難點01相交線與平行線的常考題型

（6大熱考題型）

題型一：方位角

題型二：垂直有關概念應用

題型三：平行線性質的應用

題型四：直角三角板在平行線中的應用

題型五：常見平行線模型的應用

題型六：平行線間的距離

.睛淮提分

題型一：方位角

【中考母題學方法】

【典例1】（2024.河南?中考真題）如圖，乙地在甲地的北偏東50。方向上，則/I的度數為（）

北

A

?_

A.60°B.50°C.40°D.30°

【答案】B

【分析】本題主要考查了方向角，平行線的性質，利用平行線的性質直接可得答案.

【詳解】解：如圖，

甲

由題意得，ZBAC=50°,AB//CD,

：.Nl=N54C=50°,

故選：B.

【變式1-1］（2024.河北唐山?二模）如圖，琪琪家位于點。北偏東25。方向，則點A,B,C,。中可能表

示琪琪家的是（）

1北

A*\由東

…

B*\

A.點AB.點BC.點CD.點。

【答案】D

【分析】本題考查了方向角，熟練掌握方向角的定義是關鍵.

【詳解】解：如圖，琪琪家位于點。北偏東25。方向，則點A,B,C,￡）中可能表示琪琪家的是點D.

故選：D.

【中考模擬即學即練】

1.（2024?河北秦皇島?模擬預測）如圖是石家莊市地圖的一部分，省二院在市二中北偏東30。方向上，則市

二中在省二院的（）

?省''二院.半

-------?東

“?市二中''

A.南偏東30。方向B.南偏西30。方向

C.北偏東45。方向D.北偏西60。方向

【答案】B

【分析】本題考查了方位角的應用，因為省二院在市二中北偏東30。方向上，所以市二中在省二院的南偏西

30。方向，即可作答.

;省二院在市二中北偏東30。方向上

.?.市二中在省二院的南偏西30。方向

故選：B

2.（2024?河北滄州.模擬預測）觀察圖中尺規作圖痕跡，下列結論錯誤的是（）

北

B.PA=PB

C.E是OP的中點

D.點尸在點。的北偏東25。方向上

【答案】C

【分析】本題考查了尺規作圖中的作角的平分線，根據尺規作圖的畫法可知：。尸是-AC?的角平分線，

OA=OB,PA=PB,進而求得NAOP=25。，即可得出結論，掌握角尺規作角平分線的方法是解題的關鍵.

【詳解】解：根據尺規作圖的畫法可知：OP是NZOB的角平分線，OA=OB,PA=PB,

故A、B正確，不符合題意；

C、無法證明E是OP的中點，

故C不正確，符合題意；

D、由題意知2403=90。-40。=50。，

Z.ZAOP=ZAOP=25°,

...點尸在點。的北偏東25。方向上，

故D正確，不符合題意.

故選：C.

題型二：垂直有關概念應用

【中考母題學方法】

【典例2】（2024.北京?中考真題）如圖，直線和CO相交于點。，OE±OC,若NAOC=58。，貝|NEOB

的大小為（）

c

E

A-B

O

D

A.29°B.32°C.45°D.58°

【答案】B

【分析】本題考查了垂直的定義，平角的定義，熟練掌握知識點，是解題的關鍵.

根據得到NCOE=90。，再由平角NAOB=180。即可求解.

【詳解】解：

ZCOE=90°,

,：ZAOC+ACOE+ZBOE=180°,ZAOC=58°,

/.NEOB=18O°-9O°-58=32°,

故選：B.

【變式2-1］（2023?河南洛陽?一模）如圖，直線AB,CO相交于點。，EOLM,垂足為點。，ZCOE=146°,

則/3。￡>=()

C.46°D.136°

【答案】B

【分析】本題考查了垂線的定義、對頂角相等，熟練掌握以上知識是解題的關鍵.

根據垂線的定義，得出NAOE=90。，再根據角之間的數量關系，得出/。。4=146。-90。=56。，再根據對頂

角相等，即可得出答案.

【詳解】解：

ZAOE=90°,

又：ZCOE=146°,

ZCOA=146°-90°=56°,

ZBOD=ZAOC=56°.

故選：B.

【變式2-2］（2024?貴州貴陽?二模）如圖，直線A3,C￡＞相交于點。，EOLAB,ZCOE=56°,則/30D

A.34°B.54°C.56°D.66°

【答案】A

【分析】本題考查了對頂角，垂直的定義.首先求出NAOC=90。-56。=34。，然后根據對頂角相等求解即

可.

【詳解】VEOLAB,ZCOE=56°,

：.ZAOC=90°-56°=34°,

ZDOB=ZAOC=34°.

故選：A.

【變式2-3］（20-21七年級下?遼寧沈陽?階段練習）如圖，ZACD=9Q>°,CE1AB,垂足為E,則下面的結

論中，不正確的是（）

C.A3與CE互相垂直D.線段C￡>的長度是點。到AC的距離

【答案】A

【分析】本題考查了點到直線的距離，根據點到直線的距離的定義對各個選項逐一分析即可得出答案，熟

知直線外一點到直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離是解答此題的關鍵.

【詳解】解：A,-JCE1AB,

二點C到的垂線段是線段CE,故原說法錯誤，符合題意；

B、,/ZACD=9Q°,

J.CDLAC,即CD與AC互相垂直，故原說法正確，不符合題意；

C、VCE1AB,

二A3與CE互相垂直，故原說法正確，不符合題意；

D、^ACD=90°,

：.CD.LAC,即線段CD的長度是點。到AC的距離，故原說法正確，不符合題意；

故選：A.

【變式2-4]（2024?河南商丘?模擬預測）如圖，點。在直線CO上，。4，。5于點0,若ZAOD=3/BOD,

則—AOC的度數為（）

C.110.5°D.112.5°

【答案】D

【分析】本題考查了垂線的定義，鄰補角，找出角度之間的數量關系是解題關鍵.由垂直可得NAO3=90。,

進而得出NAOD=67.5。，再結合鄰補角的定義，即可求出-40。的度數.

[WlW：-OA±OB,

.?.ZAOB=90°,

?.?ZAOD=3/BOD,

14

ZAOD+/BOD=ZAOD+-ZAOD=-ZAOD=90°,

33

/.ZAOD=67.5°,

/.ZAOC=180°-ZAOD=112.5°,

故選：D.

【中考模擬即學即練】

1.（2023?廣東廣州?模擬預測）如圖，直線AB,CD相交于點O,OELOF,若Nl=80。，Z2=30°,貝!JN3

的度數為（）

D

A.30°B.40°C.50°D.60°

【答案】B

【分析】本題考查了對頂角相等，垂線性質，角度的和差，根據對頂角相等求出/AOD的度數，從而求出

—AOE的度數，根據垂線性質得出NEO尸=90。，最后根據N3=NEOF-NAOE求出結果即可.

【詳解】解：?.?ZAOD=Z1=80°,

ZAOE=ZAOD-N2=80°-30°=50°,

-.-OE±OF,即NEOF=90°

Z3=Z.EOF-ZAOE=90°-50°=40°

故選：B.

2.（2024.河南周口.三模）如圖，直線ZB、CD相交于點。，OE1AB,若Zl=12,，1:/BOC=2:5,

則—AOD的度數為（）

【分析】本題考查垂直的定義，對頂角相等，先根據角的比值和垂直的定義得到』1=60。，然后根據對頂

角相等解題即可.

【詳解】解：：/l：/3OC=2:5,

N1:NBOE=2:3,

"?OE1AB,

：./BOE=90°,

：.—1=60。，

?.ZAOD=ZBOC=ZBOE+Z1=90°+60°=150°,

故選A.

3.（2024.北京西城?二模）如圖，直線MLCD于點C,射線CE在/BCD內部，射線CP平分/ACE,若

ZBCE=40°,則下列結論正確的是（）

A.ZECF=60°B.ZDCF=30°

C.ZACF與/BCE互余D.NECF與NBCF互補

【答案】D

【分析】根據垂直定義可得N3CD=90。，從而可得NACE=140。，NDCE=50。,再利用角平分線的定義可

得ZACF=NECF=|ZACE=70°,從而可得ZDCF=20。，然后利用角的和差關系可得ZACF+ZBCE=110°,

從而可得NACF與23CE不互余，再利用鄰補角定義可得/ACF+/BCF=180。，從而利用等量代換可得

ZECF+ZBCF=180°,即可解答.

【詳解】W：-.ABLCD,

:.ZBCD=9Q°,

?：ZBCE=40°,

ZACE=1800-ZBCE=140°,ZDCE=ZDCB-ZBCE=50°,

射線CF平分/ACE,

ZACF=ZECF=iZACE=70°,

2

ZDCF=ZECF-ZDCE=20°,

■.■ZACF=10°,

ZACF+ZBCE=110°,

/ACT與/BCE不互余，

?1-ZACF+ZBCF=180°,

ZECF+ZBCF=180°,

;.NECF與NBCF互補,

故A、B、C選項都不符合題意，D選項符合題意，

故選：D.

【點睛】本題考查了角的計算，角平分線的定義，余角和補角，垂線，根據題目的已知條件并結合圖形進

行分析是解題的關鍵.

4.（2024?四川樂山?二模）如圖是光的反射規律示意圖，CO是入射光線，0。是反射光線，法線EOLAB,

NCOE是入射角，/EO。是反射角，ZCOE=ZEOD.若NAOC=2NEOD,則/COE的度數為.

E

C.：P

A...........0.............

【答案】30。/30度

【分析】此題主要考查了角的計算，垂直的定義，由NEOD=NCOE,/AOC=2/EOD得NAOC=2NCOE,

再根據得NAOC+NCOE=90。，據此可求出/COE的度數，準確識圖，理解垂直的定義，熟練掌

握角的計算是解決問題的關鍵.

【詳解】解：-.ZEOD=ZCOE,/AOC=2/EOD,

:.ZAOC=2ZCOE,

■.■EOLAB,

:.ZAOE=9Qa,

ZAOC+ZCOE=90°,

即2NCOE+NCOE=90°,

：.NCOE=30°.

故答案為：30°.

5.（2024.廣東深圳.模擬預測）一束光從空氣中以不同的角度射入水中，會發生反射和折射現象，如圖①是

4

光束在水中的徑跡.如圖②，現將一束光以一定的入射角a（tana：］）射入水面GK,此時反射光線與折

射光線夾角恰為90。,m.

圖①

【答案】47

4

【分析】本題考查了平行線的性質，解直角三角形，等角的三角函數值相等，熟練掌握知識點是解題的關

鍵.

FD4OF49

由題意可得N2=NEOD=a,則tan/￡OZ)=——=—,tanN2=——=—,貝ij￡D=4,cy‘即可求解?

OE3CE3

由題意得，/EOK=ZBOC=90°,Zl=a,GK//ED,OEkED,OE=3,

???Zl+ZBOK=ZBOK+NKOC,

：.Zl=ZKOC=a,

?：GK//ED,

：./2=/KOC=a,

4

*.*ZAOF=ZEOD=a,tana=一,

3

ED4OE4

二.tan/EOD==—,tanN2———,ffuOE=3,

OE3CE3

9

??.￡D=4,CE=-,

4

97

CD=4——=—m,

44

7

故答案為：—.

4

題型三：平行線性質的應用

【中考母題學方法】

【典例1】（2024?山西?中考真題）一只杯子靜止在斜面上，其受力分析如圖所示，重力G的方向豎直向下,

支持力司的方向與斜面垂直，摩擦力F?的方向與斜面平行.若斜面的坡角a=25。，則摩擦力F?與重力G方

向的夾角￡的度數為（）

A.155°B.125°C.115°D.65°

【答案】C

【分析】本題考查了平行線的性質和三角形外角性質，根據題意結合圖形可知夕是重力G與斜面形成的三

角形的外角，從而可求得月的度數.

【詳解】解：,??重力G的方向豎直向下，

???重力G與水平方向夾角為90。，

???摩擦力F?的方向與斜面平行，。=25。,

3

F2

/7=Zl=cr+90°=115°

故選：c.

【典例2】（2024?西藏?中考真題）如圖，已知直線《〃4,46,8于點。，4=50。，則N2的度數是（）

A.40°B.45°C.50°D.60°

【答案】A

【分析】本題考查了平行線的性質，三角形內角和定理應用，垂線定義理解.先利用平行線的性質求出-ABC

的度數，然后利用三角形內角和定理進行求解即可.

【詳解】解：4=50°,

ZA5C=Zl=50°,

ABLCD,

：.ZBDC=9Q0,

Z.Z2=180°-90°-50°=40°,故A正確.

故選：A.

【變式3-1］（2024?江蘇南京?模擬預測）如圖，AB//ED,若Nl=70。，則N2的度數是（）

C.100°D.110°

【答案】D

【分析】本題主要考查了平行線的性質以及對頂角相等的運用，解決問題的關鍵是掌握：兩直線平行，同

旁內角互補.

根據兩直線平行，同旁內角互補和對頂角相等解答.

【詳解】解：???/1=70。，

/.Z3=70°,

???AB\\ED,

/.Z2=180°-Z3=180°-70°=110°,

故選：D.

【變式3-2］（2024?甘肅?模擬預測）如圖，直線m8被直線c所截，a//b,N2=100。，貝！JN1的余角為（）

【答案】A

【分析】本題主要考查平行的性質，余角的定義，熟練掌握平行的性質是解題的關鍵.根據平行的性質求

出N1的補角，即可求出N1,即可求出答案.

【詳解】解：設N1的鄰補角為N3,

?：a〃b,Z2=100°,

Z2=Z3=100°,

/.Zl=180o-Z3=80°,

故N1的余角為90°-80°=10。.

故選A.

【中考模擬即學即練】

1.（2024?廣東.模擬預測）如圖，己知N1=N2,ZB=40°,則N3的度數為（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【答案】B

【分析】本題主要考查了平行線的性質與判定，先根據內錯角相等，兩直線平行得到AB/CT,再根據兩

直線平行，同位角相等即可得到/3=/3=40。.

【詳解】解：如圖所示，

,/Z1=Z2,

/.AB//CT,

'：ZB=40°,

/.Z3=ZB=40°,

故選：B.

2.（2023?四川綿陽?中考真題）光線在不同介質中的傳播速度是不同的，因此當光線從水中射向空氣時，要

發生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光線，在空氣中也是平行的.如圖，4=122。，則N2的度數

【答案】B

【分析】本題考查了平行線的性質，根據“兩直線平行，同旁內角互補”和“兩直線平行，同位角相等”即可得

到結論.

【詳解】解：,??水面和杯底互相平行，

Z3=180°-Z1=180°-122°=58°.

,水中的兩條光線平行，

.?.Z2=Z3=58°.

故選：B.

3.（2024.湖南.模擬預測）如圖，（〃L4分別與4，4相交，若&=50。，則￡的度數為（）

A.100°B.130°C.135°D.50°

【答案】B

【分析】設a的對頂角為Nl,根據題意，得/1=。=50。，利用平行線的性質解答即可.

本題考查了對頂角的性質，平行線的性質，熟練掌握性質是解題的關鍵.

【詳解】解：設a的對頂角為4,根據題意，得4=a=50。，

,/4〃4，

N1+Q=180。,

."=130。,

故選：B.

4.（2024?甘肅?模擬預測）如圖1,是我國具有自主知識產權、用于探索宇宙的單口徑球面射電望遠鏡“中國

天眼”.如圖2,是“中國天眼”接收來自宇宙的電磁波的原理圖，其中EG為豎直方向的饋源（反射面），入

射波49經過三次反射后沿O'A水平射出，且。4〃O'A,已知入射波4。與法線的夾角4=35。，貝U

ZAO'F=()

【答案】A

［分析］本題考查了平行線的性質，過點尸作CC'〃,可得CC'〃〃0A,根據題意得到ZAOF=70°,

再由平行線的性質得至UZAO'F=Z.CFO=ZCFO=70°,得出答案，掌握平行線的性質是解題的關鍵.

【詳解】解：過點F作CC'〃Q4,OH為法線，如圖：

圖2

---OA/ZO'A1,

：.CC//OA//O'A,

：.CCLEG,

二CC為法線，

ZCFO=ZCFO,

OH為法線，Zl=35°,

ZFOH=Z1=35°,

：.NAOb=70。，

,?CC'//OA,

ZAOF=ZCFO=ZCFO'=70°,

CC,//O'A,

?.NA'OT=NCFO'=70°,

故選：A.

題型四：直角三角板在平行線中的應用

【中考母題學方法】

【典例1】(2024?海南?中考真題)如圖，直線相〃打，把一塊含45。角的直角三角板ABC按如圖所示的方式

放置，點5在直線〃上，ZA=90°f若Nl=25。，貝“N2等于()

A.70°B.65°C.25°D.20°

【答案】D

【分析】本題考查了平行線的性質求角的度數.如圖，過點C作直線CO平行于直線易得機〃

根據平行線的性質可得Z3=Z1=25°,由ZACB=45°可求出/4的度數，再由平行線的性質可得Z2的度數.

【詳解】解：如圖，過點C作直線C。平行于直線"2,

■:直線m//n,

：.m//CD//n,

：.Z3=Z1=25°,N4=N2,

由題意可得/ACB=45。，

N4=45°—25°=20°,

Z2=Z4=20°,

故選：D.

【變式4-1］（2024.山東東營?中考真題）已知，直線。〃6,把一塊含有30。角的直角三角板如圖放置，N1=30。,

【答案】B

【分析】本題考查了平行線的性質，根據兩直線平行，內錯角相等，得出NC4D=NACB=90。，即可解答.

【詳解】解：???。〃心

ZC4D=ZACB=90°,

Z2=180°-Zl-ZC4D=60°,

故選：B.

c

【變式4-2］（2024.山東濟南.中考真題）如圖，已知/］〃，2，VABC是等腰直角三角形，ZBAC=90°,頂點

A8分別在44上，當/1=70。時，N2=

【分析】本題考查等腰三角形的性質，平行線的性質，根據平行線的性質，得到/3=/1,等邊對等角，得

到/ABC=45。，再根據角的和差關系求出N2的度數即可.

【詳解】解：：VABC是等腰直角三角形，ABAC=90°,

,/l、〃I],

：.Z3=Z1=7O°,

N2=180°—N3—ZABC=65°；

故答案為：65°.

【變式4-3］（2024?內蒙古包頭?模擬預測）如圖，直線分別與直線/交于點A,B,把一塊含30。角

的三角板按如圖所示的位置擺放.若4=47。，則N2的度數是（）

A.77°B.103°C.113°D.137°

【答案】B

【分析】本題主要考查平行線的性質以及平角的定義，理解并掌握平行線的性質是解題的關鍵.

如下圖，根據平行線的性質可得N3=N1=47。，由題意知/4=30。，再根據平角的定義即可求解.

【詳解】解：如圖，

二/3=/1=47°,

由題意知N4=30。，

Z.Z2=180°-Z3-Z4=180°-47°-30°=103°,

故選：B.

【中考模擬即學即練】

1.（2024.湖北孝感?一模）如圖，將一個等腰直角三角形放在兩條平行線上，若N1=50。，則N2的度數為（）

A.75°B.80°C.85°D.90°

【答案】C

【分析】本題主要考查了等腰直角三角形的性質，兩直線平行同位角相等，三角形內角和定理，

根據題意可知/4=45。，再根據三角形內角和定理求出/3,然后根據平行線的性質得N3=N2,可得答案.

【詳解】根據題意可知N4=45。，a//b,

Z3=180°-Zl-Z4=85°,

?.Z3=Z2=85°.

故選：c.

29.（2024?安徽阜陽?二模）將等腰直角三角板按如圖所示的方式擺放，若。〃6,4=15。，貝1]/2=（）

【答案】C

【分析】此題考查了平行線的性質，利用直尺的對邊平行可得Z1+Z4=Z3,根據/I+/4=15°+45。=60°,

求得N3=6O。，再根據三角形的外角性質即可求出答案.

aHb,

：.Z1+Z4=Z3,

,/Zl+Z4=15o+45°=60°,

Z.Z3=60°,

Z2=Z3+90°=60°+90°=150°,

故選：C.

30.（2024?遼寧撫順?一模）將一副三角板按如圖放置，三角板A3。可繞點。旋轉，點C為4B與DE的交點,

下列結論中正確的個數是（）

(1)若CD平分4￡出，則/BCD=125。

(2)若AB〃D/，則NBDC=10°

(3)若/4D尸=120°,則NADC=75。

(4)若AB_LED,則AB||E/

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】A

【分析】本題考查了旋轉的性質，平行線的判定和性質，三角板中的角度計算，由旋轉的性質和平行線的

性質與判定依次判斷可求解.

【詳解】解：由三角板可知，/尸=NADB=90。，ZE=ZEDF=45°,4=30。，ZA=60°,

(1)當CD平分NAD3,則NADC=45。，

ZBCD=ZA+ZADC=105°,故(1)錯誤；

(2)若且4B在。尸的上方，則乙鉆。=/比＞/=30。，

ZBDC=ZEDF-ZBDF=15°,故(2)錯誤；

(3)若NAD尸=120。時，且力。在D戶的下方時，則NADC=15。，故(3)錯誤；

E

A

(4)若AB_LFD,且￡F_LDF,貝故(4)正確，

故選：A.

31.(2024?湖南?模擬預測)直角三角板ABC與直角三角板。跖如圖擺放，其中/BAC=不=90。,

NE=45。，ZC=30°,AC與DE相交于點若BC〃EF,則NCME為()

A

FE

BDC

A.55°B.65°C.75°D.85°

【答案】C

【分析】本題考查平行線的性質，三角形外角的性質，關鍵是由平行線的性質得到/E4M=/C=30。，由

三角形外角的性質即可求解.由得到/R4M=NC=30。，由三角形外角的性質得到

NCME=ZE+ZEAM=15。.

【詳解】解：?.?3C〃EF，

ZEAM=ZC=30°,

?.?ZE=45°,

Z.CME=ZE+ZEAM=75°.

故選：C

45.（2024?山西?模擬預測）如圖，將直角三角板按如圖方式放置在兩條平行線之間，直角三角板的直角頂

點在4上，若4=39。，則/2=

【答案】51°/51度

【分析】本題主要考查平行線的性質，解答的關鍵是熟記平行線的性質：兩直線平行，內錯角相等.

由題意可得N54C=90。，從而可求得44。的度數，再由平行線的性質即可求N2的度數.

【詳解】解：如圖,

B

11

C

由題意得：ABAC=90°,

???Nl=39。，

ZBAD=ZBAC-Z1=51°,

丁lx//l2,

：.Z2=ZBAD=51°.

故答案為：51°.

題型五：常見平行線模型的應用

【中考母題學方法】

【典例1】（2024.寧夏.中考真題）小明與小亮要到科技館參觀小明家、小亮家和科技館的方位如圖所示，則

科技館位于小亮家的（）

北

小

亮家

小

科技館

A.南偏東60。方向B.北偏西60。方向C.南偏東50。方向D.北偏西50。方向

【答案】A

【分析】本題考查了方向角，熟練掌握方向角的定義和平行線的性質是正確解決本題的關鍵.

作CD〃AB,根據平行線的性質得NDCE=60。，再根據CD〃），可得/CEF="CE=60。，根據方向角

的定義即可得到答案.

【詳解】解：如圖，作Cr>〃AB,

北

I

小明家u

?

則ZACD=ZBAC=50°,

ZDCE=100°-50°=60°,

■：AB//CD,AB//EF,

:.CD\\EF,

:.ZCEF=ZDCE=6O°,

科技館位于小亮家的南偏東60。方向，

故答案為：A.

【變式5-1］（2024.江蘇南通?中考真題）如圖，直線。Hb,矩形ABCD的頂點A在直線6上，若/2=41。,

則4的度數為（）

A.41°B.51°C.49°D.59°

【答案】C

【分析】本題考查矩形的性質，平行線的判定和性質,過點3作得到BE〃口〃6,推出

ZABC=Z1+Z2,進行求解即可.

【詳解】解：：矩形ABCD,

ZABC=90°,

過點B作血〃

c

a

A

'：aHb,

：.BE//a//b,

：.Z1=ZABE,Z2=NCBE,

：.ZABC=ZABE+NCBE=4+N2,

'：Z2=41°,

Nl=90°—41°=49°；

故選C.

【變式5-1］（2024?山東濰坊?中考真題）一種路燈的示意圖如圖所示，其底部支架A8與吊線FG平行，燈桿

CD與底部支架A3所成銳角。=15。.頂部支架即與燈桿CD所成銳角￡=45。，則E/與FG所成銳角的度

數為（）

A.60°B.55°C.50°D.45°

【答案】A

【分析】本題考查了平行線性質，平行公理的推論，過點E作團〃可得A2||M||FG,即得

ZBEH=Za=15°,NEEH+NEFG=18O。，根據N尸=45。求出/EEH即可求解，正確作出輔助線是解題

的關鍵.

【詳解】解：過點E作EH〃AB,

,/AB//FG,

：.AB\\EH\\FGf

；?NBEH=a=15。,ZFEH+ZEFG=180°f

?"=45。,

???ZFEH=180°-45°-15°=120°,

???ZEFG=180°-ZFEH=180°-120°=60°,

JEF與FG所成銳角的度數為為60°,

故選：A.

【中考模擬即學即練】

1.（2024?廣東?模擬預測）將一副三角尺在平行四邊形按如圖所示的方式擺放，設4=30。，則N2的度數為

C.75°D.85°

【答案】C

【分析】本題主要考查了平行線的性質，三角板中角度的計算，平行四邊形的性質，求出/NG”的度數是

解題的關鍵.如圖所示，過點G作G"〃CD,由平行線的性質得到N"GB=Nl=30。，N2+NNG"=180。,

然后求出ZNGH的度數即可求出Z2的度數.

【詳解】解：如圖所示，過點G作G"〃CD,

D.NC

/K■

G

■H

AOB

由題意得AB〃CD,ZKGN=45°,則/NG3=135。，

/.AB//GH//CD,

：.ZHGB=Z1=30°,Z2+ZNGH=180°,

/.ZNGH=ZNGB-ZHGB=105°,

Z2=180°-ZNGH=75°,

故選：C.

2.（2015?廣東深圳?三模）如圖，aUb,等邊VABC的頂點8在直線6上，Zl=20°,則N2的度數為（）

A.60°B.45°C.40°D.30°

【答案】C

【分析】本題考查平行線的性質，等邊三角形的性質，過C作CM〃直線/,根據等邊三角形性質求出

ZACB=60°,根據平行線的性質求出=Z2=ZACM,即可求出答案.

【詳解】解：是等邊三角形，

ZACB=60°,

過C作CM〃直線I,

;直線Z〃直線m,

直線/〃直線加〃CM,

,/ZACB=60°,Zl=20°,

Zl=ZAfCB=20°,

Z2=Z3=ZACM=ZACB-ZMCB=60°-20°=40°,

3.（2024.湖北武漢.模擬預測）近幾年中學生近視的現象越來越嚴重，為保護視力，某公司推出了護眼燈,

其側面示意圖（臺燈底座高度忽略不計）如圖所示，其中3CLAB,ED//AB,經使用發現，當NEDC=124。

時，臺燈光線最佳.則此時/DCB的度數為（）

A.1240B.1340C.146°D.156°

【答案】C

【分析】本題考查平行線的性質.過C作CK〃A3,得到CK〃DE,由推出5CLCK,由垂直

的定義得到ZBCK=90°,由平行線的性質得出NDCK=56。,即可求出結果.

【詳解】解：過C作CK〃AB,

DE//AB,

：.CK//DE,

?/BCA.AB,

:.BC±CK,

:.ZBCK^90°,

'：ZEDC=124°,

ZDCK=180°-ZCDE=56°,

ZDCB=ZDCK+ZBCK=146°,

故選：C.

4.（2024?湖北?模擬預測）“抖空竹”是我國非物質文化遺產，某中學將此運動引人特色大課間，某同學“抖空

竹”的一個瞬間如圖所示，將圖1抽象成圖2的數學問題:在平面內，M〃CD.若NB4E=50。，NDCE=85。,

則/AEC的度數為（）

D

圖1圖2

A.115°B.125°C.135°D.145°

【答案】C

【分析】本題主要考查了平行線的判定與性質，正確作出輔助線是解題的關鍵.過點舊作歷〃回，得出

EF//AB//CD,利用平行線的性質得出ZDCE=NCEF=85。，ZBAE=ZAEF=50°9進而得出答案.

【詳解】解：如圖，過點￡作砂〃45,

.\ZDCE=ZCEF=85°,ZBAE=ZAEF=50°,

Z4EC=NCEF+NA￡F=85。+50。=135。.

故選：C.

【答案】C

【分析】本題考查的是平行公理的應用，平行線的性質，如圖，過5作5"〃AC,而AC〃。石，可得

AC//BH//DE,再利用平行線的性質可得答案.

【詳解】解：如圖，過區作5"〃AC,而AC〃。石，

AZ1=ZABH,Z2=ZDBH,

：.ZABD=ZABH+ZDBH=120°,

???Zl+Z2=120°,

Zl=a,

???Z2=120°-cr；

故選C

6.（2024.遼寧?模擬預測）近幾年我國家用汽車的發展速度非常迅猛，為了解決停車難的問題，很多地方建

起了停車場，圖1為某停車場門口的電子擋車桿實物圖，圖2是其工作時某一時刻的示意圖，其中

【答案】B

【分析】本題考查平行線的性質與判定，解題的關鍵是正確作出輔助線.

過。作CK〃AB,得到CK〃。石，由推出3C_LCK,由垂直的定義得到N5CK=90。，求出

Z.DCK=Z.DCB-Z.BCK=60°,由平行線的性質推出ZEDC+ZDCK=180。，即可求出ZEDC=120。.

【詳解】解：如圖所示，過點。作CK〃AB,

DE//AB,

：.CK〃DE,

???BCLAB,

:.BCLCK,

:.NBCK=90。,

QZDCS=150°,

/.ZDCK=ZDCB-ZBCK=60°,

QCK//DE,

:.ZEDC+ZDCK=1SO°,

.?.NEDC=120。,

故選：B.

（

7.）如圖，已知AB〃。石，ZABC=75°fZCDE=145°f則/BCD的度數為

【答案】40

【分析】本題考查平行線的判定及性質，正確添加輔助線是解題的關鍵.

過點C作C方〃DE,則NOB=180O—NCD￡=45。，由AB〃。石，CF//DE,得到從而

NBCF=ZABC=75。,進而根據角的和差即可解答.

【詳解】解：過點C作。尸〃DE,

ZDCF=180°-ZCDE=180°-145°=35°,

VAB//DE,CF//DE,

：.AB〃CF,

：./BCF=/ABC=75。，

：.Z.BCD=ZBCF-ZDCF=75°-35°=40°.

故答案為：40

題型六：平行線間的距離

【中考母題學方法】

【典例1】（2024.江蘇常州?中考真題）如圖，在紙上畫有-AOB,將兩把直尺按圖示擺放，直尺邊緣的交

點尸在-403的平分線上，則（）

A.4與“2一定相等B.4與乙一定不相等

C.4與4一定相等D.4與一定不相等

【答案】A

【分析】本題主要考查了平行線的性質，角平分線的性質，過點尸分別作OAOB的垂線，垂足分別為E、F,

由角平分線的性質得到=由平行線間間距相等可知4=PBd2=PE,則4=4,而乙和4的長度

未知，故二者不一定相等，據此可得答案.

【詳解】解：如圖所示，過點尸分別作0A08的垂線，垂足分別為￡、F

,/點？在^AOB的平分線上，

PE=PF,

由平行線間間距相等可知4=PB，d2=PE,

.?4=d?,

由于4和，2的長度未知，故二者不一定相等，

故選：A,

【變式6-1］（2024.河北保定.二模）如圖，直線。〃風直線c，。于點4直線于點3,點尸從點A

出發，沿著箭頭方向前進，速度為2cm/s；同時點。從點8出發，沿著箭頭方向前進，速度為女m/s.兩

點的運動時間為笈，直線a與b之間的距離為30cm,則當點尸與點。距離最近時，，的值為（）

A.5B.6C.10D.15

【答案】B

【分析】本題考查平行線的判定與性質、平行線的距離、解一元一次方程等知識，關鍵是找到點P與點。

距離最近時的位置是解答的關鍵.先證明c〃d,進而得到當產。與直線。垂直時點尸與點。距離最近，此

時直線allPQ,則AP=QC,進而由已知列方程求解即可.

【詳解】解：如圖，設直線d與直線。交于點C,

:直線a〃b,直線c,a于點A,直線于點8,直線。與6之間的距離為30cm,

c//d,BC=30cm,

故當P。與直線d垂直時點P與點。距離最近，此時直線。||PQ

：.CQ=AP,

2r=30—3r,解得t=6,

故選：B.

【變式6-2］（2024.河北邯鄲?二模）如圖，已知點A