大題02曲線運(yùn)動(dòng)

》明考情?笈方向》.

曲線運(yùn)動(dòng)計(jì)算題近5年在高考中穩(wěn)定出現(xiàn)，分值約為10?12分。題型以平拋運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)為主,

經(jīng)常出現(xiàn)與能量、動(dòng)量、電磁場等結(jié)合的綜合題。平拋運(yùn)動(dòng)多與斜面、圓弧軌道結(jié)合，注重幾何關(guān)系與

運(yùn)動(dòng)學(xué)公式的靈活應(yīng)用（如2024年黑吉遼卷物體從桌面飛出問題），圓周運(yùn)動(dòng)重點(diǎn)考查豎直平面內(nèi)的臨

界問題（如繩/桿模型）和水平面內(nèi)的動(dòng)力學(xué)分析（如2022年遼寧卷彎道滑行問題）。

曲線運(yùn)動(dòng)題的考查規(guī)律多為“經(jīng)典模型主導(dǎo)，弱化復(fù)雜數(shù)學(xué)，強(qiáng)化多過程分析”，應(yīng)熟記平拋運(yùn)動(dòng)

和圓周運(yùn)動(dòng)公式，2025年重點(diǎn)關(guān)注斜面平拋的幾何關(guān)系和豎直圓周的臨界條件。

@研大題-梃能力4

題型一平拋運(yùn)動(dòng)

Or【例。

[例1]（2024?遼寧葫蘆島?二模）“路亞”是一種釣魚方法，用這種方法釣魚時(shí)先把魚餌通過魚線收到魚

竿末端，然后用力將魚餌甩向遠(yuǎn)處。如圖所示，釣魚愛好者在。位置開始甩竿，魚餌被甩至最高點(diǎn)b時(shí)

迅速釋放魚線，魚餌被水平拋出，最后落在距b水平距離s=22.5m的水面上。魚餌的質(zhì)量為機(jī)=

0.02kg。甩竿過程竿可視為在豎直平面內(nèi)繞。點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，且。離水面高度〃=1.55m,。到魚竿末端魚餌

的距離A=2.5m,魚餌從6點(diǎn)拋出后，忽略魚線對(duì)其作用力和空氣阻力，0a,均視為直線，重力加

速度g取lOm/s"求：

(1)魚餌在6點(diǎn)拋出時(shí)的速度大小；

(2)釋放魚線前，魚餌在6點(diǎn)受魚線作用力的大小和方向。

【答案】(1)25m/s；(2)4.8N,豎直向下

【解析】(1)魚餌在b點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向有

r,12

L+h=-gt

水平方向有

s=vt

聯(lián)立可得，魚餌在b點(diǎn)拋出時(shí)的速度大小為

v=25m/s

(2)魚餌在b點(diǎn)受重力和魚線的拉力，由牛頓第二定律

v2

F+mg=m—

代入數(shù)據(jù)解得，魚餌在b點(diǎn)受魚線作用力的大小為

F=4.8N

方向豎直向下。

r

瞎

特靛4平拋運(yùn)動(dòng)的公式

1、速度

(1)分速度：水平分速度：匕=%;豎直分速度：vy=gt

(2)合速度：大小：n==Jn；+(g/)~；方向：tan6=」=維

匕%

2、位移

1、

(1)水平分位移：x=vot豎直分位移：y=-gt~

L

(2)合位移：大小：s=Jx"+y~；方向：tan(X=—=——

x2v0

3、平拋運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)重要推論

(1)速度偏向角與位移偏向角的關(guān)系

做平拋運(yùn)動(dòng)的物體，其末速度與水平方向的夾角為仇位移與水平方向的夾角為a,則tan￡=2tana。

(2)平拋物體速度反向延長線的特點(diǎn)

做平拋運(yùn)動(dòng)的物體任意時(shí)刻的瞬時(shí)速度的反向延長線一定通過此時(shí)水平位移的中點(diǎn)。

雪式

1.(2024?新疆?一模)2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)，中國選手鄭欽文力克對(duì)手奪得冠軍，為中國贏得首枚奧運(yùn)網(wǎng)球

單打金牌。現(xiàn)將某次擊球過程簡化，如圖所示。網(wǎng)球在離水平地面高為2=0.6m處被擊出，初速度方向與

水平方向的夾角。=37。，一段時(shí)間后網(wǎng)球剛好能水平飛過離水平地面高4=2.4m的位置，不計(jì)空氣阻力,

取重力加速度大小g=10m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8,求：

(1)該過程的時(shí)間；

(2)初速度的大小。

【答案】(D0.6s(2)10m/s

【解析】(1)網(wǎng)球在豎直方向上做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，最高點(diǎn)豎直分速度恰好為0,則有

%-%=渣廠

解得

t=0.6s

(2)網(wǎng)球離手時(shí)，豎直方向上的分速度大小為

v=g￡=10x0.6m/s=6m/s

所以

v='=￡m/s=10m/s

sin3700.6

2.(24-25高三上?遼寧大連?期中)直升機(jī)因?yàn)橛性S多其他飛行器難以辦到或不可能辦到的優(yōu)勢(shì)(如可以垂

直起飛降落，不用大面積機(jī)場)，所以受到廣泛應(yīng)用，主要用于觀光旅游、火災(zāi)救援、海上急救、緝私

緝毒、消防、商務(wù)運(yùn)輸、醫(yī)療救助、通信以及噴灑農(nóng)藥殺蟲劑消滅害蟲、探測(cè)資源等國民經(jīng)濟(jì)的各個(gè)部

門。如圖是在某次救災(zāi)中直升機(jī)沿水平方向做勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)的情境，不計(jì)空氣阻力，懸掛箱子的繩子長

Z=10m,與豎直方向的夾角保持為10。，此時(shí)箱子距水平地面高20m,sin10°=0.174,cosl0°=0.984,

tanl0°=0.176,g取lOm/s2,箱子可以看作質(zhì)點(diǎn)。求：

(1)直升機(jī)的加速度。的大小；

(2)某時(shí)刻直升機(jī)上儀表顯示飛行速度為100km/h,若此時(shí)有一可以看作質(zhì)點(diǎn)的小物體從箱子中掉落,

直升機(jī)仍以上述加速度運(yùn)動(dòng)，小物體落在水平地面時(shí)距直升機(jī)上。點(diǎn)的水平距離"的大小。

【答案】(1)1.76m/s2(2)5.26m

【解析】(1)對(duì)箱子受力分析，由牛頓第二定律

ma=mgtan6

解得

a=1.76m/s2

(2)依題意，小物體從箱子中掉落后，做平拋運(yùn)動(dòng)，初速度為100km/h,下落高度為20m,則有

,12

h=2gt

直升機(jī)自此之后做初速度為100km/h,加速度為1.76m/s?的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，取小物體為參考系，則小

物體落在水平地面時(shí)距箱子的水平距離為

L=-at2

2

可得小物體落在水平地面時(shí)距直升機(jī)上O點(diǎn)的水平距離的大小

d=1sinlO°+Z/

聯(lián)立，解得

d=5.26m

3.（24-25高三上?黑龍江?階段練習(xí)）福建艦是我國自主設(shè)計(jì)建造的首艘彈射型航空母艦。2024年5月，借

助配重小車進(jìn)行彈射測(cè)試，若測(cè)試時(shí)，福建艦始終靜止，配重小車在甲板上由靜止開始做勻加速直線運(yùn)

動(dòng)，經(jīng)5s落到海平面。小車運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，甲板距海平面高度為20m,小車的落水點(diǎn)到航空母艦

前端水平距離為132m。不計(jì)空氣阻力，小車可視為質(zhì)點(diǎn)，g取lOm/s?,求:

（1）小車離開航空母艦時(shí)的速度大小;

（2）小車在電磁驅(qū)動(dòng)過程中加速的距離。

【答案】（1）66m/s（2）99m

【解析】（1）設(shè)小車離開甲板后做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為4,水平方向上有

x-vt1

豎直方向上有

,12

h=2gt'

解得

%=2s,v=66m/s

（2）小車在甲板上加速過程中，有

」O+V/工

d=^~（￡一，1）

解得

d=99m

題型二斜拋運(yùn)動(dòng)

【例1】（2024?遼寧本溪?一模）甲、乙兩位運(yùn)動(dòng)員在體育場進(jìn)行投擲標(biāo)槍訓(xùn)練。甲

站在/點(diǎn)，將標(biāo)槍以W=25m/s的初度沿與水平方向間夾角。=53。方向擲出，乙站在3點(diǎn)，將標(biāo)槍以某

一初速度匕水平擲出，兩支標(biāo)槍都在水平地面上的C點(diǎn)插入地面。甲投擲標(biāo)槍投出點(diǎn)的高度％=4.2m,

乙投擲標(biāo)槍投出點(diǎn)的高度〃2=L8m,A、3兩點(diǎn)間的距離x°=51m,兩標(biāo)槍的飛行軌跡如圖所示。不計(jì)

空氣阻力,重力加速度g=10m/s"求:

(1)甲擲出的標(biāo)槍在飛行過程中離地面的最大高度〃；

(2)甲擲出的標(biāo)槍在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間才；

(3)乙擲出的標(biāo)槍初速度匕的大小。

【答案】(1)24.2m(2)4.2s(3)20m/s

【解析】(1)甲做斜拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，利用逆向思維有

(匕sinOp=2gh0

甲擲出的標(biāo)槍在飛行過程中離地面的最大高度

H=h0+ht

解得

H=24.2m

(2)甲做斜拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，則有

-hi=VjSin^

解得

t=4.2s

(3)做斜拋運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則有

X]=V1cos0-t

結(jié)合題意可知，乙水平分位移為

乙做平拋運(yùn)動(dòng)，則有

%=V2Zj

解得

v2=20m/s

r

;瞎斜拋運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律

!~I-~-X*

：：

?1**-1*

------S-------

|1、速度：水平速度：vx=v0cos0；豎直速度：vy=v0sin0-gt

2

|2、位移：水平位移：x=vGtcos0；豎直位移：y=vQtsm0--^gt

g2

!3＞軌跡方程：y=xtan0——??x,是一條開口向下的拋物線。

12v；cos20

'4,最大高度和射程

sin0r,“目一日

（1）到達(dá)最大高度時(shí)，物體在豎直方向的分速度為零，故t=------,則最大局度

g

2

1,12vnsin0

■h=-gt-=」------o

I2S2g

1

；（2）當(dāng)物體在豎直方向上的位移為零時(shí)，物體到達(dá)最遠(yuǎn)點(diǎn)，此時(shí)有＞=二%sin0-t--gt72=0,解得

!_2v0sin0

*t—o

jg

由此得射程S=vt=vcose-，vsin26＞。由上式可知當(dāng)。二

x02%sin=?二45。時(shí)，射程最大。

gg

南

1.（2025?安徽馬鞍山?一模）如圖所示，將一籃球（可視為質(zhì)點(diǎn)）從水平地面上方5點(diǎn)以噸=10m/s的速度

斜向上拋出，拋出時(shí)速度方向與水平方向成內(nèi)37。角，籃球恰好垂直擊中豎直籃板上/點(diǎn)，取：

sin37°=0.6,cos37°=0.8,重力加速度g取lOm/s?,己知/點(diǎn)距離水平地面的高度為3.2m,不計(jì)空氣阻力。

求：

一乳B

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

(1)/、2兩點(diǎn)間的水平距離；

(2)8點(diǎn)距離水平地面的高度。

【答案】(1)4.8m(2)1.4m

【解析】(1)籃球做斜上拋運(yùn)動(dòng)，在豎直方向有

「sine=gf

所以

t—0.6s

水平方向有

xAB=v0cos0?t

解得

xAB=4.8m

(2)豎直方向有

1?八

yAB=-vosin<9^

解得

加=1.8m

B點(diǎn)距離水平地面的高度

h=3.2-yAB=1.4m

2.(23-24高一下?吉林四平?期中)籃球作為世界三大球類運(yùn)動(dòng)之一，深受學(xué)生們的喜愛。在一次校園籃球

賽中，一同學(xué)進(jìn)行投籃，如圖所示，籃球離手時(shí)，速度的方向與水平方向成53。角，籃球在下落過程中

進(jìn)入籃筐。己知最高點(diǎn)到籃球離手點(diǎn)和籃球進(jìn)籃筐點(diǎn)間的水平距離分別為北和空，籃球質(zhì)量為小，不

計(jì)空氣阻力，忽略籃球及籃筐大小的影響，重力加速度為g,sin53°=0.8,cos53°=0.6?求:

(1)籃球離手時(shí)的速度1的大小以及籃球從離手到進(jìn)入籃筐的過程在空中飛行的時(shí)間t；

(2)籃球進(jìn)入籃筐時(shí)的速度與水平方向間夾角的正切值；

(3)籃球從離手到進(jìn)入籃筐的過程中重力做功的功率大小。

【解析】(1)由逆向思維，可以將籃球離手到最高點(diǎn)的過程看成是從最高點(diǎn)平拋到離手點(diǎn)的逆過程，則

由平拋規(guī)律可得此時(shí)速度的延長線交于水平位移的中點(diǎn)，設(shè)離手點(diǎn)到最高點(diǎn)間的高度差為則有

tan53。=與

解得

H=2L

則在豎直方向有

(%sin53°『=2g〃

解得

v0=

籃球在水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則整個(gè)過程經(jīng)歷時(shí)間為

5L

t=------------

%cos53°

解得

(2)從最高點(diǎn)到進(jìn)入籃筐經(jīng)歷時(shí)間為J則有

2L4L

4=

v0cos5303yg

則進(jìn)入籃筐時(shí)籃球豎直方向的速度大小為

,4向

Vy=^=~^-

設(shè)此時(shí)速度與水平方向間的夾角為二，則有

tag」8

v0cos5309

（3）設(shè)籃筐到最高點(diǎn)的高度為力，有

h

tana--

L

解得

則從離手到進(jìn)入籃筐，籃球重力做功為

W=-mg（H-h）=-^-mgL

故整個(gè)過程籃球重力的功率大小為

\W\mgy/gL

1----=----------

3

3.（24-25高三上?山東濰坊?開學(xué)考試）如圖所示，某天早晨小李騎著電動(dòng)自行車外出，車上掛著一包生活

垃圾（可視為質(zhì)點(diǎn)），當(dāng)以％=2m/s的速度勻速騎行到一段平直道路時(shí)，發(fā)現(xiàn)前方路沿外側(cè)有一與路沿

平行的長方體型垃圾桶，車輛離路沿垂直距離d/=0.3m,垃圾桶最近邊距路沿垂直距離4=0.2m。騎

行至距垃圾桶桶口/點(diǎn)的直線距離乙=1.3m位置時(shí)（平行于地面的距離），小李以垂直于車身前進(jìn)軸線

方向（以車為參考系）將垃圾拋出，垃圾包劃過一條弧線，從桶口/點(diǎn)落入桶內(nèi)。已知垃圾桶口為正方

形，邊長s=0.4m,桶口距地面高度7/=1.5m,拋出點(diǎn)距地面高度〃=1.2m。可將垃圾包、車輛、人

看作質(zhì)點(diǎn)，忽略空氣阻力的影響，g=10m/s2o求:

路

沿

；

(1)拋出后，垃圾包在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；

(2)垃圾包拋出瞬間，相對(duì)地面的速度大小；

(3)若確保垃圾包能拋人垃圾桶內(nèi)，則垃圾包相對(duì)于拋出點(diǎn)上升的最大高度為多少？

【答案】(1)r=0.6s(2)v=叵3(3)儲(chǔ)

6256

【解析】(1)垃圾包拋出時(shí)，由于慣性的原因，在沿電動(dòng)車行進(jìn)的方向上，垃圾包的速度與車輛一致,

v0=2m/s,勻速運(yùn)動(dòng)，由勾股定理可知，垃圾包沿電動(dòng)車行進(jìn)方向上運(yùn)動(dòng)的位移

=JZ?—(4+d2)

再=卬

解得

t=0.6s

(2)垃圾包實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡為拋物線，將該運(yùn)動(dòng)分解為平行地面運(yùn)動(dòng)和垂直地面向上的運(yùn)動(dòng)。

①平行地面方向且與路沿平行的速度％=2m/s,運(yùn)動(dòng)時(shí)間”0.6s。平行地面方向且與路沿垂直方向上

的位移為乃，則

x2=dl+d2=0.5m

x2=v/

解得

5/

v.=—m/s

16

與地面平行方向的速度

v2=M+.二，m/s

o

②垂直地面向上的方向：豎直方向?yàn)槌跛俣葹榍桑铀俣葹間，位移為0.3m的勻變速直線運(yùn)動(dòng)，則

2

H-h=v2t--gt

解得

7,

%=—m/s

32

盯和V3合成即為垃圾包拋出時(shí)的對(duì)地速度，即

vv2

V對(duì)地=7t+3=^-m/s

(3)由上題可知

當(dāng)"Is時(shí)取極小值，垃圾包在空中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間小=0-6s,垃圾包在空中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間

%

由上述分析可知，運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長，打越大，上升高度越大，將，、=0-8s式代入

可得最大的豎直速度

因此最大豎直上升高度為

題型三水平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)

【例1】（2024?黑龍江哈爾濱?二模）如圖所示，在足夠大的轉(zhuǎn)盤中心固定一個(gè)小物塊B,距離中心為

%=0.2m處放置小物塊A。A、B質(zhì)量均為〃?=lkg,A與轉(zhuǎn)盤之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為4=0.5。現(xiàn)在用原

長為d=0.2m、勁度系數(shù)左=40N/m的輕質(zhì)彈簧將兩者拴接，重力加速度g=lOm/sz,假設(shè)彈簧始終處

于彈性限度以內(nèi)，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，則：

（1）緩慢增加轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，求A即將打滑時(shí)的例；

（2）若小物塊B解除固定狀態(tài)，B和轉(zhuǎn)盤間動(dòng)摩擦因數(shù)為〃2=。-2,現(xiàn)將轉(zhuǎn)盤角速度從0開始緩慢增大,

為了保證B不打滑，求滿足條件的轉(zhuǎn)盤角速度你的大小范圍。

BEDAMWWWCI

【答案】(1)5rad/s；(2)cox<2>/7rad/

【解析】（1）設(shè)盤的角速度為例時(shí)，物塊A將開始滑動(dòng)，則

=mroa\

代入數(shù)值解得A即將打滑時(shí)

a）x=5rad/s

（2）若小物塊B解除固定狀態(tài)，則物塊剛好滑動(dòng)時(shí)彈簧拉力為R則對(duì)B有

F=4加g

由胡克定律可知

F=k（r-r0）

可得

r=0.25m

對(duì)A受力分析，為了保證B不打滑，則有

F+4】mg>mcofr

可得

<2V?rad/s

【例2】（2024?遼寧?一模）如圖所示，餐桌中心是一個(gè)可以勻速轉(zhuǎn)動(dòng)、半徑為R=lm的圓盤，圓盤與餐

桌在同一水平面內(nèi)且兩者之間的間隙可以忽略不計(jì)。服務(wù)員一邊轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤，一邊把餐盤放在圓盤邊緣。

餐盤的質(zhì)量為相，與圓盤之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為4=04,與餐桌之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為〃2=。2。設(shè)最大靜

摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度為g（g=10m/s2）。

（1）為使餐盤不滑到餐桌上，求圓盤的角速度。的最大值。

（2）擺放好餐盤后緩慢增大圓盤的角速度，餐盤同時(shí)從圓盤上甩出，為使餐盤不滑落到地面，求餐桌

半徑4的最小值。

【答案】（1）2rad/s；（2）也m

【解析】（1）餐盤不滑到餐桌上，當(dāng)圓盤的角速度達(dá)到最大值時(shí)，恰好由圓盤對(duì)餐盤的最大靜摩擦力提

供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，則有

—mco1R

解得

*管=2rad/s

（2）當(dāng)餐盤從圓盤上甩出時(shí)，餐盤的速度

0M=2m/s

隨后，餐盤在餐桌上做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律有

jU2mg=ma

餐盤速度減為0過程，利用逆向思維，根據(jù)速度與位移關(guān)系式有

Vo=2ax0

當(dāng)餐桌半徑4取最小值時(shí)，根據(jù)幾何關(guān)系有

R；=R2+X1

解得

&=y/2m

I-------

!喳

水平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)模型的臨界問題

題干信息圖示特征解題思路

若最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，則當(dāng)物體

嚀

“物體剛要靜摩擦力提供向剛要滑動(dòng)時(shí)，F(xiàn)fmax=jumg=marr,臨界

滑動(dòng)時(shí)”心力

角速度為0=小匠

//

（我小球

“物體運(yùn)動(dòng)圓盤與小球角速小球穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)時(shí)，由繩拉力和摩擦力的合力

穩(wěn)定”度相同提供向心力，小球豎直方向合力為0

\水平圓盤幾

、"一一一J

唐

1.（23-24高一下?福建泉州?期中）如圖所示，傾角方30。的斜面固定在可以繞豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)的水平轉(zhuǎn)臺(tái)上,

斜面最低點(diǎn)在轉(zhuǎn)軸。Q上。將質(zhì)量為根的小物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）放置于斜面的頂端，斜面底面長為人

小物塊始終和斜面相對(duì)靜止；已知小物塊與斜面之間動(dòng)摩擦因數(shù)為立，重力加速度為g,最大靜摩擦

4

等于滑動(dòng)摩擦力；求：

（1）當(dāng)小物塊不受摩擦力時(shí)，水平轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度g為多少？

（2）要使小物塊始終和斜面相對(duì)靜止，水平轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度取值范圍是多少？

【答案】（1）

【解析】（1）當(dāng)小物塊不受摩擦力時(shí)

mgtan30°=mco^L

解得

（2）當(dāng)小物塊剛要沿斜面下滑時(shí)，受力分析如圖

水平方向

Nsin30°-〃Ncos30°=

豎直方向

Ncos30°+〃Nsin30°=mg

解得

0『夜

當(dāng)小物塊剛要沿斜面上滑時(shí)，受力分析如圖

水平方向

Nsin300+juNcos300=ma＞；L

豎直方向

Ncos30°=〃Nsin30°+mg

解得

則要使小物塊不下滑，水平轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度取值范圍

2.（23-24高一下?山東臨沂?期中）“瘋狂大轉(zhuǎn)盤”在游樂場中是很常見的娛樂設(shè)施。現(xiàn)在簡化模型平面圖如

圖所示，大轉(zhuǎn)盤的最大半徑為七大轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。從。開始緩慢的增加。大轉(zhuǎn)盤上有兩位游客A

D

和B,分別位于距轉(zhuǎn)盤中心§和7?處。為保證安全，兩游客之間系上了一根輕質(zhì)不可伸長的安全繩。游

客和轉(zhuǎn)盤之間的最大靜摩擦力為游客自身重力的左倍，兩游客的質(zhì)量均為相，且可視為質(zhì)點(diǎn)，重力加速

度為g。求：

（1）當(dāng)繩子開始出現(xiàn)張力時(shí)，轉(zhuǎn)盤的角速度

（2）當(dāng)轉(zhuǎn)盤的角速度增加到q時(shí)，游客A受到轉(zhuǎn)盤的靜摩擦力大小；

（3）游客A、B相對(duì)轉(zhuǎn)盤保持靜止，安全繩上的最大張力。

【答案】(1)軟=糕；(2)^kmg；(3)等

【解析】(1)由題可知，A、B具有相同的角速度，根據(jù)向心力公式

rJ—I=mco2r

可知角速度相同時(shí)，圓周運(yùn)動(dòng)半徑越大，向心力越大；B的圓周半徑較大，當(dāng)B達(dá)到最大靜摩擦力時(shí),

繩子即將產(chǎn)生拉力，此時(shí)對(duì)B有

kmg=mco^R

解得

(2)由于例＞外,所以此時(shí)繩子有張力，設(shè)繩子張力為(，貝對(duì)B

7]+kmg=mco；R

對(duì)A,根據(jù)牛頓第二定律

r_2R

Tx

JA~T\二加①Iy

解得

,2,

A=~kmg

(3)設(shè)安全繩上的最大張力為騫，此時(shí)加速度為例，則與(2)同理分析AB,可得

Tm+kmg=ma^R

hng_Tm=mco：x[

解得

kmg

m"T"

題型四豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)

典行【例1】（2024?遼寧大連?二模）如圖所示，豎直平面內(nèi)的軌道由直軌道N2和半圓

弧軌道2C平滑連接組成，C點(diǎn)為半圓弧軌道最高點(diǎn)。小球從直軌道上的/點(diǎn)由靜止開始滑下，/點(diǎn)距

軌道最低點(diǎn)的豎直高度為。=2.6m,滑到軌道底端后又滑上半徑為R=0.4m的半圓弧軌道（不考慮經(jīng)過

連接處的速率變化），小球質(zhì)量為加=0.2kg。（g=10m/s2）

（1）若接觸面均光滑，求小球滑到C點(diǎn)時(shí)速度和對(duì)軌道的壓力。

（2）若接觸面不光滑，小球運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為1N,求全過程中克服摩擦力做的功。

【答案】（1）6m/s；16N；豎直向上；（2）3J

【解析】（1）若接觸面均光滑，小球從4點(diǎn)到C點(diǎn)過程，根據(jù)動(dòng)能定理可得

mg(fi.2R)=gmvf

解得

匕=6m/s

在。點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律可得

N+mg=m

R

解得

N=16N

根據(jù)牛頓第三定律可知，小球滑到。點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小為16N,方向豎直向上。

（2）若接觸面不光滑，小球運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為1N,在。點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律可得

,,V；

Nr+mg=m比

解得

v2=V6m/s

小球從A點(diǎn)到。點(diǎn)過程，根據(jù)動(dòng)能定理可得

mg[h-2R^-W{=gmvf

解得

W{=3J

r

瞎回四豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)模型的臨界問題

繩模型桿模型

球與繩連接、水流星、沿內(nèi)軌道運(yùn)動(dòng)

實(shí)例球與桿連接、球在管道中運(yùn)動(dòng)

的“過山車

最高點(diǎn)無支撐最高點(diǎn)有支撐

套環(huán)

圖示,繩上,先清血，［桿光滑

管道

除重力外，物體受到的彈力方向向下除重力外，物體受到的彈力方向向下、等

受力特征

或等于零于零或方向向上

金"-—

最八

受力示意圖mg，mgmg

.0.0?0?o.0

高F、可能向下八可能為零人可能向上人可能向下人可能為零

點(diǎn)

V2v2

力學(xué)方程mg+氏二掰——mg±r^=m——

rr

尺=0，Vmm=7F

臨界特征豎直向上的尺,=Mg,Vmin=0

過最高點(diǎn)條件vN而v>0

磨m

1.（2024?遼寧丹東?一模）某興趣小組模擬一個(gè)娛樂設(shè)施做如下實(shí)驗(yàn)：軌道N2CD圖所示，豎直固定在水平

地面上。已知傾斜軌道48與水平面的夾角。=37。，A點(diǎn)距地高度力=0.3m,水平軌道8C與左側(cè)半圓軌

道切于C點(diǎn)，BC長0.2m,半圓軌道光滑，半徑R=0.2m,傾斜軌道/3、水平軌道與小物塊間的動(dòng)

摩擦因數(shù)〃=0.5,g=10m/s2o設(shè)小物塊通過傾斜軌道底端B點(diǎn)速度大小不變，現(xiàn)將加=01kg的小物塊

P(可視為質(zhì)點(diǎn))從傾斜軌道上A點(diǎn)以初動(dòng)能Ek°=0.8J釋放。(sin37°=0.6,cos37°=0.8)則

(1)判斷小物塊P能否運(yùn)動(dòng)到半圓軌道的最高點(diǎn)D；

(2)若C點(diǎn)另放置一個(gè)"?=0」kg的小物塊Q(可視為質(zhì)點(diǎn))，P與Q碰撞后粘在一起，求整體沿斜

面上升的最大高度及最終停下來的位置與8點(diǎn)的距離。

【答案】(1)見解析；(2)0.06m,0.04m

【解析】(1)從/到C的過程中，由動(dòng)能定理得

mghfmgXB「〃mgcos，$=g〃詫-Ek。

解得

vc-4m/s

從。到。的過程中，由動(dòng)能定理

解得

vD=2后m/s

恰好到達(dá)最高點(diǎn)D的臨界速度為%M,由牛頓第二定律

V2.

mg=

R

解得

=酒=V2m/s

因?yàn)?/p>

V

D>Vmin

所以小物塊P能到達(dá)半圓軌道最高點(diǎn)。

(2)P與Q碰撞過程中，由動(dòng)量守恒定律

mvc=2mv

解得

v=2m/s

對(duì)PQ物塊由機(jī)械能守恒定律

2mgh'=—x2mv2

解得

h'=0.2m=R

所以P與Q碰撞后恰好運(yùn)動(dòng)到與圓心等高的位置，不會(huì)脫離軌道，則從C點(diǎn)再次到達(dá)斜面最高點(diǎn)過程,

由動(dòng)能定理

2

-^-2mg^xBC+-^^-mghl=Q-^x2m-v

解得

%=0.06m

從最高點(diǎn)到停止運(yùn)動(dòng)的過程中

mgh-/Mg—-/Jmgx=0

{tan370

解得

x=0.04m

所以停在8左側(cè)0.04m

2.(2025?新疆烏魯木齊?一模)如圖所示，一輛汽車在平直公路上向左勻速行駛，用長度』=0.4m的輕繩將

一質(zhì)量加=0.2kg的小球懸掛于車廂頂部。將小球向右拉至輕繩與豎直方向成一定夾角時(shí)，小球相對(duì)于汽

車處于靜止?fàn)顟B(tài)。釋放小球，小球連續(xù)兩次經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)，相對(duì)于路面的速度大小分別為h=22m/s和

v2=18m/s,已知重力加速度g取lOm/s?。小球可視為質(zhì)點(diǎn)，忽略空氣阻力。求

(1)釋放小球時(shí)輕繩與豎直方向的夾角

(2)輕繩對(duì)小球拉力的最大值臬。

【答案】(1)0=60°(2)4=4N

【解析】(1)取向左為正，設(shè)車的運(yùn)動(dòng)速度大小為v車，小球運(yùn)動(dòng)過程中相對(duì)于車的最大速度大小為%。

小球向左經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)的速度

丫尸車+%

小球向右經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)的速度

畛=丫車一匕

解得

vm=2m/s

以車廂為參考系，小球由釋放至運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)過程中，根據(jù)機(jī)械能守恒得到

mgZ(l-cos^)=~^mvm

解得

6=60°

（2）據(jù)牛頓第二定律小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，有

F-mg=m

mL

解得

%=4N

3.（2024?四川成都?三模）我國正在大力發(fā)展冰雪運(yùn)動(dòng)，四川省境內(nèi)有眾多的山地滑雪場地，可以開展豐富

多彩的冰雪運(yùn)動(dòng)。如圖所示，一位質(zhì)量為機(jī)=60kg的可視為質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)員（包括滑雪裝備）從半徑為

R=8m、圓心為。的四分之一圓弧軌道上某處滑下，之后從軌道最低點(diǎn)/為豎直線）以％=10m/s

的水平速度離開軌道，最后落在水平地面上。/點(diǎn)離水平地面的高度為〃=5m,重力加速度大小取

2

g=10m/so

(1)運(yùn)動(dòng)員在/點(diǎn)時(shí)，求運(yùn)動(dòng)員對(duì)圓弧軌道的壓力大小;

(2)如果忽略空氣阻力，求運(yùn)動(dòng)員落地前瞬間的速度;

(3)由于空氣阻力的作用，運(yùn)動(dòng)員落地前瞬間的速度大小實(shí)際為v'=14m/s,從N點(diǎn)到落地的過程中,

求空氣阻力對(duì)運(yùn)動(dòng)員做的功。

【答案】(1)1350N(2)10V2m/s(3)-120J

【解析】（1）運(yùn)動(dòng)員在/點(diǎn)

4

解得

然=1350N

根據(jù)牛頓第三定律可知，運(yùn)動(dòng)員對(duì)圓弧軌道的壓力為1350No

（2）根據(jù)動(dòng)能定理

^mv2-^mv^=mgH

解得運(yùn)動(dòng)員落地前瞬間的速度

v=10V2m/s

（3）根據(jù)動(dòng)能定理

mv，2

~加%2=mgH+/

解得空氣阻力對(duì)運(yùn)動(dòng)員做的功

匕=—120J