2025年高考數學二輪復習熱點題型專項突破:幾何體的內接球與外接球阿氏球等17類題型(解析版)_第1頁
2025年高考數學二輪復習熱點題型專項突破:幾何體的內接球與外接球阿氏球等17類題型(解析版)_第2頁
2025年高考數學二輪復習熱點題型專項突破:幾何體的內接球與外接球阿氏球等17類題型(解析版)_第3頁
2025年高考數學二輪復習熱點題型專項突破:幾何體的內接球與外接球阿氏球等17類題型(解析版)_第4頁
2025年高考數學二輪復習熱點題型專項突破:幾何體的內接球與外接球阿氏球等17類題型(解析版)_第5頁
已閱讀5頁,還剩77頁未讀 繼續免費閱讀

下載本文檔

版權說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內容提供方,若內容存在侵權,請進行舉報或認領

文檔簡介

專題8-1幾何體的外接球與內接球,阿氏球等17類題型

模塊一卜熱點題型解讀(目錄)

【題型1]球的截面問題

【題型2】可以補成長方體的外接球模型

【題型3】直棱柱和圓柱外接球模型

【題型4】正四面體的內切球和外接球結論

【題型5】直棱錐外接球模型(一條側棱垂直底面)

【題型6】球心在高上(圓錐形)

【題型7】圓臺,棱臺外接球模型

【題型8】棱錐外接球之切瓜模型(一個面垂直外接圓直徑)

【題型9】兩個外心+中垂線確定球心

【題型10】外接球之共斜邊拼接模型

【題型11]外接球之二面角模型

【題型12]內切球之棱錐,圓錐模型

【題型13]內切球之圓臺,棱臺模型

【題型14】多球相切問題

【題型15]棱切球問題

【題型16]構造球解決空間中動點構成的直角問題

【題型17]阿氏球問題

模塊二\核心題型?舉一反三

【題型1]球的截面問題

基礎知識

球體的相關計算關鍵是找出球心到相關平面的距離,再結合勾股定理計算求值

形成方式半圓繞其直徑所在直線旋轉一周,如圖記作:球o

大圓:經過球心的截面圓

-----

球相關概念小圓:不經過球心的截面圓半徑大圓

小圓

結構性質兩點間的球面距離:經過兩點的大圓在這兩點間的劣弧長

球的小圓的圓心與球心連線垂直小圓面

【例1】(2。2。.全國2卷TH)已知“g是面積為苧的等邊三角形,且其頂點都在球

0的球面上.若球0的表面積為16兀,則0到平面ABC的距離為()

A.6B.1C.1D.1

【答案】C

【分析】根據球。的表面積和AASC的面積可求得球。的半徑尺和AABC外接圓半徑",由球的性質

設球。的半徑為R,則4萬4=16%,解得:R=2.

設AABC外接圓半徑為,,邊長為。,

?.?△ABC是面積為攻的等邊三角形,

4

球心0到平面ABC的距離d=加=7="b=1.

【例2】(24-25高二上?貴州遵義?階段練習)已知A,B,C,。四點都在球。的球面上,且A,B,

C三點所在平面經過球心,AB=4y/3,/AC2=m,則點。到平面ABC的距離的最大值為,

球。的表面積為.

【答案】464兀

【分析】利用正弦定理求得VABC外接圓半徑,結合題意可得球的半徑,再利用球的截面性質與球

的表面積公式即可得解.

【詳解】在VA3C中,AB=46,ZACB=1.

nhc

根據正弦定理----=-----=-----=2丫(〃為VA3C外接圓半徑),

sinAsinBsinC

這里a=AB=4\/^,C=Z.ACB=—,所以sinC.兀解得廠=4.

3sin—

3

因為A、B、C三點所在平面經過球心O,所以球。的半徑尺=廠=4.

因為A、8、C三點所在平面經過球心O,

當0D垂直于平面ABC時,點O到平面ABC的距離最大,這個最大值就是球的半徑R,

所以點。到平面ABC的距離的最大值為4.

則孑求的表面積為S=4兀R?=4兀x4?=64兀.

【例3】(23-24高三下?廣東江門?階段練習)已知正四面體A-BCD的內切球的表面積為36兀,過該

四面體的一條棱以及球心的平面截正四面體A-3Q,則所得截面的面積為.

【答案】5472

【分析】由內切球的表面積求出內切球的半徑,過點A作平面BCD,連接38并延長交C£)

于點E,且點E為中點,連接AE,記內切球球心為。,過。作。F_LAE,設正四面體邊長為a,

然后結合正四面體的性質可求出a,從而可求出截面的面積.

【詳解】解:由內切球的表面積S表=4成2=36兀,得內切球半徑R=3

如圖,過點A作AH_L平面BC。,則點"為等邊△3CO的中心

連接并延長交CO于點E,且點E為C。中點,連接AE,

記內切球球心為。,過。作。尸_LAE,設正四面體邊長為“,

則BE=AE=-a,BH=-BE=—a,HE=—a,

2336

所以48=VAE2-HE2=,l-a2--a2=—a,

\4363

又因為OH=OF=3,所以AO=羋a-3,

76

?巾AOOF3

由△AO7s\AEH,彳-----=----即告解得a=6^6

/AEHE后

—Cl

6

因為過棱A3和球心O,所以△ABE1即為所求截面

2

^S..?F=-BE-AH=-x^-ax—a=—a=54y/2.

△ABE22234

【鞏固練習1]已知VABC是面積為亞的等邊三角形,且其頂點都在球。的球面上,若球。的表

4

面積為28兀,則點。到平面ABC的距離為.

【答案】2

【分析】設球。的半徑為R,由球的表面積解出R,設VA3C外接圓半徑為「,邊長為。,解出「,

由勾股定理求解d即可.

【詳解】設球。的半徑為R,則4成2=28%解得R=幣.

設VA3c外接圓半徑為「,邊長為。,

因為VABC是面積為型的等邊三角形,

4

所以工/*且=2叵解得a=3,

224

二=2,

由yfi,所以廠=垂),

所以球心。到平面ABC的距離d=_產=,7.3=2?

【鞏固練習2】已知過球面上A,B,。三點的截面和球心的距離為球半徑的一半,且

AB=BC=1,AC=^,則球的表面積是.

_?_16"

【答案】—

【分析】根據給定條件,利用正弦定理求出VABC的外接圓半徑,再利用球面的截面小圓性質求出

球半徑即得答案.

【詳解】在VABC中,AB=BC=l,AC=y/3,則萬人。百,sinZBAC=-,

cosABAC--.......=——2

AB2

由正弦定理得VABC外接圓半徑r=工x——1——=1,設球半徑為R,

2sinABAC

于是K2=(;R>+i,解得R2=g,所以球的表面積是4兀笈=1|土

【鞏固練習3】(2024.遼寧丹東.一模)已知球。的直徑為A3,C,。為球面上的兩點,點”在48

上,^.AM=3MB,AB,平面MCD,若/XMCD是邊長為由的等邊三角形,則球心。到平面38的

距離為.

【答案】m1

13

【分析】根據球的截面性質,可得球的半徑為2,將球心。到平面的距離轉化為為M到平面

的距離的2倍,進而根據等體積變換可得.

【詳解】因為AM=3Affi,A8為球。的直徑,所以=

故球心0到平面BCD的距離即為航到平面38的距離的2倍,

如圖

O

設球的半徑為R,由題意可知OD=2OA/=R,

由0。2=0"+皿,MD=43,可得OD=2OM=2,故8M=1

如圖,

由題意5MJ_平面MCD,

則BC=BD=^BM-+CM-=Jf+(國=2,

設M到平面BCD的距離為d,則由VB_MCD=VM_BCD可得,

-x-xMCxMDxsin-xBM=-x-xCDxBExd,

32332

得工xL島有xWxlJx^x岳巫xl,得

32232213

則球心0到平面BCD的距離為史叵

13

【題型2】可以補成長方體的外接球模型

基礎知識

一、長方體外接球:長方體的外接球的球心為其體對角線的中點,半徑為體對角線長的一半.

二、補成長方體

(1)若三棱錐中有三條棱互相垂直,則可將其放入某個長方體內,如下圖所示.

p

圖1-3

(2)若三棱錐的對棱兩兩相等,則可將其放入某個長方體內,如圖4所示

圖2-1

注:《九章算術》中的三棱錐均可補為長方體

【例1】我國古代數學名著《九章算術》中將底面為矩形且有一側棱垂直于底面的四棱錐

稱為“陽馬”,現有一“陽馬”如圖所示,B4_L平面ABCD,PA=5,AB=3,BC=4,則該

“陽馬”外接球的表面積為()

A125-y2/F廠c1ccD500笈

A.——--B.50%C.100萬

3,3

【解答】解:把四棱錐P-ABCD放置在長方體中,

則長方體的外接球即為四棱錐的外接球,

-,-PA=5,AB=3,BC=4,.?.長方體的對角線長為J52+4?+32=5四,

則長方體的外接球的半徑R二巫,

2

.?.該“陽馬”外接球的表面積為5=47&=4%x(處>=50萬.

【例2】在中國古代數學著作《九章算術》中,鱉腌是指四個面都是直角三角形的四面體.如圖,

在直角VABC中,AD為斜邊上的高,AB=3,AC=4,現將△極)沿AD翻折成VABZ),使得

四面體8為一個鱉膈,則該鱉膈外接球的表面積為

【答案】1671

【分析】找出鱉鹿外接球的球心,并得出外接球的半徑,結合球的表面積公式即可求解.

【詳解】由題設,△3'CD,AAB'C都是直角三角形,只需平面AB7)即可,

所以鱉臆外接球的球心在過CD中點且垂直于平面?CD的直線上,

而在直角三角形ACD中,AC的中點到點AC少的距離都相等,

所以AC的中點是外接球的球心,所以R=gAC=2,S=47iR2=167t.

【例3】如圖,在邊長為2的正方形ABCD中,E,歹分別是A3,8c的中點,將△AED,ABEF,

△ZXF分別沿DE,EF,Db折起,使得A2,C三點重合于點4,若三棱錐A'-跖D的所有頂點均

在球。的球面上,則球。的體積為()

【答案】C

【分析】根據題意,把三棱錐Z)_A'EF可補成一個長方體,利用長方體的對角線長求得外接球的半

徑尺=如,結合球的體積公式,即可求解.

2

【詳解】根據題意,可得瓦A'O,A'£A'E,A2,且A'E=1,A尸=1,A'D=2,

所以三棱錐D—A,E/可補成一個長方體,則三棱錐D_A'E廠的外接球即為長方體的外接球,如圖所

示,

設長方體的外接球的半徑為H,可得2H=J]2+儼+2?=",所以R=3,

所以外接球的體積為丫=[兀代=[兀.(乎)3=遙無.

故選:C.

【例4】在四面體ABC。中,若AB=CDf,AC=BD=2,AD=BCf,則四面體ABCD的

外接球的表面積為()

A.2萬B.4"C.6TTD.8萬

【答案】C

【解析】由題意可采用割補法,考慮到四面體ABCZ)的四個面為全等的三角形,

所以可在其每個面補上一個以g,2,百為三邊的三角形作為底面,且以分別x,y,z長、兩兩垂

22

直的側棱的三棱錐,從而可得到一個長、寬、高分別為%,y,z的長方體,并且N+V=3,x+z=5f

y2+z2=4,則有(2R)2=x2+y2+z2=6(H為球的半徑),得2也=3,

所以球的表面積為3=4兀尺2=6兀.

【鞏固練習1](24-25高三上?江蘇泰州?期中)在中國古代數學著作《九章算術》中,鱉膈是指四個

面都是直角三角形的四面體.在直角VA3C中,AD為斜邊BC上的高,AB=1,47=百,現將△ABD

沿翻折成VAB'D,使得四面體AB'CD為一個鱉麝,則該鱉腌外接球的表面積為()

A.史「13K

B.5兀C.3兀D.——

24

【答案】C

【分析】先求出各個邊長,翻折后,使得B,D工B'C,由勾股定理得9C=&,此時

B'C2+B'A2=2+1=3=AC2,由勾股定理逆定理得B'A,3'C,故滿足四面體AB'CD為一個鱉臆,

取AC中點G,連接B'GOG,得到G4=GC=GD=G3',故點G即為該鱉月需外接球的球心,半徑

為B,從而求出外接球表面積.

2

【詳解】因為直角VA3c中,AD為斜邊BC上的高,AB=1,AC=g,

ABAC

所以80=717^=2,AD=^_

BC=2

___1___________________o

BD=^AB2-AD2=CD=^AC--AD-=-,

22

如圖,翻折后,使得B'D工B'C,由勾股定理得B'C=JZ)C2-3Z)2=

此時3'。2+3幺2=2+I=3=AC,

由勾股定理逆定理得B'A_LEC,

結合AD_LBZ>,ADCD,故滿足四面體AB'CD為一個鱉月需,

取AC中點G,連接B'G,DG,

因為AD工CD,B'A±B'C,故GA=GC=GO=GB=工AC=立,

22

故點G即為該鱉臆外接球的球心,半徑為且

2

故該鱉月需外接球的表面積為為=3兀.

【鞏固練習2]將邊長為2百的正方形紙片折成一個三棱錐,使三棱錐的四個面剛好可以組成該正

方形紙片,若三棱錐的各頂點都在同一球面上,則該球的表面積為

【答案】1871

【分析】作出三棱錐的直觀圖,將三棱錐補成長方體,可計算出該三棱錐的外接球的半徑,結合球

體的表面積公式可求得結果.

【詳解】在邊長為2道的正方形ABCD中,設E、尸分別為AB、3C的中點,

△AED、AEBF、AFCD分別沿DE、EF、即折起,

翻折后,則有4D_LA'E,ADLAF,AErAF,

將三棱錐£)_A'E/補成長方體A'EMF-DPNQ,

其中A'E=A;F=JLA'D=273,

設三棱錐D-A'EF的外接球的半徑為R則

2R=>JA'E2+A'F2+A'D2=J(A/3)2+(A/3)2+(2A/3)2=3&,

:.R=^巨,故該三棱錐的外接球的表面積為S=4兀R?=18兀.

2

【鞏固練習3X2024?廣東揭陽?高二校聯考期中)在三棱錐S-ABC中,SA=BC=5,SB=AC=^>

SC=AB=A/34,則該三棱錐的外接球表面積是()

A.50兀B.100兀C.150TID.200兀

【答案】A

【解析】因為SA=8C=5,SB=AC=J?T,SC==

所以可以將三棱錐S-ABC如圖放置于一個長方體中,如圖所示:

B

s

設長方體的長、寬、高分別為。、b、c,

a2+b2=41

則有<+L=25,整理得/+片+C?=50,

b2+c2=34

則該棱錐外接球的半徑即為該長方體外接球的半徑,

所以有。2+人2+。2=50=(2R『

所以所求的球體表面積為:

【題型3】直棱柱和圓柱外接球模型

基礎知識

漢堡模型(直棱柱的外接球、圓柱的外接球)

如圖1,圖2,圖3,直三棱柱內接于球(同時直棱柱也內接于圓柱,棱柱的上下底面可以是任意三

第一步:確定球心。的位置,。]是AABC的外心,則OO1_L平面ABC;

第二步:算出小圓&的半徑AQ=r,OQ=1A4,=1/Z(A4,=〃也是圓柱的高);

第三步:勾股定理:。42=。42+002=4=(,)2+/=R=J/+(E)2,解出氏

【例1】已知正三棱柱A3C-44G所有棱長都為6,則此三棱柱外接球的表面積為()

A.48兀B.60兀C.64兀D.84TI

【答案】D

【解析】如圖,。為棱8C的中點,G為正△回€?的中心,。為外接球的球心

根據直棱柱外接球的性質可知OG//A4,OG=^AA,=3,外接球半徑R=OC,

?.?正△ABC的邊長為6,則CG=2石

22222

R=OC=OG+CG=3+(2后=21

外接球的表面積S=4兀尺2=84兀.

故選:D.

【例2]設直三棱柱ABC-AB?的所有頂點都在一個表面積是40萬的球面上,且

AB=AC=AAi,ZBAC=nOa,則此直三棱柱的表面積是()

A.16+86B.8+1273C.8+166D.16+12^

【答案】D

【解析】設AB=AC=AA=2相,因為/BAC=120°,所以NACB=3(T.

2m

于是-----二2丫(一是AABC外接圓的半徑),r=2m.

sin30°

又球心到平面ABC的距離等于側棱長AA的一半,

所以球的半徑為J(2m)2+療=y/5m.

所以球的表面積為4兀?(際M)=40兀,解得利=也.

因"匕AB=AC=M=2A/2,BC=2A/6.

于是直三棱柱的表面積是

2x272x272+2^/6x2A/2+2x-x2V2x2V2sinl20°=16+12技

2

A

【鞏固練習1](24-25高三上?安徽亳州?開學考試)已知圓柱的底面直徑為2,它的兩個底面的圓周

都在同一個體積為鼻石兀的球面上,該圓柱的側面積為()

A.8無B.6兀C.57tD.4兀

【答案】A

【分析】利用球的體積公式求出球的半徑,結合圓柱半徑可得圓柱的高,然后可解.

【詳解】球的體積為1兀尺3=m扃,可得其半徑氏二占,

圓柱的底面直徑為2,半徑為廠=1,在軸截面中,可知圓柱的高為/?=/=4,

所以圓柱的側面積為211rli=8兀.

故選:A.

【鞏固練習2】在三棱錐P-ABC中,粉,面ABC,AABC為等邊三角形,且尸4=48=也,

則三棱錐P-ASC的外接球的表面積為

【答案】7兀

【解析】因為是直三棱錐,底面是正三角形,所以可以將圖補形成為正三棱柱,如圖所示,

此三棱錐外接球,即為以AABC為底面以9為高的正三棱柱的外接球,

設球心為。,作OO'_L平面ABC,則O'為AABC的外接圓圓心,連接AO',AO,則%=走,

22

設AABC的外接圓半徑為r,三棱錐尸-ABC外接球半徑為R,

cAB石c

=_____—___—2

由正弦定理,得-sin600—若一,所以〃=1,

~2

RtAOO'A中,O'A^+OO'^OA2,所以+1?=a,解得R=g,

所以S=4TTR2=7兀.

【鞏固練習3】已知圓柱的軸截面為正方形,其外接球為球。,球。的表面積為阮,則該

圓柱的體積為()

A.nB.y/2jrC.2萬D.2艙式

【答案】C

【分析】設外接球的半徑為R,圓柱底面圓的半徑為「,由球。的表面積為8萬,得R=?,根據軸

截面為正方形列方程解得r=l,代圓柱的體積公式得解.

【詳解】設外接球的半徑為尺,圓柱底面圓的半徑為「,因為圓柱的軸截面為正方形,所以圓柱的

高h=2r,由球。的表面積S=4%彥=8兀,得R=,又R=+.=應廠,得r=1,所以圓

柱的體積V=TZT2-2r=2兀r,=2萬

【題型4】正四面體的內切球和外接球結論

基礎知識

在棱長為a的正四面體中

設正四面體ABCD的的棱長為。,則有

1、正四面體的高為力

3

正四面體外接球半徑為R=《5°

2、

4

3、正四面體內切球半徑為r=—a

12

23

4、正四面體體積y

12

[例11(2024?湖北宜昌?宜昌市夷陵中學??寄M預測)已知正四面體ABCD的表面積為2月,且4

B,C,。四點都在球。的球面上,則球。的體積為.

【答案】立兀

2

【解析】正四面體各面都是全等的等邊三角形,設正四面體的棱長為a,

所以該正四面體的表面積為s=4x—X6TX所以a=A/2,

2

又正方體的面對角線可構成正四面體,

若正四面體棱長為夜,可得正方體的棱長為1,

所以正方體的外接球即為該正四面體的外接球,所以外接球的直徑為石,半徑為

所以球O的體積為走兀

2

[例2](24-25高三上?廣東?開學考試)外接球半徑為卡的正四面體的體積為()

A.B.24C.32D.480

【答案】A

【分析】設出正四面體棱長,通過作輔助線表示出四面體的高,解直角三角形表示外接球半徑,由

已知外接球半徑為布可得棱長,再由三棱錐體積公式可得.

【詳解】如圖,設正四面體尸-ABC的下底面中心為G,連接PG,則PGL平面A3C,

連接4G并延長,交BC于D,設此正四面體的棱長為x,則人。=立了,

2

AG=^AD=^X,PG斗2-(圣)2=條,即四面體的高力=

設四面體外接球的球心為0,連接AO,外接球半徑為我,

則R2=(/x>+(乎化簡得R=2X,由H=",

得x=4,即正四面體棱長為4,

所以正四面體的體積%,=L?1X42?逅*4=竺也.

p-ABC3433

【例3】正四面體的外接球與內切球的半徑比為()

A.1:1B.2:1C.3:1D.4:1

【答案】C

【分析】設正四面體S-ABC的外接球球心為。,。1為5c的中心,設棱長為。(。>0),即可求

出外接球的半徑R,利用等體積法求出內切球的半徑r,即可得解.

【詳解】如圖,設正四面體S-ABC的外接球球心為0,。]為44BC的中心,則Sq_L平面ABC,

外接球半徑為R=AO=S。,內切球半徑為",設棱長為

在&4BC中,由正弦定理得,=2401,所以

所以S0t=dsN—AO:=半0,由A?=A。;+OO;=AO:+(sq_R?,

即R。=Q+-—fl—R解得R(負值舍去);

I3JI3J4

由等體積法得到V5TBe=;S表r,所以"3匕_板==濁=£,

3S去4sABC412

所以H:r=^-a:^-a=3:l.

412

故選:C.

s

【鞏固練習1】已知正三棱錐A-BCD,各棱長均為百,則其外接球的體積為()

A9白口810「9&n9石

816816

【答案】C

【分析】抓住正三棱錐的特征,底面是正三角形,邊長為百,則高線的投影在底面正三角形的重心

上,則外接球的球心在高線上,且到各個頂點的距離相等,構造直角三角形,從而即可求出外接球

的半徑為,,進而可求出外接球的體積.

【詳解】由A-3cD是正三棱錐,底面是正三角形,邊長為百,

則高線的投影在底面正三角形的重心上,則外接球的球心在高線上,且到各個頂點的距離相等,

如圖,取C£>的中點,連接班1,過A作AEJL平面3cD,且垂足為E,則BE=2EF,

A

C

由AB=BC=CO=AD=5。=技

則在RGBCF中,有BFJ可一當=|,

23

所以BE=—x—=1

32

則在RtAABE中,有AE“卜西一1。=血,

設外接球的半徑為工

則3E2+(A£—r)2=/,即F+(五一廠)2=/,解得廠=乎,

【鞏固練習2】正四面體P-ABC中,其側面積與底面積之差為2^,則該正四面體外接球的體積

為.

【答案】巫兀

【解析】設正四面體尸-ABC的邊長為。,則該正四面體每個面的面積為立/,

4

正四面體尸—ABC的側面積與底面積之差為空/一立/=且/=2括,解得。=2.

442

過點P作尸D_L平面ABC,垂足為點。,連接AD,可知外接球球心。在尸。上,

設球。的半徑為R,AABC的外接圓半徑為---=空,PD=dPA2-AD2=巫,

2sin60033

由圖可知,OD2+AD2=OA2,即-R+—=R2,解得R=.

因此,正四面體尸-ABC的外接球體積為丫==瓜兀.

【鞏固練習3]一個正四面體的棱長為2,則它的外接球與內切球體積之比為()

A.3:1B.73:1C.9:1D.27:1

【答案】D

【分析】作出輔助線,求出外接球和內切球的半徑,從而得到體積之比.

【詳解】正四面體尸—ABC中,取BC中點。,連接AD,則AD_L3C,

過點P作PE_LAD于點E,

則PE_L平面A3C,外接球球心。在PE上,連接(M,則。4=OP=R,

因為正四面體的棱長為2,所以BD=CD=1,AD=VAB2-BD2=73.

則AE=gAD=¥,PE=dPA2-AE2=,4]=半,

/Z

OE=PE—PO=a2——R,

3

%丫(

由勾股定理得OE12+AE2=AO2,即令_一R+幺—=R2,

、3)I3,

解得R=1,

2

p

R

設內切球球心為Oj,則。1在PE上,過點。[作。1”_LPD于點則。或=。1"=廠,

故尸01=苧—廠,PD=yf3,DE=;AD=*

2瓜

因為"O"S*E,所以器=誓,即氣一=/,

解得r=逅,

6

故它的外接球與內切球半徑之比為R:廠=":逅=3:1,體積之比為27:1.

26

【題型5】直棱錐外接球模型(一條側棱垂直底面)

題設:如圖,P4L平面ABC,求外接球半徑.(一條側棱垂直底面)

B

解題步驟:

第一步:將AABC畫在小圓面上,A為小圓直徑的一個端點,作小圓的直徑AD,連接PD,

則PD必過球心。;

第二步:0]為AA5C的外心,所以。平面A3C,算出小圓。1的半徑OQ=r(三角

形的外接圓直徑算法:利用正弦定理,得,一=上-=~^=2C,OO^-PA;

sinAsinBsinC2

第三步:利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑:①(2R)2=尸42+(2廠)2O

2R=《P#+(2r)2;

@R2=r-+OO^OR=M+oo;.

jr

【例1】已知三棱錐P-ABC的底面ABC為直角三角形,且NAC3=G.若上4,平面ABC,且AB=3,

2

V

PA=4,三棱錐P-ABC的所有頂點均在球。的球面上,記球。的體積和表面積分別為V,S,則《=

()

5c5r5

A.—B.—C.—D.一

12632

【答案】B

【分析】依題意AABC外接圓的直徑為斜邊AB=3,設三棱錐P-ABC外接球的半徑為H,則

(2R)2=AB2+PA2,求出外接球的半徑,再根據球的體積、表面積公式計算可得.

JT

【詳解】因為AABC為直角三角形且/AC2=5,則AC1.3C,

又%,平面ABC,AB,3Cu平面ABC,則PA_LAB,24_L3C,

而R4cAC=A,尸A,ACu平面尸AC,于是3C_L平面PAC,又尸Cu平面PAC,

因此PCLBC,取P3中點。i,連接CO1,A。[,則0]4=。2=。|2=0。,

從而點。1即為球。的球心。,設三棱錐P-ABC外接球的半徑為R,

,5

則(2R)=鈿2+%2,即4r2=32+42=25,所以R=耳,

43

則丫二方兀氏R5.

~S~4TI7?2~J~6

p

TT

【例2】已知三棱錐P-ABC的底面ABC為直角三角形,且ZACB=不.若PA,平面ABC,且AB=3,

V

PA=4,三棱錐尸-ABC的所有頂點均在球。的球面上,記球。的體積和表面積分別為V,S,則下=

()

【答案】B

【分析】依題意AABC外接圓的直徑為斜邊AB=3,設三棱錐P-ABC外接球的半徑為R,則

(2R)2=AB2+PA2,求出外接球的半徑,再根據球的體積、表面積公式計算可得.

TT

【詳解】因為44BC為直角三角形且/AC2=],則ACL3C,

又2A_L平面ABC,AB,3Cu平面ABC,則PA_LAB,以_L3C,

而BlcAC=A,PA,ACu平面上4C,于是3C_L平面上4C,又尸Cu平面PAC,

因此尸CJ_3C,取E5中點。1,連接CQ,AOi,則。14=。/=。8=00,

從而點。1即為球0的球心0,設三棱錐P—ABC外接球的半徑為R,

5

則(2R)9=鈿2+叢2,即47^=32+42=25,所以R=],

2;p3

則D=R.

【鞏固練習1】已知S,A,8,C是球。表面上的不同點,SAL平面ABC,AB=1,2C=應,

若球。的表面積為4兀,則SA=()

A.與B.1C.72D.6

【答案】B

[分析]根據四面體S-ABC的性質可構造長方體模型求得外接球半徑即可得S4=1.

【詳解】如下圖所示:

由SA_L平面ABC可知£4_LA3,SA_LBC,又AB_LBC,

所以四面體S-ABC的外接球半徑等于以長寬高分別為SA,A5,8C三邊長的長方體的外接球半徑,

設外接球半徑為R,

由球。的表面積為4兀,可得4兀R。=4兀,即R=1;

又AB=1,BC=yf2,4R2=AB2+BC2+SA2,

所以5A=1.

【鞏固練習212023年高考全國乙卷數學(文)T16

已知點S,A,B,C均在半徑為2的球面上,AABC是邊長為3的等邊三角形,平面ABC,則

SA=.

【答案】2

【分析】先用正弦定理求底面外接圓半徑,再結合直棱柱的外接球以及求的性質運算求解.

【詳解】如圖,將三棱錐S-A5c轉化為正三棱柱SMV-ABC,

設AABC的外接圓圓心為。1,半徑為廠,

2LAB_3

則sinZACB,可得r=代,

T

設三棱錐S-ABC的外接球球心為。,連接OAOQ,則。4=2,OQ=;SA,

因為。4?即4=3+;SA2,解得&1=2.

故答案為:2.

【鞏固練習3】已知三棱錐S-ABC所在頂點都在球。的球面上,且SC,平面ABC,若

SC=AB^AC^2,ABAC=120°,則球。的體積為()

A20石兀口32K小20?!?2后

3333

【答案】A

【分析】求出AABC外接圓半徑,再利用球的截面小圓性質求出球半徑作答.

【詳解】在iABC中,AB=AC=2,ABAC=120°,由余弦定理得3c=722+22-2x2x2cosl20°=273,

令44BC外接圓圓心。1,則。。1,平面A3C,且QC=—生二=2,

2sin120°

而SC_L平面ABC,因此SC〃OQ,取SC中點。,連接有OD_LSC,

又OCu平面ABC,即有SC_LOjC,OD//O{C,于是四邊形CD。。]為平行四邊形,

則。。=。8=2,球。的半徑尺=后存了5=6,體積為丫=與爐=與義(石)3=等顯.

【題型6】球心在高上(圓錐形)

基礎知識

如圖5-1至5-8這七個圖形,P的射影是AABC的外心o三棱錐P-ABC的

三條側棱相等o三棱錐尸-A3C的底面AA5C在圓錐的底上,頂點P點也是圓錐的頂

解題步驟:

第一,步:確定球心。的位置,取AABC的外心01,則P,。。三點共線;

第二步:先算出小圓。]的半徑AO】=/,再算出棱錐的高Pg=/z(也是圓錐的高);

第三步:勾股定理:0A2=O.A1+O.O2R1^(h-R)2+r2,解出氏=匚土^

2h

方法二:小圓直徑參與構造大圓,用正弦定理求大圓直徑得球的直徑.

【注意】:若是已知外接球半徑R和小圓半徑r求圓錐的高,則有2個解

【例1】(2024.浙江臺州.高二校聯考期末)已知圓錐的底面半徑為1,母線長為2,則該圓錐的外接

球的體積為.

【答案】也兀

27

【解析】由題設,圓錐體的高為M=j2?_12=6,

若外接球的半徑為,,貝1(省-廠)2+1=/,可得廠=2叵,

3

所以圓錐的外接球的體積為±乃/=.

327

【例2】已知三棱錐尸-ABC的各側棱長均為2月,且A8=3,8C=石,AC=2石,則三棱錐尸-ABC

的外接球的表面積為.

【答案】16萬

過尸點作平面ABC的垂線,垂足為則/■位都是直角三角形,

文PA=PB,:qPMA三APMB,同理可得APMA-APAK,:.MA=MB^MC,

所以M點是AABC的外心;

XAB2+BC2=12=AC2,.?△ABC是以AC斜邊的直角三角形,

在底面ABC的射影為斜邊AC的中點如下圖:

則PMNPC-CM。=J(2?)2_(退1=3,設三棱錐尸-ABC外接球的球心為。,半徑為,,

則。在PM上,貝IOC2=OM2+CM2,即(3-廠產+(=/,得廠=2,外接球的表面積為4兀戶=16兀:

【鞏固練習1】已知球。的體積為36兀,圓錐S。的頂點S及底面圓。|上所有點都在球面上,且底面

圓。?半徑為2五,則該圓錐側面的面積為()

A.6直兀B.4?;?

C.8\/§?;?"兀D.80兀

【答案】C

【分析】先由球。的體積求球的半徑H,再

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯系上傳者。文件的所有權益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網頁內容里面會有圖紙預覽,若沒有圖紙預覽就沒有圖紙。
  • 4. 未經權益所有人同意不得將文件中的內容挪作商業或盈利用途。
  • 5. 人人文庫網僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內容的表現方式做保護處理,對用戶上傳分享的文檔內容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內容負責。
  • 6. 下載文件中如有侵權或不適當內容,請與我們聯系,我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準確性、安全性和完整性, 同時也不承擔用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

評論

0/150

提交評論