解答題：數(shù)列及其綜合應(yīng)用

題型1等差數(shù)列與等比數(shù)列證明?“--一一一?題型4錯位相減法求數(shù)列的前n項和

題型2分組轉(zhuǎn)化法法求數(shù)列的前n項和o——數(shù)歹U及其綜合應(yīng)用——°題型5數(shù)列與不等式成立問題

題型3裂項相消法頻列的前n項和題型6數(shù)列中的探究性問題

題型一：等差數(shù)列與等比數(shù)列證明

翦麗.......................

（23-24高三下?內(nèi)蒙古包頭?三模）已知數(shù)列｛為｝的前〃項和為S“，％=3,Sn=\+an+l.

（1）證明：數(shù)列6,-1｝是等比數(shù)列，并求S"；

⑵求數(shù)列的前〃項和

蘢皿解黃指導(dǎo).

判斷數(shù)列是否為等差貨等比數(shù)列的策略

1、將所給的關(guān)系進行變形、轉(zhuǎn)化，以便利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念進行判斷；

2、若要判斷一個不是等差（等比）數(shù)列，則只需說明某連續(xù)三項（如前三項）不是等差（等比）數(shù)列即

可。

蔻叫＞要式訓(xùn)級

1.（24-25高三上?上海?期中）某人購買某種教育基金，今年5月1日交了10萬元，年利率5%,以后每年

5月1日續(xù)交2萬元，設(shè)從今年起每年5月1日的教育基金總額依次為％,出，/，……

⑴寫出0和久,并求出。向與巴之間的遞推關(guān)系式；

（2）求證：數(shù)列｛%+40｝為等比數(shù)列，并求出數(shù)列｛%｝的通項公式.

2.（24-25高三上?山東淄博?月考）記S,,為數(shù)列｛即｝的前“項和，已知S“=^+〃2+l,〃wN*.

（1）求q+。2，并證明｛%+。“+1｝是等差數(shù)列；

⑵求邑..

題型二：分組轉(zhuǎn)化法求數(shù)列的前n項和

龍龍》大題典例

（24-25高三上?北京?月考）已知｛%｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，4=1,且4，%,-3%成等差數(shù)列.

⑴求｛%｝的通項公式；

（2）求數(shù)列｛an-n\的前〃項和S?.

蘢變》舞黃指導(dǎo).

1、適用范圍：某些數(shù)列的求和是將數(shù)列轉(zhuǎn)化為若干個可求和的新數(shù)列的和或差，從而求得原數(shù)列的和，注

意在含有字母的數(shù)列中對字母的討論.

2、常見類型：

（1）分組轉(zhuǎn)化法：若斯=瓦±金，且｛父｝,｛金｝為等差或等比數(shù)列：

\b?,w為奇數(shù),

（2）奇偶并項求和：通項公式為斯=的數(shù)列，其中數(shù)列｛4,｝,｛6｝是等比數(shù)列或等差數(shù)列。

〃為偶數(shù)

蘢麓》變式訓(xùn)練

a-8,"為奇數(shù)

1.(24-25高三上?河北衡水?月考)已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為S,,q=13,alt

n+13%,〃為偶數(shù)

(1)證明：數(shù)列｛外,TT2｝為等比數(shù)列;

(2)若$2計1=16〃+1469,求”的值.

2.(24-25高三上?海南?？?月考)已知數(shù)列｛。"｝是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列出｝滿足4=1,瓦=(,

。/用+2+1=”或，

⑴求數(shù)列｛叫，也｝的通項公式；

⑵求數(shù)列｛(-DZ,+6“｝的前2〃項和火.

題型三：裂項相消法求數(shù)列的前n項和

龍麓》大題典例

(24-25高三上?湖北?期中)記S”是等差數(shù)列｛%｝的前"項和，%=2,且%-2,%-4,%-6成等比數(shù)例J.

(1)求和S“；

⑵若姬“=2,求數(shù)列他,｝的前20項和T20.

龍塞》避黃揖量

1、用裂項法求和的裂項原則及規(guī)律

(1)裂項原則：一般是前邊裂幾項，后邊就裂幾項，直到發(fā)現(xiàn)被消去項的規(guī)律為止.

(2)消項規(guī)律：消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數(shù)第幾項.

【注意】利用裂項相消法求和時，既要注意檢驗通項公式裂項前后是否等價，又要注意求和時，正負項相

消消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項.

2、裂項相消法中常見的裂項技巧

------=—(------------

n(n+k)knn+k4?2-122M-12H+1

2H+1_11

n(n+1)(〃+2)2n(n+1)(〃+1)(〃+2)n2(n+l)2n2(n+1)2

n+1_1

"2(〃+2)2-4n(n+2),

(2n+1-l)-(2"-1)

(j)--------------------------------------------------------------------------------------------------------

(2"+1-1)(2"-1)一(2n+1-1)(2"-1)-2"-12"+1-1

龍龍》變式訓(xùn)練

1.(24-25高三上?廣東深圳?模擬預(yù)測)若一個數(shù)列從第二項起，每一項與前一項的差值組成的新數(shù)列是一

個等差數(shù)列，則稱這個數(shù)列是一個“二階等差數(shù)列”，已知數(shù)列｛%｝是一個二階等差數(shù)列，其中

%=l,a2=3,a3=6.

(1)求知及｛4｝的通項公式；

⑵設(shè)a=,求數(shù)列也｝的前n項和S“.

oCl——1

2.(24-25高三上?寧夏石嘴山?月考)已知數(shù)列｛5｝的首項為1,且a用=2q,("cN)

⑴求數(shù)列｛an｝的通項公式；

2〃一1

n

(2)若勿=7-力----n，求數(shù)列出n｝的前項和4.

(g+1)(?？?1)

題型四：錯位相減法求數(shù)列的前n項和

蘢能》大題典例

(24-25高三上?廣東廣州?模擬預(yù)測)己知數(shù)列｛叫的前〃項和公式為S“=3/一2"，數(shù)列也｝滿足〃=4.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

⑵若an=2"(%-4),求數(shù)列｛bn｝的通項公式.

篆能》避芽揖導(dǎo).

1、解題步驟

展開S//也+出也+"'+a"-i也一1+%￡①

乘公比qSn=alb2+a2b3+―+an.1bn+an-bn+l②

錯位相減

①-②:得(1-9)5/?！?1+。2也+…+呢1也-i+adn

f-I-

E，2+。2,%+…+a“r兒+1)

+,99(

=afbi+d(b2b3++bn)-an-bn^i3)

61+3(62+63+…+6n)-Gn，6n+i

求和*5

2、注意解題“3關(guān)鍵”

①要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負數(shù)的情形.

②在寫出“S.”與“應(yīng)”的表達式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“5“一設(shè)”的表達式.

③在應(yīng)用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比q=l和qWl兩種情況求解.

3、等差乘等比數(shù)列求和，令c,=(A”+B)-q",可以用錯位相減法.

3

7；=(A+B)q+(2A+B)/+(3A+B)q+...+(An+B)q"①

+1

qTn=(A+B)『+(2A+B)/+(3A+B)q&+...+(AM+B)q"②

n+l23n

①-②得：(l-q)Tn=(A+B)q-(An+B)q+A(q+q+...+q).

整理得：M=(四+"-----。切"+i_("----------

q-lq—l(4-1)2q-l(^-l)2

龍麓》變式訓(xùn)練

1.(24-25高三上?貴州貴陽?月考)已知數(shù)列｛a“｝滿足：?=2〃-10,數(shù)列｛.｝滿足:

4吟+9+條=5"”N*.

⑴求數(shù)列步,|｝的前15項和幾；

(2)求數(shù)列的前〃項和卻

2.(24-25高三上?湖北?期中)已知｛4｝是公差不為0的等差數(shù)列，為=21,且4,k,生成等比數(shù)列，數(shù)

列也｝滿足：%+1=4%-3,且4=2勾-1.

⑴求｛叫和也｝的通項公式；

(2)若，為數(shù)列｛言J的前〃項和，求

題型五：數(shù)列與不等式綜合問題

龍塞》大題典例

(23-24高三下?河北邢臺?二模)已知數(shù)列｛。,｝的前〃項和為S,,且邑=2%-1,(〃21).

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

1111c

(2)求證：—+—+—++不＜2.

莪籠》舞；去揖號.

數(shù)列與不等式是高考的熱點問題，其綜合的角度主要包括兩個方面：

一是不等式恒成立或能成立條件下，求參數(shù)的取值范圍：此類問題常用分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化為研究最值問題

來求解；

二是不等式的證明：常用方法有比較法、構(gòu)造輔助函數(shù)法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法等。

蘢變》要式訓(xùn)您.

（24-25高三上?吉林?模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛4｝的首項q=g,且滿足4,+i設(shè)Y-

1.

⑴求證：數(shù)列也｝為等比數(shù)列;

⑵若:+"+）++”24,求滿足條件的最小正整數(shù)〃.

2.（24-25高三上?遼寧?開學(xué)考試）已知S”為數(shù)列｛%｝的前〃項和，為數(shù)列也｝的前凡項和,

°,J2a,+1,"為奇數(shù)％

*=2%-獷"偽偶數(shù)3—5.

（1）求｛4｝的通項公式；

⑵若T2n-S2n<2025,求n的最大值；

11n3

⑶設(shè),”=證明：＜

TS7.

2?~2n乙z=l4

題型六：數(shù)列中的探究問題

蘢A土鶻粵例

(23-24高三下?福建?模擬預(yù)測)已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為%4=1,數(shù)列圾｝滿足叢=年，且?！币簿?/p>

an

為正整數(shù).

(1)是否存在數(shù)列｛〃“｝,使得｛〃｝是等差數(shù)列？若存在，求此時的S“；若不存在，說明理由；

(2)若々＞bn_x,求｛%｝的通項公式.

蘢龍》舞黃揖導(dǎo).

數(shù)列中的探究性問題實際上就是不定方程解的問題，對于此類問題的求解，通常有以下三種常用的方法:

①利用等式兩邊的整數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)的方法來加以判斷是否存在；②利用尋找整數(shù)的因數(shù)的方法來進行

求解；③通過求出變量的取值范圍，從而對范圍內(nèi)的整數(shù)值進行試根的方法來加以求解.對于研究不定方

程的解的問題，也可以運用反證法，反證法證明命題的基本步驟：

①反設(shè)：設(shè)要證明的結(jié)論的反面成立.作反設(shè)時要注意把結(jié)論的所有反面都要寫出來，不要有遺漏.②

歸謬：從反設(shè)出發(fā)，通過正確的推理得出與已知條件或公理、定理矛盾的結(jié)論.③存真：否定反設(shè)，從而

得出原命題結(jié)論成立.

為麓》變式訓(xùn)練

1.(24-25高三上?天津?月考)已知等比數(shù)列的前"項和為S“，且a"M=2S“+2(〃eN*).

(1)求數(shù)列｛an｝的通項公式；

(2)在與與。用之間插入n個數(shù)，使這九+2個數(shù)組成一個公差為dn的等差數(shù)列.

21

⑴求數(shù)列｛4｝的通項及+D4；

k=\

(ii)在數(shù)列｛4｝中是否存在3項公&，?(其中機，鼠P成等差數(shù)列)成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的

3項；若不存在，請說明理由.

2.(24-25高三上?江蘇無錫?期中)在下面〃行、〃列(〃eN*)的表格內(nèi)填數(shù)：第一列所填各數(shù)自上而下構(gòu)

成首項為1,公差為2的等差數(shù)列｛an｝；第一行所填各數(shù)自左向右構(gòu)成首項為1,公比為2的等比數(shù)列｛.｝；

其余空格按照“任意一格的數(shù)是它上面一格的數(shù)與它左邊一格的數(shù)之和”的規(guī)則填寫.設(shè)第2行的數(shù)自左向右

依次記為C”.

第1列第2列第3列第”列

第1行12222"~'

第2行359

第3行510

第”行2n-l

(1)求數(shù)列｛g｝通項公式；

(2)對任意的〃=N*,將數(shù)列｛an｝中落入?yún)^(qū)間［鬣,q“］內(nèi)項的個數(shù)記為4“,

①求4和九的值；

②設(shè)數(shù)列｛54｝的前機項和卷；是否存在meN*,使得9(列+2)=5"31,若存在，求出所有機的值,

若不存在，請說明理由.

1.(24-25高三上?貴州銅仁?模擬預(yù)測)已知正項等差數(shù)列｛廝｝滿足：卬=1且4，%，2%-1成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛即｝的通項公式；

(2)若數(shù)列｛.｝滿足：2=2。"，"cN*,求數(shù)歹￡4+2｝的前〃項和卻

_為奇數(shù)

高三上?江蘇鎮(zhèn)江?模擬預(yù)測)已知數(shù)列｛｝滿足％

2.(24-254=1,a,用=+4,〃為偶數(shù)

(1)記〃=%,，寫出4，b2,證明數(shù)列也,｝是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛2｝的通項公式;

⑵求｛%｝的前20項和.

3.(24-25高三上?湖南長沙?月考)已知數(shù)列｛%｝的前幾項和為%q=1,滿足2S,=叫…

⑴求知;

⑵若b”=3"q,求數(shù)列出｝的前一項和7”.

4.(24-25高三上?江西上饒?月考)設(shè)函數(shù)=數(shù)列｛%｝滿足q=1,且=/(%),〃eN*.

(1)求證：數(shù)列卜］是等差數(shù)列；

⑵令bn=%1?%(〃22),4=3,S“=4+偽++2,若S“<”一；"對一切〃eN*成立，求最小正整數(shù)%的值.

5.(24-25高三上?江蘇泰州?期中)已知數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，公差d*0,前〃項和為九出為q和生的

等比中項，5n=121.

(1)求數(shù)列｛為｝的通項公式；

⑵是否存在正整數(shù)加，n(3<m<n),使得工，—,，成等差數(shù)列？若存在，求出優(yōu)，”的值；若不存在,

“3”帆

請說明理由;

加12

(3)求證：數(shù)列工不<￡.

i=2$

6.（24-25高三上?山東青島?月考）已知數(shù)列｛%,｝的前〃項和S“=g（l-a,乂〃eN*）.若2+〃,=31og盧，且

數(shù)列｛。“｝滿足g

⑴求證：數(shù)列也｝是等差數(shù)列；

（2）求證：數(shù)列｛9｝的前〃項和（＜§；

⑶若cnV+/-1）對一切〃eN*恒成立，求實數(shù)t的取值范圍.

而＞4照題.

1.（2024?全國?高考真題）已知等比數(shù)列｛?！ǎ那啊椇蜑镾“，且2s“=3。,用-3.

⑴求｛4｝的通項公式；

⑵求數(shù)列｛S,｝的前”項和.

2.（2024?全國?高考真題）記S”為數(shù)列｛&J的前〃項和，已知4s“=3%+4.

（1）求｛5｝的通項公式；

⑵設(shè)2=（-1尸”,求數(shù)列｛%｝的前〃項和?；.

3.(2024?上海?高考真題)若/(x)=log“x(a>0,awl).

（1）丫=〃尤）過（4,2）,求人2尤—2）<〃x）的解集；

（2）存在x使得〃x+l）、〃辦）、〃x+2）成等差數(shù)列，求。的取值范圍.

4.（2024?天津?高考真題）已知為公比大于。的等比數(shù)列，其前〃項和為S“，且4=1,$2=%-1.

⑴求｛冊｝的通項公式及5,；

（、[k,n—CL1.

⑵設(shè)數(shù)列也｝滿足“=，其中左eN*.

十以<〃。ak+x

（i）求證：當(dāng)〃=%+i（左6N*,且左>1）時，求證：bn_x>ak-bn-

（ii）求以.

i=i

解答題：數(shù)列及其綜合應(yīng)用

題型1等差數(shù)列與等比數(shù)列證明?“--一一一?題型4錯位相減法求數(shù)列的前n項和

題型2分組轉(zhuǎn)化法法求數(shù)列的前n項和o——數(shù)歹U及其綜合應(yīng)用——°題型5數(shù)列與不等式成立問題

題型3裂項相消法求數(shù)列的前n項和l--題型6數(shù)列中的探究性問題

題型一：等差數(shù)列與等比數(shù)列證明

發(fā)麓》X鶻典例

（23-24高三下?內(nèi)蒙古包頭?三模）已知數(shù)列｛為｝的前〃項和為S“，％=3,Sn=l+an+l.

（1）證明：數(shù)列6,-1｝是等比數(shù)列，并求S"；

⑵求數(shù)列的前〃項和

【答案】（1）證明見解析，S“=2"+l；⑵

【解析】（1）因為S,=1+4”又所以S"+「2S”+1=O,整理得S,+「1=2⑸一1）.

由題意得S「l=4-1=2,

所以數(shù)歹1]｛Sa-1｝是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，故S"-1=2",即S“=2"+l.

⑵由⑴可…f"3,n=”1

當(dāng)〃=1時,

當(dāng)心2時，5=出，所以"+出+出+???+&>

n-1

綜上，T=--

n31

龍能》舞:去指導(dǎo).

判斷數(shù)列是否為等差貨等比數(shù)列的策略

1、將所給的關(guān)系進行變形、轉(zhuǎn)化，以便利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念進行判斷；

2、若要判斷一個不是等差(等比)數(shù)列，則只需說明某連續(xù)三項(如前三項)不是等差(等比)數(shù)列即

可。

蔻觀》變式訓(xùn)練

1.(24-25高三上?上海?期中)某人購買某種教育基金，今年5月1日交了10萬元，年利率5%,以后每年

5月1日續(xù)交2萬元，設(shè)從今年起每年5月1日的教育基金總額依次為卬，出，死，……

(1)寫出出和生，并求出??+1與黑之間的遞推關(guān)系式；

(2)求證：數(shù)列｛4+40｝為等比數(shù)列，并求出數(shù)列｛(｝的通項公式.

【答案】⑴出=12.5,%=6125,。用=三。"+2”)證明見解析，。“=50.以1-40

20(20J

【解析】(1)%=10,%=qx(l+5%)+2=12.5,

%=%x(l+5%)+2=15.125

21

a

-n+\=^x(l+5%)+2,：.an+i=—<7n+2

21c21/s、

(2)證明：*+4020%+-20s“+40)_21

cin+40%+40cin+4020

ax+40=50

｛4+40｝是以50為首項，為公比的等比數(shù)列.

"。圖-40

an+40=50-

2.(24-25高三上?山東淄博?月考)記S.為數(shù)列｛即｝的前〃項和，已知S“=^+〃2+l,〃eN*.

(1)求弓+々，并證明｛%+。用｝是等差數(shù)列；

⑵求邑..

【答案】(1)4+%=6,證明見解析;(2)邑，=4"+2”

【解析】(1)當(dāng)〃=1時，SI=q=?+1+1,

解這個方程：a「3=2,即$2,解得4=4.

當(dāng)〃=2時，S2=at+a2=^-+4+1,

把4=4代入得4+g=申+5,

移項可得4-半=5-4,即與=1,解得生=2.

所以q+%=4+2=6.

由S/=m+1，可得S〃T=—+(〃-1)2+1(〃>2).

當(dāng)〃22時，4=5"-51=今+〃2+1一(^±+5一1)2+1).

展開得。“=；■+”2+1-，冒—(I—2〃+1)—1.

整理得見=/一手+2”—1,移項得與=一^±+2/一1,即4,=-%T+4W-2.

那么a“+%=4〃-2(">2).

令2=。“+。用，則％=4(〃+1)-2=4〃+2,"_1=%_]+。“=4〃一2.

所以——2_1=(4〃+2)-(4〃-2)=4(常數(shù)).

所以｛%+%+/是等差數(shù)列.

(2)由%+?！癬]=4w-2可得：$2“=(一+%)+(4+/)++(%+%“).

因為4+4+1=4"+2,所以=4(21)-2=81-2(左=1,2,,〃).

則$2“=6+區(qū)+22+?+(n~).

所以S「〃x6+”^x8.

22

展開得S2n=6n+4〃(〃-1)=6n+4n-4n=4n+2n.

題型二：分組轉(zhuǎn)化法求數(shù)列的前n項和

蘢能》大題典例

（24-25高三上?北京?月考）已知｛%｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，4=1,且《，%,-3%成等差數(shù)列.

（1）求｛4｝的通項公式；

⑵求數(shù)列也一科的前〃項和S,.

13「（1Y1M（1+H）

【答案】⑴％=,；⑵s,=51-匕J

【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為4＞。，且q=1,

因為q，a2,一3生成等差數(shù)列，貝（J2%=%-3。3，

即24=1—3/,解得4=；或4=—1（舍去）,

所以｛。“｝的通項公式為=lx&]'=

（2）由（1）可知：an—n=-―^—n,

貝2=（1-1）+&一-31+…=[l+；+g+…+,]―（1+2+3…

T2-2-UJ2

3-

3」(1Y1n(\+n\

所以

莪龍》期貨揖號.

1、適用范圍：某些數(shù)列的求和是將數(shù)列轉(zhuǎn)化為若干個可求和的新數(shù)列的和或差，從而求得原數(shù)列的和，注

意在含有字母的數(shù)列中對字母的討論.

2、常見類型：

（1）分組轉(zhuǎn)化法：若斯=6”±c“，且｛b“｝,｛金｝為等差或等比數(shù)列：

\bn,"為奇數(shù),

（2）奇偶并項求和：通項公式為斯=—4的數(shù)列，其中數(shù)列｛勿｝,｛6｝是等比數(shù)列或等差數(shù)列。

[Cn,〃為偶數(shù)

龍麓》變式訓(xùn)練

=,“-8,〃為奇數(shù)

1.（24-25高三上?河北衡水?月考）已知數(shù)列｛%｝的前"項和為S”,

'為偶數(shù)

⑴證明：數(shù)列他,1-12｝為等比數(shù)列;

⑵若$2"疝=16〃+1469,求〃的值.

【答案】（1）證明見解析；（2）6

%-8,"為奇數(shù)

【解析】（1）因為4+i

3?！?〃為偶數(shù)

所以當(dāng)”22,〃eN*時,

%T2=-12=3的“_2T2=3a(2,_3)+iT2=3(%“_3-8)-12=3(a2?_3-12),

即〃22,九eN*時，/a-12=3%-36,

又九=1時，—12=13—12=1,

所以數(shù)列｛/a-12｝為首項為1,公比為3的等比數(shù)列.

(2)由(1)知。21T2=3“T,所以外,1=3"~+12,

為奇數(shù)

又由%=；%便用，可得出”2=3T+4,"22/WN*，

[3a","為偶數(shù)

所以邑“+1=q+。2+%++。2.+”2"+1=("1+%++。2.+J+(2+“4++°2.)

=[3°+3++3"+12(n+l)]+(30+3++3"-1+4n)=+-^-+16/7+12=2x3"+16n+l1,

又邑"+1=16"+1469,所以2x3"+16〃+ll=16"+1469,整理得到3"=729,解得〃=6,

所以n的值為6.

2.（24-25高三上?海南?？?月考）已知數(shù)列｛%｝是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列出｝滿足a=1,4=；,

anb,,+l+bn+l=nbn,

⑴求數(shù)列｛4｝,也｝的通項公式；

（2）求數(shù)列+6,｝的前2〃項和邑”.

【答案】（1）%=3"一1（2也“=3〃+|-上@『

【解析】（1）設(shè)數(shù)列｛&J的公差為〃/=3,

或+1+a+1=，%中，令”=1，有。也+%=4，代入4=1,b2=1,得q=2,

所以數(shù)列｛&J是首項為2,公差為3的等差數(shù)列，通項公式為%=2+3（〃-1）=3〃-1；

b1

將4=3〃-1代入44+1+2+1=〃2，得3泌〃+1=泌〃，〃EN*,故有謂"^二可，

bn3

因此｛5｝是首項為1,公比為g的等比數(shù)列，

(2)設(shè)c.=(-l)Z,=(T)"(3〃-l),

nc+c

為奇數(shù)時，nn+\=(一1)"(3〃_1)+(—l)"+i(3〃+2)=—(3〃一1)+(3,+2)=3,

-S2n=(C1+C2)+(C3+C4)++(。2〃-1+，2九)+(4+偽++電)

1-

33

=(3+3++3)+—=3n+

l22

3

題型三：裂項相消法求數(shù)列的前n項和

龍麓》大題典例

(24-25高三上?湖北?期中)記S“是等差數(shù)列｛4｝的前〃項和，％=2,且2-2,%-4,&-6成等比數(shù)列.

⑴求巴和S.；

(2)若b￡=2,求數(shù)列他,｝的前20項和7M.

【答案】(1)%=2〃；S”+；⑵蠢=、■

【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,貝U4=2+(〃—l)d,

由(%-4)2=(%一2)(g—6),得(2d—2)~=d(3d—4),即屋—44+4=0，解得d=2,

所以=2w,.=

211

(2)由(1)知，S?=n(n+1),又2s,=2,貝岫,=^^=2(——-)

因止匕＜=2[(=-!)+(：_：)+(：―—+(-)]=2(1^―)，

122334nn+in+1

140

所以蜃=2"5)=五.

龍A』輪去揖號.

1、用裂項法求和的裂項原則及規(guī)律

(1)裂項原則：一般是前邊裂幾項，后邊就裂幾項，直到發(fā)現(xiàn)被消去項的規(guī)律為止.

(2)消項規(guī)律：消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數(shù)第幾項.

【注意】利用裂項相消法求和時，既要注意檢驗通項公式裂項前后是否等價，又要注意求和時，正負項相

消消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項.

2、裂項相消法中常見的裂項技巧

(1)(2)—----=—(-------------)

n(ji+k)knn+k4n12-l22/1-12/1+1

1]/,、2n+l11

(4)--------=-----------

n(n+1)(〃+2)2n(ji+1)(〃+1)(〃+2)n2(n+l)2n2(〃+l)2

(6)/1---廣=—(Jn+k-品)

〃2(〃+2)2-("+2)2Jy/n+k+y/nk

2"_(2m_1)_(2"_1)__J_______1

(2"+1-l)(2"-l)一(2"+1-1)(2"-1)-2"-1-2"+1-l

龍塞》至其訓(xùn)級

1.(24-25高三上?廣東深圳?模擬預(yù)測)若一個數(shù)列從第二項起，每一項與前一項的差值組成的新數(shù)列是一

個等差數(shù)列，則稱這個數(shù)列是一個“二階等差數(shù)列”，己知數(shù)列｛4“｝是一個二階等差數(shù)列，其中

a1—1,a?—3,Q3=6.

(1)求為及｛4｝的通項公式；

,一4〃,、

⑵設(shè)"I」「求數(shù)列也的前"項和5”.

2

【答案】a=〃+〃；(2)n+-----

22n+l

【解析】(1)由％=1,%=3,%=6,得〃2—%=2,。3-%=3,(〃3-。2)—(%—%)=1，

由數(shù)列也幾｝是一個二階等差數(shù)列，得｛。向-凡｝是以2為首項，1為公差的等差數(shù)歹U,

因止匕4+1_4=2+(〃-l)xl=〃+l,%=4+〃3=10,

當(dāng)〃之2日寸，dn=Q[+(4—)+(%—%)++(0”—)=1+2+3++〃=-,

4=1滿足上式，則4

所以｛即｝的通項公式是y1.

2

n+n

、?、八/Sa-4n8Q24n21111、

(2)由(1)矢口，〃=---------=----n----------=2=1---------------=1+—(------------)

8。一4〃一1n2+n4/一1(2〃一1)(2〃+1)22n-l2n+l

0-------4n-1

2

所以北=〃+g[(i-3+(。一:)++(C111J

2335572n-l2n+l

1I.n

=n+—(l------)=n-\------.

22n+l2n+l

2.（24-25高三上?寧夏石嘴山?月考）己知數(shù)列的首項為1,且a“M=2q,（"cN）

（1）求數(shù)列｛an｝的通項公式；

2〃一1

（2）若2=;一八;----n，求數(shù)列｛g｝的前〃項和

a

\n+1）（為+1+1）

【答案】（1）%=2"工⑵看1-六

【解析】（1）因為數(shù)列｛斯｝的首項為1,且。的=2%（“eN*）,

所以數(shù)列｛即｝是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，

所以凡=2"一；

（2）由（1）知凡=2"一，

、_2向1__1_

所以"=+1）（a,用+1）=Qi+D（20+1廠+]一2'+「

b一F1111111111

所以丁二------------1---------------------------------FH----------------------------------=-------------------------------=----------------------

"2°+12'+121+122+12n-1+l2"+120+12"+122"+1

題型四：錯位相減法求數(shù)列的前n項和

...............................................

（24-25高三上?廣東廣州?模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛%｝的前〃項和公式為S"=3/-2〃，數(shù)歹!]｛〃｝滿足4=a,

（1）求數(shù)列｛為｝的通項公式；

⑵若an=2"（%-々），求數(shù)列出｝的通項公式.

【答案】⑴%=6"-5；（2）6“=8一鋁

2

【解析】（1）由S“=3/-2"可得"22時，S?_1=3（?-l）-2（n-l）,

故%=S0—S“_]=3"~—2〃一13（〃一1）—2（〃—川=6"-5,

當(dāng)〃=1時，4=3-2=1也符合要求，

故〃“=6〃-5,

（2）由q=2"（2+「2）可得%「2=（6〃一5）g,

故"22時，bn-bt=（bn-bn_t）+（bn_x-bn_2）++（4一,）=（6w-ll），+（6w-17）圭++7x!+lxg,

貝1；（2-々）=（6"-11白+（6〃-17）/7++7*￡+1*\

乙乙乙乙乙

相減可得;（6“_bJ=-（6--ll）/+61/r++**+g，

故;（2-4）=-（6〃-1哈+6~+1，

1----

2

化簡可得*2-4）=1+卷匚，故2=8-黑」，

當(dāng)”=1時，4=4=1也符合要求，故2=8-空，

發(fā)A避黃指導(dǎo).

1、解題步驟

,,，+

展開Sn=al-bx+a2b2^"an,l-bn.l+an-bn①

[乘公比gS/aj"+az'%+…+a?-i,鼠+酸[。+]②]

(?)—0錯位相減

①-②:得(l-q)Sn=。14+。2也+…+@0-1心-1+呢心

為--I-

,+

~(ab2+a2b3+'"^an-i-bnan-bn+l)

+,99

=ai'bi+d(b2b3++bn)-anbn+i(3)

,,,

a1-61+</(62+63++6B)-an-6n4.1

求和

2、注意解題“3關(guān)鍵”

①要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負數(shù)的情形.

②在寫出“SJ與飛射的表達式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出』一必”的表達式.

③在應(yīng)用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比夕=1和兩種情況求解.

3、等差乘等比數(shù)列求和，令的=（42+8）以"，可以用錯位相減法.

3

Tn=(A+B)q+(2A+B)/+(3A+B)q+...+(An+B)q"①

23n+1

qT；=(A+B)q+(2A+B)q+(3A+B)q4+...+(An+B)q②

①一②得：(1一幻<=(A+-(A〃+B)qn+'+A(q2+q3+...+q").

整理得：〃巖+已-清產(chǎn)A

(4-1)2M

蘢變》變式訓(xùn)練

1.(24-25高三上?貴州貴陽?月考)已知數(shù)列｛an｝滿足：a?=2ii-10,數(shù)列｛g｝滿足:

4+%+冬++且y=5n,neN*.

15525"T

⑴求數(shù)列｛E|｝的前15項和幾；

(2)求數(shù)列的前“項和卻

【答案】(1)130；

【解析】(1)因為%=2"-10?0,解得此5,

以H5=k|+|。2|++|卬51二一+%+4+4)+。5+“6++45

=兀-2s4=15”%)_2義4"％)=130.

(2)仇=5,++*=5〃，

當(dāng)"22時，b}+y+^-++^^=5(〃-1)，

兩式相減，得條=5,即勿=5".

又當(dāng)〃=1時，仇=5符合題意，

an2n-10

所以2=5",力=二廠，

7；=(-8)X|+(-6)X^+

+(2ZJ-10)XI

n+l

故g[=(-8)xH+(-6)x

—++(2〃—10)xI

兩式相減得；)

1?=(—8x[+2xg]+2xg]I++2x⑶-⑼噌「

2.(24-25高三上?湖北?期中)已知｛凡｝是公差不為0的等差數(shù)列，%=21,且%,生成等比數(shù)列，數(shù)

列也｝滿足：%=土-3,且1=2%一1.

（1）求｛%｝和｛a｝的通項公式；

⑵若r,為數(shù)列［含］的前〃項和，求T”.

【答案】（1）%=6"-3,4=4"+l（〃eN*）；（2）7；=：-；.亨

【解析】（1）設(shè)｛4｝的公差為d（dwO）,因為％,電，生成等比數(shù)歹U，

所以=蠟，即（21—3d）（21+d）=（21—21）2,

整理有：42d=71，解得d=O（舍），d=6

所以q=&-3d=3,an+（?-l）＜i=6?-3；

因為%1=42-3,所以%-1=4（2—1）,

又l\=2q—1=5,4―l=4w0,

所以也-1｝為首項為4,公比為4的等比數(shù)列，

所以2一1=4",6“=4"+l（"cN*）

an6〃一3

（2）因為力=丁

6n3〃一

Ty-391563

n=二-----1----?++①,

4〃442434〃

139156n-96n—3

n2+3+4++-------+——7-@

4-4444〃4"1

1

兩式相減，得：3T366666n—33/166〃一3

=——I--------1-----------1----------pH----=—+6x

4〃44243444〃4n+144〃+i

4

546n-3

4-2x4n--4^