2024-2025學年高二下學期期中數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1.函數在時的瞬時變化率為（

）A．0 B．2 C．4 D．62.函數的單調遞減區間是（

）A． B． C．D．3.函數在上的最大值是（

）A． B．0 C． D．4.某研究性學習小組有4名男生和4名女生，一次問卷調查活動需要挑選3名同學參加，其中至少一名女生，則不同的選法種數為（）A.120種B.84種C.52種D.48種5.若曲線在點處的切線與直線垂直，則a的值為（

）A． B． C． D．6.已知事件，，若，且，，則下列結論正確的是（）A．B．C．D．7.若的展開式中的系數為30，則（

）A． B． C． D．8.定義在R上的奇函數，其導函數為，，當時，，則使得成立的x的取值范圍是（

）A．B．C．D．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數，其導函數的圖象如圖所示，則對于函數的描述正確的是（

）A．在上單調遞減 B．在處取得極大值C．在上單調遞減 D．在處取得最小值10.2025年3月，中華人民共和國全國人民代表大會與中國人民政治協商會議在北京召開（以下簡稱“兩會”），兩會結束后，5名人大代表A，B，C，D，E站成一排合影留念，則下列說法正確的是（）A．若A與B相鄰，則有48種不同站法B．若C與D不相鄰，則有24種不同站法C．若B在E的左邊（可以不相鄰），則有60種不同站法D．若A不在最左邊，D不在最中間，則有78種不同站法11.已知函數f(x)＝x3－3x2＋4，則()A．f(x)的極小值為2B．f(x)有兩個零點C．點(1，2)是曲線y＝f(x)的對稱中心D．直線y＝－3x＋5是曲線y＝f(x)的切線三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知的展開式中各項二項式系數和是，則展開式中的常數項是.13.若函數在處取得極小值，則；函數的極大值為．14.若函數在上單調遞增，則實數的最大值為.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(本小題13分)已知函數在處取得極小值5.(1)求實數a，b的值；(2)當時，求函數的最大值.16.(本小題15分)若，求：（1）求的值；（2）；（3）．17.(本小題15分)工廠有甲，乙，丙三個車間生產同一產品，已知各車間的產量分別占全廠產量的，，，并且各車間的次品率依次為，，.現從該廠這批產品中任取一件.(1)求取到次品的概率；(2)若取到的是次品，則此次品由甲車間生產的概率是多少?18.(本小題17分)設函數.(1)求曲線在處的切線方程；(2)求的單調區間與極值；(3)求出方程的解的個數.19.(本小題17分)已知函數．(1)討論的單調性；(2)當時，求證：．2024-2025學年高二下學期期中數學試題答案一、選擇題：題號1234567891011答案BDBCACADBCACDBCD1.解析：由可得，故時的瞬時變化率為.故選：B2.解析：，則，由f'x<0，得，所以單調遞減區間是.故選：D3.解析：由題，所以當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，所以.故選：B.4.解析：8人中任選3人的組隊方案有種，沒有女生的方案有種，所以符合要求的組隊方案有種.故選：C.5.解析：由題設，知曲線在點處的切線的斜率為，由，則，所以.故選：A6.解析：因為，所以，，，，，.故選：C．7.解析：由二項式的展開式的通項為，則的展開式中為，可得，解得.故選：A.8.解析：設，則，由于當時，，則當時，，在單調遞減，又為奇函數，,則，則函數為偶函數，可得函數在上單調遞增，又，則，當時，由，可得，即，解得；當時，由，可得，即，解得；綜上，不等式的解集為．故選：D．9.解析：由導函數的圖象可知，當時，當時，當時，當時，所以在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，所以在處取得極大值，在處取得極小值，在處取得極大值.故選：BC10.解析：若A與B相鄰，則有種不同站法，A正確；若C與D不相鄰，則有種不同站法，B錯誤；若B在E的左邊（可以不相鄰），則有種不同站法，C正確；若A不在最左邊，D不在最中間，當A排在最中間時，滿足條件的排法有種，當A不排在最中間時，滿足條件的排法有種，故共有種不同排法，D正確.故選：ACD．11．解析：由題得f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2，所以當x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)時，f′(x)>0；當x∈(0，2)時，f′(x)<0，所以函數f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)上單調遞增，在(0，2)上單調遞減．對于A，當x＝2時，函數f(x)取得極小值，即f(x)極小值＝f(2)＝23－3×22＋4＝0，故A不正確；對于B，方法一：因為f(0)＝03－3×02＋4＝4，且當x→－∞時，f(x)→－∞，所以函數f(x)在(－∞，0)上存在一個零點，又f(2)＝0，所以結合f(x)的單調性知，函數f(x)有兩個零點，故B正確．方法二：f(x)＝x3－3x2＋4＝x3－2x2－x2＋4＝(x＋1)(x－2)2，則由f(x)＝0，解得x＝－1或x＝2，所以函數f(x)有兩個零點，故B正確；對于C，方法一：若點(1，2)是曲線y＝f(x)的對稱中心，則有f(x)＋f(2－x)＝4，將函數f(x)＝x3－3x2＋4代入上式驗證得，x3－3x2＋4＋(2－x)3－3(2－x)2＋4＝4，故C正確．方法二：令g(x)＝f′(x)＝3x2－6x，則g′(x)＝6x－6，由g′(x)＝0，得x＝1，又f(1)＝2，所以點(1，2)是曲線y＝f(x)的對稱中心，故C正確；對于D，若直線y＝－3x＋5是曲線y＝f(x)的切線，則有3x2－6x＝－3，解得x＝1.當x＝1時，f′(1)＝－3，f(1)＝2，所以曲線y＝f(x)在點(1，2)處的切線方程為y－2＝－3(x－1)，即y＝－3x＋5，故D正確．故選BCD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.解析：由已知的展開式中各項二項式系數和是，解得，又二項式的通項為，令，即時，常數項為，故答案為：24.13.解析：因為，所以，所以，解得，或，當時，，所以，當或時，時，即函數在和上單調遞增，在上單調遞減，所以函數在處取得極小值，符合題意，函數在處取得極大值，且；當時，，所以，當或時，時，即函數在和上單調遞增，在上單調遞減，函數在處取得極大值，不符合題意，．故答案為：2；.14.解析：，求導得，由在上單調遞增，得，又當，，則，又時，在上單調遞增，所以實數的最大值為2.故答案為：2.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.解：（1），..........................................................1分因為在處取極小值5，所以，得，..............................3分此時，令，解得；令，解得或，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以在時取極小值，符合題意............................................................4分所以，.又，所以............................................................6分綜上，，.（2）由（1）知，，...................8分列表如下：0（0,1）12（2,3）3001極大值6極小值510...................12分由于，故時，....................13分解：（1）二項式展開式的通項為，，.......................2分因為，所以.......................4分（2），令，解得；..................................................................6分令，整理得，..................................................................8分故...................................................................9分（2）的展開式通項為，則，其中且，當為偶數時，；當為奇數時，.........................11分所以........................13分令可得，........................14分所以.........................15分17.解：（1）記=“車間生產的產品”，=“車間生產的產品”，=“車間生產的產品”，=“抽取到次品”，則........................2分,，由全概率公式知：取到次品的概率為........................5分.........................9分（2）若取到的是次品，此次品由甲車間生產的概率為：.........................15分18.解：（1）由，........................2分所以，且，........................4分所以曲線在處的切線方程為，即；........................5分（2）因為，令，得或，........................6分所以當或時，，則函數單調遞增，........................7分當時，，則函數單調遞減，........................8分所以的單調遞增區間為；的單調遞減區間為.........................10分的極大值為；的極小值為；........................12分（3）由（2）可知函數的單調性和極值，畫出和得圖象，........................14分可得當或時，方程的解為1個；........................15分當或時，方程的解為2個；........................16分當時，方程的解為3個.........................17分19.解：（1）函數的定義域為，........................1分則，........................4分①當時，令，解得，令，解得，在上單調遞減，在上單調遞增，.....................