專題17圓錐曲線離心率問題精妙解法

目錄

01考情透視?目標導航............................................................2

02知識導圖?思維引航............................................................3

03知識梳理?方法技巧............................................................4

04真題研析?精準預測............................................................5

題型一：頂角為直角的焦點三角形求解離心率的取值范圍問題6

題型二：焦點三角形頂角范圍與離心率7

題型三：共焦點的橢圓與雙曲線問題9

題型四：橢圓與雙曲線的4a通徑體10

題型五：橢圓與雙曲線的4a直角體12

題型六：橢圓與雙曲線的等腰三角形問題13

題型七：雙曲線的4a底邊等腰三角形14

題型八：焦點到漸近線距離為b15

題型九：焦點到漸近線垂線構造的直角三角形17

題型十：以兩焦點為直徑的圓與漸近線相交問題18

題型十一：漸近線平行線與面積問題20

重難點突破：數形結合轉化長度角度21

差情;奏汨?日標旦祐

關于橢圓或雙曲線的離心率，以及與雙曲線的漸近線相關的問題，通常以選擇或填空題的形式出現,

其難度屬于中等水平。

考點要求目標要求考題統計考情分析

離心率問題是高

考數學的必考內容，主

2024年甲卷第5題，5分

要考查圓錐曲線的概

2024年I卷第12題，5分

念和幾何性質。在二輪

2023年I卷第5、16題，10分

掌握求解，理解2023年甲卷第9題，5分復習中，應掌握其基本

離心率

應用。2022年甲卷第10題，5分性質和常規處理方法，

2022年浙江卷第16題，4分特別是要從挖掘橢圓

2021年甲卷第5題，5分

和雙曲線的幾何性質

2021年天津卷第8題，5分

入手，以應對考試中的

相關問題。

匐2

知識導圖?思維引航7

頂角為直角的焦點三角形求解離心率

的取值范圍問題

焦點三角形頂角范圍與離心率

共焦點的桶圓與雙曲線問題

牛nt口偏孑里?二注怙工虧

求離心率范圍的方法

一、建立不等式法：

1、利用曲線的范圍建立不等關系.

22

2、利用線段長度的大小建立不等關系.斗鳥為橢圓二+與=1（a>6>0）的左、右焦點，尸為橢圓上

a2b2

22

的任意一點，|尸娟w[a-c,a+c];斗名為雙曲線二—匕=l（a>0力>0）的左、右焦點，尸為雙曲線上的

a2b2

任一點，|P^|>c-a.

22

3、利用角度長度的大小建立不等關系.月，月為橢圓0+1=1的左、右焦點，尸為橢圓上的動點，

2

〃2b

若ZFtPF2=e,則橢圓離心率e的取值范圍為sin|<e<l-

4、利用題目不等關系建立不等關系.

5、利用判別式建立不等關系.

6、利用與雙曲線漸近線的斜率比較建立不等關系.

7、利用基本不等式，建立不等關系.

0

心真題砒標?精御皿\\

22

1.（2024年新課標全國I卷數學真題）設雙曲線C:「-1=l（a>0,6>0）的左右焦點分別為片、鳥，過F?

ab

作平行于y軸的直線交C于48兩點，若|￡A|=13,|AB|=10,則C的離心率為.

22

2.（2023年新課標全國I卷數學真題）已知雙曲線C:2=1（。>0,。>0）的左、右焦點分別為片,工.點

ab

__9

A在C上，點3在y軸上，F^1F^,^A=--F;B,則C的離心率為.

3.（2023年北京高考數學真題）已知雙曲線C的焦點為（-2,0）和（2,0）,離心率為四，則C的方程為

22

4.（2023年新課標全國I卷數學真題）設橢圓0：3+丫2=1（°>1）6：工+了2=1的離心率分別為0，4.若

a4

e2-yfiel，則〃=（）

A.￥B.V2c.73D.V6

22

5.（2022年高考全國甲卷數學（理）真題）橢圓C:二+2=1（。>6>0）的左頂點為A,點尸，。均在C上，

ab

且關于y軸對稱.若直線AP,AQ的斜率之積為則C的離心率為（）

A.也B.變C.1D.-

2223

6.（多選題）（2022年高考全國乙卷數學（理）真題）雙曲線C的兩個焦點為斗工，以C的實軸為直徑的

3

圓記為。，過片作。的切線與。交于M,N兩點，且cosN耳Ng=g,則。的離心率為（）

㈤5

孩心精說，題型突破

題型一：頂角為直角的焦點三角形求解離心率的取值范圍問題

22

【典例1-1】己知橢圓宗+%=l（a>b>0）上一點A,它關于原點的對稱點為B,點產為橢圓右焦點，且滿

TT兀、

足AFLBF,設NA即=e,且,則該橢圓的離心率e的取值范圍是（）

A.悍,g）B,[f4]C.,用D.忤”

22

【典例1-2】已知橢圓C：3+3=l（a>b>0）上有一點A,它關于原點的對稱點為8,點尸為橢圓的右焦

cib

jr

點，且AP_L8F,ZABF=—,則橢圓的離心率為（）

12

A.|B.逅C.3D.—

2332

巧

頂角為直角的焦點三角形求解離心率的取值范圍問題，如圖所示:

橢圓：e=

雙曲線：e=——1——=-------------,根據a范圍求解值域.

cosa-sina5+

22

【變式1-1】設A是雙曲線'-當=1（。>0,6>0）在第一象限內的點，廠為其右焦點，點A關于原點。的對

ab

稱點為8,且E4_LFB,2\FA\<\FB\<4\FA\,則雙曲線C的離心率的取值范圍是（）

22

【變式1-2】雙曲線二-2=1（a>0,b>0）左支上一點A關于原點的對稱點為點反/為其右焦點，若

ab

AF±BF9設NABjF=a,且了五則離心率e的可能取值是（）

A-TBYC.fD.萼

命題預測n

22

1.已知雙曲線=1（。>0,6>0）右支上非頂點的一點A關于原點的對稱點為反尸為雙曲線的右焦點,

ab

若AFLBF,設=且"哈箸則該雙曲線的離心率的取值范圍為（）

A.(1,A/2)B.(72,2)C.^"\/2,+cojD.(2,+oo)

題型二：焦點三角形頂角范圍與離心率

22

【典例2-1】已知點招，鳥分別是橢圓「+谷=l（a>b>0）的左、右焦點，點尸是橢圓上的一個動點,

ab

若使得滿足公尸片工是直角三角形的動點尸恰好有6個，則該橢圓的離心率為（）

A.|B.且C.—D.立

2223

22

【典例2-2】己知P為橢圓3=上一動點，工、工分別為該橢圓的左、右焦點，8為短軸一

ab

端點，如果1Ml長度的最大值為助，則使以百尸2為直角三角形的點p共有（）個

A.8個B.4個或6個C.6個或8個D.4個或8個

22

圓居是橢圓二+==1（。>6>0）的焦點，點尸在橢圓上，NRPF-e,貝UcosON-2e?（當且僅當

ab

動點為短軸端點時取等號）.

22

【變式2-1】已知居，F?分別是橢圓1r+方=1e>6>0）的左、右焦點，若橢圓上存在點尸，使得所電=0,

則該橢圓的離心率的取值范圍是（）

22

【變式2-2】已知橢圓C的方程為—+4=1（。>匕>0）,耳，耳為其左、右焦點，e為離心率，p為橢圓上一

ab

動點，有如下說法：

①當0<e<曰時，使△尸用工為直角三角形的點尸有且只有4個；

②當￡=當時，使鳥為直角三角形的點尸有且只有6個；

③當,<e<l時，使△尸￡居為直角三角形的點P有且只有8個；

以上說法中正確的個數是

A.0B.1C.2D.3

命題預測

22

1.已知P為橢圓3+[=l（a>b>0）上一點，與，與分別是橢圓的左、右焦點.若使AP^F?為直角三角形的

ab

點P有且只有4個，則橢圓離心率的取值范圍是（）

題型三：共焦點的橢圓與雙曲線問題

【典例3-1】已知橢圓E：T+2=l（q>4>0）與雙曲線C:吞-與=1（出>0也>。）共焦點，演典分別為

%by%%

左、右焦點，點尸為E與C的一個交點，且4尸6=120。，設E與C的離心率分別為4,4,則e：+e；的取

值范圍是（）

A.（忘,+oo）B.（右,+oo）C.（2,+co）D.（3,+oo）

22

【典例3-2】已知以小耳為焦點的橢圓C:=+與=1（°>》>0）與雙曲線T共焦點，一動點M在直線/:x=-a

ab

上運動，雙曲線7與橢圓C在一象限的交點為P,/月尸耳=],當/月尸乙與相等時，居取得最

大值，則雙曲線7的離心率為（）

A.272B.342C.述D.逑

42

.22a

sm——。cos——

2-

____22+.____2T}，與基本不等式聯姻求解離心率的取值范圍

e橢e雙

2222

【變式3-1】已知橢圓G：土+與=1（0<"<6）與雙曲線G：二-一J=1（0<a<4）共焦點%F2,

36n2a216-d

過耳引直線/與雙曲線左、右兩支分別交于點M,N,過。作Q4，/,垂足為A,且（。為坐標原

4

點），若tanN4N鳥=§,則G與。2的離心率之和為（）

A4+3石D4+3713?4+3464+3萬

6633

【變式3-2】橢圓與雙曲線共焦點尸|,F2,它們的交點為尸，且/片尸耳=個.若橢圓的離心率為"，則雙曲

32

線的離心率為（）

A.B.述C.73D.2

64

命題預測J

22

1.已知橢圓G：二+與=l（a>b>0）的左、右焦點分別為K，B，離心率為G，橢圓C1的上頂點為M,且

ab

MF[MF^=O.雙曲線Q和橢圓G有相同焦點，且雙曲線c2的離心率為eZ,尸為曲線G與G的一個公共點，

IT

若/4P瑪=§,則e?的值為（）

A.2B.3C.好D.漁

22

題型四：橢圓與雙曲線的4a通徑體

【典例4-1】設雙曲線C:+-]=1（4>0力>0）的左、右焦點分別是公、F2,過6的直線交雙曲線C的左

ab

支于M、N兩點，若|M閭=|耳聞，且21M凰=|N居則雙曲線C的離心率是（）

A4R5若3

A.-D.—C.----U.一

3322

22

【典例4-2】已知雙曲線C:，-*=l（a>0,b>0）的左、右焦點分別是乙、F2,M是雙曲線C右支上的一

點，片加交雙曲線C的左支于點N,若|八胤:慳叫陽國=1:2:2,則C的離心率為（）

A.乖）B.2C.75D.不

Hl

橢圓與雙曲線的4a通徑體

如圖，若Ag_L片耳，易知［A閭=2，若福=彳耳夙;1>1）,則一定有|A耳卜號.2,根據

|A周+|4周=2。可得4±2互=2°，即"1（1一/）=lne=、耳

2a4VA+3

【變式4-1】若橢圓C：=+2=1（%>仇>0）的離心率與雙曲線E:二—與=1（a2>0,打>。）的離心

率之積為1,4，F2分別是雙曲線E的左、右焦點，M,N是雙曲線E的左支上兩點，且麗〃西，

|町|+慳段=3%,\MF2\^\MN\,A,尸分別是橢圓C的左頂點與左焦點，|A尸I=3-6，則橢圓C的方程

為（）

.x2y2x2y2x2y2x2j2

32949554

22

【變式4-2］己知乙，工分別是橢圓C：=+3=ig>b>0）的左、右焦點，過點月的直線交橢圓C于

ab

N兩點.若|肱^+|町|=2］崢|,且沙，叫，則橢圓Q的離心率為（）

「

A,昱A/2

Vz.--------D-4

命題預測T

22

1.設橢圓C：A+當=1（。>0,6>0）的左、右焦點分別為尸I，F2,過原點。的直線/交橢圓于Af,N兩點,

若|MN|=2c,囚6口入閭=1:20,則C的離心率為（）

A.叵口6G3cD36-3

47-1*―7-

題型五：橢圓與雙曲線的4a直角體

22

【典例5-1】已知橢圓C:=+々=1（°>6>0）的左、右焦點分別為耳、F2,過乙作直線/與橢圓相交于M、

ab

N兩點，NMF°N=90,且4優N|=3優則橢圓的離心率為（）

A.-B.1C.3D.好

3235

22

【典例5?2】設小尸2分別是橢圓石:三+與=1（〃>10）的左、右焦點，過尸2的直線交橢圓于4B兩點,

ab

_____k_____,ULMUUU

且砍?伍=0,AB=4FzB,則橢圓E的離心率為（）

A.-B.亞C.6D.立

2234

巧

如左圖，若A4_LAB,AB過原點，MAFi=AFlB,可得離心率.

如右圖，若如_LAC,AB過原點，且AF2=2尸2c（。<2<1），通過補全矩形，可得AF]_LAC,

|悟|二等『借助公式

可得離心率.

22

【變式5?1】設小尸2分別是橢圓E：?+2=l（4>8>0）的左、右焦點，過尸2的直線交橢圓于A,5兩點,

ab

且斯?亞'=0,N瓦=2質，則橢圓E的離心率為（）.

A,昱7

以D

2與-1

22

【變式5-2】設月、居分別是橢圓E:二+「=1（。＞6＞0）的左、右焦點，過點耳（-30）的直線交橢圓E于48

ab

兩點，若H片1=3區可，且AB_LA鳥，則橢圓E的離心率是

命題預測

22

1.設瓦，歹2分別是橢圓石：=+與=1（"＞匕＞0）的左、右焦點，過點片的直線交橢圓E于A,B兩點,

ab

1M|=3怛耳I，若cosNA入3則橢圓E的離心率為（）

A.1B.-C.昱D.也

2322

題型六：橢圓與雙曲線的等腰三角形問題

22

【典例6-1】橢圓C:事+提=1（。＞6＞0）的左、右焦點分別為尸1,F,過點片的直線/交橢圓C于A,B兩

ab2

點，若|月耳|=|4工|,苕=2耶，則橢圓C的離心率為（）

【典例6-2】已知橢圓C的焦點為居（TO），g（1,0）,過仍的直線與C交于A,B兩點.若IAfJ=2|6冏,

IAB\=\BF],則C的方程為

同角余弦定理使用兩次

【變式6-1】己知橢圓C的焦點為耳，F2,過耳的直線與C交于A,B兩點，若[4用=忸用=宗忸用，則C

的離心率為（）

A.也B.走C.1D.-

2323

【變式6-2】已知雙曲線C的焦點為片（-1,0）,8（1,0）,過4的直線與雙曲線C的左支交于A,8兩點，若

|明|=2忻訊|至|=|巡|,則。的方程為（）

A.a-6yaB,江一/=1C.4yaD,至一至=1

534334

命題預測I

22

已知雙曲線-當（）左右焦點為居,

1.3=10>0/>0F2,過尸2的直線與雙曲線的右支交于尸，。兩點，且

ab

PFi=2KQ,若4尸。百為以。為頂角的等腰三角形，則雙曲線的離心率為（）

A.不B.V2

cV21

D.6

3

題型七：雙曲線的4a底邊等腰三角形

22

【典例7-1】設工為雙曲線c：二-2=1（。>0,6>0）的右焦點，直線/：x-2y+c=0（其中。為雙曲線C

ab

的半焦距）與雙曲線C的左、右兩支分別交于M,N兩點，若旃?（可7+研）=。，則雙曲線C的離心率

是（）

A.-B.-C.姮D.逑

3333

22

【典例7-2】設F?為雙曲線C：工-斗=1（”>0,沙>0）的右焦點，直線/：x-3y+c=0（其中c為雙

ab

曲線C的半焦距）與雙曲線C的左、右兩支分別交于N兩點,若麗.（W+W）=0,則雙曲線C的

離心率是（）

BD.

-T2

當優=|鳥邳或者|A.=4a時，令，則一^定存在①忸叫=優卻，②e二―,

“vcos2a

【變式7-1】設雙曲線C:5-，=1（。>0,6>0）的左、右焦點分別為片，鳥，過點K作斜率為弓的直線/與

雙曲線C的左、右兩支分別交于M,N兩點，且（及質+可）?麗=0,則雙曲線C的離心率為（）

A.72B.V3C.6D.2

1命題預測卜

,v23

1.設雙曲線C:=-當=1（〃>0*>0）的左、右焦點分別為《，F2,過點耳作斜率為:的直線/與雙曲線C

ab4

的左、右兩支分別交于M,N兩點，且F?在線段MN的垂直平分線上，則雙曲線C的離心率為（）

A.6B.73C.77D.券

題型八：焦點到漸近線距離為b

22

【典例8-1】已知雙曲線（?:=-與=1（。>04>0）的左、右焦點分別為耳，工，過F?作雙曲線C的一條漸近

ab

線的垂線/,垂足為H,直線/與雙曲線C的左支交于E點，且H恰為線段EB的中點，則雙曲線C的離心

率為（）

A.逝B.73C.2D.75

22

【典例8-2】已知雙曲線C：3-1=1（。＞。，6＞。）的左、右焦點分別為尸i，F],過C的右支上一點產

ab

作C的一條漸近線的垂線，垂足為H,若忸M+I牛I的最小值為（2+g）a,則C的離心率為（）

A.V5B.2C.V3D.72

巧

b、

雙曲線的特征三角形，如圖所示,-x，過右焦點作尸M_!_/]，FN±l2＞

aa

故四=幽上

由于漸近線方程為y=±2x=2,且斜邊卜°,故==g'故1°閭=|。時=々,

a'\OM\|ON|

\MF2\=\NF2\=b.

22

【變式8-。已知雙曲線的左、右焦點分別為乙、F2,過乙作直線/,使得它雙曲

線的一條漸近線垂直且垂足為點。，/與雙曲線的右支交于點尸，若線段P。的垂直平分線恰好過c的右焦

點F2,則雙曲線c的離心率為（）

A.@B.姮C巫

232

22

【變式8-2】已知雙曲線二-谷=1（。＞0,6＞0）的左右焦點分別為耳，尺,以。耳為直徑的圓與雙曲線的一

ab

條漸近線交于點”（異于坐標原點。），若線段叫交雙曲線于點尸，且哂“OP則該雙曲線的離心率為

（）

A.72B.6C.與D.76

命題預測

V22

1.已知尸1、尸2分別是雙曲線C：二斗=l（a>0力>0）的左、右焦點，過尸2作雙曲線C的一條漸近線的垂

ab

線，分別交兩條漸近線于點A、B,過點3作x軸的垂線，垂足恰為《，則雙曲線。的離心率為（）

A.2B.73C.2gD.至

題型九：焦點到漸近線垂線構造的直角三角形

22

【典例9-1】已知雙曲線c：二-2=13>0/>0）的一個焦點為尸，過戶作雙曲線C的一條漸近線的垂線，

ab

垂足為A.若AOE4（。為坐標原點）的面積等于:。2（c為雙曲線c的半焦距），則雙曲線C的離心率為（）

A.72B.6C.2D.75

22

【典例9-2］已知雙曲線E:=-2=1（。>0*>0）的左焦點為耳,過點耳的直線與兩條漸近線的交點分別為

ab

M、N兩點（點片位于點〃與點N之間），且礪=2祁，又過點月作月尸，于尸（點。為坐標原點），且

\ON\^\OP\,則雙曲線E的離心率0=（）

A.VsB.6C.氈D.好

32

利用幾何法轉化

22

【變式9-1】過雙曲線二-當=1的焦點尸作其漸近線的垂線，垂足為A,直線E4交雙曲線的另一條漸近

ab

線于3點，。為坐標原點，若礪+礪=2兩，則雙曲線的離心率為（）

A.73B.2C.A/5D.3

22

【變式9-2】過雙曲線C：二一2r=1（°>0,b>0）的右焦點尸引一條漸近線的垂線，與另一條漸近線相交于

ab

第二象限，則雙曲線。的離心率的取值范圍是（）

A.(亞,+8)B.(/，+8)C.(2,+oo)D.(3,+oo)

1命題預測

22

1.已知雙曲線C:「-當=l（a＞0,b〉0）,過右焦點尸作C的一條漸近線的垂線/,垂足為點A,/與C的

a2b2V）

-.2-.

另一條漸近線交于點5,若A/=gA3,則。的離心率為（）

A.畫B.2C.氈D.叵

532

題型十：以兩焦點為直徑的圓與漸近線相交問題

22

【典例10一1】設乙，尸2是雙曲線C：5一當=1（。＞0,6＞0）的左、右焦點，以線段G8為直徑的圓與直線

ab

區-◎=0在第一象限交于點A,若tanNA60=2,則雙曲線C的離心率為（）

22

【典例10-2】已知片，F2分別為雙曲線C：二一2=1（。＞0力＞0）的左，右焦點，以「耳為直徑的圓與

ab

雙曲線C的右支在第一象限交于A點，直線A8與雙曲線C的右支交于B點，點F?恰好為線段A8的三等分

點（靠近點A）,則雙曲線C的離心率等于（）

A.72B.V5C.叵D.匕或

32

巧

以耳外為直徑作圓，交一條漸近線y=于點3,幽交另一條漸近線于點A,則令，則

a

2

ZBF1F2，e=71+tana

22

【變式10-1】已知雙曲線C:三-與=1（〃〉0,。〉0）的左、右焦點分別為片，F2,以耳耳為直徑的圓與。的

一條漸近線在第一象限交點為夕，直線耳P與另一條漸近線交于點。.若點。是線段可尸中點，則雙曲線。

的離心率是（）

A.73B.2C.5/5D.3

命題預測T

22

1.已知雙曲線C：十-}=1（。>0,6>0）的左，右焦點分別為B,尸2,若以為直徑的圓和曲線C在第

一象限交于點尸，且APOB恰好為正三角形，則雙曲線C的離心率為（）

1+A/3口1+A/5

--------------D.--------------C.1+V3D.1+75

22

題型十一：漸近線平行線與面積問題

22

【典例11-1】已知片，尸2分別為雙曲線C：二-2=1（“>0,6>0）的左、右焦點，過尸2作C的兩條漸近線

ab

的平行線，與漸近線交于M,N兩點.若cosNA^N=《，則C的離心率為（）

A.2B.孚C.75D.|

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【典