第05講基本不等式

（10類核心考點(diǎn)精講精練）

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)

2024年新I卷，第18題第一問(wèn),4分基本不等式求范圍導(dǎo)數(shù)綜合

2023年新I卷，第22題第二問(wèn),8分基本不等式求最值圓錐曲線大題綜合

2022年新I卷，第18題第二問(wèn),6分基本不等式求最值正余弦定理解三角形

2022年新II卷，第12題,5分基本不等式求最值三角換元及三角函數(shù)相關(guān)性質(zhì)

2021年新I卷，第5題,5分基本不等式求最值橢圓方程及其性質(zhì)

2020年新I卷，第20題第二問(wèn),6分基本不等式求最值空間向量及立體幾何

2020年新II卷，第12題,5分基本不等式求最值指對(duì)函數(shù)的性質(zhì)及單調(diào)性

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的選考內(nèi)容，具體視命題情況而定，本身知識(shí)點(diǎn)命題可變性多，學(xué)生易

上手學(xué)習(xí)，但高考常作為載體和其他版塊結(jié)合考查，難度不定，分值為5分左右

【備考策略】1.理解、掌握基本不等式及其推論，會(huì)使用應(yīng)用條件：“一正，二定，三相等”

2.能正確處理常數(shù)“1”求最值

3.能用拼湊等思想合理使用基本不等式求最值

4.能熟練掌握基本不等式的應(yīng)用，應(yīng)用于函數(shù)和解析幾何的求解過(guò)程中求最值

【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，一般會(huì)結(jié)合條件等式考查拼湊思想來(lái)使用基本不等式求最

值，或者和其他版塊關(guān)聯(lián)，難度中等偏上。

知識(shí)點(diǎn)1基本不等式的基本公式

考點(diǎn)5二次與二次（一次）的商式求最值

核心考點(diǎn)考點(diǎn)6兩次應(yīng)用基本不等式求最值

考點(diǎn)7條件等式變形求最值

考點(diǎn)8利用基本不等式在恒成立問(wèn)題中求叁數(shù)的范圍

考點(diǎn)9利用基本不等式判斷或證明不等式關(guān)系

考點(diǎn)10基本不等式多選題粽合

知識(shí)講解

1.基本不等式

如果。20,620,那么呼2痣（當(dāng)且僅當(dāng)_____時(shí)取"="）.

2

說(shuō)明：

①對(duì)于非負(fù)數(shù)”,匕，我們把學(xué)稱為。/的,疝稱為。1的.

②我們把不等式打《胃（。20,620）稱為基本不等式，我們也可以把基本不等式表述為：兩個(gè)非負(fù)數(shù)的

幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù).

③“當(dāng)且僅當(dāng)。=6時(shí)取士號(hào)”這句話的含義是：一方面是當(dāng)—時(shí)，有而=等;另一方面當(dāng)______時(shí)，

有。=，.

④結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：和式與積式的關(guān)系.

2.基本不等式求最值

（1）設(shè)x,y為正數(shù)，若積犯等于定值P,那么當(dāng)x=y時(shí)，和尤+y有最小值—（簡(jiǎn)記為：積定和最小）.

（2）設(shè)無(wú)，y為正數(shù)，若和x+y等于定值S,那么當(dāng)無(wú)=>時(shí)，積孫有最大值;S?（簡(jiǎn)記為：和定積最大）.

3.幾個(gè)重要不等式（含基本不等式鏈）

*1232

(1)a+b>(GR)；(2)GR)；

0b

(3)—+—>________(a,6同號(hào))；(4)ab<_________或__________(tz,^eR)；

ba

2一，\

>-——GR,6Z,Z?>0)

>______

——+-

ab

考點(diǎn)一、直接用基本不等式求和或積的最值

典例引領(lǐng)

1.（23-24高三上?河南信陽(yáng)?階段練習(xí)）已知x>0,y>0,且x+y=2,則葉的最大值為（）

A.0B.1C.-1D.2

2.（2024?全國(guó),模擬預(yù)測(cè)）若x>0,y>0,3x+2y=l,則8'+4,的最小值為（）

A.72B.2應(yīng)C.3亞D.4近

1.（2023?上海?模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)a、。滿足a+46=1,則必的最大值為.

2.（2024?云南?模擬預(yù)測(cè)）已知正數(shù)尤,V滿足無(wú)+>=4,則工一:的最小值為_(kāi)______.

尤4

考點(diǎn)二、巧用“1”或常數(shù)關(guān)系求最值

典例引領(lǐng)

1.（2024?江蘇揚(yáng)州?模擬預(yù)測(cè)）已知x>0,y>0,且2元+y=l,則一X+^V的最小值為（）

孫

A.4B.4A/2C.6D.20+3

41

2.（2024?河南?三模）在ABC中，角A,民C的對(duì)邊分別為。，"c,若°+匕+°=2,則一-+-的最小值為

a+bc

1.（2024?安徽?三模）已知x>0,y>0,且2元+y=l,則工^的最小值為（）

孫

A.4B.472C.4A/2+1D.20+1

1o

2.（2024?寧夏石嘴山?模擬預(yù)測(cè)）已知相,—+n=4,則機(jī)+-的最小值為.

mn

3.（2024?江蘇南通?二模）設(shè)x>0,y>0,-+2y=2,則x+工的最小值為（）

33

A.~B.2\/2C.~+V2D.3

考點(diǎn)三、拼湊法求最值

典例引領(lǐng)

12

1.（2024,山西臨汾?二模）若Ovxvl,則—F-的最小值是（）

X1-x

A.1B.4C.2+20D.3+20

2.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）若函數(shù)/（無(wú)）=x+—］（x>3）在x=a處取最小值，則。=____.

x-3

y4x

3.（2024?江西贛州?二模）已知y>%>。，則=一一-——的最小值為_(kāi)___.

y-x2x+y

21

1.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知％>1,y>0且x^=2,則—的最小值是________.

fyx-1

121

2.（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?一模）已知實(shí)數(shù)。>。力>2,且--+則2〃+b的最小值是

a+1b-23

考點(diǎn)四、換元法求最值

典例引領(lǐng)

4%v

1.（2022高三上?全國(guó)?專題練習(xí)）已知九，>>0,求^----+4一的最大值.

4x+yy

2.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知。>上」二+/二=1，則工+工的最大值為

2a-12.b-1ab

1.（2020.甘肅蘭州?二模）設(shè)m,"為正數(shù)，且旭+"=2,則」7+”（的最小值為_(kāi)______.

m+1n+2

21

2.（2024?浙江?模擬預(yù)測(cè)）已知。>0,b>0,若，°一7=1，則必的最大值為（）

礦+labb~+ab

A.2-忘B.2+V2C.4+2點(diǎn)D.4-2a

考點(diǎn)五、二次與二次（一次）的商式求最值

典例引領(lǐng)

1.（2023高三?全國(guó)?專題練習(xí)）函數(shù)〃尤）=——-——（x<0）的最大值為.

3k123+3k

2.（23-24高一上?上海浦東新?期中）已知實(shí)數(shù)上>0,則［37+］4）（i4/+3）的最大值為

L（22-23高三上?福建泉州?期中）函數(shù)/（%）=.；［在￡+8）上的最大值為_(kāi)___________

2x-x+1

2.（2023高三?全國(guó)?專題練習(xí)）當(dāng)x>-l時(shí)，求函數(shù)丁=立亙±1的最小值.

X+1

考點(diǎn)六、兩次應(yīng)用基本不等式求最值

典例引領(lǐng)

1.（23-24高一上?上海徐匯?期中）若x,y,z均為正實(shí)數(shù)，則“/號(hào)+產(chǎn)的最大值是____.

4x+4y+3z

2.（23-24高三下?重慶?階段練習(xí)）對(duì)任意的正實(shí)數(shù)。力,c,滿足b+c=l,則8/+°+也的最小值

bea+1

為.

hZ7

1.（23-24高一上?江蘇南京?階段練習(xí)）已知正數(shù)。也c滿足a+沙We,則一+7T/的最小值為一.

a2P+C

2.（2023?江西?一模）已知。，b,。是正實(shí)數(shù)，且8+c="，則竺二^+工最小值為_(kāi)______.

be〃+1

考點(diǎn)七、條件等式變形求最值

典例引領(lǐng)

1.（2024?安徽蕪湖?模擬預(yù)測(cè)）若et-0=e2y,則苫一，的最小值為（）

1l一5In2

A.-B.J2C.1D.———

2.（2024?四川德陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)x,y,z滿足f+孫+yz+xz+x+z=6,則3x+2y+z的最小

值是.

3.（2023?江西?二模）實(shí)數(shù)。，b>0,滿足：a3+b3+lab=9，則a+b的范圍是（）

A.J,jB.2,—jC.（2,%^D.12,班

1.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知a>0,b>0,且彷=32,貝U4/+b+缶?。的最小值為.

2.（2024?浙江紹興?三模）若龍,y,z>0,且/+孫+2忘+2yz=4,則2x+y+2z的最小值是.

83

3.（22-23高三上?天津和平?階段練習(xí)）已知正數(shù)羽遭滿足3丁+2盯+沖+2y2=1，則孫的最小值是

考點(diǎn)八、利用基本不等式在恒成立問(wèn)題中求參數(shù)的范圍

典例引領(lǐng)

1.（23-24高三上?福建漳州,階段練習(xí)）已知也>3,x恒成立，則實(shí)數(shù)，"的取值范圍是_____

x-3

12

2.（2。23高一上?全國(guó)?專題練習(xí)）已知x,ye（l,2）且x+y=3,若一+/"恒成立,則實(shí)數(shù)。的范

圍是______

3.（2。23?廣東湛江二模）當(dāng)X,問(wèn)。,"）時(shí)，叁答X恒成立,則加的取值范圍是（）

<99

A.（25,+co）B.（26,+co）c-"D.（27,+co）

1.（2024?江西?一模）已知正數(shù)x,y滿足x+y=6,若不等式。」二+上二恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

x+1y+2

是.

22

2.設(shè)正實(shí)數(shù)x，y滿足1不等式4x「+y—2機(jī)恒成立，則機(jī)的最大值為（）

2y-12x-l

A.8B.16C.2A/2D.4夜

3.（23-24高三上?浙江寧波?期末）設(shè)實(shí)數(shù)尤,y滿足無(wú)>；,y>3,不等式旗2x-3）（y-3）+"T2%2-3y2

恒成立，則實(shí)數(shù)上的最大值為（）

A.12B.24C.26D.473

考點(diǎn)九、利用基本不等式判斷或證明不等式關(guān)系

典例引領(lǐng)

1.(23-24高三上?江蘇揚(yáng)州?期末)若a>b>l,x=ln，由二;(Ina+In/?),z=Jlna.Inb,則

A.xvzvyB.yvzvx

C.z<%<yD.z<y<x

211

2.（23-24高三上?陜西榆林?階段練習(xí)）已知正數(shù)〃,也。滿足一+：+—=2.

abc

(1)若。=2,求。+c的最小值；

1113

(2)證明：--+―-+

a+2ba+2cb+c4

3.(2024?甘肅張掖?模擬預(yù)測(cè))已知。也c為正數(shù)，且4+!+4=1.證明:

abc

(1)a1+b2+c2>abc;

⑵區(qū)1+防1+2廳/技后

1.（2023?安徽蚌埠?模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)滿足〃＜b＜。且勿（＜0,則下列不等關(guān)系一定正確的是（

A.ac<bcB.ab<ac

2.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+Z?+c=l.

12

⑴若2a2+//+，=/,求證：0?aVy；

(2)若a,b,CG(0,+OO),求證：+-^—+-^>—.

'7l-a1-b1-c2

3.(2024?青海?一模)已知正數(shù)。,瓦。滿足a+b+c=2.求證：

⑴〃2+/+(?>^..

(2)j3a+2+y/3b+2+J3c+2<6.

考點(diǎn)十、基本不等式多選題綜合

典例引領(lǐng)

1.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）若實(shí)數(shù)a,6滿足3/+3/+4必=5,則下列結(jié)論正確的是（）

2

A.ab<lB.ab2—

5

C.a2+b2>2D.—5/2<"+/?<yf2,

2.（2024?河北保定?二模）已知/+4/2+2°/=1,貝［］（）

A.必的最大值為，B.4+4）2的最小值為,

6

D.必的最小值為-g

C.儲(chǔ)+4/的最大值為2

3.（2024?浙江?二模）已知正實(shí)數(shù)且。>6>c,x,y,z為自然數(shù)，則滿足二+”」+，->0恒成立

Q—bO—cc—a

的％y,z可以是（）

A.x=l,y=l,z=4B.x=l,y=2,z=5

C.%=2,y=2,z=7D.x=l,y=3,z=9

14

1.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知。>0,b>0且—+7=2,則下列說(shuō)法正確的是（）

ab

9

A.仍有最小值4B.a+h有最小值5

C.2ab+〃有最小值2君D.716a2+b1的最小值為4夜

2.（2024?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè)）已知a<6<c（a,6,ceR）,且a+?+3c=0,則下列結(jié)論成立的是（）

ca八

A.Q+C<0B.-+-<-2

ac

b+2c1

c.存在a,c使得片一25c2=0D.--------<——

a+c2

3.（2024?重慶渝中?模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)X，>滿足f+4產(chǎn)-2孫=1,則（）

A.x+2y<lB.x+2y>-2

C.x2+4/<2D.x2+4y2>1

I隗,好題沖關(guān)?

一、單選題

1.（2024?安徽?模擬預(yù)測(cè)）已知力2,"e（0,+oo）,—+n=4,則機(jī)+2的最小值為（）

mn

A.3B.4C.5D.6

14

2.（2024?河南?模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)P（x,y）在以原點(diǎn)。為圓心，半徑「=夕的圓上，則7幣+了幣的最小值

為（）

45+272r7

A.-------c.一D.1

9

二、多選題

3.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))己知x>0,y>0,且x+y=l,則()

22

A.2f>；B.log2%+log,y<-2c.+D.x+y>^

4.(2024?福建泉州?模擬預(yù)測(cè))已知a>0,b>0,且<7+6=4,則&)

A.a+2Z?>4B.(a—l)(b-1)>1

C.log2a+log2Z?>2D.2“+"?8

三、填空題

5.（2024?上海奉賢?三模）若a+b=l,則必有最大值為.

6.（2024?河南商丘?模擬預(yù)測(cè)）若正數(shù)滿足〃6=03+62,則。的最小值是.

7.（2024?天津?模擬預(yù)測(cè)）若a>0,b>0,且a+6=l,貝U（?+的最小值為

i4

8.（2024?河南?模擬預(yù)測(cè)）已知向量a=㈤（加,〃>0）,6=（1,2）,若〃力=1，則藐+的取值范圍為

9.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)彳力滿足孫=1,則爐+2/的最小值為一.

■XZ

10.（2024,廣東?三模）設(shè)實(shí)數(shù)x、y、z、f滿足不等式14x4y4z4f4100,則一+一的最小值為_(kāi)___.

yt

一、單選題

1.（2024?北京順義?三模）設(shè)龍,”1,a>l,b〉l若a"=枚=3,a+b=2坦,則工最大值為（）

xy

3

A.2B.-C.1D.

22

2.（2024?江蘇鹽城?模擬預(yù)測(cè)）sinxjl+2cos晨的最小值為（:)

A_1_V2_3

Rr一逑D.

2244

若不等式」7+生22恒成立，則

3.（2024高二下?湖南?學(xué)業(yè)考試）已知力>1,n>0,m2-2m+〃=0,

m-1n

實(shí)數(shù)2的最大值為（）

A.2B.3C.4D.6

4.（2024?廣西?模擬預(yù)測(cè)）已知a,6e（Yo,0）,且a+46=ab-5,則ab的取值范圍為（）

A.[25,+oo)B.[l,+oo)c.(0,5]D.(0,1]

二、填空題

1o

5.（2024?上海?三模）已知函數(shù)/（%）=/+2%,若機(jī)＞0,n＞0,且/'（2〃z）+/（〃—1）=/（0）,則一+一的

mn

最小值是

6.（2024?河南信陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）若實(shí)數(shù)x,y滿足41nx+21n”/+4y-4,貝1」肛=.

7.（2024,河北?三模）已知函數(shù)〃x）=|lgx|,若〃a）=〃6）（a4）,則當(dāng)2"I取得最小值時(shí)，/=_____.

b

8.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)x,y滿足4y2+4盯+1=）,則，+x-3y的最小值為

XX

9.（23-24高三下，重慶?開(kāi)學(xué)考試）已知實(shí)數(shù)。力滿足〃2-"+加=1,則必的最大值為;+

的取值范圍為.

三、解答題

29x2V2

10.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）設(shè)正實(shí)數(shù)工，＞滿足不等式一+j三2機(jī)恒成立，求正的

3y-23x-2

最大值.

1.（2024?北京?高考真題）已知（石,乂），（%,%）是函數(shù)＞=2''的圖象上兩個(gè)不同的點(diǎn)，貝I（）

為＜玉+尤

A.logM+2B.log

222222

C.Cg.<占+々D.log.>%+無(wú)2

2.（2022?全國(guó)?高考真題）（多選）若尤，y滿足/+;/一沖=1,則（）

A.x+y<lB.x+y2—2

C.x2+y2<2D.x2+y2>l

3.（2。22?全國(guó),高考真題）記「ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知.二胃還

(1)^C=—,求&

2.T2

⑵求一匕的最小值.

c

4.(2021?全國(guó)?高考真題)下列函數(shù)中最小值為4的是()

A.y=x2+2x+4B.y=|sinX\+T--i

y|sinx|

C.y=2x+22~XD.y=ln.r+—

]nx

22

5.（2021,全國(guó)?|Wj考真題）已知尸i,尸2是橢圓C：會(huì)+3=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在c上，則須劇的最

大值為（）

A.13B.12C.9D.6

6.（2021?天津?高考真題）若a>0">0,則8的最小值為

ab

7.（2020,山東考真題）（多選）已知。>0,b>0,且o+b=l,則（）

A.a2+b2>—B.2a-b>-

22

C.log2a+log2b>-2D.y/a+y/b<\/2

11Q

8.（2020?天津?高考真題）已知a>。，b>0,且〃b=l,貝—F——H-----的最小值為

2a2ba+b

9.（2020?江蘇?[Wj考真題）已知5x2y2+y4=l(%,y￡R),則%2+y2的最小值是.

第05講基本不等式

（10類核心考點(diǎn)精講精練）

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)

2024年新I卷，第18題第一問(wèn),4分基本不等式求范圍導(dǎo)數(shù)綜合

2023年新I卷，第22題第二問(wèn),8分基本不等式求最值圓錐曲線大題綜合

2022年新I卷，第18題第二問(wèn),6分基本不等式求最值正余弦定理解三角形

2022年新II卷，第12題,5分基本不等式求最值三角換元及三角函數(shù)相關(guān)性質(zhì)

2021年新I卷，第5題,5分基本不等式求最值橢圓方程及其性質(zhì)

2020年新I卷，第20題第二問(wèn),6分基本不等式求最值空間向量及立體幾何

2020年新II卷，第12題,5分基本不等式求最值指對(duì)函數(shù)的性質(zhì)及單調(diào)性

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的選考內(nèi)容，具體視命題情況而定，本身知識(shí)點(diǎn)命題可變性多，學(xué)生易

上手學(xué)習(xí)，但高考常作為載體和其他版塊結(jié)合考查，難度不定，分值為5分左右

【備考策略】1.理解、掌握基本不等式及其推論，會(huì)使用應(yīng)用條件：“一正，二定，三相等”

2.能正確處理常數(shù)“1”求最值

3.能用拼湊等思想合理使用基本不等式求最值

4.能熟練掌握基本不等式的應(yīng)用，應(yīng)用于函數(shù)和解析幾何的求解過(guò)程中求最值

【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，一般會(huì)結(jié)合條件等式考查拼湊思想來(lái)使用基本不等式求最

值，或者和其他版塊關(guān)聯(lián)，難度中等偏上。

知識(shí)點(diǎn)1基本不等式的基本公式

考點(diǎn)5二次與二次（一次）的商式求最值

核心考點(diǎn)考點(diǎn)6兩次應(yīng)用基本不等式求最值

考點(diǎn)7條件等式變形求最值

考點(diǎn)8利用基本不等式在恒成立問(wèn)題中求叁數(shù)的范圍

考點(diǎn)9利用基本不等式判斷或證明不等式關(guān)系

考點(diǎn)10基本不等式多選題粽合

知識(shí)講解

1.基本不等式

如果。20,620,那么呼2痣（當(dāng)且僅當(dāng)_____時(shí)取"="）.

2

說(shuō)明：

①對(duì)于非負(fù)數(shù)”,匕，我們把學(xué)稱為。/的,疝稱為。1的.

②我們把不等式打《胃（。20,620）稱為基本不等式，我們也可以把基本不等式表述為：兩個(gè)非負(fù)數(shù)的

幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù).

③“當(dāng)且僅當(dāng)。=6時(shí)取士號(hào)”這句話的含義是：一方面是當(dāng)—時(shí)，有而=等;另一方面當(dāng)______時(shí)，

有a=b.

④結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：和式與積式的關(guān)系.

【答案】a=b算術(shù)平均數(shù)幾何平均數(shù)a=b/區(qū)=字

2.基本不等式求最值

（1）設(shè)x,y為正數(shù)，若積孫等于定值尸，那么當(dāng)尤=＞時(shí)，和無(wú)+y有最小值—（簡(jiǎn)記為：積定和最小）.

（2）設(shè)x,y為正數(shù)，若和x+y等于定值S,那么當(dāng)x=y時(shí)，積孫有最大值;S?（簡(jiǎn)記為：和定積最大）.

【答案】2V?

3.幾個(gè)重要不等式（含基本不等式鏈）

22

(1)a+b>(47,/?GR)；

(2)a*；>(a,￡>eR)；

(3)y+—>_______(a,6同號(hào))；

ba

(4)ab<或(tz,Z?eR)；

2

⑸戶心—___>_>———j(a,beR,tz,Z?>0)

—+-

ab

(a+b^\a1+b2a+b

【答案】y[ab2

I2J22

考點(diǎn)一、直接用基本不等式求和或積的最值

典例引領(lǐng)

1.（23-24高三上?河南信陽(yáng),階段練習(xí)）已知尤>0,y>0,且x+y=2,則切的最大值為（）

A.0B.1C.-1D.2

【答案】B

【分析】根據(jù)基本不等式，求解即可得出答案.

【詳解】因?yàn)橛?gt;0,y>o,

則由基本不等式可得x+y22后，

所以有孫（亨1=1,

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=i時(shí)等號(hào)成立.

故選：B.

2.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）若無(wú)>0,y>0,3x+2y=l,則8，+4y的最小值為（）

A.72B.272C.3亞D.4忘

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，由基本不等式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】8,+4,=2*+22y>2,yll3x-22y=2r2"+2y=272，

當(dāng)且僅當(dāng)23,=2?，且3尤+2y=1,即x=3：時(shí)等號(hào)成立，

64

故選：B.

1.（2023?上海?模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)心。滿足a+助=1,則必的最大值為

【答案】］

16

【分析】由〃匕=!分464工］^^］,代入即可得出答案.

44（2J

a+4b111

【詳解】ab=—a'4b<—=—x—=—,

4424416

當(dāng)且僅當(dāng)"a=4",即。=：,6=:時(shí)取等,

28

所以而的最大值為二.

16

故答案為：—

16

2.（2024?云南?模擬預(yù)測(cè)）已知正數(shù)天/滿足尤+>=4,則,一與的最小值為_(kāi)______.

尤4

【答案】。

【分析】根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得到工-斗=工--=工+：-1,結(jié)合基本不等式，即可求解.

x4x4x4

【詳解】由正數(shù)x，y滿足x+y=4,可得y=4-X,

所以，_2=工一上I=_L+2_iN2、g_l=0,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2時(shí)取等號(hào),

x4X4X4V4

所以常的最小值為。?

故答案為：0.

考點(diǎn)二、巧用“1”或常數(shù)關(guān)系求最值

典例引領(lǐng)

x+V

1.（2024?江蘇揚(yáng)州?模擬預(yù)測(cè)）已知x>0,y>0,且2x+y=l,則--的最小值為（

孫

A.4B.472C.6D.20+3

【答案】D

【分析】利用乘"1"法及基本不等式計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)橛?gt;0,、>0,且2x+y=l,

當(dāng)且僅當(dāng)至=1,即了=上也，、=&-1時(shí)取等號(hào).

yx2

故選：D

41

2.（2024?河南?三模）在ABC中，角A,氏C的對(duì)邊分別為〃也c,若a+Z?+c=2,則——-+-的最小值為

a+bc

9

【答案】I

【分析】a,4c是ABC的邊長(zhǎng)，所以它們是正數(shù)，利用乘“1〃法結(jié)合基本不等式即可求解.

【詳解】因?yàn)閍+b+c=2,

所以￡+

￡_4ca+b\^1_I4ca+b9

5+------+------->--5+2J--------------

2a+bcJ2(Va+bc2

當(dāng)且僅當(dāng)4多<?=a.+b,即a+b=2c時(shí)等號(hào)成立，故4」y+工1的最小值為9

a+bca+bc2

9

故答案為：—.

1.（2024?安徽?三模）已知尤>0,y>0,且2元+y=l,則上土^的最小值為（）

孫

A.4B.4及C.472+1D.20+1

【答案】D

【分析】由2x+y=l,可得匕^=1+上+亙，再利用基本不等式計(jì)算即可得.

xyxy

【詳解】￡±^=2+!=）+2=1+』+空21+2、尸=2忘+1,

xyxyxyxyxy

當(dāng)且僅當(dāng)2=旦，即丫=夜-1,尤=1-正時(shí)，等號(hào)成立.

尤y2

故選：D.

2.（2024?寧夏石嘴山?模擬預(yù)測(cè)）已知〃2,〃e（0,+oo）,—+n=4,則機(jī)+2的最小值為.

mn

【答案】4

【分析】利用乘"1"法及基本不等式計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)樗搅?0,+<?）,—+?=4,

m

所以根+2=，（m+—\\-+n\=—|mn+-^-+10|

n4（n）\m）4（mn）

9

當(dāng)且僅當(dāng)加〃=—，即機(jī)=1,〃=3時(shí)取等號(hào).

mn

故答案為：4

3.（2024?江蘇南通?二模）設(shè)％>0,J>0,—+2y=2,則1+—的最小值為（

%y

33

A.—