第十二章復習思考題答案1.二叉樹模型的基本假設有哪些？答案：①市場無摩檫（無交易費用和稅收)；②市場是無套利的；③無風險利率為常數，可以無限制以無風險利率借貸；④允許賣空；⑤下一期的股票價格只取兩種可能的值。2.請談談你對無套利定價與風險中性定價的關系的看法。答案：資產定價的基本定理為無套利假設等價于存在對未來不確定狀態的某一等價概率測度，使得每一種金融資產對該等價概率測度的期望收益都等于無風險證券的收益率，這表明了無套利定價與風險中性定價的關系。3.在二叉樹模型中，當二叉樹步數增加時，為期權進行套期保值，標的資產頭寸的delta是否會變化？答案：為期權進行完全套期保值需要的標的資產頭寸Delta等于下一步期權價格變化值與標的資產價格變化值的比率，這個比率在每一步可能會發生變化，因此標的資產的頭寸可能變化。4.對于二叉樹模型的應用，除了給期權定價，你還能想到什么？答案：二叉樹模型還可以用于給含權債券定價，如給可轉換債券定價；可以用于敏感度分析，分析期權價值關于其影響因素的一系列偏導；可以用于信用風險度量，如給公司債定價，CDS定價等；也可以用于給利率建模等等。5.請簡要談談二叉樹模型的優點與不足。答案：二叉樹模型的優點：1.原理簡單，容易理解和實現；2.解決了提前執行期權的定價問題；3.計算復雜度低，精確度高；二叉樹模型的不足：1.不適用于多因素模型，產生“維數災難”；2.定價路徑依賴產品局限性大；3.能夠模擬的隨機變量分布局限性大；6.當前的股票價格為40元，已知在1個月后這只股票的價格將變成42元或38元，年無風險利率為8%（連續復利），執行價格為39元，問1個月期限的歐式看漲期權價格是多少？答案：由題意Su=故風險中性概率為：p=根據期末股價，看漲期權的到期損益為：fu因此，C=7.某股票的當前價格為50元，已知在6個月后該股票的價格將變成45元或55元，無風險年利率是10%（連續復利）。執行價格為50元，6個月期限的歐式看跌期權價格是多少？u=則風險中性的上漲概率為：由于在到期日，由看跌期權的到期損益公式，得：SuS故：P結果如下圖所示。8.一個9個月期美式看跌期權的執行價格為20元。股票價格為20元，年無風險利率為3%（連續復利），年化波動率為25%。試用3步二叉樹計算該美式看跌期權價格，并計算如果對該期權進行套期保值，每一步1單位期權空頭需要的標的資產的數量。答案：根據題意，?t=3up=通過美式看跌期權的倒推定價可以得到如下二叉樹G28.85790:G28.85790201.6655ACB0.591017.62.8095EDF25.5380019.8881.2151201.6655ACB0.591017.62.8095EDF25.5380019.8881.215122.622.4734022.622.47340HII15.48804.512017.501415.48804.512017.50142.4986JJ13.629413.62946.3706在灰色區域期權持有價值低于立即執行所獲收益(4.5120>4.3630)，因此美式看跌期權提前行權，期權價值為4.5120。故該美式看跌期權在每一步的Delta值為:?????由于F點提前行權，因此，所有頭寸可以在此處了解，不需要進行繼續套期保值，因此?9.某股票的價格為40元，未來6個月的價格服從兩步二叉樹，每步步長3個月，每一步股票價格要么上漲10%，要么下跌10%，無風險年利率為12%（連續復利），試計算：（1）執行價格為42元，6個月期的歐式看跌期權價格是多少？（2）執行價格為42元，6個月期的美式看跌期權價格是多少?答案：根據題意根據題意，?t=p=根據u,d可以繪制股票的兩步二叉樹，利用看跌期權到期日的損益可以可以首先計算D，E，F點的價值分別為：0,2.4,9.6,通過倒推折現定價可得如下二叉樹計算結果。A36EDF48.4039.62.432.49.6A36EDF48.4039.62.432.49.6B44B44402.1359402.13590.81524.77464.7746C如圖所示，執行價格為42元，6個月期的歐式看跌期權價格是2.1185。美式看跌期權需要考慮提前行權的情況，可以看到在C點如果提前行權，看跌期權的價值為Max(42-36,0)=6，因此，美式看跌期權在C點有提前行權，因此其價值二叉樹模型如下圖所示。ACB44EDF48.4039.62.432.49.6ACB44EDF48.4039.62.432.49.6402.5402.55210.8152363666因此美式看跌期權價值為2.5521。10.考慮一個股票的期權，當前該股票價格為50元，期權執行價格為52元，假設未來股票價格變化服從或者按比率上升20%，或者按比率下降20%的兩步二叉樹，每個步長為一年，已知無風險連續復利5%，求1)風險中性概率；2)如果為美式看漲期權，確定其價格；3)假設美式看漲期權的價格為12元，請問有無套利機會，若有請給出套利策略。答案：1)根據題意，?風險中性環境下股價單步的上升概率為p=下降概率為：1-p=0.37182)二叉樹如圖所示在到期日美式看漲期權的可能損益是20,0,0;所以B點的期權價值是max(max(60-52,0),exp(-0.05)[0.6282×20+0.3718×0])=11.9508C點的期權價值是:max(max(40-52,0),exp(-0.05)[0.6282×0+0.3718×0])=0所以美式看漲期權當前價值是：max(max(50-52,0),exp(-0.05)[0.6282×11.9508+0.3718×0])=7.14114）由于美式看漲期權的理論價格為7.1411，而實際價格為12元，顯然期權被高估了，因此存在套利機會，由于在A點Δ=1在初始時刻出售看漲期權獲得12元，并購買0.5975份股票進行套保，購買股票需要的資金為29.877，故需要借入17.877的現金；a.在1年后，如果股價為60元：此時Δ=20-072-在2年后，如果股價為72元，套利損益為：(股票價值-借款本息-期權賠付)720.8333-17.877×exp(0.05×2)-14.1476×exp(0.05×1)–max(72-52,0)=5.3675美元(=(12-7.1411)×EXP(0.05×2)在2年后，如果股價為48，套利損益為：(股票價值-借款本息-期權賠付)48×0.8333-17.877×exp(0.05×2)-14.1476×exp(0.05×1)–max(48-52,0)=5.3683美元(=(12-7.1411)×EXP(0.05×2)=5.3699)；b.在1年后，如果股價為40元：此時Δ=0-048-在2年后，無論股價如何變化，投資者套利損益為（投資收入-借款本息）：23.9×exp(0.05×1)-17.877×exp(0.05×2)=5.3682元因此，通過動態套保，忽略誤差影響，我們可以獲得5.37元的無風險利潤。11.假設大連商品交易所某豆粕期貨當前價格為2000元/噸，豆粕期貨收益波動率為20%，該期貨的看漲期權還有2個月的剩余期限，執行價為1800元/噸，假設豆粕期貨的價格服從兩步二叉樹模型，上升因子u=e答案：根據題意，?故：up=根據u，d繪制豆粕期貨的二叉樹，利用美式看漲期權的逐步遞推公式，得到豆粕期權的二叉樹，如下圖所示，因此豆粕期權的價值為：204.16，其中B點立即執行的價值為max(2118.87-1800,0)=318.87高于持有價值318.07，因此B點為提前行權的價值。ACBEDF2244.8444.820002001781.890ACBEDF2244.8444.820002001781.8902118.872118.872000204.162000204.16318.871887.81887.896.8796.8712.考慮一個股票的期權，當前該股票價格為50美元，假設未來股票價格變化服從或者按比率上升20%，或者按比率下降20%的三步二叉樹，每個步長為3個月，已知無風險利率為5%，已知某9個月期，掛鉤該股票的結構化產品，到期損益為：max?(average1)如果為歐式期權，試計算該產品當前的價值；2)如果為美式期權，試計算該產品的價值。答案：根據題意，?風險中性環境下股價單步的上升