專題17圓錐曲線離心率問(wèn)題精妙解法

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航............................................................2

02知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航............................................................3

03知識(shí)梳理?方法技巧............................................................4

04真題研析?精準(zhǔn)預(yù)測(cè)............................................................5

題型一：頂角為直角的焦點(diǎn)三角形求解離心率的取值范圍問(wèn)題6

題型二：焦點(diǎn)三角形頂角范圍與離心率7

題型三：共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線問(wèn)題9

題型四：橢圓與雙曲線的4a通徑體10

題型五：橢圓與雙曲線的4a直角體12

題型六：橢圓與雙曲線的等腰三角形問(wèn)題13

題型七：雙曲線的4a底邊等腰三角形14

題型八：焦點(diǎn)到漸近線距離為b15

題型九：焦點(diǎn)到漸近線垂線構(gòu)造的直角三角形17

題型十：以兩焦點(diǎn)為直徑的圓與漸近線相交問(wèn)題18

題型十一：漸近線平行線與面積問(wèn)題20

重難點(diǎn)突破：數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化長(zhǎng)度角度21

差情;奏汨?日標(biāo)旦祐

關(guān)于橢圓或雙曲線的離心率，以及與雙曲線的漸近線相關(guān)的問(wèn)題，通常以選擇或填空題的形式出現(xiàn),

其難度屬于中等水平。

考點(diǎn)要求目標(biāo)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

離心率問(wèn)題是高

考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容，主

2024年甲卷第5題，5分

要考查圓錐曲線的概

2024年I卷第12題，5分

念和幾何性質(zhì)。在二輪

2023年I卷第5、16題，10分

掌握求解，理解2023年甲卷第9題，5分復(fù)習(xí)中，應(yīng)掌握其基本

離心率

應(yīng)用。2022年甲卷第10題，5分性質(zhì)和常規(guī)處理方法，

2022年浙江卷第16題，4分特別是要從挖掘橢圓

2021年甲卷第5題，5分

和雙曲線的幾何性質(zhì)

2021年天津卷第8題，5分

入手，以應(yīng)對(duì)考試中的

相關(guān)問(wèn)題。

匐2

知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航7

頂角為直角的焦點(diǎn)三角形求解離心率

的取值范圍問(wèn)題

焦點(diǎn)三角形頂角范圍與離心率

共焦點(diǎn)的桶圓與雙曲線問(wèn)題

牛nt口偏孑里?二注怙工虧

求離心率范圍的方法

一、建立不等式法：

1、利用曲線的范圍建立不等關(guān)系.

22

2、利用線段長(zhǎng)度的大小建立不等關(guān)系.斗鳥(niǎo)為橢圓二+與=1（a>6>0）的左、右焦點(diǎn)，尸為橢圓上

a2b2

22

的任意一點(diǎn)，|尸娟w[a-c,a+c];斗名為雙曲線二—匕=l（a>0力>0）的左、右焦點(diǎn)，尸為雙曲線上的

a2b2

任一點(diǎn)，|P^|>c-a.

22

3、利用角度長(zhǎng)度的大小建立不等關(guān)系.月，月為橢圓0+1=1的左、右焦點(diǎn)，尸為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，

2

〃2b

若ZFtPF2=e,則橢圓離心率e的取值范圍為sin|<e<l-

4、利用題目不等關(guān)系建立不等關(guān)系.

5、利用判別式建立不等關(guān)系.

6、利用與雙曲線漸近線的斜率比較建立不等關(guān)系.

7、利用基本不等式，建立不等關(guān)系.

0

心真題砒標(biāo)?精御皿\\

22

1.（2024年新課標(biāo)全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）設(shè)雙曲線C:「-1=l（a>0,6>0）的左右焦點(diǎn)分別為片、鳥(niǎo)，過(guò)F?

ab

作平行于y軸的直線交C于48兩點(diǎn)，若|￡A|=13,|AB|=10,則C的離心率為.

22

2.（2023年新課標(biāo)全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）已知雙曲線C:2=1（。>0,。>0）的左、右焦點(diǎn)分別為片,工.點(diǎn)

ab

__9

A在C上，點(diǎn)3在y軸上，F(xiàn)^1F^,^A=--F;B,則C的離心率為.

3.（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）已知雙曲線C的焦點(diǎn)為（-2,0）和（2,0）,離心率為四，則C的方程為

22

4.（2023年新課標(biāo)全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）設(shè)橢圓0：3+丫2=1（°>1）6：工+了2=1的離心率分別為0，4.若

a4

e2-yfiel，則〃=（）

A.￥B.V2c.73D.V6

22

5.（2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）橢圓C:二+2=1（。>6>0）的左頂點(diǎn)為A,點(diǎn)尸，。均在C上，

ab

且關(guān)于y軸對(duì)稱.若直線AP,AQ的斜率之積為則C的離心率為（）

A.也B.變C.1D.-

2223

6.（多選題）（2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為斗工，以C的實(shí)軸為直徑的

3

圓記為。，過(guò)片作。的切線與。交于M,N兩點(diǎn)，且cosN耳Ng=g,則。的離心率為（）

㈤5

孩心精說(shuō)，題型突破

題型一：頂角為直角的焦點(diǎn)三角形求解離心率的取值范圍問(wèn)題

22

【典例1-1】己知橢圓宗+%=l（a>b>0）上一點(diǎn)A,它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B,點(diǎn)產(chǎn)為橢圓右焦點(diǎn)，且滿

TT兀、

足AFLBF,設(shè)NA即=e,且,則該橢圓的離心率e的取值范圍是（）

A.悍,g）B,[f4]C.,用D.忤”

22

【典例1-2】已知橢圓C：3+3=l（a>b>0）上有一點(diǎn)A,它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為8,點(diǎn)尸為橢圓的右焦

cib

jr

點(diǎn)，且AP_L8F,ZABF=—,則橢圓的離心率為（）

12

A.|B.逅C.3D.—

2332

巧

頂角為直角的焦點(diǎn)三角形求解離心率的取值范圍問(wèn)題，如圖所示:

橢圓：e=

雙曲線：e=——1——=-------------,根據(jù)a范圍求解值域.

cosa-sina5+

22

【變式1-1】設(shè)A是雙曲線'-當(dāng)=1（。>0,6>0）在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，廠為其右焦點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)。的對(duì)

ab

稱點(diǎn)為8,且E4_LFB,2\FA\<\FB\<4\FA\,則雙曲線C的離心率的取值范圍是（）

22

【變式1-2】雙曲線二-2=1（a>0,b>0）左支上一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)反/為其右焦點(diǎn)，若

ab

AF±BF9設(shè)NABjF=a,且了五則離心率e的可能取值是（）

A-TBYC.fD.萼

命題預(yù)測(cè)n

22

1.已知雙曲線=1（。>0,6>0）右支上非頂點(diǎn)的一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為反尸為雙曲線的右焦點(diǎn),

ab

若AFLBF,設(shè)=且"哈箸則該雙曲線的離心率的取值范圍為（）

A.(1,A/2)B.(72,2)C.^"\/2,+cojD.(2,+oo)

題型二：焦點(diǎn)三角形頂角范圍與離心率

22

【典例2-1】已知點(diǎn)招，鳥(niǎo)分別是橢圓「+谷=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)尸是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

ab

若使得滿足公尸片工是直角三角形的動(dòng)點(diǎn)尸恰好有6個(gè)，則該橢圓的離心率為（）

A.|B.且C.—D.立

2223

22

【典例2-2】己知P為橢圓3=上一動(dòng)點(diǎn)，工、工分別為該橢圓的左、右焦點(diǎn)，8為短軸一

ab

端點(diǎn)，如果1Ml長(zhǎng)度的最大值為助，則使以百尸2為直角三角形的點(diǎn)p共有（）個(gè)

A.8個(gè)B.4個(gè)或6個(gè)C.6個(gè)或8個(gè)D.4個(gè)或8個(gè)

22

圓居是橢圓二+==1（。>6>0）的焦點(diǎn)，點(diǎn)尸在橢圓上，NRPF-e,貝UcosON-2e?（當(dāng)且僅當(dāng)

ab

動(dòng)點(diǎn)為短軸端點(diǎn)時(shí)取等號(hào)）.

22

【變式2-1】已知居，F(xiàn)?分別是橢圓1r+方=1e>6>0）的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)尸，使得所電=0,

則該橢圓的離心率的取值范圍是（）

22

【變式2-2】已知橢圓C的方程為—+4=1（。>匕>0）,耳，耳為其左、右焦點(diǎn)，e為離心率，p為橢圓上一

ab

動(dòng)點(diǎn)，有如下說(shuō)法：

①當(dāng)0<e<曰時(shí)，使△尸用工為直角三角形的點(diǎn)尸有且只有4個(gè)；

②當(dāng)￡=當(dāng)時(shí)，使鳥(niǎo)為直角三角形的點(diǎn)尸有且只有6個(gè)；

③當(dāng),<e<l時(shí)，使△尸￡居為直角三角形的點(diǎn)P有且只有8個(gè)；

以上說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是

A.0B.1C.2D.3

命題預(yù)測(cè)

22

1.已知P為橢圓3+[=l（a>b>0）上一點(diǎn)，與，與分別是橢圓的左、右焦點(diǎn).若使AP^F?為直角三角形的

ab

點(diǎn)P有且只有4個(gè)，則橢圓離心率的取值范圍是（）

題型三：共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線問(wèn)題

【典例3-1】已知橢圓E：T+2=l（q>4>0）與雙曲線C:吞-與=1（出>0也>。）共焦點(diǎn)，演典分別為

%by%%

左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)尸為E與C的一個(gè)交點(diǎn)，且4尸6=120。，設(shè)E與C的離心率分別為4,4,則e：+e；的取

值范圍是（）

A.（忘,+oo）B.（右,+oo）C.（2,+co）D.（3,+oo）

22

【典例3-2】已知以小耳為焦點(diǎn)的橢圓C:=+與=1（°>》>0）與雙曲線T共焦點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)M在直線/:x=-a

ab

上運(yùn)動(dòng)，雙曲線7與橢圓C在一象限的交點(diǎn)為P,/月尸耳=],當(dāng)/月尸乙與相等時(shí)，居取得最

大值，則雙曲線7的離心率為（）

A.272B.342C.述D.逑

42

.22a

sm——。cos——

2-

____22+.____2T}，與基本不等式聯(lián)姻求解離心率的取值范圍

e橢e雙

2222

【變式3-1】已知橢圓G：土+與=1（0<"<6）與雙曲線G：二-一J=1（0<a<4）共焦點(diǎn)%F2,

36n2a216-d

過(guò)耳引直線/與雙曲線左、右兩支分別交于點(diǎn)M,N,過(guò)。作Q4，/,垂足為A,且（。為坐標(biāo)原

4

點(diǎn)），若tanN4N鳥(niǎo)=§,則G與。2的離心率之和為（）

A4+3石D4+3713?4+3464+3萬(wàn)

6633

【變式3-2】橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)尸|,F2,它們的交點(diǎn)為尸，且/片尸耳=個(gè).若橢圓的離心率為"，則雙曲

32

線的離心率為（）

A.B.述C.73D.2

64

命題預(yù)測(cè)J

22

1.已知橢圓G：二+與=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為K，B，離心率為G，橢圓C1的上頂點(diǎn)為M,且

ab

MF[MF^=O.雙曲線Q和橢圓G有相同焦點(diǎn)，且雙曲線c2的離心率為eZ,尸為曲線G與G的一個(gè)公共點(diǎn)，

IT

若/4P瑪=§,則e?的值為（）

A.2B.3C.好D.漁

22

題型四：橢圓與雙曲線的4a通徑體

【典例4-1】設(shè)雙曲線C:+-]=1（4>0力>0）的左、右焦點(diǎn)分別是公、F2,過(guò)6的直線交雙曲線C的左

ab

支于M、N兩點(diǎn)，若|M閭=|耳聞，且21M凰=|N居則雙曲線C的離心率是（）

A4R5若3

A.-D.—C.----U.一

3322

22

【典例4-2】已知雙曲線C:，-*=l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別是乙、F2,M是雙曲線C右支上的一

點(diǎn)，片加交雙曲線C的左支于點(diǎn)N,若|八胤:慳叫陽(yáng)國(guó)=1:2:2,則C的離心率為（）

A.乖）B.2C.75D.不

Hl

橢圓與雙曲線的4a通徑體

如圖，若Ag_L片耳，易知［A閭=2，若福=彳耳夙;1>1）,則一定有|A耳卜號(hào).2,根據(jù)

|A周+|4周=2。可得4±2互=2°，即"1（1一/）=lne=、耳

2a4VA+3

【變式4-1】若橢圓C：=+2=1（%>仇>0）的離心率與雙曲線E:二—與=1（a2>0,打>。）的離心

率之積為1,4，F(xiàn)2分別是雙曲線E的左、右焦點(diǎn)，M,N是雙曲線E的左支上兩點(diǎn)，且麗〃西，

|町|+慳段=3%,\MF2\^\MN\,A,尸分別是橢圓C的左頂點(diǎn)與左焦點(diǎn)，|A尸I=3-6，則橢圓C的方程

為（）

.x2y2x2y2x2y2x2j2

32949554

22

【變式4-2］己知乙，工分別是橢圓C：=+3=ig>b>0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)月的直線交橢圓C于

ab

N兩點(diǎn).若|肱^+|町|=2］崢|,且沙，叫，則橢圓Q的離心率為（）

「

A,昱A/2

Vz.--------D-4

命題預(yù)測(cè)T

22

1.設(shè)橢圓C：A+當(dāng)=1（。>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為尸I，F(xiàn)2,過(guò)原點(diǎn)。的直線/交橢圓于Af,N兩點(diǎn),

若|MN|=2c,囚6口入閭=1:20,則C的離心率為（）

A.叵口6G3cD36-3

47-1*―7-

題型五：橢圓與雙曲線的4a直角體

22

【典例5-1】已知橢圓C:=+々=1（°>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳、F2,過(guò)乙作直線/與橢圓相交于M、

ab

N兩點(diǎn)，NMF°N=90,且4優(yōu)N|=3優(yōu)則橢圓的離心率為（）

A.-B.1C.3D.好

3235

22

【典例5?2】設(shè)小尸2分別是橢圓石:三+與=1（〃>10）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)尸2的直線交橢圓于4B兩點(diǎn),

ab

_____k_____,ULMUUU

且砍?伍=0,AB=4FzB,則橢圓E的離心率為（）

A.-B.亞C.6D.立

2234

巧

如左圖，若A4_LAB,AB過(guò)原點(diǎn)，MAFi=AFlB,可得離心率.

如右圖，若如_LAC,AB過(guò)原點(diǎn)，且AF2=2尸2c（。<2<1），通過(guò)補(bǔ)全矩形，可得AF]_LAC,

|悟|二等『借助公式

可得離心率.

22

【變式5?1】設(shè)小尸2分別是橢圓E：?+2=l（4>8>0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)尸2的直線交橢圓于A,5兩點(diǎn),

ab

且斯?亞'=0,N瓦=2質(zhì)，則橢圓E的離心率為（）.

A,昱7

以D

2與-1

22

【變式5-2】設(shè)月、居分別是橢圓E:二+「=1（。＞6＞0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)耳（-30）的直線交橢圓E于48

ab

兩點(diǎn)，若H片1=3區(qū)可，且AB_LA鳥(niǎo)，則橢圓E的離心率是

命題預(yù)測(cè)

22

1.設(shè)瓦，歹2分別是橢圓石：=+與=1（"＞匕＞0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)片的直線交橢圓E于A,B兩點(diǎn),

ab

1M|=3怛耳I，若cosNA入3則橢圓E的離心率為（）

A.1B.-C.昱D.也

2322

題型六：橢圓與雙曲線的等腰三角形問(wèn)題

22

【典例6-1】橢圓C:事+提=1（。＞6＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為尸1,F,過(guò)點(diǎn)片的直線/交橢圓C于A,B兩

ab2

點(diǎn)，若|月耳|=|4工|,苕=2耶，則橢圓C的離心率為（）

【典例6-2】已知橢圓C的焦點(diǎn)為居（TO），g（1,0）,過(guò)仍的直線與C交于A,B兩點(diǎn).若IAfJ=2|6冏,

IAB\=\BF],則C的方程為

同角余弦定理使用兩次

【變式6-1】己知橢圓C的焦點(diǎn)為耳，F(xiàn)2,過(guò)耳的直線與C交于A,B兩點(diǎn)，若[4用=忸用=宗忸用，則C

的離心率為（）

A.也B.走C.1D.-

2323

【變式6-2】已知雙曲線C的焦點(diǎn)為片（-1,0）,8（1,0）,過(guò)4的直線與雙曲線C的左支交于A,8兩點(diǎn)，若

|明|=2忻訊|至|=|巡|,則。的方程為（）

A.a-6yaB,江一/=1C.4yaD,至一至=1

534334

命題預(yù)測(cè)I

22

已知雙曲線-當(dāng)（）左右焦點(diǎn)為居,

1.3=10>0/>0F2,過(guò)尸2的直線與雙曲線的右支交于尸，。兩點(diǎn)，且

ab

PFi=2KQ,若4尸。百為以。為頂角的等腰三角形，則雙曲線的離心率為（）

A.不B.V2

cV21

D.6

3

題型七：雙曲線的4a底邊等腰三角形

22

【典例7-1】設(shè)工為雙曲線c：二-2=1（。>0,6>0）的右焦點(diǎn)，直線/：x-2y+c=0（其中。為雙曲線C

ab

的半焦距）與雙曲線C的左、右兩支分別交于M,N兩點(diǎn)，若旃?（可7+研）=。，則雙曲線C的離心率

是（）

A.-B.-C.姮D.逑

3333

22

【典例7-2】設(shè)F?為雙曲線C：工-斗=1（”>0,沙>0）的右焦點(diǎn)，直線/：x-3y+c=0（其中c為雙

ab

曲線C的半焦距）與雙曲線C的左、右兩支分別交于N兩點(diǎn),若麗.（W+W）=0,則雙曲線C的

離心率是（）

BD.

-T2

當(dāng)優(yōu)=|鳥(niǎo)邳或者|A.=4a時(shí)，令，則一^定存在①忸叫=優(yōu)卻，②e二―,

“vcos2a

【變式7-1】設(shè)雙曲線C:5-，=1（。>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為片，鳥(niǎo)，過(guò)點(diǎn)K作斜率為弓的直線/與

雙曲線C的左、右兩支分別交于M,N兩點(diǎn)，且（及質(zhì)+可）?麗=0,則雙曲線C的離心率為（）

A.72B.V3C.6D.2

1命題預(yù)測(cè)卜

,v23

1.設(shè)雙曲線C:=-當(dāng)=1（〃>0*>0）的左、右焦點(diǎn)分別為《，F(xiàn)2,過(guò)點(diǎn)耳作斜率為:的直線/與雙曲線C

ab4

的左、右兩支分別交于M,N兩點(diǎn)，且F?在線段MN的垂直平分線上，則雙曲線C的離心率為（）

A.6B.73C.77D.券

題型八：焦點(diǎn)到漸近線距離為b

22

【典例8-1】已知雙曲線（?:=-與=1（。>04>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，工，過(guò)F?作雙曲線C的一條漸近

ab

線的垂線/,垂足為H,直線/與雙曲線C的左支交于E點(diǎn)，且H恰為線段EB的中點(diǎn)，則雙曲線C的離心

率為（）

A.逝B.73C.2D.75

22

【典例8-2】已知雙曲線C：3-1=1（。＞。，6＞。）的左、右焦點(diǎn)分別為尸i，F(xiàn)],過(guò)C的右支上一點(diǎn)產(chǎn)

ab

作C的一條漸近線的垂線，垂足為H,若忸M+I牛I的最小值為（2+g）a,則C的離心率為（）

A.V5B.2C.V3D.72

巧

b、

雙曲線的特征三角形，如圖所示,-x，過(guò)右焦點(diǎn)作尸M_!_/]，F(xiàn)N±l2＞

aa

故四=幽上

由于漸近線方程為y=±2x=2,且斜邊卜°,故==g'故1°閭=|。時(shí)=々,

a'\OM\|ON|

\MF2\=\NF2\=b.

22

【變式8-。已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為乙、F2,過(guò)乙作直線/,使得它雙曲

線的一條漸近線垂直且垂足為點(diǎn)。，/與雙曲線的右支交于點(diǎn)尸，若線段P。的垂直平分線恰好過(guò)c的右焦

點(diǎn)F2,則雙曲線c的離心率為（）

A.@B.姮C巫

232

22

【變式8-2】已知雙曲線二-谷=1（。＞0,6＞0）的左右焦點(diǎn)分別為耳，尺,以。耳為直徑的圓與雙曲線的一

ab

條漸近線交于點(diǎn)”（異于坐標(biāo)原點(diǎn)。），若線段叫交雙曲線于點(diǎn)尸，且哂“OP則該雙曲線的離心率為

（）

A.72B.6C.與D.76

命題預(yù)測(cè)

V22

1.已知尸1、尸2分別是雙曲線C：二斗=l（a>0力>0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)尸2作雙曲線C的一條漸近線的垂

ab

線，分別交兩條漸近線于點(diǎn)A、B,過(guò)點(diǎn)3作x軸的垂線，垂足恰為《，則雙曲線。的離心率為（）

A.2B.73C.2gD.至

題型九：焦點(diǎn)到漸近線垂線構(gòu)造的直角三角形

22

【典例9-1】已知雙曲線c：二-2=13>0/>0）的一個(gè)焦點(diǎn)為尸，過(guò)戶作雙曲線C的一條漸近線的垂線，

ab

垂足為A.若AOE4（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積等于:。2（c為雙曲線c的半焦距），則雙曲線C的離心率為（）

A.72B.6C.2D.75

22

【典例9-2］已知雙曲線E:=-2=1（。>0*>0）的左焦點(diǎn)為耳,過(guò)點(diǎn)耳的直線與兩條漸近線的交點(diǎn)分別為

ab

M、N兩點(diǎn)（點(diǎn)片位于點(diǎn)〃與點(diǎn)N之間），且礪=2祁，又過(guò)點(diǎn)月作月尸，于尸（點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)），且

\ON\^\OP\,則雙曲線E的離心率0=（）

A.VsB.6C.氈D.好

32

利用幾何法轉(zhuǎn)化

22

【變式9-1】過(guò)雙曲線二-當(dāng)=1的焦點(diǎn)尸作其漸近線的垂線，垂足為A,直線E4交雙曲線的另一條漸近

ab

線于3點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若礪+礪=2兩，則雙曲線的離心率為（）

A.73B.2C.A/5D.3

22

【變式9-2】過(guò)雙曲線C：二一2r=1（°>0,b>0）的右焦點(diǎn)尸引一條漸近線的垂線，與另一條漸近線相交于

ab

第二象限，則雙曲線。的離心率的取值范圍是（）

A.(亞,+8)B.(/，+8)C.(2,+oo)D.(3,+oo)

1命題預(yù)測(cè)

22

1.已知雙曲線C:「-當(dāng)=l（a＞0,b〉0）,過(guò)右焦點(diǎn)尸作C的一條漸近線的垂線/,垂足為點(diǎn)A,/與C的

a2b2V）

-.2-.

另一條漸近線交于點(diǎn)5,若A/=gA3,則。的離心率為（）

A.畫(huà)B.2C.氈D.叵

532

題型十：以兩焦點(diǎn)為直徑的圓與漸近線相交問(wèn)題

22

【典例10一1】設(shè)乙，尸2是雙曲線C：5一當(dāng)=1（。＞0,6＞0）的左、右焦點(diǎn)，以線段G8為直徑的圓與直線

ab

區(qū)-◎=0在第一象限交于點(diǎn)A,若tanNA60=2,則雙曲線C的離心率為（）

22

【典例10-2】已知片，F(xiàn)2分別為雙曲線C：二一2=1（。＞0力＞0）的左，右焦點(diǎn)，以「耳為直徑的圓與

ab

雙曲線C的右支在第一象限交于A點(diǎn)，直線A8與雙曲線C的右支交于B點(diǎn)，點(diǎn)F?恰好為線段A8的三等分

點(diǎn)（靠近點(diǎn)A）,則雙曲線C的離心率等于（）

A.72B.V5C.叵D.匕或

32

巧

以耳外為直徑作圓，交一條漸近線y=于點(diǎn)3,幽交另一條漸近線于點(diǎn)A,則令，則

a

2

ZBF1F2，e=71+tana

22

【變式10-1】已知雙曲線C:三-與=1（〃〉0,。〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為片，F(xiàn)2,以耳耳為直徑的圓與。的

一條漸近線在第一象限交點(diǎn)為夕，直線耳P與另一條漸近線交于點(diǎn)。.若點(diǎn)。是線段可尸中點(diǎn)，則雙曲線。

的離心率是（）

A.73B.2C.5/5D.3

命題預(yù)測(cè)T

22

1.已知雙曲線C：十-}=1（。>0,6>0）的左，右焦點(diǎn)分別為B,尸2,若以為直徑的圓和曲線C在第

一象限交于點(diǎn)尸，且APOB恰好為正三角形，則雙曲線C的離心率為（）

1+A/3口1+A/5

--------------D.--------------C.1+V3D.1+75

22

題型十一：漸近線平行線與面積問(wèn)題

22

【典例11-1】已知片，尸2分別為雙曲線C：二-2=1（“>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)尸2作C的兩條漸近線

ab

的平行線，與漸近線交于M,N兩點(diǎn).若cosNA^N=《，則C的離心率為（）

A.2B.孚C.75D.|

22

【典