Page18開遠市2024年春季學期高一年級期中考試數學考生注意：1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時間75分鐘。2.考生作答時，請將答案填涂在答題卡上。第Ⅰ卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；第Ⅱ卷請用直徑0.5毫米的黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效，在試卷、草稿紙上作答無效。3.本卷命題范圍：人教版必修1、必修2。選擇題：本大題共8小題，每題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知（為虛數單位），則的虛部是（

）A． B． C．1 D．3．如圖所示，中，點D是線段的中點，E是線段的靠近A的三等分點，則（

）A． B． C． D．4．已知三棱柱中，側面底面，則“”是“”（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2，8，側棱長為，則其體積為（

）A． B． C． D．6．在中，，，且的面積為，則的周長為（

）A．16 B．12 C．15 D．207．若定義在上的偶函數在上單調遞增，則的大小關系為（

）A． B．C． D．8．已知四面體的各頂點均在球的球面上，平面平面，，則球的表面積為（

）A． B． C． D．選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．已知、都是復數，下列正確的是（

）A．若，則B．C．若，則D．10．已知函數，則（

）A．的最大值為2B．在上單調遞增C．在上有2個零點D．把的圖象向左平移個單位長度，得到的圖象關于原點對稱11．已知a，b，c分別是三個內角A，B，C的對邊，則下列命題中錯誤的是（

）A．若是銳角三角形，則B．若是邊長為1的正三角形，則C．若，，，則有一解D．若，則是等腰直角三角形三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12．已知向量，.若，則．13．已知，則的值為.14．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，的平分線交AC于點D，且，則的最小值為．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明步驟或演算步驟15．（13分）已知與的夾角為.(1)求在方向上的投影向量;(2)求的值;(3)若向量與的夾角為銳角，求實數的取值范圍.16．（15分）在銳角中，角，，的對邊分別為，，，且.（1）求角的大?。唬?）若，求的周長的取值范圍.17．（15分）如圖，在直三棱柱中，，，，點是的中點．求證：平面；(2)求二面角的正切值．18．（17分）在中，角的對邊分別是，且．(1)求角；(2)若的中線，求面積的最大值．19．（17分）如圖，在四棱錐中，，，側面底面，底面為矩形，為上的動點（與，兩點不重合）．(1)判斷平面與平面是否互相垂直？如果垂直，請證明；如果不垂直，請說明理由；(2)若，，當為的中點時，求點到平面的距離高一數學期中答案一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解不等式化簡結合，結合并集的概念即可求解.【詳解】因為，，所以.故選：A.2．已知（為虛數單位），則的虛部是（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】利用復數的除法法則及共軛復數的定義，結合復數的定義即可求解.【詳解】由，得，所以，所以的虛部是.故選：D.3．如圖所示，中，點D是線段的中點，E是線段的靠近A的三等分點，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平面向量的線性運算計算可得結果.【詳解】由題意：.故選：B4．已知三棱柱中，側面底面，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】由面面垂直的性質定理可證明“”是“”的必要條件，由底面為正三角形的直三棱柱模型，可知“”不是“”的充分條件.【詳解】①已知側面底面，且側面底面，又平面，若，則由面面垂直的性質定理可得平面，平面，則，所以則“”是“”的必要條件；②若三棱柱是直三棱柱，底面是正三角形，則底面，平面，則滿足條件側面底面.又平面，則，但與不垂直.所以“”不是“”的充分條件.綜上所述，“”是“”的必要不充分條件.故選：B.5．正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2，8，側棱長為，則其體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據題意，利用正四棱臺的幾何結構特征，求得棱臺的高，結合棱臺的體積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，設正四棱臺的上底面的中心為，下底面的中心為，連接，在平面內，作，交于點，可得因為正四棱臺的上下底面邊長分別為和，可得，則，在直角中，由，可得，即，即正四棱臺的高為，所以正四棱臺的體積為.故選：D.

6．在中，，，且的面積為，則的周長為（

）A．16 B．12 C．15 D．20【答案】C【分析】由面積公式求出，由余弦定理求出，即可得解.【詳解】因為，，且的面積為，所以，解得，由余弦定理，所以，則.故選：C7．若定義在上的偶函數在上單調遞增，則的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據函數奇偶性，先得，從而得，再根據函數單調性可判斷大小.【詳解】因為是定義在上偶函數，所以，因為，所以，因為在上單調遞增，所以，故選：A.8．已知四面體的各頂點均在球的球面上，平面平面，，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題首先可根據題意將四面體看作底面是等邊三角形的直三棱柱的一部分，然后求出直三棱柱的外接球的半徑，最后根據球的表面積計算公式即可得出結果.【詳解】因為平面平面，，所以可將四面體看作底面是等邊三角形的直三棱柱的一部分，如圖所示：則四面體的外接球即直三棱柱的外接球，因為底面三角形的外心到三角形的頂點的長度為，所以直三棱柱的外接球的半徑，則球的表面積，故選：A.二、多選題9．已知、都是復數，下列正確的是（

）A．若，則B．C．若，則D．【答案】BD【分析】利用特殊值判斷A、C，根據復數代數形式的運算法則及復數的模判斷B、D.【詳解】對于A：令、，則，顯然不滿足，故A錯誤；對于C：令、，則，，所以，但是，故C錯誤；設，，所以，則，又，所以，故B正確；，又，所以，故D正確.故選：BD10．已知函數，則（

）A．的最大值為2B．在上單調遞增C．在上有2個零點D．把的圖象向左平移個單位長度，得到的圖象關于原點對稱【答案】AC【分析】根據誘導公式化簡，則可判斷A選項；整體代入法計算的范圍可判斷BC選項；由圖象的平移可判斷D選項.【詳解】函數．選項A：，，故最大值為2，A正確；選項B：時，，不單調遞增，故B錯誤；選項C：時，，可知當以及時，即以及時，在上有2個零點，故C正確；選項D：的圖象向左平移個單位長度，得到，不關于原點對稱，故D錯誤.故選：AC．11．已知a，b，c分別是三個內角A，B，C的對邊，則下列命題中錯誤的是（

）A．若是銳角三角形，則B．若是邊長為1的正三角形，則C．若，，，則有一解D．若，則是等腰直角三角形【答案】BCD【分析】借助余弦函數的單調性和誘導公式可判定選項A；由數量積的定義計算可判定選項B；由正弦定理及三角形大邊對大角可判斷選項C；利用正弦定理邊化角，利用二倍角化簡可判斷D.【詳解】對于A：若是銳角三角形，則，即，由于，所以，故A正確；對于B：，故B錯誤；對于C：若，，，由正弦定理得，，即，故，因為，所以，故為銳角或鈍角，有兩解，故C錯誤；對于D：若，則，即，因為，所以或，即或，所以為等腰三角形或直角三角形，D錯誤；故選：BCD第II卷（非選擇題）請點擊修改第II卷的文字說明三、填空題12．已知向量，.若，則．【答案】【分析】利用平面向量的坐標運算和向量共線得到方程，解出即可.【詳解】，，因為，所以，所以.故答案為：.13．已知，則的值為.【答案】/【分析】由條件結合兩角差的正切公式可求，再結合二倍角正弦公式及同角關系將化為由表示的形式，由此可得結論.【詳解】由已知，所以，所以.故答案為：.14．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，的平分線交AC于點D，且，則的最小值為．【答案】【分析】利用三角形面積關系建立方程關系，結合基本不等式1的代換進行求解即可.【詳解】如圖所示，則的面積為，則，所以，顯然，故，當且僅當，即時取等號.所以的最小值為.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題解決的關鍵是，利用角平分線與三角形面積公式得到的關系式，從而得解.四、解答題15．已知與的夾角為.(1)求在方向上的投影向量;(2)求的值;(3)若向量與的夾角為銳角，求實數的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）直接根據投影向量的概念求解；（2）通過展開計算；（3）根據，且與不共線計算求解.【詳解】（1）在方向上的投影向量為；（2）；（3）因為向量與的夾角為銳角，所以，且與不共線，對于，得，解得，若與共線，則存在，得，解得，所以若向量與的夾角為銳角，實數的取值范圍為.16．在銳角中，角，，的對邊分別為，，，且.（1）求角的大小；（2）若，求的周長的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理將題中的邊角關系轉化為角的關系，結合三角恒等變換化簡求解；（2）根據余弦定理及基本不等式求解的取值范圍，進而得到三角形的周長的取值范圍．【詳解】（1）由，得：，整理得：.即：.∵是銳角三角形的內角，∴，∴，因為，所以.（2）∵，∴，，∵，∴.由正弦定理得：，∴，，∴，∵，∴，∵，所以，周長的取值范圍是.【點睛】本題考查的是有關解三角形的問題，涉及到的知識點有正弦定理、余弦定理、三角恒等變換，正弦函數在某個區間上的值域，屬于簡單題目．17．如圖，在直三棱柱中，，，，點是的中點．(1)求證：平面；(2)求二面角的正切值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）設，得，再由線面平行的判定定理得證線面平行；（2）證明是二面角的平面角，然后計算出其正切值即可得．【詳解】（1）設，則是中點，連接，又∵是中點，∴，又∵平面，平面，∴平面；（2）∵，∴，平面，平面，∴，同理，，平面，∴平面，而平面，故，∴是二面角的平面角，在直角中，，，，∴二面角的正切值為．18．在中，角的對邊分別是，且．(1)求角；(2)若的中線，求面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結合和差公式即可求解；（2）將兩邊平方，結合基本不等式和面積公式可解.【詳解】（1）因為，由正弦定理可得，在中，所以，整理得，所以，因為，,所以，．（2）因為的中線，，因為，所以，即，可得，當且僅當時取等號，所以的面積，所以面積的最大值為．19．如圖，在四棱錐中，，，側面底面，底面為矩形，為上的動點（與，兩點不重合）．(1)判斷平面與平面是否互相垂直？如果垂直，請證明；如果不垂直，請說明理由；(2)若，，當為的中點時，求點到平面的距離．【答案】(1)垂直，證明見解析(2)4【分析】（1）由面面垂直的性質到得平面，再由線