2025年高考數學二輪復習講義:圓錐曲線離心率問題精妙解法(原卷版)_第1頁
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文檔簡介

專題17圓錐曲線離心率問題精妙解法

目錄

01考情透視?目標導航............................................................2

02知識導圖?思維引航............................................................3

03知識梳理?方法技巧............................................................4

04真題研析?精準預測............................................................5

題型一:頂角為直角的焦點三角形求解離心率的取值范圍問題6

題型二:焦點三角形頂角范圍與離心率7

題型三:共焦點的橢圓與雙曲線問題9

題型四:橢圓與雙曲線的4a通徑體10

題型五:橢圓與雙曲線的4a直角體12

題型六:橢圓與雙曲線的等腰三角形問題13

題型七:雙曲線的4a底邊等腰三角形14

題型八:焦點到漸近線距離為b15

題型九:焦點到漸近線垂線構造的直角三角形17

題型十:以兩焦點為直徑的圓與漸近線相交問題18

題型十一:漸近線平行線與面積問題20

重難點突破:數形結合轉化長度角度21

差情;奏汨?日標旦祐

關于橢圓或雙曲線的離心率,以及與雙曲線的漸近線相關的問題,通常以選擇或填空題的形式出現,

其難度屬于中等水平。

考點要求目標要求考題統計考情分析

離心率問題是高

考數學的必考內容,主

2024年甲卷第5題,5分

要考查圓錐曲線的概

2024年I卷第12題,5分

念和幾何性質。在二輪

2023年I卷第5、16題,10分

掌握求解,理解2023年甲卷第9題,5分復習中,應掌握其基本

離心率

應用。2022年甲卷第10題,5分性質和常規處理方法,

2022年浙江卷第16題,4分特別是要從挖掘橢圓

2021年甲卷第5題,5分

和雙曲線的幾何性質

2021年天津卷第8題,5分

入手,以應對考試中的

相關問題。

匐2

知識導圖?思維引航7

頂角為直角的焦點三角形求解離心率

的取值范圍問題

焦點三角形頂角范圍與離心率

共焦點的桶圓與雙曲線問題

牛nt口偏孑里?二注怙工虧

求離心率范圍的方法

一、建立不等式法:

1、利用曲線的范圍建立不等關系.

22

2、利用線段長度的大小建立不等關系.斗鳥為橢圓二+與=1(a>6>0)的左、右焦點,尸為橢圓上

a2b2

22

的任意一點,|尸娟w[a-c,a+c];斗名為雙曲線二—匕=l(a>0力>0)的左、右焦點,尸為雙曲線上的

a2b2

任一點,|P^|>c-a.

22

3、利用角度長度的大小建立不等關系.月,月為橢圓0+1=1的左、右焦點,尸為橢圓上的動點,

2

〃2b

若ZFtPF2=e,則橢圓離心率e的取值范圍為sin|<e<l-

4、利用題目不等關系建立不等關系.

5、利用判別式建立不等關系.

6、利用與雙曲線漸近線的斜率比較建立不等關系.

7、利用基本不等式,建立不等關系.

0

心真題砒標?精御皿\\

22

1.(2024年新課標全國I卷數學真題)設雙曲線C:「-1=l(a>0,6>0)的左右焦點分別為片、鳥,過F?

ab

作平行于y軸的直線交C于48兩點,若|£A|=13,|AB|=10,則C的離心率為.

22

2.(2023年新課標全國I卷數學真題)已知雙曲線C:2=1(。>0,。>0)的左、右焦點分別為片,工.點

ab

__9

A在C上,點3在y軸上,F^1F^,^A=--F;B,則C的離心率為.

3.(2023年北京高考數學真題)已知雙曲線C的焦點為(-2,0)和(2,0),離心率為四,則C的方程為

22

4.(2023年新課標全國I卷數學真題)設橢圓0:3+丫2=1(°>1)6:工+了2=1的離心率分別為0,4.若

a4

e2-yfiel,則〃=()

A.¥B.V2c.73D.V6

22

5.(2022年高考全國甲卷數學(理)真題)橢圓C:二+2=1(。>6>0)的左頂點為A,點尸,。均在C上,

ab

且關于y軸對稱.若直線AP,AQ的斜率之積為則C的離心率為()

A.也B.變C.1D.-

2223

6.(多選題)(2022年高考全國乙卷數學(理)真題)雙曲線C的兩個焦點為斗工,以C的實軸為直徑的

3

圓記為。,過片作。的切線與。交于M,N兩點,且cosN耳Ng=g,則。的離心率為()

㈤5

孩心精說,題型突破

題型一:頂角為直角的焦點三角形求解離心率的取值范圍問題

22

【典例1-1】己知橢圓宗+%=l(a>b>0)上一點A,它關于原點的對稱點為B,點產為橢圓右焦點,且滿

TT兀、

足AFLBF,設NA即=e,且,則該橢圓的離心率e的取值范圍是()

A.悍,g)B,[f4]C.,用D.忤”

22

【典例1-2】已知橢圓C:3+3=l(a>b>0)上有一點A,它關于原點的對稱點為8,點尸為橢圓的右焦

cib

jr

點,且AP_L8F,ZABF=—,則橢圓的離心率為()

12

A.|B.逅C.3D.—

2332

頂角為直角的焦點三角形求解離心率的取值范圍問題,如圖所示:

橢圓:e=

雙曲線:e=——1——=-------------,根據a范圍求解值域.

cosa-sina5+

22

【變式1-1】設A是雙曲線'-當=1(。>0,6>0)在第一象限內的點,廠為其右焦點,點A關于原點。的對

ab

稱點為8,且E4_LFB,2\FA\<\FB\<4\FA\,則雙曲線C的離心率的取值范圍是()

22

【變式1-2】雙曲線二-2=1(a>0,b>0)左支上一點A關于原點的對稱點為點反/為其右焦點,若

ab

AF±BF9設NABjF=a,且了五則離心率e的可能取值是()

A-TBYC.fD.萼

命題預測n

22

1.已知雙曲線=1(。>0,6>0)右支上非頂點的一點A關于原點的對稱點為反尸為雙曲線的右焦點,

ab

若AFLBF,設=且"哈箸則該雙曲線的離心率的取值范圍為()

A.(1,A/2)B.(72,2)C.^"\/2,+cojD.(2,+oo)

題型二:焦點三角形頂角范圍與離心率

22

【典例2-1】已知點招,鳥分別是橢圓「+谷=l(a>b>0)的左、右焦點,點尸是橢圓上的一個動點,

ab

若使得滿足公尸片工是直角三角形的動點尸恰好有6個,則該橢圓的離心率為()

A.|B.且C.—D.立

2223

22

【典例2-2】己知P為橢圓3=上一動點,工、工分別為該橢圓的左、右焦點,8為短軸一

ab

端點,如果1Ml長度的最大值為助,則使以百尸2為直角三角形的點p共有()個

A.8個B.4個或6個C.6個或8個D.4個或8個

22

圓居是橢圓二+==1(。>6>0)的焦點,點尸在橢圓上,NRPF-e,貝UcosON-2e?(當且僅當

ab

動點為短軸端點時取等號).

22

【變式2-1】已知居,F?分別是橢圓1r+方=1e>6>0)的左、右焦點,若橢圓上存在點尸,使得所電=0,

則該橢圓的離心率的取值范圍是()

22

【變式2-2】已知橢圓C的方程為—+4=1(。>匕>0),耳,耳為其左、右焦點,e為離心率,p為橢圓上一

ab

動點,有如下說法:

①當0<e<曰時,使△尸用工為直角三角形的點尸有且只有4個;

②當£=當時,使鳥為直角三角形的點尸有且只有6個;

③當,<e<l時,使△尸£居為直角三角形的點P有且只有8個;

以上說法中正確的個數是

A.0B.1C.2D.3

命題預測

22

1.已知P為橢圓3+[=l(a>b>0)上一點,與,與分別是橢圓的左、右焦點.若使AP^F?為直角三角形的

ab

點P有且只有4個,則橢圓離心率的取值范圍是()

題型三:共焦點的橢圓與雙曲線問題

【典例3-1】已知橢圓E:T+2=l(q>4>0)與雙曲線C:吞-與=1(出>0也>。)共焦點,演典分別為

%by%%

左、右焦點,點尸為E與C的一個交點,且4尸6=120。,設E與C的離心率分別為4,4,則e:+e;的取

值范圍是()

A.(忘,+oo)B.(右,+oo)C.(2,+co)D.(3,+oo)

22

【典例3-2】已知以小耳為焦點的橢圓C:=+與=1(°>》>0)與雙曲線T共焦點,一動點M在直線/:x=-a

ab

上運動,雙曲線7與橢圓C在一象限的交點為P,/月尸耳=],當/月尸乙與相等時,居取得最

大值,則雙曲線7的離心率為()

A.272B.342C.述D.逑

42

.22a

sm——。cos——

2-

____22+.____2T},與基本不等式聯姻求解離心率的取值范圍

e橢e雙

2222

【變式3-1】已知橢圓G:土+與=1(0<"<6)與雙曲線G:二-一J=1(0<a<4)共焦點%F2,

36n2a216-d

過耳引直線/與雙曲線左、右兩支分別交于點M,N,過。作Q4,/,垂足為A,且(。為坐標原

4

點),若tanN4N鳥=§,則G與。2的離心率之和為()

A4+3石D4+3713?4+3464+3萬

6633

【變式3-2】橢圓與雙曲線共焦點尸|,F2,它們的交點為尸,且/片尸耳=個.若橢圓的離心率為",則雙曲

32

線的離心率為()

A.B.述C.73D.2

64

命題預測J

22

1.已知橢圓G:二+與=l(a>b>0)的左、右焦點分別為K,B,離心率為G,橢圓C1的上頂點為M,且

ab

MF[MF^=O.雙曲線Q和橢圓G有相同焦點,且雙曲線c2的離心率為eZ,尸為曲線G與G的一個公共點,

IT

若/4P瑪=§,則e?的值為()

A.2B.3C.好D.漁

22

題型四:橢圓與雙曲線的4a通徑體

【典例4-1】設雙曲線C:+-]=1(4>0力>0)的左、右焦點分別是公、F2,過6的直線交雙曲線C的左

ab

支于M、N兩點,若|M閭=|耳聞,且21M凰=|N居則雙曲線C的離心率是()

A4R5若3

A.-D.—C.----U.一

3322

22

【典例4-2】已知雙曲線C:,-*=l(a>0,b>0)的左、右焦點分別是乙、F2,M是雙曲線C右支上的一

點,片加交雙曲線C的左支于點N,若|八胤:慳叫陽國=1:2:2,則C的離心率為()

A.乖)B.2C.75D.不

Hl

橢圓與雙曲線的4a通徑體

如圖,若Ag_L片耳,易知[A閭=2,若福=彳耳夙;1>1),則一定有|A耳卜號.2,根據

|A周+|4周=2。可得4±2互=2°,即"1(1一/)=lne=、耳

2a4VA+3

【變式4-1】若橢圓C:=+2=1(%>仇>0)的離心率與雙曲線E:二—與=1(a2>0,打>。)的離心

率之積為1,4,F2分別是雙曲線E的左、右焦點,M,N是雙曲線E的左支上兩點,且麗〃西,

|町|+慳段=3%,\MF2\^\MN\,A,尸分別是橢圓C的左頂點與左焦點,|A尸I=3-6,則橢圓C的方程

為()

.x2y2x2y2x2y2x2j2

32949554

22

【變式4-2]己知乙,工分別是橢圓C:=+3=ig>b>0)的左、右焦點,過點月的直線交橢圓C于

ab

N兩點.若|肱^+|町|=2]崢|,且沙,叫,則橢圓Q的離心率為()

A,昱A/2

Vz.--------D-4

命題預測T

22

1.設橢圓C:A+當=1(。>0,6>0)的左、右焦點分別為尸I,F2,過原點。的直線/交橢圓于Af,N兩點,

若|MN|=2c,囚6口入閭=1:20,則C的離心率為()

A.叵口6G3cD36-3

47-1*―7-

題型五:橢圓與雙曲線的4a直角體

22

【典例5-1】已知橢圓C:=+々=1(°>6>0)的左、右焦點分別為耳、F2,過乙作直線/與橢圓相交于M、

ab

N兩點,NMF°N=90,且4優N|=3優則橢圓的離心率為()

A.-B.1C.3D.好

3235

22

【典例5?2】設小尸2分別是橢圓石:三+與=1(〃>10)的左、右焦點,過尸2的直線交橢圓于4B兩點,

ab

_____k_____,ULMUUU

且砍?伍=0,AB=4FzB,則橢圓E的離心率為()

A.-B.亞C.6D.立

2234

如左圖,若A4_LAB,AB過原點,MAFi=AFlB,可得離心率.

如右圖,若如_LAC,AB過原點,且AF2=2尸2c(。<2<1),通過補全矩形,可得AF]_LAC,

|悟|二等『借助公式

可得離心率.

22

【變式5?1】設小尸2分別是橢圓E:?+2=l(4>8>0)的左、右焦點,過尸2的直線交橢圓于A,5兩點,

ab

且斯?亞'=0,N瓦=2質,則橢圓E的離心率為().

A,昱7

以D

2與-1

22

【變式5-2】設月、居分別是橢圓E:二+「=1(。>6>0)的左、右焦點,過點耳(-30)的直線交橢圓E于48

ab

兩點,若H片1=3區可,且AB_LA鳥,則橢圓E的離心率是

命題預測

22

1.設瓦,歹2分別是橢圓石:=+與=1(">匕>0)的左、右焦點,過點片的直線交橢圓E于A,B兩點,

ab

1M|=3怛耳I,若cosNA入3則橢圓E的離心率為()

A.1B.-C.昱D.也

2322

題型六:橢圓與雙曲線的等腰三角形問題

22

【典例6-1】橢圓C:事+提=1(。>6>0)的左、右焦點分別為尸1,F,過點片的直線/交橢圓C于A,B兩

ab2

點,若|月耳|=|4工|,苕=2耶,則橢圓C的離心率為()

【典例6-2】已知橢圓C的焦點為居(TO),g(1,0),過仍的直線與C交于A,B兩點.若IAfJ=2|6冏,

IAB\=\BF],則C的方程為

同角余弦定理使用兩次

【變式6-1】己知橢圓C的焦點為耳,F2,過耳的直線與C交于A,B兩點,若[4用=忸用=宗忸用,則C

的離心率為()

A.也B.走C.1D.-

2323

【變式6-2】已知雙曲線C的焦點為片(-1,0),8(1,0),過4的直線與雙曲線C的左支交于A,8兩點,若

|明|=2忻訊|至|=|巡|,則。的方程為()

A.a-6yaB,江一/=1C.4yaD,至一至=1

534334

命題預測I

22

已知雙曲線-當()左右焦點為居,

1.3=10>0/>0F2,過尸2的直線與雙曲線的右支交于尸,。兩點,且

ab

PFi=2KQ,若4尸。百為以。為頂角的等腰三角形,則雙曲線的離心率為()

A.不B.V2

cV21

D.6

3

題型七:雙曲線的4a底邊等腰三角形

22

【典例7-1】設工為雙曲線c:二-2=1(。>0,6>0)的右焦點,直線/:x-2y+c=0(其中。為雙曲線C

ab

的半焦距)與雙曲線C的左、右兩支分別交于M,N兩點,若旃?(可7+研)=。,則雙曲線C的離心率

是()

A.-B.-C.姮D.逑

3333

22

【典例7-2】設F?為雙曲線C:工-斗=1(”>0,沙>0)的右焦點,直線/:x-3y+c=0(其中c為雙

ab

曲線C的半焦距)與雙曲線C的左、右兩支分別交于N兩點,若麗.(W+W)=0,則雙曲線C的

離心率是()

BD.

-T2

當優=|鳥邳或者|A.=4a時,令,則一^定存在①忸叫=優卻,②e二―,

“vcos2a

【變式7-1】設雙曲線C:5-,=1(。>0,6>0)的左、右焦點分別為片,鳥,過點K作斜率為弓的直線/與

雙曲線C的左、右兩支分別交于M,N兩點,且(及質+可)?麗=0,則雙曲線C的離心率為()

A.72B.V3C.6D.2

1命題預測卜

,v23

1.設雙曲線C:=-當=1(〃>0*>0)的左、右焦點分別為《,F2,過點耳作斜率為:的直線/與雙曲線C

ab4

的左、右兩支分別交于M,N兩點,且F?在線段MN的垂直平分線上,則雙曲線C的離心率為()

A.6B.73C.77D.券

題型八:焦點到漸近線距離為b

22

【典例8-1】已知雙曲線(?:=-與=1(。>04>0)的左、右焦點分別為耳,工,過F?作雙曲線C的一條漸近

ab

線的垂線/,垂足為H,直線/與雙曲線C的左支交于E點,且H恰為線段EB的中點,則雙曲線C的離心

率為()

A.逝B.73C.2D.75

22

【典例8-2】已知雙曲線C:3-1=1(。>。,6>。)的左、右焦點分別為尸i,F],過C的右支上一點產

ab

作C的一條漸近線的垂線,垂足為H,若忸M+I牛I的最小值為(2+g)a,則C的離心率為()

A.V5B.2C.V3D.72

b、

雙曲線的特征三角形,如圖所示,-x,過右焦點作尸M_!_/],FN±l2>

aa

故四=幽上

由于漸近線方程為y=±2x=2,且斜邊卜°,故==g'故1°閭=|。時=々,

a'\OM\|ON|

\MF2\=\NF2\=b.

22

【變式8-。已知雙曲線的左、右焦點分別為乙、F2,過乙作直線/,使得它雙曲

線的一條漸近線垂直且垂足為點。,/與雙曲線的右支交于點尸,若線段P。的垂直平分線恰好過c的右焦

點F2,則雙曲線c的離心率為()

A.@B.姮C巫

232

22

【變式8-2】已知雙曲線二-谷=1(。>0,6>0)的左右焦點分別為耳,尺,以。耳為直徑的圓與雙曲線的一

ab

條漸近線交于點”(異于坐標原點。),若線段叫交雙曲線于點尸,且哂“OP則該雙曲線的離心率為

()

A.72B.6C.與D.76

命題預測

V22

1.已知尸1、尸2分別是雙曲線C:二斗=l(a>0力>0)的左、右焦點,過尸2作雙曲線C的一條漸近線的垂

ab

線,分別交兩條漸近線于點A、B,過點3作x軸的垂線,垂足恰為《,則雙曲線。的離心率為()

A.2B.73C.2gD.至

題型九:焦點到漸近線垂線構造的直角三角形

22

【典例9-1】已知雙曲線c:二-2=13>0/>0)的一個焦點為尸,過戶作雙曲線C的一條漸近線的垂線,

ab

垂足為A.若AOE4(。為坐標原點)的面積等于:。2(c為雙曲線c的半焦距),則雙曲線C的離心率為()

A.72B.6C.2D.75

22

【典例9-2]已知雙曲線E:=-2=1(。>0*>0)的左焦點為耳,過點耳的直線與兩條漸近線的交點分別為

ab

M、N兩點(點片位于點〃與點N之間),且礪=2祁,又過點月作月尸,于尸(點。為坐標原點),且

\ON\^\OP\,則雙曲線E的離心率0=()

A.VsB.6C.氈D.好

32

利用幾何法轉化

22

【變式9-1】過雙曲線二-當=1的焦點尸作其漸近線的垂線,垂足為A,直線E4交雙曲線的另一條漸近

ab

線于3點,。為坐標原點,若礪+礪=2兩,則雙曲線的離心率為()

A.73B.2C.A/5D.3

22

【變式9-2】過雙曲線C:二一2r=1(°>0,b>0)的右焦點尸引一條漸近線的垂線,與另一條漸近線相交于

ab

第二象限,則雙曲線。的離心率的取值范圍是()

A.(亞,+8)B.(/,+8)C.(2,+oo)D.(3,+oo)

1命題預測

22

1.已知雙曲線C:「-當=l(a>0,b〉0),過右焦點尸作C的一條漸近線的垂線/,垂足為點A,/與C的

a2b2V)

-.2-.

另一條漸近線交于點5,若A/=gA3,則。的離心率為()

A.畫B.2C.氈D.叵

532

題型十:以兩焦點為直徑的圓與漸近線相交問題

22

【典例10一1】設乙,尸2是雙曲線C:5一當=1(。>0,6>0)的左、右焦點,以線段G8為直徑的圓與直線

ab

區-◎=0在第一象限交于點A,若tanNA60=2,則雙曲線C的離心率為()

22

【典例10-2】已知片,F2分別為雙曲線C:二一2=1(。>0力>0)的左,右焦點,以「耳為直徑的圓與

ab

雙曲線C的右支在第一象限交于A點,直線A8與雙曲線C的右支交于B點,點F?恰好為線段A8的三等分

點(靠近點A),則雙曲線C的離心率等于()

A.72B.V5C.叵D.匕或

32

以耳外為直徑作圓,交一條漸近線y=于點3,幽交另一條漸近線于點A,則令,則

a

2

ZBF1F2,e=71+tana

22

【變式10-1】已知雙曲線C:三-與=1(〃〉0,。〉0)的左、右焦點分別為片,F2,以耳耳為直徑的圓與。的

一條漸近線在第一象限交點為夕,直線耳P與另一條漸近線交于點。.若點。是線段可尸中點,則雙曲線。

的離心率是()

A.73B.2C.5/5D.3

命題預測T

22

1.已知雙曲線C:十-}=1(。>0,6>0)的左,右焦點分別為B,尸2,若以為直徑的圓和曲線C在第

一象限交于點尸,且APOB恰好為正三角形,則雙曲線C的離心率為()

1+A/3口1+A/5

--------------D.--------------C.1+V3D.1+75

22

題型十一:漸近線平行線與面積問題

22

【典例11-1】已知片,尸2分別為雙曲線C:二-2=1(“>0,6>0)的左、右焦點,過尸2作C的兩條漸近線

ab

的平行線,與漸近線交于M,N兩點.若cosNA^N=《,則C的離心率為()

A.2B.孚C.75D.|

22

【典

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