與DC交于點(diǎn)H,

)

58

A.2B.3C.一D.-

23

43.（2024?重慶?中考真題）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E是8C上一點(diǎn)，點(diǎn)尸是C。延長線

上一點(diǎn)，連接AE,AF,4〃平分NEW.交C￡＞于點(diǎn)M.若BE=DF=1,則DM的長度為（）

Z7

,—I—1乙

A.2B.y/5C.J6D.

44.（2024?廣西中考真題）如圖，邊長為5的正方形ABCDE,F,G,X分別為各邊中點(diǎn)，連接AG,BH,

CE,DF,交點(diǎn)分別為M,N,P,Q,那么四邊形MNP。的面積為（）

A.1B.2C.5D.10

45.（2024?吉林?中考真題）如圖，正方形ABC。的對(duì)角線AC,8。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E是。4的中點(diǎn)，點(diǎn)廠

是OD上一點(diǎn).連接族.若ZFEO=45°,則—的值為.

46.（2024?內(nèi)蒙古?中考真題）如圖，ZACB^ZAED=90°,AC^FE,AB平分NC4E,AB//DF.

（1）求證：四邊形ABDF是平行四邊形；

（2）過點(diǎn)8作3GLAE于點(diǎn)G,若CB=AF,請(qǐng)直接寫出四邊形3GED的形狀.

,新題特訓(xùn),

一、單選題

1.（2024?山西?模擬預(yù)測(cè)）如圖，。是菱形A8CD的對(duì)角線3。的中點(diǎn)，以。為原點(diǎn)，建立如圖平面直角坐

標(biāo)系，若AD〃無軸，AD=8,ZA=60。，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）

\八、,

Vpc

A.（5A/3,5）B.（5>/3,-5）C.（4,2網(wǎng)D.（6,-2J

2.（2024?廣東?模擬預(yù)測(cè)）將一副三角尺在平行四邊形按如圖所示的方式擺放,設(shè)21=30。,則N2的度數(shù)

為（）

A.55°B.65°C,75°D.85°

3.（2024?浙江?模擬預(yù)測(cè)）如圖，等腰梯形ABCD（）

DC

AB

A,既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形

B.是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形

C.是中心對(duì)稱圖形，但不是軸對(duì)稱圖形

D.既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形

4.（2024?湖北?模擬預(yù)測(cè)）類比“趙爽弦圖",可類似的構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由中間的小正六邊形和6

個(gè)全等的直角三角形拼成的一個(gè)大正六邊形,若在大正六邊形內(nèi)部隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自小正六邊形的

概率是（）

5.（2024?廣東?模擬預(yù)測(cè)）如圖，D,E分別是VABC的邊AB,AC的中點(diǎn)，若VADE的周長為6,則VABC

的周長為（）

A

BN---------------------ic

3

A.-B.3C.12D.36

2

6.（2024?安徽?模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E在AD邊上，班平分/ABC,F,G分別是3MCE

的中點(diǎn)，AF=2y/2,DG=y/5,則FG的值為（）

AED

o

A.y/sB.2^/2C.25/3D.3

7.（2024?河北?模擬預(yù)測(cè)）在VABC中，NABC=90。，。是AC的中點(diǎn)，求證

證明：如圖，延長8。至點(diǎn)。，使00=30,連接A￡）,CD.

：.AC=BD=2OB,

BO=-AC.

2

下面是"......"部分被打亂順序的證明過程：①0四邊形ABCD是平行四邊形，?②回乙^^%。；③回Q4=0C,

OB=OD；④El四邊形是矩形，則正確的順序是（）.

A.③①②④B.③②①④C.②③①④D.②①③④

8.（2024?廣東?模擬預(yù)測(cè)）若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的8倍，則該多邊形的邊數(shù)為（）

A.19B.18C.17D.16

9.（2024?山西?模擬預(yù)測(cè)）如圖，將正五邊形紙片ABCDE沿成折疊，得至UABCP點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C,

BC'的延長線交DE于點(diǎn)￡若DF=EF,則4BPC的度數(shù)為（）

B

A.30°B.45°C.60°D.72°

10.（2024?廣東?模擬預(yù)測(cè)）下列說法中，錯(cuò)誤的是（）

A.在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行

B.等角對(duì)等邊

C,四條邊相等的四邊形是正方形

D.圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑

11,（2024?河北?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在QABCD中，ZABC=a,BC>AB,點(diǎn)E、F、G、”分別是

AB、BC、CD、的中點(diǎn)，順次連接E、F、G、H,在“從0。逐漸增大到180。的過程中，四邊形石網(wǎng)汨形

狀的變化依次是（）

A,平行四邊形玲菱形玲平行四邊形

B,平行四邊形玲矩形玲平行四邊形

C.平行四邊形玲菱形玲正方形玲平行四邊形

D.平行四邊形玲矩形玲正方形玲平行四邊形

12.（2024?安徽?模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E,尸分別在邊CD,BC±,且ZE4F=45。，BD

分別交AE,AF于點(diǎn)N,以點(diǎn)A為圓心，48長為半徑畫弧3D.下列結(jié)論：①DE+BF=EF；②

BN2+DM2=MN2；@^AMN^AFE:④9與EF相切；⑤防〃MV.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

B:F0C

A.5個(gè)B.4個(gè)C.3個(gè)D.2個(gè)

二、填空題

13.（2024,上海?模擬預(yù)測(cè)）如圖1是一款可升降籃球架，支架A3,CE,GP的長度固定，A,D,G為立

柱AH上的點(diǎn)，AH_L地面，籃板BC_L地面，GF±AH,AD=BC=0.6^,DH=2.3米，若改變伸縮臂EF

的長度，則A8,CD可繞點(diǎn)A,。旋轉(zhuǎn)來調(diào)整籃筐的高低.如圖2,當(dāng)NGDE=60。時(shí)，可測(cè)得籃筐的固定

點(diǎn)C距離地面為2.9米，貝技架CD的長為米.降低籃筐高度如圖3,連結(jié)成交CD于點(diǎn)0,防平分/ABC,

AB=2OB,此時(shí)籃筐的固定點(diǎn)C離地面的距離為米.

14.（2024?陜西?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形ABCD中，AD=16,AB=IO,所在邊AD上，E尸=8,連接￡B,FC,

則線段EB+R7的最小長度為.

15.（2024?湖南?模擬預(yù)測(cè)）已知四邊形ABCD的對(duì)角線8。垂直平分對(duì)角線AC于點(diǎn)。，要使四邊形ABCD

為菱形，則可添加的條件是（添加一個(gè)條件即可，不添加其他的點(diǎn)和線）.

16.（2024?廣東?模擬預(yù)測(cè)）如圖，將一張長方形紙片ABCD沿防折疊，使點(diǎn)A,8分別落在點(diǎn)4,&的

位置.若ZEFC=65°,則ZAED=.

B'

17.（2024?浙江?一模）如圖，正方形A3。的邊長為2,以4B邊上的動(dòng)點(diǎn)。為圓心，08為半徑作圓，將△AOD

沿。。翻折至AAOD,若。。過AA'。）一邊上的中點(diǎn)，則。。的半徑為.

18.（2024?重慶?一模）如圖，在nABCD中，E為8C邊中點(diǎn).以C為圓心，CD為半徑畫弧，恰好經(jīng)過點(diǎn)A.以

C為圓心，CE為半徑畫弧，與4。相切于點(diǎn)尸.若BC=4,則陰影部分的面積為