專題15四邊形

考情聚焦

課標(biāo)要求考點(diǎn)考向

①了解多邊形的概念及多邊形的頂點(diǎn)、邊、內(nèi)角、外角與對(duì)

多邊形考向一多邊形的內(nèi)角和

角線;探索并掌握多邊形內(nèi)角和與外角和公式。

及其內(nèi)

②理解平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，以

角和考向二多邊形的外角和

及它們之間的關(guān)系;了解四邊形的不穩(wěn)定性。

③探索并證明平行四邊形的性質(zhì)定理:平行四邊形的對(duì)邊相考向一平行四邊形的性質(zhì)

等、對(duì)角相等、對(duì)角線互相平分。探索并證明平行四邊形的

考向二平行四邊形的判定

判定定理:一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形;兩組平行四

考向三平行四邊形的性質(zhì)好判

對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形;對(duì)角線互相平分的四邊形

定綜合

邊形是平行四邊形。

④探究并證明三角形中位線定理?？枷蛩娜切蔚闹形痪€

⑤探索并證明矩形、菱形的性質(zhì)定理:矩形的四個(gè)角都是直

角，對(duì)角線相等;菱形的四條邊相等，對(duì)角線互相垂直。探考向一矩形

特殊的

索并證明矩形、菱形的判定定理:三個(gè)角是直角的四邊形是

平行四

矩形，對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形;四邊相等的四邊形考向二菱形

邊形

是菱形，對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。正方形既是

考向三正方形

矩形，又是菱形;理解矩形、菱形、正方形之間的包含關(guān)系。

真題透視

考點(diǎn)一多邊形及其內(nèi)角和

A考向一多邊形的內(nèi)角和

1.（2024?河北?中考真題）直線/與正六邊形ABCD跖的邊尸分別相交于點(diǎn)M,N,如圖所示，則“+6=

F

A.115°B.120°C.135°D,144°

【答案】B

【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，正多邊形的每個(gè)內(nèi)角，鄰補(bǔ)角，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵.

先求出正六邊形的每個(gè)內(nèi)角為120。，再根據(jù)六邊形MBCDEN的內(nèi)角和為720°即可求解NENM+ZNMB的

度數(shù)，最后根據(jù)鄰補(bǔ)角的意義即可求解.

62X18O

【詳解】解：正六邊形每個(gè)內(nèi)角為：（-）°=12O°I

6

而六邊形MBCDEN的內(nèi)角和也為（6-2）xl8（F=720。，

0ZB+ZC+ZD+ZE+ZENM+ZNMB=720°,

0NENM+ZNMB=720°-4x120°=240°,

I3/7+ZEW+?+ZWB=180OX2=360O,

0?+/7=360°-2400=120°,

故選：B.

2.（2024?云南?中考真題）一個(gè)七邊形的內(nèi)角和等于（）

A.540°B.900°C.980°D,1080°

【答案】B

【分析】本題考查多邊形的內(nèi)角和，根據(jù)〃邊形的內(nèi)角和為（"-2）.180。求解，即可解題.

【詳解】解：一個(gè)七邊形的內(nèi)角和等于（7-2）xl8（F=900。，

故選：B.

3.（2024?吉林長春?中考真題）在剪紙活動(dòng)中，小花同學(xué)想用一張矩形紙片剪出一個(gè)正五邊形，其中正五

邊形的一條邊與矩形的邊重合，如圖所示，則的大小為（）

A.54°B.60°C.70D.72

【答案】D

【分析】本題考查了多邊形內(nèi)角與外角，正多邊形的內(nèi)角和，熟練掌握正多邊形的內(nèi)角和公式是解題的關(guān)

鍵.

根據(jù)正五邊形的內(nèi)角和公式和鄰補(bǔ)角的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】解：4=180。-仃-2；180。=72。

故選：D.

4.（2024?山東青島?中考真題）為籌備運(yùn)動(dòng)會(huì)，小松制作了如圖所示的宣傳牌，在正五邊形ABCDE和正方

形CDFG中，CF,OG的延長線分別交AE,A3于點(diǎn)M,N,則ZRWE的度數(shù)是（）

A.90°B.99°C.108°D,135°

【答案】B

【分析】本題考查的是正多邊形內(nèi)角和問題，熟記正多邊形的內(nèi)角的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)正五邊形的內(nèi)角的計(jì)算方法求出NCDE、NE、根據(jù)正方形的性質(zhì)分別求出NCD尸、ZCFD,根據(jù)四

邊形內(nèi)角和等于360。計(jì)算即可.

【詳解】解：回五邊形ABCDE是正五邊形，

回"—八”幽=1。8。

回四邊形CDPG為正方形,

0ZCDF=90°,ZCFD=45°,

0ZFDE=108°-90°=18°,〃引0=180。-45。=135。,

0ZFME=360°-18°-135°-108°=99°,

故選：B.

5.（2024?山西?中考真題）如圖是某一水塘邊的警示牌，牌面是五邊形ABCDE,其中

ZB=ZE=102°,ZC=ZD=110°,則這個(gè)五邊形的內(nèi)角—A的度數(shù)為。.

A

【答案】116

【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

先求出五邊形的內(nèi)角和，即可求解.

【詳解】解:五邊形內(nèi)角和為：（5-2）x180°=540°,

0ZA+ZB+ZC+ZZ）+ZE=54O°,

0ZB=ZE=102°,ZC=Z￡>=110°,

mZE=540°-102°-102°-110°-110°=116°,

故答案為：116.

A考向二多邊形的外角和

6.（2024?西藏?中考真題）已知正多邊形的一個(gè)外角為60。，則這個(gè)正多邊形的內(nèi)角和為（）

A.900°B.720°C.540°D.360°

【答案】B

【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和外角，先求出正多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式計(jì)算即可

得解，根據(jù)多邊形的外角求出邊數(shù)是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：回正多邊形的一個(gè)外角為60。，

回正多邊形的邊數(shù)為360°+60。=6,

團(tuán)這個(gè)正多邊形的內(nèi)角和為180。x（6-2）=720°,

故選：B.

7.（2024?山東?中考真題）如圖，已知A3,BC,CD是正“邊形的三條邊，在同一平面內(nèi)，以3C為邊在

該正，邊形的外部作正方形3cMN.若NA5N=120。，貝什的值為（）

NM

A.12B.10C.8D.6

【答案】A

【分析】本題考查的是正多邊形的性質(zhì)，正多邊形的外角和，先求解正多邊形的1個(gè)內(nèi)角度數(shù)，得到正多

邊形的1個(gè)外角度數(shù)，再結(jié)合外角和可得答案.

【詳解】解：回正方形3CMN,

0ZA?C=9O°,

0ZABAf=12O°,

0ZABC=360°-90°-120°=150°,

回正〃邊形的一個(gè)外角為180。-150。=30。，

回”的值為36第0°=12；

故選A

8.（2024?湖南?中考真題）下列命題中，正確的是（）

A,兩點(diǎn)之間，線段最短B.菱形的對(duì)角線相等

C.正五邊形的外角和為720。D.直角三角形是軸對(duì)稱圖形

【答案】A

【分析】本題考查了命題與定理的知識(shí)，多邊形外角性質(zhì)，菱形性質(zhì)及軸對(duì)稱圖形的特點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是

掌握這些基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn).

【詳解】解：A、兩點(diǎn)之間，線段最短，正確，是真命題，符合題意；

B、菱形的對(duì)角線互相垂直，不一定相等，選項(xiàng)錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；

C、正五邊形的外角和為360。，選項(xiàng)錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；

D、直角三角形不一定是軸對(duì)稱圖形，只有等腰直角三角形是軸對(duì)稱圖形，選項(xiàng)錯(cuò)誤，是假命題，不符合題

?y*7~.

/

故選：A.

9.（2024?青海?中考真題）正十邊形一個(gè)外角的度數(shù)是.

【答案】36。/36度

【分析】本題考查正多邊形的外角.根據(jù)正W多邊形的外角公式”360°求解即可.

n

【詳解】解：正十邊形的一個(gè)外角的大小是3毛60°-=36。，

故答案為：36°.

10.（2010?江蘇徐州?中考真題）若正多邊形的一個(gè)外角是45。，則該正多邊形的邊數(shù)是.

【答案】8

【分析】根據(jù)多邊形外角和是360度，正多邊形的各個(gè)內(nèi)角相等，各個(gè)外角也相等，直接用360。+45?？汕?/p>

得邊數(shù).

【詳解】解：多邊形外角和是360度，正多邊形的一個(gè)外角是45。，

.1360°-45°=8

即該正多邊形的邊數(shù)是8,

故答案為：8.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形外角和以及多邊形的邊數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握正多邊形的各個(gè)內(nèi)角相等,

各個(gè)外角也相等.

考點(diǎn)二平行四邊形

A考向一平行四邊形的性質(zhì)

11.（2024?海南?中考真題）如圖，在ABC。中，AB=8,以點(diǎn)。為圓心作弧，交A3于點(diǎn)M、N,分別以

點(diǎn)M、N為圓心,大于工為半徑作弧,兩弧交于點(diǎn)尸,作直線交A3于點(diǎn)E,若NBCE=NDCE,DE=4,

2

則四邊形BCDE的周長是（）

A.22B.21C.20D.18

【答案】A

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，尺規(guī)作圖，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理.利

用勾股定理求得CE的長，再證明=作3GLCE于點(diǎn)G,求得CG=EG=2百，利用

tanZDCE=tanZBCE,求得BG=&,再利用勾股定理求得3E=3C=5,據(jù)此求解即可.

【詳解】解：0ABCD,AB=8,

SCD=AB=8,

由作圖知。ElAB,

0ABCD,

^AB//CD,

旦DE上CD,

EIDE=4,

團(tuán)AB〃CD,

⑦/DCE=/BEC,

國/BCE=/DCE,

⑦ZBCE=ZBEC,

中BE=BC,

作5GLCE于點(diǎn)G,

貝IJCG二石6=工。石=26,

2

⑦NDCE=NBCE,

團(tuán)tan/DCE=tanZBCE,

DEBG4BG

旨后即nnWK

0BG=V5,

2

國BE=BC=J(A/5)+僅向2=5,

回四邊形3cDE的周長是4+8+5+5=22,

故選：A.

12.（2024?貴州?中考真題）如圖，ABCD的對(duì)角線AC與8。相交于點(diǎn)。，則下列結(jié)論一定正確的是（）

A.AB=BCB.AD=BCC.OA=OBD.AC_LBD

【答案】B

【分析】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，掌握平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，對(duì)角線互相平分是解題的

關(guān)鍵.

【詳解】解：回ABCD是平行四邊形，

SAB=CD,AD=BC,AO=OC,BO=OD,

故選B.

13.（2024?河南?中考真題）如圖，在ABCD中，對(duì)角線AC,3D相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E為。C的中點(diǎn)，EF//AB

交8c于點(diǎn)廠.若AB=4,則族的長為（）

A.-B.1C.-D.2

23

【答案】B

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，利用平行四邊形的性質(zhì)、線段

中點(diǎn)定義可得出CE=LAC,證明利用相似三角形的性質(zhì)求解即可.

4

【詳解】解回回四邊形ABCD是平行四邊形，

SOC=-AC,

2

團(tuán)點(diǎn)E為OC的中點(diǎn)，

^CE=-OC=-AC,

24

^\EF//AB,

0ACEFs^CAB,

EFCEEF1

回一=一,即Bn一=-,

ABAC44

EIEF=L

故選：B.

14.（2024?山東?中考真題）如圖，點(diǎn)E為ABCD的對(duì)角線AC上一點(diǎn)，AC=5,CE=1,連接。石并延長

至點(diǎn)F,使得EF=DE,連接班則跳"為（）

DC

AB

57

A.-B.3C.-D.4

22

【答案】B

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，平行證明相似等知識(shí)點(diǎn)，正確作輔助

線是解題關(guān)鍵.

CFDFDC

解法一：延長。尸和A瓦交于G點(diǎn)，先證一。ECs,G4石，得到當(dāng)=冬=臉，再證力G/S_AGE,得

AEGEAG

到B爺F=SFG=j3即可求得結(jié)果；

AEECr4

解法二：作FH〃.交AC于點(diǎn)H,證明出..COE式AHFE(AAS),得到HE=CE=LFH=CD,然后證明

出四邊形ABEH是平行四邊形，得到砥=AH=AC-CH=3.

【詳解】解：解法一：延長。方和A5,交于G點(diǎn)，

團(tuán)四邊形ABCD是平行四邊形,

^DC//AB,DC=AB^\\DC//AG,

團(tuán)DECS.GAE

CEDEDC

0一=

AE~GE~~AG

團(tuán)AC=5,CE=1,

BAE=AC-CE=5-1=4,

Ip|CE-DE-DC——1

AE~GE~AG~4

DEDE1

又國即=

DE,~GE~EF+FG~^

EF1

回一=—

FG3，

DCDC1

團(tuán)——=———DC=AB,

AGAB+BG4'

DC1

團(tuán)——=—

BG3’

EFDC1

團(tuán)——=---=一

FGBG3'

BGFG3

回一=

AGEG4

^\AE//BF,

團(tuán)一BGFs-AGE、

BFFG3

團(tuán)---=----=一

AEEG4

團(tuán)AE=4,

國BF=3.

解法二：作陽〃他交AC于點(diǎn)X

0NCDE=NHFE,ADCE=AFHE,

又聞EF=DE,

0CDE空HFE（AAS）,

0HE=CE=1,FH=CD,

回四邊形ABCD是平行四邊形，

0CD//AB,CD=AB,

^HF//AB,HF=AB,

El四邊形ABFH是平行四邊形，

SBF=AH=AC-CH=3.

故選：B.

15.（2024?浙江?中考真題）如圖，在ABCD中，AC,3D相交于點(diǎn)。，AC=2,BD=26.過點(diǎn)A作AEL8C

的垂線交3c于點(diǎn)E,記BE長為無，2C長為y.當(dāng)x,y的值發(fā)生變化時(shí)，下列代數(shù)式的值不變的是（）

A.x+yB.x-yc.孫D.x2+y2

【答案】C

【分析】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，過點(diǎn)。作8±BC

交BC的延長線于點(diǎn)F,證明，ABE空DCF（AAS），得到AE=DF,BE=CF=x,由勾股定理可得，

A￡2=4-（y-尤）1。尸=12-（＞+尤），貝Ij4—（y-x）2=12-（y+x）2,整理后即可得到答案.

【詳解】解：過點(diǎn)。作8±BC交BC的延長線于點(diǎn)尸，

I3AE_L8C的垂線交2C于點(diǎn)E,

0ZAEB=ZDFC=90°,

回四邊形ABCD是平行四邊形，

^AB=DC,AB//CD,

SZABE=ZDCF:

團(tuán)ABE會(huì)DCF(AAS)

E]AE=DR,BE=b=x,

由勾股定理可得，AE2=AC2-CE2=AC2-(BC-BE?=4-(y-x)2,

DF2=BD2-BF2=BD2-(BC+CF)2=BD2-(BC+BE)2=12-(y+x)2,

團(tuán)4-(y-x)~=12-(y+x)-,

IB(y+x)2-(y-x)2=8

Elx2+2xy+y2-y2+2孫一元？=8

即4孫=8,解得沖=2,

團(tuán)當(dāng)x,y的值發(fā)生變化時(shí)，代數(shù)式的值不變的是孫，

故選：C

A考向二平行四邊形的判定

16.（2024?廣西?中考真題）如圖，兩張寬度均為3cm的紙條交叉疊放在一起，交叉形成的銳角為60。，則

重合部分構(gòu)成的四邊形ABCD的周長為cm.

【答案】8右

【分析】本題考查了平行四邊形的判定，菱形的判定和性質(zhì)，菱形的周長,過點(diǎn)A作于ANLCD

于N,由題意易得四邊形ABCD是平行四邊形，進(jìn)而由平行四邊形的面積可得AM=AN,即可得到四邊形

ABCD是菱形，再解Rt^ADN可得%=2gcm,即可求解，得出四邊形ABCZJ是菱形是解題的

sin60°

關(guān)鍵.

【詳解】解：過點(diǎn)A作AM_LBC于M,ANLCD于N,則NAA?=90。,

國兩張紙條的對(duì)邊平行，

SiAB//CD,AD//BC,

回四邊形ABCD是平行四邊形，

又回兩張紙條的寬度相等，

^AM=AN,

團(tuán)sABCD=BCAM=CDAN,

回BC=CD,

回四邊形ABCD是菱形，

在Rtz2\ADN中，ZADN=60°,AN=3cm,

.八AN3,rr

AD=---------==2。3cm

團(tuán)sin60°V3,

回四邊形A8co的周長為2A/5x4=86cm,

故答案為：8A/3.

17.(2024?河北?中考真題)下面是嘉嘉作業(yè)本上的一道習(xí)題及解答過程：

已知：如圖，VABC中，AB^AC,AE平分VABC的外角NC4N,點(diǎn)/是AC的中點(diǎn)，連接并延長交AE

于點(diǎn)D,連接CD.

求證：四邊形ABCD是平行四邊形.

證明：13AB=AC,0ZABC=Z3.

^ZCAN=ZABC+Z3,ZC47V=Z1+Z2,Z1=Z2,

回①.

X0Z4=Z5,MA=MC,

HAMADAAAfCB(②).

^\MD=MB.回四邊形ABCD是平行四邊形.

若以上解答過程正確，①，②應(yīng)分別為（）

A.Zl=Z3,AASB.Zl=Z3,ASA

C./2=/3,AASD./2=/3,ASA

【答案】D

【分析】本題考查平行四邊形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)等邊對(duì)等角得/ABC=N3,根據(jù)三

角形外角的性質(zhì)及角平分線的定義可得/2=/3,證明△MAD/△MCB,得到上=再結(jié)合中點(diǎn)的

定義得出M4=MC,即可得證.解題的關(guān)鍵是掌握：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

【詳解】證明：SAB=AC,BZABC=Z3.

SZCAN=ZABC+Z3,ZCAN=Z1+Z2,Z1=Z2,

團(tuán)①/2=N3.

X0Z4=Z5,MA=MC,

13AMAD^LMCB（②ASA）.

^MD=MB.回四邊形ABCD是平行四邊形.

故選：D.

18.（2024?四川樂山?中考真題）下列條件中，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）

A.AB//CD,AD//BCB.AB=CD,AD=BC

C.OA=OC,OB=ODD.AB//CD,AD=BC

【答案】D

【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理分別進(jìn)行分析即可.

【詳解】解：A、^\AB//CD,AD//BC,

日四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項(xiàng)不合題意；

B、^\AB=CD,AD=BC,

團(tuán)四邊形A5C。是平行四邊形，故此選項(xiàng)不合題意；

C、⑦OA=OC,OB=OD,

回四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項(xiàng)不合題意；

D.SiAB//CD,AD=BC,不能得出四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題主要考查平行四邊形的判定，解題的關(guān)鍵是熟知平行四邊形的判定定理.

19.（2024?湖南?中考真題）如圖，在四邊形A3CD中，AB//CD,點(diǎn)E在邊AB上，一請(qǐng)從"①=；

@AE=BE,AE=CD"這兩組條件中任選一組作為已知條件，填在橫線上（填序號(hào)），再解決下列問題：

⑴求證：四邊形BCDE為平行四邊形；

{2}^ADJ.AB,AD=8,BC=10,求線段AE的長.

【答案】（1）①或②，證明見解析；

（2）6

【分析】題目主要考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理解三角形，理解題意，熟練掌握平行四邊形的

判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

（1）選擇①或②，利用平行四邊形的判定證明即可；

（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出OE=3C=10,再由勾股定理即可求解.

【詳解】（1）解：選擇①，

證明：^ZB=ZAED,

團(tuán)DE/ICB,

13AB〃CD,

團(tuán)四邊形BCDE為平行四邊形；

選擇②，

證明：^\AE=BE,AE=CD,

回CD-BE,

團(tuán)AB〃CD,

回四邊形BCDE為平行四邊形；

（2）解：由⑴得OE=3C=10,

EIAD^AB,AD=8,

^AE=ylDE2-AD2=6-

A考向三平行四邊形的性質(zhì)好判定綜合

20.（2024?浙江中考真題）如圖，在正方形ABCD中，E,H,F,G分別是邊AB,BC,CD,D4上的點(diǎn),

_2

且A8=2,￡F=>/5,G,〃分別在邊AD,BC±,且GH與所交于點(diǎn)。，^ZGOF=a,若tana=§,則

GH=()

“3屈D2A/6503A/65n2765

5577

【答案】D

【分析】如圖，過點(diǎn)2作BP〃跖交0c于點(diǎn)P,作〃//G交A￡＞于點(diǎn)M,延長BP、A。交于點(diǎn)M,

MN2

過點(diǎn)加作也，3尸，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NG0F=NMQ9=N“BP=c,從而得出tana==J=w，設(shè)

BN3

MN=2x,BN=3x,則證明四邊形是平行四邊形，得出BP=EF=&,在&3CP中，

MN1

勾股定理算出CP=L得出OP=1,證明,MDPW3CP,得出DK=BC=2,AK=4,根據(jù)==一,得

MK，5

出以=2氐,41/=4-2底;，在M中，列方程求解即可.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)3作叱〃石F交。。于點(diǎn)尸，作物/〃〃G交AD于點(diǎn)延長的、AD交于點(diǎn)K,

過點(diǎn)M作用族，

aNGOF=NMQF=ZMBP=a,

MN2

團(tuán)tan。==—,

BN3

設(shè)MN=2x,BN=3x,貝IJBM=(MN?+BN°=屈x，

團(tuán)四邊形AB。是正方形，

fHAB//DC,AD//BC,BC=CD=AD=AB=2,

0BP〃EF,BE〃FP、

回四邊形5EFP是平行四邊形，

國BP=EF=B

回在m5cp中，CP=ylBP2-BC2=^(75)2-22=1,

@DP=DC—CP=1,即。P=CP,

團(tuán)AKBC,

團(tuán)NK=/PBC,ZKDP=ZC,

團(tuán)KDP^BCP(AAS),

@DK=BC=2,AK=4,

.iMN.PC1

團(tuán)sinNK=-----=sin/PBC==—

MKBP卮

團(tuán)MK=2后,AM=4—2后，

團(tuán)在MABM中，（4—2氐『+22=（/%）［

團(tuán)解得：x=2A/5或x=,

7

當(dāng)x=26時(shí)，4一2底＜0,

向2君

7

BBM=^3x=^^--

7

故選：D.

【點(diǎn)睛】該題主要考查了解直角三角形，勾股定理，二次根式的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)

和判定，平行線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，解一元二次方程等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知

識(shí)點(diǎn)，正確做出輔助線.

21.（2024?遼寧?中考真題）如圖，ABCD的對(duì)角線AC,8。相交于點(diǎn)。，DE//AC,CE//BD,若AC=3,

BD=5,則四邊形OCED的周長為（）

C.8D.16

【答案】C

【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

由四邊形ABCD是平行四邊形得到00=2.5,（9C=1.5,再證明四邊形OCED是平行四邊形，貝I]

OE=0C=1.5,CE=0O=2.5,即可求解周長.

【詳解】解：回四邊形ABCD是平行四邊形，

BDO=-DB=2.5,0C=-AC=1.5,

22

SDE//AC,CE//BD,

日四邊形OCED是平行四邊形，

DE=OC=1.5,CE=OD=2.5,

團(tuán)周長為：2x（1.5+2.5）=8,

故選：C.

22.（2024?新疆?中考真題）如圖，拋物線>=；元2-4x+6與y軸交于點(diǎn)A,與x軸交于點(diǎn)2,線段CD在拋

物線的對(duì)稱軸上移動(dòng)（點(diǎn)C在點(diǎn)。下方），且CD=3.當(dāng)AD+5C的值最小時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為.

【答案】（4,1）

【分析】在y軸上取點(diǎn)片（0,3）,證明四邊形MCD是平行四邊形，得出AD=CE,利用拋物線的對(duì)稱性得

出BC=CF,貝IJAD+BC=CE+CFWEF,當(dāng)E、C、尸三點(diǎn)共線時(shí)，AD+BC最小，利用待定系數(shù)法求出直

線所解析式，然后把x=4代入，即可求出C的坐標(biāo).

【詳解】解：y=|x2-4x+6=1（x-4）2-2,

回對(duì)稱軸為x=4,

如圖，設(shè)拋物線與x軸另一個(gè)交點(diǎn)為￡

0A（O,6）,

當(dāng)y=0時(shí)，o=J_f-4》+6,

2

解得占=2,馬=6,

05（2,0）,歹（6,0）,

在y軸上取點(diǎn)“（0,3）,連接CE,CF,EF,

團(tuán)AE=3=CD,

團(tuán)CD〃AE,

回四邊形AECD是平行四邊形，

團(tuán)AD=CE,

回拋物線對(duì)稱軸為x=4,

SBC=CF,

BAD+BC=CE+CF>EF,

當(dāng)E、C、尸三點(diǎn)共線時(shí)，AD+3c最小，

設(shè)直線EF解析式為、=履+6,

t\6k=+3b=Q,

k=--

解得2,

b=3

1c

=--x+3,

當(dāng)x=4時(shí)，y=-1x4+3=l,

團(tuán)當(dāng)AD+3c最小時(shí)，C的坐標(biāo)為（4,1）,

故答案為：（4,1）.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，兩點(diǎn)之

間線段最短等知識(shí)，明確題意，添加合適輔助線，構(gòu)造平行四邊形是解題的關(guān)鍵.

23.（2024?浙江?中考真題）尺規(guī)作圖問題：

如圖1,點(diǎn)E是ABCD邊AD上一點(diǎn)（不包含A,。）,連接CE.用尺規(guī)作A/〃CE,尸是邊8c上一點(diǎn).

小明：如圖2.以C為圓心，AE長為半徑作弧，交于點(diǎn)￡連接AF,則A尸〃CE.

小麗：以點(diǎn)A為圓心，CE長為半徑作弧，交BC于點(diǎn)￡連接AF,則AF〃CE.

小明：小麗，你的作法有問題，小麗：哦……我明白了！

（1）證明A尸〃CE；

（2）指出小麗作法中存在的問題.

【答案】⑴見詳解

⑵以點(diǎn)A為圓心，CE長為半徑作弧，與3C可能有兩個(gè)交點(diǎn)，故存在問題

【分析】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，

（1）根據(jù)小明的作圖方法證明即可；

（2）以點(diǎn)A為圓心、，CE長為半徑作弧，與2C可能有兩個(gè)交點(diǎn)，據(jù)此作答即可.

【詳解】⑴0ABCD,

^AD//BC,

又根據(jù)作圖可知：AE=CF,

回四邊形AEC尸是平行四邊形，

0AFEC；

（2）原因：以點(diǎn)4為圓心，CE長為半徑作弧，與8c可能有兩個(gè)交點(diǎn)，

故無法確定廠的位置，

故小麗的作法存在問題.

A考向四三角形的中位線

24.（2024?湖南?中考真題）如圖，在VABC中，點(diǎn)DE分別為邊AB,AC的中點(diǎn).下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的

是（）

A.DE//BCB.AADE^AABCC.BC=2DED.SAr,F=-SARC

【答案】D

【分析】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，由三角形中位線性質(zhì)可判斷A、C；

由相似三角形的判定和性質(zhì)可判斷B、D,掌握三角形中位線的性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

【詳解】解：回點(diǎn)DE分別為邊AB,AC的中點(diǎn)，

SDE//BC,BC=2DE,故A、C正確；

SDE//BC,

^AADE^AABC,故B正確；

SAADE^AABC,

S4ABe"12；4

回SADE=ZS.^BC>故D錯(cuò)誤；

故選：D.

25.(2024?甘肅蘭州?中考真題)如圖，小張想估測(cè)被池塘隔開的A,8兩處景觀之間的距離，他先在A3外

取一點(diǎn)C,然后步測(cè)出AC,3c的中點(diǎn)。，￡,并步測(cè)出。E的長約為18m,由此估測(cè)A,8之間的距離約為

()

C.36mD.54m

【答案】C

【分析】本題考查三角形的中位線的實(shí)際應(yīng)用，由題意，易得。E為VABC的中位線，根據(jù)三角形的中位線

定理，即可得出結(jié)果.

【詳解】解：團(tuán)點(diǎn)。E,分別為AC,BC的中點(diǎn)，

EIOE為VA3C的中位線，

回AB=2DE=36m；

故選：C.

26.（2024?浙江?中考真題）如圖，D,E分別是VABC邊A3,AC的中點(diǎn)，連接BE,DE.若

ZAED=/BEC,DE=2,則BE的長為

【分析】本題主要考查三角形中位線定理和等腰三角形的判定，由三角形中位線定理得

DE//BC,BC=2DE=4,得出NC=NAED=NBEC,得出BE=BC=4

【詳解】解：回。，E分別是VA3C邊AB,AC的中點(diǎn)，

回DE是VA3C的中位線，

SIDE//BC,BC=2DE=4,

^ZAED=ZC,

回NAED=NBEC,

S1ZC=ZBEC,

^BE=BC=4,

故答案為：4

27.（2024?天津?中考真題）如圖，正方形MCD的邊長為3直,對(duì)角線AC,2。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E在C4的

延長線上，OE=5,連接DE.

（1）線段AE的長為

（2）若尸為DE■的中點(diǎn)，則線段AF的長為

【答案】24M加

【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，中位線定理，正確添加輔助線、熟練運(yùn)用中位線定理是解題的關(guān)鍵；

（1）運(yùn)用正方形性質(zhì)對(duì)角線互相平分、相等且垂直，即可求解,

（2）作輔助線，構(gòu)造中位線求解即可.

【詳解】（1）四邊形ABCD是正方形，

:.OA=OC=OD=OB,ZDOC=90°

???在R-DOC中，0加+OC2=DC2,

DC=3y/2,

;.OD=OC=OA=OB=3,

OE=5

???AE=OE-OA=5-3=2；

（2）延長DA到點(diǎn)G,使AG=/1D,連接EG

由E點(diǎn)向AG作垂線，垂足為H

團(tuán)尸為DE的中點(diǎn)，A為GD的中點(diǎn)，

團(tuán)"為ADGE的中位線，

在RtZXE4H中，ZEAH=ZDAC=45°,

:.AH=EH

AH2+EH2=AE2,

AH=EH=6

:.GH=AG-AH=3或-血=2血

在RtZ\￡HG中，:.EG2=EH2+GH2=2+S=10,

EG=710

AF為ADGE的中位線，

“1”M.

..AF=—EG=------,

22

故答案為：2；巫.

2

28.（2024?青海?中考真題）綜合與實(shí)踐

順次連接任意一個(gè)四邊形的中點(diǎn)得到一個(gè)新四邊形，我們稱這個(gè)新四邊形為原四邊形的中點(diǎn)四邊形.數(shù)學(xué)

興趣小組通過作圖、測(cè)量，猜想：原四邊形的對(duì)角線對(duì)中點(diǎn)四邊形的形狀有著決定性作用.

以下從對(duì)角線的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系兩個(gè)方面展開探究.

【探究一】

求證：中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形.

證明：SE、F、G、X分別是2B、BC、CD,D4的中點(diǎn),

HEFsG”分別是VABC和ACD的中位線，

0EF=|AC,GH=^AC(①)

?EF=GH.

同理可得：EH=FG.

國中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形.

結(jié)論：任意四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形.

(1)請(qǐng)你補(bǔ)全上述過程中的證明依據(jù)①

【探究二】

原四邊形對(duì)角線關(guān)系中點(diǎn)四邊形形狀

不相等、不垂直平行四邊形

AC=BD菱形

F___?一…i…一

C圖2

從作圖、測(cè)量結(jié)果得出猜想回：原四邊形的對(duì)角線相等時(shí)，中點(diǎn)四邊形是菱形.

(2)下面我們結(jié)合圖2來證明猜想回，請(qǐng)你在探究一證明結(jié)論的基礎(chǔ)上，寫出后續(xù)的證明過程.

【探究三】

原四邊形對(duì)角線關(guān)系中點(diǎn)四邊形形狀

不相等、不垂直平行四邊形￡

y

Q]D

<-

[F---J

ACJ.BD②________

圖3

（3）從作圖、測(cè)量結(jié)果得出猜想回：原四邊形對(duì)角線垂直時(shí)，中點(diǎn)四邊形是②.

⑷下面我們結(jié)合圖3來證明猜想固請(qǐng)你在探究一證明結(jié)論的基礎(chǔ)上，寫出后綾的證明過程.

【歸納總結(jié)】

（5）請(qǐng)你根據(jù)上述探究過程，補(bǔ)全下面的結(jié)論，并在圖4中畫出對(duì)應(yīng)的圖形.

中點(diǎn)四邊形形狀

原四邊形對(duì)角線關(guān)系

③___________④________

結(jié)論：原四邊形對(duì)角線③.時(shí),中點(diǎn)四邊形是④.

【答案】（1）①中位線定理

（2）證明見解析

⑶②矩形

（4）證明見解析

（5）補(bǔ)圖見解析；@AC1BDS.AC=BD；④正方形

【分析】本題考查了三角形中位線定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性

質(zhì)等知識(shí)

⑴利用三角形中位線定理即可解決問題；

（2）根據(jù)三角形中位線定理,菱形判定定理即可解決問題；

（3）根據(jù)三角形中位線定理，矩形判定定理即可解決問題；

（4）根據(jù)三角形中位線定理，矩形判定定理即可解決問題；

（5）根據(jù)三角形中位線定理，正方形判定定理即可解決問題.

【詳解】（1）①證明依據(jù)是：中位線定理；

（2）證明：回E、F、G、H分別是AB、BC、CD、ZM的中點(diǎn),

團(tuán)EF、分別是VABC和ACD的中位線，

SEF=-AC,GH=-AC

22

0EF=GH.

同理可得：EH=FG.

SAC=BD

包EF=GH=EH=FG

團(tuán)中點(diǎn)四邊形EFGH是菱形.

⑶②矩形；

故答案為：矩形

（4）證明回E、F、G、〃分別是Afi、BC、CD、D4的中點(diǎn),

EIEF、GH分別是VABC和ACD的中位線，

I3EF//AC,GH//AC,

^EF//GH.

同理可得：EH//FG.

^ACIBD

團(tuán)ZAOD=ZEFG=ZFEH=ZEHG=90°

回中點(diǎn)四邊形EFGH是矩形.

（5）證明：如圖4,回E、RG、X分別是AB、BC、CD、ZM的中點(diǎn),

國EF、GH分別是VABC和ACE＞的中位線，

0EF=-AC,GH=-AC

22

團(tuán)EF=GH.

同理可得：EH=FG.

SAC=BD

0EF=GH=EH=FG

團(tuán)中點(diǎn)四邊形EFGH是菱形.

^AC.LBD

由（4）可知ZAOD=/EFG=/FEH=NEHG=90。

團(tuán)菱形EFG”是正方形.

故答案為：③AC1BO且AC=BO；④正方形

C

圖4

考點(diǎn)三特殊的平行四邊形

A考向一矩形

29.（2024?遼寧?中考真題）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在AD上，當(dāng)EBC是等邊三角形時(shí)，NAEB為

A.30°B.45°C.60°D.120°

【答案】C

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

由矩形A3CL）得到AD〃3C,繼而得到ZA￡B=NEBC,而.￡BC是等邊三角形，因此得到

ZAEB=ZEBC=6O°.

【詳解】解：回四邊形ABCD是矩形，

0AD/7BC,

SZAEB=ZEBC,

0EBC是等邊三角形，

0Z￡BC=6O°,

0ZAEB=6O°,

故選：C.

30..（2024?吉林?中考真題）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（TO）,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,2）以O(shè)AOC

為邊作矩形0RC,若將矩形Q4BC繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到矩形。42'C',則點(diǎn)夕的坐標(biāo)為（）

抄

A-_4

A.（口-2）B.（-4,2）C.（2,4）D.（4,2）

【答案】C

【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化一旋轉(zhuǎn)，矩形的性質(zhì)等等，先根據(jù)題意得到OA=4,OC=2,再由

矩形的性質(zhì)可得AB=OC=2,NABC=90。，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得。4，=OA=4,AB'=AB=2,ZOA'B'=90°,

據(jù)此可得答案.

【詳解】解：回點(diǎn)A的坐標(biāo)為（T,0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,2）,

EIOA=4,OC=2,

回四邊形（MBC是矩形，

0AB=OC=2,ZABC=90°t

團(tuán)將矩形（MBC繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到矩形OAB'C,

^OA'=OA=4,A3'=AB=2,Nft4'?=90°,

E]A'B'_Ly軸，

團(tuán)點(diǎn)3'的坐標(biāo)為（2,4）,

故選：C.

31,（2024?河北?中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，我們把一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值稱為該點(diǎn)的"特

征值”.如圖，矩形ABCD位于第一象限，其四條邊分別與坐標(biāo)軸平行，則該矩形四個(gè)頂點(diǎn)中"特征值"最小

A.點(diǎn)AB.點(diǎn)8C.點(diǎn)CD.點(diǎn)。

【答案】B

【分析】本題考查的是矩形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，分式的值的大小比較，設(shè)A（a,b）,AB=m,AD=n,可

得。（a,>+〃），B（a+m,b）,C（a+m,b+n）,再結(jié)合新定義與分式的值的大小比較即可得到答案.

【詳解】解：設(shè)A（a,b）,AB=m,AD=n,

團(tuán)矩形ABC。，

0AD—BC=n,AB=CD=m,

0D（a,/?+M）,B{<a+m,b）,C[^a+m,b+n）,

bbb+n-r-bb+n

0------<-<------,而-----<-----,

aaa+ma+m

團(tuán)該矩形四個(gè)頂點(diǎn)中"特征值"最小的是點(diǎn)B；

故選：B.

32.（2024?西藏?中考真題）如圖，在RtzMBC中，ZC=90°,AC=12,BC=5,點(diǎn)尸是邊A3上任意一點(diǎn)，

過點(diǎn)尸作PDLAC,PELBC,垂足分別為點(diǎn)。，E,連接。E,則DE的最小值是（）

【答案】B

【分析】本題考查了勾股定理的運(yùn)用、矩形的判定和性質(zhì)以及直角三角形的面積的不同求法，題目難度不

大，設(shè)計(jì)很新穎，解題的關(guān)鍵是求DE的最小值轉(zhuǎn)化為其相等線段CP的最小值.連接CP,根據(jù)矩形的性質(zhì)

可知：DE=CP,當(dāng)DE最小時(shí)，則CP最小，根據(jù)垂線段最短可知當(dāng)CPLAB時(shí)，則CP最小，再根據(jù)三角

形的面積為定值即可求出CP的長.

【詳解】解：Rt^ABC中，NC=90。，AC=12,BC=5,

：.AB=>JAC2+BC2=13

連接CP,如圖所示：

A

EIP￡>_LAC于點(diǎn)D,PELCB于點(diǎn)E,ZACB=90°,

0ZPDC=APEC=AACB=90°,

四邊形OPEC是矩形，

:.DE=CP,

當(dāng)DE最小時(shí)，則CP最小，根據(jù)垂線段最短可知當(dāng)CP_LAS時(shí)，則CP最小，

團(tuán)此時(shí)DE=CP==2=K.

1313

故選：B.

33.(2024?新疆?中考真題)如圖，在正方形ABCD中，若面積S矩形的由=12,周長C矩形=建，則

5正方形EBFO+5正方形HOG。=-

【答案】40

【分析】本題考查了正方形、矩形的性質(zhì)，完全平方公式等知識(shí)，設(shè)正方形班O尸、HOGD的邊長分別為

ab=12

a、b,先求出然后根據(jù)s正方形￡的+S正方形H0c0="+