2025屆高三期中學業質量監測試卷數學注意事項：12.答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上...如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上指定位置，在其他位置作答一律無效.3.本卷滿分150分，考試時間為120分鐘.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.8540分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.2miR，則實數m1．已知復數（）322332A．．．D．232．已知集合A6,Bxx1AAB（）A．6．6．5D．23．在VABCtanA2，B3C（）A30°．60°D．135°245．函數fxxx3的極大值為（）A．4．01D．4P2與平面所成角的大小為60，則=（）A1．2．D．23π36．曲線y2sinx與yx的交點中，與y軸最近的點的橫坐標為（）π5π5ππ6A．．．D．666，，APxAB1xADxR若∥MNx7AMMBBN2NC試卷第1頁，共4頁（）1374727A．．．D．78．在正四棱柱ABCDABCD3P是線段上靠近C的三等分點，過點111111C與直線PA垂直的平面將正四棱柱分成兩部分，則較大部分與較小部分的體積比為（）3252A．．2．D．33618分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9a,b,c是三條直線，，，a//b）A．ac，bc．a/，a，b．，，a，bD．a，b，c，a//c1．已知函數fxx2x，則（）πA．fx的最大值為1．,0是曲線yfx的對稱中心2π．fx在上單調遞減2D．fx的最小正周期為2π1fx為Rf1xf1x2，f2xf2x4）A．f33．fx為奇函數．xR，fxx1D．xR，fex1fx2000三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.1．已知函數fxsinx0,0的一個單調減區間為,1212，.yx上的兩點ABOAOB的中點1M在x軸上，則點M的橫坐標為.1O的半徑為2ABOCO1的最小值為.577分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步試卷第2頁，共4頁驟.1．已知，bc分別為VABC的內角ABC的對邊，且acosCaCbc.(1)求A；(2)若VABC的面積為3，周長為6，試判斷VABC的形狀.1．設拋物線C:x24y的焦點為，準線為lP在C上，記P在l上的射影為H.(1)能否為正三角形?若能，求點P的坐標；若不能，請說明理由；(2)設CP處的切線與l相交于點Q，證明：PFQ90.1P中，PAD是ACPAC，且2.(1)A到平面PBD的距離；(2)求平面PAC與平面PBC的夾角的正弦值.1．已知函數fxx2acosx，其中aR.ππ(1)若曲線yfx,f處的切線過原點，求a；22(2)當a1時，證明：fxx1x；(3)若fx在π上單調遞增，求a的取值范圍.a，a，a…，am（m411123意連續三項的和都能被3整除，那么稱數列a，a，a…，am是Pm數列.123(1)寫出所有滿足a7的P數列；44(2)證明：存在4數列是等比數列，且有無窮個；(3)對任意給定的aat，都存在a，a，a，使得數列a，a，a，a，a是數列，P55523412345試卷第3頁，共4頁求整數t的最小值.試卷第4頁，共4頁1B【分析】根據復數的除法運算結合復數的概念運算求解即可.2mim23322ii，【詳解】因為mimi11m2m22mi2m3m2RiR，若m21m213m220，解得m.m213故選：2A【分析】利用交集、補集的概念計算即可.【詳解】由題意可知B2,3,7，所以AB2,3eAAB6.故選：AB可得結果.3ππ32π,B,C0,【tanC即3ππ32,B,【詳解】因為A23，B33，可知，π3CπAB則，ABABπ4且CAB1，所以C.1故選：4D分析】求函數的導數，求解x0'x0，得到函數fx的單調區間，fxf'f【判斷極大值點代入，從而求出極大值.xx32xx33xx3，2【詳解】解：f'x0，則1x3f'x0x1或x3，令f'在上單調遞增，在3上單調遞減，在fx上單調遞增，在x1處取得極大值f4.fx故選：D答案第1頁，共15頁5C的中點DABCP在平面內的投影落在線段內，即PCD60，即可得結果.【【詳解】取的中點D，連接PD,CD，2,,3，且D，PD,，可得AB，又因為，所以平面ABC，且平面，由面面垂直的性質可知：點P在平面內的投影落在直線且3，可知點P在平面內的投影落在線段又因為與平面所成角的大小為60PCD60，可知為等邊三角形，所以PC3.故選：6Bxxy軸最近的點的橫坐標.【π3123【詳解】由sinx2sinx，可得sinxx2sinx，2π633即sinxx03sinx0，22ππ則xπ,kZxkπkZ，66π6故x取最小值時，x.故選：B7C答案第2頁，共15頁x【分析】以,為基底表示向量，因為∥MN，建立與量關系，求解即可.【詳解】因為AMMB，BN2NC，所以211212MNBNBMBCBAABBCABAD，32232312又∥MN，所以APMNABADxAB1xAD，2312x則637，解得：，x.271x3故選：C8B【，，的對應三等分點NMQC,N,Q,M111共面，再通過向量數量積證明APCNQM，最后采用割補法求解出較小部分的體積，從而體積比可求.BBNAAAB的三等分點D的三等分點M1111等分點Q，PD,PB,PM,PN,CM,BP,QM,QN，建立如下圖所示空間直角坐標系，不妨設AB1，答案第3頁，共15頁，C0,N1,M,Q2,CNMQC,N,M,QC,N,Q,M共面，又因為，所以A1,0,0,P，1010，所以，,0110，所以C，APCNQM，較小部分的幾何體如下圖所示，VV1NABCDNCDMNADMQ其體積為，由正四棱柱結構特點易知BM//ADMQ，BM//CDM，11111121所以VVNABCDVBCDMVBADMQ1，33232所以較大部分體積2312，所以較大部分與較小部分的體積比為2，故選：點坐標和空間向量運算能更高效說明線面垂直，另一方面是采用割補法求解幾何體的體積，將復雜幾何體轉化為簡單幾何體再去計算.9分析】選項A和C，可以在正方體中，通過取平面和直線，滿足條件，但得不到a//b，【從而判斷出A和C的正誤，選項B和D，利用線面平行的判定定理和性質定理，即可判斷出選項B和D的正誤.【詳解】對于選項A，如圖，在正方體中，取直線為a，直線BCbBB為c，為，直線1顯然有ac，bcabB，所以選項A錯誤，答案第4頁，共15頁對于選項，由線面平行的性質可知，選項B正確，對于選項，如圖，在正方體中，取平面ABB1A為1B為平面ABCD11為，顯然滿足，，BCBa,bC錯誤，對于選項D，因為aacc，ca//c，aa//a，b，所以a//b，故選項D正確，顯然有，所以故選：1．A于：舉反例說明即可；對于D：根據題意結合最小正周期的定義分析判斷.詳解】由題意可知：的定義域為，fx?【x,cos2xfxx2x1對于選項A：因為，且f01，所以fx的最大值為1A正確；對于選項：因為fπxπx2πxπx2xx2xfx，π2fπxfx0即,0是曲線?=??的對稱中心，故B正確；，所以π4π2對于選項：因為ff0在R上連續不斷，fxπ2在fx上不單調，故C錯誤；對于選項D：因為fxx2xx2xfx，答案第5頁，共15頁由選項Bfπxfx，可得fxπfxfxπfx，則fx2πfxπfxfx，2π為的一個周期，fxa,cos2a1，若0a2π02a4π，可得當cosa1aπ，cos2acos2π11，此時fa11，a2π，fa1f0af0可知對任意a，fx的一個周期；綜上所述：的最小正周期為fx2πD正確；故選：．分析】選項A，根據條件，通過賦值，即可求解；選項f1xf1x2【到fx2f2x，進而得到fxf(2x)2，而又由f1xf1x2xf(x)得到fxf2x2f，即可判斷選項B的正誤；選項C，根據條件得，f1，f2f2xfx2xZf(x)xfx的單調性，即可求解；選項D，構造函數yex1x2，利用導數與函數單調性間的關系，ex1x2，從而有fex1fxf(xf(x)，再結合條件，即可求解.詳解】對于選項A，因為f1xf1x2x0，得到f1，【又f2xf2x4x1，得到f3f14，所以f33，故選項A正確，對于選項Bf1xf1x2f2xfx2fx2f2x，又f2xf2x4，所以fx2f2xf(2x)2，f1xf1x2fxf2x2fxf(2x)2f(x)，所以，又的定義域為R，定義域關于原點對稱，所以fx為奇函數，故選項fxBA正確，知f1，對于選項，因為f2xf2x4x0，得到f2，由選項答案第6頁，共15頁又由選項B知f2xfx2fx為奇函數，則當xZf(x)x，所以當xZ時，不存在xRfxx1成立，000當xZ為Rfxfxf([x[xx1（其中[x]表示不0000xC錯誤，對于選項Dyex1x2yex11yex110，得到x1，所以當x,yex110xyex110，即yex1x2在區間,上單調遞減，在區間上單調遞增，yex1x2e1(2ex1x2，當且僅當x1時取等號，由選項B知f2xfxf2xfx2為R上的增函數，fxfex1fxf(x2)f(x)，當且僅當x1時取等號，故選項D正確，故選：【C和DxZf(x)xfx的單調性，當xZfxf([x[xx1，再利用0000中[x]表示不超過Dyex1x2x函數的單調性間的關系得到ex1x2fex1ff(x2)f(x)2，即可求解.221．2##33【分析】根據三角函數的單調性和周期性等圖象性質易得結果.5πππ，所以2ππ詳解】由題意，周期T22，【fx2x，πfsin21π12π當x時，可得，12ππ2π則22π，解得2kπ，12232π又0，所以.3答案第7頁，共15頁2π故答案為：2；.311e1．e2xxxx0Ax,lnx,Bx,lnx【11221212式可得xx1，代入運算求解即可.12詳解】設x,lnx,x,lnxAx,lnx,Bx,lnx【，11221122若OAOBxxlnxlnx0，12121x21x20，又因為線段的中點M在x軸上，則221xx1x，122111則111210，解得11xex或，11e11e1x即可得1或1ee，22e1x212e1e.所以點M的橫坐標為211故答案為：e.e211．##2【分析】將AB,AC分別表示為OB,OCOA，然后根據向量數量積的定義表示出，再分析AB,OC的夾角即可求解出的最小值.OA2OB2AB27【詳解】因為OAOBAB1，所以cosAOB，OAOB8又2781212OBOAOC224ABOC11cosAB,OCcosAB,OC1111，222當且僅當AB,OC180時取等號，12的最小值為，答案第8頁，共15頁12故答案為：.π1．(1)A3(2)等邊三角形）利用正弦定理和誘導公式及特殊角三角函數值即可求得A的值；2）利用三角形面積公式和余弦定理求得VABC的三邊長，進而判斷出VABC的形狀.）由正弦定理，acosCaCbc可化為sinAC3sinAsinCsinBsinC又VABCBsin(AC)ACAC則上式可化為3sinAsinCsinCcosAsinC，又VABC0CπC0，,則上式可化為3sinAcosA13sinAcosA，π61ππ65π6則sinAA，26π6ππ3則AA6（2abc6，可得bc6a，1πbcsin3，可得4，23則bc26a2，可化為b2c2836a212a整理得b2c2a22812a，ππ3b2c2a2122812aAcos，可化為，32bc84b2解之得a2，解之得，bc4c2則VABC的形狀為等邊三角形.答案第9頁，共15頁．(1)P23,3或P23,3；1(2)證明見解析.3）由題可得HPM縱坐標為FMHP，即可得答案；2（2CPQFQFP0證明結論.204x【）設??,?，因x24y0Px,.0000又由題可得C:x24y的焦點為?0,1，準線為：y1.則P在l上的射影H為Hx,.PFH為正三角形，03則應滿足HPM縱坐標為FMHP.22042x11023，即當P23,3或P23,3即3022014能使為正三角形；204x2）由題可得Px,x0.00x2x注意到x24yyy，42204x020202Px,yxx0.處的切線斜率為：，則相應切線為：044y0，可將切線方程化簡為：2yy.x02002y01,.F,Px,y令則y1，可得Q又，000,2x,y1201，000得FQFP2y2y200PFQ90.00答案第10頁，共15頁251．(1)5472(2)【H，證明PBD，求出AH得解；,y,z軸的空間直角坐2）以點A為坐標原點，過點A垂直于x分別為標系，求出平面PBC與平面PAC的一個法向量，利用向量法求解.）如圖，作H，因為平面PAC，平面PACPD，PAC，PBD，2125在Rt△PAD，5525所以點A到平面PBD的距離為.5（2）由（PBD，BDPBD，所以，又PA，BD，所以，,又PAC，PAAHA，所以BDPAC，又AD1，2，所以DAB60o，AA垂直于x,y,z分別為軸的空間直角坐標系，?0,0,0，P0,0,2，B0，C0?0,1,0，3,0,02，PC0,2,2，，n,y,z，設平面PBC的一個法向量為3xy2z03z1y1，x，2y2z03答案第頁，共頁3n，3又BDPAC3,0,0，設平面PAC與平面PBC的夾角為，n17，n1371131sin1.77472所以平面PAC與平面PBC的夾角的正弦值為.π1．(1)a2(2)證明見詳解(3),2）求導，根據導數的幾何意義求切線方程，代入原點運算求解即可；2）構建gxfxx1x，利用導數分析其單調性和最值，即可分析證明；（（3??≥0在πFxfxa′應分析證明.【）因為fxx2axfx2xax，ππ2則f2π，fπa，24ππ2π2π即切點坐標為,，切線斜率kπa，則切線方程為yπax，2424答案第12頁，共15頁π2若切線過原點，則0πa0，解得a2ππ2.4（2a1fxx2x，gxfxx1xx2xxx1，則gx2x1xx，π4hxgx令hx2sinxcosx22x220，即x0h00，恒成立，則??在上單調遞增，且當x0h00gx0x0h00gx0；在,0gx內單調遞減，在+∞內單調遞增，則gxg00fxx1x.，所以（3在fxπ上單調遞增，當a0fxx2在π上單調遞增，符合題意；在當a0fxx2axπ上單調遞增，符合題意；當a0，由（1）可知：fx2xax，則?′?≥0在π上恒成立，Fxfx設Fx2ax，且F00F02a0，解得a2，在若0a2，可知Fx2axπ上單調遞增，FxF02a0則，可知??在,π上單調遞增，則FxF00，符合題意；綜上所述：a的取值范圍為,2.【點睛】方法點睛：兩招破解不等式的恒成立問題1）分離參數法（第一步：將原不等式分離參數，轉化為不含參數的函數的最值問題；第二步：利用導數求該函數的最值；答案第13頁，共15頁第三步：根據要求得所求范圍．2）函數思想法第一步：將不等式轉化為含待求參數的函數的最值問題；第二步：利用導數求該函數的極值；第三步：構建不等式求解．1．(1)1，237；，267；，3571，，67.(2)證明見解析；(3)13.）由所給信息，找到滿足題意的數列即可；2）即證明存在無窮多個整數，使1qq3整除；q2（（33除余數分為3aa，a，a所屬集5234Pa，mNma5并寫出相應的數列，后由可確定最小值，即可得答案.5a，mNm）由題可得，a3a6令a22，為使任意連續三項的和都能被3整除，則或；33a32a53a42aa5