2025年九年級中考數學三輪沖刺練習圖形的相似綜合問題

1.在Rt^ABC中，NACB=90°,點〃為A3的中點，點尸是線段CM上一動點，過點廠

作DELCM分別交邊CA,CB于點D,E.

(1)如圖1,求證△CDES^CBA；

(2)如圖1,若DE=CM,求證：BC=2DC；

ADBE

(3)如圖2,若點尸為CM的中點，求—+二的值.

2.如圖1,在矩形ABC。中，點E為4。邊上不與端點重合的一動點，點尸是對角線BD

上一點，連接BE,AF交于點。，且N48E=ND4E

【模型建立】

(1)求證：AFLBE-,

【模型應用】

1

(2)若AB=4,AD=6,DF=/,求AE的長；

【模型遷移】

AF

(3)如圖2,若矩形A8C。是正方形，DF=次1,直接寫出一的值.

2AD

圖1

3.某數學興趣小組在數學課外活動中，對多邊形內兩條互相垂直的線段做了如下探究:

(1)如1,在正方形A3CZ)中，E,尸分別是A3、4。上兩點，連接。E,CF,若AE=

DF,求證：△AED之△DFC；

(2)在(1)的條件下，求證：DELCF-,

(3)如圖2,在矩形ABCD中，過點C作CE_L8。交于點E,若tcmNDCE=宗求

rr

77?的值；

BD

(4)如圖3,在四邊形A8CD中，NA=NB=90°,E為AB上一點,連接。E,過點C

作。E的垂線交瓦)的延長線于點G,交A。的延長線于尸，且A8=5,AO=3,CF=6,

求。E的長.

圖1圖2圖3

4.如圖，在正方形ABCD中，點M是邊2C上的一點(不與8、C重合)，點N在邊。

延長線上，且滿足NMAN=90°,聯結MN,AC,MN與邊交于點E.

(1)求證：AM-AN；

(2)如果/CAO=2/7VA。，求證：AM2=AC'AE；

CMOM

(3)MN交AC點。，若-=k,則二；=(直接寫答案、用

BMON-------------------------------------

含左的代數式表示).

5.如圖，在正方形ABC。中，點E在CA的延長線上，將△ABE繞點8順時針旋轉90°至

/XCBG,EG與AD交于點、F,與BC延長線交于點X,已知AE=4,EF=6.請解答以下

問題：

(1)/BCG的度數是

(2)求證：8G2=BC?BH；

(3)求GH的長.

6.如圖1,E為凸四邊形ABC。內一點，ECLCD,分別連接AC,DE,已知：ZBAC=Z

EDC,ACLBC.

(1)求證：△ABCs^DEC；

RF

(2)連接BE,求證：tan/BAC=卷；

(3)如圖2,延長BE交A。于點R連接CR若NBAC=30°,AF^l,CF=3,求

BF的長.

圖1圖2

7.如圖，四邊形ABCD為正方形，且E是邊BC延長線上一點，過點B作出UOE于/點,

交CD于G點.

(1)求證：ABGCSADGF；

GF

(2)若點G是。C中點，求法的值.

8.模型思想是一種數學的思考方法，是運用數學的語言和方法，通過抽象、簡化而建立，

能近似刻畫并解決實際問題，以下是某數學小組應用模型思想解決數學問題的過程.

【模型探究】

1

探究1.如圖①，點。是△ABC中8C上的一點，且過點2作瓦?〃AC交

AD的延長線于點R則=.

AC

探究2.如圖②，在△ABC中，ZBAC=90°,AB^AC./D4E=45°,交.BC于點、D、

E.求證;A/=DE。BE.

【模型應用】

如圖③，點E為正方形ABC。邊A。的中點，連結8E,作/班F=45°,交CD于點F,

9.如圖,在菱形ABCD中,連結對角線AC,點E在邊A8上，過點E作E尸〃BC交AC于

點、F,連結。E交AC于點G.

(1)若NB=105°,求NCDE的度數.

(2)若AC=15,AE=2BE,求GP的長.

E

BC

(3)求證：GA2=GF-GC.

10.如圖，在△ABC中，AB=AC=6,BC=8,點。是BC邊上的一個動點，點E在AC上,

點。在運動過程中始終保持N1=NB,設2。的長為尤(0<x<8).

(1)求證：ADCEsAABD；

(2)求尤為何值時，CE最大?

(3)直接寫出x為何值時，△A￡>E為等腰三角形?

11.如圖，在RtZXABC中，NA=90°,AB=3,AC=4,。是線段AC上的點，且滿足tan

ZADB^3,將線段繞點。逆時針旋轉90°得到。E,連結CE.

(1)求證：ACXCE；

EF

(2)連結。E交線段BC于點F求一的值;

1

(3)點P在直線AC上，當tazi/DBP=齊寸，求AP的長.

12.△ABC中，ZABC=90°,BDVAC,點￡為8。的中點，連接AE并延長交8C于點凡

且有AF=CF,過F點作FH±AC于點X.

(1)求證：AADEs^CDB；

(2)求證：AE=2EF；

(3)若FH=W,求BC的長.

13.如圖，矩形4BCD中，AB=mBC,E是AB上一點，連結DE,過點。作OFLOE交直

線8C于點凡連結所交C。于點G,作交EP于點M,交直線A3于點N.

DF

(1)若7"=1,求--值.

DE

(2)設tan/BPE=A.

1PC

①若/￡=最求F的值.(用含機的代數式表示)

NMG

②若△OMG的面積為Si,的面積為S2,求f1的值.(用含機，上的代數式表示)

S2

14.正方形ABCD邊長為2,點E在邊BC上.將△ABE沿AE翻折至△AER延長EF交

C￡＞于點G,連接AG.

(1)如圖1,求證：ZDAG^ZFAG；

(2)當點E是BC中點時，

①如圖2,求tan/CGE的值；

②如圖3,連接加取血中點。連接。尸并延長交8于點M.求麗的值.

圖1圖2圖3

15.如圖，AD//BC,點E在邊AB上.

AEDF

(1)如圖1,點P在邊C￡)上，若一=一，求證：EF//BC-,

ABDC

⑵如圖2,若2E=AD=%B=”C=1,點M在邊2C上，DM,CE相交于點N,

已知CZ>2=Z)M?ON,ZCEM=ZDMC.

①判斷四邊形A即〃)的形狀;

②求線段CD的長.

16.如圖，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,點尸在射線4。上運動，以2尸為直角邊向

右作RtZXPB。，使得/BPQ=90°,BP=2PQ,連接C。.

(1)若△ABP與△8P。相似，貝!JAP=；

(2)當AP=2時，求CQ的值；

(3)求C。的最小值.

17.如圖，在正方形A8C。中，M為BC邊上一動點(點〃不與3,C重合)，連接。AL

將線段DM繞點M逆時針旋轉90°得到線段MN,連接B。、BN、DN,DN交AB邊于

點P.

(1)如圖1,求證：4DCMsADBN；

CMPN

(2)如圖2,設---=X,---=V,

BMDP,

①當x=l時，請探究得出y的值;

②求出y與x之間滿足的關系式.并解決問題：如圖3所示，連接MP,若4B=2

當/PMN=30°時，求CM的長.

圖1圖2圖3

18.如圖，菱形A2CZ)中，/4=60°,點￡在對角線20上，且BE=3DE,點F為邊AB

上一動點，作/五￡尸=60°,交BC于點尸，交AB延長線于點G.

(1)求證：AEEBsAGFE；

(2)連接PF,求證：是等邊三角形；

EF

(3)連接PR延長尸E交C。于點。，連接P。，當△PEQ與△BEP相似時，求丁的值.

備用圖

參考答案

1.【解答】(1)證明：???DEJ_CM,

：.ZCDF+ZDCF=90°,

???NACB=90°,點M為AB的中點，

1

：.CM=BM=^AB,

；?NB=/BCM,

'：ZBCM+ZDCF=90°,

ZCDF=ZBCM=ZB,

又,：/BCA=/DCE,

???△CDEsACBA；

(2)證明：由(1)可知，CM=^AB,ACDE^ACBA,

?：DE=CM,

1

：.DE=^AB,

.DCDE1

??BC~AB~2

即BC=2DC；

(3)解：過點A作APLCM于點尸，過點3作BQ,CM交CM延長線于點。，如圖2,

?；DE工CM,APLCM,BQLCM,

：.AP//DE//BQ,

tADPFBE_FQ

,?CD-CF'CE~CF'

???點M為AB的中點，

：.AM=BM,

VZAMP=ZBMQ,ZQ=ZAPM,

在△AM尸和△5MQ中,

/-AMP=乙BMQ

Z-APM=(Q,

AM=BM

：.AAMP^ABMQ(A4S),

；?PM=QM,

???點尸為CM的中點，

1

ACF=FM="M,

ADBE

----+—

CDCE

_PFFQ

=CF+~CF

_PF+FQ

二CF

_PF+PF+PM+QM

=CF

2(PF+PM)

CF

2FM

=~CF~

=2.

2.【解答】(1)證明：??,矩形ABC。,

AZBAZ)=90°,

ZABE+ZAEB=90°,

,?ZABE=ZDAF,

：.ZZ)AF+ZAEB=90°,

ZAOE=90°,

：.AF.LBE；

(2)解：???四邊形ABCZ)是矩形，

：.AB//CD,

：.ZABF=ZGDF,NBAF=NDGF,

AABFs^GDF,

.AB絲

??—,

DGDF

1

：.DF=^BF,

11

：.DG=^AB=/4=2,

???四邊形ABC。是矩形，

ZBAE=ZADG=90°,

?.?ZABE=ZDAF,

：.AABE^ADAG,

.ABAE

?.=,

DADG

VAB=4,AZ)=6,DG=2,

.4AE

.?一=,

62

4

'?AE=于

4

故答案為：—;

(3)解：??,正方形ABC。，

工NABF=ZGDF,NBAF=ZDGF,

：.△ABFs^GDF,

9ABBF4F

,?DG~DF~GF'

'：DF=^BF,

ABBFAF

???—_—_—_乙o,

DGDFGF

設正方形ABCD的邊長為a,則AB=AD=a,

1

:?DGAF=2GF,

/.AG=y/AD2+DG2=J.+gq)2=當。，

VAF=2GF,

??AF=^AG=0,9

V5L

a

tAF-V5

*ADa3

V5

故答案為：一.

3

3.【解答】(1)證明：由正方形可知/4=/尸。。=90°,AD=CDf

在△AEZ)與△。尸C中，

AE=DF

Z.A=乙FDC,

AD=CD

：.AAED^ADFC(SAS)；

(2)證明：由正方形性質可知NAZ)E+NA&)=90°,

VAAED^ADFC(AAS),

：.ZDFC=ZAED,

：.ZDFC^-ZADE=90°,

J.DE1.CF；

(3)解：如圖2,設瓦)與CE交于點G,

由條件可知NA=N&)C=90°,AB=CD,

PCELBD,

：.ZDGC=90°,

：.ZCDG+ZECD=90°,NADB+/CDG=90°,

：.ZECD=ZADB,

圖2

VZCDE=NA,

:.ADECS^ABD,

.CEDEDE

??BD~AB~CD'

...._DE_3

?tCLTiZn-urCzE7=4,

.CE3

??BD—4；

(4)解：如圖3,過點C作CXLAF交AB的延長線于點H,圖3

由條件可知/6=///=/4=/8=90°,

四邊形ABC8為矩形，

：.AB=CH,NFCH+NCFH=NDFG+NFDG=90°,

:./FCH=/FDG=/ADE,ZA=ZH=90°,

：./\DEA^/\CFH,

DEAD

CF~CH

DEAD

CF~AB"

DE3

65

18

：.DE

4.【解答】(1)證明：???四邊形ABC。是正方形，

：.AB=AD,ZCAD=45°=ZACB,ZBAD=90°=NCDA=NB,

ZBAM+ZMAD=90°,

■:NMAN=9U°,

ZMAD+ZDAN=90°,

ZBAM=/DAN,

'：AD=AB,ZABC=ZADN=90°,

???AABM^△AONCASA),

：.AM=AN；

(2)證明：U：AM=AN,ZMAN=90°,

：.ZMNA=45°,

VZCAD=2ZNAD=45°,

:?/NAD=225°,

：.ZCAM=ZMAN-ZCAD-ZNAD=22.5°,

:?NCAM=/NAD,ZACB=ZMNA=45°,

???AAMC^AAEN,

.AMAC

AE~AN'

：.AM*AN=AC9AE,

'：AN=AM,

:.AM2=A^AE；

(3)解：如圖，過點M作M/〃AB交AC于點R

設BM=a,

CM

*.*----=k=k,

BM

BC=(Z+l)a,

即AB=CD=BC=(Z+l)a,

'：MF//AB//CD,

MFCMk

AB~CB~1+k'

MF=ka,

OMMEkak

ON~CN~(/c+l+l)a—k+2

,k

故答案為：-~~

k+2

5.【解答】（1）解：?「△ABE繞點3順時針旋轉90°至△C5G,

；.BE=BG,NEBA=/GBC,AABE^ACBG,

:四邊形ABC。是正方形，

ZABC=90°,

：AC是正方形ABCD的對角線，

；./BAC=45°,

.?.ZBAE=180°-ZBAC=135°,

?/4ABE咨ACBG,

.?.NBCG=NBAE=135°,

故答案為：135°；

(2)證明：:△ABE繞點8順時針旋轉90°至ACBG,

:./EBA=NGBC,

：.ZEBA+ZABG^ZABG+ZGBC=ZABC=90°,

：.ZEBG=90°,

又；BE=BG,

:./BGE=45°,

：./BGH=135°,

在aBCG和△BGH中，NGBC=NHBG,NBCG=NBGH=135°,

:.叢BCGs叢BGH,

.BCBG

??=,

BGBH

：.BG2=BC'BH；

(3)解：,:ABCGsABGH,

:.ABAES/\BGH,

；.NBEA=NH,

,四邊形ABC。是正方形，AC是正方形ABC。的對角線，AE=4,EF=6,

：.AD//BH,ZDAC^ZBCA^45°

：./H=NEFA,Z￡AF=135°,

:.NBEA=/EFA,NEAF=NBAE,

：./\BAE^/\EAF,

,ABAE42

''BE-EF―6-3’

設AB=2x,BE=3x,

則有4B=BC=2x,BE=BG=3x,

在直角三角形BEG中，由勾股定理得：EG=?+BG2=或BE=342x,

在直角三角形ABC中，由勾股定理得：AC=y/AB2+BC2=2<2x,

：.EC=AE+AC=2缶+4,

：NBCG=135°,

：.ZHCG^45°,

AZECG=180°-NBCA-NHCG=90°,

在Rt/XECG中，由勾股定理得：EG2=CG2+EC2,

由旋轉可知CG=AE=4,

A42+(2缶+4)=(3缶尸

解得：勺=4"4",%2=4T2-4V7(負值，舍去)，

：

.EC=AE+AC=242x4”竺+4=36+^^

.京—254T2+4V7_24+12/14

??EG-37v2szX一,

又TA尸〃CH,

.EHEF63

??EC-ZE-4-2’

-ru_3nr-54+12/14

??EH-EC-,

."54+1271424+12714.

..GruH=EcHu—EG=------g----------------g------=6.

6.【解答】(1)證明：E為凸四邊形A5CD內一點，EC-LCD,ACLBC,ZBAC=ZEDC,

：.ZACB=ZECD=90°,

AABC^ADEC；

(2)證明：由(1)知：△ABCS^DEC,

.BCAC_

??=,

CECD

.BC￡￡

??—,

ACCD

VZACB=ZECD=90°,

ZBCE=ZACD=90°-NACE,

ABCE^AACD,

.BCBE

??—,

ACAD

在RtAABC中，tan^LBAC=器

.BE

??tcurZ-BAC=彳D；

(3)解：ZBAC=30°,A尸=1,CF=3,如圖2,過點。作CG±

CF,則NGCF=NAC5=90°,

：.ZBCG=ZACF=90°-ZACG,

,:ABCEsAACD,

:.ZCBE=ZCAF9

.?.△BCGS^ACF,

.BGCGBC

"AF~CF~AC圖2

R「r5

9：tan^BAC=tan30°=券=號,

.BGCGV3

??1-3-3'

：.BG=Y，CG=V3,

在直角三角形CTG中，由勾股定理得：FG=VCG2+CF2=2V3,

：.BF=BG+FG=寺.

7.【解答】（1）證明：：四邊形ABC。為正方形，且E是邊2C延長線上一點，BFLDE

于/點,

:.NBCG=NDFG=90°,

又?：NBGC=/DGF,

.SBGCsADGF；

（2）解：'：ZDCE^ZDFG^90°,NCDE=NFDG,

:.△DCEs^DFG,

由（1）得△BGCsADGF,且點G是。C中點，

.GFDFDF1BC

"CE~DC~2DG—2.BG'

設8C=2a,則CG=a.

在RtABCG中，由勾股定理得：BG=<BC2+CG2=V4a2+a2=證>a,

GF1BC12aV5

故--=_----=_XL=--.

CE2BG245a5

8.【解答】【模型探究】

探究1.解：\'BF//AC,

：ABDFs叢CDA,

.BFBD

??—，

ACCD

'：BD=Qc,

.BF1

??—―,

AC2

1

故答案為：-；

2

探究2.證明：在RtZXABC中，

VAB=AC,

ZB=ZDAE=45°.

又?:NAEB=NBEA,

：.AADE^ABAE.

.AEDE

??—,

BEAE

:.AC=DE?BE；

【模型應用】解：.四邊形ABC。是正方形，

.?.AD=AB=BC=2,ZBAC^ZACB^45°,ZABC=90°,

；.AC=V2AB=2V2,

,/點E為正方形ABCD邊A。的中點，

1

：.AE=^AD=1,

：.BE=7AB2+4￡2=Vs,

,:AD〃BC,

：.AAMEsfMB,

.EMAEAM

"BM~BC~CM'

EM1

?#?—―,

BM2

?2-/5＞八/_4A泛

??，C7VZ=，

VZMBN=ZBCM=45°,NBMN=NCMB,

:.ABMNs^CMB,

.BMCM

,?MN~BM

2V54A/2

?_3______3_

??MN~2尺

3

.?.MA/NfAT=

o

5V2

故答案為：——.

6

9.【解答】(1)W：VZB=105°,AD//BC,

???NAW=75°,

?：DA=DE,

：.ZAED=ZBAD=75°,

ZADE=30°,

由菱形對角相等可得/4。。=/3=105。，

：.ZCDE=1Q5°-30°=75°.

(2)解：VEF/7BC,

AEAF

???—_—_乙n,

BEFC

又?「AC=15,

2

：.AF=^AC=10,

由EF〃5C,可得△AEFs/\ABC,

.EFAE2

??BC~AB~3f

XVBC=AZ),

.EFEF2

??BC~AD~39

'JEF//AD,

:?XGEFsXGDA,

EFGF2

AD~AG~3

9

故GF=gaF=4.

(3)證明：由菱形性質知NZMC=NA4C,

5L'：EF//AD,

：.ZDAC^ZAFE,

：.NBAC=ZAFE,

：.AE=EF.

U：DC//AB,

：.AAGEsACGD,

.GCDCADAD

99GA~AE~AE~EF9

,、…4GAD

由(2)中知—=—，

GFEF

.AGGC

?.二,

GFGA

.\GA2=GF-GC.

10.【解答】(1)證明：如圖，

VZAZ)C=Zl+Z2=ZB+Z3,Z1=ZB,

???N2=N3.

又,.,A3=AC,

：?NB=/C,

:.ADCEsAABD；

(2)解：VADCE^AABD,

8-x

■CE—,BP—=

''BDABx6

?_12I_1zAY2I8

??CE=一召X乙+可%=一不(％—4)+3

；.CE有最大值，

當尤=4時，CE有最大值;

⑶解：當x=2或尤=4寸，△")￡為等腰三角形.理由如下:

①當D4=Z)E時，

：N2=N3,NC=/B,

在△￡)(?￡和△AB。中，

22=Z3

Z-C=Z-B,

、DA=DE

：.ADCE^AABD(AAS),

.\DC=AB=6,BP8-x=6,

解得x=2.

②當￡A=E￡>時，ZDAE=Z1=ZB=ZC.

：.ADAC^AABC.

DCAC8-x6

.....-------,即........——

ACBC68

解得久=于

③當AZ)=AE時，點。與點B重合，點E與點C重合，止匕時x=0.

或當AO=AE1時，Z1^ZAED>ZC,

VZ1=ZB=ZC,

：.AD=AE情況不成立.

綜上所述，當尤=2或%=(時，△&￡>￡為等腰三角形.

11.【解答】(1)證明：在Rt^ABC中，NA=90°,

AD

9：t^ADB=芳=3,A5=3,

：.AD=1,CD=AC-AD=3f

由旋轉的性質得：DB=DE,

：.ZADB+ZABD=ZADB+ZCDE=9Q°,

???ZABD=ZCDE,

在△A3。和△CDE中，

AB=CD

Z-ABD=乙CDE,

DB=DE

：.AABD^ACDE(SAS),

ZDCE=ZBAD=90°,

J.AC.LCE；

(2)解：如圖2,過點D作。G〃AB交BC于點G,

.'.△CDG^ACAB,

?DG__C_D

??—，

ABCA

由(1)知CE〃AB,CE=AD=lf

J.DG//CE,

:?&CEFsXGDF,

EFcE

?----

，

一oFDG

EF14

即-

--9---

DF-9

4

.EFEF4

"ED~EF+DF~13'

?;BD=ED,

.EF4

??—,

BD13

(3)解：在中，BD=y/AD2+AB2=V10,

①當點尸在點。下方時，

如圖3,連結過點尸作于點M,

在RtAPBM中,tan^DBP=器=

設則BM=2a,

在RtAPDM和RtAADB中,

5nPMABc

tanNADB=兩=而=3,

11

：.DM=^PM=^a,

?；BD=DM+BM,

/.VTO=a+2a,

解得a=yV10,

□

APM=1V10,

在RtAADB中,sin^PDB=需=言=^V10,

在RtAPDM中,sin^PDB=黑，

PM3/—

???一=—Vio,

DP10

,?-J10..V103rm10

：.DP==PMn=§xyV10=7,

3

：.AP=DP-AD=^,

②當點尸在點。上方時，

如圖4,連結尸2,過點尸作PAaBD交8。的延長線于點N

PN

在RtAPBN中，tan乙DBP=薪=

設PN=b,則BN=2Z?,

NADB=NNDP,

丁?tanNADB=tanNNDP,

?PN__A_B_2

DNAD

：.DN=^PN=坊,

\BD=BN-DN=2b-^b=^b=V10,

Q

??PN=b=|V10,

.*/ADB=/NDP,

u

.sinZADB=sinZNDP9

PNAB3/—

—=—=—V

DPBD10

*.DP=^x|V10=2,

,.AP=DP+A￡)=3,

3

綜上所述：AP的長為］或3.

12?【解答】證明：(1)-JBDLAC,FH±AC,

：.ZADE^ZCDB^90°,BD//FH,

'：AF^CF,

；./DAE=NDCB,

在AADE與/XCDB中，

NADE=NCDB,ZDAE^ZDCB,

：.△ADEs^CDB；

(2):點E為2。的中點，

1

:?DE=BE=^BD,

:AADE^ACDB,

eADDE1

??CD-DB-2’

設AO=〃(〃>0),則0)=2〃，AC=AD^CD=3a,

VFH±AC,AF=CF,

13

：.AH=CH=^AC=

又,：BD//FH,

AEADa

?,?—-―--1—-乙O，

EFDH-a

2

即AE=2EF；

(3)解：由(2)知，AE=2EF,

2

：.AE=^AF,

YBD〃FH,

：.AADE^AAHF,

.DEAE

??=,

FHAF

解得：DE=—2―,

：.BD=2DE=竽，

VZABC=90°,BDLAC,

：.ZBAC+ZABD=ZBAC+ZC=90°,

ZABD=ZC,

VZADB=ZBDC,ZABD=ZC,

：.AABDS/^BCD,

?ADBD

??—,

BDCD

由(2)知，設AD=b(Z?>0),貝lJCZ)=2b,

???CD=2Z?=孚

在RtABCD中,BC=y/BD2+CD2=J(竽/+(孚/=4.

13.【解答】解：(1)??,矩形ABC。，AB=mBC,

ABCD

：.—=—=m,ZEDF=ZAZ)C=90°,

BCAD

：.ZADE=ZCDF=90°-NEDC,

'：ZDAE=ZDCF=90°,

???△AD—△CDF,

.DFDC

—=—=m=1；

DEAD

(2)①???￡)M_LER

:.NDMG=NFCG=90°,

?:/DGM=NFGC,

：.NMDG=NCFG,

tciTiZ-MDG=tciTiZ-CFG=0支=tcinZ-EFD=~=FM'

MG_J_

MF2m"

MF

即---=2m,

MG

MG+FG

=2m,

MG

??1+而=2m,

FG

----=2m—1；

MG

DC

②由（1）得二=—=m,ZEDF=90°,

DEAD

DFDM

tanZ-DEM=tan乙DEF=DE=m=EMftQ.TiZ-GDM=力時=k,

,MGMGDM

9EM~DMEM~

：CD//AB,

,?叢DMGs叢NME,

e=（器』"

14.【解答】（1）證明：：正方形ABC。是正方形,

：.AB=AD,ZB=ZD=9Q,

由翻折變換的性質可知A8=ARZB=ZAFE=90°,

：.AF=AD,ZAFG=ZD=9Q°,

VAG=AG,

RtAAG￡>^RtAAGF(HL),

：.ZDAG=ZFAG；

(2)解：①由(1)可知△AGO之ZVIGR

：.GD=GF,

???石是BC的中點，

：.BE=CE=EF=1,

設GO=GF=x,

在RtZXCGE中，EG12=CG2+EC2,

(l+x)2=(2-x)2+l2,

??X-7Z,

24

-2---

CG3

EC13

-

-C---

tanZCGE3=G4

-

3

-

②如圖3中，連接5RC4F,3/父AE于點J,過點尸作m_L3C于點H.

VAB=2,BE=\,ZABE=90,

?\AE=Vl2+22=V5,

由翻折變換的性質可知，AB=AF=2,BE=EF=1,

???AE垂直平分線段5R

：.BJ=JF,

11

?；iAB?BE=/AE?BJ,

22

.A1x22V5

??即=7T=『

?PZ74后

??BF=k，

VZFBC+ZABF=90°,ZABF+ZBAE=90°,

圖3

:?/BAE=/FBC,

tanZFBC=tanZBAE,

.CFBE

??=,

BFAB

.CF1

工運=5，

~"5"

?「口2V5

■-CF=—

11

?：—BF，CF=mBC?FH,

22

.?詼j

???CH=VCF2-FH2=

23

：.EH=CE-CH=1-j=|,

'：OE//FH//CM9

3

#OFEH53

''FM~CH~~2

5

15.【解答】（1）證明：連接。E并延長OE,交C8的延長線于點G,

9：AD//BC,

：.AADEsABGE,

.AE_竺

??—,

BEEG

AEDEAEDE

----------=-----------，即---=---,

AE+EBDE+EGABDG

ttAEDF

*AB~DC

.DEDF

??—■,

DGDC

；/EDF=NGDC,

:.ADEFS/\DGC,

：.ZDEF=ZDGC,

：.EF//GC,EF//BC.

(2)解：①四邊形ABM。是平行四邊形；理由如下:

如圖2,延長胡，CD相交于點P,

11

'：AE=AD=^AB==BC=1,

：.AB=2fBC=3,

9：AD//BC,

：?APADs4PBC,

PAADrrP41

--=---,即-----=一

PBBCPA+23

：.PA=1,

：.BP=BE+AE+AP=1+1+1=3.

'：CD1=DM*DN,

.CD_DN

?'DM~CD'

?：/CDN=NMDC,

:?△CDNsAMDC,

：.ZDCN=ZDMC,

?；NCEM=NDMC,

：.ZDCN=ZCEM,

J.EM//CD.

:.ABEMsABPC,

BMBElBM1

-=---,即---=一,

BCBP33

：.BM=AD,

'：AD//BM,

，四邊形ABMD是平行四邊形.

②延長BA,相交于點P,如圖3,

"：/\PAD^/\PBC,

.PDPA1

"PC~PB~3,

1

：.PD=i?C,

2

ACD=，PC，

'：ABEM^ABPC,圖3

MEBMME1

---=,即=一,

CPBCPC3

1

：.ME=^PC,

.MEi

??—7——,

CD-PC2

3

,:EM〃CD,

:.AEMNsACDN,

.ENEM1

??CN—CD~2

沒EN=a,則CN=2〃，EC=EN+CN=3a,

VZMEC=ZNMC,ZECM=ZMCN,

:.AECMs^MCN,

CMEC23a

?一=一，即一=一,

解得a=第，

.".EC=3a=V6.

延長A4,CD相交于點P,過點E作EQLBC于點。，

設MQ=x,貝i|BQ=BM-MQ=1-x,CQ=QM+MC=x+2,

在RtZXBE。中，由勾股定理得：EQ1=BE2-BQ2,

在Rt/XCE。中，由勾股定理得：EQ1=EC1-CQ1,

.".BE1-B^=EC1-CQ2,

：.I2-(1-X)2=(遍)2—(%+2)2,

1

解得x=3,

?\MQ=弓，BQ=l—x=^,

在RtABEQ中,由勾股定理得：EQ=^BE2-BQ2=卜一(芻2=字，

在RtAEQM中，由勾股定理得：EM=JEQ2+MQ2=J(^)2+(1)2=乎,

..ME1

?——，

CD2

2

/.CD=2EM=1V6.

16.【解答】解：(1)??,四邊形A5CD是矩形，

ZA=90°,

：.ZBPQ=ZA=90°,

???AABP^ABPQ相似，

APPQ_^APPB

--=---或--=---，

ABBPABPQ

VAB=6,BP=2PQ,

.AP1_^AP

—=一或—=2,

626

???AP=3或AP=12,

故答案為：3或12；

(2)解：過點。作于點“，與BC交于點、N,

則NA=NPMQ=NCNQ=90°,AB=MN=6,

'：ZBPQ=90°,

NAPB+/MPQ=ZMPQ+ZPQM=90°,

NAPB=NMQP,

AAPB^AMQP.

.APABBP

??MQ~MP~PQ'

設貝!jNQ=6-x,

?：BP=2PQ,AP=2,

26

???一—一―_乙o,

XPM

，x=l,MP=3,

：.CN=DM=AD-MP-AP=8-3-2=3,

；?CQ2=。儲+。解=52+32=34,

ACe=V34;

(3)由(2)得，△APBs^MQP,

.APABBP

99MQ~MP~PQ'

設MQ=x,貝!JNQ=6-x,

?：BP=2PQ,

AP6

???——一乙o,

xMP

.'.AP=2x,MP=3,

：.CN=DM=AD-MP-AP=8-3-2x=5-2x,

：.CQ1=QN1+CN1=(6-x)2+(5-2x)2,

一（16、2?49

一5（工一號）+虧，

當x=當時，CQ2的最小值為w，

**?CQ長的最小值為《―?

17.【解答】（1）證明：如圖1中，過點N作NHLC8交C3的延長線于點H.

：MD=MN,ZDMN=90°,

,?ADMN是等腰直角三角形，

??NMDN=45°,

??四邊形A5CZ)是正方形，

?.CD=CB,ZC=ZABC=90°,ZBDC=ZDBC=45°,

：NHLCH,

??NH=NDCM=9U°,

/ZNMH+ZDMC=90°,ZDMC-^-ZCDM=90o,

??NNMH=/CDM,

：MD=MN,

?.ADCMWAMHN(A4S),圖1

??CD=MH