難點與解題模型10平行線中的常見的四種“拐角”模型

題型一：“豬蹄”模型（含“鋸齒”模型）

題型二：“鉛筆”模型

題型三：“雞翅”模型

題型四：“骨折模型”

.精淮提分

題型一：“豬蹄”模型（含“鋸齒”模型）

「藉T*i區7區...............

一、“豬蹄”模型

豬蹄模型的基本特征：一組平行線，中間有一個點，分別與平行線上的點構成“豬蹄”。

豬蹄模型（又名燕尾模型、M字模型）

步驟總結

:步驟一：過豬蹄（拐點）作平行線

；步驟二：借助平行線的性質找相等或互補的角

步驟三：推導出角的數量關系

模型結論：ZB+ZD=ZDEB.

二、鋸齒模型

已知圖示結論（性質）證明方法

AB

AB/7DEZB+ZE=ZC

上遇拐點做平行

DE線（方法不唯

AB一）

AB〃DE*NB+NM+NE=NC+NN

,N<z

DE

,一aF4也

多

a〃b5所有朝左角之和等于所有朝右角的和

?^^***^

b

?----------^4

【中考母題學方法】

【典例1-1】（2023?遼寧盤錦?中考真題）如圖，直線A3〃CD,將一個含60。角的直角三角尺EGF按圖中

方式放置，點E在上，邊GF、砂分別交C。于點X、K,若NBEF=64。,則NGHC等于（）.

A.44°B.34°C.24°D.14°

【答案】B

【分析】根據平行的性質可得NEKC=/BEF=64。，再根據四邊形內角和為360?？傻肗GHK=146。，問題

隨之得解.

【詳解】13A3〃CD,ZBEF=64°,

BlZEKC=ZBEF=64°,

0ZEKC+ZG+ZGEK+ZGHK=360°,NGEK=60。,ZG=90°,

SZGHK=146°,

0ZGHK+ZGHC=180°,

0ZGHC=34°,

故選：B.

【點睛】本題主要考查了平行的性質以及四邊形內角和為360。，掌握四邊形內角和為360。是解答本題的關

鍵.

【典例1-2】（2020,湖南?中考真題）如圖，已知AB0OE,01=30°,02=35",則EIBCE的度數為（）

AB

A.70°B.65°C.35°D.5°

【答案】B

【分析】作Cm4B,根據平行線的性質可以得到配=回8（主，HFC￡=ffl2,從而可得SBCE的度數，本題得以

解決.

【詳解】作C麗43,

EIABHDE,

0Cfl3DE,

0AB0Z)￡13D￡,

001=EIBCF,0FC￡=02,

回回1=30。，02=35°,

B3BCF=30°,fflFCE=35°,

00BC￡=65°,

故選：B.

【點睛】本題考查平行線的性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用平行線的性質解答.

【典例1-3】（2024?在平區一模）如圖，AB//EF,ZC=90°,則。，7的關系是（）

A.a+/3-y=90°B.尸+7-。=90。

C.a+6+7=180°D.0=a+y

【答案】A

【分析】本題考查了平行線的性質，根據題意作出輔助線是解題的關鍵.分別過點C、。作A3的平行線,

即AB〃肱V〃尸所，根據平行線的性質得，a=ZBCN,NNCD=NCDP,ZPDE=y,由

ZBCN+ZNCD=90°,得NBCN+/CDP=90。,再由=￡—即可得到。+/?-7=90。.

【詳解】如圖，分別過點C、。作AB的平行線，即43〃肱V〃尸Q〃EF,

根據平行線的性質得，a=ZBCN,ZNCD=ZCDP,ZPDE=7,

ZCDP+ZPDE=J3,

NCDP=0-NPDE,

又：ZBCN+ZNCD^90°,

:"BCN+NCDP=90。,

即a+分一7=90。，

故選：A.

【典例1-4】（2024?河南南陽?模擬預測）傳統文化如同一顆璀璨的明珠，熠熠生輝，為增強學生體質，同時

讓學生感受中國傳統文化，某校將國家非物質文化遺產“抖空竹”引入陽光特色大課間.如圖①是某同學“抖

空竹”時的一個瞬間，小紅同學把它抽象成數學問題：如圖②，已知AB〃CD,NAEC=131。，NBAE=57°,

則/DCE的度數為（）

A.64°B.65°C.74°D.75°

【答案】C

【分析】本題考查了平行線的性質，掌握平行線的性質求角度的方法是解題的關鍵.

如圖，作EF〃AB,可得NBAE+NDCE=ZAEC,所以NDCE=NAEC-/BAE,由此即可求解.

【詳解】解：如圖所示，過點E作跖〃至，

E

7）

回AB〃CD,

⑦ABIIEFIICD,

國NBAE=AEF,NDCE=NCEF,

國NBAE+ZDCE=ZAEF+NCEF=ZAEC=131。，

團ZDCE=ZAEC-ZBAE=131°-57°=74°,

故選：C.

【典例1-5】（2023?北京西城?統考一模）下面是解答一道幾何題時兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種,

完成證明.

已知：如圖，AB||CD.

求證：^AEC=Z4+ZC

AB

CD

方法二

方法一

證明：如圖，延長4E,交CD于點F.

AB

M\EN4B

證明：如圖，過點E作MN||ABCD

CFD

回MN||CD,

0Z.C=Z-CEM.

回乙4EC=Z-AEM+Z-CEM,

^Z.AEC=Z.A+ZC.

方法二證明：如圖，延長4E,交CD于點、F,

^AB||CD,

團乙/=Z.AFC.

回匕AEC=Z-AFC+乙C,

^\Z-AEC=Z.A+ZC.

【點睛】本題考查了平行線的判定和性質，三角形外角的性質，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵.

【中考模擬即學即練】

【變式1-1］（2024?遼寧?模擬預測）汽車前照燈的反射鏡具有拋物線的形狀，它們是拋物面（如圖），明亮的

光束是由位于拋物線反射鏡焦點F上的光源產生的，此時光線沿著與拋物線的對稱軸A3平行的方向射出,

若//CD=40。，ZFGW=70°,則光線尸C與尸G形成的NCFG的度數為（）

A.90°B.100°C.110°D.120°

【答案】C

【分析】此題考查了平行線的性質，根據兩直線平行內錯角相等得到

ZAFC=ZFCD=40°,ZAFG=ZFGH=70°,即可得到ZCFG的度數.

【詳解】解：由題意可知，CF//AB//GH,

0ZAFC=ZFCD=40°,ZAFG=ZFGH=70°,

aZCFG=ZAFC+ZAFG=110°

故選：C

【變式1-2］（2024?湖南長沙?模擬預測）如圖，AB//CD,OBLOD,若NABO=36。，則NODC的度數為

)

54°C.72°D.108°

【答案】B

【分析】本題考查了根據平行線的性質求角的度數，作OECD得AB〃OECD,進一步可得

ZBOD=ZBOE+ZDOE=ZABO+Z.ODC,據此即可求解.

【詳解】解：作OECD,如圖所示:

0NBOE=ZABO,ZODC=NDOE

0Z.BOD=NBOE+Z.DOE=ZABO+ZODC

0ZABO=36°,ZBOD=90°

0ZODC=ZBOD-ZABO=54°

故選：B

【變式1-3］（2024?甘肅?模擬預測）如圖1,是我國具有自主知識產權、用于探索宇宙的單口徑球面射電望

遠鏡"中國天眼如圖2,是"中國天眼”接收來自宇宙的電磁波的原理圖，其中EG為豎直方向的饋源（反

射面），入射波AO經過三次反射后沿O'A水平射出，且。1〃O'A,已知入射波AO與法線的夾角Nl=35。,

則NA'O'R=()

圖1圖2

A.70°B.60°C.45°D.35°

【答案】A

［分析］本題考查了平行線的性質，過點產作CC〃,可得CC'〃Q4〃0A,根據題意得到ZAOF=70°,

再由平行線的性質得到NA'O^=NCFO'=NCFO=70。，得出答案，掌握平行線的性質是解題的關鍵.

【詳解】解：過點尸作CC〃以，OH為法線,如圖:

圖2

回。4〃0'4',

ECC,//OA//O'A,,

E1CC'±EG,

國cc為法線，

0ZCFO=ZCFO,,

E1OH為法線，Nl=35。，

EIZFOH=N1=35°,

EINAOP=70°,

ECC//OA,

0ZAOF=ACFO=ZCFO1=70°,

SCC//O'A1,

0ZAO'F=Z.CFO=70°,

故選：A.

【變式1-4］（2024?云南昆明?模擬預測）如圖，已知。〃人若AB與BC的夾角為105。，Zl=55°,則/2的

度數為（）

A.105°B.125°C.130°D.150°

【答案】C

【分析】本題主要考查了平行線的性質及判定，掌握平行線的性質及判定是解本題的關鍵.

過點8作由a〃b可得進而可得出NCBD=50。，即可求解.

【詳解】解：如圖，過點8作

;.BD//b,

.-.Z1=ZABD=55O,Z2+ZCBD=180°,

/ABC=105。，

:./CBD=50。,

.-.Z2=130o.

故選：C

【變式1-5］（2024?江蘇常州?一模）如圖,直線a6,點A在直線。上，點C在直線b上，ABJ_3C,若N1=44。,

貝Z2=

【答案】46

【分析】本題考查了平行線的判定與性質、垂直的定義，熟練掌握平行線的判定與性質是解題的關鍵.

過點B作射線再根據ab,得出N1=NA5D,Z2=ZCBD,再根據AB_L3c即可求解.

【詳解】解：過點2作射線氏D〃。，如圖所示，

^\BD//a,

^\Zl=ZABD,

回〃b,

^\BD//b,

回N2=NCBD,

回NABC=NABD+NCBD=N1+N2=90。，

0Z1=44°,

團N2=90。一Nl=46°.

故答案為：46.

【變式1-6】問題情境：如圖1,已知4BEI6],/-APC=108°.求NP4B+"CD的度數.

經過思考，小敏的思路是:如圖2,過P作PE0/W,根據平行線有關性質，可得NP28+乙PCD=360°-UPC=

252°.

問題遷移：如圖3,A?；谺C,點P在射線。M上運動，4ADP=4a,LBCP=卬

⑴當點P在A、B兩點之間運動時，乙CPD、Na、N0之間有何數量關系？請說明理由.

⑵如果點P在4B兩點外側運動時(點P與點A、B、。三點不重合)，請你直接寫出NCP。、Na、N0之間

的數量關系.

⑶問題拓展：如圖4,MA^NAn,Ar-Br-A2-----/是一條折線段，依據此圖所含信息，把你

所發現的結論，用簡潔的數學式子表達為一

【答案】(l)E!CPD=[3a+l36,理由見解析

(2)0CPD=[36-0a或回CPD=!3a-El6

(3)[ZL4_2+[ZL42+…二回81+回82+…+48九_1

【分析】(1)過P作PEMD,根據平行線的判定可得PEMOSBC,再根據平行線的性質即可求解；

(2)過P作PEHAD,根據平行線的判定可得再根據平行線的性質即可求解；

(3)問題拓展：分別過4,4…,作直線MM,過a,B2...Bn”作直線叫M,根據平行線的判定

和性質即可求解.

【詳解】(1)EICPD=ffla+ra6,理由如下：

如圖，過P作PE0AD交8于E,

EMDfflBC,

^AD^PE^BC,

回回。二團DPE,回6二團CPE,

^\CPD=^DPE+^\CPE=^a+^6；

(2)當P在84延長線時，回CPD二團6-團a；理由:

如圖，過P作戶函4。交CD于E,

M

V-------/

E/D

加?；?C,

國4。團PE團8C,

回團a二團DPE,團6二回CPE,

回團CPD二回CPE-回DPE二回6■■回a；

當P在8。之間時，團CP。二團a-團6.理由:

如圖，過P作用加。交CD于E,

財。團PEU8C,

回回a二回DPE,回6二回CPE,

團團CP。二團OPE-回CPE二回a-團6.

(3)問題拓展:分別過4，4…，4恒作直線蜘過&,歷，…，8".?作直線勖

由平行線的性質和角的和差關系得%h+M2+...+M"二姐什回歷+...+/當_1.

N.

N

故答案為：財？+加2+-?.+加八二團8工+回82+...+48九_1.

【點睛】本題主要考查了平行線的判定和性質的應用，主要考查學生的推理能力，第問在解題時注意

分類思想的運用.

題型二：“鉛筆”模型

（指I點I迷I津

從豬蹄模型可以看出,點E是凹進去了，如果點E是凸出來，如下圖:

那么，像這樣的模型，我們就稱為鉛筆頭模型。

模型結論：ZB+ZE+ZD=360°

【中考母題學方法】

【典例2-1】（崇川區校級三模）如圖，已知ZA=140°,ZE=120°,則NC的度數是（

A.80°B.100°C.120°D.140°

【分析】過E作E/〃AB,求出AB〃斯〃CD,根據平行線的性質得出/A+NA斯=180°,ZC+ZCEF

=180°,求出NA+NAEC+NCnSGO。，代入求出即可.

【解答】解:

過E作所〃AB,

,JAB//CD,

J.AB//EF//CD,

：.ZA+ZAEF=180°,ZC+ZCEF=180°,

ZA+ZAEF+ZCEF+ZC=360",

即/A+/AEC+/C=360°,

VZA=140°，ZAEC=nO°,

AZC=100°，

故選：B.

【點評】本題考查了平行線的性質的應用，解此題的關鍵是能正確作出輔助線，注意：兩直線平行，同

旁內角互補.

【典例2-21（2024春?啟東市校級月考）如圖，直線a//b,Nl=28°,則N3=度，N3+N4+N5=

【分析】過N3的頂點作已知直線的平行線，充分運用平行線的性質，不難發現：N3=N1+N2,Z3+

N4+N5=360°

【解答】解：如圖所示：過N3的頂點作

■:a//b.

*.a//b//c,

???N1=N6,N7=N2,

又N3=N6+N7,

???N3=N1+N2=78°；

又N4+N6=N7+N8=180°

???N3+N4+N5=360°.

【點評】注意此類題中常見的輔助線：構造已知直線的平行線.根據平行線的性質發現并證明：Z3=Z

1+Z2；Z3+Z4+Z5=360°.

【典例2-3】請在橫線上填上合適的內容.

（1）如圖（1）已知AB〃C￡>,則=

ABAB

解：過點E作直線￡F〃A3.

EINFEB=().()

AB11CD,EF//AB,

0()//().(如果兩條直線和第三條直線平行，那么這兩直線平行)

EIZFED=().().

國ZB+ND=NBEF+NEED.

SZB+ZD=ZBED.

(2)如圖②，如果A2〃CD,則NB+NBED+ND=()

【答案】(1)回2兩直線平行，內錯角相等，EF,CD,0D,兩直線平行，內錯角相等；

(2)360°

【分析】(1)過點E作直線EM4B,則回在18=138,繼而由E股ICC可得跖EO=I3。.所以I3B+回。

SP[3B+[3￡)=[3BED；

(2)過點E作直線￡7迥AB,則回FEB+I3B=18O。，繼而由EF0CD可得回莊力+回。=180。.所以

SB+SD+SBEF+^FED=360°,BPfflB+0BED+0￡>=36O°.

【詳解】解：(1)解：過點E作直線￡甩4艮

0EFEB=0B.(兩直線平行，內錯角相等)

I3AB0CZ),EF3\AB,

SEF^CD(如果兩條直線和第三條直線平行，那么這兩直線平行).

0EFED=0D(兩直線平行，內錯角相等).

00B+0￡)=0BEF+[3FEr).

0EIB+I3D=0BED.

故答案為：回8,兩直線平行，內錯角相等，EF,CD,0D,兩直線平行，內錯角相等；

(2)解：過點E作直線EFW1B,如圖.

AB

00FEB+0B=18O°.兩直線平行，內錯角相等).

E1AB0CD,EF^AB,

SEF^CD(如果兩條直線和第三條直線平行，那么這兩直線平行).

a0FED+0Z)=18Oo(兩直線平行，內錯角相等).

^S\B+^D+SBEF+SFED=360°.

00B+aB￡D+0￡)=36Oo.

故答案為：360°.

【點睛】本題考查了平行線的判定與性質，平行公理及其推論，熟練掌握平行線判定、性質說理是關鍵.

【典例2-4]如圖，已知ABG1CD.

CDCD

圖3圖4

(1)如圖1所示，01+02=；

(2)如圖2所示，01+02+03=；并寫出求解過程.

(3)如圖3所示，01+02+03+04=；

(4)如圖4所示，試探究團1+回2+回3+回4+回+刖=.

【答案】(1)180°；(2)360°；(3)540°；(4)(n-1)xl80°

【分析】(])由兩直線平行，同旁內角互補，可得答案；

(2)過點E作A8的平行線，轉化成兩個圖1,同理可得答案；

(3)過點E,點F分別作AB的平行線，轉化成3個圖1,可得答案;

(4)由(2)(3)類比可得答案.

【詳解】解：(1)如圖1,EMB0CD,

031+132=180。(兩直線平行，同旁內角互補).

故答案為：180。；

(2)如圖2,過點E作A8的平行線EF,

EL4B0CD,

EL4B0EF,CD0EF,

mi+EWEF=180",0FEC+03=18O°,

001+02+03=360°；

圖4

(3)如圖3,過點E,點F分別作AB的平行線,

類比（2）可知I31+[32+[33+[34=180°X3=540°,

故答案為：540°；

(4)如圖4由(2)和(3)的解法可知回1+回2+回3+回4+...+酎=(n-1)xl80°,

故答案為：(n-1)xl80°.

【點睛】此題考查了平行線的性質.注意掌握輔助線的作法是解此題的關鍵.

【中考模擬即學即練】

【變式2-1](江蘇模擬)如圖，是賽車跑道的一段示意圖，其中測得NB=140。Z￡）=120°，

則NC的度數為(

5

A.120°B.100°C.140°D.90°

【分析】先作輔助線再根據平行線的性質解答即可.

【解答】解：過點。作3〃人3,

\,AB//DE,

J.AB//DE//CF,

.,.ZB+Z1=18O°,Z￡>+Z2=180°；

故N3+Nl+/Z)+N2=360°,即NB+NBCr>+ND=360°,

故/BCO=360°-140°-120°=100°.

【點評】注意此類題要作出輔助線，運用平行線的性質探求三個角的關系.

【變式2-2］問題情境：如圖1,ABWCD,APAB=130°,ZPCD=120°,求乙4PC的度數.

圖5備用圖1備用圖2

思路點撥：

小明的思路是：如圖2,過P作PEIIAB,通過平行線性質，可分別求出“PE、NCPE的度數，從而可求出

“PC的度數；

小麗的思路是：如圖3,連接4C,通過平行線性質以及三角形內角和的知識可求出乙4PC的度數；

小芳的思路是：如圖4,延長4P交DC的延長線于E,通過平行線性質以及三角形外角的相關知識可求出NZPC

的度數.

問題解決：請從小明、小麗、小芳的思路中任選一種思路進行推理計算，你求得的乙4PC的度數為。；

問題遷移：

(1)如圖5,4D||BC,點P在射線OM上運動，當點P在A、B兩點之間運動時,NADP=乙a,乙BCP=乙0.乙CPD、

Na、N0之間有何數量關系？請說明理由；

(2)在(1)的條件下，如果點P在A、B兩點外側運動時(點P與點A、B、。三點不重合)，請你直接寫

出“PD、Na、4間的數量關系.

【答案】110；(1)NCPD=Na+NS，理由見解析；(2)乙CPD=乙0—乙a或乙CPD=La—乙8,理由見解

析

【分析】小明的思路是：過P作PEII4B,構造同旁內角，利用平行線性質，可得乙4PC=110。.

(1)過P作PEII4Z)交CD于E,推出40IPEIIBC,根據平行線的性質得出Na=NOPE,=/.CPE,即可得

出答案；

(2)畫出圖形(分兩種情況：①點P在B4的延長線上，②點P在AB的延長線上)，根據平行線的性質得

出“=4DPE,“=LCPE,即可得出答案.

【詳解】解：小明的思路：如圖2,過P作PEII4B,

0PF||AB||CD,

S^APE=180°一"=50°,4CPE=180°一乙C=60°,

0Z4PC=5OO+6O°=11O°,

故答案為：110;

(1)/.CPD=za+z/?,理由如下：

如圖5,過P作PEII4D交CD于E,

EL4DHBC,

SAD\\PE\\BC,

=4DPE,N0=乙CPE,

S/.CPD=NOPE+乙CPE=Na+4；

圖5

(2)當P在B4延長線時，乙CPD=4/3—4a；

理由：如圖6,過P作PEII4D交于E,

^AD\\BC,

^AD\\PE\\BC,

團匕a=乙DPE,乙0=(CPE,

國乙CPD=乙CPE-Z.DPE=乙0一乙a；

圖6

當P在B。之間時，乙CPD=乙。一40.

理由：如圖7,過P作PEII4D交CD于E,

SADWBC,

^ADWPEWBC,

fflza=乙DPE,邛=lCPE,

QZ.CPD=乙DPE—乙CPE—Na—乙。.

圖7

【點睛】本題考查了三角形的內角和定理，平行線的判定和性質，主要考查學生的推理能力，解決問題的

關鍵是作輔助線構造內錯角以及同旁內角.

【變式2-3］（1）如圖1,/曲/2,求皿+酎2+幽3=.（直接寫出結果）

（2）如圖2,/曲/2，求加什附2+加3+兇4=.（直接寫出結果）

（3）如圖3,/祖以求附】+M2+蜘3+蜘4+蜘5=.（直接寫出結果）

（4）如圖4,/祖/2,求a41+EM2+...+ElAn=.（直接寫出結果）

【答案】(1)360°；(2)540°；(3)720°；(4)(n-1)180°

【分析】（］）過點人作48回"，根據平行線的性質，即可求解；

（2）過點（作48冊，過點4作40/1，根據平行線的性質，即可求解;

（3）根據平行線的性質，即可求解;

（4）根據平行線的性質，即可求解.

【詳解】解：⑴過點4作48助,

⑴

0/10/2,

朋團6,

m4+兇148=180°,^A3+^A3A2B=180°f

物4+加以24+蜘3=骷】+骷遇28+回4+加3八28=180°+180°=360°,

故答案是：360。；

(2)過點4作48助,過點4作46/1,

(2)

團〃團匕，

加3皿28回/1回/2，

回MI+MM28=180°,a44+^4^35=180°,回班24+回。3人2=180°,

174243+0>42444+0^4=[2L4J+[2L4I>42B+[U^4+[MM3B+回84243+回C43A2

=180o+180°+180o=540°,

故答案是：540°；

OOOOO

(3)同理可得：EWI+EW2+EW3+EW4+EW5=180+180+180+180=720,

故答案是：720。；

同理可得：

(4)EM2+EM2+...+fflAn=(n-1)180°,

故答案是：(n-1)180°.

【點睛】本題主要考查平行線的性質，添加輔助線，構造平行線，是解題的關鍵.

【典例3-1】(2024?廣東深圳?模擬預測)抖空竹是我國的傳統體育，也是國家級非物質文化遺產之一.明代

《帝京景物略》一書中就有空竹玩法和制作方法的記述，明定陵亦有出土的文物為證，可見抖空竹在民間

流行的歷史至少在600年以上.如圖，通過觀察抖空竹發現，可以將某一時刻的情形抽象成數學問題：

AB//CD,ZBAE=94°,ZDCE=122°,則NE1的度數為()

A.28°B.38°C.18°D.25°

【答案】A

【分析】本題考查了平行線的性質，延長OC交AE于點下，先利用平行線的性質可得的E=ZDFE=94。,

然后利用三角形的外角性質進行計算，即可解答.根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解

題的關鍵.

【詳解】解:延長。C交AE于點下，

H1AB/7CD,

SZBAE=ZDFE=94°,

團NDCE是△CEF的一個外角，

0ZE=ZDCE—ZDFE=122°-94°=28°,

故選：A.

【典例3-2】AB回CD,點尸為直線AB,CD所確定的平面內的一點.

（1）如圖1,寫出EAPC、0A、IBC之間的數量關系，并證明；

（2）如圖2,寫出朋PC、0A、EIC之間的數量關系，并證明；

（3）如圖3,點E在射線冊上，過點E作加PC,作aPEG=aPER點G在直線CD上，作&BEG的平分

線EH交PC于點、H,若朋PC=30。，回B4B=140。，求回PEH的度數.

圖3

【答案】（1）0A+EIC+0Ape=360。，證明詳見解析；（2）0Ape=0A-I3C,證明詳見解析；（3）55°.

【分析】（1）首先過點P作PQ0AB,結合題意得出AB回PQ3CD,然后由"兩直線平行，同旁內角互補"進一步

分析即可證得ISA+OC+EIAPC=360°；

（2）作PQJ3AB,結合題意得出AB回PQI3CD,根據"兩直線平行，內錯角相等"進一步分析即可證得EIAPC=I3A-EIC；

（3）由（2）知，0APC=0PAB-EPCD,先利用平行線性質得出I3BEF=EIPQB=110。，然后進一步得出回PEG=

0FEG,0GEH=y0BEG,最后根據EIPEH=[3PEG-EIGEH即可得出答案.

【詳解】（1）回A+EIC+回APC=360°,證明如下：

如圖1所示，過點P作PQ回AB,

圖1

fflA+0APQ=18O°,

X0AB0CD,

0PQ0CD,

00C+0CPQ=18O°,

00A+0APQ+0C+0CPQ=36O°,

即I3A+IBC+回APC=360°；

(2)0APC=0A-0C,證明如下:

如圖2所示，過點P作PQ回AB,

圖2

回團A=12APQ,

?AB團CD,

團PQ團CD,

團團C=[3CPQ,

RO1APC=B]APQ—R]CPQ,

回團APC=I2A-R]C；

(3)由(2)矢口，回APC=@PAB—回PCD,

回[3APC=30°,0PAB=14O°,

回回PCD=110°,

團AB回CD,

回團PQB=R]PCD=110°,

0EF0PC,

回回BEF=12PQB=110°,

釀PEG=OEF,

釀PEG=g[2FEG,

回EH平分團BEG,

釀GEH=1■團BEG,

釀PEH=?PEG-回GEH

=』回FEG-g團BEG

22

=1-0BEF

=55°.

【點睛】本題主要考查了利用平行線性質與角平分線性質求角度的綜合運用，熟練掌握相關概念是解題關

鍵.

【典例3-3】(2023,重慶大渡口?統考模擬預測)在數學課上老師提出了如下問題：

如圖，乙B=160°,當乙4與NO滿足什么關系時,BC||DE?

小明認為ND-N&=20。時BC||DE,他解答這個問題的思路和步驟如下，請根據小明的思路完成下面的作

圖與填空:

解：用直尺和圓規，在D4的右側找一點M,使ND4M=2。(只保留作圖痕跡).

ElNfMM=乙D,

00_____________

0ZD-/.DAB=20°

SZ.BAM=@°,

=160°,

0ZB+/.BAM=@°,

回④_____________

0BC||DE.

所以滿足的關系為：當N。—乙4=20。時，BC||DE.

【答案】@DE\\AM,②20,③180,@BC\\AM

【分析】首先根據作一個角等于已知角進行尺規作圖，然后再題目步驟的引導下，將空白處補充完整即可.

【詳解】解：如圖，通過尺規作圖得：/.DAM=Z.D,

^Z-DAM=zD,

團①DE||4M,

0ZP-4DAB=20°,

m^BAM=@20°,

0ZB=160°,

fflzB+ABAM=(3)180°,

回④8cllAM,

0BC||DE.

所以滿足的關系為：當ND-2=20。時，BC||DE.

故答案為：?DE\\AM,②20,③180,@BC\\AM.

【點睛】本題考查了平行線的判定方法、尺規作圖(作一個角等于已知角)等知識點，平行線判定方法的

熟練掌握是解題關鍵.

【中考模擬即學即練】

【變式3-1］如圖，若ABHCD,貝胞1+國3-回2的度數為

E、

1

B

3A

CD

【答案】180°

【分析】延長EA交CD于點F,則有團2+團EFC=回3,然后根據AB//CD可得回1二回EFD,最后根據領補角及等量

代換可求解.

【詳解】解:延長EA交CD于點F,如圖所示:

AB//CD,

，團1二團EFD,

團2+團EFC=團3,

NEFC=N3—N2,

NEFC+NEFD=180。,

二.Zl+Z3-Z2=180°；

故答案為180°.

【點睛】本題主要考查三角形外角的性質及平行線的性質，熟練掌握三角形外角的性質及平行線的性質是

解題的關鍵.

【變式3-2］問題探究:

如下面四個圖形中，ABCD,

(1)分別說出圖1、圖2、圖3、圖4中，團1與回2、明三者之間的關系.

(2)請你從中住造：個加以說明理由.

圖1圖2圖3圖4

解決問題:

（3）如圖5所示的是一探照燈燈碗的縱剖面,從位于0點的燈泡發出兩束光線OB、OC經燈碗反射后平行

射出.如果11480=57°,回￡>CO=44°,那么ELBOC=

圖2：01+02+03=360°；圖3：EI1=02+03；圖4：01+03=02；⑵見解

析；（3）101。

【分析】（1）圖1：首先過點P作PEAB,由ABCD,即可得ABPECD,然后根據兩直線平行，內錯

角相等，即可求得答案;

圖2：首先過點P作PEAB,由CD,即可得ABPECD,然后根據兩直線平行，同旁內角互補,

即可求得答案;

圖3：由ABCD,根據兩直線平行,同位角線相等，以及三角形外角的性質，即可求得答案;

圖4：由ABCQ,根據兩直線平行,同位角線相等，以及三角形外角的性質，即可求得答案.

（2）選圖1,過點尸作尸EAB,由48CD,即可得ABPECD,然后根據兩直線平行，內錯角相等,

即可求得答案;

（3）利用圖1結論進行求解

【詳解】⑴圖1：01+02=03；

圖2：01+02+03=360°

圖3：01=02+03；

圖4：01+03=02；

(2)選擇圖1,

如圖所示：過點尸作EP〃AB

0ABEP.CD

001=0APE,02=0EPC

又EH3=EL4PE+IBEPC

001+02=03；

⑶由圖1可得：SBOC=^ABO+^iDCO,

又EEABO=57°,0￡>CO=44°,

00B(9C=57O+44O=1O1O

【點睛】考查了平行線的性質與三角形外角的性質.解題的關鍵是掌握兩直線平行，同旁內角互補，兩直

線平行，內錯角相等以及兩直線平行，同位角相等定理的應用與輔助線的作法.

【變式3-3】已知直線4038,P為平面內一點，連接力、PD.

(1)如圖L已知蜘=50°,回。=150°,求B4PD的度數；

(2)如圖2,判斷EIRAB、0CDP>MP。之間的數量關系為.

(3)如圖3,在(2)的條件下，APS\PD,ON平分E1PDC,若朋AB=MPD,求回4V。的度數.

【答案】(1)EL4PD=80°；(2)@PAB+0CDP-EMPD=18O°;(3)EW/VD=45°.

【分析】(1)首先過點P作PQEMB,則易得A麗PQ國CD,然后由兩直線平行，同旁內角互補以及內錯角相等,

即可求解；

(2)作PQEL48,易得ABE1PQI3CD,根據平行線的性質，即可證得朋48+配。。-酎。。=180。；

(3)先證明勖/。。=；明48,回ODN=；I3PDC,利用(2)的結論即可求解.

【詳解】解：(1)EEL4=50°,0D=15O°,

過點P作PQEMB,

CD

回加物PQ=50°,

MB團CD,

0PQ0CD,

團團。+團。PQ=180°,貝岫。PQ=180°-150°=30°,

團MP。二財PQ+團DPQ=500+30°=80°；

(2)^PAB+^CDP-^\APD=180o,

如圖，作PQM3,

釀力B=MPQ,

財3團CD,

SPQ0CD,

團團CDP+團。PQ=180°,BPl?]DPQ=18Oo-0CDP,

^\APD=^APQ-^DPQf

團MPD二回%8-(180°-回CDP)=回外8+團CDP-180。；

mPAB+^CDP-^APD=180°；

(3)設PD交4V于。如圖，

N

P

B

CD

加甩PD,

函”0=90°,

由題知團%A/+-^\PAB=^\APD,即回函N+-回%8=90°,

22

又回回POZ+回力A/=180°-勵PO=90°,

1

回團POR—即％8,

2

盟POZ二回/V。。，

1

回團/VOD二一回%8,

2

0D/V平分團PDC,

1

^\ODN=-^1PDC,

2

^\AND=180°-^NOD-^ODN=180°-；(回％8+回P。。,

由(2)得團%8+回CDP-MPD=180°,

團回以8+回PDC=180°+MP。，

^\AND=180°-^PAB+^PDC)

二180°-；(180°+刈。)

=180°-y(180°+90°)

=45°,

BP04A/D=45°.

【點睛】本題考查了平行線的性質以及角平分線的定義.注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想

的應用.

題型四：“骨折模型”

i「liTMi速「承

【中考母題學方法】

【典例4-1】（2024?黑龍江綏化?中考真題）如圖，AB//CD,ZC=33°,OC=OE.則NA=

【答案】66

【分析】本題考查了平行線的性質，等邊對等角，三角形外角的性質，根據等邊對等角可得NE=NC=33。,

根據三角形的外角的性質可得，DOE=66。，根據平行線的性質，即可求解.

【詳解】解：0OC=OE,ZC=33°,

0ZE=ZC=33°,

0Z.DOE=NE+NC=66°,

^AB//CD,

EINA=NDOE=66°,

故答案為：66.

【典例4-2】（2023?四川資陽?中考真題）如圖，AB//CD,AE交CD于點、F,ZA=60°,NC=25。,則

ZE=____

B

【答案】35735度

【分析】本題考查了平行線的性質，三角形外角的性質，熟練掌握平行線的性質和三角形外角的性質是解

題的關鍵.先根據兩直線平行，同位角相等得出HD=NA=60。，再根據三角形的一個外角等于與它不相

鄰的兩個內角的和得到/防D=/E+NC，即可求出，E的度數.

【詳解】解：AB//CD,

NEFD=ZA,

.ZA=60°,

ZEFD=60°,

/砂D是△CEF的外角，

ZEFD=ZE+ZC,

.ZC=25°,

ZE=ZEFD-ZC=60°-25°=35°

故答案為：35°

【典例4-3】①如圖1,AB//CD,則M+EIE+EIC=180。；②如圖2,AB//CD,則E1E=M+I3C；③如圖3,

AB//CD,貝1］蜘十亞一團1=180。；④如圖4,AB//CD,則蜘=配十帆以上結論正確的個數是（）

圖1圖2圖3圖4

A.①②③④B.①②③C.②③④D.①②④

【答案】C

【分析】①過點￡作直線即〃他，由平行線的性質即可得出結論；

②過點E作直線EF//AB,由平行線的性質即可得出結論；

③過點E作直線瓦〃4B，由平行線的性質可得出M+E1E-EI1=18O。；

④先過點P作直線尸產〃AB,再根據兩直線平行，內錯角相等和同位角相等即可作出判斷