Page18開遠(yuǎn)市2024年春季學(xué)期高一年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)考生注意：1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時(shí)間75分鐘。2.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案填涂在答題卡上。第Ⅰ卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；第Ⅱ卷請(qǐng)用直徑0.5毫米的黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效，在試卷、草稿紙上作答無(wú)效。3.本卷命題范圍：人教版必修1、必修2。選擇題：本大題共8小題，每題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知（為虛數(shù)單位），則的虛部是（

）A． B． C．1 D．3．如圖所示，中，點(diǎn)D是線段的中點(diǎn)，E是線段的靠近A的三等分點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．4．已知三棱柱中，側(cè)面底面，則“”是“”（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)分別為2，8，側(cè)棱長(zhǎng)為，則其體積為（

）A． B． C． D．6．在中，，，且的面積為，則的周長(zhǎng)為（

）A．16 B．12 C．15 D．207．若定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．8．已知四面體的各頂點(diǎn)均在球的球面上，平面平面，，則球的表面積為（

）A． B． C． D．選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．已知、都是復(fù)數(shù)，下列正確的是（

）A．若，則B．C．若，則D．10．已知函數(shù)，則（

）A．的最大值為2B．在上單調(diào)遞增C．在上有2個(gè)零點(diǎn)D．把的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱11．已知a，b，c分別是三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，則下列命題中錯(cuò)誤的是（

）A．若是銳角三角形，則B．若是邊長(zhǎng)為1的正三角形，則C．若，，，則有一解D．若，則是等腰直角三角形三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12．已知向量，.若，則．13．已知，則的值為.14．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，的平分線交AC于點(diǎn)D，且，則的最小值為．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明步驟或演算步驟15．（13分）已知與的夾角為.(1)求在方向上的投影向量;(2)求的值;(3)若向量與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.16．（15分）在銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且.（1）求角的大小；（2）若，求的周長(zhǎng)的取值范圍.17．（15分）如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．求證：平面；(2)求二面角的正切值．18．（17分）在中，角的對(duì)邊分別是，且．(1)求角；(2)若的中線，求面積的最大值．19．（17分）如圖，在四棱錐中，，，側(cè)面底面，底面為矩形，為上的動(dòng)點(diǎn)（與，兩點(diǎn)不重合）．(1)判斷平面與平面是否互相垂直？如果垂直，請(qǐng)證明；如果不垂直，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)若，，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離高一數(shù)學(xué)期中答案一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解不等式化簡(jiǎn)結(jié)合，結(jié)合并集的概念即可求解.【詳解】因?yàn)椋?故選：A.2．已知（為虛數(shù)單位），則的虛部是（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)的除法法則及共軛復(fù)數(shù)的定義，結(jié)合復(fù)數(shù)的定義即可求解.【詳解】由，得，所以，所以的虛部是.故選：D.3．如圖所示，中，點(diǎn)D是線段的中點(diǎn)，E是線段的靠近A的三等分點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由題意：.故選：B4．已知三棱柱中，側(cè)面底面，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】由面面垂直的性質(zhì)定理可證明“”是“”的必要條件，由底面為正三角形的直三棱柱模型，可知“”不是“”的充分條件.【詳解】①已知側(cè)面底面，且側(cè)面底面，又平面，若，則由面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，平面，則，所以則“”是“”的必要條件；②若三棱柱是直三棱柱，底面是正三角形，則底面，平面，則滿足條件側(cè)面底面.又平面，則，但與不垂直.所以“”不是“”的充分條件.綜上所述，“”是“”的必要不充分條件.故選：B.5．正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)分別為2，8，側(cè)棱長(zhǎng)為，則其體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，利用正四棱臺(tái)的幾何結(jié)構(gòu)特征，求得棱臺(tái)的高，結(jié)合棱臺(tái)的體積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)正四棱臺(tái)的上底面的中心為，下底面的中心為，連接，在平面內(nèi)，作，交于點(diǎn)，可得因?yàn)檎睦馀_(tái)的上下底面邊長(zhǎng)分別為和，可得，則，在直角中，由，可得，即，即正四棱臺(tái)的高為，所以正四棱臺(tái)的體積為.故選：D.

6．在中，，，且的面積為，則的周長(zhǎng)為（

）A．16 B．12 C．15 D．20【答案】C【分析】由面積公式求出，由余弦定理求出，即可得解.【詳解】因?yàn)椋业拿娣e為，所以，解得，由余弦定理，所以，則.故選：C7．若定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性，先得，從而得，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可判斷大小.【詳解】因?yàn)槭嵌x在上偶函數(shù)，所以，因?yàn)椋裕驗(yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，故選：A.8．已知四面體的各頂點(diǎn)均在球的球面上，平面平面，，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題首先可根據(jù)題意將四面體看作底面是等邊三角形的直三棱柱的一部分，然后求出直三棱柱的外接球的半徑，最后根據(jù)球的表面積計(jì)算公式即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槠矫嫫矫妫钥蓪⑺拿骟w看作底面是等邊三角形的直三棱柱的一部分，如圖所示：則四面體的外接球即直三棱柱的外接球，因?yàn)榈酌嫒切蔚耐庑牡饺切蔚捻旤c(diǎn)的長(zhǎng)度為，所以直三棱柱的外接球的半徑，則球的表面積，故選：A.二、多選題9．已知、都是復(fù)數(shù)，下列正確的是（

）A．若，則B．C．若，則D．【答案】BD【分析】利用特殊值判斷A、C，根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則及復(fù)數(shù)的模判斷B、D.【詳解】對(duì)于A：令、，則，顯然不滿足，故A錯(cuò)誤；對(duì)于C：令、，則，，所以，但是，故C錯(cuò)誤；設(shè)，，所以，則，又，所以，故B正確；，又，所以，故D正確.故選：BD10．已知函數(shù)，則（

）A．的最大值為2B．在上單調(diào)遞增C．在上有2個(gè)零點(diǎn)D．把的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱【答案】AC【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，則可判斷A選項(xiàng)；整體代入法計(jì)算的范圍可判斷BC選項(xiàng)；由圖象的平移可判斷D選項(xiàng).【詳解】函數(shù)．選項(xiàng)A：，，故最大值為2，A正確；選項(xiàng)B：時(shí)，，不單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：時(shí)，，可知當(dāng)以及時(shí)，即以及時(shí)，在上有2個(gè)零點(diǎn)，故C正確；選項(xiàng)D：的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故D錯(cuò)誤.故選：AC．11．已知a，b，c分別是三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，則下列命題中錯(cuò)誤的是（

）A．若是銳角三角形，則B．若是邊長(zhǎng)為1的正三角形，則C．若，，，則有一解D．若，則是等腰直角三角形【答案】BCD【分析】借助余弦函數(shù)的單調(diào)性和誘導(dǎo)公式可判定選項(xiàng)A；由數(shù)量積的定義計(jì)算可判定選項(xiàng)B；由正弦定理及三角形大邊對(duì)大角可判斷選項(xiàng)C；利用正弦定理邊化角，利用二倍角化簡(jiǎn)可判斷D.【詳解】對(duì)于A：若是銳角三角形，則，即，由于，所以，故A正確；對(duì)于B：，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若，，，由正弦定理得，，即，故，因?yàn)椋裕蕿殇J角或鈍角，有兩解，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若，則，即，因?yàn)椋曰颍椿颍詾榈妊切位蛑苯侨切危珼錯(cuò)誤；故選：BCD第II卷（非選擇題）請(qǐng)點(diǎn)擊修改第II卷的文字說(shuō)明三、填空題12．已知向量，.若，則．【答案】【分析】利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量共線得到方程，解出即可.【詳解】，，因?yàn)椋裕?故答案為：.13．已知，則的值為.【答案】/【分析】由條件結(jié)合兩角差的正切公式可求，再結(jié)合二倍角正弦公式及同角關(guān)系將化為由表示的形式，由此可得結(jié)論.【詳解】由已知，所以，所以.故答案為：.14．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，的平分線交AC于點(diǎn)D，且，則的最小值為．【答案】【分析】利用三角形面積關(guān)系建立方程關(guān)系，結(jié)合基本不等式1的代換進(jìn)行求解即可.【詳解】如圖所示，則的面積為，則，所以，顯然，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).所以的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是，利用角平分線與三角形面積公式得到的關(guān)系式，從而得解.四、解答題15．已知與的夾角為.(1)求在方向上的投影向量;(2)求的值;(3)若向量與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）直接根據(jù)投影向量的概念求解；（2）通過(guò)展開計(jì)算；（3）根據(jù)，且與不共線計(jì)算求解.【詳解】（1）在方向上的投影向量為；（2）；（3）因?yàn)橄蛄颗c的夾角為銳角，所以，且與不共線，對(duì)于，得，解得，若與共線，則存在，得，解得，所以若向量與的夾角為銳角，實(shí)數(shù)的取值范圍為.16．在銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且.（1）求角的大小；（2）若，求的周長(zhǎng)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理將題中的邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，結(jié)合三角恒等變換化簡(jiǎn)求解；（2）根據(jù)余弦定理及基本不等式求解的取值范圍，進(jìn)而得到三角形的周長(zhǎng)的取值范圍．【詳解】（1）由，得：，整理得：.即：.∵是銳角三角形的內(nèi)角，∴，∴，因?yàn)椋?（2）∵，∴，，∵，∴.由正弦定理得：，∴，，∴，∵，∴，∵，所以，周長(zhǎng)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查的是有關(guān)解三角形的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有正弦定理、余弦定理、三角恒等變換，正弦函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的值域，屬于簡(jiǎn)單題目．17．如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求二面角的正切值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）設(shè)，得，再由線面平行的判定定理得證線面平行；（2）證明是二面角的平面角，然后計(jì)算出其正切值即可得．【詳解】（1）設(shè)，則是中點(diǎn)，連接，又∵是中點(diǎn)，∴，又∵平面，平面，∴平面；（2）∵，∴，平面，平面，∴，同理，，平面，∴平面，而平面，故，∴是二面角的平面角，在直角中，，，，∴二面角的正切值為．18．在中，角的對(duì)邊分別是，且．(1)求角；(2)若的中線，求面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合和差公式即可求解；（2）將兩邊平方，結(jié)合基本不等式和面積公式可解.【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻茫谥校裕淼茫裕驗(yàn)椋?所以，．（2）因?yàn)榈闹芯€，，因?yàn)椋裕矗傻茫?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的面積，所以面積的最大值為．19．如圖，在四棱錐中，，，側(cè)面底面，底面為矩形，為上的動(dòng)點(diǎn)（與，兩點(diǎn)不重合）．(1)判斷平面與平面是否互相垂直？如果垂直，請(qǐng)證明；如果不垂直，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)若，，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)垂直，證明見解析(2)4【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)到得平面，再由線