專題8-1幾何體的外接球與內(nèi)接球，阿氏球等17類題型

模塊一卜熱點(diǎn)題型解讀（目錄）

【題型1］球的截面問題

【題型2】可以補(bǔ)成長方體的外接球模型

【題型3】直棱柱和圓柱外接球模型

【題型4】正四面體的內(nèi)切球和外接球結(jié)論

【題型5】直棱錐外接球模型（一條側(cè)棱垂直底面）

【題型6】球心在高上（圓錐形）

【題型7】圓臺(tái)，棱臺(tái)外接球模型

【題型8】棱錐外接球之切瓜模型（一個(gè)面垂直外接圓直徑）

【題型9】兩個(gè)外心+中垂線確定球心

【題型10】外接球之共斜邊拼接模型

【題型11］外接球之二面角模型

【題型12］內(nèi)切球之棱錐，圓錐模型

【題型13］內(nèi)切球之圓臺(tái)，棱臺(tái)模型

【題型14】多球相切問題

【題型15］棱切球問題

【題型16］構(gòu)造球解決空間中動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成的直角問題

【題型17］阿氏球問題

模塊二\核心題型?舉一反三

【題型1］球的截面問題

基礎(chǔ)知識(shí)

球體的相關(guān)計(jì)算關(guān)鍵是找出球心到相關(guān)平面的距離，再結(jié)合勾股定理計(jì)算求值

形成方式半圓繞其直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周，如圖記作：球o

大圓：經(jīng)過球心的截面圓

-----

球相關(guān)概念小圓：不經(jīng)過球心的截面圓半徑大圓

小圓

結(jié)構(gòu)性質(zhì)兩點(diǎn)間的球面距離：經(jīng)過兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的劣弧長

球的小圓的圓心與球心連線垂直小圓面

【例1】（2。2。.全國2卷TH）已知“g是面積為苧的等邊三角形,且其頂點(diǎn)都在球

0的球面上.若球0的表面積為16兀，則0到平面ABC的距離為（）

A.6B.1C.1D.1

【答案】C

【分析】根據(jù)球。的表面積和AASC的面積可求得球。的半徑尺和AABC外接圓半徑"，由球的性質(zhì)

設(shè)球。的半徑為R,則4萬4=16%，解得：R=2.

設(shè)AABC外接圓半徑為,，邊長為。，

?.?△ABC是面積為攻的等邊三角形,

4

球心0到平面ABC的距離d=加=7="b=1.

【例2】（24-25高二上?貴州遵義?階段練習(xí)）已知A,B,C,。四點(diǎn)都在球。的球面上，且A,B,

C三點(diǎn)所在平面經(jīng)過球心，AB=4y/3,/AC2=m，則點(diǎn)。到平面ABC的距離的最大值為,

球。的表面積為.

【答案】464兀

【分析】利用正弦定理求得VABC外接圓半徑，結(jié)合題意可得球的半徑，再利用球的截面性質(zhì)與球

的表面積公式即可得解.

【詳解】在VA3C中，AB=46,ZACB=1.

nhc

根據(jù)正弦定理----=-----=-----=2丫（〃為VA3C外接圓半徑），

sinAsinBsinC

這里a=AB=4\/^,C=Z.ACB=—,所以sinC.兀解得廠=4.

3sin—

3

因?yàn)锳、B、C三點(diǎn)所在平面經(jīng)過球心O,所以球。的半徑尺=廠=4.

因?yàn)锳、8、C三點(diǎn)所在平面經(jīng)過球心O,

當(dāng)0D垂直于平面ABC時(shí)，點(diǎn)O到平面ABC的距離最大，這個(gè)最大值就是球的半徑R,

所以點(diǎn)。到平面ABC的距離的最大值為4.

則孑求的表面積為S=4兀R?=4兀x4?=64兀.

【例3】（23-24高三下?廣東江門?階段練習(xí)）已知正四面體A-BCD的內(nèi)切球的表面積為36兀，過該

四面體的一條棱以及球心的平面截正四面體A-3Q,則所得截面的面積為.

【答案】5472

【分析】由內(nèi)切球的表面積求出內(nèi)切球的半徑，過點(diǎn)A作平面BCD,連接38并延長交C￡）

于點(diǎn)E,且點(diǎn)E為中點(diǎn)，連接AE,記內(nèi)切球球心為。，過。作。F_LAE,設(shè)正四面體邊長為a,

然后結(jié)合正四面體的性質(zhì)可求出a,從而可求出截面的面積.

【詳解】解：由內(nèi)切球的表面積S表=4成2=36兀，得內(nèi)切球半徑R=3

如圖，過點(diǎn)A作AH_L平面BC。，則點(diǎn)"為等邊△3CO的中心

連接并延長交CO于點(diǎn)E,且點(diǎn)E為C。中點(diǎn)，連接AE,

記內(nèi)切球球心為。，過。作。尸_LAE,設(shè)正四面體邊長為“，

則BE=AE=-a,BH=-BE=—a,HE=—a,

2336

所以48=VAE2-HE2=,l-a2--a2=—a,

\4363

又因?yàn)镺H=OF=3,所以AO=羋a-3,

76

?巾AOOF3

由△AO7s\AEH,彳-----=----即告解得a=6^6

/AEHE后

—Cl

6

因?yàn)檫^棱A3和球心O,所以△ABE1即為所求截面

2

^S..?F=-BE-AH=-x^-ax—a=—a=54y/2.

△ABE22234

【鞏固練習(xí)1］已知VABC是面積為亞的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球。的球面上，若球。的表

4

面積為28兀，則點(diǎn)。到平面ABC的距離為.

【答案】2

【分析】設(shè)球。的半徑為R,由球的表面積解出R,設(shè)VA3C外接圓半徑為「，邊長為。，解出「，

由勾股定理求解d即可.

【詳解】設(shè)球。的半徑為R,則4成2=28%解得R=幣.

設(shè)VA3c外接圓半徑為「，邊長為。，

因?yàn)閂ABC是面積為型的等邊三角形，

4

所以工/*且=2叵解得a=3,

224

二=2，

由yfi,所以廠=垂）,

所以球心。到平面ABC的距離d=_產(chǎn)=,7.3=2?

【鞏固練習(xí)2】已知過球面上A,B,。三點(diǎn)的截面和球心的距離為球半徑的一半，且

AB=BC=1,AC=^,則球的表面積是.

_?_16"

【答案】—

【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理求出VABC的外接圓半徑，再利用球面的截面小圓性質(zhì)求出

球半徑即得答案.

【詳解】在VABC中，AB=BC=l,AC=y/3,則萬人。百，sinZBAC=-,

cosABAC--.......=——2

AB2

由正弦定理得VABC外接圓半徑r=工x——1——=1,設(shè)球半徑為R,

2sinABAC

于是K2=（；R>+i,解得R2=g,所以球的表面積是4兀笈=1|土

【鞏固練習(xí)3】（2024.遼寧丹東.一模）已知球。的直徑為A3,C,。為球面上的兩點(diǎn)，點(diǎn)”在48

上，^.AM=3MB,AB,平面MCD,若/XMCD是邊長為由的等邊三角形，則球心。到平面38的

距離為.

【答案】m1

13

【分析】根據(jù)球的截面性質(zhì)，可得球的半徑為2,將球心。到平面的距離轉(zhuǎn)化為為M到平面

的距離的2倍，進(jìn)而根據(jù)等體積變換可得.

【詳解】因?yàn)锳M=3Affi,A8為球。的直徑，所以=

故球心0到平面BCD的距離即為航到平面38的距離的2倍，

如圖

O

設(shè)球的半徑為R,由題意可知OD=2OA/=R,

由0。2=0"+皿,MD=43,可得OD=2OM=2,故8M=1

如圖，

由題意5MJ_平面MCD,

則BC=BD=^BM-+CM-=Jf+（國=2,

設(shè)M到平面BCD的距離為d,則由VB_MCD=VM_BCD可得，

-x-xMCxMDxsin-xBM=-x-xCDxBExd,

32332

得工xL島有xWxlJx^x岳巫xl,得

32232213

則球心0到平面BCD的距離為史叵

13

【題型2】可以補(bǔ)成長方體的外接球模型

基礎(chǔ)知識(shí)

一、長方體外接球：長方體的外接球的球心為其體對(duì)角線的中點(diǎn)，半徑為體對(duì)角線長的一半.

二、補(bǔ)成長方體

(1)若三棱錐中有三條棱互相垂直，則可將其放入某個(gè)長方體內(nèi)，如下圖所示.

p

圖1-3

(2)若三棱錐的對(duì)棱兩兩相等，則可將其放入某個(gè)長方體內(nèi)，如圖4所示

圖2-1

注：《九章算術(shù)》中的三棱錐均可補(bǔ)為長方體

【例1】我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中將底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐

稱為“陽馬”，現(xiàn)有一“陽馬”如圖所示，B4_L平面ABCD,PA=5,AB=3,BC=4,則該

“陽馬”外接球的表面積為()

A125-y2/F廠c1ccD500笈

A.——--B.50%C.100萬

3,3

【解答】解：把四棱錐P-ABCD放置在長方體中，

則長方體的外接球即為四棱錐的外接球，

-,-PA=5,AB=3,BC=4,.?.長方體的對(duì)角線長為J52+4?+32=5四,

則長方體的外接球的半徑R二巫,

2

.?.該“陽馬”外接球的表面積為5=47&=4%x（處＞=50萬.

【例2】在中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中，鱉腌是指四個(gè)面都是直角三角形的四面體.如圖,

在直角VABC中，AD為斜邊上的高，AB=3,AC=4,現(xiàn)將△極）沿AD翻折成VABZ）,使得

四面體8為一個(gè)鱉膈，則該鱉膈外接球的表面積為

【答案】1671

【分析】找出鱉鹿外接球的球心，并得出外接球的半徑，結(jié)合球的表面積公式即可求解.

【詳解】由題設(shè)，△3'CD,AAB'C都是直角三角形，只需平面AB7）即可，

所以鱉臆外接球的球心在過CD中點(diǎn)且垂直于平面？CD的直線上，

而在直角三角形ACD中，AC的中點(diǎn)到點(diǎn)AC少的距離都相等，

所以AC的中點(diǎn)是外接球的球心，所以R=gAC=2,S=47iR2=167t.

【例3】如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，E,歹分別是A3,8c的中點(diǎn)，將△AED,ABEF,

△ZXF分別沿DE,EF,Db折起，使得A2,C三點(diǎn)重合于點(diǎn)4,若三棱錐A'-跖D的所有頂點(diǎn)均

在球。的球面上，則球。的體積為（）

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，把三棱錐Z）_A'EF可補(bǔ)成一個(gè)長方體，利用長方體的對(duì)角線長求得外接球的半

徑尺=如，結(jié)合球的體積公式，即可求解.

2

【詳解】根據(jù)題意，可得瓦A'O，A'￡A'E，A2,且A'E=1,A尸=1,A'D=2,

所以三棱錐D—A,E/可補(bǔ)成一個(gè)長方體，則三棱錐D_A'E廠的外接球即為長方體的外接球，如圖所

示，

設(shè)長方體的外接球的半徑為H,可得2H=J］2+儼+2?=",所以R=3,

所以外接球的體積為丫=［兀代=［兀.（乎）3=遙無.

故選：C.

【例4】在四面體ABC。中，若AB=CDf,AC=BD=2,AD=BCf,則四面體ABCD的

外接球的表面積為（）

A.2萬B.4"C.6TTD.8萬

【答案】C

【解析】由題意可采用割補(bǔ)法，考慮到四面體ABCZ）的四個(gè)面為全等的三角形，

所以可在其每個(gè)面補(bǔ)上一個(gè)以g,2,百為三邊的三角形作為底面，且以分別x,y,z長、兩兩垂

22

直的側(cè)棱的三棱錐，從而可得到一個(gè)長、寬、高分別為％,y,z的長方體，并且N+V=3,x+z=5f

y2+z2=4,則有（2R）2=x2+y2+z2=6（H為球的半徑），得2也=3,

所以球的表面積為3=4兀尺2=6兀.

【鞏固練習(xí)1]（24-25高三上?江蘇泰州?期中）在中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中，鱉膈是指四個(gè)

面都是直角三角形的四面體.在直角VA3C中，AD為斜邊BC上的高，AB=1,47=百，現(xiàn)將△ABD

沿翻折成VAB'D,使得四面體AB'CD為一個(gè)鱉麝，則該鱉腌外接球的表面積為（）

A.史「13K

B.5兀C.3兀D.——

24

【答案】C

【分析】先求出各個(gè)邊長，翻折后，使得B，D工B'C,由勾股定理得9C=&,此時(shí)

B'C2+B'A2=2+1=3=AC2,由勾股定理逆定理得B'A，3'C,故滿足四面體AB'CD為一個(gè)鱉臆，

取AC中點(diǎn)G,連接B'GOG,得到G4=GC=GD=G3'，故點(diǎn)G即為該鱉月需外接球的球心，半徑

為B,從而求出外接球表面積.

2

【詳解】因?yàn)橹苯荲A3c中，AD為斜邊BC上的高，AB=1,AC=g,

ABAC

所以80=717^=2,AD=^_

BC=2

___1___________________o

BD=^AB2-AD2=CD=^AC--AD-=-,

22

如圖，翻折后，使得B'D工B'C,由勾股定理得B'C=JZ）C2-3Z）2=

此時(shí)3'。2+3幺2=2+I=3=AC，

由勾股定理逆定理得B'A_LEC,

結(jié)合AD_LBZ>,ADCD,故滿足四面體AB'CD為一個(gè)鱉月需,

取AC中點(diǎn)G,連接B'G,DG,

因?yàn)锳D工CD,B'A±B'C,故GA=GC=GO=GB=工AC=立，

22

故點(diǎn)G即為該鱉臆外接球的球心，半徑為且

2

故該鱉月需外接球的表面積為為=3兀.

【鞏固練習(xí)2]將邊長為2百的正方形紙片折成一個(gè)三棱錐，使三棱錐的四個(gè)面剛好可以組成該正

方形紙片，若三棱錐的各頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為

【答案】1871

【分析】作出三棱錐的直觀圖，將三棱錐補(bǔ)成長方體，可計(jì)算出該三棱錐的外接球的半徑，結(jié)合球

體的表面積公式可求得結(jié)果.

【詳解】在邊長為2道的正方形ABCD中，設(shè)E、尸分別為AB、3C的中點(diǎn)，

△AED、AEBF、AFCD分別沿DE、EF、即折起,

翻折后，則有4D_LA'E,ADLAF,AErAF,

將三棱錐￡)_A'E/補(bǔ)成長方體A'EMF-DPNQ,

其中A'E=A;F=JLA'D=273,

設(shè)三棱錐D-A'EF的外接球的半徑為R則

2R=>JA'E2+A'F2+A'D2=J(A/3)2+(A/3)2+(2A/3)2=3&,

:.R=^巨,故該三棱錐的外接球的表面積為S=4兀R?=18兀.

2

【鞏固練習(xí)3X2024?廣東揭陽?高二校聯(lián)考期中）在三棱錐S-ABC中，SA=BC=5,SB=AC=^>

SC=AB=A/34,則該三棱錐的外接球表面積是（）

A.50兀B.100兀C.150TID.200兀

【答案】A

【解析】因?yàn)镾A=8C=5,SB=AC=J?T,SC==

所以可以將三棱錐S-ABC如圖放置于一個(gè)長方體中，如圖所示:

B

s

設(shè)長方體的長、寬、高分別為。、b、c,

a2+b2=41

則有＜+L=25,整理得/+片+C?=50,

b2+c2=34

則該棱錐外接球的半徑即為該長方體外接球的半徑,

所以有。2+人2+。2=50=（2R『

所以所求的球體表面積為:

【題型3】直棱柱和圓柱外接球模型

基礎(chǔ)知識(shí)

漢堡模型（直棱柱的外接球、圓柱的外接球）

如圖1,圖2,圖3,直三棱柱內(nèi)接于球（同時(shí)直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三

第一步：確定球心。的位置，。］是AABC的外心，則OO1_L平面ABC;

第二步：算出小圓&的半徑AQ=r,OQ=1A4,=1/Z（A4,=〃也是圓柱的高）；

第三步：勾股定理：。42=。42+002=4=（,）2+/=R=J/+（E）2,解出氏

【例1】已知正三棱柱A3C-44G所有棱長都為6,則此三棱柱外接球的表面積為（）

A.48兀B.60兀C.64兀D.84TI

【答案】D

【解析】如圖，。為棱8C的中點(diǎn)，G為正△回€?的中心，。為外接球的球心

根據(jù)直棱柱外接球的性質(zhì)可知OG//A4,OG=^AA,=3,外接球半徑R=OC,

?.?正△ABC的邊長為6,則CG=2石

22222

R=OC=OG+CG=3+（2后=21

外接球的表面積S=4兀尺2=84兀.

故選：D.

【例2］設(shè)直三棱柱ABC-AB?的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)表面積是40萬的球面上，且

AB=AC=AAi,ZBAC=nOa,則此直三棱柱的表面積是（）

A.16+86B.8+1273C.8+166D.16+12^

【答案】D

【解析】設(shè)AB=AC=AA=2相，因?yàn)?BAC=120°,所以NACB=3（T.

2m

于是-----二2丫（一是AABC外接圓的半徑），r=2m.

sin30°

又球心到平面ABC的距離等于側(cè)棱長AA的一半，

所以球的半徑為J（2m）2+療=y/5m.

所以球的表面積為4兀?（際M）=40兀，解得利=也.

因"匕AB=AC=M=2A/2,BC=2A/6.

于是直三棱柱的表面積是

2x272x272+2^/6x2A/2+2x-x2V2x2V2sinl20°=16+12技

2

A

【鞏固練習(xí)1]（24-25高三上?安徽亳州?開學(xué)考試）已知圓柱的底面直徑為2,它的兩個(gè)底面的圓周

都在同一個(gè)體積為鼻石兀的球面上，該圓柱的側(cè)面積為（）

A.8無B.6兀C.57tD.4兀

【答案】A

【分析】利用球的體積公式求出球的半徑，結(jié)合圓柱半徑可得圓柱的高，然后可解.

【詳解】球的體積為1兀尺3=m扃，可得其半徑氏二占，

圓柱的底面直徑為2,半徑為廠=1,在軸截面中，可知圓柱的高為/?=/=4,

所以圓柱的側(cè)面積為211rli=8兀.

故選：A.

【鞏固練習(xí)2】在三棱錐P-ABC中，粉，面ABC,AABC為等邊三角形，且尸4=48=也，

則三棱錐P-ASC的外接球的表面積為

【答案】7兀

【解析】因?yàn)槭侵比忮F，底面是正三角形，所以可以將圖補(bǔ)形成為正三棱柱，如圖所示,

此三棱錐外接球，即為以AABC為底面以9為高的正三棱柱的外接球,

設(shè)球心為。，作OO'_L平面ABC,則O'為AABC的外接圓圓心，連接AO',AO,則%=走，

22

設(shè)AABC的外接圓半徑為r,三棱錐尸-ABC外接球半徑為R,

cAB石c

=_____—___—2

由正弦定理，得-sin600—若一,所以〃=1,

~2

RtAOO'A中，O'A^+OO'^OA2,所以+1?=a,解得R=g,

所以S=4TTR2=7兀.

【鞏固練習(xí)3】已知圓柱的軸截面為正方形，其外接球?yàn)榍颉＃颉５谋砻娣e為阮，則該

圓柱的體積為（）

A.nB.y/2jrC.2萬D.2艙式

【答案】C

【分析】設(shè)外接球的半徑為R,圓柱底面圓的半徑為「，由球。的表面積為8萬，得R=?,根據(jù)軸

截面為正方形列方程解得r=l,代圓柱的體積公式得解.

【詳解】設(shè)外接球的半徑為尺,圓柱底面圓的半徑為「，因?yàn)閳A柱的軸截面為正方形，所以圓柱的

高h(yuǎn)=2r,由球。的表面積S=4%彥=8兀,得R=,又R=+.=應(yīng)廠,得r=1,所以圓

柱的體積V=TZT2-2r=2兀r，=2萬

【題型4】正四面體的內(nèi)切球和外接球結(jié)論

基礎(chǔ)知識(shí)

在棱長為a的正四面體中

設(shè)正四面體ABCD的的棱長為。，則有

1、正四面體的高為力

3

正四面體外接球半徑為R=《5°

2、

4

3、正四面體內(nèi)切球半徑為r=—a

12

23

4、正四面體體積y

12

［例11（2024?湖北宜昌?宜昌市夷陵中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知正四面體ABCD的表面積為2月，且4

B,C,。四點(diǎn)都在球。的球面上，則球。的體積為.

【答案】立兀

2

【解析】正四面體各面都是全等的等邊三角形，設(shè)正四面體的棱長為a,

所以該正四面體的表面積為s=4x—X6TX所以a=A/2，

2

又正方體的面對(duì)角線可構(gòu)成正四面體，

若正四面體棱長為夜，可得正方體的棱長為1,

所以正方體的外接球即為該正四面體的外接球，所以外接球的直徑為石，半徑為

所以球O的體積為走兀

2

［例2］（24-25高三上?廣東?開學(xué)考試）外接球半徑為卡的正四面體的體積為（）

A.B.24C.32D.480

【答案】A

【分析】設(shè)出正四面體棱長，通過作輔助線表示出四面體的高，解直角三角形表示外接球半徑，由

已知外接球半徑為布可得棱長，再由三棱錐體積公式可得.

【詳解】如圖，設(shè)正四面體尸-ABC的下底面中心為G,連接PG,則PGL平面A3C,

連接4G并延長，交BC于D,設(shè)此正四面體的棱長為x,則人。=立了，

2

AG=^AD=^X,PG斗2-（圣）2=條,即四面體的高力=

設(shè)四面體外接球的球心為0,連接AO,外接球半徑為我,

則R2=（/x>+（乎化簡得R=2X,由H=",

得x=4,即正四面體棱長為4,

所以正四面體的體積%,=L?1X42?逅*4=竺也.

p-ABC3433

【例3】正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑比為（）

A.1:1B.2:1C.3:1D.4:1

【答案】C

【分析】設(shè)正四面體S-ABC的外接球球心為。，。1為5c的中心，設(shè)棱長為。（。>0）,即可求

出外接球的半徑R，利用等體積法求出內(nèi)切球的半徑r,即可得解.

【詳解】如圖，設(shè)正四面體S-ABC的外接球球心為0,。］為44BC的中心，則Sq_L平面ABC,

外接球半徑為R=AO=S。，內(nèi)切球半徑為"，設(shè)棱長為

在&4BC中，由正弦定理得,=2401,所以

所以S0t=dsN—AO：=半0，由A?=A。；+OO；=AO：+（sq_R?,

即R。=Q+-—fl—R解得R（負(fù)值舍去）；

I3JI3J4

由等體積法得到V5TBe=；S表r,所以"3匕_板==濁=￡,

3S去4sABC412

所以H:r=^-a:^-a=3:l.

412

故選：C.

s

【鞏固練習(xí)1】已知正三棱錐A-BCD,各棱長均為百，則其外接球的體積為（）

A9白口810「9&n9石

816816

【答案】C

【分析】抓住正三棱錐的特征，底面是正三角形，邊長為百，則高線的投影在底面正三角形的重心

上，則外接球的球心在高線上，且到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，構(gòu)造直角三角形，從而即可求出外接球

的半徑為,，進(jìn)而可求出外接球的體積.

【詳解】由A-3cD是正三棱錐，底面是正三角形，邊長為百，

則高線的投影在底面正三角形的重心上，則外接球的球心在高線上，且到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，

如圖，取C￡＞的中點(diǎn)，連接班1,過A作AEJL平面3cD,且垂足為E,則BE=2EF,

A

C

由AB=BC=CO=AD=5。=技

則在RGBCF中，有BFJ可一當(dāng)=|,

23

所以BE=—x—=1

32

則在RtAABE中，有AE“卜西一1。=血,

設(shè)外接球的半徑為工

則3E2+（A￡—r）2=/，即F+（五一廠）2=/，解得廠=乎,

【鞏固練習(xí)2】正四面體P-ABC中，其側(cè)面積與底面積之差為2^，則該正四面體外接球的體積

為.

【答案】巫兀

【解析】設(shè)正四面體尸-ABC的邊長為。，則該正四面體每個(gè)面的面積為立/,

4

正四面體尸—ABC的側(cè)面積與底面積之差為空/一立/=且/=2括，解得。=2.

442

過點(diǎn)P作尸D_L平面ABC,垂足為點(diǎn)。，連接AD,可知外接球球心。在尸。上，

設(shè)球。的半徑為R,AABC的外接圓半徑為---=空,PD=dPA2-AD2=巫,

2sin60033

由圖可知，OD2+AD2=OA2,即-R+—=R2,解得R=.

因此，正四面體尸-ABC的外接球體積為丫==瓜兀.

【鞏固練習(xí)3]一個(gè)正四面體的棱長為2,則它的外接球與內(nèi)切球體積之比為（）

A.3:1B.73:1C.9:1D.27:1

【答案】D

【分析】作出輔助線，求出外接球和內(nèi)切球的半徑，從而得到體積之比.

【詳解】正四面體尸—ABC中，取BC中點(diǎn)。，連接AD,則AD_L3C,

過點(diǎn)P作PE_LAD于點(diǎn)E,

則PE_L平面A3C,外接球球心。在PE上，連接（M,則。4=OP=R,

因?yàn)檎拿骟w的棱長為2,所以BD=CD=1,AD=VAB2-BD2=73.

則AE=gAD=￥，PE=dPA2-AE2=,4]=半,

/Z

OE=PE—PO=a2——R,

3

%丫（

由勾股定理得OE12+AE2=AO2,即令_一R+幺—=R2,

、3）I3,

解得R=1,

2

p

R

設(shè)內(nèi)切球球心為Oj,則。1在PE上，過點(diǎn)。［作。1”_LPD于點(diǎn)則。或=。1"=廠，

故尸01=苧—廠，PD=yf3,DE=；AD=*

2瓜

因?yàn)?O"S*E,所以器=誓,即氣一=/，

解得r=逅，

6

故它的外接球與內(nèi)切球半徑之比為R:廠="：逅=3:1,體積之比為27:1.

26

【題型5】直棱錐外接球模型（一條側(cè)棱垂直底面）

題設(shè)：如圖，P4L平面ABC,求外接球半徑.（一條側(cè)棱垂直底面）

B

解題步驟:

第一步：將AABC畫在小圓面上，A為小圓直徑的一個(gè)端點(diǎn)，作小圓的直徑AD,連接PD,

則PD必過球心。；

第二步：0］為AA5C的外心，所以。平面A3C,算出小圓。1的半徑OQ=r（三角

形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得，一=上-=~^=2C，OO^-PA；

sinAsinBsinC2

第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：①（2R）2=尸42+（2廠）2O

2R=《P#+（2r）2;

@R2=r-+OO^OR=M+oo；.

jr

【例1】已知三棱錐P-ABC的底面ABC為直角三角形，且NAC3=G.若上4,平面ABC,且AB=3,

2

V

PA=4,三棱錐P-ABC的所有頂點(diǎn)均在球。的球面上，記球。的體積和表面積分別為V,S,則《=

（）

5c5r5

A.—B.—C.—D.一

12632

【答案】B

【分析】依題意AABC外接圓的直徑為斜邊AB=3,設(shè)三棱錐P-ABC外接球的半徑為H,則

（2R）2=AB2+PA2,求出外接球的半徑，再根據(jù)球的體積、表面積公式計(jì)算可得.

JT

【詳解】因?yàn)锳ABC為直角三角形且/AC2=5，則AC1.3C,

又％，平面ABC,AB,3Cu平面ABC,則PA_LAB,24_L3C,

而R4cAC=A，尸A,ACu平面尸AC,于是3C_L平面PAC,又尸Cu平面PAC,

因此PCLBC,取P3中點(diǎn)。i,連接CO1,A。［，則0］4=。2=。|2=0。，

從而點(diǎn)。1即為球。的球心。，設(shè)三棱錐P-ABC外接球的半徑為R,

,5

則（2R）=鈿2+%2,即4r2=32+42=25,所以R=耳，

43

則丫二方兀氏R5.

~S~4TI7?2~J~6

p

TT

【例2】已知三棱錐P-ABC的底面ABC為直角三角形，且ZACB=不.若PA，平面ABC,且AB=3,

V

PA=4,三棱錐尸-ABC的所有頂點(diǎn)均在球。的球面上，記球。的體積和表面積分別為V,S,則下=

()

【答案】B

【分析】依題意AABC外接圓的直徑為斜邊AB=3,設(shè)三棱錐P-ABC外接球的半徑為R,則

（2R）2=AB2+PA2,求出外接球的半徑，再根據(jù)球的體積、表面積公式計(jì)算可得.

TT

【詳解】因?yàn)?4BC為直角三角形且/AC2=],則ACL3C,

又2A_L平面ABC,AB,3Cu平面ABC,則PA_LAB,以_L3C,

而BlcAC=A,PA,ACu平面上4C,于是3C_L平面上4C,又尸Cu平面PAC,

因此尸CJ_3C,取E5中點(diǎn)。1,連接CQ,AOi,則。14=。/=。8=00,

從而點(diǎn)。1即為球0的球心0,設(shè)三棱錐P—ABC外接球的半徑為R,

5

則（2R）9=鈿2+叢2,即47^=32+42=25,所以R=],

2；p3

則D=R.

【鞏固練習(xí)1】已知S,A,8,C是球。表面上的不同點(diǎn)，SAL平面ABC,AB=1,2C=應(yīng),

若球。的表面積為4兀，則SA=()

A.與B.1C.72D.6

【答案】B

［分析］根據(jù)四面體S-ABC的性質(zhì)可構(gòu)造長方體模型求得外接球半徑即可得S4=1.

【詳解】如下圖所示：

由SA_L平面ABC可知￡4_LA3,SA_LBC,又AB_LBC,

所以四面體S-ABC的外接球半徑等于以長寬高分別為SA,A5,8C三邊長的長方體的外接球半徑,

設(shè)外接球半徑為R,

由球。的表面積為4兀,可得4兀R。=4兀，即R=1;

又AB=1,BC=yf2,4R2=AB2+BC2+SA2,

所以5A=1.

【鞏固練習(xí)212023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)(文)T16

已知點(diǎn)S,A,B,C均在半徑為2的球面上，AABC是邊長為3的等邊三角形，平面ABC,則

SA=.

【答案】2

【分析】先用正弦定理求底面外接圓半徑，再結(jié)合直棱柱的外接球以及求的性質(zhì)運(yùn)算求解.

【詳解】如圖，將三棱錐S-A5c轉(zhuǎn)化為正三棱柱SMV-ABC,

設(shè)AABC的外接圓圓心為。1,半徑為廠，

2LAB_3

則sinZACB,可得r=代，

T

設(shè)三棱錐S-ABC的外接球球心為。，連接OAOQ,則。4=2,OQ=；SA,

因?yàn)椤??即4=3+；SA2,解得&1=2.

故答案為：2.

【鞏固練習(xí)3】已知三棱錐S-ABC所在頂點(diǎn)都在球。的球面上，且SC，平面ABC,若

SC=AB^AC^2,ABAC=120°,則球。的體積為（）

A20石兀口32K小20兀「32后

3333

【答案】A

【分析】求出AABC外接圓半徑，再利用球的截面小圓性質(zhì)求出球半徑作答.

【詳解】在iABC中，AB=AC=2,ABAC=120°,由余弦定理得3c=722+22-2x2x2cosl20°=273,

令44BC外接圓圓心。1,則。。1，平面A3C,且QC=—生二=2,

2sin120°

而SC_L平面ABC,因此SC〃OQ,取SC中點(diǎn)。，連接有OD_LSC,

又OCu平面ABC,即有SC_LOjC,OD//O{C,于是四邊形CD。。］為平行四邊形，

則。。=。8=2,球。的半徑尺=后存了5=6,體積為丫=與爐=與義（石）3=等顯.

【題型6】球心在高上（圓錐形）

基礎(chǔ)知識(shí)

如圖5-1至5-8這七個(gè)圖形，P的射影是AABC的外心o三棱錐P-ABC的

三條側(cè)棱相等o三棱錐尸-A3C的底面AA5C在圓錐的底上，頂點(diǎn)P點(diǎn)也是圓錐的頂

解題步驟:

第一,步:確定球心。的位置,取AABC的外心01,則P,。。三點(diǎn)共線;

第二步：先算出小圓。］的半徑AO】=/，再算出棱錐的高Pg=/z(也是圓錐的高);

第三步：勾股定理：0A2=O.A1+O.O2R1^(h-R)2+r2,解出氏=匚土^

2h

方法二：小圓直徑參與構(gòu)造大圓，用正弦定理求大圓直徑得球的直徑.

【注意】：若是已知外接球半徑R和小圓半徑r求圓錐的高，則有2個(gè)解

【例1】（2024.浙江臺(tái)州.高二校聯(lián)考期末）已知圓錐的底面半徑為1,母線長為2,則該圓錐的外接

球的體積為.

【答案】也兀

27

【解析】由題設(shè)，圓錐體的高為M=j2?_12=6,

若外接球的半徑為,，貝1（省-廠）2+1=/，可得廠=2叵，

3

所以圓錐的外接球的體積為±乃/=.

327

【例2】已知三棱錐尸-ABC的各側(cè)棱長均為2月，且A8=3,8C=石,AC=2石，則三棱錐尸-ABC

的外接球的表面積為.

【答案】16萬

過尸點(diǎn)作平面ABC的垂線，垂足為則/■位都是直角三角形,

文PA=PB,：qPMA三APMB,同理可得APMA-APAK,:.MA=MB^MC,

所以M點(diǎn)是AABC的外心；

XAB2+BC2=12=AC2,.?△ABC是以AC斜邊的直角三角形，

在底面ABC的射影為斜邊AC的中點(diǎn)如下圖：

則PMNPC-CM。=J（2?）2_（退1=3,設(shè)三棱錐尸-ABC外接球的球心為。，半徑為,，

則。在PM上，貝IOC2=OM2+CM2，即（3-廠產(chǎn)+（=/，得廠=2,外接球的表面積為4兀戶=16兀:

【鞏固練習(xí)1】已知球。的體積為36兀，圓錐S。的頂點(diǎn)S及底面圓。|上所有點(diǎn)都在球面上，且底面

圓。?半徑為2五，則該圓錐側(cè)面的面積為（）

A.6直兀B.4兀或6

C.8\/§兀或4"兀D.80兀

【答案】C

【分析】先由球。的體積求球的半徑H,再