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文檔簡介
專題8-1幾何體的外接球與內(nèi)接球,阿氏球等17類題型
模塊一卜熱點(diǎn)題型解讀(目錄)
【題型1]球的截面問題
【題型2】可以補(bǔ)成長方體的外接球模型
【題型3】直棱柱和圓柱外接球模型
【題型4】正四面體的內(nèi)切球和外接球結(jié)論
【題型5】直棱錐外接球模型(一條側(cè)棱垂直底面)
【題型6】球心在高上(圓錐形)
【題型7】圓臺(tái),棱臺(tái)外接球模型
【題型8】棱錐外接球之切瓜模型(一個(gè)面垂直外接圓直徑)
【題型9】兩個(gè)外心+中垂線確定球心
【題型10】外接球之共斜邊拼接模型
【題型11]外接球之二面角模型
【題型12]內(nèi)切球之棱錐,圓錐模型
【題型13]內(nèi)切球之圓臺(tái),棱臺(tái)模型
【題型14】多球相切問題
【題型15]棱切球問題
【題型16]構(gòu)造球解決空間中動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成的直角問題
【題型17]阿氏球問題
模塊二\核心題型?舉一反三
【題型1]球的截面問題
基礎(chǔ)知識(shí)
球體的相關(guān)計(jì)算關(guān)鍵是找出球心到相關(guān)平面的距離,再結(jié)合勾股定理計(jì)算求值
形成方式半圓繞其直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周,如圖記作:球o
大圓:經(jīng)過球心的截面圓
-----
球相關(guān)概念小圓:不經(jīng)過球心的截面圓半徑大圓
小圓
結(jié)構(gòu)性質(zhì)兩點(diǎn)間的球面距離:經(jīng)過兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的劣弧長
球的小圓的圓心與球心連線垂直小圓面
【例1】(2。2。.全國2卷TH)已知“g是面積為苧的等邊三角形,且其頂點(diǎn)都在球
0的球面上.若球0的表面積為16兀,則0到平面ABC的距離為()
A.6B.1C.1D.1
【答案】C
【分析】根據(jù)球。的表面積和AASC的面積可求得球。的半徑尺和AABC外接圓半徑",由球的性質(zhì)
設(shè)球。的半徑為R,則4萬4=16%,解得:R=2.
設(shè)AABC外接圓半徑為,,邊長為。,
?.?△ABC是面積為攻的等邊三角形,
4
球心0到平面ABC的距離d=加=7="b=1.
【例2】(24-25高二上?貴州遵義?階段練習(xí))已知A,B,C,。四點(diǎn)都在球。的球面上,且A,B,
C三點(diǎn)所在平面經(jīng)過球心,AB=4y/3,/AC2=m,則點(diǎn)。到平面ABC的距離的最大值為,
球。的表面積為.
【答案】464兀
【分析】利用正弦定理求得VABC外接圓半徑,結(jié)合題意可得球的半徑,再利用球的截面性質(zhì)與球
的表面積公式即可得解.
【詳解】在VA3C中,AB=46,ZACB=1.
nhc
根據(jù)正弦定理----=-----=-----=2丫(〃為VA3C外接圓半徑),
sinAsinBsinC
這里a=AB=4\/^,C=Z.ACB=—,所以sinC.兀解得廠=4.
3sin—
3
因?yàn)锳、B、C三點(diǎn)所在平面經(jīng)過球心O,所以球。的半徑尺=廠=4.
因?yàn)锳、8、C三點(diǎn)所在平面經(jīng)過球心O,
當(dāng)0D垂直于平面ABC時(shí),點(diǎn)O到平面ABC的距離最大,這個(gè)最大值就是球的半徑R,
所以點(diǎn)。到平面ABC的距離的最大值為4.
則孑求的表面積為S=4兀R?=4兀x4?=64兀.
【例3】(23-24高三下?廣東江門?階段練習(xí))已知正四面體A-BCD的內(nèi)切球的表面積為36兀,過該
四面體的一條棱以及球心的平面截正四面體A-3Q,則所得截面的面積為.
【答案】5472
【分析】由內(nèi)切球的表面積求出內(nèi)切球的半徑,過點(diǎn)A作平面BCD,連接38并延長交C£)
于點(diǎn)E,且點(diǎn)E為中點(diǎn),連接AE,記內(nèi)切球球心為。,過。作。F_LAE,設(shè)正四面體邊長為a,
然后結(jié)合正四面體的性質(zhì)可求出a,從而可求出截面的面積.
【詳解】解:由內(nèi)切球的表面積S表=4成2=36兀,得內(nèi)切球半徑R=3
如圖,過點(diǎn)A作AH_L平面BC。,則點(diǎn)"為等邊△3CO的中心
連接并延長交CO于點(diǎn)E,且點(diǎn)E為C。中點(diǎn),連接AE,
記內(nèi)切球球心為。,過。作。尸_LAE,設(shè)正四面體邊長為“,
則BE=AE=-a,BH=-BE=—a,HE=—a,
2336
所以48=VAE2-HE2=,l-a2--a2=—a,
\4363
又因?yàn)镺H=OF=3,所以AO=羋a-3,
76
?巾AOOF3
由△AO7s\AEH,彳-----=----即告解得a=6^6
/AEHE后
—Cl
6
因?yàn)檫^棱A3和球心O,所以△ABE1即為所求截面
2
^S..?F=-BE-AH=-x^-ax—a=—a=54y/2.
△ABE22234
【鞏固練習(xí)1]已知VABC是面積為亞的等邊三角形,且其頂點(diǎn)都在球。的球面上,若球。的表
4
面積為28兀,則點(diǎn)。到平面ABC的距離為.
【答案】2
【分析】設(shè)球。的半徑為R,由球的表面積解出R,設(shè)VA3C外接圓半徑為「,邊長為。,解出「,
由勾股定理求解d即可.
【詳解】設(shè)球。的半徑為R,則4成2=28%解得R=幣.
設(shè)VA3c外接圓半徑為「,邊長為。,
因?yàn)閂ABC是面積為型的等邊三角形,
4
所以工/*且=2叵解得a=3,
224
二=2,
由yfi,所以廠=垂),
所以球心。到平面ABC的距離d=_產(chǎn)=,7.3=2?
【鞏固練習(xí)2】已知過球面上A,B,。三點(diǎn)的截面和球心的距離為球半徑的一半,且
AB=BC=1,AC=^,則球的表面積是.
_?_16"
【答案】—
【分析】根據(jù)給定條件,利用正弦定理求出VABC的外接圓半徑,再利用球面的截面小圓性質(zhì)求出
球半徑即得答案.
【詳解】在VABC中,AB=BC=l,AC=y/3,則萬人。百,sinZBAC=-,
cosABAC--.......=——2
AB2
由正弦定理得VABC外接圓半徑r=工x——1——=1,設(shè)球半徑為R,
2sinABAC
于是K2=(;R>+i,解得R2=g,所以球的表面積是4兀笈=1|土
【鞏固練習(xí)3】(2024.遼寧丹東.一模)已知球。的直徑為A3,C,。為球面上的兩點(diǎn),點(diǎn)”在48
上,^.AM=3MB,AB,平面MCD,若/XMCD是邊長為由的等邊三角形,則球心。到平面38的
距離為.
【答案】m1
13
【分析】根據(jù)球的截面性質(zhì),可得球的半徑為2,將球心。到平面的距離轉(zhuǎn)化為為M到平面
的距離的2倍,進(jìn)而根據(jù)等體積變換可得.
【詳解】因?yàn)锳M=3Affi,A8為球。的直徑,所以=
故球心0到平面BCD的距離即為航到平面38的距離的2倍,
如圖
O
設(shè)球的半徑為R,由題意可知OD=2OA/=R,
由0。2=0"+皿,MD=43,可得OD=2OM=2,故8M=1
如圖,
由題意5MJ_平面MCD,
則BC=BD=^BM-+CM-=Jf+(國=2,
設(shè)M到平面BCD的距離為d,則由VB_MCD=VM_BCD可得,
-x-xMCxMDxsin-xBM=-x-xCDxBExd,
32332
得工xL島有xWxlJx^x岳巫xl,得
32232213
則球心0到平面BCD的距離為史叵
13
【題型2】可以補(bǔ)成長方體的外接球模型
基礎(chǔ)知識(shí)
一、長方體外接球:長方體的外接球的球心為其體對(duì)角線的中點(diǎn),半徑為體對(duì)角線長的一半.
二、補(bǔ)成長方體
(1)若三棱錐中有三條棱互相垂直,則可將其放入某個(gè)長方體內(nèi),如下圖所示.
p
圖1-3
(2)若三棱錐的對(duì)棱兩兩相等,則可將其放入某個(gè)長方體內(nèi),如圖4所示
圖2-1
注:《九章算術(shù)》中的三棱錐均可補(bǔ)為長方體
【例1】我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中將底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐
稱為“陽馬”,現(xiàn)有一“陽馬”如圖所示,B4_L平面ABCD,PA=5,AB=3,BC=4,則該
“陽馬”外接球的表面積為()
A125-y2/F廠c1ccD500笈
A.——--B.50%C.100萬
3,3
【解答】解:把四棱錐P-ABCD放置在長方體中,
則長方體的外接球即為四棱錐的外接球,
-,-PA=5,AB=3,BC=4,.?.長方體的對(duì)角線長為J52+4?+32=5四,
則長方體的外接球的半徑R二巫,
2
.?.該“陽馬”外接球的表面積為5=47&=4%x(處>=50萬.
【例2】在中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中,鱉腌是指四個(gè)面都是直角三角形的四面體.如圖,
在直角VABC中,AD為斜邊上的高,AB=3,AC=4,現(xiàn)將△極)沿AD翻折成VABZ),使得
四面體8為一個(gè)鱉膈,則該鱉膈外接球的表面積為
【答案】1671
【分析】找出鱉鹿外接球的球心,并得出外接球的半徑,結(jié)合球的表面積公式即可求解.
【詳解】由題設(shè),△3'CD,AAB'C都是直角三角形,只需平面AB7)即可,
所以鱉臆外接球的球心在過CD中點(diǎn)且垂直于平面?CD的直線上,
而在直角三角形ACD中,AC的中點(diǎn)到點(diǎn)AC少的距離都相等,
所以AC的中點(diǎn)是外接球的球心,所以R=gAC=2,S=47iR2=167t.
【例3】如圖,在邊長為2的正方形ABCD中,E,歹分別是A3,8c的中點(diǎn),將△AED,ABEF,
△ZXF分別沿DE,EF,Db折起,使得A2,C三點(diǎn)重合于點(diǎn)4,若三棱錐A'-跖D的所有頂點(diǎn)均
在球。的球面上,則球。的體積為()
【答案】C
【分析】根據(jù)題意,把三棱錐Z)_A'EF可補(bǔ)成一個(gè)長方體,利用長方體的對(duì)角線長求得外接球的半
徑尺=如,結(jié)合球的體積公式,即可求解.
2
【詳解】根據(jù)題意,可得瓦A'O,A'£A'E,A2,且A'E=1,A尸=1,A'D=2,
所以三棱錐D—A,E/可補(bǔ)成一個(gè)長方體,則三棱錐D_A'E廠的外接球即為長方體的外接球,如圖所
示,
設(shè)長方體的外接球的半徑為H,可得2H=J]2+儼+2?=",所以R=3,
所以外接球的體積為丫=[兀代=[兀.(乎)3=遙無.
故選:C.
【例4】在四面體ABC。中,若AB=CDf,AC=BD=2,AD=BCf,則四面體ABCD的
外接球的表面積為()
A.2萬B.4"C.6TTD.8萬
【答案】C
【解析】由題意可采用割補(bǔ)法,考慮到四面體ABCZ)的四個(gè)面為全等的三角形,
所以可在其每個(gè)面補(bǔ)上一個(gè)以g,2,百為三邊的三角形作為底面,且以分別x,y,z長、兩兩垂
22
直的側(cè)棱的三棱錐,從而可得到一個(gè)長、寬、高分別為%,y,z的長方體,并且N+V=3,x+z=5f
y2+z2=4,則有(2R)2=x2+y2+z2=6(H為球的半徑),得2也=3,
所以球的表面積為3=4兀尺2=6兀.
【鞏固練習(xí)1](24-25高三上?江蘇泰州?期中)在中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中,鱉膈是指四個(gè)
面都是直角三角形的四面體.在直角VA3C中,AD為斜邊BC上的高,AB=1,47=百,現(xiàn)將△ABD
沿翻折成VAB'D,使得四面體AB'CD為一個(gè)鱉麝,則該鱉腌外接球的表面積為()
A.史「13K
B.5兀C.3兀D.——
24
【答案】C
【分析】先求出各個(gè)邊長,翻折后,使得B,D工B'C,由勾股定理得9C=&,此時(shí)
B'C2+B'A2=2+1=3=AC2,由勾股定理逆定理得B'A,3'C,故滿足四面體AB'CD為一個(gè)鱉臆,
取AC中點(diǎn)G,連接B'GOG,得到G4=GC=GD=G3',故點(diǎn)G即為該鱉月需外接球的球心,半徑
為B,從而求出外接球表面積.
2
【詳解】因?yàn)橹苯荲A3c中,AD為斜邊BC上的高,AB=1,AC=g,
ABAC
所以80=717^=2,AD=^_
BC=2
___1___________________o
BD=^AB2-AD2=CD=^AC--AD-=-,
22
如圖,翻折后,使得B'D工B'C,由勾股定理得B'C=JZ)C2-3Z)2=
此時(shí)3'。2+3幺2=2+I=3=AC,
由勾股定理逆定理得B'A_LEC,
結(jié)合AD_LBZ>,ADCD,故滿足四面體AB'CD為一個(gè)鱉月需,
取AC中點(diǎn)G,連接B'G,DG,
因?yàn)锳D工CD,B'A±B'C,故GA=GC=GO=GB=工AC=立,
22
故點(diǎn)G即為該鱉臆外接球的球心,半徑為且
2
故該鱉月需外接球的表面積為為=3兀.
【鞏固練習(xí)2]將邊長為2百的正方形紙片折成一個(gè)三棱錐,使三棱錐的四個(gè)面剛好可以組成該正
方形紙片,若三棱錐的各頂點(diǎn)都在同一球面上,則該球的表面積為
【答案】1871
【分析】作出三棱錐的直觀圖,將三棱錐補(bǔ)成長方體,可計(jì)算出該三棱錐的外接球的半徑,結(jié)合球
體的表面積公式可求得結(jié)果.
【詳解】在邊長為2道的正方形ABCD中,設(shè)E、尸分別為AB、3C的中點(diǎn),
△AED、AEBF、AFCD分別沿DE、EF、即折起,
翻折后,則有4D_LA'E,ADLAF,AErAF,
將三棱錐£)_A'E/補(bǔ)成長方體A'EMF-DPNQ,
其中A'E=A;F=JLA'D=273,
設(shè)三棱錐D-A'EF的外接球的半徑為R則
2R=>JA'E2+A'F2+A'D2=J(A/3)2+(A/3)2+(2A/3)2=3&,
:.R=^巨,故該三棱錐的外接球的表面積為S=4兀R?=18兀.
2
【鞏固練習(xí)3X2024?廣東揭陽?高二校聯(lián)考期中)在三棱錐S-ABC中,SA=BC=5,SB=AC=^>
SC=AB=A/34,則該三棱錐的外接球表面積是()
A.50兀B.100兀C.150TID.200兀
【答案】A
【解析】因?yàn)镾A=8C=5,SB=AC=J?T,SC==
所以可以將三棱錐S-ABC如圖放置于一個(gè)長方體中,如圖所示:
B
s
設(shè)長方體的長、寬、高分別為。、b、c,
a2+b2=41
則有<+L=25,整理得/+片+C?=50,
b2+c2=34
則該棱錐外接球的半徑即為該長方體外接球的半徑,
所以有。2+人2+。2=50=(2R『
所以所求的球體表面積為:
【題型3】直棱柱和圓柱外接球模型
基礎(chǔ)知識(shí)
漢堡模型(直棱柱的外接球、圓柱的外接球)
如圖1,圖2,圖3,直三棱柱內(nèi)接于球(同時(shí)直棱柱也內(nèi)接于圓柱,棱柱的上下底面可以是任意三
第一步:確定球心。的位置,。]是AABC的外心,則OO1_L平面ABC;
第二步:算出小圓&的半徑AQ=r,OQ=1A4,=1/Z(A4,=〃也是圓柱的高);
第三步:勾股定理:。42=。42+002=4=(,)2+/=R=J/+(E)2,解出氏
【例1】已知正三棱柱A3C-44G所有棱長都為6,則此三棱柱外接球的表面積為()
A.48兀B.60兀C.64兀D.84TI
【答案】D
【解析】如圖,。為棱8C的中點(diǎn),G為正△回€?的中心,。為外接球的球心
根據(jù)直棱柱外接球的性質(zhì)可知OG//A4,OG=^AA,=3,外接球半徑R=OC,
?.?正△ABC的邊長為6,則CG=2石
22222
R=OC=OG+CG=3+(2后=21
外接球的表面積S=4兀尺2=84兀.
故選:D.
【例2]設(shè)直三棱柱ABC-AB?的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)表面積是40萬的球面上,且
AB=AC=AAi,ZBAC=nOa,則此直三棱柱的表面積是()
A.16+86B.8+1273C.8+166D.16+12^
【答案】D
【解析】設(shè)AB=AC=AA=2相,因?yàn)?BAC=120°,所以NACB=3(T.
2m
于是-----二2丫(一是AABC外接圓的半徑),r=2m.
sin30°
又球心到平面ABC的距離等于側(cè)棱長AA的一半,
所以球的半徑為J(2m)2+療=y/5m.
所以球的表面積為4兀?(際M)=40兀,解得利=也.
因"匕AB=AC=M=2A/2,BC=2A/6.
于是直三棱柱的表面積是
2x272x272+2^/6x2A/2+2x-x2V2x2V2sinl20°=16+12技
2
A
【鞏固練習(xí)1](24-25高三上?安徽亳州?開學(xué)考試)已知圓柱的底面直徑為2,它的兩個(gè)底面的圓周
都在同一個(gè)體積為鼻石兀的球面上,該圓柱的側(cè)面積為()
A.8無B.6兀C.57tD.4兀
【答案】A
【分析】利用球的體積公式求出球的半徑,結(jié)合圓柱半徑可得圓柱的高,然后可解.
【詳解】球的體積為1兀尺3=m扃,可得其半徑氏二占,
圓柱的底面直徑為2,半徑為廠=1,在軸截面中,可知圓柱的高為/?=/=4,
所以圓柱的側(cè)面積為211rli=8兀.
故選:A.
【鞏固練習(xí)2】在三棱錐P-ABC中,粉,面ABC,AABC為等邊三角形,且尸4=48=也,
則三棱錐P-ASC的外接球的表面積為
【答案】7兀
【解析】因?yàn)槭侵比忮F,底面是正三角形,所以可以將圖補(bǔ)形成為正三棱柱,如圖所示,
此三棱錐外接球,即為以AABC為底面以9為高的正三棱柱的外接球,
設(shè)球心為。,作OO'_L平面ABC,則O'為AABC的外接圓圓心,連接AO',AO,則%=走,
22
設(shè)AABC的外接圓半徑為r,三棱錐尸-ABC外接球半徑為R,
cAB石c
=_____—___—2
由正弦定理,得-sin600—若一,所以〃=1,
~2
RtAOO'A中,O'A^+OO'^OA2,所以+1?=a,解得R=g,
所以S=4TTR2=7兀.
【鞏固練習(xí)3】已知圓柱的軸截面為正方形,其外接球?yàn)榍颉#颉5谋砻娣e為阮,則該
圓柱的體積為()
A.nB.y/2jrC.2萬D.2艙式
【答案】C
【分析】設(shè)外接球的半徑為R,圓柱底面圓的半徑為「,由球。的表面積為8萬,得R=?,根據(jù)軸
截面為正方形列方程解得r=l,代圓柱的體積公式得解.
【詳解】設(shè)外接球的半徑為尺,圓柱底面圓的半徑為「,因?yàn)閳A柱的軸截面為正方形,所以圓柱的
高h(yuǎn)=2r,由球。的表面積S=4%彥=8兀,得R=,又R=+.=應(yīng)廠,得r=1,所以圓
柱的體積V=TZT2-2r=2兀r,=2萬
【題型4】正四面體的內(nèi)切球和外接球結(jié)論
基礎(chǔ)知識(shí)
在棱長為a的正四面體中
設(shè)正四面體ABCD的的棱長為。,則有
1、正四面體的高為力
3
正四面體外接球半徑為R=《5°
2、
4
3、正四面體內(nèi)切球半徑為r=—a
12
23
4、正四面體體積y
12
[例11(2024?湖北宜昌?宜昌市夷陵中學(xué)校考模擬預(yù)測)已知正四面體ABCD的表面積為2月,且4
B,C,。四點(diǎn)都在球。的球面上,則球。的體積為.
【答案】立兀
2
【解析】正四面體各面都是全等的等邊三角形,設(shè)正四面體的棱長為a,
所以該正四面體的表面積為s=4x—X6TX所以a=A/2,
2
又正方體的面對(duì)角線可構(gòu)成正四面體,
若正四面體棱長為夜,可得正方體的棱長為1,
所以正方體的外接球即為該正四面體的外接球,所以外接球的直徑為石,半徑為
所以球O的體積為走兀
2
[例2](24-25高三上?廣東?開學(xué)考試)外接球半徑為卡的正四面體的體積為()
A.B.24C.32D.480
【答案】A
【分析】設(shè)出正四面體棱長,通過作輔助線表示出四面體的高,解直角三角形表示外接球半徑,由
已知外接球半徑為布可得棱長,再由三棱錐體積公式可得.
【詳解】如圖,設(shè)正四面體尸-ABC的下底面中心為G,連接PG,則PGL平面A3C,
連接4G并延長,交BC于D,設(shè)此正四面體的棱長為x,則人。=立了,
2
AG=^AD=^X,PG斗2-(圣)2=條,即四面體的高力=
設(shè)四面體外接球的球心為0,連接AO,外接球半徑為我,
則R2=(/x>+(乎化簡得R=2X,由H=",
得x=4,即正四面體棱長為4,
所以正四面體的體積%,=L?1X42?逅*4=竺也.
p-ABC3433
【例3】正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑比為()
A.1:1B.2:1C.3:1D.4:1
【答案】C
【分析】設(shè)正四面體S-ABC的外接球球心為。,。1為5c的中心,設(shè)棱長為。(。>0),即可求
出外接球的半徑R,利用等體積法求出內(nèi)切球的半徑r,即可得解.
【詳解】如圖,設(shè)正四面體S-ABC的外接球球心為0,。]為44BC的中心,則Sq_L平面ABC,
外接球半徑為R=AO=S。,內(nèi)切球半徑為",設(shè)棱長為
在&4BC中,由正弦定理得,=2401,所以
所以S0t=dsN—AO:=半0,由A?=A。;+OO;=AO:+(sq_R?,
即R。=Q+-—fl—R解得R(負(fù)值舍去);
I3JI3J4
由等體積法得到V5TBe=;S表r,所以"3匕_板==濁=£,
3S去4sABC412
所以H:r=^-a:^-a=3:l.
412
故選:C.
s
【鞏固練習(xí)1】已知正三棱錐A-BCD,各棱長均為百,則其外接球的體積為()
A9白口810「9&n9石
816816
【答案】C
【分析】抓住正三棱錐的特征,底面是正三角形,邊長為百,則高線的投影在底面正三角形的重心
上,則外接球的球心在高線上,且到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等,構(gòu)造直角三角形,從而即可求出外接球
的半徑為,,進(jìn)而可求出外接球的體積.
【詳解】由A-3cD是正三棱錐,底面是正三角形,邊長為百,
則高線的投影在底面正三角形的重心上,則外接球的球心在高線上,且到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等,
如圖,取C£>的中點(diǎn),連接班1,過A作AEJL平面3cD,且垂足為E,則BE=2EF,
A
C
由AB=BC=CO=AD=5。=技
則在RGBCF中,有BFJ可一當(dāng)=|,
23
所以BE=—x—=1
32
則在RtAABE中,有AE“卜西一1。=血,
設(shè)外接球的半徑為工
則3E2+(A£—r)2=/,即F+(五一廠)2=/,解得廠=乎,
【鞏固練習(xí)2】正四面體P-ABC中,其側(cè)面積與底面積之差為2^,則該正四面體外接球的體積
為.
【答案】巫兀
【解析】設(shè)正四面體尸-ABC的邊長為。,則該正四面體每個(gè)面的面積為立/,
4
正四面體尸—ABC的側(cè)面積與底面積之差為空/一立/=且/=2括,解得。=2.
442
過點(diǎn)P作尸D_L平面ABC,垂足為點(diǎn)。,連接AD,可知外接球球心。在尸。上,
設(shè)球。的半徑為R,AABC的外接圓半徑為---=空,PD=dPA2-AD2=巫,
2sin60033
由圖可知,OD2+AD2=OA2,即-R+—=R2,解得R=.
因此,正四面體尸-ABC的外接球體積為丫==瓜兀.
【鞏固練習(xí)3]一個(gè)正四面體的棱長為2,則它的外接球與內(nèi)切球體積之比為()
A.3:1B.73:1C.9:1D.27:1
【答案】D
【分析】作出輔助線,求出外接球和內(nèi)切球的半徑,從而得到體積之比.
【詳解】正四面體尸—ABC中,取BC中點(diǎn)。,連接AD,則AD_L3C,
過點(diǎn)P作PE_LAD于點(diǎn)E,
則PE_L平面A3C,外接球球心。在PE上,連接(M,則。4=OP=R,
因?yàn)檎拿骟w的棱長為2,所以BD=CD=1,AD=VAB2-BD2=73.
則AE=gAD=¥,PE=dPA2-AE2=,4]=半,
/Z
OE=PE—PO=a2——R,
3
%丫(
由勾股定理得OE12+AE2=AO2,即令_一R+幺—=R2,
、3)I3,
解得R=1,
2
p
R
設(shè)內(nèi)切球球心為Oj,則。1在PE上,過點(diǎn)。[作。1”_LPD于點(diǎn)則。或=。1"=廠,
故尸01=苧—廠,PD=yf3,DE=;AD=*
2瓜
因?yàn)?O"S*E,所以器=誓,即氣一=/,
解得r=逅,
6
故它的外接球與內(nèi)切球半徑之比為R:廠=":逅=3:1,體積之比為27:1.
26
【題型5】直棱錐外接球模型(一條側(cè)棱垂直底面)
題設(shè):如圖,P4L平面ABC,求外接球半徑.(一條側(cè)棱垂直底面)
B
解題步驟:
第一步:將AABC畫在小圓面上,A為小圓直徑的一個(gè)端點(diǎn),作小圓的直徑AD,連接PD,
則PD必過球心。;
第二步:0]為AA5C的外心,所以。平面A3C,算出小圓。1的半徑OQ=r(三角
形的外接圓直徑算法:利用正弦定理,得,一=上-=~^=2C,OO^-PA;
sinAsinBsinC2
第三步:利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑:①(2R)2=尸42+(2廠)2O
2R=《P#+(2r)2;
@R2=r-+OO^OR=M+oo;.
jr
【例1】已知三棱錐P-ABC的底面ABC為直角三角形,且NAC3=G.若上4,平面ABC,且AB=3,
2
V
PA=4,三棱錐P-ABC的所有頂點(diǎn)均在球。的球面上,記球。的體積和表面積分別為V,S,則《=
()
5c5r5
A.—B.—C.—D.一
12632
【答案】B
【分析】依題意AABC外接圓的直徑為斜邊AB=3,設(shè)三棱錐P-ABC外接球的半徑為H,則
(2R)2=AB2+PA2,求出外接球的半徑,再根據(jù)球的體積、表面積公式計(jì)算可得.
JT
【詳解】因?yàn)锳ABC為直角三角形且/AC2=5,則AC1.3C,
又%,平面ABC,AB,3Cu平面ABC,則PA_LAB,24_L3C,
而R4cAC=A,尸A,ACu平面尸AC,于是3C_L平面PAC,又尸Cu平面PAC,
因此PCLBC,取P3中點(diǎn)。i,連接CO1,A。[,則0]4=。2=。|2=0。,
從而點(diǎn)。1即為球。的球心。,設(shè)三棱錐P-ABC外接球的半徑為R,
,5
則(2R)=鈿2+%2,即4r2=32+42=25,所以R=耳,
43
則丫二方兀氏R5.
~S~4TI7?2~J~6
p
TT
【例2】已知三棱錐P-ABC的底面ABC為直角三角形,且ZACB=不.若PA,平面ABC,且AB=3,
V
PA=4,三棱錐尸-ABC的所有頂點(diǎn)均在球。的球面上,記球。的體積和表面積分別為V,S,則下=
()
【答案】B
【分析】依題意AABC外接圓的直徑為斜邊AB=3,設(shè)三棱錐P-ABC外接球的半徑為R,則
(2R)2=AB2+PA2,求出外接球的半徑,再根據(jù)球的體積、表面積公式計(jì)算可得.
TT
【詳解】因?yàn)?4BC為直角三角形且/AC2=],則ACL3C,
又2A_L平面ABC,AB,3Cu平面ABC,則PA_LAB,以_L3C,
而BlcAC=A,PA,ACu平面上4C,于是3C_L平面上4C,又尸Cu平面PAC,
因此尸CJ_3C,取E5中點(diǎn)。1,連接CQ,AOi,則。14=。/=。8=00,
從而點(diǎn)。1即為球0的球心0,設(shè)三棱錐P—ABC外接球的半徑為R,
5
則(2R)9=鈿2+叢2,即47^=32+42=25,所以R=],
2;p3
則D=R.
【鞏固練習(xí)1】已知S,A,8,C是球。表面上的不同點(diǎn),SAL平面ABC,AB=1,2C=應(yīng),
若球。的表面積為4兀,則SA=()
A.與B.1C.72D.6
【答案】B
[分析]根據(jù)四面體S-ABC的性質(zhì)可構(gòu)造長方體模型求得外接球半徑即可得S4=1.
【詳解】如下圖所示:
由SA_L平面ABC可知£4_LA3,SA_LBC,又AB_LBC,
所以四面體S-ABC的外接球半徑等于以長寬高分別為SA,A5,8C三邊長的長方體的外接球半徑,
設(shè)外接球半徑為R,
由球。的表面積為4兀,可得4兀R。=4兀,即R=1;
又AB=1,BC=yf2,4R2=AB2+BC2+SA2,
所以5A=1.
【鞏固練習(xí)212023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)(文)T16
已知點(diǎn)S,A,B,C均在半徑為2的球面上,AABC是邊長為3的等邊三角形,平面ABC,則
SA=.
【答案】2
【分析】先用正弦定理求底面外接圓半徑,再結(jié)合直棱柱的外接球以及求的性質(zhì)運(yùn)算求解.
【詳解】如圖,將三棱錐S-A5c轉(zhuǎn)化為正三棱柱SMV-ABC,
設(shè)AABC的外接圓圓心為。1,半徑為廠,
2LAB_3
則sinZACB,可得r=代,
T
設(shè)三棱錐S-ABC的外接球球心為。,連接OAOQ,則。4=2,OQ=;SA,
因?yàn)椤??即4=3+;SA2,解得&1=2.
故答案為:2.
【鞏固練習(xí)3】已知三棱錐S-ABC所在頂點(diǎn)都在球。的球面上,且SC,平面ABC,若
SC=AB^AC^2,ABAC=120°,則球。的體積為()
A20石兀口32K小20兀「32后
3333
【答案】A
【分析】求出AABC外接圓半徑,再利用球的截面小圓性質(zhì)求出球半徑作答.
【詳解】在iABC中,AB=AC=2,ABAC=120°,由余弦定理得3c=722+22-2x2x2cosl20°=273,
令44BC外接圓圓心。1,則。。1,平面A3C,且QC=—生二=2,
2sin120°
而SC_L平面ABC,因此SC〃OQ,取SC中點(diǎn)。,連接有OD_LSC,
又OCu平面ABC,即有SC_LOjC,OD//O{C,于是四邊形CD。。]為平行四邊形,
則。。=。8=2,球。的半徑尺=后存了5=6,體積為丫=與爐=與義(石)3=等顯.
【題型6】球心在高上(圓錐形)
基礎(chǔ)知識(shí)
如圖5-1至5-8這七個(gè)圖形,P的射影是AABC的外心o三棱錐P-ABC的
三條側(cè)棱相等o三棱錐尸-A3C的底面AA5C在圓錐的底上,頂點(diǎn)P點(diǎn)也是圓錐的頂
解題步驟:
第一,步:確定球心。的位置,取AABC的外心01,則P,。。三點(diǎn)共線;
第二步:先算出小圓。]的半徑AO】=/,再算出棱錐的高Pg=/z(也是圓錐的高);
第三步:勾股定理:0A2=O.A1+O.O2R1^(h-R)2+r2,解出氏=匚土^
2h
方法二:小圓直徑參與構(gòu)造大圓,用正弦定理求大圓直徑得球的直徑.
【注意】:若是已知外接球半徑R和小圓半徑r求圓錐的高,則有2個(gè)解
【例1】(2024.浙江臺(tái)州.高二校聯(lián)考期末)已知圓錐的底面半徑為1,母線長為2,則該圓錐的外接
球的體積為.
【答案】也兀
27
【解析】由題設(shè),圓錐體的高為M=j2?_12=6,
若外接球的半徑為,,貝1(省-廠)2+1=/,可得廠=2叵,
3
所以圓錐的外接球的體積為±乃/=.
327
【例2】已知三棱錐尸-ABC的各側(cè)棱長均為2月,且A8=3,8C=石,AC=2石,則三棱錐尸-ABC
的外接球的表面積為.
【答案】16萬
過尸點(diǎn)作平面ABC的垂線,垂足為則/■位都是直角三角形,
文PA=PB,:qPMA三APMB,同理可得APMA-APAK,:.MA=MB^MC,
所以M點(diǎn)是AABC的外心;
XAB2+BC2=12=AC2,.?△ABC是以AC斜邊的直角三角形,
在底面ABC的射影為斜邊AC的中點(diǎn)如下圖:
則PMNPC-CM。=J(2?)2_(退1=3,設(shè)三棱錐尸-ABC外接球的球心為。,半徑為,,
則。在PM上,貝IOC2=OM2+CM2,即(3-廠產(chǎn)+(=/,得廠=2,外接球的表面積為4兀戶=16兀:
【鞏固練習(xí)1】已知球。的體積為36兀,圓錐S。的頂點(diǎn)S及底面圓。|上所有點(diǎn)都在球面上,且底面
圓。?半徑為2五,則該圓錐側(cè)面的面積為()
A.6直兀B.4兀或6
C.8\/§兀或4"兀D.80兀
【答案】C
【分析】先由球。的體積求球的半徑H,再
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