專題01集合與常用邏輯用語

題型一：集合運算問題0、易錯點：對集合表示方法的理解存在偏差

題型二：集合中的含參問題氣易錯點：忽視（漏）空集導致錯誤

家集瞿鑫素三崢決網易錯點:忽—

題型四：判斷充分性必要置易錯點：判斷充分性必要性位置顛倒

題型五：由含有邏輯聯結詞的命題

“易錯點：忽略分類討論

的真假求參數的取值范圍

易錯點一：對集合表示方法的理解存在偏差（集合運算問題

兩種解題方法）

方法一：列舉法

列舉法就是通過枚舉集合中的所有元素，然后根據集合基本運算的定義求解的方法。

其解題具體步驟如下：

第一步定元素：確定已知集合中的所有元素，利用列舉法或畫數軸寫出所有元素或范圍;

第二步定運算：利用常見不等式或等式解未知集合；

第三步：定結果。

方法二：賦值法

高考對集合的基本運算的考查以選擇題為主，所以我們可以利用特值法解題，即根據選項

之間的明顯差異，選擇一些特殊元素進行檢驗排除，從而得到正確選項.

其解題具體步驟如下：

第一步：辨差異:分析各選項，辨別各選項的差異；

第二步：定特殊:根據選項的差異，選定一些特殊的元素；

第三步：驗排除:將特殊的元素代入進行驗證，排除干擾項；

第四步：定結果:根據排除的結果確定正確的選項。

易錯提醒：對集合表示法的理解先觀察研究對象（I前），研究對象是點集還是數集，

故要對本質進行剖析，需要明確集合中的代表元素類型及代表元素的含義.

例已知集合4={X忖<%},8={(尤,y)|y>2},則集合AB=()

A.0B.(2,萬)C.(-oo,2)D.(-00,萬)

破解：根據交集定義計算，可以認為A是數集，3是點集，AcB=0故選：A

變式1：已知集合A={x|(x-l)(x-4)<0},B={y\y=2-x2],則AB=()

A.0B.{x[l<x<4}

C.{耳1<無<2}D.{x|2<x<4}

破解：?；A=(1,4),3=(-力,2],Ac3=(l,2],故選：C

注意一個研究對象為數集一個為點集

變式2：已知集合4={(蒼、)|尤?+y2=l,x,yeR},8={x|x+y=l,x,yeR},貝!!()

A.A8={0,1}B.Ac8={(0,1),(1,0)}

C.A=BD.Ac3=0

破解：由題意可知集合8={力尤+〉=1,尤,丁€用為數集，

集合A={(%y)I尤2+V=1,%yeR}表示點集，故選D.

變式3：已知集合4={淚1082"-1)<0},B={x||x-2|<2},則AB=()

A.{x\\<x<2}B.{x|l<x<4}

C.{x|0<x<4}D.{x|x<4}

破解：因為A={x|log2(x—l)<0}={x|l<x<2}

B={x||x-2|<2}={x|0<x<4}

所以AB={x\\<x<2]{x|0<x<4}={x|l<x<2},故選：A

三9

1.集合A={(x,y)|y=3x-2},B={(尤,y)|y=x+4},則A8=()

A.｛3,7｝B.｛（3,7））C.{7,3}D.{x=3,y=7}

【答案】B

【分析】根據交集的定義求解即可.

【詳解】因為［［；所以43=｛（3,7）｝.

故選：B

2.已知集合4=卜|爐-2%<0},集合B={y|y=log2(2-/)},則AB=()

A.(0,1]B.(一8,1)C.(-8,2)D.(0,2)

【答案】A

【分析】解一元二次不等式可得集合4根據對數函數性質可求得集合B,根據集合的

交集運算即得答案.

【詳解】由題意A={x|f-2x<0}=(0,2),

由于0<2-dw2,故Iog2(2—x2)41,

故8=卜|y=log2(2-x，}=(-00,1],

所以A3=(0』，

故選：A

3.設全集U=R,集合尸={y|y=3x,-l<x<0},Q=則Peg。等于

()

A.(—2,0)B.[—2,0)C.(-3,—2)D.(-3,-2]

【答案】B

【分析】化簡集合A,8,根據集合的交集、補集運算.

【詳解】全集。=R,集合尸={y|y=3尤,-!<x<0}=(-3,0),

Q=卜|—>oj>={x|x(x+2)>0(x主—2}=0或x<—2},

所以A0={X|-24X<O},

則Pn^2={x|-2<%<0].

故選：B.

4.已知集合&={》?2-1<%<4},B={x|y=lg(-x2+2x+3)},則AB=()

A.{1,2}B.{0,1,2)

C.[-1,3)D.(-1,3)

【答案】B

【分析】先化簡集合4B,再利用集合的交集運算求解.

【詳解】解：集合4={尤€叩-14尤＜4}={0,1,2,3},

由—/+2x+3>0,得x2-2%-3<0,解得一1<%<3,

所以B={x|-l<x<3},

所以AB|{0,1,2},

故選：B

5.已知集合”={%|—l<x<2},N={x|y=lnx},則McN=()

A.{x|-l<x<2}B.{x|-l<x<2}C.{x|0<%?2}D.{x|x<—l或

x>2}

【答案】C

【分析】先化簡集合N,再求McN即可解決.

【詳解】A^={x|y=lnx}={x|x>0},

貝UAfA^={x|—l<x<2}{x|x>0}={x|0<x<2}.

故選：C.

6.已知集合M={x|-4v%v2},N={%GZ|—2V%V3},則McN=()

A.{-2,-1,0,1}B.{-1,0,1}C.{0,1}D.{0,1,2)

【答案】B

【分析】根據集合的交運算即可求解.

【詳解】7V={xeZ|-2<x<3}={-l,0,l,2},所以”cN={TO[},

故選：B

7.下列表示正確的個數是（）

f2x+y=10

(1)0任0；(2)0U{1,2}；(3)(x,y)={3,%（4）若A=則

\3x-y=5

AB=A.(5)0e{0}

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【分析】根據元素與集合的關系、集合與集合的關系、交集、子集等知識進行分析，從

而確定正確答案.

【詳解】空集沒有元素，所以0已0正確，也即（1）正確；

空集是任何集合的子集，所以0={1,2}正確，也即（2）正確；

f2x+y=10fx=3、12x+y=10]

由°?＜解得,,所以2-V=3,4，所以⑶錯誤；

[3x-y=5[y=4[[3x-y=5J（）

若AgB,即A是8的子集，所以AB=A,所以（4）正確；

根據元素與集合的關系可知0w{。}正確，也即（5）正確.

所以正確的個數是4.

故選：A

易錯點二：忽視（漏）空集導致錯誤（集合中的含參問題）

1.利用兩個集合之間的關系確定參數的取值范圍解題時務必注意:由于0是任意集合的

子集，若已知非空集合B,集合A滿足A^B或AuB,則對集合A分兩種情中的含參問題

況討論：

（1）當A=0時,若集合A是以不等式為載體的集合，則該不等式無解;（2）當AM）時，要利用子

集的概念把子集關系轉化為兩個集合對應區間的端點值的大小關系，從而構造關于參數

的不等式（組）求解.

2.利用兩集合的運算求參數的值或取值范圍解決此類問題的步驟一般為：

第一步：化簡所給集合；

第二步：用數軸表示所給集合；

第三步：根據集合端點間關系列出不等式（組）;（4）解不等式（組）；

第四步：檢驗，通過返回代入驗證端點是否能夠取到.

第五步：解決此類問題多利用數形結合的方法，結合數軸或Venn圖進行求解.

易錯提醒：勿忘空集和集合本身.由于0是任意集合的子集，是任何集合的真子集，任何

集合的本身是該集合的子集，所以在進行列舉時千萬不要忘記。

三9

例已知集合4={劃14%<5},B={x\-a<x<a+3}.若5口AB）,則。的取值范圍

為（）

A.-?-1B.(-00,-1]

3

C.—00,------D.

2

破解：根據集合的關系分類討論求參數即可，由54AB）,可得5cA

3

當3=0時，一aZa+3,gp^<--,滿足題設

3\-a>l3

當3W0時，一ava+3,即,且<。可得一一<a<-l

2。+3<52

綜上，a的取值范圍為（-8,-1],故選：B

變式1：集合A={x|2f—5x+2=0},8={x|依一2=0},若B=AB,則實數a的取

值集合為（）

A.{-1,-4}B.{0,-1,-4}C.{1,4}D.{0,1,4}

破解：首先求出集合A,依題意可得3=4,再分3=0、3={2}、8=［；］三種情況

討論

因為A={x|2x2-5x+2=0}=［2,；},B=AB,所以2=A,^B={^ax-2=0\

當8=0,則a=0,當8={2},即2a—2=0,解得a=l,當B=B|j1a-2=0,

解得a=4,綜上可得實數。的取值集合為{0,1,4},故選：D

變式2：設集合U=R,集合A={x|-2<x<5},3={x|m-6<x<2m-l},若Ac5=0,

則實數機的取值范圍為（）

1

A.C.D.—00,------(11,+(?)

2

破解：結合B是否為空集進行分類討論可求優的范圍

當3=0時，Ar\B=0,則—1,BPm<-5

m-6<2m-1lm-6<2m-1

當時，若Ac3=0,則2m—1<—2或［機一6>5

解得-5〈機■或機＞11,綜上，實數加的取值范圍為1co,-g（11,+℃）

故選：D

變式3：已知集合4=卜€2-＜3},8=+若Ac5有兩個元素，則實

數。的取值范圍是（）

3<。<0

A.＜。＜一1B.a

a一：＜〃＜-1或一；＜〃＜0

C.a——<々<0或々>1

破解：先解出集合A,結合Ac3有兩個元素求解即可

因為A={xeZ,2<3}={-1,0,1},B=L<x<a+|L由于AcB有兩個元素

Q<—1

31

則3，角畢得一彳<〃或一大<〃<0

a+->l122

2

所以實數0的取值范圍是卜-|＜。＜-1或_；＜々＜0卜故選：C

1.已知集合4={巾4無<5},3={x|-a<x4a+4},若B),則。的取值范圍

為()

A.-2<a<-1}B.{《a<-2}

C.{a|a<-l}D.{a|a>-2}

【答案】C

【分析】由8屋(A3)可以得到8=A,從而對集合8分類討論即可求解參數。的范圍.

【詳解】?.?已知BB),又因為(4八3)屋3,

AB=B,即=4,

①當3=0時，滿足3U此時一。二。+4,解得。＜-2；

—a＜〃+4

②當3/0時，由5G"A,得＜—,解得—2＜aW—1；

。+4＜5

綜上所述，a<-l.

故選：C.

2.設集合A={%|2a+1<%<3a—5},B=1x|x2-21x+80<01,若AB=A,貝lj()

A.{a[2<a?7}B.{a|64aK7}C.\a\a<l^D.\a\a<6^

【答案】C

【分析】解不等式化簡集合以再利用集合的包含關系求解即得.

【詳解】顯然8={#2-2卜+80叫={尤|5VxV16},由AB=A,得A=B,

當A=0時，即2a+l>3a—5,解得a<6,滿足貝i]a<6；

當4x0時，則5W2a+lW3a—5W16,解得6VaV7；

所以a<7.

故選：C

3.已知集合/={x|/=l},N={x\ax=\\,若McN=N,則實數°的取值集合為

()

A.{1}B.{-1,1}C.{1,0}D.{L-LO}

【答案】D

【分析】分。=0和aHO討論，根據集合關系可解.

【詳解】McN=NoNuM,

當a=0時，N=0,滿足NuM；

當awO時，=]—kAl={1,-1},由NuM可知，=1或1=一1,得a=l或a=-l.

[a]aa

綜上，實數a的取值集合為{LT。}.

故選：D

4.設集合A={x[l<xW3},B^[x\x<a}},若則。的取值范圍是（）

A.[a\a31}B.[a\a<l]

C.{fl|<z>3}D.{a|a>3}

【答案】D

【分析】根據得到兩集合間的關系，再由集合間的關系，求得。的取值范圍.

【詳解】由4口3=3得4=3,已知A={x|l<尤43},B={x\x<a},

從而得a>3.

故選:D.

5.設集合4={尤,（4-%）23},B=[x\x>a\,若AB=A,則。的取值范圍是（）

A.B.（-oo,l）C.（-<?,3]D.（-oo,3）

【答案】B

【分析】求出集合A,分析可知4=8,由集合的包含關系可得出實數0的取值范圍.

【詳解】解不等式無（4—無）23,即Y_4X+3<0,解得1WXW3,即4=卜|"》43},

因為AB=A,且3={X|X>4},則4勺3,所以，a<1.

故選：B.

6.已知集合4={尤|犬-1=。},B={x卬=1},若A3=8,則實數。取值集合為（）

A.{-1}B.{1}C.{-1,1}D.{-1,0,1}

【答案】D

【分析】由題意知3=A,分別討論3=0和BW0兩種情況，即可得出結果.

【詳解】由AB=B,知8=因為4=,*-1=0}={-1,1},B={x\ax=\],

若3=0,則方程依=1無解，所以a=0；

若8w0,awO,則8={1|奴=1}=1%卜=，,，

因為所以工=±1,則。=±1；

a

故實數。取值集合為{-1,0,1}.

故選：D.

7.已知集合A={x|x>a},B={x|x</},且&A)8=8,則實數。的取值范圍為()

A.[0,1]B.[0,1)

C.(0,1)D.3,。]

【答案】A

【分析】求出為A,依題意可得B=可得關于。的不等式，即可得解.

【詳解】因為A={x|x>。},所以々A={x|x4a},

又(轉18=8,所以31第4,

又8=卜卜<4},所以/4“，解得OWaWl,

即實數a的取值范圍為[0,1].

故選：A.

8.已知集合M={x卜：l<x<3},N={尤|x2a,awR},若McN=M,則實數a的取值范

圍是()

A.[-1,+co)B.(-oo,-l]

C.[-1,3]D.(-1,3)

【答案】B

【分析】根據=可得答案.

【詳解】因為McN=M,所以M=所以aW—1.

故選：B.

9.已知集合人={]|。<%<片+1,〃￡2},B={x|2<x<6},若AB=Af則〃=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】有集合間的關系建立不等式組求出即可.

【詳解】由AB=A,得易知集合A非空,

a>2戶2

貝U<〃+1W6n,-君<a<V5,

aeZ〃wZ

解得a=2.

故選：B.

10.已知集合4=1|尤2-2彳-3<0},B={x|-l<x<-m),若AB=A,則實數加的取

值范圍為()

A.(—3,+oo)B.(—so,—3]C.[3,+co)D.(—1,3]

【答案】B

【分析】解一元二次不等式化簡集合4再利用集合的包含關系求解作答.

【詳解】解不等式尤2一2彳一3<0,得一l<x<3,于是A=(T,3),而8=(-1,-加)，

因為AB=A,則因此-〃zN3,解得機W-3,

所以實數機的取值范圍為

故選：B

11.已知集合&={%1y=ln(3x-x2+4)},B={y|>=/+4,若AB=A,則實數/的取

值范圍是()

A.B.(f,l]

C.ST)D.(-8/)

【答案】A

【分析】首先分別求兩個集合，再根據包含關系，求參數t的取值范圍.

【詳解】由已知得人={xB*-%2+4>0}=(-1,4),B=[f,+s),

由AB=A,得所以Y-L

故選：A.

易錯點三：忽視集合元素的互異性(利用集合元素三性解決

元素與集合關系問題)

茸

類型1有限集中元素與集合間關系的判斷

⑴待確定元素與已知集合無關:如果待確定元素的值只與自身有關，只需將元素化簡、求

值，再與該有限集內的元素進行逐個對照，確定是否存在與其相等的元素.若存在,則屬于

(e);若不存在，則不屬于仁.

(2)待確定元素與已知集合有關:當一個待定集合中的元素與一個已知集合有關，確定元

素與待定集合的關系(或待定集合中元素個數)時，應先將待定集合中的元素根據題中限

定條件求出(常會用到列舉法和分類討論思想)，然后根據題目信息進行分析判斷(常依據

集合中元素的互異性進行檢驗).

類型2無限集中元素與集合間關系的判斷

(1)將待確定元素進行變形，看能否表示成無限集合中元素的形式，如果可以，則屬于;否則

不屬于.

(2)假設法:假設該對象是集合中的元素,代人看是否與集合限定條件相矛盾，若不矛盾，則

屬于;否則不屬于.

易錯提醒：利用集合元素的“三性”尤其是互異性是解題的關鍵，求解過程中務必注意:用

描述法表示的集合,要先認清代表元素的含義和集合的類型，是數集、點集，還是其他類

型的集合，如卜Iy=2'},{xIy=2、},{(x，Hy=2'}表示不同的集合.如果是根據已知

列方程求參數值，一定要將參數值代入集合中檢驗是否滿足元素的互異性.

三9

例已知集合尸={H"=2""eN*#V10},。={2,3,5},則集合T={盯中

元素的個數為()

A.30B.28C.26D.24

破解：尸=徊〃=2左一：UeN*/V10}={l,3,5,7,9,ll,13,15,17,19},2={2,3,5)

因為T={孫w。},當xeP,y=2時，孫為偶數，共有10個元素

當無eP,y=3時，孫為奇數，此時刈=3,9,15,21,27,33,39,45,51,57,共有10個元素

當xeP,y=5時，孫為奇數，此時孫=5,15,25,35,45,55,65,75,85,95,有重復數字

15,45,去掉，共有8個元素.

綜上7={町ye。}中元素的個數為10+10+8=28個，故選：B

變式1：設集合M={2〃工-,若-3eM,則實數相=()

A.0B.-1C.0或TD.0或1

破解：根據元素與集合的關系，分另U討論2加一1=一3和加一3=-3兩種情況，求解，"并

檢驗集合的互異性

設集合M={2m—1,帆一3},若—3eM,,-3e",二2冽一1=一3或m―3=—3。

當2/九一1=一3時，m=-l,此時M={-3,-4}，當m一3=-3時，m=0,此時M={-3,-1}

所以機=-1或。，故選：C

變式2：已知集合A={1,2,3},B={a-b\a^A,b^A\,則集合2中元素個數為（）

A.5B.6C.8D.9

破解：集合A={1,2,3},B=\a-b\aA,b,貝1」當〃=〃時，有〃一人=。，當時，

〃一6=1或〃一/?=2,當時，1一〃=一1或〃一6二—2,所以3={—2,—1,0,1,2},集合

3有中5個元素，故選：A

變式3：若。￡{1,3,/},則〃的可能取值有（）

A.0B.0,1C.0,3D.0,1,3

破解：根據元素與集合的關系及集合中元素的性質，即可判斷〃的可能取值

，=0,則〃￡{1,3,0},符合題設，，=1時，顯然不滿足集合中元素的互異性，不合

題設，々=3時，則［￡{1,3,9},符合題設，?，.〃=0或a=3均可以.故選：C

三9

1.對于復數a,6,c,d,若集合S={a,6,c,d}具有性質”對任意尤,yeS,必有孫eS”，則

4=1

當伊=1時，b+c+d等于（）

c2=b

A.1B.-1C.0D.i

【答案】B

【詳解】試題分析：集合S={a,"c,d}中（7,6,c,d各不相同［。=1萬=1；.6=一1

:.c2c=±i,由已知“對任意尤,yeS,必有肛eS”可知c=1時d=—i,c=-z?時d=i

:.b+c+d——1

2.已知集合4={12。-1},5={0,3,/+1},若A3={2},則實數〃的值為

A.±1B.-1C.1D.0

【答案】B

【詳解】因為Ac3={2},則〃+i=2,即。=±1.但當。=1時，A={1,2,0）,

此時AIB={0,2},不合題意，舍去，所以。=—1,故選B.

3.已知集合A={0,2.+1/-2},若—leA,則實數〃=（）

A.1B.-1C.0D.±1

【答案】A

【分析】根據-leA得/-2=-1或2。+1=-1,分類討論結合集合中元素的互異性求

解即可.

【詳解】由-leA,可得/_2=-1或2。+1=-1,解得：。=1或-1,

當。=1時，集合A={0,3,T},符合題意；

當a=-1時，集合A={0,-1,-1}不滿足集合的互異性；

綜上，4=1.

故選：A.

4.已知集合人={4,乂2H，B={-2,x2,l-y],若A=5,則實數x的取值集合為（）

A.{-1,0,2}B.{-2,2}C.{-1,0,2}D.{-2,1,2）

【答案】B

【分析】根據集合元素的唯一性分類討論即可.

【詳解】因為A=B,所以—2eA.

當x=-2時，2y=l-y,得y=；；

當2.v=-2時，貝（jx=2.

故實數尤的取值集合為{-2,2}.

故選：B

5.已知aeR,bwR,若集合卜,，」}={/〃一仇。},則/。段+房兇的值為（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【分析】結合已知條件，利用集合的互異性即可求解.

【詳解】?.?集合，=分母"0,

2

b=Q,a=1J且/wa—匕=〃，解得〃=—1,

???/。19+產。=—1.

故選：B.

6.已知集合4=卜/+1,4+4”9,2021},若YeA,則實數。的值為（）.

A.-5B.1C.5或-1D.-5或1

【答案】B

【分析】根據元素與集合之間的關系，及集合元素的互異性即可求出。的值.

【詳解】A={a+l,q2+4。-9,2021},且-4eA,.,.T=a+1或Y=/+4a-9

⑴、當-4=a2+4a-9即a=—5或,

①、當a=—5時，a+l=-4,tz2+4a-9=-4,此時A={-4,-4,2021},不滿足集合元素

的互異性，故舍去；

②、當a=l時，（7+1=2,a2+4<2-9=-4,此時A={2,-4,2021},符合題意；

⑵、當a+l=-4即許-5時，止匕時A={-4,<2021},不滿足集合元素的互異性，故舍

去；

綜上所述：實數〃的值為1.

故選：B

7.已知x為實數，A=[2,x,x2},集合A中有一個元素恰為另一個元素的2倍，則實數x

的個數為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】由題意分情況討論并判斷即可.

【詳解】由題意：

當2=2x時，x=l,此時集合A={2,1,1},不成立；

當2=2/時，x=±l9x=l時不成立，元二一1時，集合A={2,-1,1},成立；

當%=2x2=4時，集合A={2,4,16},成立；

當％=2尤2時，％=0或x=%=0時集合A={2,0,0},不成立，工=；時集合4=[2,；,：|

成立；

當爐=2x2時，x=±2,九=2時集合A={2,2,4},不成立，了=-2時集合A={2,—2,4},

成立；

當％2=2兀時，I=0或x=2,x=0時集合A={2,0,0},不成立，％=2時不成立;

故尤e2,-1,—,4j,

故選：B.

8.已知集合A={12,/+4a,o+10},5eA,貝4。=()

A.-5B.-5或1C.1D.5

【答案】C

【分析】分/+4a=5和a+10=5兩種情況進行求解，要檢驗是否與互異性矛盾，得至U

答案

【詳解】當〃+4°=5,解得。=-5或1,

當。=-5時，。+10=-5+10=5,與元素互異性矛盾，舍去；

當a=l時，A={12,5,11},滿足要求，

當。+10=5時，解得。=-5,顯然與元素互異性矛盾，舍去，

綜上，4=1.

故選：C

易錯點四：判斷充分性必要性位置顛倒

1.充分條件與必要條件的相關概念

(1)如果p=>q,則p是q的充分條件，同時q是p的必要條件；

⑵如果p=>q,但q#p廁p是q的充分不必要條件；

(3)如果p=>q,且q=>p,則p是q的充要條件；

⑷如果q=>p,且p3q,貝l|p是q的必要不充分條件；

(5)如果p與q,且q與p,則p是q的既不充分又不必要條件

2.從集合角度理解充分條件與必要條件

若p以集合A的形式出現,q以集合B的形式出現，即A={p(x)},B={q(x)},則關于充分條件、

必要條件又可以敘述為：

(1)若A7B,則p是q的充分條件；

(2)若B7A,則p是q的必要條件；

⑶若A=B,則p是q的充要條件；

(4)若A1B,則p是q的充分不必要條件；

(5)若A遑B,則p是q的必要不充分條件；

(6)若A0B且AQB,則p是q的既不充分又不必要條件.

易錯提醒：(1)A是B的充分不必要條件是指:AnB且B?A;

⑵A的充分不必要條件是B是指:BnA且A?B,在解題中要弄清它們的區別，以免出現

錯誤.

例命題“、笈^國可,％2-々^。”為真命題的一個充分不必要條件是()

A.tz<4B.a>4C.a<5D.a>5

破解：求解命題一a<0，，為真命題時。24,即可根據真子集求解

命題“以且1,2],/一440，，為真命題,則“2，對也812恒成立，所以。2(/Lx，故

a>4,所以命題“Vxc[1,2],Y“w0”為真命題的充分不必要條件需要滿足是｛a\a>4)

的真子集即可，由于?25｝是?24｝的真子集，故符合，故選：D

變式1：已知命題P：Vxe[T2],1x2-a>0,則"為真命題的一個充分不必要條件

是()

A.a<-2B.a<0C.^<8D.a<16

破解：先分離參數求出〃的取值范圍，則。為真命題的一個充分不必要條件應該是

(-8,。]的一個真子集，由題設命題為真，即在xe[T,2]上恒成立，所以

尤]=o,則p為真命題的一個充分不必要條件應該是(7,()]的一個真子集，

故選：A

變式2：記方程①：尤2+以+1=0,方程②：/+法+2=0,方程③：x2+cx+4=0,

其中。，瓦c是正實數.若。力,c成等比數列，則“方程③無實根”的一個充分條件是()

A.方程①有實根，且②有實根B.方程①有實根，且②無實根

C.方程①無實根，且②有實根D.方程①無實根，且②無實根

破解：根據判別式以及充分條件的定義逐項分析

由題意，b=aq,c=bq=aq2,其中q>0,

對于A,如果Y+辦+1=0有實根，則A=/—420,。22,如果無2+版+2=0有實根,

則820,/722VL4有可能大于等于近廁A3=c2-16=aV*-16,即A有可

能大于等于0,即由①②不能推出③無實根，A不是充分條件，

對于B,有心2/<2夜，則必有gV0,即AjZ/TGVO,方程③無實根，所以B

是③無實根的充分條件.

對于C,有a<2,bN2五,：.q>也,A3=Z>V-16>0,方程③有實根，C不是方程③無

實根的充分條件，

對于D,有0<2,6<2應，q的值不確定，有可能小于夜，也有可能大于血,不能保

卜

證方程③無實根，例如。=0.11=2,貝必=—=2。，A=22X202-16>0

a3

所以D不是方程③無實根的充分條件，故選：B.

變式3：若無,yeR,則“x>N”的一個充分不必要條件可以是（）

A.|x|>|y|B.x2>j2

X3

C.->1D.2x-y>2

破解：由|R>N，/>,2推不出x>y,排除AB

yY—V丫

由—>1可得-->0,解得x>y>0或x<y<0,所以—>1是x>y的既不充分也不

yyy

必要條件，排除c,2">2nx>y,反之不成立，D正確，故選：D

1.設。1為實數，貝『'a>b>0”的一個充分非必要條件是（）

A.s/a-1>y/b—lB.a2>b1

C.—>—D.a—b>b—a

ba

【答案】A

【分析】由充分非必要條件定義，根據不等式的性質判斷各項與a>b>0推出關系即

可.

------,fu-1>b—1

【詳解】由貝此八八，可得可推出a>人>0,反向推

不出，滿足；

由"〉"，則推不出。>。>0,反向可推出，不滿足；

由!〉,，則d>b>。或或。>〃>/?,推不出a>b>0,反向可推出，不

ba

滿足；

由則推不出a>b>0,反向可推出，不滿足；

故選：A

2.使成立的一個充分不必要條件是()

A.VxG(0,1],a^b+xB.V%￡(0,l],a+x<b

C.3XG[0,1],a<b+xD.3J;G[0,1],a+xWb

【答案】B

【分析】根據不等式的關系結合充分不必要條件分別進行判斷即可.

【詳解】對于A,若VXE(0,1],當。=Z?時，a=b〈b+x成立,

所以“V%￡(0,l],aWb+x”/“a〈b”,A不滿足條件；

對于B,Vx€(0,1],a+x<b,則ava+xvZ?,W?a<b,

所以“V%￡(o,l],a+x<b”n"a〈b”,

若a〈b,貝iJVx￡(0,l],不妨取a=l,b=1.2,%=0.5,貝ija+x〉/?,

所以“VX￡(0』，a+x〈b”ha<b”,

所以“VX￡(O』，〃+是的充分不必要條件，B滿足條件；

對于C,若〃<Z?,貝lj3x￡[0,l],使得av〃4人+%,BPa<b+x,

即“〃</?"=>“三%￡[0,1],a</?+%”，

所以“土￡[0』，avA+/是的充分條件，C不滿足條件；

對于D,若3X￡[0,1],a+x^b,則+即〃《人，當且僅當x=0時，等號成

立，

所以“Hr6[0,1],a+xWZ?”聲“〃</?”，D不滿足條件.

故選：B.

3.若不等式-。+1<X<。+1的一個充分條件為Ovxvl,則實數。的取值范圍是()

A.a>0B.a>0C.a>lD.a>l

【答案】D

【分析】結合充分條件的定義列出不等式組，求解即可.

【詳解】若不等式一+1的一個充分條件為。VXV1,

0>-?+1

貝U（。,1）U（—，所以<—〃++解得

a+l>l

則實數。的取值范圍是。21.

故選：D.

4.命題“VXGR,2丘2十辰—?<o，，為真命題的一個充分不必要條件是()

8

A.^G(-3,0)B.^G(-3,0]C.左￡(一3,1)D.左￡(一3,+“)

【答案】A

【分析】先求命題“VXER,2點2+日—<o，，為真命題的等價條件，再結合充分不必要的

O

定義逐項判斷即可.

93左<0

【詳解】因為DXER,2依+依一%<0為真命題，所以攵=0或92”八=一3〈人W0,

8[k+3^<0

3

對A,(-3,0)是命題“VxeR,2履?+依-O<0”為真命題的充分不必要條件，A對，

3

對B,(-3,0]是命題“Vx￡R,2fcv?+點一<0”為真命題的充要條件，B錯，

8

對C,(-3,1)是命題“\/"艮2去2+后_O?<0，，為真命題的必要不充分條件，c錯，

3

對D,(-3,+e)是命題“VxeR,2履2十近一<o"為真命題的必要不充分條件，D錯，

O

故選：A1a

5.如果不等式卜-4<1成立的充分不必要條件是;則實數”的取值范圍是()

A-B.!JC.1，務

d-[TH”)

【答案】B

【分析】解絕對值不等式，得到a-l<x<l+a,結合題干條件得到卜及令<t｝是

｛乂。-l<xvl+a｝的真子集，從而得到不等式組，求出實數”的取值范圍.

【詳解】|x-?|<l,解得：a-\<x<\+a,

「13

所以成立的充分不必要條件是2Vx,

故卜|卜<:

1I,1

〃一,I43一2^Q—1<一

2

所以

3

a+l>—a+l>-

22

I3

解得：彳<。<7，

22

故實數。的取值范圍是

故選：B

6.命題“D%￡（l,2）,log2%-。<0”為真命題的一個充分不必要條件是（）

A.a>QB.a>2C.a>lD.a<4

【答案】B

【分析】對命題Vxe（l,2）,log2X-a<。進行求解，可得再通過充分條件和必要條

件進行判斷即可.

【詳解】因為命題Vxe（l,2）,log2X-a<0是真命題，當尤e（l,2）時，0<log2A；<l,若

a>log2X恒成立，則結合選項，命題是真命題的一個充分不必要條件是。22,

故選：B.

7.函數/。）=尤3-取+。一I有兩個零點的一個充分不必要條件是（）

A.a=3B.a=2C.a=\D.a=0

【答案】A

【分析】先因式分解得/（x）=（x-D（f+x+l-a）,再分類討論求解當了⑺有兩個零點

時。的值，再根據充分不必要條件的性質判斷選項即可

【詳解】/（%）=尤3-1一。（無一1）=（*一1）（尤2+x+l一。），〃幻有兩個零點，有兩種情形:

①1是y=/+x+l-。的零點，貝|。=3,此時y=l+x_2有1,2共兩個零點

②1不是y=/+x+i-。的零點，貝°判別式1—4（1一。）=0,即。=彳

。=3是/（x）有兩個零點的充分不必要條件

故選：A.

8.己知a,Z?eR,則“必片0”的一個必要條件是（）

A.a+b^OB.cr+b2^0C.a3+Z?30D.—

ab

【答案】B

【分析】利用"=3力=-3否定ACD選項，進而得答案.

【詳解】解：對于A選項，當。=3,。=一3時，ab/O,此時。+6=0,故a+bwO不是

而片0的必要條件，故錯誤；

對于B選項，當他中0時，力+6片。成立，反之，不成立，故"+片片0是用力。的必

要條件，故正確；

對于C選項，當。=3,〃=-3時，仍片0,但止匕時“3+〃=。，故a?+戶片0不是而70的

必要條件，故錯誤；

對于D選項，當。=3,6=-3時，破工0,但此時,+』=0,故故,+!/0不是。6中0的

abab

必要條件，故錯誤.

故選：B

易錯點五：由含有邏輯聯結詞的命題的真假求參數的取值范

圍

根據命題的真假求參數的取值范圍的方法步驟：

第一步：求出當命題p,q為真命題時所含參數的取值范圍；

第二步：根據復合命題的真假判斷命題p,q的真假性；

第三步：根據命題p,q的真假情況，利用集合的交集和補集的運算，求解參數的取值范圍.

易錯提醒：此類題目一般會出現“p或q”為真,“p或q”為假,“p且q”為真,“p且q”為假

等條件，解題時應先將這些條件