2025年九年級中考數學三輪沖刺訓練圓中三角形相似與三角函數的綜合訓練

1.如圖，在△ABC中，ZBAC=90°，點E在BC邊上，過A,C,E三點的交邊

于另一點R且尸是荏的中點,是O。的一條直徑,連接DE并延長交邊于/點.

(1)求證：四邊形CDMF為平行四邊形;

(2)當CD=軸時，求sinZACF的值.

2.如圖，點。為以42為直徑的半圓的圓心，點M,N在直徑上，點P,。在程上，

四邊形MNP。為正方形，點C在?上運動(點C與點P,。不重合)，連接8C并延長

交M。的延長線于點。，連接AC交于點E,連接。。.

(1)求sin/AO。的值;

(2)求裝的值;

(3)令ME=x,直徑4B=2R(7?>0,R是常數)，求y關于x的函數解析式,

并指明自變量x的取值范圍.

3.如圖，在△A8C中，AB=AC,以AB為直徑的。。分別

B

交AC、BC于點。、E,點/在AC的延長線上，S.ZBAC=2ZCBF.

(1)求證：BF是。0的切線；

(2)若。。的直徑為4,CF=6,求tan/CBE

4.如圖，在△ACE中，以AC為直徑的。。交CE于點。，連接ADS.ZDAE^ZACE,

連接OD并延長交AE的延長線于點P,PB與。。相切于點B.

(1)求證：AP是O。的切線；

(2)連接AB交OP于點孔求證：△砌。S/VDAE；

1AE

(3)若tan/OA/三了,求—的值.

2AP

5.如圖，在△A5C中，AB=ACf以A5為直徑的。0交5C于點。，連接A。，過點。作

DM±AC,垂足為M,AB.的延長線交于點N.

(1)求證：MN是。。的切線；

(2)求證：DG=BNMBN+AC)；

Q

(3)若BC=6,cosC=I，求。N的長.

6.如圖，在△ABC的邊BC上取一點。以。為圓心，0c為半徑畫O。，與邊A8相

切于點。，AC^AD,連接。4交O。于點E,連接CE,并延長交線段A8于點?

(1)求證：AC是O。的切線；

(2)若42=10,tanB=/求。。的半徑；

(3)若尸是的中點，試探究8D+CE與AF的數量關系并說明理由.

7.如圖，為。。的直徑，C為。。上的一點，連接AC、BC,OOL8C于點E,交。。

于點D,連接CD、AD,AD與BC交于點F,CG與BA的延長線交于點G.

(1)求證：AACDsACFD；

(2)^ZCDA=ZGCA,求證：CG為。。的切線;

1

(3)若sin/CW=?求tan/CZM的值.

8.如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,。為AB邊上的一點，以A。為直徑的。。交8c

于點E,交AC于點F,過點C作CG1_AB交AB于點G,交AE于點H,過點E的弦EP

交于點0(EP不是直徑)，點。為弦EP的中點，連接BP,恰好為O。的切線.

(1)求證：BC是。。的切線.

(2)求證：EF=ED.

(3)若sin/ABC=5，AC=15,求四邊形CHQE的面積.

9.如圖所示：。。與△ABC的邊BC相切于點C,與AC、AB分別交于點D、E,DE//OB.DC

是(DO的直徑.連接。￡,過C作CG〃OE交0。于G,連接。G、EC,DG與EC交于

點、F.

(1)求證：直線與。。相切；

(2)求證：AE?ED=AC?EF；

1

(3)若所=3,tan/ACE=押，過A作AN〃CE交。。于M、N兩點(M在線段AN

上)，求AN的長.

10.在Rt^ABC中，ZACB=90°,04平分/BAC交8C于點O,以。為圓心，OC長為

半徑作圓交8C于點。.

(1)如圖1,求證：AB為。。的切線;

(2)如圖2,AB與。。相切于點E,連接CE交OA于點F.

①試判斷線段0A與CE的位置關系，并說明理由.

②若OF：FC=1：2,求tanB的值.

11.如圖，在RtaABC中，ZC=90°,4。平分N8AC交8C于點。，。為A8上一點,

經過點A、D的分別交AB,AC于點E、F.

(1)求證：BC是。。的切線；

(2)若3￡=8,sinB=求。。的半徑;

(3)求證：AD1=AB*AF.

12.如圖1,4B是O。的直徑，直線AM與O。相切于點A,直線BN與O。相切于點2,

點C(異于點A)在AM上，點D在。。上，且CD=CA,延長C。與BN相交于點E,

連接AD并延長交BN于點F.

(1)求證：C￡1是O。的切線；

(2)求證：BE=EF；

(3)如圖2,連接EO并延長與。。分別相交于點G、H,連接8H.若A8=6,AC=4,

求tanZBHE.

13.如圖，ZXABC內接于O。，點。在外，ZADC=90°,BD交。0于點、E,交AC

于點RNEAC=NDCE,ZCEB=ZDCA,CO=6,40=8.

(1)求證：AB//CD；

(2)求證：C￡＞是O。的切線;

B

(3)求tan/ACB的值.

.如圖，AB為。。的直徑，C為。。上一點，。是弧BC的中點，8C與A。、。。分別交于

點E、F.

(1)求證：DO//AC-,

(2)求證：DE'DA=DC1；

1

(3)若tanZCAD=務求sinZCDA的值.

15.如圖，B4是O。的切線，切點為A,AC是。。的直徑，連接。尸交。。于E.過A點

作A8LP。于點。，交。。于8,連接BC,PB.

(1)求證：PB是。0的切線；

(2)求證：E為的內心；

(3)若cos/B42=^,BC=1,求尸。的長.

BC

參考答案

1.如圖，在△ABC中，ZBAC=90°，點E在BC邊上，過A,C,E三點的。。交邊

于另一點尸，且F是屈的中點,是。。的一條直徑，連接DE并延長交AB邊于M點.

(1)求證：四邊形CN即為平行四邊形；

⑵當CD=|AB時，求sinZACF的值.

【分析】(1)連接。F、EF,根據圓周角定理得到進而證明/。F。=/

EDF,根據平行線的判定定理得到FC//DM,根據矩形的性質得到A尸〃C。，根據平行

四邊形的判定定理證明結論；

(2)根據題意得到CD=2BM,證明根據相似三角形的性質得到EC

=28E,根據勾股定理、正弦的定義計算，得到答案.

【解答】(1)證明：連接。尸、EF,

VZBAC=90°,

.,?■FC是。。的直徑，

是屈的中點，

：.AF=EF,

：.ZADF=Z.EDF,

OF=OD,

：.ZADF=ZOFD,

：.NOFD=NEDF,

：.FC//DM,

'：OA^OD,OF=OC,N8AC=90°,

，四邊形AFDC為矩形，

C.AF//CD,

...四邊形CDMF為平行四邊形；

(2)解：：四邊形AEDC為矩形，四邊形CZM/尸為平行四邊形，

：.CD=AF=FM=EF,

\'CD=^AB,

2

ACD=j(2CD+BM),

:.CD=2BM,

"JBM//CD,

:.ABEMs/\CED,

.BMBE1

CD-EC-2’

：.EC=2BE,

設則CQ=2a,BF=3a,EF=2a,

在RtABEF中，BE=<BF2-EF2=衣a,

EC—2y[Sa,

在RtACEF中，FC=<EF2+EC2=246a,

在RtAMC中，sinZACF=箓=嘉^=*.

D

【點評】本題考查的是圓周角定理、矩形的判定定理和平行四邊形的判定定理、相似三

角形的判定和性質、正弦的定義，根據相似三角形的性質求出EC=2BE是解題的關鍵.

2.如圖，點。為以AB為直徑的半圓的圓心，點M,N在直徑A2上，點P,。在苑上，

四邊形MNP。為正方形，點C在⑦上運動(點C與點P,。不重合)，連接8C并延長

交MQ的延長線于點。，連接AC交MQ于點E,連接。。

(1)求sinZAOQ的值；

?AM一

(2)求■^77的Jt值；

(3)令ME=x,直徑AB=2R(R>0,R是常數)，求y關于x的函數解析式,

并指明自變量x的取值范圍.

【分析】(1)利用全等三角形的性質證明0M=ON,設0M=0N=m,則MQ=2相，求

出0Q,可得結論.

(2)利用(1)中結論，求出AM,MN(用機表示即可).

AMEM

(3)證明可得——=——，由此構建關系式，可得結論.

DMBM

【解答】解：(1)如圖，連接。尸.

?/四邊形MNPQ是正方形，

：.ZOMQ=ZONP=90°,MQ=PN,

?/OQ=OP,

：.Rt/\OMQ^Rt/\ONP(HL),

：.OM=ON,

設OM=ON=m,則MQ=2m,0Q=^OM2+MQ2=V5m,

../.ccMQ2m2/5

..smZAOe=W=7^=—

(2)由(1)可知OM=ON=m，OQ=OA=V5m,MN=2m,

.AM=OA-OM=V5m-m,

AMV5m-mV5-1

?MN~2m~2,

(3)?：AB=2R,

：.OA=OB=OQ=R,

'：QM=2MO,

?八A/f底RR4c2y/SR

..OM=-g-,MQ=—g—,

9：AB是直徑，

AZACB=ZDCE=90°,

9

：ZCED=ZAEMf

：.NA=N。，

VZAME=ZDMB=90°,

AAMEsADMB,

?AMEM

99DM~BM

R—粵

X

=

R+等

._4R22居R

??尸宓—

，一,,AMEM

當點c與尸重口A時，—=-.

R-竿x

____52_

,V57?—2V57?

n--――--

375-5D

??X=-----F-----K

【點評】本題屬于圓綜合題，考查了圓周角定理，全等三角形的判定和性質，相似三角

形的判定和性質，正方形的性質，解直角三角形等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三

角形或相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題.

3.如圖，在△ABC中，AB=AC,以45為直徑的分別交AC、BC于點、。、E,點F在

AC的延長線上，且N8AC=2/CBF.

(1)求證：BF是。。的切線；

(2)若。。的直徑為4,CF=6,求tan/CBF.

【分析】(1)連接AE,利用直徑所對的圓周角是直角，從而判定直角三角形，利用直角

三角形兩銳角互余得到直角，從而證明/A8F=90°,于是得到結論；

(2)過C作CH1BF于H,根據勾股定理得到BF=y/AF2-AB2=V102-42=2聞,

根據相似三角形的性質得到CH=竽，根據三角函數的定義即可得到結論.

【解答】（1）證明：連接AE,

??,AB是。。的直徑，

AZAEB=90°,

.'.Zl+Z2=90°.

'：AB=AC,

：.2Z1=ZCAB.

9

：ZBAC=2ZCBFf

：.Z1=ZCBF

：.ZCBF+Z2=90°

即NAB尸=90°

TAB是OO的直徑，

???直線3廠是的切線；

（2）解：過。作CH_LB/于"，

9

：AB=ACfOO的直徑為4,

???AC=4,

VCF=6,ZABF=90°,

：.BF=y/AF2-AB2=V102-42=2后，

'：ZCHF=AABF,/F=/F,

：.ACHF^AABFf

CHCF

?t?—■,

ABAF

.CH6

??—,

44+6

12

???CH=苦，

：.HF=VCF2-CH2=J62一（莽尸=空I,

：.BH=BF-HF=2Vn-空^=警^

：.tanZCBF^器=魚=空

-5-

A

【點評】本題考查了切線的判定與性質、勾股定理、直徑所對的圓周角是直角、相似三

角形的判定和性質、解直角三角形等知識點、正確的作出輔助線是解題的關鍵.

4.如圖，在△ACE中，以AC為直徑的OO交CE于點。，連接AD,且/。AE=NACE,

連接0D并延長交AE的延長線于點P,尸8與O。相切于點8.

(1)求證：A尸是。。的切線；

(2)連接AB交。尸于點R求證：△EIOSADAE；

【分析】(1)由AC為直徑得/AOC=90°,再由直角三角形兩銳角互余和已知條件得

ZDAC+ZDAE=90°,進而得出結論；

(2)由切線長定理得朋=PB,ZOPA=ZOPB,進而證明△BW名得AD=BD,

得/BAD=NDBA,再由圓周角定理得/EA。，進而便可得：AFADS^DAE；

DFAE

(3)證明△AON"△尸OA,得4尸=2。4,再證明△ABDs/xcAE,求得一的值，即得一

AFAP

的值.

【解答】解：(1)為直徑，

?.ZADC=90°,

/.ZACD+ZDAC^90°,

'：ZDAE=ZACE,

：.ZDAC+ZDAE^90°,

即NC4E=90°,

是OO的切線；

(2)連接08,如圖1,

?1B4和尸5都是切線，

：.PA=PB,ZOB\=ZOPB,PO1AB,

?：PD=PD,

：?4DPA”叢DPB(SAS),

：.AD=BD,

：./ABD=/BAD,

???ZACD=ZABD.

又/DAE=/ACE,

：.ZDAF=ZDAE,

?「AC是直徑，

AZADE=ZADC=90°,VPOXAB,

AZADE=ZAFD=90°,

：.AFAD^/\DAE；

圖1

(3)VZAFO=ZOAP=90°,ZAOF=ZPOA,

：.AAOF^APOA,

.OFAF_

??—，

OAPA

tOAOF1

—=—=tanZ-OAF=一，

PAAF2

：.PA=2AO=AC,

VZAFD=ZCAE=90°,ZDAF=ZABD=AACE,

：.AAFD^ACAE,

.FDAF

??—,

AECA

.FDAEAE

99AF~CA~AP"

OF1

'/tanZ-OAF=='

不妨設OF=x,則AF—2x,

OD=OA=V5x,

：.FD=OD-OF=g-l)x,

.FD(V5-l)xV5-1

"AF―2x~2

?再_a—

"AP-2'

【點評】本題是圓的一個綜合題，主要考查了圓周角定理，切線的性質與判定，切線長

定理，相似三角形的性質與判定，勾股定理，解直角三角形的應用，第(3)小題關鍵在

證明相似三角形.難度較大，一般為中考壓軸題.

5.如圖，在△ABC中，AB=AC,以A8為直徑的交8c于點。，連接A。，過點。作

DMLAC,垂足為M,AB,的延長線交于點N.

(1)求證：是。。的切線；

(2)求證：DN^BNYBN+AC)；

(3)若，C=6,cosC=|,求OV的長.

【分析】(1)如圖，連接。。，由圓周角定理可得/AD8=90°,由等腰三角形的性質可

得BD=CD,ZBAD^ZCAD,由三角形中位線定理可得OO〃AC,可證0￡>_LMV,可

得結論；

BNDN

(2)通過證明△BfWs/VMN,可得——=—,可得結論；

DNAN

(3)由等腰三角形的性質可得BD=CO=3,由銳角三角函數可求AC=AB=5,由勾股

BNDNBD3

定理可求AD=4,由相似三角形的性質可得—=宣===二，即可求解.

DNANAD4

【解答】證明：（1）如圖，連接0。，

VAB是直徑，

ZADB=90°,

又???A8=AC,

：.BD=CD,ZBAD=ZCADf

VA0=B0,BD=CD,

：.OD//AC,

*：DM±AC,

：.ODLMN,

又??,。。是半徑，

???MN是。。的切線；

(2)*：AB=ACf

：.ZABC=NACB,

VZABC+ZBAD=90°,ZACB+ZCDM=90°,

：.ZBAD=ZCDM,

'：ZBDN=ZCDM,

：.ZBAD=ZBDNf

又,:ZN=ZN,

:.XBDNsXDAN,

?BNDN

??DN~AN"

DN2=BN-AN=BN"BN+AB)=BN,(BN+AC)；

(3)VBC=6,BD=CD,

:.BD=CD=3,

..「3CD

?ssC=r=宿

.'.AC=5,

.\AB=5,

：.AD=y/AB2-BD2=,25—9=4,

■:ABDNsADAN,

.BNDNBD3

"DN~AN~AD~4

：.BN=^DN,DN=%N,

'-BN=^(~AN)=》M

,：BN+AB=AN,

9

：.—AN+5=AN

16

【點評】本題是圓的綜合題，考查了切線的判定和性質，三角形中位線定理，圓的有關

知識，相似三角形的判定和性質等知識，利用相似三角形的性質可求線段的長度是本題

的關鍵.

6.如圖，在△ABC的邊BC上取一點。，以。為圓心，0C為半徑畫O。，。。與邊AB相

切于點。，AC=AD,連接。1交。。于點E,連接CE,并延長交線段A2于點?

(1)求證：AC是O。的切線；

(2)若AB=10,tanB=g,求。。的半徑；

(3)若尸是AB的中點，試探究BO+CE與AF的數量關系并說明理由.

c

【分析】（1）連接OD,由切線的性質可得乙4。。=90°,由“SSS”可證△ACOg^AQO,

可得/AOO=NACO=90°,可得結論；

（2）由銳角三角函數可設AC=4x,BC=3x,由勾股定理可求8c=6,再由勾股定理可

求解；

（3）連接。D,DE,由“S4S”可知△COEgZXOOE,可得NOCE=/OED,由三角形

內角和定理可得/。￡/=180°-ZOEC-ZO￡D=180°-2ZOCE,ZDFE=180°-

ZBCF-ZCBF=180°-2ZOCE,可得/DEF=/DFE,可證Z?E=Z）F=CE,可得結

論.

【解答】解：（1）如圖，連接OD

：O。與邊A8相切于點。,

：.OD±AB,即NAQO=90°,

'：AO^AO,AC=AD,OC=OD,

：.^ACO^AADOCSSS),

：.ZADO^ZACO^90°,

：.OD±AB,

又：OC是半徑,

；.AC是。。的切線;

(2)tanB=g=前，

.,.設AC=4x,BC=3x,

VAC2+BC2=AB2,

16X2+9X2=100,

??x=2,

**?BC=6,

9

：AC=AD=SfAB=10f

**?BD=2,

'：OB2^OD2+BD2,

：.(6-OC)2=OC2+4,

，0C=|,

8

故OO的半徑為9

(3)AF=CE+BD,理由如下:

ZACO=ZADO=90°,ZAOC=ZAODf

XVCO=DO,OE=OE,

??.△COE名△OOE(SAS),

：./OCE=/ODE,

???OC=OE=OD,

：.ZOCE=ZOEC=ZOED=ZODE,

AZZ)EF=180°-ZOEC-ZOE￡>=180°-2/OCE,

丁點尸是AB中點，ZACB=90°,

CF=BF=AF,

：.ZFCB=ZFBC,

：.ZDFE=1SO°-ZBCF-ZCBF=180°-2ZOCE,

，NDEF=Z.DFE,

:.DE=DF=CE,

：.AF=BF=DF+BD=CE+BD.

【點評】本題是圓的綜合題，考查了圓的有關知識，切線的判定和性質，全等三角形的

判定和性質，勾股定理，銳角三角函數等知識，靈活運用這些性質進行推理是本題的關

鍵.

7.如圖，為的直徑，C為OO上的一點，連接AC、BC,于點E,交。。

于點D,連接CD、AD,AD與BC交于點F,CG與BA的延長線交于點G.

(1)求證：AACDsAcFD；

(2)若NCZM=NGCA,求證：CG為。。的切線；

【分析】(1)由垂徑定理得麗=麗，由圓周角定理得再由公共角/

ADC=ZCDF,即可得出

(2)連接OC,由圓周角定理得/AC8=90°,貝lJNABC+/CAB=90°,由等腰三角形

的性質得/08C=N0C8,證出NOCB=NGCA,得出/OCG=90°,即可得出結論；

(3)連接瓦)，由圓周角定理得NCAO=NCB。，貝！IsinZCAD=sinZCBD=

設DE=x,OD=OB=r,貝UOE=r-x,BD=3x,由勾股定理得BE=2y/2x,則BC=2BE=

4V2x,在RtZkOBE中，由勾股定理得O-x)2+(2V2x)2=r,解得r=%,貝!|A8=

2r=9x,由勾股定理求出AC=7x,由三角函數定義即可得出答案.

【解答】(1)證明：?..OOL8C,

：.CD=BD,

：.ZCAD=ZFCD,

又；ZADC^ZCDF,

：.^ACD^ACFD；

(2)證明：連接0C,如圖1所示:

〈AB是OO的直徑，

ZACB=90°,

AZABC+ZCAB=90°,

?：OB=OC,

：.ZOBC=ZOCB,

9：ZCDA=ZOBC,NCDA=NGCA,

：.ZOCB=ZGCAf

：.ZOCG=ZGCA+ZOCA=ZOCB+ZOCA=9Q°,

???CGLOC,

???OC是OO的半徑，

???CG是OO的切線；

(3)解：連接8D,如圖2所示：

?：/CAD=/CBD,

'：OD±BC,

DF1

：.sinZCAD=smZCBD=BE=CE,

設。E=x,OD=OB=r,貝!］。片=r-%,BD=3x

在RtABDE中，BE=>JBD2-DE2=V9x2-%2=2岳,

：.BC=2BE=4V2x,

在RtZXOBE中，OE1+BE2=OB2,

即(r-%)2+(2A/2X)2=J,

9

解得

r一

一-

2-X

..AB=2r=9x,

在RtA4BC中，AC2+BC2=AB2,

：.AC2+(4V2%)2=(9彳)2,

；.AC=7x或AC=-lx(舍去)，

???tan/CZM-=衰=焉耳

D

【點評】本題是圓的綜合題目，考查了切線的判定、圓周角定理、垂徑定理、相似三角

形的判定、等腰三角形的性質、勾股定理、三角函數定義等知識；本題綜合性強，熟練

掌握圓周角定理、垂徑定理和勾股定理是解題的關鍵.

8.如圖，在RtaABC中，90°,。為AB邊上的一點，以為直徑的。。交

于點E,交AC于點F,過點C作CGLAB交AB于點G,交AE于點H,過點E的弦EP

交于點。（EP不是直徑），點。為弦EP的中點，連接BP,BP恰好為O。的切線.

（1）求證：是。。的切線.

（2）求證：EF=ED.

（3）若sin/A3C=1,AC=15,求四邊形CHQE的面積.

【分析】（1）連接OE,OP,根據線段垂直平分線的性質得到尸8=8￡,根據全等三角形

的性質得到根據切線的判定和性質定理即可得到結論.

（2）根據平行線和等腰三角形的性質即可得到結論.

（3）根據垂徑定理得到EP±AB,根據平行線和等腰三角形的性質得到/C4E=NE4。，

根據全等三角形的性質得到CE=QE,推出四邊形CHQE是菱形，解直角三角形得到CG=

{"2—卬=12,根據勾股定理即可得到結論.

【解答】(1)證明：連接OE,OP,

???AO為直徑，點。為弦政的中點，

：.PELAB,點。為弦石尸的中點，

???A5垂直平分EP,

：.PB=BE,

?：OE=OP,OB=OB,

:ABEO咨ABPO(SSS),

:?NBEO=NBPO,

???8尸為OO的切線，

：.ZBPO=90°,

：.ZBEO=90°,

J.OELBC,

???5C是OO的切線.

(2)證明：ZBEO=ZACB=90°,

：.AC//OE,

：.ZCAE=ZOEA,

U：OA=OE,

：.ZEAO=ZAEO,

：.ZCAE=ZEAO,

：.EF=ED.

(3)解：TA。為的OO直徑，點。為弦石尸的中點,

：.EPLAB,

???CG±AB,

???CG//EP,

VZACB=ZBEO=90°,

J.AC//OE,

：.ZCAE=ZAEO,

?：OA=OE,

：.ZEAQ=ZAEO,

；?/CAE=NEAO,

VZACE=ZAQE=90°,AE=AE,

：.AACE^AAQE(AAS),

：.CE=QE,

VZAEC+ZCAE^ZEAQ-^ZAHG=90°,

/.ZCEH=AAHG,

NAHG=NCHE,

:?/CHE=NCEH,

:,CH=CE,

:.CH=EQ,

???四邊形CHQE是平行四邊形，

?:CH=CE,

???四邊形是菱形，

ACQ

sinZABC=sinZACG=釜=右

*：AC=15,

???AG=9,

???CG=y]AC2-AG2=12,

'/AACE^AAQE,

：.AQ=AC=15,

：.QG=6,

VH22=HG2+eG2,

：.HQ2=(12-HQ)2+62,

1q

解得：小2=寫，

15

?,?C”="Q=號，

1q

???四邊形CHQE的面積=C"?GQ=尋x6=45.

【點評】本題考查了圓的綜合題，切線的判定和性質，全等三角形的判定和性質，勾股

定理，菱形的判定和性質，垂徑定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵.

9.如圖所示：與△ABC的邊BC相切于點C,與AC、A8分別交于點D、E,DE//OB.DC

是O。的直徑.連接。￡,過C作CG〃OE交O。于G,連接。G、EC,DG與EC交于

點、F.

(1)求證：直線AB與O。相切；

(2)求證：AE?ED=AC?EF；

1

(3)若所=3,tanNACE=W時，過A作AN〃CE交。。于〃、N兩點(M在線段AN

上)，求AN的長.

【分析】(1)證明△8OE絲ABOC(SSS)可得結論.

(2)連接EG.證明△AECs/XEFG可得結論.

(3)過點。作。HLAN于H.解直角三角形求出。E=EC,CD,利用相似三角形的性

質求出E,AC,AO,求出AH,HN即可解決問題.

【解答】(1)證明：是直徑，

：.ZDEC^90°,

C.DELEC,

?：DE〃OB,

：.OBLEC,

J。3垂直平分線段￡C,

:?BE=BC,0E=0C,

,?0B=0B,

???△OBE名LOBC(SSS),

：?/0EB=N0CB,

???BC是。。的切線，

JOCLBC,

：.ZOCB=90°,

：.ZOEB=90°,

???0E_LAB,

JAB是。。的切線.

(2)證明：連接EG.

???CQ是直徑，

：.ZDGC=90°,

：.CGLDG,

■:CG//0E,

：.OELDG,

：.DE=EG,

；?DE=EG,

VAE±0E,DG.L0E,

J.AE//DG,

:?/EAC=/GDC,

?:NGDC=NGEF,

：?NGEF=/EAC,

???NEGF=/ECA,

：.AAECSAEFG,

AEAC

?e?一,

EFEG

?：EG=DE,

：.AE^DE=AC9EF.

(3)解：連接ON,延長80交MN于/.

?「DC是。。的直徑，

ZZ)EC=90°,

1

VtanZACE=務ZACE=ZECG=/EDF,

1

tanZEZ)F=3

,:EF=3,

:.DE=6,DF=y/EF2+DF2=V32+62=3后

：.EC=n,CD=y/ED2+EC2=6V5,

.?.E0=O0=C0=3后

,一AEEF1

由(2)可知—=—=

ACED2

：.AC=2AE,

在RtA4EO中，AO1=AE2+EO2,

：.(2AE-3V5)2=AE2+(3V5)2,

解得4E=4?,

：.AC=8y/5,AO=5V5,

?/OILMN,

'：AN//CE,

:.NCAN=ZACE,

在RtA4/O中，AO2=AZ2+ZO2,

即(5V5)2=(20/)2+0/2,

/.01=5,AZ=10,

在Rtz\O/N中，0解=/解+/。2,即(3V5)2=W2+52,

：.IN=2y[5,

:.AN=AI+IN=10+2V5

B

【點評】本題屬于圓綜合題，考查了切線的判定和性質，全等三角形的判定和性質，相

似三角形的判定和性質，解直角三角形等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形或相

似三角形解決問題，屬于中考壓軸題.

10.在RtZXABC中，ZACB=90°,平分NA4c交BC于點。，以。為圓心，OC長為

半徑作圓交BC于點。.

（1）如圖1,求證：AB為的切線；

（2）如圖2,AB與。。相切于點E,連接CE交OA于點F.

①試判斷線段OA與CE的位置關系，并說明理由.

②若FC=1：2,求tanB的值.

【分析】（1）過點。作OGLAB,垂足為G,利用角平分線的性質定理可得OG=OC,

即可證明；

（2）①利用切線長定理，證明OE=OC,結合。E=OC,再利用垂直平分線的判定定理

可得結論；

②根據。?FC=1：2,OC=3求出。尸和CP,再證明△OCFS/^OAC,求出AC,再

BEOEBO

證明△BEOS/^BC4,得到一=—=—,設2。=為BE=y,可得關于x和y的二元

BCACAB

一次方程組，求解可得B。和BE,從而可得結果.

【解答】解：（1）如圖，過點。作。GLAB,垂足為G,

OG=OC,

二點G在。。上，

即AB與OO相切;

(2)①04垂直平分CE,理由是：

連接0E,

與。。相切于點E,AC與。。相切于點C,

：.AE=AC,

"：OE=OC,

,04垂直平分CE；

②：/C0P=/A0C,ZCFO=ZACO^9Q°,

:.△OCFSXQNC,

.OCOFCF

"0A~0C~AC

.OCOF1

""AC~FC~2

：.AC=20C,

：A3與圓。切于點E,

.,.ZB￡6>=90°,AC=AE,而

△BEOS^BCA,

BEOEBO1

BC~AC~AB~2

：.BC=2BE,AB=2B0,

:?BD+2DO=2BE,BE+2DO=2BD+2DO,

3

：.DO=BE=2BD,

EQ_|￡￡_3

tanB=BE=2BD=4'

【點評】本題考查了圓的綜合，切線的判定和性質，相似三角形的判定和性質，二元一

次方程組的應用，有一定難度，解題要合理選擇相似三角形得出結論.

11.如圖，在RtZxABC中，ZC=90°,AD平分/8AC交8c于點。，。為AB上一點,

經過點4、。的。。分別交A3、AC于點E、F.

(1)求證：BC是的切線；

(2)若BE=8,sin8=R,求。。的半徑；

(3)求證：AD2=AB,AF.

【分析】(1)先判斷出。O〃AC,得出/。。8=90°,即可得出結論;

(2)由銳角三角函數可得sin8=黑=口溶為=即可求解；

DUDC-rUUID

(3)通過證明△D43s△剛口,可得一=—,可得結論.

ABAD

【解答】解：（1）如圖，連接O。,

：.ZODA=ZOAD,

是/BAC的平分線,

：.ZOAD=ZCAD,

J.ZODA^ZCAD,

J.OD//AC,

；./ODB=NC=90°,

:點。在。。上，

是O。的切線；

(2)VZBDO^90°,

..R_OD_OD5

,"sm"=-BO=BE+OD=13)

OD=5,

；.O。的半徑為5；

(3)連接EF,

圖2

是直徑,

AZAFE=90°=ZACB,

J.EF//BC,

：.ZAEF=ZB,

又丁ZAEF=ZADF,

:?/B=/ADF,

又,.,NQ4Z)=NCAZ),

AADAB^AMZ),

,ADAF

??—,

ABAD

：.AD2^AB'AF.

【點評】本題是圓的綜合題，考查了圓的有關知識，銳角三角函數，相似三角形的判定

和性質，熟練運用這些性質進行推理是本題的關鍵.

12.如圖1,是OO的直徑，直線AM與。。相切于點A,直線8N與。0相切于點8,

點C(異于點A)在AM上，點。在。。上，且CD=CA,延長CD與BN相交于點E,

連接AD并延長交BN于點F.

(1)求證：CE是。。的切線；

(2)求證：BE=EF；

(3)如圖2,連接E。并延長與。。分別相交于點G、H,連接即L若A2=6,AC=4,

求tanZBHE.

【分析】(1)連接OD,根據等邊對等角可知：ZCAD=ZCDA,ZOAD=ZODA,再

根據切線的性質可知/CAO=/CAO+/OAD=/CD4+/OD4=90°=ZODC,由切線

的判定定理可得結論；

(2)連接8。，根據等邊對等角可知再根據切線的性質可知

ZOBE^90°,由等量減等量差相等得/瓦再根據等角對等邊得到ED=EB,

然后根據平行線的性質及對頂角相等可得/瓦甲=/石方。,推出DE=EF,由此得出結論;

(3)過七點作EL_LAM于￡,根據勾股定理可求出BE的長，即可求出tanNBOE的值，

再利用倍角公式即可求出tanZBHE的值.

【解答】解：(1)如圖1中，連接OD,

'：CD=CA,

：.ZCAD=ZCDA,

9：0A=0D

：.ZOAD=ZODA,

??,直線AM與。。相切于點A,

：.ZCAO=ZCAD+ZOAD=90°,

：.ZODC=ZCDA+ZODA=9Q°,

???CE是(DO的切線.

(2)如圖1中，連接BD

OD=OB,

：.ZODB=ZOBD,

???CE是OO的切線，5尸是。。的切線，

：.ZOBE=ZODE=90°,

:?/EDB=NEBD,

：?ED=EB,

'CAMLAB,BNLAB,

：.AM//BN,

；?NCAD=NBFD,

ZCAD=ZCDA=ZEDF,

，/BFD=/EDF,

；.EF=ED,

：.BE=EF.

(3)如圖2中，過萬點作瓦，AM于3則四邊形A3或是矩形,

圖2

設BE=x,貝UCL=4-x,CE=4+x,

(4+x)2=(4-x)2+62,

Q

解得：X=7,

BE?

tanZ-BOE==母=

?：NB0E=2/BHE,

2tanZ-BHE

/.tanZ-BOE=

1—tan2乙BHE

解得：tanN3HE=弓或-3（-3不合題意舍去）,

1

tanXBHE=

補充方法：如圖2中，作"7LE8交E8的延長線于

VtanZBOE==不

???可以假設BE=3攵，03=4%,則0E=5K

?：0B〃HL

.OB0EEB

??HJ~EH~Ej'

.4k5Zc3k

??HJ~9k~Ej'

：*HJ=*,EJ=^-k,

：.BJ=EJ-BE=和-3k=

；.tan/BHJ=旦=鼻,

HJ3

ZBHE=ZHBA=/BHJ,

1

tan/BHE=

c

圖1

【點評】本題主要考查了切線的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，平行線的判定

和性質，三角函數/,勾股定理等知識，熟練掌握這些知識點并能熟練應用是解題的關鍵.

13.如圖，△ABC內接于。。，點。在OO外，ZADC=90°,交。。于點E,交AC

于點尸，NEAC=/DCE,NCEB=/DCA,CD=6,AO=8.

(1)求證：AB//CD；

(2)求證：CD是O。的切線；

(3)求tan/ACB的值.

【分析】(1)由圓周角定理與已知得NBACn/OCA,即可得出結論；

(2)連接EO并延長交。。于G,連接CG,則EG為。。的直徑，ZECG=90°,證明

/DCE=/EGC=NOCG,得出NOCE+/OCE=90°,即可得出結論；

(3)連接。4,由三角函數定義求出cosNAC￡>=|,證出NAC￡)=NCAB,求

出BC=AC=10,AB=12,過點B作BG_LAC于G,設GC=x,則AG=10-x,由勾股

定理得出方程，解方程得GC=^,由勾股定理求出BG=等，由三角函數定義即可得答

案.

【解答】(1)證明：*：ZBAC=ZCEBf/CEB=/DCA,

：.ZBAC=ZDCA,

：.AB//CD；

(2)證明：連接石。并延長交。。于G,連接CG、OC,如圖1所示:

D

圖1

則￡G為。。的直徑，

：.ZECG=90°,

OC=OG,

：.ZOCG=ZEGC,

?：/EAC=/EGC,/EAC=/DCE,

：.ZDCE=NEGC=NOCG,

VZOCG+ZOCE=ZECG=90°,

：.ZDCE+ZOCE=90°,即NZ)CO=90°,

TOC是。。的半徑，

???C。是。。的切線；

(3)解：連接。4,如圖2所示：

圖2

VOA=OC,

：.ZOAC=ZOCAf

VZAOC+ZOAC+ZOCA=180°,2ZABC=ZAOC,

：.ZABC+ZOCA=90°,

由(2)得：ZOCA+ACD=90°,

???ZABC=NACD,

在RtZVlDC中，由勾股定理得：AC=y/AD2+CD2=V82+62=10,

CD__6__

cosXACD=4c=To=

'：AB//CD,

：.ZABC=ZACD=ZCAB,

3

：.BC=AC=10,AB=2BC*cosZABC=2X10x|=12,

過點3作5GLAC于G,如圖2所示：

設GC=x,則AG=10r,

由勾股定理得：AB1-AG2=BG2=BC1-GC2,

即：122