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文檔簡介
河北省雞澤縣第一中學2025年高三3月起點調研考試-數學試題注意事項1.考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置.3.請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知傾斜角為的直線與直線垂直,則()A. B. C. D.2.框圖與程序是解決數學問題的重要手段,實際生活中的一些問題在抽象為數學模型之后,可以制作框圖,編寫程序,得到解決,例如,為了計算一組數據的方差,設計了如圖所示的程序框圖,其中輸入,,,,,,,則圖中空白框中應填入()A., B. C., D.,3.已知函數,若,則的取值范圍是()A. B. C. D.4.復數滿足(為虛數單位),則的值是()A. B. C. D.5.已知實數滿足線性約束條件,則的取值范圍為()A.(-2,-1] B.(-1,4] C.[-2,4) D.[0,4]6.設集合,集合,則=()A. B. C. D.R7.給出下列三個命題:①“”的否定;②在中,“”是“”的充要條件;③將函數的圖象向左平移個單位長度,得到函數的圖象.其中假命題的個數是()A.0 B.1 C.2 D.38.設,,則的值為()A. B.C. D.9.一個正三角形的三個頂點都在雙曲線的右支上,且其中一個頂點在雙曲線的右頂點,則實數的取值范圍是()A. B. C. D.10.某幾何體的三視圖如右圖所示,則該幾何體的外接球表面積為()A. B.C. D.11.如圖所示,在平面直角坐標系中,是橢圓的右焦點,直線與橢圓交于,兩點,且,則該橢圓的離心率是()A. B. C. D.12.已知平面向量,滿足,,且,則()A.3 B. C. D.5二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若,則____.14.曲線在處的切線的斜率為________.15.已知盒中有2個紅球,2個黃球,且每種顏色的兩個球均按,編號,現從中摸出2個球(除顏色與編號外球沒有區別),則恰好同時包含字母,的概率為________.16.若函數的圖像向左平移個單位得到函數的圖像.則在區間上的最小值為________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓的離心率為,且以原點O為圓心,橢圓C的長半軸長為半徑的圓與直線相切.(1)求橢圓的標準方程;(2)已知動直線l過右焦點F,且與橢圓C交于A、B兩點,已知Q點坐標為,求的值.18.(12分)已知矩陣,求矩陣的特征值及其相應的特征向量.19.(12分)某社區服務中心計劃按月訂購一種酸奶,每天進貨量相同,進貨成本每瓶5元,售價每瓶7元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當天全部處理完.根據往年銷售經驗,每天需求量與當天最高氣溫(單位:攝氏度℃)有關.如果最高氣溫不低于25,需求量為600瓶;如果最高氣溫位于區間,需求量為500瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為300瓶.為了確定六月份的訂購計劃,統計了前三年六月份各天的最高氣溫數據,得下面的頻數分布表:最高氣溫天數414362763以最高氣溫位于各區間的頻率代替最高氣溫位于該區間的概率.(1)求六月份這種酸奶一天的需求量(單位:瓶)的分布列;(2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為(單位:元),當六月份這種酸奶一天的進貨量為(單位:瓶)時,的數學期望的取值范圍?20.(12分)已知在平面直角坐標系中,直線的參數方程為(為參數),以坐標原點為極點,軸非負半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為,點的極坐標為.(1)求直線的極坐標方程;(2)若直線與曲線交于,兩點,求的面積.21.(12分)設為等差數列的前項和,且,.(1)求數列的通項公式;(2)若滿足不等式的正整數恰有個,求正實數的取值范圍.22.(10分)在中,為邊上一點,,.(1)求;(2)若,,求.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.D【解析】
傾斜角為的直線與直線垂直,利用相互垂直的直線斜率之間的關系,同角三角函數基本關系式即可得出結果.【詳解】解:因為直線與直線垂直,所以,.又為直線傾斜角,解得.故選:D.本題考查了相互垂直的直線斜率之間的關系,同角三角函數基本關系式,考查計算能力,屬于基礎題.2.A【解析】
依題意問題是,然后按直到型驗證即可.【詳解】根據題意為了計算7個數的方差,即輸出的,觀察程序框圖可知,應填入,,故選:A.本題考查算法與程序框圖,考查推理論證能力以及轉化與化歸思想,屬于基礎題.3.B【解析】
對分類討論,代入解析式求出,解不等式,即可求解.【詳解】函數,由得或解得.故選:B.本題考查利用分段函數性質解不等式,屬于基礎題.4.C【解析】
直接利用復數的除法的運算法則化簡求解即可.【詳解】由得:本題正確選項:本題考查復數的除法的運算法則的應用,考查計算能力.5.B【解析】
作出可行域,表示可行域內點與定點連線斜率,觀察可行域可得最小值.【詳解】作出可行域,如圖陰影部分(含邊界),表示可行域內點與定點連線斜率,,,過與直線平行的直線斜率為-1,∴.故選:B.本題考查簡單的非線性規劃.解題關鍵是理解非線性目標函數的幾何意義,本題表示動點與定點連線斜率,由直線與可行域的關系可得結論.6.D【解析】試題分析:由題,,,選D考點:集合的運算7.C【解析】
結合不等式、三角函數的性質,對三個命題逐個分析并判斷其真假,即可選出答案.【詳解】對于命題①,因為,所以“”是真命題,故其否定是假命題,即①是假命題;對于命題②,充分性:中,若,則,由余弦函數的單調性可知,,即,即可得到,即充分性成立;必要性:中,,若,結合余弦函數的單調性可知,,即,可得到,即必要性成立.故命題②正確;對于命題③,將函數的圖象向左平移個單位長度,可得到的圖象,即命題③是假命題.故假命題有①③.故選:C本題考查了命題真假的判斷,考查了余弦函數單調性的應用,考查了三角函數圖象的平移變換,考查了學生的邏輯推理能力,屬于基礎題.8.D【解析】
利用倍角公式求得的值,利用誘導公式求得的值,利用同角三角函數關系式求得的值,進而求得的值,最后利用正切差角公式求得結果.【詳解】,,,,,,,,故選:D.該題考查的是有關三角函數求值問題,涉及到的知識點有誘導公式,正切倍角公式,同角三角函數關系式,正切差角公式,屬于基礎題目.9.D【解析】
因為雙曲線分左右支,所以,根據雙曲線和正三角形的對稱性可知:第一象限的頂點坐標為,,將其代入雙曲線可解得.【詳解】因為雙曲線分左右支,所以,根據雙曲線和正三角形的對稱性可知:第一象限的頂點坐標為,,將其代入雙曲線方程得:,即,由得.故選:.本題考查了雙曲線的性質,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.10.A【解析】
由三視圖知:幾何體為三棱錐,且三棱錐的一條側棱垂直于底面,結合直觀圖判斷外接球球心的位置,求出半徑,代入求得表面積公式計算.【詳解】由三視圖知:幾何體為三棱錐,且三棱錐的一條側棱垂直于底面,高為2,底面為等腰直角三角形,斜邊長為,如圖:的外接圓的圓心為斜邊的中點,,且平面,,的中點為外接球的球心,半徑,外接球表面積.故選:A本題考查了由三視圖求幾何體的外接球的表面積,根據三視圖判斷幾何體的結構特征,利用幾何體的結構特征與數據求得外接球的半徑是解答本題的關鍵.11.A【解析】
聯立直線方程與橢圓方程,解得和的坐標,然后利用向量垂直的坐標表示可得,由離心率定義可得結果.【詳解】由,得,所以,.由題意知,所以,.因為,所以,所以.所以,所以,故選:A.本題考查了直線與橢圓的交點,考查了向量垂直的坐標表示,考查了橢圓的離心率公式,屬于基礎題.12.B【解析】
先求出,再利用求出,再求.【詳解】解:由,所以,,,故選:B考查向量的數量積及向量模的運算,是基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
由,得出,根據兩角和與差的正弦公式和余弦公式化簡,再利用齊次式即可求出結果.【詳解】因為,所以,所以.故答案為:.本題考查三角函數化簡求值,利用二倍角正切公式、兩角和與差的正弦公式和余弦公式,以及運用齊次式求值,屬于對公式的考查以及對計算能力的考查.14.【解析】
求出函數的導數,利用導數的幾何意義令,即可求出切線斜率.【詳解】,,,即曲線在處的切線的斜率.故答案為:本題考查了導數的幾何意義、導數的運算法則以及基本初等函數的導數,屬于基礎題.15.【解析】
根據組合數得出所有情況數及兩個球顏色不相同的情況數,讓兩個球顏色不相同的情況數除以總情況數即為所求的概率.【詳解】從袋中任意地同時摸出兩個球共種情況,其中有種情況是兩個球顏色不相同;故其概率是故答案為:.本題主要考查了求事件概率,解題關鍵是掌握概率的基礎知識和組合數計算公式,考查了分析能力和計算能力,屬于基礎題.16.【解析】
注意平移是針對自變量x,所以,再利用整體換元法求值域(最值)即可.【詳解】由已知,,,又,故,,所以的最小值為.故答案為:.本題考查正弦型函數在給定區間上的最值問題,涉及到圖象的平移變換、輔助角公式的應用,是一道基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2).【解析】
(1)根據橢圓的離心率為,得到,根據直線與圓的位置關系,得到原心到直線的距離等于半徑,得到,從而求得,進而求得橢圓的方程;(2)分直線的斜率存在是否為0與不存在三種情況討論,寫出直線的方程,與橢圓方程聯立,利用韋達定理,向量的數量積,結合已知條件求得結果.【詳解】(1)由離心率為,可得,,且以原點O為圓心,橢圓C的長半軸長為半徑的圓的方程為,因與直線相切,則有,即,,,故而橢圓方程為.(2)①當直線l的斜率不存在時,,,由于;②當直線l的斜率為0時,,,則;③當直線l的斜率不為0時,設直線l的方程為,,,由及,得,有,∴,,,,∴,綜上所述:.該題考查直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的標準方程,考查直線與橢圓的位置關系,求向量數量積,在解題的過程中,注意對直線方程的分類討論,屬于中檔題目.18.矩陣屬于特征值的一個特征向量為,矩陣屬于特征值的一個特征向量為【解析】
先由矩陣特征值的定義列出特征多項式,令解方程可得特征值,再由特征值列出方程組,即可求得相應的特征向量.【詳解】由題意,矩陣的特征多項式為,令,解得,,將代入二元一次方程組,解得,所以矩陣屬于特征值的一個特征向量為;同理,矩陣屬于特征值的一個特征向量為v本題主要考查了矩陣的特征值與特征向量的計算,其中解答中熟記矩陣的特征值和特征向量的計算方法是解答的關鍵,著重考查了推理與運算能力,屬于基礎題.19.(1)見解析;(2)【解析】
(1)X的可能取值為300,500,600,結合題意及表格數據計算對應概率,即得解;(2)由題意得,分,及,分別得到y與n的函數關系式,得到對應的分布列,分析即得解.【詳解】(1)由題意:X的可能取值為300,500,600故:六月份這種酸奶一天的需求量(單位:瓶)的分布列為300500600(2)由題意得.1°.當時,利潤此時利潤的分布列為.2.時,利潤此時利潤的分布列為.綜上的數學期望的取值范圍是.本題考查了函數與概率統計綜合,考查了學生綜合分析,數據處理,轉化劃歸,數學運算的能力,屬于中檔題.20.(1)(2)【解析】
(1)先消去參數,化為直角坐標方程,再利用求解.(2)直線與曲線方程聯立,得,求得弦長和點到直線的距離,再求的面積.【詳解】(1)由已知消去得,則,所以,所以直線的極坐標方程為.(2)由,得,設,兩點對應的極分別為,,則,,所以,又點到直線的距離所以本題主要考查參數方程、直角坐標方程及極坐標方程的轉化和直線與曲線的位置關系,還考查了數形結合的思想和運算求解的能力,屬于中檔題.21.(1);(2).【解析】
(1)設等差數列的公差為,根據題意得出關于和的方程組,解出這兩個量的值,然后利用等差數列的通項公式可得出數列的通項公式;(2)求出,可得出,可知當為奇數時不等式不成立,只考慮為偶數的情況,利用數列單調性的定義判斷數列中偶數項構成的數列的單調性,由此能求出正實數的取值范圍.【詳解】(1)設等差數列的公差為,則,整理得,解得,,因此,;(2),滿足不等式的正整數恰有個,得,由于,若為奇
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