2025年四川省遂寧市第二中學校高2022級二?？荚?/p>

數學

本試卷滿分150分，考試時間120分鐘。

注意事項：

1.答卷前，務必將自己的姓名、考籍號填寫在答題卡規定的位置上。

2.答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其它答案標號。

3.考試結束后，只將答題卡交回。

第I卷（選擇題）

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.已知i為虛數單位，復數z滿足zi=—2+i,則9=（）

A.l+2iB.-l+2iC.l-2iD.-l-2i

2.已知集合/={-1,0,1},5={x|0<x<3},則()

A.{-1,0}B.{-1,1}C.{0,1}D.[0,1]

3.直線2x+用+3=0的方向向量可以是（)

A.(V2,l)B.(V2,-l)C.(72,2)D.-2)

4.等比數列{%}的前〃項和為S“，且%=2,4%+%=8,則$5=()

A.63B.48C.31D.15

5.已知角口的頂點在原點，始邊與x軸的正半軸重合，終邊經過點尸（cosl5o-sinl5o,cosl5o+sinl5。），則

tana=()

A.2—\/3B.2+y/3C.-y/6—V2D.V3

22

6.己知片、月分別為雙曲線C：1_勺=1（a>0,b>0）的左右焦點，尸為其左支上一點，且

ab

2|「閶=3|尸胤，則雙曲線。離心率的最大值為（）

A.3B.4C.5D.6

7.已知甲植物生長了一天，長度為乙植物生長了一天，長度為16a.從第二天起，甲每天的生長

速度是前一天的13倍，乙每天的生長速度是前一天的2:，則甲的長度第一次超過乙的長度的時期是（）（

參考數據：取lg2=0.3,lg3=0.48）

A.第6天B.第7天C.第8天D.第9天

2V

8.圓。半徑為1,尸4PB為圓。的兩條切線，A,8為切點，設4尸。=a,則「組最小值為（）

tan2a

A.-4+72B.-3+V2C.-4+2V2D.-3+2也

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選

對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.已知數據網,孫…％的平均數為10,方差為1，且％=2為+4。=1,2,…,6）,則下列說法正確的是（）

A.數據M，%，…，”的方差為4

B.數據再42,…，無6,%，%，…，”的平均數為17

C.數據%,馬，…戶6,1。的平均數為10,方差大于1

D.若數據西,馬,…％的中位數為加,75%分位數為“，則他＜"

10.如圖，在正四面體尸-48C中，48=18,尸分別為側棱尸4尸瓦尸C上的點，&AD=BE=CF=^PD

,G為斯的中點，。為四邊形即CF內（含邊界）一動點，4。=65，貝U（）

A.AG1PB

B.五面體/8C-DEF的體積為342夜

C.點。的軌跡長度為6兀

D.與平面P8C所成角的正切值為幾

11.對于函數V=/（x）,如果對于其定義域。中任意給定的實數x,都有-xe。，并且/（力〃-%）=2,

則稱函數y=/（x）為“比翼函數”.則下列說法正確的是（）

A.函數/(%)=%++2是“比翼函數，

B.若函數歹二/(%)在R上為“比翼函數”，則/(0)=血

x2

C.若函數丁=/(”在R上為“比翼函數”，當X>0,/(x)=^7—y,貝！|x<0,f(x)=2+x

D.若函數了=/(x)在R上為“比翼函數”，其函數值恒大于0,且在R上是單調遞減函數，記

2

"("=冗『若"&)+"(切>

3,0,則xi+x2>0

第H卷(非選擇題)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.函數/(x)=ln(x+l)的圖象在點處的切線方程為.

22

13.已知片、耳分別為橢圓C：\+彳=1">6>0)的左右焦點，過耳作圓。：，+/=/的切線與橢

ab

圓。在第二象限交于點〃，且cos4M=”,則橢圓C的離心率為.

210

14.若(x?-2x+2)=a0+a{x+a2xH--i-a10x,則與=,

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(本題13分)某公司擬通過摸球的方式給員工發放節日紅包，在一個不透明的袋子中裝有5個標有紅

包金額的球，其中2個球分別標注40元，2個球分別標注50元，1個球標注60元，這5個球除標注的金

額外完全相同.每名員工從袋中一次摸出1個球，共摸”次，摸出的球上所標注的金額之和為該員工所獲

得的紅包金額.

(1)若〃=1,求一名員工所獲得的紅包金額不低于50元的概率；

(2)若〃=2,且每次摸出的球放回袋中，設事件/為“一名員工所獲得的紅包金額不大于100元”，事件3為

“一名員工所獲得的紅包金額不小于100元”，試判斷48是否相互獨立，并說明理由.

16.(本題15分)已知函數〃x)=x3_31nx,/'(x)為/(x)的導函數.

⑴求曲線y=/(x)在點(1，/⑴)處的切線方程；

⑵求函數g(x)=〃x)-((無)的單調區間和極值.

p

17.(本題15分)如圖，在四棱錐夕中，所有棱長都相等，ABLAD

，E,尸分別是棱尸C,尸8的中點，G是棱上的動點，且就=之方.

(1)若力=3，證明：G尸//平面BDE.

(2)求平面BDE與平面PDG夾角余弦值的最大值.

18.(本題17分)已知，點尸，尸分別是拋物線7：/=2刀(p>0)的焦點

與曲線上一動點，點/(1,2)在拋物線上方，且△取尸的周長最小值為

V2+3.

(1)求拋物線7的方程；

⑵點用C是拋物線上的動點，點。是點民C處拋物線切線的交點，若△88的面積等于32,線段G8為圓

X?+()-1)2=1的直徑，求方存.兩的取值范圍.

19.(本題17分)設｛?！埃歉黜椌鶠檎龜档臒o窮數列，其前"項和為

⑴若A-??+2=。用對任意〃eN*都成立，且2s華=S”+2.

①求數列｛”,｝的通項公式；

②已知首項為X”公比4滿足回<1的無窮等比數列打“｝,當〃無限增大時，其前”項和無限趨近于常數六

,則稱該常數為無窮等比數列b“｝的各項和.現從數列｛%,｝中抽取部分項構成無窮等比數列也,｝,且也｝的

各項和不大于求4的最大值.

(2)若。”+2Na“+i對任意〃eN都成立,試證明：(的足月“出生…%+Jd

參考答案

題號12345678910

答案CCDCDCCDABABD

題號11

答案ACD

11c1

12.y=—x+ln2——

22

□V65

13.

9

14.-592

15.(1)一名員工所獲得的紅包金額不低于50元，即獲得50元或60元,

故所求概率為:2+：1=3

(2)由題意，事件45表示“一名員工所獲得的紅包金額為100元”.

因為100=50+50=40+60=60+40,

所以P(AB)=f->l+-x-x2=—.

'/⑸5525

A="一名員工所獲得的紅包金額為80元或90元或100元”,

因為80=40+40,90=40+50=50+40,

所以=+-x-x2+—=-.

'/⑸55255

B="一名員工所獲得的紅包金額為100元或110元或120元,

因為110=50+60=60+50,120=60+60,

所以尸(8)=

所以P(N)尸(8)=南力尸(/團，

所以48不相互獨立.

16.(1)因為/(力=丁-31nx的定義域為(0,+oo),f'()=3x2—,

xX

所以“1)=1,/'⑴=0,

所以曲線了=/(x)在點(1,7(1))處的切線方程為v=1.

o6

(2)依題意，g(x)=/(x)-r(x)-1=x3-31ru-3x2-p貝I」

,236/、3(2-x)3(X3-1)(X-2)

g(x)=3x2-6x---F—=3x(x-2)+—―-——=--------------，

xxxx

令g'(x)=O,解得x=l或x=2.

當x變化時，g'(x),g(x)的變化情況如表所示:

X(0,1)1(1,2)2(2,+與

g'(x)+0—0+

g(x)單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增

，函數g(x)的單調遞減區間為(1,2),單調遞增區間為(0,1),(2,+co).

故g(x)的極小值為g⑵=-7-31n2,g(x)的極大值為g⑴=-8.

17.(1)連接NC,記/CcBD=O,連接。瓦

因為四邊形N5CD是正方形，所以。是/C的中點，

因為￡是尸C的中點，所以OE〃尸N.

因為G,歹分別是棱/昆尸8的中點，所以GF//P/,所以G尸〃。及

因為OEu平面G尸(z平面

所以GP//平面及

(2)四邊形/8CB為菱形，所以O8JLOC,

由OP_L平面N2CD,OB、OCu平面/BCD,得OP_LO2,OPLOC,

故以。為原點，分別以無，oc,9的方向為x/，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.

設/3=4,則/(0,-2亞,0),川2也,0,0),D(-272,0,0),E(0,叵塔,P(0,0,272),

從而刀=僅板,2亞,0),麗=(-40,0,0),5E=(-272,72,72),麗=(2亞,0,2啦).

因為就=AAB=(2屆,2屆,0),所以G(2722,2722-272,0),

則DG=(2屆+2A/2,2A/22-2V2,0),

設平面的法向量為"=

n,BD=-4A/2X,=0,一

則上赤=-2d+9+&=。令得〃=（0,1,-1）.

設平面尸DG的法向量為玩=（尤2，%/2）,

m-DP=2S/2X2+2A/2Z2=0,

貝卜比.虎=僅7^+2加,+（2亞/1_2@%=0,

令rx?—4-1,得加=（X—1,—X—1,—A+1）.

設平面BDE與平面PDG的夾角為。(6為銳角),

因為0W4W1,所以3萬_24+3=3（彳-』]+->-,

I3）33

V2”亞一出

所以，33一22+3-J2，

則當2=:時，平面BDE與平面PDG夾角的余弦值取得最大值旦.

32

18.(1)由題意知心，引，過點A向準線作垂線交準線于點4,交拋物線于點乙，連接胃,則有4尸=界4

可知當點尸運動到點穌的位置時，APAF的周長最小,

+2+4=拒+3,解得p=2,

最小值為AF+P0A+FP0=AF+44]=

2

所以拋物線7的方程為V=4y.

1Y

（2）由（1）知7=：/,則y=

42

設點8（x”必）,C（X2/2），D（x（），%）.

因為8,C為切點，則在點3處的切線方程為了=￡（x-xj+%=；x-%,且滿足%=+%-%.

同理，在點C處的切線方程為了=申（》-馬）+%=半工-%,且滿足為=三%,

所以直線8c為%=半龍-＞（題眼），

聯立]x°x[2y：2%,消去了整理得一一24%=0,

[x=4y,

所以A=4"6%>0,

xxx2=4y0，匹+x2=2x0,

則民-占卜]化-16.%=2&-4%.

作。D7加軸交線段5c于點則點〃的橫坐標為飛,代入直線2c的方程有x；=2%,+2%,

解得力,=4-2%=.

D22

2

所以DD'==￡-2%,

所以九8=50力卜一再|=J32%?2收-4%=32,

解得X：-4%=16,

所以"-4.

易知點尸恰為圓f+（y-l）2=1的圓心，由極化恒等式得麗?萬萬=（而+吊）?（而+麗）=|方『-1.

因為V正『=x；+(%―i)2=蟲+2%+17,%e[-4,+8),

所以|，『的取值范圍是[16,+3）,

所以旄?麗的取值范圍是［15,+s).

19.⑴①因為&ja.+2=%+i對任意reN*都成立,所以%,%+2=4，且%>0，所以“乜="2

an+\an

則數列｛七｝是等比數列，又2s.M=S〃+2,幾￡N*,〃22,2S〃=SI+2,

UL,、I""+11

作差得2a“+i=a"，"eN*,〃Z2,,所以——=7,

an2

又數列｛%｝為等比數列,故數列｛%｝的公比為;,

又因為2s2=d+2,所以2卜］=q+2,所以％=1,

所以｛%｝是以1為首項以:為公比的等比數列,

n-\M-1

所以數列｛0“｝的通項公式為a“=lx

2

n-1m—\

②因為%=II,設數列4=II,公比為I|,其中加，4eN*,

貝_于1；所以

又因為所以

w_L時滿足題意,所以僅此［；

16

（2）記%^二縱，HeN\因為??！?22%+1對任意〃eN*都成立,且“">0,

°n

得4±12馱2…即為+12%>--->q2>q1>0,

。〃+1an%

11

要證：（嘰+2）注（。2a3-q+戶

只需證：（%?！?2）"2（。2a3…4,+1）2,

只需證：可…q“+J”斗…6…q"）『，