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文檔簡介
專題17圓錐曲線離心率問題精妙解法
目錄
01考情透視?目標導航............................................................2
02知識導圖?思維引航............................................................3
03知識梳理?方法技巧............................................................4
04真題研析?精準預測............................................................5
題型一:頂角為直角的焦點三角形求解離心率的取值范圍問題6
題型二:焦點三角形頂角范圍與離心率7
題型三:共焦點的橢圓與雙曲線問題9
題型四:橢圓與雙曲線的4a通徑體10
題型五:橢圓與雙曲線的4a直角體12
題型六:橢圓與雙曲線的等腰三角形問題13
題型七:雙曲線的4a底邊等腰三角形14
題型八:焦點到漸近線距離為b15
題型九:焦點到漸近線垂線構造的直角三角形17
題型十:以兩焦點為直徑的圓與漸近線相交問題18
題型十一:漸近線平行線與面積問題20
重難點突破:數形結合轉化長度角度21
差情;奏汨?日標旦祐
關于橢圓或雙曲線的離心率,以及與雙曲線的漸近線相關的問題,通常以選擇或填空題的形式出現,
其難度屬于中等水平。
考點要求目標要求考題統計考情分析
離心率問題是高
考數學的必考內容,主
2024年甲卷第5題,5分
要考查圓錐曲線的概
2024年I卷第12題,5分
念和幾何性質。在二輪
2023年I卷第5、16題,10分
掌握求解,理解2023年甲卷第9題,5分復習中,應掌握其基本
離心率
應用。2022年甲卷第10題,5分性質和常規處理方法,
2022年浙江卷第16題,4分特別是要從挖掘橢圓
2021年甲卷第5題,5分
和雙曲線的幾何性質
2021年天津卷第8題,5分
入手,以應對考試中的
相關問題。
匐2
知識導圖?思維引航7
頂角為直角的焦點三角形求解離心率
的取值范圍問題
焦點三角形頂角范圍與離心率
共焦點的桶圓與雙曲線問題
牛nt口偏孑里?二注怙工虧
求離心率范圍的方法
一、建立不等式法:
1、利用曲線的范圍建立不等關系.
22
2、利用線段長度的大小建立不等關系.斗鳥為橢圓二+與=1(a>6>0)的左、右焦點,尸為橢圓上
a2b2
22
的任意一點,|尸娟w[a-c,a+c];斗名為雙曲線二—匕=l(a>0力>0)的左、右焦點,尸為雙曲線上的
a2b2
任一點,|P^|>c-a.
22
3、利用角度長度的大小建立不等關系.月,月為橢圓0+1=1的左、右焦點,尸為橢圓上的動點,
2
〃2b
若ZFtPF2=e,則橢圓離心率e的取值范圍為sin|<e<l-
4、利用題目不等關系建立不等關系.
5、利用判別式建立不等關系.
6、利用與雙曲線漸近線的斜率比較建立不等關系.
7、利用基本不等式,建立不等關系.
0
心真題砒標?精御皿\\
22
1.(2024年新課標全國I卷數學真題)設雙曲線C:「-1=l(a>0,6>0)的左右焦點分別為片、鳥,過F?
ab
作平行于y軸的直線交C于48兩點,若|£A|=13,|AB|=10,則C的離心率為.
22
2.(2023年新課標全國I卷數學真題)已知雙曲線C:2=1(。>0,。>0)的左、右焦點分別為片,工.點
ab
__9
A在C上,點3在y軸上,F^1F^,^A=--F;B,則C的離心率為.
3.(2023年北京高考數學真題)已知雙曲線C的焦點為(-2,0)和(2,0),離心率為四,則C的方程為
22
4.(2023年新課標全國I卷數學真題)設橢圓0:3+丫2=1(°>1)6:工+了2=1的離心率分別為0,4.若
a4
e2-yfiel,則〃=()
A.¥B.V2c.73D.V6
22
5.(2022年高考全國甲卷數學(理)真題)橢圓C:二+2=1(。>6>0)的左頂點為A,點尸,。均在C上,
ab
且關于y軸對稱.若直線AP,AQ的斜率之積為則C的離心率為()
A.也B.變C.1D.-
2223
6.(多選題)(2022年高考全國乙卷數學(理)真題)雙曲線C的兩個焦點為斗工,以C的實軸為直徑的
3
圓記為。,過片作。的切線與。交于M,N兩點,且cosN耳Ng=g,則。的離心率為()
㈤5
孩心精說,題型突破
題型一:頂角為直角的焦點三角形求解離心率的取值范圍問題
22
【典例1-1】己知橢圓宗+%=l(a>b>0)上一點A,它關于原點的對稱點為B,點產為橢圓右焦點,且滿
TT兀、
足AFLBF,設NA即=e,且,則該橢圓的離心率e的取值范圍是()
A.悍,g)B,[f4]C.,用D.忤”
22
【典例1-2】已知橢圓C:3+3=l(a>b>0)上有一點A,它關于原點的對稱點為8,點尸為橢圓的右焦
cib
jr
點,且AP_L8F,ZABF=—,則橢圓的離心率為()
12
A.|B.逅C.3D.—
2332
巧
頂角為直角的焦點三角形求解離心率的取值范圍問題,如圖所示:
橢圓:e=
雙曲線:e=——1——=-------------,根據a范圍求解值域.
cosa-sina5+
22
【變式1-1】設A是雙曲線'-當=1(。>0,6>0)在第一象限內的點,廠為其右焦點,點A關于原點。的對
ab
稱點為8,且E4_LFB,2\FA\<\FB\<4\FA\,則雙曲線C的離心率的取值范圍是()
22
【變式1-2】雙曲線二-2=1(a>0,b>0)左支上一點A關于原點的對稱點為點反/為其右焦點,若
ab
AF±BF9設NABjF=a,且了五則離心率e的可能取值是()
A-TBYC.fD.萼
命題預測n
22
1.已知雙曲線=1(。>0,6>0)右支上非頂點的一點A關于原點的對稱點為反尸為雙曲線的右焦點,
ab
若AFLBF,設=且"哈箸則該雙曲線的離心率的取值范圍為()
A.(1,A/2)B.(72,2)C.^"\/2,+cojD.(2,+oo)
題型二:焦點三角形頂角范圍與離心率
22
【典例2-1】已知點招,鳥分別是橢圓「+谷=l(a>b>0)的左、右焦點,點尸是橢圓上的一個動點,
ab
若使得滿足公尸片工是直角三角形的動點尸恰好有6個,則該橢圓的離心率為()
A.|B.且C.—D.立
2223
22
【典例2-2】己知P為橢圓3=上一動點,工、工分別為該橢圓的左、右焦點,8為短軸一
ab
端點,如果1Ml長度的最大值為助,則使以百尸2為直角三角形的點p共有()個
A.8個B.4個或6個C.6個或8個D.4個或8個
22
圓居是橢圓二+==1(。>6>0)的焦點,點尸在橢圓上,NRPF-e,貝UcosON-2e?(當且僅當
ab
動點為短軸端點時取等號).
22
【變式2-1】已知居,F?分別是橢圓1r+方=1e>6>0)的左、右焦點,若橢圓上存在點尸,使得所電=0,
則該橢圓的離心率的取值范圍是()
22
【變式2-2】已知橢圓C的方程為—+4=1(。>匕>0),耳,耳為其左、右焦點,e為離心率,p為橢圓上一
ab
動點,有如下說法:
①當0<e<曰時,使△尸用工為直角三角形的點尸有且只有4個;
②當£=當時,使鳥為直角三角形的點尸有且只有6個;
③當,<e<l時,使△尸£居為直角三角形的點P有且只有8個;
以上說法中正確的個數是
A.0B.1C.2D.3
命題預測
22
1.已知P為橢圓3+[=l(a>b>0)上一點,與,與分別是橢圓的左、右焦點.若使AP^F?為直角三角形的
ab
點P有且只有4個,則橢圓離心率的取值范圍是()
題型三:共焦點的橢圓與雙曲線問題
【典例3-1】已知橢圓E:T+2=l(q>4>0)與雙曲線C:吞-與=1(出>0也>。)共焦點,演典分別為
%by%%
左、右焦點,點尸為E與C的一個交點,且4尸6=120。,設E與C的離心率分別為4,4,則e:+e;的取
值范圍是()
A.(忘,+oo)B.(右,+oo)C.(2,+co)D.(3,+oo)
22
【典例3-2】已知以小耳為焦點的橢圓C:=+與=1(°>》>0)與雙曲線T共焦點,一動點M在直線/:x=-a
ab
上運動,雙曲線7與橢圓C在一象限的交點為P,/月尸耳=],當/月尸乙與相等時,居取得最
大值,則雙曲線7的離心率為()
A.272B.342C.述D.逑
42
.22a
sm——。cos——
2-
____22+.____2T},與基本不等式聯姻求解離心率的取值范圍
e橢e雙
2222
【變式3-1】已知橢圓G:土+與=1(0<"<6)與雙曲線G:二-一J=1(0<a<4)共焦點%F2,
36n2a216-d
過耳引直線/與雙曲線左、右兩支分別交于點M,N,過。作Q4,/,垂足為A,且(。為坐標原
4
點),若tanN4N鳥=§,則G與。2的離心率之和為()
A4+3石D4+3713?4+3464+3萬
6633
【變式3-2】橢圓與雙曲線共焦點尸|,F2,它們的交點為尸,且/片尸耳=個.若橢圓的離心率為",則雙曲
32
線的離心率為()
A.B.述C.73D.2
64
命題預測J
22
1.已知橢圓G:二+與=l(a>b>0)的左、右焦點分別為K,B,離心率為G,橢圓C1的上頂點為M,且
ab
MF[MF^=O.雙曲線Q和橢圓G有相同焦點,且雙曲線c2的離心率為eZ,尸為曲線G與G的一個公共點,
IT
若/4P瑪=§,則e?的值為()
A.2B.3C.好D.漁
22
題型四:橢圓與雙曲線的4a通徑體
【典例4-1】設雙曲線C:+-]=1(4>0力>0)的左、右焦點分別是公、F2,過6的直線交雙曲線C的左
ab
支于M、N兩點,若|M閭=|耳聞,且21M凰=|N居則雙曲線C的離心率是()
A4R5若3
A.-D.—C.----U.一
3322
22
【典例4-2】已知雙曲線C:,-*=l(a>0,b>0)的左、右焦點分別是乙、F2,M是雙曲線C右支上的一
點,片加交雙曲線C的左支于點N,若|八胤:慳叫陽國=1:2:2,則C的離心率為()
A.乖)B.2C.75D.不
Hl
橢圓與雙曲線的4a通徑體
如圖,若Ag_L片耳,易知[A閭=2,若福=彳耳夙;1>1),則一定有|A耳卜號.2,根據
|A周+|4周=2。可得4±2互=2°,即"1(1一/)=lne=、耳
2a4VA+3
【變式4-1】若橢圓C:=+2=1(%>仇>0)的離心率與雙曲線E:二—與=1(a2>0,打>。)的離心
率之積為1,4,F2分別是雙曲線E的左、右焦點,M,N是雙曲線E的左支上兩點,且麗〃西,
|町|+慳段=3%,\MF2\^\MN\,A,尸分別是橢圓C的左頂點與左焦點,|A尸I=3-6,則橢圓C的方程
為()
.x2y2x2y2x2y2x2j2
32949554
22
【變式4-2]己知乙,工分別是橢圓C:=+3=ig>b>0)的左、右焦點,過點月的直線交橢圓C于
ab
N兩點.若|肱^+|町|=2]崢|,且沙,叫,則橢圓Q的離心率為()
「
A,昱A/2
Vz.--------D-4
命題預測T
22
1.設橢圓C:A+當=1(。>0,6>0)的左、右焦點分別為尸I,F2,過原點。的直線/交橢圓于Af,N兩點,
若|MN|=2c,囚6口入閭=1:20,則C的離心率為()
A.叵口6G3cD36-3
47-1*―7-
題型五:橢圓與雙曲線的4a直角體
22
【典例5-1】已知橢圓C:=+々=1(°>6>0)的左、右焦點分別為耳、F2,過乙作直線/與橢圓相交于M、
ab
N兩點,NMF°N=90,且4優N|=3優則橢圓的離心率為()
A.-B.1C.3D.好
3235
22
【典例5?2】設小尸2分別是橢圓石:三+與=1(〃>10)的左、右焦點,過尸2的直線交橢圓于4B兩點,
ab
_____k_____,ULMUUU
且砍?伍=0,AB=4FzB,則橢圓E的離心率為()
A.-B.亞C.6D.立
2234
巧
如左圖,若A4_LAB,AB過原點,MAFi=AFlB,可得離心率.
如右圖,若如_LAC,AB過原點,且AF2=2尸2c(。<2<1),通過補全矩形,可得AF]_LAC,
|悟|二等『借助公式
可得離心率.
22
【變式5?1】設小尸2分別是橢圓E:?+2=l(4>8>0)的左、右焦點,過尸2的直線交橢圓于A,5兩點,
ab
且斯?亞'=0,N瓦=2質,則橢圓E的離心率為().
A,昱7
以D
2與-1
22
【變式5-2】設月、居分別是橢圓E:二+「=1(。>6>0)的左、右焦點,過點耳(-30)的直線交橢圓E于48
ab
兩點,若H片1=3區可,且AB_LA鳥,則橢圓E的離心率是
命題預測
22
1.設瓦,歹2分別是橢圓石:=+與=1(">匕>0)的左、右焦點,過點片的直線交橢圓E于A,B兩點,
ab
1M|=3怛耳I,若cosNA入3則橢圓E的離心率為()
A.1B.-C.昱D.也
2322
題型六:橢圓與雙曲線的等腰三角形問題
22
【典例6-1】橢圓C:事+提=1(。>6>0)的左、右焦點分別為尸1,F,過點片的直線/交橢圓C于A,B兩
ab2
點,若|月耳|=|4工|,苕=2耶,則橢圓C的離心率為()
【典例6-2】已知橢圓C的焦點為居(TO),g(1,0),過仍的直線與C交于A,B兩點.若IAfJ=2|6冏,
IAB\=\BF],則C的方程為
同角余弦定理使用兩次
【變式6-1】己知橢圓C的焦點為耳,F2,過耳的直線與C交于A,B兩點,若[4用=忸用=宗忸用,則C
的離心率為()
A.也B.走C.1D.-
2323
【變式6-2】已知雙曲線C的焦點為片(-1,0),8(1,0),過4的直線與雙曲線C的左支交于A,8兩點,若
|明|=2忻訊|至|=|巡|,則。的方程為()
A.a-6yaB,江一/=1C.4yaD,至一至=1
534334
命題預測I
22
已知雙曲線-當()左右焦點為居,
1.3=10>0/>0F2,過尸2的直線與雙曲線的右支交于尸,。兩點,且
ab
PFi=2KQ,若4尸。百為以。為頂角的等腰三角形,則雙曲線的離心率為()
A.不B.V2
cV21
D.6
3
題型七:雙曲線的4a底邊等腰三角形
22
【典例7-1】設工為雙曲線c:二-2=1(。>0,6>0)的右焦點,直線/:x-2y+c=0(其中。為雙曲線C
ab
的半焦距)與雙曲線C的左、右兩支分別交于M,N兩點,若旃?(可7+研)=。,則雙曲線C的離心率
是()
A.-B.-C.姮D.逑
3333
22
【典例7-2】設F?為雙曲線C:工-斗=1(”>0,沙>0)的右焦點,直線/:x-3y+c=0(其中c為雙
ab
曲線C的半焦距)與雙曲線C的左、右兩支分別交于N兩點,若麗.(W+W)=0,則雙曲線C的
離心率是()
BD.
-T2
當優=|鳥邳或者|A.=4a時,令,則一^定存在①忸叫=優卻,②e二―,
“vcos2a
【變式7-1】設雙曲線C:5-,=1(。>0,6>0)的左、右焦點分別為片,鳥,過點K作斜率為弓的直線/與
雙曲線C的左、右兩支分別交于M,N兩點,且(及質+可)?麗=0,則雙曲線C的離心率為()
A.72B.V3C.6D.2
1命題預測卜
,v23
1.設雙曲線C:=-當=1(〃>0*>0)的左、右焦點分別為《,F2,過點耳作斜率為:的直線/與雙曲線C
ab4
的左、右兩支分別交于M,N兩點,且F?在線段MN的垂直平分線上,則雙曲線C的離心率為()
A.6B.73C.77D.券
題型八:焦點到漸近線距離為b
22
【典例8-1】已知雙曲線(?:=-與=1(。>04>0)的左、右焦點分別為耳,工,過F?作雙曲線C的一條漸近
ab
線的垂線/,垂足為H,直線/與雙曲線C的左支交于E點,且H恰為線段EB的中點,則雙曲線C的離心
率為()
A.逝B.73C.2D.75
22
【典例8-2】已知雙曲線C:3-1=1(。>。,6>。)的左、右焦點分別為尸i,F],過C的右支上一點產
ab
作C的一條漸近線的垂線,垂足為H,若忸M+I牛I的最小值為(2+g)a,則C的離心率為()
A.V5B.2C.V3D.72
巧
b、
雙曲線的特征三角形,如圖所示,-x,過右焦點作尸M_!_/],FN±l2>
aa
故四=幽上
由于漸近線方程為y=±2x=2,且斜邊卜°,故==g'故1°閭=|。時=々,
a'\OM\|ON|
\MF2\=\NF2\=b.
22
【變式8-。已知雙曲線的左、右焦點分別為乙、F2,過乙作直線/,使得它雙曲
線的一條漸近線垂直且垂足為點。,/與雙曲線的右支交于點尸,若線段P。的垂直平分線恰好過c的右焦
點F2,則雙曲線c的離心率為()
A.@B.姮C巫
232
22
【變式8-2】已知雙曲線二-谷=1(。>0,6>0)的左右焦點分別為耳,尺,以。耳為直徑的圓與雙曲線的一
ab
條漸近線交于點”(異于坐標原點。),若線段叫交雙曲線于點尸,且哂“OP則該雙曲線的離心率為
()
A.72B.6C.與D.76
命題預測
V22
1.已知尸1、尸2分別是雙曲線C:二斗=l(a>0力>0)的左、右焦點,過尸2作雙曲線C的一條漸近線的垂
ab
線,分別交兩條漸近線于點A、B,過點3作x軸的垂線,垂足恰為《,則雙曲線。的離心率為()
A.2B.73C.2gD.至
題型九:焦點到漸近線垂線構造的直角三角形
22
【典例9-1】已知雙曲線c:二-2=13>0/>0)的一個焦點為尸,過戶作雙曲線C的一條漸近線的垂線,
ab
垂足為A.若AOE4(。為坐標原點)的面積等于:。2(c為雙曲線c的半焦距),則雙曲線C的離心率為()
A.72B.6C.2D.75
22
【典例9-2]已知雙曲線E:=-2=1(。>0*>0)的左焦點為耳,過點耳的直線與兩條漸近線的交點分別為
ab
M、N兩點(點片位于點〃與點N之間),且礪=2祁,又過點月作月尸,于尸(點。為坐標原點),且
\ON\^\OP\,則雙曲線E的離心率0=()
A.VsB.6C.氈D.好
32
利用幾何法轉化
22
【變式9-1】過雙曲線二-當=1的焦點尸作其漸近線的垂線,垂足為A,直線E4交雙曲線的另一條漸近
ab
線于3點,。為坐標原點,若礪+礪=2兩,則雙曲線的離心率為()
A.73B.2C.A/5D.3
22
【變式9-2】過雙曲線C:二一2r=1(°>0,b>0)的右焦點尸引一條漸近線的垂線,與另一條漸近線相交于
ab
第二象限,則雙曲線。的離心率的取值范圍是()
A.(亞,+8)B.(/,+8)C.(2,+oo)D.(3,+oo)
1命題預測
22
1.已知雙曲線C:「-當=l(a>0,b〉0),過右焦點尸作C的一條漸近線的垂線/,垂足為點A,/與C的
a2b2V)
-.2-.
另一條漸近線交于點5,若A/=gA3,則。的離心率為()
A.畫B.2C.氈D.叵
532
題型十:以兩焦點為直徑的圓與漸近線相交問題
22
【典例10一1】設乙,尸2是雙曲線C:5一當=1(。>0,6>0)的左、右焦點,以線段G8為直徑的圓與直線
ab
區-◎=0在第一象限交于點A,若tanNA60=2,則雙曲線C的離心率為()
22
【典例10-2】已知片,F2分別為雙曲線C:二一2=1(。>0力>0)的左,右焦點,以「耳為直徑的圓與
ab
雙曲線C的右支在第一象限交于A點,直線A8與雙曲線C的右支交于B點,點F?恰好為線段A8的三等分
點(靠近點A),則雙曲線C的離心率等于()
A.72B.V5C.叵D.匕或
32
巧
以耳外為直徑作圓,交一條漸近線y=于點3,幽交另一條漸近線于點A,則令,則
a
2
ZBF1F2,e=71+tana
22
【變式10-1】已知雙曲線C:三-與=1(〃〉0,。〉0)的左、右焦點分別為片,F2,以耳耳為直徑的圓與。的
一條漸近線在第一象限交點為夕,直線耳P與另一條漸近線交于點。.若點。是線段可尸中點,則雙曲線。
的離心率是()
A.73B.2C.5/5D.3
命題預測T
22
1.已知雙曲線C:十-}=1(。>0,6>0)的左,右焦點分別為B,尸2,若以為直徑的圓和曲線C在第
一象限交于點尸,且APOB恰好為正三角形,則雙曲線C的離心率為()
1+A/3口1+A/5
--------------D.--------------C.1+V3D.1+75
22
題型十一:漸近線平行線與面積問題
22
【典例11-1】已知片,尸2分別為雙曲線C:二-2=1(“>0,6>0)的左、右焦點,過尸2作C的兩條漸近線
ab
的平行線,與漸近線交于M,N兩點.若cosNA^N=《,則C的離心率為()
A.2B.孚C.75D.|
22
【典
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