《概率與統(tǒng)計》專項測試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.現(xiàn)行普通高中學生在高一時面臨著選科的問題，學校抽取了部分男、女學生意愿的一份樣本，制作出如

A.樣本中的女生數(shù)量多于男生數(shù)量

B.樣本中有兩理一文意愿的學生數(shù)量多于有兩文一理意愿的學生數(shù)量

C.樣本中的男生偏愛兩理一文

D.樣本中的女生偏愛兩文一理

【答案】D

【解析】【分析】

本題考查頻率分布直方圖的應用，考查分析與計算能力，屬于基礎題.

由題圖中信息，分別對選項逐一進行分析即可求解.

【解答】

解：

由條形圖知女生數(shù)量多于男生數(shù)量，故4正確；

有兩理一文意愿的學生數(shù)量多于有兩文一理意愿的學生數(shù)量，故8正確；

男生偏愛兩理一文，故。正確；

女生中有兩理一文意愿的學生數(shù)量多于有兩文一理意愿的學生數(shù)量，故D錯誤.

故選：D.

2.若隨機變量X?N(6,l),且P(5<XW7)=a,P(4<XW8)=b,則P(4<X<7)等于()

Ab—CLcb+a1—b—1—a

A.B.C.D.

第1頁，共18頁

【答案】B

【解析】【分析】

本題考查了正態(tài)分布的概率、均值、方差，屬于基礎題.

利用正態(tài)密度曲線的對稱性，即可求解.

【解答】

解：隨機變量X?N(6,l),且P(5<X<7)=a,P(4<X<8)=b,

由正態(tài)密度曲線的對稱性可知，P(4<X<5)=竽，

所以P(4<XW7)=容+a=空.

故選：B.

3.如圖對兩組數(shù)據(jù)x,了和v,u分別進行回歸分析,得到散點圖如圖，并求得線性回歸方程分別是y=b1X+的

和1t=尻〃+。2,并對變量x,y進行線性相關檢驗，得到相關系數(shù)心，對變量v,〃進行線性相關檢驗，得

到相關系數(shù)萬，則下列判斷正確的是

o\XOV

A.bi>0B.b2VoC.|丁1|<|r2|D.rx+r2<0

【答案】D

【解析】【分析】

本題考查散點圖、線性回歸方程和相關系數(shù)，屬于基礎題.

對散點圖進行分析即可.

【解答】

解：由散點圖可知，>隨x的增大而減小，且點相對更集中；

〃隨v的增大而增大，且點相對更分散；

故瓦<0,b2>0,a<0,r2>0,且匕|>四|，

則+萬<0，

故選D

第2頁，共18頁

4.在對某校全體學生每天運動時間的調(diào)查中，采用分層隨機抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男

生30人，其每天運動時間的平均值為80分鐘，方差為10;抽取了女生20人，其每天運動時間的平均值為

60分鐘，方差為20.結(jié)合數(shù)據(jù)，估計全校學生每天運動時間的方差為()

A.78B.112C.110D.96

【答案】C

【解析】【分析】

本題考查分層抽樣的方差，屬于基礎題.

根據(jù)已知條件，代入樣本均值和方差的公式，即可求解.

【解答】

解：由題意，按樣本量比例分配的分層隨機抽樣方式抽取樣本，

則樣本平值為|x80+|x60=72,

2

所以方差為|X[10+(80-72歸+|x[20+(60-72)]=110.

故選C.

5.質(zhì)數(shù)(priznemmiber)又稱素數(shù)，一個大于1的自然數(shù)，除了1和它本身外，不能被其他自然數(shù)整除，則

這個數(shù)為質(zhì)數(shù).數(shù)學上把相差為2的兩個素數(shù)叫做“享生素數(shù)”.如：3和5,5和7,…，那么，如果我們在

不超過20的自然數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，記事件4=“這兩個數(shù)都是素數(shù)"，事件B="這兩個數(shù)不

是攣生素數(shù)”，則P(B|4)=()

A.1B.|C.|D.|

【答案】A

【解析】【分析】

本題考查條件概率的概念與計算，屬于中檔題.

運用條件概率公式，結(jié)合組合數(shù)求解即可.

【解答】

解：不超過20的素數(shù)有2,3,5,7,11,13,17,19,共8個，

攣生素數(shù)有3和5,5和7,11和13,17和19,共4種情況，

所以n(a)=鬣=28,

K4B)=《―4=24,

第3頁，共18頁

所以汽8伊)=嘿2=||=3

'1J九⑷287

故選4

6.有一組樣本數(shù)據(jù)0,1,2,3,4,添加一個數(shù)X形成一組新的數(shù)據(jù)，且P(X=k)=條(卜e{0,1,2,3,4}),

則新的樣本數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)不變的概率為()

1S111s

A-五C.-D,-

【答案】D

【解析】【分析】

本題考查百分位數(shù)，屬于基礎題.

根據(jù)5x25%=1.25,6x25%=1.5,得出原數(shù)據(jù)和新數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)均為第二個數(shù)，得出X=l,

2,3,4時新的樣本數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)不變，求出P(X=0),利用1-P(X=0),即可求出結(jié)果.

【解答】

解：由題意得P(X=0)=您=2，

由于5x25%=1.25,6x25%=1.5,

所以原數(shù)據(jù)和新數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)均為第二個數(shù)，

所以當X=l,2,3,4時，新的樣本數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)不變，

所以第25百分位數(shù)不變的概率是：

115

l—P(X=0)=l-訪=訪.

故選：D.

7.如圖所示，已知一質(zhì)點在外力的作用下，從原點。出發(fā)，每次向左移動的概率為右向右移動的概率為，

若該質(zhì)點每次移動一個單位長度，記經(jīng)過5次移動后，該質(zhì)點位于X的位置，貝摩(X>0)=()

-4-3-2-10123456

A里B皂C?

a243a-243J9D81

【答案】D

【解析】【分析】

本題考查〃次獨立重復實驗及其概率計算，屬于基礎題.

滿足題意的移動情況有三種，根據(jù)?次獨立重復實驗的概率計算求解即可.

第4頁，共18頁

【解答】

解：依題意，該質(zhì)點移動5次后位于X的位置，若X>0,

則有①向右移動5次，②向右移動4次，向左移動1次，③向右移動3次，向左移動2次，三種情況,

則P(X>0)=P(X=5)+P(X=3)+P(X=1)

1121217

+牖

+cl81'

故選。.

8.已知數(shù)字1,2,3,4,5,6組成沒有重復數(shù)字的六位數(shù)，/表示事件“1和2相鄰”，8表示事件“偶數(shù)

不相鄰”，。表示事件“任何連續(xù)兩個位置奇偶都不相同”，。表示事件“奇數(shù)按從小到大的順序排列”，

則()

A.事件A與事件B相互獨立B.事件4與事件C相互獨立

C.事件A與事件D相互獨立D.事件B與事件C相互獨立

【答案】C

【解析】【分析】

本題主要考查排列組合綜合應用，相互獨立事件的概率乘法公式，屬于較難題.

根據(jù)排列組合求出基本事件總個數(shù)及事件/BCD的包含的基本事件個數(shù)，再根據(jù)排列組合，結(jié)合相互獨立

事件的判斷方法依次判斷選項即可.

【解答】

解：己知數(shù)字1,2,3,4,5,6組成沒有重復數(shù)字的六位數(shù)，則基本事件總個數(shù)為鹿=720,

A包含的基本事件個數(shù)為度?四=240,B包含的基本事件個數(shù)為“?用=144,

。包含的基本事件個數(shù)為2題?題=72,。包含的基本事件個數(shù)為》=120,

同時滿足包含的基本事件個數(shù)為C卜編?曷=72,同時滿足NC包含的基本事件個數(shù)為2度?掰-Cl=40,

同時滿足/。包含的基本事件個數(shù)為最?以?廢=40,同時滿足5c包含的基本事件個數(shù)為2題?房=72,

所以PQ4B)=券=24P(A)P(B),則事件/與事件2不相互獨立;

PQ4C)=暮=白力P⑷P(C),則事件A與事件C不相互獨立;

/ZUlo

第5頁，共18頁

P(4D)=篝=白=P⑷P(D),則事件/與事件。相互獨立；

/ZUlo

P(BC)=P(C),則事件B與事件C不相互獨立.

故選C.

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分,

部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.某超市在兩周內(nèi)的藍莓每日促銷量如圖所示，根據(jù)此折線圖，下面結(jié)論正確的是()

A.這14天日促銷量的眾數(shù)是214B.這14天日促銷量的中位數(shù)是196

C.這14天日促銷量的極差為195D.這14天日促銷量的第80百分位數(shù)是243

【答案】AC

【解析】【分析】

本題考查折線統(tǒng)計圖，平均數(shù)、中位數(shù)、極差、百分位數(shù)，屬于基礎題.

先將數(shù)據(jù)從小到大排列，接著再根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)、極差和百分位數(shù)的定義或求解步驟直接去求解即可判

斷得解.

【解答】

解：根據(jù)題意得藍莓每日促銷量從小到大排列得到數(shù)據(jù)為：

80,83,138,155,157,165,179,214,214,221,243,260,263,275,

對于則這14天藍莓每日促銷量的眾數(shù)是214,故N正確；

對于8,這14天藍莓每日促銷量的中位數(shù)是第7和8個數(shù)據(jù)的平均值，即當產(chǎn)=196.5,故8錯誤；

對于C,這14天藍莓每日促銷量的極差是275-80=195,故C正確；

對于。，因為14X0.8=11.2,所以這14天藍莓每日促銷量的第80百分位數(shù)為第12個數(shù)據(jù)，即260,故

。錯誤.

故選：AC.

第6頁，共18頁

10.有款小游戲，規(guī)則如下:一小球從數(shù)軸上的原點。出發(fā)，通過扔骰子決定向左或者向右移動，扔出骰子,

若是奇數(shù)點向上，則向左移動一個單位，若是偶數(shù)點向上，則向右移動一個單位，則扔出八次骰子后，下

列結(jié)論正確的是()

A.第二次扔骰子后，小球位于原點。的概率為，

B.第三次扔骰子后，小球所在位置是個隨機變量，則這個隨機變量的期望是,

C.第一次扔完骰子小球位于-1且第五次位于1的概率:

D.第五次扔完骰子，小球位于1的概率大于小球位于3概率

【答案】AD

【解析】【分析】

本題主要考查離散型隨機變量的期望，概率的求法，屬一般題.

計算出小球每次向左向右的概率后，結(jié)合概率公式與期望算法逐個計算即可得.

【解答】

解：扔出骰子，奇數(shù)點向上的概率為看偶數(shù)點向上的概率亦為今

對于選項4,若兩次運動后，小球位于原點，小球在兩次運動之中一定一次向左一次向右，

故其概率為故/正確；

對于選項B,

設這個隨機變量為X,則X的可能取值為-3、-1、1、3,

其中P(X=-3)=P(X=3),P(X=-1)=P(X=1),

故其期望

E(X)=-3xP(X=-3)+3xP(X=3)+(-1)xP(X=-1)+1xP(X=1)

=3[P(X=3)-P(X=-3)]+[P(X=1)-P(X=-1)]=0,

故5錯誤；

對于選項C,

第一次扔完骰子小球位于-1,

即第一次向左移動，且第五次位于1,

則后續(xù)中小球向右3次，向左1次，

故其概率為羽(，="，

故C錯誤；

第7頁，共18頁

對于選項D,

第五次扔完骰子，小球位于1,

即兩次向左，三次向右，

故其概率P1=虞（，=余

小球位于3,則四次向右，一次向左，

故其概率P2=C5（1）=最,有Pl>P2,

故。正確.

故選：AD.

11.已知min{ai，Q2,…，冊}表示。1，…，冊中最小的數(shù)，max{ai，Q2,…，冊}表示。1，。2，…，麻中最大的

數(shù).若的,%。4，。5，為1，2,3,4,5,6的任意排列,設X=min{max{ai，Q2,%}，max{Q4,即}}，

Y=max{min{ai，a2>a3],min{a4,as,a6}},貝!J（）

A.排列總數(shù)為720個B.滿足的<a2<%的排列有80個

C.X>4的概率為|D.X>y的概率為4

【答案】ACD

【解析】【分析】

本題考查排列、組合以及古典概率的計算公式，屬于一般題，

對于/,利用全排列公式計算即可;

對于3,利用組合公式計算即可；

對于C,D,列出所有的情況，利用古典概率公式計算，即可.

【解答】

解：1,2,3,4,5,6的任意排列方法總數(shù)為鹿=720個，所以/正確；

若由<a2<a3，則先從1,2,3,4,5,6中隨機選出3個數(shù)，共有琮=20種不同的方法,

再將剩下3個數(shù)任意排列，共有題=6種不同的方法，

則滿足的<a2<。3的排列有20x6=120個，所以3錯誤；

因為{。1，={1,2,3},{。曲={4,5,6},X=3,丫=4,

{。1，={1,2,4},{。4,={3,5,6},X=4,r=3,

{alta2,a3]={1,2,5},{a4,as,a6]={3,4,6},X=5,r=3,

{a1,0,2>a?}={1,2,6},{。4,。5,={3,4,5},X=5,丫=3,

{。1，。21={1,3,4},{。4,={2,5,6},X=4,V=2,

第8頁，共18頁

{。1，的，的}={135},{。4,由即}={2,4,6},X=5,丫=2,

{alta2ta3}={1,3,6},{。4,。5,&}={2,4,5},X=5,r=2,

(alfa2,a3]={2,3,4},{。4,。5，&}={156},X=4,r=2,

{。1，的，的}={2,3,5},{。4,a5,a6]={1,4,6},X=5,Y=2,

{。1，和，的}={2,3,6},{。4,。5,&}={1,4,5},X=5,r=2,

共有10種不同的情況，則X>4的概率為4=■!，所以C正確;

x>y的概率為卷，所以。正確.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.己知（依-|V的展開式中第3項為常數(shù)項，則這個展開式中各項系數(shù)的絕對值之和為.（用數(shù)字作

答）

【答案】729

【解析】【分析】

本題考查二項展開式中各項的二項式系數(shù)之和及展開式中的常數(shù)項，屬于中檔題.

先利用二項展開式的通項公式求出〃的值，然后結(jié)合（丘-|）6的展開式中各項系數(shù)的絕對值之和與（C+

：）6的展開式中各項系數(shù)之和相等通過賦值即可求得結(jié)果.

【解答】

2九一6

解：因為73=鬣（0計2（_勺2=4。灰2,

由已知=0,則n=6.

因為（O-fl的展開式中各項系數(shù)的絕對值之和與（O+|）6的展開式中各項系數(shù)之和相等，

取x=1,得（C+|）6的展開式中各項系數(shù)之和為36=729.

故答案為729.

10一1）2

13.已知某正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為/'（久）=^=-e-一廠，xe（-00,+00）,則函數(shù)f（x）的極值點為,

X落在區(qū)間（2,3］內(nèi)的概率為.

【答案】1；0,1359

【解析】【分析】

第9頁，共18頁

利用正態(tài)分布曲線及3。準則，即可得結(jié).

本題考查正態(tài)布曲線的特征及曲線所表意義，考查學生的計算力比基礎.

【解答】

解：正態(tài)分布的概率密度函數(shù)/(X)=忌-e-F-

<J—1,12—1,

所以總體分布密度曲線關等直線X=1對稱且在X=1處取得最大值.根據(jù)正態(tài)分布密度曲線的特點可知

X=1為/(久)的極大值點

由X~N(l,l)

-11

所以P(2<x<3)=1[P(-1<%<3)-P(0<x<2)]=々(0.9544—0.6826)=0.1359.

故答案為1；0.1359.

14.將1,2,3,4,5,6隨機填入如圖所示的三角形圖形中的6個圈中，每個數(shù)恰好出現(xiàn)一次，則三角形

三邊上的數(shù)字之和均相等的概率為.

【答案】專

【解析】【分析】

本題主要考查古典概型的計算與應用，排列與排列數(shù)公式，屬于中檔題.

根據(jù)條件，填法共有6!種，設每條邊上的3個數(shù)之和為s,根據(jù)條件可得9<sW12,分s=9,10,11,

12四種情況，得到滿足條件的情況，利用古典概型即可求解.

【解答】

解：將1,2,3,4,5,6填入三角形圖形中的6個圈中的填法共有6!種，

設每條邊上的3個數(shù)之和為s,

則3s2(1+2+3+4+5+6)+1+2+3=27,

第10頁，共18頁

3s<(1+24-3+4+5+6)+4+5+6=36,

所以27W3sW36,解得9<s<12,

①當s=9時，3個頂點所填的3個數(shù)只能為1,2,3,如下左圖,

此時共有填法3x2=6種；

②當s=10時，設3個頂點所填的3個數(shù)之和為才,

貝股=3x10—(1+2+3+4+5+6)=30—21=9,

而9=2+3+4,9=1+3+5,9=1+2+6,

則3個頂點所填的3個數(shù)只能為｛2,3,4｝,｛1,3,5｝或｛1,2,6｝,

當3個頂點所填的3個數(shù)為｛2,3,4｝時，

由于頂點分別填3,4的這條邊上的3個數(shù)之和為10,

從而這條邊中間只能填3,這與每個數(shù)恰出現(xiàn)一次矛盾，此時沒有適合條件的填法，

同樣道理，3個數(shù)為｛1,2,6｝時也沒有適合條件的填法，

只能為1,3,5,如右圖，此時共有填法3x2=6種；

③當s=11時，可將s=10時的每一種填法中的數(shù)x換為7-x,可得6種填法；

④當s=12時，3個頂點所填的3個數(shù)應為4,5,6,

可將s=9時的每一種填法中的數(shù)x換為7-久，

此時有6種填法，

綜上，滿足條件的填法共有6x4=24種，

故所求的概率為需=券

o!3U

故答案為：擊.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

第11頁，共18頁

15.(本小題13分)

中藥是中華民族的瑰寶，除用來治病救人外，在調(diào)理身體、預防疾病等方面也發(fā)揮著重要的作用.某研究機

構為了解草藥/對某疾病的預防效果，隨機調(diào)查了100名人員，數(shù)據(jù)如下：

未患病患病合計

服用草藥N481260

未服用草藥工221840

合計7030100

(1)依據(jù)小概率值a=0.01的獨立性檢驗，分析草藥/對預防該疾病是否有效;

(2)已知草藥3對該疾病的治療有效的概率的數(shù)據(jù)如下：對未服用草藥/的患者治療有效的概率為半對服

用草藥N的患者治療有效的概率為今若用頻率估計概率，現(xiàn)從患此疾病的人中隨機抽取1人使用草藥8進

行治療，求治療有效的概率.

附：參考公式：/=

…黑黑…，其中九;a+b+c+d.

參考數(shù)據(jù):

a0.10.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

【答案】解：(1)零假設為:草藥/對預防該疾病無效.

由列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，可求得％2=1。。黑:既源~7.143>6.635=xo.oi>

根據(jù)小概率值a=0.01的獨立性檢驗，可以推斷“°不成立，即認為服用草藥/對預防該疾病有效果.

(2)記為為“未服用草藥/"，①為“服用草藥N”，X為服用草藥8有效.

由題意知p(A)=,=|,PGi)=4=2P(XM°)=|,p(x|4)=2

所以P(X)=P(a)XP(X|4o)+P(4)XP(X|a)=|x|+|x|=g.

故治療有效的概率為捺

【解析】本題主要考查的是獨立性檢驗，條件概率，全概率公式，屬于中檔題.

(1)直接利用獨立性檢驗進行判斷即可.

(2)記&為“未服用草藥/"，為為“服用草藥，X為服用草藥8有效.根據(jù)條件求得P(a)，P(&)，P(XMo)，

P(X|4),再利用全概率公式求解即可.

第12頁，共18頁

16.(本小題15分)

習近平總書記指出：做好工作要“完整、準確、全面貫徹新發(fā)展理念，加快構建新發(fā)展格局，著力推動高

質(zhì)量發(fā)展”.某部門在對新發(fā)展理念組織了全面學習后，對同一工作小組中的5名員工采取如下考核制度：

①在本季度末，從部門中另抽120人，每人1票，對這5名員工進行投票；

②在本季度末，統(tǒng)計這5名員工本季度創(chuàng)造的營銷收入.

記本季度創(chuàng)造的營銷收入為y(單位:千元),所得票數(shù)為x,現(xiàn)將5人的情況用數(shù)對(x,y)表示:(19,75),(20,76),

(34,90),(25,86),(22,78).y關于x的相關系數(shù)為r,部門規(guī)定：若|r|20.96,則認為本次統(tǒng)計數(shù)據(jù)異常.

(1)證明：本次統(tǒng)計數(shù)據(jù)異常；

(2)經(jīng)查驗，本季度創(chuàng)造的營銷收入最少的員工的數(shù)據(jù)存在異常，將其剔除后，求該工作小組/關于x的線

性回歸方程.(系數(shù)精確到個位數(shù))

附：對于一組數(shù)據(jù)(打,『1),(x2,y2)>回歸直線方程夕=務％+6的斜率和截距的最小二乘法估

計公式分別為：務=啊怎廠零,a=歹—的相關系數(shù)一也逐―.

^i=lxi-nxJ(￡仁1靖一“/)(￡建

參考數(shù)據(jù)：%=24,靖=3026,￡乙支-5y2=176,￡1通%-5砂=151,￡區(qū)遇％=9871,AA1467

12,7176x13.

一、151151151

【答案】解:(1)7=—=《0,968>0.96,

J(3026-5x242)x176V146x17612x13

故該工作小組本次統(tǒng)計數(shù)據(jù)異常.

(2)將本季度創(chuàng)造的營銷收入最少，即營銷收入為75千元的員工數(shù)據(jù)剔除,

剔除數(shù)據(jù)后的土/=25.25,y/=82.5,

代入計算得2乙期％=2：=遇%-19X75=8446,

4xz?歹/=4x25.25x82.5=8332.5,

2良蠟=￡乙蠟一192=2665,

---2

4xz=4x25.25x25.25=2550.25,

所以G=8446-8332.5=113.5?

所"2665-2550.25114.75~'

故。=歹，-bxf=82.5-25.25?57.

故線性回歸方程為9=x+57.

【解析】詳細解答和解析過程見【答案】

第13頁，共18頁

17.（本小題15分）

已知某次比賽的乒乓球團體賽采用五場三勝制，第一場為雙打，后面的四場為單打.團體賽在比賽之前抽

簽確定主客隊.主隊三名選手的一單、二單、三單分別為選手/、B,C,客隊三名選手的一單、二單、三

單分別為選手X、KZ.比賽規(guī)則如下：第一場為雙打（YZ對陣BC）、第二場為單打（X對陣4）、第三場為單打

（Z對陣C）、第四場為單打（丫對陣A）、第五場為單打（X對陣B）.已知雙打比賽中KZ獲勝的概率是單打比賽

4

中X、KZ分別對陣/、B、C時，X、KZ獲勝的概率如表:

選手ABC

211

X

323

112

Y

323

121

Z

432

（1）求主、客隊分出勝負時恰進行了3場比賽的概率；

（2）客隊輸?shù)綦p打比賽后，能否通過臨時調(diào)整選手Y為三單、選手Z為二單使得客隊團體賽獲勝的概率增大?

請說明理由.

【答案】解：（1）設“主、客隊分出勝負時恰進行了3場比賽”為事件

則事件N包含“主隊3場全勝”和“客隊3場全勝”兩類事件，

“主隊3場全勝”的概率為(1-1)x(l-|)x(l-i)=1,

43Zo

“客隊3場全勝”的概率為X，去

43Z1Z

所以PQ4)="+擊=*

（2）能,理由如下:

設“剩余四場比賽未調(diào)整匕Z出場順序，客隊獲勝”為事件

第二場單打（X對陣力），第三場單打（Z對陣C）,第四場單打（丫對陣A）,第五場單打（X對陣B）的勝負情況分別

為:

勝勝勝，勝負勝勝，勝勝負勝，負勝勝勝,

211,2111,2121,111111

W(M)^-X-X-+-X-X-X-+-X-X-X-+-X-X-X-=-

設“剩余四場比賽調(diào)整匕Z出場順序，客隊獲勝”為事件N,

第二場單打（X對陣力），第三場單打（丫對陣C）,第四場單打（Z對陣A）,第五場單打（X對陣B）的勝負情況分別

第14頁，共18頁

為：

勝勝勝，勝負勝勝，勝勝負勝，負勝勝勝,

221,2111,2231,12111

則P(N)=-X-X-+-X-X-X-+-X-X-X-+^X-X-X-=

334334233423342Q

因為P（M）＜P（N）,

所以客隊調(diào)整選手y為三單，選手z為二單獲勝的概率更大.

【解析】本題主要考查對立事件和對立事件概率的求法，考查運算求解能力，屬于中檔題.

（1）由相互獨立事件及對立事件的概率公式計算即可得解；

（2）分別求出剩余四場比賽未調(diào)整匕z出場順序，客隊獲勝的概率和剩余四場比賽調(diào)整匕z出場順序，客

隊獲勝的概率，比較大小即可求得結(jié)論.

18.（本小題17分）

某市為了傳承發(fā)展中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，組織該市中學生進行了一次文化知識有獎競賽，競賽獎勵規(guī)則如下:

得分在［70,80）內(nèi)的學生獲三等獎，得分在［80,90）內(nèi)的學生獲二等獎，得分在［90,100］內(nèi)的學生獲一等獎，

其他學生不得獎.為了解學生對相關知識的掌握情況，隨機抽取100名學生的競賽成績，并以此為樣本繪制

了樣本頻率分布直方圖，如圖所示.

若該市所有參賽學生的成績X近似服從正態(tài)分布N（〃,濟）,其中。=15,”為樣本平均數(shù)的估計值，利用所得

正態(tài)分布模型解決以下問題：

（1）若該市共有10000名學生參加了競賽,試估計參賽學生中成績超過79分的學生數(shù)（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）;

（2）若從所有參賽學生中（參賽學生數(shù)大于10000）隨機抽取3名學生進行訪談，設其中競賽成績在64分以上

的學生數(shù)為6,求隨機變量f的分布列和均值.

附：若隨機變量X服從正態(tài)分布NR/）,則p（〃-。＜XW〃+=0.6826,P（〃-2。＜XW〃+2（r）=

0.9544,P（〃一3。＜XW〃+3。）=0.9974.

【答案】解：（1）由頻率分布直方圖知，各小矩形面積從左到右依次為0.06,0.12,0.18,0.34,0.16,0.08,0.06,

樣本平均數(shù)的估計值〃=0.06x35+0.12x45+0.18x55+0.34x65+0.16x75+0.08x85+0.06x

95=64,

第15頁，共18頁

則所有參賽學生的成績X近似服從正態(tài)分布N(64,152),而4+。=79,

因此P(X>79)=P(X>〃+°)=1一°片6=0.1587,

所以參賽學生中成績超過79分的學生數(shù)約為0.1587x10000=1587.

(2)由⑴知,〃=64,P(X>64)=

即從所有參賽學生中隨機抽取1名學生，該學生競賽成績在64分以上的概率為:，

因此隨機變量§服從二項分布f?f的可能值為0,1,2,3,

則P(f=0)=政1=1,P(f=1)=政療==2)=Ci(1)3=I，P代=3)=或6)3=A,

所以隨機變量f的分布列為：

0123

33

P

88

數(shù)學期望E(f)=0xJ+lx|+2x|+3x|=1.

ooooZ

【解析】本題考查頻率分布直方圖，正態(tài)分布的概率、均值、方差，考查二項分布的均值，利用二項分布

求分布列及期望，屬于中檔題.

(1)利用頻率分布直方圖求出也再由正態(tài)分布的對稱性求出P(X>79),進而求出學生數(shù).

(2)由(1)求出P(X>64),再利用二項分布求出分布列及期望.

19.(本小題17分)

某單位進行招聘面試，已知參加面試的N名學生全都來自，，B,C三所學校，其中來自/校的學生人數(shù)為

n(n>1),該單位要求所有面試人員面試前到場，并隨機給每人安排一個面試號碼做k=1,2,3,…,N),按面試

號碼人由小到大依次進行面試，每人面試時長5分鐘，面試完成后自行離場.

(1)求面試號碼為2的學生來自A校的概率.

(2)若N=40,n=10,且B,C兩所學校參加面試的學生人數(shù)比為1:2,求/校參加面試的學生先于其他

兩校學生完成面試(4校所有參加面試的學生完成面試后，B,C兩校都還有學生未完成面試)的概率.

(3)記隨機變量X表示最后一名N校學生完成面試所用的時長(從第1名學生開始面試到最后一名N校學生

完成面試所用的時間)，E(X)是X的數(shù)學期望，證明：以*)=嚕產(chǎn).

【答案】解：(1)記“面試號碼為2的學生來自/校”為事件

將N校〃名學生面試號碼的安排情