專題10正方形存在性問(wèn)題

(2024?無(wú)錫)

1.已知二次函數(shù)y=加+X+C的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)5(2,1).

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)尸，。在直線A3上，點(diǎn)M在該二次函數(shù)圖象上.問(wèn)：在>軸上是否存在點(diǎn)N,使得以

P,Q,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是正方形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)N的坐

標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2024?綏化三模)

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)>=辦2+法-3的圖象與x軸交于3兩

點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為。，-4).

\YE

(1)求二次函數(shù)的解析式；

DF2

(2)直線BC與OD相交于點(diǎn)E,當(dāng)。為拋物線上第四象限內(nèi)一點(diǎn)且嘗?時(shí)，求點(diǎn)。的坐

EO3

標(biāo)；

(3)G為平面內(nèi)一點(diǎn)，試判斷坐標(biāo)軸上是否存在一點(diǎn)使以B,C,M,G為頂點(diǎn)的四邊

形為正方形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2023秋?斗門(mén)區(qū)期末)

3.【實(shí)踐探究】

數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)小組,為了研究學(xué)習(xí)二次函數(shù)問(wèn)題，他們經(jīng)歷了實(shí)踐一應(yīng)用一探究的過(guò)程:

圖1圖2圖3

(1)實(shí)踐：他們對(duì)一條拋物線形拱橋進(jìn)行測(cè)量，測(cè)得當(dāng)拱頂高離水面6m時(shí)，水面寬10m,并

畫(huà)出了拱橋截面圖，建立了如圖1所示的直角坐標(biāo)系，求該拋物線的解析式；

(2)應(yīng)用：按規(guī)定，船通過(guò)拱橋時(shí)，頂部與拱橋頂部在豎直方向上的高度差至少為0.5m.-

場(chǎng)大雨，讓水面上升了0.2m,為了確保安全，問(wèn)該拱橋能否讓寬度為6m、高度為3.2m的

貨船通過(guò)?請(qǐng)通過(guò)計(jì)算進(jìn)行說(shuō)明(貨船看作長(zhǎng)方體)；

(3)探究：該課題學(xué)習(xí)小組為進(jìn)一步探索拋物線的有關(guān)知識(shí)，他們借助上述拋物線模型，并

過(guò)原點(diǎn)作一條＞=x的直線0/，交拋物線于點(diǎn)凡交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)E,提出了以下兩個(gè)

問(wèn)題，請(qǐng)予解答：

①如圖2,B為直線0P上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)8作54垂直于尤軸，交x軸于A,交直線

。產(chǎn)于C,過(guò)點(diǎn)2作8。垂直于直線，交直線0b于。，求3D+CZ)的最大值.

②如圖3,G為直線0P上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)G點(diǎn)作尤軸的垂線交拋物線于點(diǎn)H,點(diǎn)尸在坐標(biāo)平面

內(nèi).問(wèn)：是否存在以E、G、H、P為頂點(diǎn)的四邊形是正方形?若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出G點(diǎn)的坐

標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2024?濱州模擬)

4.綜合與探究

如圖，某一次函數(shù)與二次函數(shù)y=k+7加+”的圖象交點(diǎn)為A(-1,0),B(4,5).

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)C為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AC與BC的和最小時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為」

(3)點(diǎn)。為拋物線位于線段下方圖象上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作。軸，交線段A8于點(diǎn)E,

求線段。石長(zhǎng)度的最大值；

⑷在(2)條件下，點(diǎn)M為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)尸為直線上一點(diǎn)，點(diǎn)N為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)

一點(diǎn)，若以點(diǎn)C,M,F,N為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo).

(2024?甘肅模擬)

5.如圖，二次函數(shù)丫=以2+2無(wú)+c的圖象交了軸于點(diǎn)A,B(3,0),交y軸于點(diǎn)C(0,3),點(diǎn)

M是直線BC上方的二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作物，x軸，垂足為點(diǎn)交BC

于點(diǎn)E.

(1)求二次函數(shù)的解析式和點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)連接40,交y軸于點(diǎn)F.

①當(dāng)ME=2CF時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

②連接斯，四邊形OD所有可能是正方形嗎？如果有可能，此時(shí)的正切值是多少？如

果沒(méi)可能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2024?香洲區(qū)三模）

（1）如圖1,已知點(diǎn)。（0,0）,C（l,⑺在拋物線上y=ox2（awo）,貝/=:

m=.

⑵在（1）的條件下，若點(diǎn)。在拋物線上，且AD〃彳軸，是否存在四邊形ABCD為菱形？請(qǐng)

說(shuō)明理由；

（3）如圖2,己知正方形A5CD的頂點(diǎn)3,D在二次函數(shù)丁="2（“為常數(shù)，且。＜0）的圖象

上，點(diǎn)。在點(diǎn)8的左側(cè)，設(shè)點(diǎn)B,。的橫坐標(biāo)分別為機(jī)，n,請(qǐng)求出“，w滿足的數(shù)量關(guān)系.

（2024春?天河區(qū)校級(jí)月考）

7.在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線G:y=f-2依-3a2（。工0）,點(diǎn)A在拋物線G的

對(duì)稱軸上，且在x軸上方.

⑴求拋物線G與無(wú)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)（用含。的式子表示）；

（2）已知正方形ABC。的頂點(diǎn)8、。在該二次函數(shù)的圖象上，點(diǎn)8、。在拋物線對(duì)稱軸的同側(cè)，

且點(diǎn)8在點(diǎn)D的左側(cè)，設(shè)點(diǎn)B、D的橫坐標(biāo)分別為m、n,試探究"一機(jī)是否為定值，如果是，

求出這個(gè)值：如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；

⑶在拋物線G上存在兩點(diǎn)3、D,且2、。在對(duì)稱軸右側(cè)，點(diǎn)2在點(diǎn)。的左側(cè)，使得四邊形

ABCD是正方形，求動(dòng)點(diǎn)C（%y）的縱坐標(biāo)y,在。+2VxVa+3的最大值.

參考答案:

1.(1)y=^x2+x+l

1

（2）存在，點(diǎn)N的坐標(biāo)為O,」"”或或（。,-5）或（0,5）或10,胃或

【分析】（1）將點(diǎn)A和點(diǎn)8的坐標(biāo)代入y=a/+x+c,求出。和。的值，即可得出這個(gè)二次

函數(shù)的表達(dá)式；

（2）求出直線48的函數(shù)解析式為丁=3%然后進(jìn)行分類討論：當(dāng)尸。為正方形的邊時(shí)；當(dāng)

尸。為正方對(duì)角線時(shí)，結(jié)合正方形的性質(zhì)和三角形全等的判定和性質(zhì)，即可解答.

【詳解】（1）解：把3（2,1）代入、=辦2+尤+0得：

'I1

a-1+c=——

＜2,

4。+2+c=1

解得：＜“一一5,

C=1

.??這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為＞=-;V+X+1；

（2）解:設(shè)直線48的函數(shù)解析式為y=kx+e,

f1_

把8（2,1）代入得：一，=?+‘，

1l=2%+e

,Ul

解得：＜2,

e=0

???直線AB的函數(shù)解析式為y=gx,

當(dāng)尸。為正方形的邊時(shí)，

@v8（2,1）,

tanZBOC=-,

2

過(guò)點(diǎn)"作,軸的垂線，垂足為點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)P作MG的垂線，垂足為點(diǎn)H,

?.?PQ〃M7V,MG〃x軸，

???ABOC=ZNMG,

tanZBOC=tanZNMG=-,貝|MG=2NG,

2

設(shè)NG=t,則MG=2，，

AM(-2r,-2?-2r+l),

???點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為一2/一2/+1+，=一2/一，+1,

即N(0,—2/—/+1),

??,以Q，Q,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，

AZPMN=90°,PM=MNf

：.NPMH+ZNMG=90。,

???ZPMH+ZMPH=90°,

ZNMG=ZMPH,

VZNMG=ZMPH,/H=ZMGN,PM=MN,

???APHM"AMGN,

：.PH=MG=2t,HM=NG=t,

???P(-3—2/+1),

把P(-3t,-2t2+1)代入y=gx得：一2/+l=1x(-3?),

解得：彳心反，/1Z巫(舍去)，

88

I16)

②如圖：構(gòu)造RtA/QG,RiANMH,

和①同理可得：AMQG%NMH,tanZMNH=^,

設(shè)NH=GM=2t,則。G=Afff=r,

AM（2r,-2?+2r+l）,N（0,—2產(chǎn)+/+1）,Q。,一2/+4/+1）,

把Q僅,—2”+4/+1）代入y=5x得：—2t2+4t+l=—t,

解得：4=2,。2=-；（舍去），

，N（0,-5）；

和①同理可得：AGMN沿AHPM,tanZGMN=~,

2

設(shè)GN=HM=2t,則GM=HP=f,

二.2/,—2/一2%+1）,N（0,—2/一/+1）,尸（一，,一2?—4%+1）,

把尸（T「2/_4+1）代入y=gx得：_2/_4f+l=_；f,

解得：，2=-2（舍去），

和①同理可得：^GMN^^HNP,tanZGW=1,

設(shè)GM=HN=2t,則GV=HP=f,

M(2t,-2/+2，+l),N(0,-2/+f+l),尸(r,-2/T+l),

把尸伍,一2/_/+l)代入y=得：—It2-t+l=-^t,

⑤如圖：構(gòu)造矩形HG〃，過(guò)點(diǎn)P作尸K,〃于點(diǎn)K,

易得NQPK=NBOC,

tanZ.QPK=tanZBOC=g,

設(shè)。K=尤，則PK=2x,

和①同理可得：APNH^MPG^QMJ^NQI,

：.HN=PG=MJ=IQ,PH=GM=QJ=NI,

...四邊形〃G〃為正方形，

PK=IJ=2x,

ii3

IQ=PG=JK=-(IJ-QK)=-x,則PH=GM=QJ=A7=3X,

1

AtanZPMG=——=一，

GM3

設(shè)PG=HN=t,則PH=GM=3%,

2

：.M(2t9-2t+2t+l),N(0,—25+6/+1),P(T,—2r+31+1),

JE尸(一/,—2/+3，+1)代入y='%得：—2t2+3/+1=——Z,

解得：=2,t2=――(舍去)，

N（0,5）；

⑥如圖：構(gòu)造RtAPMH,Rt^NPG,

同理可得：^PMH^^NPG,tanZPNG=-,

3

設(shè)PG=HM=t,則也=GV=3f,

Af（-27,-2/2-2f+1）,N（0,—2廠—6/+1）,P（—3t,—2廠—5f+l）,

才巴P^—it,—2t2—5t+1^代入y=gx得：—2t2—5f+1=，

解得：4=“。2=—2（舍去），

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，解直角三角形，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性

質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理，正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形解答.

2.(1)y=^-2x-3

（2）0（1,—4）或（2,—3）

（3）存在，（-3,0）或（0,3）或（3,-3）.

【分析】本題考查二次函數(shù)與幾何綜合，涉及待定系數(shù)求解析式，相似和正方形存在性，圖

形結(jié)合和分類討論是解題的關(guān)鍵.

（1）利用待定系數(shù)法求解即可；

（2）過(guò)點(diǎn)。作軸，垂足為尸，交CB于點(diǎn)尸，設(shè)￡＞，，產(chǎn)-2—3）,表示出點(diǎn)P坐標(biāo)，

再利用列式求解；

（3）利用先探究ABCM是等腰直角三角形，再確定點(diǎn)G的方法，分三種：①過(guò)點(diǎn)B作

BMLCB交坐標(biāo)軸于點(diǎn)M；②過(guò)點(diǎn)C作。交坐標(biāo)軸于點(diǎn)M；③作BC的垂直平分線

交坐標(biāo)軸于點(diǎn)本題利用此方法，再結(jié)合△O3C是等腰直角三角形即可確定.

【詳解】（1）解:把A（T,0）,（1,一4）代入丁=加+/-3,

,\0=a-b-3

得｛-4=。+6_3，

二.二次函數(shù)的解析式為丁=必-2了-3；

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)。作小軸，垂足為尸，交CB于點(diǎn)P,

當(dāng)y=f_3=0時(shí),

解得％=3，%=—1，

3（3,0）,

當(dāng)x=0時(shí)，得y=尤？-2元一3=-3,

/.C（0,-3）,

設(shè)直線BC解析式為丁=皿+〃,

代入8（3,0）,C（0,-3）,

3m+n=0

得

九=一3

m=l

解得

n=-/i，

直線BC解析式為，=尤-3,

設(shè)*一2，一3）,貝1］夕?,”3）,

。p=1-3-r+2/+3=-產(chǎn)+3/,

DF//OC,

：.ADEP^/\OEC,

.DPDE

，'~OC~'OE，

.—t?+3t2

??——

33

解得f=1或f=2,

A。（1，-4）或（2,-3）；

（3）VB（3,0）,C（0,-3）,

OB=OC,

,：ZBOC=90°,

：.ZOBC=ZOCB=45°,

根據(jù)題意分三種情況:

①如圖，過(guò)點(diǎn)B作交）軸于點(diǎn)加,過(guò)點(diǎn)M作MG_L3M交x軸于點(diǎn)G,

此時(shí)四邊形是矩形,

ZOCB=ZBMO=45°,

BC=BM,

四邊形aWGC是正方形,

OG=OB=3,

：.G（-3,0）；

G（0,3）；

③如圖，YABOC是等腰直角三角形,

，點(diǎn)M與點(diǎn)。重合，

，作點(diǎn)。關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)G,

/.四邊形O3GC是正方形，

OB=BG=3,

：.G(3,-3),

綜上,存在，(一3,0)或(0,3)或(3,-3).

6

3.⑴>=-石(尤-5)9~+6

⑵該貨船不能通過(guò)，理由見(jiàn)解析

<>49rrod5^/^5-^6(5A/65-\/6

(3)@—A/2；②G-一—+5,--—+5或G-—+5,^+5

24I66JI66)

【分析】(1)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-5)?+6,將(10,0)代入，即可求解；

(2)根據(jù)題意將尤=2代入解析式，得出y=3.84,而輪船安全通過(guò)需要3.9米，即可求解;

(3)①依題意，得出E(5,5),△BCD是等腰直角三角形，則3￡>+8=應(yīng)3C，進(jìn)而設(shè)點(diǎn)

小，-2(*5)2+6］則C的孫表示出2C,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；

②由①可得NEGH=45。，當(dāng)以E、G、H、P為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，△EGH是等腰直

角三角形，將y=5代入y=-石(x-5)~+6,即可求解.

【詳解】(1)解：依題意，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(5,6),

設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-5)2+6,

測(cè)得當(dāng)拱頂高離水面6m時(shí)，水面寬10m,則拋物線經(jīng)過(guò)(10,0),

當(dāng)x=10時(shí)，y=。,

96

gPa（10-5）-+6=0,解得：?=,

拋物線解析式為y=-2（x-5）-+6；

（2）解:依題意，當(dāng)寬度為6m、高度為3.2m的貨船通過(guò)，

.?.6+2=3,

67

將x=5-3=2代入解析式得：>=卷（2-5）-+6=3.84,

3.2+0.2+0.5=3.9>3.84,

該貨船不能通過(guò)；

（3）解：①：y=-石（x-5）+6,

拋物線的對(duì)稱軸為直線x=5,

:y=x交拋物線于點(diǎn)尸，交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)E,

.,.￡（5,5）,

404=45。，

：BDLOF,則△38是等腰直角三角形，

,72

??BD=CD=—BC,

2

BD+CD=s/2BC>

設(shè)點(diǎn)21，-郎（*5『+6）,則。（祖,祖），

BC=--—（m-5）2+6-m=--—m2+—m=---fm--+竺.?.當(dāng)"？=免時(shí)，取得最

25、'25525112）2412

大值為949，

24

則+CD的最大值為當(dāng)夜.

24

②由①可得NEGH=45。，當(dāng)以E、G、H、P為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，AEGH是等腰直

角三角形，

:.HG=HE,且/￡HG=90。，

VE（5,5）,

”的縱坐標(biāo)為5,

6o

將y=5代入＞=一不(彳-5)~+6

解得：X=-5?+5或X=，"+5

66

5瓜uT5巫u(yù)

???G的橫坐標(biāo)為％=———+5^x=-^—+5,

6?6

又???G為直線0尸上一動(dòng)點(diǎn),

.J5瓜5#](565#)

..G---------F5,---------1-3或G-------F3,-------1-3

6666

\7\7

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，線段周長(zhǎng)問(wèn)題，正方形的性質(zhì)，熟

練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.(l)y=x2-2x-3

(2)(1,2)

噌

(4)N,(1,1),N(-1,2),N(1,4),2V

234SI

【分析】(1)將A(-1,0),B(4,5)代入丁=/+7訝+77得到關(guān)于機(jī)，〃的二元一次方程

組求解即可；

(2)拋物線的對(duì)稱軸為x=l,求出直線AB與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即可求解；

(3)設(shè)。(d,，-2d-3),則E(d,〃+1),貝I]

OE=?+1)-(罐一24-3)=-罐+3d+4(-l<d<4),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可;

(4)根據(jù)題意畫(huà)出圖形，分情況求解即可.

l—m+n=Q

【詳解】(1)解：將A(-1，0),B(4,5)代入y=V+〃得,

16+4機(jī)+〃=5

m=-2

解這個(gè)方程組得

n=-3

，拋物線的解析式為：y=x2-2x-3；

(2)解：如圖，設(shè)直線AB的解析式為：y^kx+b,

把點(diǎn)A(-1,0),B(4,5)代入y=kx+6,

-k+b=O

得

4女+0=5

k=l

解得

b=l

直線AB的解析式為：y=x+l,

由（1）矢口拋物線y=/—2了一3的對(duì)稱軸為了=-嬴=1,

,?,點(diǎn)C為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，AC+BC>AB,

當(dāng)點(diǎn)C在AB上時(shí)，AC+5C最小,

把x=l代入y=x+l,得y=2,

（3）解：如圖，由（2）知直線A3的解析式為y=x+l

設(shè)。體屋-21-3),貝i]E(d,d+l),

貝i]￡>E=(d+l)-(d2-2d-3)=-d2+3d+4(-l<d<4),

325

當(dāng)時(shí),必有最大值為彳,

(4)解：如圖，?.,直線AB的解析式為：y=x+l,

直線與y軸的交點(diǎn)為。(0,1),OD=1

A(—1,0),OA=1

OA=OD,ADAO=ZADO=45°,

若以點(diǎn)C,M,F,N為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，分情況討論:

①過(guò)點(diǎn)C作CM】JLy軸于點(diǎn)則AD叫C為等腰直角三角形，過(guò)點(diǎn)C作則

四邊形CMQM為正方形,

②以為中心分別作點(diǎn)凡點(diǎn)C點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)A/?，"?,連接CM?MM，N2F,則四邊形

MzMFC是正方形，則點(diǎn)生的坐標(biāo)為(-1,2)；

③延長(zhǎng)到M使乂必=必5作于點(diǎn)與，則四邊形股2優(yōu)片C是正方形，則

④取M2c的中點(diǎn)M，尸C的中點(diǎn)F?,則MigCN,為正方形，則州的坐標(biāo)為?11

綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)為：N.(1,1),N2(-1,2),N3(1,4),N41-,-J

【點(diǎn)睛】本題考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，正方

形的判定，根據(jù)題意正確畫(huà)圖是解本題的關(guān)鍵.

5.⑴二次函數(shù)的解析式為k--+2丈+3,A(-1,O)；

2

⑵①點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,4)；②有可能，tanM=-1.

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)①求得直線BC的解析式，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,2+2加+3),則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(〃2,-〃2+3),

由求得OF=3-m,CF=3-OF=m,根據(jù)Affi=2CF,代入數(shù)據(jù)即可求

解；

②證明四邊形OD歷是矩形，當(dāng)OD=DE時(shí)，四邊形OZJEF是正方形，據(jù)此求解即可.

【詳解】(1)解：???二次函數(shù)y=ax2+2x+c的圖象經(jīng)過(guò)3(3,0),C(0,3),

f9a+6+c=0

[c=3

a=-1

解得

c=3

；?二次函數(shù)的解析式為>=-犬+2了+3,

令y=o,貝!)-爐+2彳+3=0,

解得%=T,x2=3,

A(-1,。)；

(2)解:①：3(3,0),C(0,3),

設(shè)直線8C的解析式為丁=履+3,代入3(3,0)得0=3左+3,

解得左=-1,

...直線BC的解析式為y=T+3,

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(加+2〃7+3),則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(m,-01+3),

ED=3-m,MD=-nr+2m+3=-(m-3)(/n+l),AO-\,AD-m+1,

ME=—m2+2m+3—3+m=—m2+3m,

,：OF//DM,

/./\AOF^/\ADM,

.AOOF1OP

"AD-DM'm+\-(m-3)(m+l)(

OF=3—m,

CF=3—OF=m,

,:ME=2CF,

—m2+3m=2m,

解得m=0(舍去)或%=1,

.,.點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,4)；

②由①得OP=3—

??OF//DE,

；?四邊形ODEF是平行四邊形，

??ZFOD=90°,

四邊形C?￡尸是矩形,

當(dāng)8=0后時(shí)，四邊形ODE尸是正方形,

m=3-m,

3

解得根=5,

【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合問(wèn)題，考查的知識(shí)點(diǎn)有二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，一次函數(shù)

的圖象與性質(zhì)，相似三角形的判斷和性質(zhì)，解直角三角形.解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建

方程解決問(wèn)題.

6.(1)-1；-1

(2)不存在，理由見(jiàn)解析

(3)機(jī)，〃滿足的等量關(guān)系為"+"2=0或

a

【分析】(1)利用待定系數(shù)法將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式即可求出縱力的值；

(2)假設(shè)存在，由3(-1,-1),C(l,-1),可知3C=2,因?yàn)樗倪呅?CD為菱形，所以

AD=BC=AB=2,可求出=因此可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù)軸，亦可求出點(diǎn)

。的坐標(biāo)，又已知點(diǎn)。在拋物線y=-V上，而_4片_1一后，因此假設(shè)不成立，即不存在四

邊形為菱形；

(3)過(guò)點(diǎn)B作由_Ly軸,垂足為尸，過(guò)點(diǎn)。作。E工y軸,垂足為E,則B(m,atrr),?,an2),

然后分情況討論：①當(dāng)點(diǎn)3,。均在y軸左側(cè)時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)。在y軸左側(cè)，點(diǎn)B在y軸右側(cè)時(shí)，

③當(dāng)點(diǎn)B,。均在y軸右側(cè)時(shí)，證明△AB/WZ\D4E(AAS),因此利用BF=AE,AF=DE,

即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）解：??,鞏—1,一1）,C（1M）在拋物線上）=加（"0）,

將B（-1,-1）代入y=以。，得〃=_],

2

y=-xf

將C（1,代入y=—x2,得m=-1,

（2）不存在.

理由如下：

假設(shè)存在，由（1）得C（l,-1）,

:.BC=2,

設(shè)BC與y軸交于點(diǎn)E,

:.BE=-BC=\,

2

V四邊形A5CD為菱形，

：,AD=BC=AB=2,

：.AE=y/22-i2=73-

???點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,-1-百），

AD//%軸，

點(diǎn)。的坐標(biāo)為（2,

又：點(diǎn)。在拋物線'上，而后，

假設(shè)不成立，

，不存在四邊形ABC￡＞為菱形；

（3）過(guò)點(diǎn)8作B尸_Ly軸，垂足為尸，過(guò)點(diǎn)。作OEly軸,垂足為E,則3（m,0叫，加

①當(dāng)點(diǎn)8,。均在了軸左側(cè)時(shí)，如圖1,

。尸-IIBF=-m,DE=-n,OF=-am2>OE=-an2

圖1

?/ZBAF+ZABF=90°,ZBAF+ZDAE=90°,

:.ZABF=ZDAE,

X:AB=DA,ZAFB=DEA

'.^ABF^ADAE（AAS）,

:.BF=AE,AF=DE,

-m-—a"_（_〃帆2）_（一〃），

化簡(jiǎn)得〃+根=.（〃一根）（〃+根）,

?/n+m^O,

②當(dāng)點(diǎn)。在y軸左側(cè)，點(diǎn)3在y軸右側(cè)時(shí)，如圖2,

>

X

DR一

BF=m,DE=-n,OF=-am2,OE=-an2，

圖2

同理可得AAB/名△ZME（AAS）,

:.BF=AE,AF=DE,

/.m=—am2+

化簡(jiǎn)得〃+加=〃（〃一機(jī)）（〃+機(jī)）,

:.n+m=0^n—m=—

a

③當(dāng)點(diǎn)8,。均在y軸右側(cè)時(shí)，如圖3,

DE=n,OF=—am1,OE=—an2,

圖3

同理可得AAB/也△DAE(AAS),

:.BF=AE,AF=DE,

2(7

/.m=—am+1—an一幾，

化簡(jiǎn)得幾一根=.（〃一間（〃+間,

1

n—m=—

a

綜上所述，機(jī)，〃滿足的等量關(guān)系為〃+機(jī)=0或〃-〃?=L

a

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，正方形和菱形的性

質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，本題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)解題.

7.（1）（3。,0）或（一4,0）

（2）“-加是定值，且值為1；

(3)2-4a2

【分析】（1）令尸0,解方程即可求解;

（2）連接AC、BD交點(diǎn)、為E,過(guò)3作MNLy軸于過(guò)C作CNJ_MN于N,證明

△?VWB=ABA^C(AAS),8(nj,(/〃-3a)(m+a)),，m>0,n>0,則

E心,心也包g業(yè)”M（”,（…）…），

I22）

設(shè),則AM=,BN=n-a,BM=m-a,CN=（n—3G（n+a^-q,

進(jìn)而因式分解得出（〃-機(jī)-1）（〃+加-2〃）=0,即可求解；

（3）根據(jù)（2）可得。（陰+〃一3