2025年中考復習尖子生專用思維拓展卷

1.已知RtZkABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,CDLAB,垂足為。，點廠是線段

CD上一點（不與C、。重合），過點8作交A尸的延長線于點E,AE與BC交

于點H,聯結CE.

,、AHBH

(1)求證：—=—;

CHEH

(2)當CE〃AB時，求CE的長;

(3)當△CFH是等腰三角形時，求CH的長.

（備用圖）

2.在平面直角坐標系xOy中，已知二次函數yi=ox2+3%+c的圖象經過原點及點A（1,2）,

與無軸相交于另一點艮

（1）求：二次函數”的解析式及B點坐標；

（2）若將拋物線yi以x=3為對稱軸向右翻折后，得到一個新的二次函數”，已知二次

函數y2與無軸交于兩點，其中右邊的交點為C點.點P在線段0C上，從。點出發向C

點運動，過P點作了軸的垂線，交直線49于。點，以尸。為邊在尸。的右側作正方形

PDEF（當P點運動時，點。、點E、點尸也隨之運動）；

①當點E在二次函數聲的圖象上時，求。尸的長.

②若點P從。點出發向C點做勻速運動，速度為每秒1個單位長度，同時線段OC上另

一個點。從C點出發向。點做勻速運動，速度為每秒2個單位長度（當Q點到達。點

時停止運動，P點也同時停止運動）.過Q點作x軸的垂線，與直線AC交于G點，以

QG為邊在QG的左側作正方形QGMN（當Q點運動時，點G、點M、點N也隨之運動），

若P點運動t秒時，兩個正方形分別有一條邊恰好落在同一條直線上（正方形在x軸上

的邊除外），求此刻r的值.

3.如圖1,在RtZXABC中，ZC=90°,ZA,ZB,/C的對邊分別為a,b,c(注：sin90°

=1).

a

???4a-ab.b

?sinA=一，sinBD=-bc.

ccsinA,"sinB'sinAsinB

bc

Vsin90°=1,,??------

sinAsinBsinC

拓展探究:

如圖2,在銳角△ABC中,ZA,ZB,ZC的對邊分別為a,b,e,思考特例中的結論布

b三是否仍然成立？請說明理由.

sinBsinC

解決問題:

如圖3,為測量點A到河對岸點8的距離，選取與點A在河岸同一側的點C,測得AC=

40m,NA=75°,NC=60°.請用前面的結論，求點A到點8的距離（不取近似值）.

4.綜合實踐小組研究某個籃球自由落地和反彈現象.

實驗探索：該小組把該籃球從不同的高度放開，讓其自由落下，測量其落地后反彈的高

度，得到數據如表：

試次第1次第2次第3次第4次第5次

下落高度/。機8090100110120

反彈高度/c機4045505660

任務1：請選擇適當的函數模型描述該籃球反彈高度與下落高度之間的關系，設出變量，

求出函數解析式.

解決問題：該小組進一步提出研究籃球各次反彈的最高點出現的時間間隔規律，經查閱

資料發現，籃球第一次從高度為向（單位：能）處落下到達地面的運動過程中，其高度〃

（單位：”2）與運動時間f（單位：s）的函數關系是h=/io-*9產，其中g為重力加速

度.第一次自由下落及以后每次反彈再落地的過程中，籃球離地高度都是運動時間的二

次函數，且它們的二次項系數相同.

任務2：根據任務1中發現的規律，求籃球從高為瓦（單位：加）處下落到第一次反彈到

最高點所用的時間（用只含已知量m，g的式子表示）.

任務3：籃球從100c/處下落，g的值取10加后.當籃球反彈高度小于2c機時，下次不

再反彈.直接寫出籃球反彈的總次數，并用式子表示籃球從第n次反彈最高點運動到第

n+1次反彈最高點間隔的時間（用只含反彈次數n的式子表示）.

矣

11

5.【發現問題】

小明在練習簿的橫線上取點。為圓心，相鄰橫線的間距為半徑畫圓，然后半徑依次增加

一個間距畫同心圓，描出了同心圓與橫線的一些交點，如圖1所示，他發現這些點的位

置有一定的規律.

【提出問題】

小明通過觀察，提出猜想：按此步驟繼續畫圓描點，所描的點都在某二次函數圖象上.

小明利用己學知識和經驗，以圓心。為原點，過點。的橫線所在直線為X軸，過點。且

垂直于橫線的直線為y軸，相鄰橫線的間距為一個單位長度，建立平面直角坐標系，如

圖2所示.當所描的點在半徑為5的同心圓上時，其坐標為.

【解決問題】

請幫助小明驗證他的猜想是否成立.

【深度思考】

小明繼續思考：設點P（0,優），機為正整數，以。尸為直徑畫OM,是否存在所描的點

在上.若存在，求根的值；若不存在，說明理由.

6.［綜合探究］運用二次函數來研究植物幼苗葉片的生長狀況.在大自然里，有很多數學的

奧秘.圖1是一片美麗的心形葉片，圖2是一棵生長的幼苗都可以看作把一條拋物線的

一部分沿直線折疊而形成.

【探究一】確定心形葉片的形狀

（1）如圖3建立平面直角坐標系，心形葉片下部輪廓線可以看作是二次函數-4ox

-4。+1圖象的一部分，已知圖象過原點，求拋物線的解析式及頂點。的坐標；

【探究二】研究心形葉片的寬度：

（2）如圖3,在（1）的條件下，心形葉片的對稱軸，即直線y=x+l與坐標軸交于A,B

兩點，拋物線與x軸交于另一點C,點C,G是葉片上的一對對稱點，CG交直線A8于

點G.求葉片此處的寬度CG；

【探究三】探究幼苗葉片的長度

（3）小李同學在觀察幼苗生長的過程中，發現幼苗葉片下方輪廓線都可以看作是二次函

數y=a7-4ax-4a+l圖象的一部分；如圖4,幼苗葉片下方輪廓線正好對應探究一中的

二次函數.已知直線尸。（點P為葉尖）與水平線的夾角為45°,求幼苗葉片的長度尸D

7.(1)如圖1,在Rt^ABC中，AC=3,8c=4,ZC=90°,D為BC上一點,,DELAB

于點E,若BE=3,則DE=.

(2)如圖2,在銳角△ABC中(ABCAC),NC=45°,48=4,A。為8C邊上的高，

若SAABD=[,求8c的長?

(3)如圖3,O。為△A3。的外接圓，已知。。的半徑為5,弦AC_L8。于點X.且AC

=BD,OE為OO的一條直徑.M、N分別為8。、上一點,連MN、ME.若/DMN

7

=NBAD,SAABH=4,求△EMN面積的最大值.

圖3

8.(1)【知識再現】我們知道，直角三角形中有6個元素一一三個角，三條邊，由已知元素

求出所有未知元素的過程叫解直角三角形，下列三個條件中，不能解直角三角形的

是.

①已知兩條邊；②已知一條邊和一個銳角；③已知兩個角.

(2)【聯系拓展】擴展開去，任意三角形中有6個元素一一三個角，三條邊，由己知元

素求出所有未知元素的過程叫解三角形.三角函數是三角形邊角關系的紐帶，也可以作

為解三角形的常用工具.如圖1,已知△ABC中，ZA=30°,ZB=45°,AB=5+5V3,

解這個三角形；

（3）【延伸應用】如圖2,△ABC中，AC=2g,cosA=字，BC=m,在解這個三角形

時，若未知元素都有兩解的機的取值范圍是.

圖1圖2

9.射水魚以陸生昆蟲為食物，它在捕食時，能從口中射出一股水流，準確擊中2根以內的

昆蟲.如果不考慮空氣阻力，那么射水魚射出的水流可以看成一條拋物線的一部分（如

圖）.在一次捕食時，射水魚射出的水流向上運動的高度y（單位：cm）與向前運動的水

平距離x（單位：cm）的關系可以近似地表示為y=-0.1X2+4X.

（1）如果這次射出的水流沒有遇到障礙物，它運動的高度逐步上升時，水流向前運動的

水平距離x的范圍是，它運動的高度逐步下降時，水流向前運動的水平

距離尤的范圍是;

（2）假設要捕食的昆蟲位于射水魚正前方水平距離20cm,高度50cm處，那么這次射出

的水流能否擊中這只昆蟲？

（3）假設捕食的昆蟲位于射水魚正前方30c機高度，并沿水平直線飛行，那么這次射出

的水流要擊中這只昆蟲，可能在射水魚正前方多遠處？

人昆蟲

射水魚

2025年中考復習尖子生專用思維拓展卷

答案解析

1.已知Rt/XABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,CDLAB,垂足為點尸是線段

C。上一點（不與C、。重合），過點8作8ELAF交AF的延長線于點E,AE甘BC交

于點X,聯結CE.

AHBH

(1)求證:

CH-EH

(2)當C￡〃AB時，求CE的長;

(3)當△口?”是等腰三角形時，求C”的長.

【分析】(1)根據題意ZAHC=ZBHE,證明△ACHS2\JSEH即可求

證；

(2)根據題意可得△CHEs/XAHB,則有NCEH=NA8//,由CE〃AB,得到AH=B8,

如圖所示，作HG±AB,垂足是G,由勾股定理、三角函數的計算得到48=

4RC54

10,cos乙ABC=；，在RtzXBZ/G中，cos乙ABC=器，則有一=:得到=午，再

5bHBH54

CECH

根據777=7^?即可求解；

ABBH

(3)根據等腰三角形的判定和性質分類討論：第一種情況：當NCTH=NC族時，可證

A"平分NCA8,根據角平分線的性質，銳角三角函數即的計算可解得HG；第二種情況：

ACBC68

當NCH/=NHCF時，可得tanNCHF=tanNCA3,則一二—,即一=一，即可求解；

CHACCH6

第三種情況：當NHB=N"/C時，結合(2)的計算即可求解.

【解答】(1)證明：尸,

AZAEB=90°,

VZACB=9Q°,

???NAEB=/ACB,

???ZAHC=NBHE,

：.叢ACHs叢BEH,

AHCHAHBH

—=—BP—=—；

BHEHCHEH

葛AHBH

(2)解：—=—,ZCHE=ZAHB,

CHEH

:?△CHESAAHB,

：.ZCEH=/ABH,

'：CE//AB,

：?NCEH=NHAB,

：.NABH=/HAB,

:.AH=BH,

如圖所示，HG1AB,垂足是G,

\9HG±AB,

1

：.BG=^AB,

在RtZXABC中，AC=6,BC=8,

.9.AB=10,cosZ-ABC=百，

???5G=5,

在RtZXBHG中，cos(ABC=劫,

54

??—―,

BH5

25

：?BH=等,

7

:?CH=BC—BH=g,

■:CE//AB,

7

.空—竺pn￡￡_J_

??一,即一2弓,

ABBH10—

4

14

???CE=芳；

(3)解：①當NCm=NC〃/時，

VZCFH=ZAFD,

：.ZCHF=/AFD,

VZCHF+ZCAH=ZAFD+ZFAD=90°,

：.ZCAH=ZFAD,

VZACB=90°,BPAC±BC,HGLAB,

:?CH=HG,

.AH=AH,CH=GH,

：.AACH^AAGH(HL),

：.AG=AC=6,

：.BG=AB-AG=4,

在RtZXBHG中，tan^ABC=

??.”G=4x^=3,即CH=3；

②當ZFHC=ZFCH時,

?：NHCF=NCAB,

:?NCHF=/CAB,

tanZCHF=tanZCAB,

竺Bc68

即

--有--

4c6

CH

9

-

2

③當ZHCF=ZHFC時,

VZCFH=ZAFD,

：.ZHCF=/AFQ,

ZHCF+ZABC=ZAFD+ZE4Z)=90°,

???NABC=NFAD,

???ZABC=ZCEAf

：.ZFAD=ZCEAf

：.CE//AB,

由(2)可知，在中，cos乙ABC=氤

?54

??二—>

BH5

25

???8"=彳，

77

:?CH=BC—BH=%,即C”=：；

97

綜上所述，S=3或一或一.

24

2.在平面直角坐標系xOy中，已知二次函數”="2+3%+。的圖象經過原點及點A(1,2),

與無軸相交于另一點3.

（1）求：二次函數yi的解析式及B點坐標；

（2）若將拋物線yi以x=3為對稱軸向右翻折后，得到一個新的二次函數”，已知二次

函數”與x軸交于兩點，其中右邊的交點為C點.點P在線段0C上，從。點出發向C

點運動，過P點作x軸的垂線，交直線AO于。點，以尸。為邊在尸。的右側作正方形

POEP（當尸點運動時，點。、點E、點尸也隨之運動）；

①當點E在二次函數yi的圖象上時，求。尸的長.

②若點P從。點出發向C點做勻速運動，速度為每秒1個單位長度，同時線段0C上另

一個點。從C點出發向O點做勻速運動，速度為每秒2個單位長度（當。點到達O點

時停止運動，P點也同時停止運動）.過。點作x軸的垂線，與直線AC交于G點，以

QG為邊在QG的左側作正方形QGMN（當。點運動時，點G、點M、點N也隨之運動），

若P點運動f秒時，兩個正方形分別有一條邊恰好落在同一條直線上（正方形在x軸上

的邊除外），求此刻f的值.

；y

0.x

【分析】（1）利用二次函數yi=o?+3x+c的圖象經過原點及點A（1,2）,分別代入求出

a,c的值即可；

（2）①過A點作無軸于X點，根據。尸〃得出△。「。/△。/，進而求出。尸

的長；

②分別利用當點尸、點N重合時，當點尸、點。重合時，當點P、點N重合時，當點P、

點。重合時，求出f的值即可.

【解答】解：（1）?二次函數yi=a/+3x+c的圖象經過原點及點A（1,2）,

，將（0,0）,代入得出：

c=0,

將（1,2）代入得出：

〃+3=2,

解得：a=-1,

故二次函數解析式為：yi=-X2+3X,

1/圖象與x軸相交于另一點B,

.'.0=-/+3尤，

解得：x=0或3,

則B(3,0)；

(2)①由已知可得C(6,0)

如圖：過A點作軸于”點，

\'DP//AH,

:.△OPDs^OHA,

.OPOH

??—,

PDAH

rrQ1

即--=一,

PD2

:.PD=2a,

?:正方形PDEF,

:?E(3a,2a),

VE(3a,2a)在二次函數yi=-/+3x的圖象上,

??Cl—不；

7

即OP=g.

:直線49過點（1,2）,

故直線解析式為：y=2x,

當OP=t,

貝ijAP=2t,

?.?直線AC過點(1,2),(6,0),

代入y—ax+b,

(a+b=2

16a+b=0'

(2

CL=-p

解得：，]2，

伍=寫

故直線AC的解析式為：y=—|x+*

?.?當0尸=入QC=2tf

：.QO=6-2t,

2I?4

**?GQ=—耳(6-2/)+-g-=耳/,

即NQ=$,

???0P+PN+NQ+QC=6,

則有3f+2什*6,

解得：仁瑞;

如圖2：

解得：上3

解得：仁得

當點尸、點。重合時，有。尸+。。=6,則有f+2r=6,

解得：t—1.

=1).

nn

9__a___b_?_a______b_

：sinA=sinB=CC

cc~sinA'~sinB'sinA~sinB

abc

Vsin90°=1,J——=------=——.

sinAsinBsinC

拓展探究:

如圖2,在銳角△ABC中'N4/B,ZC的對邊分別為c.思考特例中的結論痂

b三是否仍然成立？請說明理由.

sinBsinC

解決問題:

如圖3,為測量點A到河對岸點8的距離，選取與點A在河岸同一側的點C,測得AC=

40m,NA=75°,ZC=60°.請用前面的結論，求點A到點2的距離（不取近似值）.

【分析】拓展研究：仍然成立，理由：過點C作于點。，過點A作AELBC于

點E,先根據正弦的定義可得sinB=餐=半，sin乙BAC=胎=噂,從而可得

abb

,同樣的方法可得,由此即可得;

sinZ-BACsinBsinBsinZ.BCA

解決問題：先根據三角形的內角和定理可得NC8A=45°,再根據拓展研究的結論求解

即可得.

ab

【解答】解：拓展探究：結論仍然成立.

sinAsinBsinC

理由如下：過點。作于點D過點A作于點

.AEAE

在RtZXABE中,SlnnB^AB=—

在）中,sinB=^=也

RtABCZBCa

rrirri

在RtAACD中，sin^BAC=%=胃，

CD=asinB,CD=bsinZBAC,

asinB=bsinZBAC,

ab

sinZ-BACsinB’

b

同理可得:

sinBsinZ.BCA

ab

sinZ-BACsinBsinL.BCA

解決問題：在△ABC中，ZCBA=180°-ZA-ZC=45°，

ABAC

-----=------------，AC=40m,

sinCsinZ.CBA

AB40

sin60°s譏45°

.,.AB=40sin60°Xsin45°=20V6（機），

答：點A到點B的距離為20傷"z.

4.綜合實踐小組研究某個籃球自由落地和反彈現象.

實驗探索：該小組把該籃球從不同的高度放開，讓其自由落下，測量其落地后反彈的高

度，得到數據如表:

試次第1次第2次第3次第4次第5次

下落高度/。加8090100110120

反彈高度/c機4045505660

任務1:請選擇適當的函數模型描述該籃球反彈高度與下落高度之間的關系，設出變量，

求出函數解析式.

解決問題：該小組進一步提出研究籃球各次反彈的最高點出現的時間間隔規律，經查閱

資料發現，籃球第一次從高度為瓦（單位：加）處落下到達地面的運動過程中，其高度/?

（單位：“2）與運動時間f（單位：S）的函數關系是/1=八0—*9產，其中g為重力加速

度.第一次自由下落及以后每次反彈再落地的過程中，籃球離地高度都是運動時間的二

次函數，且它們的二次項系數相同.

任務2：根據任務1中發現的規律，求籃球從高為瓦（單位：加）處下落到第一次反彈到

最高點所用的時間（用只含已知量m，g的式子表示）.

任務3：籃球從100c機處下落，g的值取10能小.當籃球反彈高度小于2c機時，下次不

再反彈.直接寫出籃球反彈的總次數，并用式子表示籃球從第n次反彈最高點運動到第

n+1次反彈最高點間隔的時間（用只含反彈次數n的式子表示）.

【分析】任務1：由表格數據知，對應的函數表達式為一次函數；

任務2：令h=1-前/=0,則反彈時，y=0.5x,則此時高度為,o,同理

可得：U件，即可求解；

N9

任務3：y=^x,100X（1）6=II<2,故反彈的次數為6次，參考任務2,即可求解.

【解答】解：任務1：設下落的高度為尤C7”，反彈的高度為

設函數的表達式為：y=kx+b,

將（80,40）、（90,45）代入上式得：

償=嚷"，解得：臚滬

145=90k+b3=0

故函數的表達式為：y=0.5x；

1則U挎，

任務2：令h=h0—2g產=0,

1

反彈時，y=0.5x,則此時高度為h0,

同理可得：/=假，

則總時間為：t=粵+惶

7gN9

任務3：100cm=1m,

11火2s

???>=^，100X(-)6=g<2,

故反彈的次數為6次，

%_[2x1

由（2）知，開始的時間U(丁=丁=丁

第一次反彈t=楞=梟多

則第n次反彈t=J差=Wx（j）",

第（w+1）次反彈=J牛=造乂（/）n+l,

則從第n次反彈最高點運動到第n+1次反彈最高點間隔的時間=*X（y）?+^X（y）

n+l_26+VIU（立）?

_102

5.【發現問題】

小明在練習簿的橫線上取點。為圓心，相鄰橫線的間距為半徑畫圓，然后半徑依次增加

一個間距畫同心圓，描出了同心圓與橫線的一些交點，如圖1所示，他發現這些點的位

置有一定的規律.

【提出問題】

小明通過觀察，提出猜想：按此步驟繼續畫圓描點，所描的點都在某二次函數圖象上.

圖1圖2備用圖

【分析問題】

小明利用已學知識和經驗，以圓心。為原點，過點。的橫線所在直線為x軸，過點。且

垂直于橫線的直線為y軸，相鄰橫線的間距為■個單位長度，建立平面直角坐標系，如

圖2所示.當所描的點在半徑為5的同心圓上時，其坐標為（-3,4）或（3,4）.

【解決問題】

請幫助小明驗證他的猜想是否成立.

【深度思考】

小明繼續思考：設點尸（0,加），機為正整數，以。尸為直徑畫OM,是否存在所描的點

在上.若存在，求機的值；若不存在，說明理由.

【分析】【分析問題】根據題意可知：該點的縱坐標為4,利用勾股定理，即可求出該點

的橫坐標，進而可得出點的坐標；

【解決問題】設所描的點在半徑為n（n為正整數）的同心圓上，則該點的縱坐標為（”

-1）,利用勾股定理可得出該點的坐標為（一72n-l,n-1）或1,?-1）,結

合點橫、縱坐標間的關系，可得出該點在二次函數y=12_g勺圖象上，進而可證出小明

的猜想正確；

【深度思考】設該點的坐標為（土揚E，〃-1）,結合的圓心坐標，利用勾股定

理，即可用含n的代數式表示出m的值，再結合m,n均為正整數，即可得出m,n的值.

【解答】【分析問題】解：根據題意，可知：所描的點在半徑為5的同心圓上時，其縱坐

標y=5-1=4,

橫坐標x=土V52-42=±3,

???點的坐標為（-3,4）或（3,4）.

【解決問題】證明：設所描的點在半徑為〃（"為正整數）的同心圓上，則該點的縱坐標

為（H-1）,

該點的橫坐標為土J幾2一。-1)2=±y/2n-1,

???該點的坐標為(一，2九一1,〃-1)或(5-1,n-1).

(±V2n-l)2=2n-1,〃一1=生寺工

???該點在二次函數y=4(x2-1)=%2-*的圖象上，

???小明的猜想正確.

、,_._______1

【深度思考】解：設該點的坐標為(土，2九一1,n-1),的圓心坐標為(0,-m),

2

J(±V2n—1—0)+(n—1—2zn)2=lm,

.n2(n-1+1)2(n-l)2+2(n-l)+l,,1

?.m=——=----=-------------------1------——=n-1+2oH-----.

n—1Tn—1n—1n—1T

又?：m,及均為正整數，

:.n-1=1,

?"=1+2+1=4,

6.［綜合探究］運用二次函數來研究植物幼苗葉片的生長狀況.在大自然里，有很多數學的

奧秘.圖1是一片美麗的心形葉片，圖2是一棵生長的幼苗都可以看作把一條拋物線的

一部分沿直線折疊而形成.

【探究一】確定心形葉片的形狀

（1）如圖3建立平面直角坐標系，心形葉片下部輪廓線可以看作是二次函數-4ox

-4。+1圖象的一部分，已知圖象過原點，求拋物線的解析式及頂點。的坐標；

【探究二】研究心形葉片的寬度：

（2）如圖3,在（1）的條件下，心形葉片的對稱軸，即直線y=x+l與坐標軸交于A,B

兩點，拋物線與x軸交于另一點C,點C,G是葉片上的一對對稱點，CG交直線A8于

點G.求葉片此處的寬度CG；

【探究三】探究幼苗葉片的長度

（3）小李同學在觀察幼苗生長的過程中，發現幼苗葉片下方輪廓線都可以看作是二次函

數y=a7-4ax-4a+l圖象的一部分；如圖4,幼苗葉片下方輪廓線正好對應探究一中的

二次函數.已知直線尸。（點P為葉尖）與水平線的夾角為45°,求幼苗葉片的長度尸D

【分析】（1）把原點（0,0）代入解析式y=--4依-4a+l,求得。值，將拋物線化成

頂點式即可確定頂點坐標；

（2）先求出點C的坐標為（4,0）,再求出CG的解析式為：y=-x+4.然后求出點G

的坐標為崎，|），最后求出結果即可；

（3）作拋物線的對稱軸于點凡則NPED=90°,設點P的橫坐標為x,得出PF

=FD=2-x,根據點P在拋物線上，列出方程1—久=4/一%,得出點p的坐標為（-

2,3）,最后求出尸。即可.

【解答】解：(1)心形葉片下部輪廓線可以看作是二次函數y=--4辦-4a+l圖象的

一部分，且圖象過原點，將(0,0)代入得：

-4〃+1=0.

1

解得：CL=-T.

拋物線的解析式為y=1x2-x=-2)2-1,

頂點〃的坐標為(2,-1)；

(2):拋物線與x軸交于另一點C,點C,G是葉片上的一對對稱點,

當y=0時得：0='乂2-乂，

解得：xi=0,X2=4,

.,.點C的坐標為(4,0),

/.設CC1的解析式為y=-x+b.將點C的坐標代入得：

-4+8=0.

解得：b=4.

：.CCi的解析式為y=-x+4.

聯立得：”1Vl4，

3

-

2

5

-

2

???點G的坐標為(],2)y

?"G=J(4—分+(0—務2=歲,

：.CC'=2CG=5V2；

(3)作PF，拋物線的對稱軸于點R則/尸陽=90°,

:直線尸。與水平線的夾角為45°,

:.PF=FD.

設點尸的橫坐標為x,

???拋物線的對稱軸為直線x=2,

：.PF=FD=2-x.

:頂點。的坐標為（2,-1）,

.?.點P的縱坐標為-1+2-尤=1-尤.

:點尸在拋物線上，

.,.1—X=-TX2-X,

解得：x=±2,

，點尸的坐標為（-2,3）,

：.PD=7（-2-2）2+（-1-3）2=4V2.

7.（1）如圖1,在RtZ\ABC中，AC=3,8c=4,ZC=90°,。為上一點，DELAB

9

于點E,若BE=3,則DE=-.

—4—

（2）如圖2,在銳角△ABC中（ABCAC）,ZC=45°,AB=4,為8c邊上的高，

若SAABD=/求BC的長.

（3）如圖3,。。為△A3。的外接圓，已知。。的半徑為5,弦AC_L8D于點X.且AC

=BD,DE為O。的一條直徑.M、N分別為BD、DE上一點,連MN、ME.若/DMN

7

=ZBAD,SMABH=/求△現/N面積的最大值.

圖3

【分析】（1）根據同角的正切即可解答;

（2）先根據勾股定理得：AD2+BD2=AB2,由SAABO=M得：^'BD-AD=兩式結合變

形后即可解答；

（3）如圖3,連接EB,根據四邊形內角和定理證明/EMW=90°,過點。作OP_LAC

于尸，作于Q,證明四邊形0尸〃。是正方形，設HQ=a,BH=x,利用勾股定

理列方程/+(fl+x)2=52,結合以的=制二次函數的最值即可解答.

【解答】解：(1)如圖1,,：DELAB,

:./DEB=90°,

VZC=90°,

?,_DE_AC

--t&nDB=BE=BC,

：AC=3,BC=4,BE=3,

.DE3

??=一,

34

9

：.DE=*

4,

9

故答案為：:；

4

(2)如圖2,???A0為邊上的高，

ZADB=ZADC=90°,

由勾股定理得：A￡>2+B￡>2=AB2,

VAB=4f

22

.,.AD+BD=16f

VZC=45°,

：.AD=CD,

9

4-

19

"BD?AD=：,

24

9

\AD'BD=邑

\CAD+BD)2-2AD?BD=16,

,.BC1-9=16,

,.BC2=25,

,?BC=5(負值舍)；

(3)如圖3,連接EB,

圖3

?：NBED=/BAD,/BAD=/DMN,

：.NDMN=/BED,

VZDMN+ZBMN=180°,

：.ZBED+ZBMN=\S0°,

:.NEBD+NENM=180°,

;即是。。的直徑，

：.ZEBD=90°,

：.ZENM=90°,

過點。作OP_LAC于尸，作0Q_L3Q于。,

：.BQ=DQ,CP=AP,

9：AC=BD,

：.OP=OQ,AP=CP=BQ=DQ,

VZOPH=ZOQH=ZPHQ=90°,

???四邊形OPHQ是正方形，

：.PH=HQ,

設"Q=〃，BH=x,

^.DQ=BQ—AP=a+x,

???。。的半徑為5,

?2+(〃+x)2=52,

2。2+2。%+/=25,

..7

?S/\ABH=

17rLi7

,\-9BH9AH=TT,即一?1?(2I+X)=5,

2222

2ax+2=7,

???2〃2+7=25,

.\a=3（負值舍）,

???0。=3,

V02）=5,

.,.￡>2=4,

?*/八八八_OQ_MN_3

..tanZQDO=的=麗=不

:.設MN=3in,DN=4m,則EN=10-4%

.,.△EA/N面積=±.MN.EN=%3根?（10-4m）=-6m2+15m=-62+強

ZZ4o

75

/.4EMN面積的最大值是百.

8.（1）【知識再現】我們知道，直角三角形中有6個元素一一三個角，三條邊，由已知元素

求出所有未知元素的過程叫解直角三角形，下列三個條件中，不能解直角三角形的是

③.

①已知兩條邊；②已知一條邊和一個銳角；③已知兩個角.

（2）【聯系拓展】擴展開去，任意三角形中有6個元素一一三個角，三條邊，由已知元

素求出所有未知元素的過程叫解三角形.三角函數是三角形邊角關系的紐帶，也可以作

為解三角形的常用工具.如圖1,已知△ABC中，ZA=30°,ZB=45°,AB=5+5y[3,

解這個三角形；

（3）【延伸應用】如圖2,AABC中，AC=2V3,cosA=亨，BC=m,在解這個三角形

時，若未知元素都有兩解的力的取值范圍是.

C

圖1圖2

【分析】（1）根據解直角三角形的定義得到結論；

（2）過點C