機密★啟用前

2025年江蘇省蘇州市中考一模猜題卷

數學

注意事項：

［本試卷共27小題,滿分130分,考試時間120分鐘

2.答題前，考生務必將自己的姓名、考點名稱、考場號、座位號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在答

題卡相應位置上，并認真核對條形碼上的準考號、姓名是否與本人的相符；

3.答選擇題必須用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，請用橡皮擦牙凈后，再

選涂其他答案；答非選擇題必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆寫在答題卡指定的置上，不在答題區域內

的答案無效，不得用其他筆答題；

4.考生答題必須答在答題卡律，保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破，答在試卷和草稿紙上一律無效。

一、選擇題：本大題共8小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.請將選擇題的答案用2B鉛筆涂在答題卡相對應的位置上.

1.如圖，數軸上有0、人石三點，。為原點，04、OB分別表示仙女座星系、M87黑洞與地球的

距離（單位：光年）.下列選項中，與點B表示的數最為接近的是（）

OAB

02.5x106—

A.5X106B.1xIO7C.5XIO7D.1x108

2.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

A.B.

3.2023年3月27日，國際學術期刊《自然?地球科學》刊發的一一篇文章稱，中英學者在嫦娥

五號月球樣品中，測量到撞擊玻璃珠中的水，科研團隊結合月球全球尺度月壤厚度分析，推測出

月壤的儲水量最高約270000000000噸.數270000000000用科學記數法表示為（）

A.27x1OO1CB.2.7XIO11C.27xIO11D.0.27X1012

4.估算（g+3）X&的結果（（）

A.在5和6之間B.在6和7之間C.在7和8之間D.在8和9之間

5.如圖，直線a,b被直線C所截，已知aIIb,zl=50°＞則42的大小為（）

A.40°B.50°C.70°D.130"

6.某公司擬推出由7個盲盒組成的套裝產品，現有10個盲盒可供選擇，統計這10個盲盒的質

量如圖所示.序號為1到5號的盲盒已選定，這5個盲盒質量的中位數恰好為100,6號盲盒從

甲、乙、丙中選擇1個，7號盲盒從丁、戊中選擇1個，使選定7個盲盒質量的中位數大于100,

可以選擇（）

?質量（克）

III

i234567^-

A.甲、丁B.乙、戊C.丙、丁D.丙、戊

7.如圖，A是雙曲線y=］（x〉0）上的一點，點C是。A的中點，過點C作y軸的垂線，垂足為

D,交雙曲線于點B,且△48。的面積是4,則"=（）

8.如圖，在矩形4BCD中，點E為延長線上一點，F為CE的中點，以B為圓心，BF長為半徑

的圓弧過AD與CE的交點G,連接8G.若AB=4,CE=10，貝1=（）

A.2.5B.3C.3.5D.4

二,填空題：本大題共8小題，每小題3分，共24分.把答案直接填在答題卡相對應的

位置上.

9.y^-y^-y2-y=（一當廣-------

10-已知葭是二元一次方程組仁MS的解，則3”別立方根為--------

11.有四張完全一樣正面分別寫有漢字“清”“風”“朗”“月”的卡片，將其背面朝上并洗勻，從中隨

機抽取一張，記下卡片正面上的漢字后放回，洗勻后再從中隨機抽取一張，則抽取的兩張卡片上

的漢字相同的概率是.

12.如圖所示，已知AB是。。的直徑，點C在圓上，如果NABC=65。，那么NOCA=.

13.如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y=k（x-1）的圖象分別交x軸，y軸于A,B兩點，

且OB=2OA,將直線AB繞點B按順時針方向旋轉45。，交x軸于點C,則直線BC的函數表達

式是________________.

14.在2022年北京冬奧會開幕式和閉幕式中，一片“雪花”的故事展現了“世界大同，天下一家

的主題，讓世界觀眾感受了中國人的浪漫.如圖，作出“雪花”圖案（正六邊形4BCDEF）的外接

圓，已知正六邊形ABCDEF的邊長是4,則BC長為

A

2

15.已知A（X1，2024）,B{X2,2024）是二次函數y=ax+bx+4圖象上的兩點，則當

x=xt+x2時，二次函數的值為

16.如圖，四邊形ABCD中，AB//CD,AC±BC,ZDAB=60°,AD=CD=4,點M是四邊形ABCD

內的一個動點，滿足NAMD=90。，則AMBC面積的最小值為。

三'解答題：本大題共11小題，共82分.把解答過程寫在答題卡相對應的位置上，解

答時應寫出必要的計算過程、推演步驟或文字說明.作圖時用2B鉛筆或黑色墨水簽字筆.

17.計算:

(2)-12020+強+避-2X(-3)2

⑶V27-Jl^x|+|l-V2|

⑷|-2|+^^27-7(-4)2-(-I)2024+V5

18.（1）計算：強一ai-|i-0|+（i+兀）。.

2x-y=-3

（2）解方程組:

4x-Sy=-21'

19.先化簡，再求值:（T一割，其中&=6-1.

20.如圖，△ABC中，AB=AC,NB=30。，點D是AC的中點，過點D作DE_LAC交BC于點E,

連接AE.若AE=3,求BC的長.

解：'/AB=AGzC=zB().

,/48=30。，/.zC=30S

/.zB/lC=180o-zB-zC=_____c.

???點D是4C的中點，且DEJ.AC，

EC=EA=3(),

/.EAC=zC=30%

???/.BAE=/.BAC-LEAC=^-

?.,在RtZkABE中，48=30。，

/?BE=2=,

/?BC=BE+EC=____.

21.為了推進“優秀傳統文化進校園”活動.寧液縣某校準備在七年級成立四個課外活動小組，分

別是：A.民族舞蹈組；B.經典誦讀組；C.民族樂器組；D.民族歌曲組.為了解學生最喜歡

哪一個活動小組，學校從九年級全體學生中隨機抽取部分學生進行問卷調查，每人必須選擇且只

能選擇一個小組，并將調查結果繪制成如圖所示的兩幅不完整的統計圖.

(1)本次調查的學生共有人，C中占扇形統計圖中圓心角度數為度.

(2)在重陽節來臨之際，學校計劃組織學生到敬老院為老人表演節目，準備從這4個小組中

隨機抽取2個小組匯報演出，請你用列表法或畫樹狀圖法，求選中的2個小組恰好是C,。小組

的概率.

22.豐富的社會實踐活動不僅能讓同學們理解生活服務社會，更能幫助同學們樹立正確的勞動

態度與價值觀.為迎接“五一勞動節”，學校將開展以下四項實踐活動:A.博物館小小解說員，8.汽

車南站送祝福，C.地鐵小義工，D.警營崗位體驗，并讓同學們自主選擇其中一項參加.以下

是從全校學生中隨機抽取部分學生進行調查的相關統計圖(缺少部分信息).

隨機抽取學生社會實踐活動意向的條形統計圖隨機抽取學生社會實踐活動意向的扇形統計圖

由圖中給出的信息解答下列問題：

(1)求抽取的學生中選擇參加“汽車南站送祝?！被顒拥娜藬担⒀a全條形統計圖.

(2)求扇形統計圖中“地鐵小義工”活動所對應的扇形圓心角的度數.

(3)若該校共有2000名學生，請根據抽樣調查的結果，估計該校選擇參加“博物館小小解說

員”活動的學生約有多少人?

23.如圖，在平面直角坐標系xOy中，△ABC的邊AC在x軸上，邊BCLx軸,雙曲線y=((x>0)

與邊BC交于點D(4,m),與邊AB交于點E(2,n).

(1)求n關于m的函數關系式；

(2)若BD=2,tanNBAC=g,求k的值和點B的坐標.

24.如圖1,在平面直角坐標系中，四邊形AOBC為矩形，BC=2V3，ZBOC=60°,D為BC中

(2)好奇的小明在探索一個新函數.若點P為x軸上一點，過點P作x軸的垂線交直線AC于

點Q,交該反比例函數圖象于點R.若y'=PQ+PR,點P橫坐標為x.y‘關于x的圖像如圖2,其

中圖像最低點F、G橫坐標分別為(y/2,6)、(-6，-

①求y'與x之間的函數關系式.

②寫出該函數的兩條性質.

(3)已知l<x<4

①若關于X的方程x2—4x—m=0有解，求m的取值范圍.小明思考過程如下：由x2—4x—m=0

得m=x2-4x,m是關于x的二次函數，根據x的范圍可以求出m的取值范圍.請你完成解題過程.

②若關于x的方程n、2_?^+2通=0有解，請直接寫出m的取值范圍.

25.如圖，已知在△ABC中，AB=AC=5,BC=8,點。是邊AC的中點，連接BD,求/DBC的

正弦值.

26.【閱讀材料】數軸是初中數學的一個重要工具，利用數軸可以將數與形完美的結合，某數學

興趣小組探究數軸發現了一些重要的規律.

規律1：如圖1,數軸上點/表示的數為a,點B表示的數為b,則A、B兩點間的

距離AB可表示為：

①AB=b-a（即用右邊點B表示的數減去左邊點4表示的數）；

②AB^\b-a\=\a-b\（即兩點表示的數之差的絕對值）.

規律2：數軸上A、B兩點的中點M表示的數為竽.

ABAB

---1----i----1-----1_■?_I>111----->

a---b--------------10------0-----8

圖1圖2

【簡單應用】如圖1,點力在數軸上所對應的數為-3,點石表示的數為2,P是數軸上

一動點.

(1)貝IJA、B兩點間的距離AB=_____，A、B兩點的中點M表示的數為.

(2)若A、P兩點間的距離AP=3,則點F表示的數為.

【拓展運用】如圖2,已知數軸上有A、B兩點，分別表示的數為一1C,8,點力以每秒

2個單位的速度沿數軸向右勻速運動，點B以每秒3個單位向左勻速運動，設運動時間為1秒

(t>0).

(3)用含1的式子填空：點A運動t秒后所在位置的點表示的數為；

點B運動I秒后所在位置的點表示的數為；

此時A、B兩點的中點M表示的數為.

(3)按上述方式運動，A、B兩點經過多少秒會相距4個單位長度.

27.如圖，拋物線C：y=ax2+6ax+9a-8與X軸相交于A,B兩點(點A在點B的左側)，

已知點B的橫坐標是2,拋物線C的頂點為D.

（2）點P是x軸正半軸上一點，將拋物線C繞點P旋轉180'后得到拋物線Q，記拋物

線Ci的頂點為E,拋物線G與x軸的交點為G,G（點F在點G的右側）.當點P與點B

重合時（如圖1）,求拋物線Ci的表達式；

（3）如圖2,在（2）的條件下，從A,B,D中任取一點，E,F,G中任取兩點，若以取出

的三點為頂點能構成直角三角形，我們就稱拋物線G為拋物線C的“勾股伴隨同類函數”.當

拋物線口是拋物線C的勾股伴隨同類函數時，求點P的坐標.

答案解析部分

1.C

2.B

解：A、圖案是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，所以A不符合題意；

B、圖案既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，所以B符合題意；

C、圖案是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，所以C不符合題意；

D、圖案不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，所以D不符合題意；

故答案為：B.

把一個平面圖形，沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能完全重合的平面圖形就是軸對稱圖形；

把一個平面圖形，繞著某一點旋轉180。后，能與自身重合的圖形就是中心對稱圖形，根據定義即

可逐一判斷得出答案.

3.B

解：270000000000=2.7X1011

故答案為：B.

本題主要考查科學記數法，科學記數法嗯表示形式為：axl()n(14|a|<10)，n為整數，在確

定n時，要根據把原來的數，變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數

相同，且當原數絕對值N10時，n是正數；當原數絕對值<1時，n為負數，屬于基礎題型.

解：如圖

?a||b,z.1=50°'

AZ3=Zl=50°,

???N2=N3=500.

故答案為：B.

先利用平行線的性質，求得N3,再利用對頂角的性質求得N2.

6.A

解：前5個盲盒的的中位數是100,說明有兩個盲盒質量小于100,兩個盲盒質量大于100.

A、若選項甲、丁，則有4個盲盒質量大于100,其他不變，故中位數會大于100,故選項A符

合題意；

B、若選擇乙、戊，則有4個盲盒質量小于100,其他不變，故中位數會小于100,故選項B不

符合題意；

C、若選擇丙、丁，則有3個盲盒質量小于100,3個大于100,故中位數還是100,故選項C不

符合題意；

D、若選擇丙、戊，則有4個盲盒質量小于100,其他不變，故中位數會小于100,故選項D不

符合題意；

故答案為：A.

根據前5個盲盒的的中位數是100,再加兩個后中位數大于100,可知后選的兩個盲盒質量都大

于100,據此即可得到答案.

7.C

?.?點C是OA的中點，

"'?S^ACD=SAOCD'S^ACB=S^OCB

?'?^AACD+S&ACB=S&OCD+S&OCE

?'?S^ABD=S^OBD

?.?點B在雙曲線y=［（x>o）上，BDly軸，SAABD=4

,SdOBD=S^ABD=4=身

k=±8

v雙曲線經過一，三象限

?0?k=8

故選：C.

先證出SL=S408D，再結合SAOBD=SA.D=4=呼，求出k=±&再結合反比例函數的圖

象與系數的關系求出k的值即可。

8.B

9.y10；x4y2

10.2

解：把仔=:代入二元一次方程組片+by=8

（y=1（bx-ay=1

得：f2a+d=8?

由②得：a=2b-l,

把a=2b-l代入①得：b=2,

把b=2代入a=2b-l得:a=3,

??3Q—

1

=3x3-1x2

=9-1

二8,

，3a—寺匕的立方根為：2.

故答案為：2.

根據二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解，將方程的解代入得出關于

a,b的方程組，解方程組求出a,b,代入求出代數式的值，再求出立方根即可.

11.

解：由題意得可能抽取的結果有:

（清，清），（清，風），（清，朗），（清，月），

（風，清），（風，風），（風，朗），（風，月），

（朗，清），（朗，風），（朗，朗），（朗，月），

（月，清），（月，風），（月，朗），（月，月），

共有16種等可能的情況，有4種是抽取的兩張卡片上的漢字相同的情況,

抽取的兩張卡片上的漢字相同的概率是至

故答案為：I

根據列舉法求出概率即可求解。

12.25°

解：

AB是直徑，；.ZACB=90°,

XVZABC=65°,

.?.ZA=25°,

VOA=OC,

AZOCA=ZA=25°

故答案為：25。

直徑所對的圓周角是90。，再根據三角形內角和定理可求出/A,根據OA=OC得出/OCA=NA。

13.y=占x-1

解：?.,一次函數y=k(x-1)的圖象分別交x軸，y軸于A,B兩點，

AB(0,-k),A(1,0),

VOB=20A,

二令x=0,得y=-l,令y=0,則x=：,

：.A(：,0),B(0,-1),

VZABC=45°,

/.△ABF是等腰直角三角形，

；.AB=AF,

,/ZOAB+ZABO=ZOAB+ZEAF=90°,

；./ABO=NEAF,

ABO^AFAE(AAS),

1

AAE=OB=1,EF=OA=2

；.F(：,一；)，

設直線BC的函數表達式為：y=kx+b,

.?住+>=T,

Ih=-1

(b=—1

直線BC的函數表達式為：y=gx-1,

故答案為：y=gx-1.

先求出A(,,0),B(0,-1),可得OA=；,OB=1,過A作AFLAB交BC于F,

過F作FELx軸于E,證明△ABO/^FAE(AAS),可得AE=OB=1,EF=OA=：,即

得F坐標，利用待定系數法求出直線解析式即可.

14.jTl

解：；正六邊形ABCDEF的邊長是4

=60°,OB=OC

o

/.△OBC是等邊三角形

AOB=BC=4

.._601r4_4n

=^80~=~3

BC

故答案為：稱刀

根據正六邊形的內角性質，等邊三角形判定定理可得AOBC是等邊三角形，則OB=BC=4,再根

據弧長定理即可求出答案.

15.4

解：令ax2+bx+4=2024

ax2+bx-2020=0

?工

..Xl+X2=-----b-

a

,,當X=X1+X2=-削寸，y=aX(_J)+bX(-A)+4=4

故答案為：4.

令y=2024可得關于x的一元二次方程，根據韋達定理可得xi+x2=_2代入x=_2可得函數值.

aa

16.6H-4

解：取的中點0,連接OM,過點M作MEL8C交3C的延長線于E,過點。作。尸，8C

于產，交CD于G,則OM+ME>OF.

AB

VZAMD=90°,AO=4,OA=OD,

:.OM=1AD=2,

2

9：AB//CD,

：.ZGCF=ZB=60°,

：.NDGO=NCGF=3U。,

9：AD=BC,

：.ZDAB=ZB=60°,

：.ZADC=120°,

AC=y/3AD=4\/3

：.ZDOG=30°=ZDGOf

：.DG=DO=2,

\9CD=4,

：.CG=2,

：.OG=2OD*COS30°=2V3，GF=?OF=3?

：.ME>OF-OM=3y/3-2,

???當O,M,石共線時，ME的值最小，最小值為34一2.

在RtAABC中，BC=X4\/3=4

?4?△MBC面積的最小值為s=^BC-ME=1x4x(3百-2)=6㈢-4

故答案為：6V3-4.

取AD的中點0,連接OM,過點M作MELBC交3c的延長線于E,過點。作OFLBC于兄

交CD于G,貝U0M+ME＞。尸,當O,M,E共線時，ME的值最小，最小值為36-2,在RtAABC

中，8C=44C=4，所以△MBC面積的最小值為s=；BQME=68一4

?54

17.(1)解：原式=y/2—1—,X；—V2=—1—-\/2=-g.

(2)解:原式=-1+2+2-18=-141-18=-18

⑶解：原式=3—■|x^+近-1=3-2+&-1=及

(4)解：原式—4—1+2—yfS-y/5—6

18.(1)解：原式=2-4-(V2-1)+1

=2一4一衣+1+1

=—近；

⑵[2x-y=-3?

(4x-5y=-21②

解：①x2得4x-2y=-6③

③—②得：3y=15,

解得：y=5,

將y=5代入2x-y=-3得：2x=2，

解得：x=1

.:原方程組的解為：[X=士

ly=5

(1)先利用立方根、算術平方根、0指數嘉和絕對值的性質化簡，再計算即可；

(2)利用加減消元法的計算方法及步驟分析求解即可.

19.解：原式=土衛二一空埠U

aa(a—1)

1a

=一_

aa+1

1

aTl,

當。=a—1時,

原式=一不I,

V2-1+1

1

=--

V2

<2

=一方

先計算分式的乘除法(先將除法變成乘法，再約分，最后將分式的分母相乘作為積的分母，分式

的分子相乘作為積的分子)，再計算分式的加減法(①分母相同，分子相加減；②分母不同，

先通分，再將分子相加減)，再將。=應-1代入計算即可.

20.等邊對等角；120；線段垂直平分線的性質；AE；6；9

21.(1)100；126

(2)解：依題意用列表法表示所有可能出現的結果如下:

第一次

ABcD

第二次

A(B,A)(CM)(D,A)

B(4B)(GB)(D,8)

C(4C)(B,C)(D,C)

D(4D)(B,D)(C,D)

由以上，可得共有12種等可能的結果，其中選中C,D小組的結果有(D,C),(C,D)2種,

.21

..'P(選中CD小組)=H=

35

解：(1)由題意得本次調查的學生共有『=100,

；.c中占扇形統計圖中圓心角度數為36(rx35%=126%

故答案為：100,126

(1)先根據條形統計圖和扇形統計圖的信息求出總人數，進而根據圓心角的計算公式即可求解;

(2)根據題意列表，進而即可得到共有12種等可能的結果，其中選中C,D小組的結果有(D,C)，

(C,D)2種，再根據等可能事件的概率結合題意即可求解。

22.(1)解：由統計圖可知抽取的學生人數為12+6%=200(人)

所以選B活動的人數為200-68-40-12=80(人)

(2)解：40+200X360°=72,

(3)解：684-200X2000=680(人)

(1)結合兩表信息，即D類人數和D類人數占比求出對應總人數，進而可以算出B類人數；

(2)在(1)計算的總人數基礎上，根據比例換算對應圓心角度數即可；

(3)以頻率估計概率，按當前調查的“博物館小小解說員”活動的頻率作為概率估算全校對應該活動

的人數.

23.(1)?.?點D(4,m),點E(2,n)在雙曲線y=>0)，

4m=2n,

解得n=2m.

(2)如圖，過點E作EFLBC于點F,

二?由(1)可知n=2m,

DF=m.

,.?BD=2,

/.BF=2-m.

???點D(4,m),點E(2,n),

???EF=4-2=2.

：EF〃x軸,

op1

,tanzBAC=tanzBFF=籌=f

解得m=l.

；.D(4,1).

；.k=4xl=4,B(4,3).

本題考查反比例函數點的特征，銳角三角函數的定義.(1)根據點D,點E在雙曲線y=](x>0)

上，將兩個點的坐標代入反比例函數的解析式，可列出方程4m=2n,再進行變形可求出答案.

(2)過點E作EFJ_BC于點F,根據(1)中m、n的關系可求出DF=m,利用線段的運算可求

出BF,再根據點D(4,m),點E(2,n)可求出EF=2,再根據EF〃x軸，利用正切的定義

可得：tanNBAC=tanNBEF=：,據此可列出方程，解方程可求出m的值，進而可求出點D的坐

標，再反代回函數解析式可求出k的值.

24.(1)(6V67

(2)①?.?反比例函數解析式為),=半，直線0C的解析式為y=遍X，點P橫坐標為X,

AR(x,2V3),Q(x,瓜Q,

X

???當x>。時，y'=PQ+PR=V5x+=，

當x<0時，y,=PQ+PR=_73x--

②由圖可知：

該函數圖象關于y軸對稱；

當x<0時，y隨x的增大先減小后增大；

(3)解：①二次函數m=x2—4x開口向上，對稱軸為丫=2，

.?.在l<x<4的情況下，當x=2時，有最小值m=—4,

當x=4時，m=0,

?,?—4<TH<0；

解:(1)VtanZBOC=tan60°=BC

F'

?.依=福

-OB=2,

AC(2,2v5)，D(2,5/3),

設反比例函數解析式為y=勺，直線0C的解析式為y=k2X，

將點D(2,V3)代入y=§得后='，

解得：k[=2百,

...反比例函數解析式為V=或，

將點C(2,2百)代入y=k2乂得2百=2的，

解得：fc?=V3?

???直線OC的解析式為y=國X，

聯立卜=孥,解得:卜L，,卜2=-￡

y=y/3xtvi=V61y2=-ve

???點E在第一象限，

?,?EV6);

(3)②???當l<x<4時，關于x的方程后d―s+2乃=0有解，

當l<x<4時，二次函數y=V6x2-mx+2n與x軸有交點,

N/6

?—'次函數y=^6x2—tnx+2開口向上，對稱軸為X=mnv

???當x=1時，y=y/6x2-mx+2n>0，解得：m<3?，

或當x=4時,y=—也匯+2>o,解得：血<

且當x=照m時，V=V6x2-mx+2>/6<0，解得：m>4代或血<-46，

綜上，m的取值范圍為4百工血〈竽.

(1)根據三角函數的概念可得OB的值，表示出點C、D的坐標，設反比例函數解析式為y=S,

X

將D點坐標代入求出ki的值，設直線OC的解析式為y=k2X,將C點坐標代入求出k2的值，然

后聯立反比例函數與正比例函數的解析式求出x、y的值，結合點E所在的象限可得對應的坐標;

(2)①由題意可設R(x,2),Q(x,有x),然后分x>0、x<0進行解答；

X

②根據對稱性、增減性，寫出兩條性質即可；

(3)①根據二次函數的性質可得：在l<x<4的情況下，當x=2時，有最小值m=-4,當x=4

時，m=O,據此可得m的范圍；

②由題意可得：當l<x<4時，二次函數與x軸有交點，根據x=l、4對應的y的值為正可得m

的范圍，據此解答.

25.解：過點A作AEJ.BC于點E,D作DF1BC于點F,

A

"：AB=AC,

??BE=EC=4，

-AE=>JAB2-BE2=V52-42=3，

???4E1BC，DFIBC，

???N/EC=NDFC=90。，

ADF||AE,

二?△CDF-△CAE^

?DFCFCD

.?而F=b

又：點。是邊AC的中點，

?DFCFCD1

??HF=7T=7^=T

畔耳呂

???DF=y,CF=2，

:?BF=BC-CF=8-2=6，

-BD=JDF2+BF2=J（1）2+62=1V17>

???sinzDBC=^=￥

DUi/

過點A作AE1BC于點E,D作DfiBC于點F,先證明XCDFs〉CAE,推導出DF的長,

再結合勾股定理求出BD,可求出/DBC的正弦值.

26.（1）51—0.5;（2）—6或。；（3）—10+2t，8—3t，—-it—1；（4）

27.⑴解:由y=aM+6ax+9a-&可得y=a（x+3>-8,

，頂點。的坐標為(一3,-8)，

:點B(2.0)在拋物線C上，

代入得：0=a(2+3產一8,

解得：。=熱

⑵解：對于拋物線。y=a(x+3/-8，由⑴可知，a=發,

故拋物線C的解析式為y=最(、+3)2_8，對稱軸為x=-3,

故點A得坐標為(-8,0),

如下圖，連接CE,作DNlx軸于”，作EMJ.X軸于M,

?D(—3,-8)，

，N(-3,0)，

根據題意，點。，E關于點8(2,0)成中心對稱,

故DB=EB,

在^DBN^^EBM中，

(Z.DNB=4EMB=90，

|3BN=4EBM，

(DB=EB

:心DBN必EBM(AASy

-?EM=DN=8,BM=BN=5，

，拋物線Ci的頂點E的坐標為(7,8)，

..?拋物線Cl由C繞點P旋轉180c后得到，

拋物線g的函數表達式為｝，=一表(x-7>+8；

(3)解：:?拋物線G由C繞x軸上的點P旋轉180。后得到，

.?.頂點。，E關于點P成中心對稱，由(2)知，點E的縱坐標為8,

設點E(m,8),如下圖，作DHJ.X軸于5河1'軸于乂，

圖2

則點H的坐標為(-3,0),點N的坐標為(m,-8),

.旋轉中心P在x軸上，

；.FG=AB=2BH=10,

根據勾股定理得，EF2=82+52=89,

顯然，AAEG、ABEG和ADEG不可能是直角三角形，

分情況討論：

①當△AEF是直角三角形時，結合圖形可得zAEF=90S

根據勾股定理得，AE2=AM2+EM2=(m+8/+82=m2+16m+128，

AE2=AF2-EF2=(m+13)2—89=m2+26m+80，

.,.m2+16m+128=m2+26m+8C,解得m

5

：.OP=HP-OH=-OH=1(m+3)-3=*(m-3)=/x管-3)=卷

...點P的坐標為(3,0)；

②當△BEF是直角三角形時，結合圖形可得4BEF=90。，

根據勾股定理得:

BE2=BM2+EM2=(m-2)2+82=m2-4m+68，

BE2=BF2-EF2=(m+3)2-89=m2+6zn-80，

-'-m2—4m+68=m2+6m-80，解得：m=苦

■'-OP=HP-OH=OH=+3)-3=-3)=1x3)=瑞

.?.點P的坐標為(指,0),

③當△DE尸是直角三角形時，

DE2=EN2+DN2=162+(m+3)2=m2+6m+265，

DF2=DH2+HF2=82+(m+8)2=m2+16m+128，

i)當々DEF=90'時，DE2+EF2=DF2,

即4+6m+265+89=m2+167n+128,解得m

11112AC

?'-OP=-j(m-3)=(-5--3)=p，

...點P的坐標為伴,0)；

ii)當zDFE=9(T時，DF?+EF2=DE2,

即/+i6m+128+89=m2+6m+265,

解得m=魯

-'-OP=；(m-3)=聶(普一3)=彳，

...點P的坐標為儒,o)；

iii)VDE>EN=16>EF,

二乙EDF豐90°-

綜上所述，當拋物線G是拋物線C的勾股伴隨同類函數時，

點P的坐標為(也。)或警⑼敷需。)?

(1)先把拋物線的解析式化為頂點式即可得出頂點坐標；將點8(2,0)代入頂點式，即可求出a

的值；

(2)結合(1)中a的值和頂點式，可求出點A的坐標，連接DE,作DNJ.x軸于N,作EM1X

軸于M,根據題意可得DB=EB，根據兩角及其一角的對邊對應相等的兩個三角形全等可得

△DBNEBM，根據全等三角形的對應邊相等得出EM=DN=8,BM=BN=5,故拋物線Q

的頂點E的坐標為(7,8〕，即可得出拋物線Ci的函數表達式；

(3)結合(2)中結論可得點E的縱坐標為8,設點E(m,8),作DHJ.X軸于”，EMJ.X軸于M,

EN1DN于N,根據題意可得點H的坐標為(-3,0),點N的坐標為(m,-8),FG=AB=10>

DN=3+m,EN=16,根據直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方求出AD2=EF2=EG2=89,

分類討論：①當AAEF是直角三角形時，結合圖形可得/AEF=9(T，根據直角三角形兩直角邊

的平方和等于斜邊的平方求出△AEM中AE的值和△AEF中AE的值，列出方程，解方程求出

m的值，結合OP=HP-OH,即可求出點P得坐標；②當aBEF是直角三角形時，結合圖形可得

△BEF=90。，根據直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方求出△BEM中BE的值和△BEF

中BE的值，列出方程，解方程求出m的值，結合OP=HP-OH,即可求出點P得坐標；③當△DEF

是直角三角形時，若4DEF=9(T,根據直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方可得

DE2+EF2=DF2,代入計算求出m的值，結合OP=HP-OH,即可求出點P得坐標，若乙DFE=90，，

根據直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方可得DF2+EF2=DE?,代入計算求出m的

值，結合OP=HP-OH,即可求出點P得坐標.

(1)解：由丫=ax2+6ax+9a-8,可得y=a(x+3)2-8,

.?.頂點。的坐標為(—3,—8),

點8(2,0)在拋物線C上，

.?.可得0=a(2+3)2-8，

解得(7=條

(