第07講函數模型及其應用

（3類核心考點精講精練）

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析關聯考點

對數的運算性質的應用

2023年新I卷，第10題,5分對數函數模型的應用

由對數函數的單調性解不等式

2.命題規律及備考策略

【命題規律】本節內容是新高考卷的命題載體內容，通常會結合其他函數知識點考查，需要掌握函數的圖

象與性質，難度中等偏下，分值為5分

【備考策略】1.會選擇合適的函數類型來模擬實際問題的變化規律.

2.會比較一次函數、二次函數、基函數、對數函數、指數函數增長速度的差異

3.了解函數模型（指數函數、對數函數、幕函數、分段函數等在社會生活中普遍使用的函數模

型）的廣泛應用

【命題預測】本節內容通常考查給定實際問題選擇用合適的函數解析式來模擬或求對應的實際應用值，是

新高考復習的重要內容

知識點1三種常見函數模型的性質

知識點2常見函數模型

核心知識點

知識點3解函數模型問題的步驟

函數模型及其應用考點1指數函數模型

考點2對數函數模型

核心考點

考點3建立擬合函數模型解決實際問題

知識講解

1.三種函數模型的性質

函數y=axy=log?xy=xn

性質(。>1)(〃>1)(n>0)

在(0,+8)上

單調遞增單調遞增單調遞增

的增減性

增長速度越來越快越來越慢相對平穩

隨X的增大逐漸表現為隨X的增大逐漸表隨n值變化而各有

圖象的變化

與詡平行現為與匈平行不同

2.常見的函數模型

函數模型函數解析式

一次函數模型J(x)=ax+b(af為常數，

1

二次函數模型J(x)=ax+bx+c(<a,b,c為常數，〃W0)

J[x)=%~b(k,為常數且ZWO)

反比例函數模型

x

指數函數模型fix)=ba+c(afb,c為常數，4>0且Z?#0)

對數函數模型f(x)=Z?logflx+c(a,b,c為常數，4>0且aWl,Z?WO)

幕函數模型f(x)=axa+b(a,b,。為常數，aWO)

3.解函數模型問題的步驟

(1)審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數量關系，初步選擇數學模型.

(2)建模：將自然語言轉化為數學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數學知識，建立相應的數學模型.

⑶解模：求解數學模型，得出數學結論.

(4)還原：將數學問題還原為實際問題.

以上過程用框圖表示如下：

考點一、指數函數模型

典例引領

1.(山東?高考真題)基本再生數R。與世代間隔了是新冠肺炎的流行病學基本參數.基本再生數指一個感染者

傳染的平均人數，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數模型：

/⑺=e”描述累計感染病例數/⑴隨時間t(單位:天)的變化規律，指數增長率r與Ro,7■近似滿足Ro=1+”.有

學者基于已有數據估計出Ro=3.28,T=6.據此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加1倍需要的

時間約為（ln2=0.69）（）

A.1.2天B.1.8天

C.2.5天D.3.5天

2.（2024?陜西安康?模擬預測）半導體的摩爾定律認為，集成電路芯片上的晶體管數量的倍增期是兩年，用

/⑺表示從t=0開始，晶體管數量隨時間f變化的函數，7（0）-1000,若f是以年為單位，則/⑺的解析式

為（）

A./（Z）=1000+^1^/B./（f）=1000x2,

C./（f）=1000x22D./（O=1000+2f

3.（2024高三下?全國?專題練習）小微企業是推進創業富民、恢復市場活力、引領科技創新的主力軍，一直

以來，融資難、融資貴制約著小微企業的發展活力.某銀行根據調查的數據，建立了小微企業實際還款比例尸

-0.968+fcc

與小微企業的年收入X（單位：萬元）的關系為/＞=已知小微企業的年收入為80萬元時，

其實際還款比例為50%,若銀行希望實際還款比例為40%,則小微企業的年收入約為（參考數據：

In3^1.0986,In2a0.6931）（）

A.46.49萬元B.53.56萬元C.64.43萬元D.71.12萬元

1.（2024?湖南益陽?三模）二手汽車價位受多方因素影響，交易市場常用年限折舊法計算車價位，即按照同

款新車裸車價格，第一年汽車貶值20%,從第二年開始每年貶值10%.剛參加工作的小明打算買一輛約5

年的二手車，價格不超過8萬元.根據年限折舊法，設小明可以考慮的同款新車裸車最高價位是機（?eN）萬，

則根=（）

A.13B.14C.15D.16

2.（2024?廣東茂名?一模）Gowperfz曲線用于預測生長曲線的回歸預測，常見的應用有：代謝預測，腫瘤生

長預測，有限區域內生物種群數量預測，工業產品的市場預測等，其公式為：=（其中左＞。力＞0,

。為參數）.某研究員打算利用該函數模型預測公司新產品未來的銷售量增長情況，發現。=e.若尤=1表示該

新產品今年的年產量，估計明年（x=2）的產量將是今年的e倍，那么6的值為（e為自然數對數的底數）（）

A.B.C.75-1D.#+1

22

3.（2024?四川德陽三模）如今我國物流行業蓬勃發展，極大地促進了社會經濟發展和資源整合.已知某類

果蔬的保鮮時間y（單位：小時）與儲藏溫度x（單位：助滿足函數關系.y=e3〃（a,b.為常數），若該果蔬在

7團的保鮮時間為288小時，在21回的保鮮時間為32小時，且該果蔬所需物流時間為4天，則物流過程中果

蔬的儲藏溫度（假設物流過程中恒溫）最高不能超過（）

A.140B.15SC.13團D.16回

考點二、對數函數模型

典例引領

1.（2024?湖南長沙?三模）地震震級通常是用來衡量地震釋放能量大小的數值，里氏震級最早是由查爾斯?

里克特提出的，其計算基于地震波的振幅，計算公式為"=1曲-1虱，其中M表示某地地震的里氏震級，A

表示該地地震臺測振儀記錄的地震波的最大振幅，4表示這次地震中的標準地震振幅.假設在一次地震中，

某地地震臺測振儀記錄的地震波的最大振幅為5000,且這次地震的標準地震振幅為0.002,則該地這次地震

的里氏震級約為（）（參考數據：炮2。0.3）

A.6.3級B.6.4級C.7.4級D.7.6級

2.（2024?山東泰安?模擬預測）青少年視力問題是社會普遍關注的問題，視力情況可借助視力表測量，通常

用五分記錄法和小數記錄法記錄視力數據，五分記錄法的數據L和小數記錄法的數據V滿足L=5+lgV.已

知小明和小李視力的五分記錄法的數據分別為4.5和5.0,記小明和小李視力的小數記錄法的數據分別為

匕，％，則去的值所在區間是（）

%

A.（1.5,2）B.（2,2.5）C.（2.5,3）D.（3,3.5）

3.（2023?全國?高考真題）（多選）噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓

級4=20xlg2,其中常數為（為>0）是聽覺下限閾值，P是實際聲壓.下表為不同聲源的聲壓級:

Po

聲源與聲源的距離/m聲壓級/dB

燃油汽車1060?90

混合動力汽車1050?60

電動汽車1040

已知在距離燃充b汽車、混合動力汽車、電動汽車10m處測得實際聲壓分別為P”P2，P3,則（）

A.Pi2p2B.P2>10p3

C.p3=100PoD."WlOOpz

1.（2024?重慶?模擬預測）物理學家本?福特提出的定律：在6進制的大量隨機數據中，以“開頭的數出現的

概率為與（"）=1。&但，應用此定律可以檢測某些經濟數據、選舉數據是否存在造假或錯誤.根據此定律，

n

在十進制的大量隨機數據中，以1開頭的數出現的概率大約是以9開頭的數出現的概率的（）倍（參考

數據:lg2=0.301,lg3=0.477)

A.5.5B.6C.6.5D.7

2.（2024?江西?二模）核酸檢測分析是用熒光定量PCR法，通過化學物質的熒光信號，對在PCR擴增進程

中成指數級增加的靶標DNA實時監測，在PCR擴增的指數時期，熒光信號強度達到閥初始數值時，DNA的

數量X“與擴增次數〃滿足值《=〃館（1+0）+至4,其中X。為DNA的初始數量，P為擴增效率.已知某被

測標本DNA擴增16次后，數量變為原來的10000倍，則擴增效率。約為（）

（參考數據：10°，25它1.778,10*25x0.562）

A.22.2%B.43.8%C.56.2%D.77.8%

3.（2024?四川?模擬預測）2023年6月22日，由中國幫助印尼修建的雅萬高鐵測試成功，高鐵實現時速350km

自動駕駛，不僅速度比普通列車快，而且車內噪聲更小.如果用聲強/（單位：W/n?）表示聲音在傳播途

徑中每平方米上的聲能流密度，聲強級工（單位：dB）與聲強/的函數關系式為L=41g（a/）,其中％為基

準聲強級，。為常數，當聲強/=3時，聲強級L=20dB.下表為不同列車聲源在距離20m處的聲強級：

聲源與聲源的距離（單位：m）聲強級范圍

內燃列車20[50,80]

電力列車20[20,50]

高速列車20{10}

設在離內燃列車、電力列車、高速列車20m處測得的實際聲強分別為小A/，則下列結論正確的是（）

A.4=30B.It>I2C.Z2>10/3D.A<100Z2

考點三、建立擬合函數模型解決實際問題

卡典例引號

1.（全國?高考真題）2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國

航天事業取得又一重大成就，實現月球背面軟著陸需要解決的一個關鍵技術問題是地面與探測器的通訊

聯系.為解決這個問題，發射了嫦娥四號中繼星"鵲橋"，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日4點的軌道運行.4

點是平衡點，位于地月連線的延長線上.設地球質量為M/,月球質量為Mz,地月距離為R,4點到

月球的距離為，，根據牛頓運動定律和萬有引力定律，/■滿足方程:

+必

（

(7?+r)2r2=R+號

3a3+3a4+（y5

因此在近似計算中-3a3,則r的近似值為

B.-H---AR

2M

D

-/蚩R

2.（2024?陜西商洛?模擬預測）人工智能QArtificialIntelligence）,英文縮寫為A/.它是研究、開發用于模擬、

延伸和擴展人的智能的理論、方法、技術及應用系統的一門新的技術科學.人工智能研究的一個主要目標是使

機器能夠勝任一些通常需要人類智能才能完成的復雜工作.在疫情期間利用機器人配送、機器人測控體溫等

都是人工智能的實際運用.某研究人工智能的新興科技公司第一年年初有資金5000萬元，并將其全部投入生

產，到當年年底資金增長了50%,預計以后每年資金年增長率與第一年相同.公司要求企業從第一年開始，

每年年底各項人員工資、稅務等支出合計1500萬元，并將剩余資金全部投入下一年生產.設第n年年底企業

除去各項支出資金后的剩余資金為““萬元，第加eN*）年年底企業的剩余資金超過21000萬元，則整數機

的最小值為.(lg2工0.3010;lg3?0.4771)

1.（2024?重慶?二模）英國經濟學家凱恩斯（1883-1946）研究了國民收入支配與國家經濟發展之間的關系，

強調政府對市場經濟的干預，并形成了現代西方經濟學的一個重要學派一凱恩斯學派.機恩斯抽象出三個核

心要素：國民收入y,國民消費c和國民投資/,假設國民收入不是用于消費就是用于投資，就有：

=°其中常數即表示房租、水電等固定消費，々（④1）為國民"邊際消費傾向”.則（）

A.若固定/且/..0,則國民收入越高，“邊際消費傾向“越大

B.若固定y且y..o,貝『'邊際消費傾向"越大，國民投資越高

C.若。=],則收入增長量是投資增長量的5倍

D.若〃=-4]，則收入增長量是投資1增長量的g

2.（2024?北京朝陽?二模）假設某飛行器在空中高速飛行時所受的阻力/滿足公式f=^pCSv2,其中。是

空氣密度，S是該飛行器的迎風面積，v是該飛行器相對于空氣的速度，C是空氣阻力系數（其大小取決

于多種其他因素），反映該飛行器克服阻力做功快慢程度的物理量為功率？=戶.當O，S不變，v比原來提高

10%時，下列說法正確的是（）

A.若C不變，則尸比原來提高不超過30%

B.若C不變，則尸比原來提高超過40%

C.為使尸不變，則C比原來降低不超過30%

D.為使尸不變，則C比原來降低超過40%

12.好題沖關

一、單選題

1.（2024?河南三門峽?模擬預測）研究表明，地震時釋放的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級M之間的

關系為lgE=4.8+1.5/.2024年1月30日在新疆克孜勒蘇州阿合奇縣發生了里氏5.7級地震，所釋放的能量

記為昂2024年1月13日在湯加群島發生了里氏5.2級地震，所釋放的能量記為區，則比值察的整數部分

E2

為（）

A.4B.5C.6D.7

2.（2024?北京昌平?二模）中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關，經驗表明，某種

綠茶用90團的水泡制，再等到茶水溫度降至60回時飲用，可以產生極佳口感；在20團室溫下，茶水溫度從90回

開始，經過fmin后的溫度為了℃,可選擇函數y=60x0.9'+20?20）來近似地刻畫茶水溫度隨時間變化的規

律，則在上述條件下，該種綠茶茶水達到最佳飲用口感時，需要放置的時間最接近的是（）

（參考數據：lg2。0.30,lg3。0.48）

A.2.5minB.4.5minC.6minD.8min

3.（2024?陜西安康?模擬預測）若一段河流的蓄水量為v立方米，每天水流量為左立方米，每天往這段河流

排水廠立方米的污水，貝！h天后河水的污染指數%=：+J（/為初始值，見）＞°）.現有一條被

污染的河流，其蓄水量是每天水流量的60倍，以當前的污染指數為初始值，若從現在開始停止排污水，要

使河水的污染指數下降到初始值的。，需要的天數大約是（參考數據：ln7。1.95）（）

A.98B.105C.117D.130

4.（2024?四川涼山?三模）工廠廢氣排放前要過濾廢氣中的污染物再進行排放，廢氣中污染物含量V（單位：

mg/L）與過濾時間f小時的關系為＞=%片"（％,。均為正的常數）.已知前5小時過濾掉了10%污染物，

那么當污染物過濾掉50%還需要經過（）（最終結果精確到lh,參考數據：lg2“0.301,lg3k0.477）

A.43hB.38hC.33hD.28h

5.（2024?江西?模擬預測）酒駕最新標準規定：100ml血液中酒精含量達到20mg的駕駛員即為酒后駕車，達

到80mg及以上認定為醉酒駕車.如果某駕駛員酒后血液中酒精濃度為L2mg/ml,從此刻起停止飲酒，血

液中酒精含量會以每小時25%的速度減少，那么他至少經過幾個小時才能駕駛？（參考數據：

lg2~0.301,lg3?0.477）（）

A.6B.7C.8D.9

6.（2024?全國?模擬預測）某農業研究所對玉米幼穗的葉齡指數R與可見葉片數x進行分析研究，其關系可

以用函數R=15e?（。為常數）表示.若玉米幼穗在伸長期可見葉片為7片，葉齡指數為30,則當玉米幼

穗在四分體形成期葉齡指數為82.5時，可見葉片數約為（）（參考數據：In2ao.7,ln5.5?1.7）

A.15B.16C.17D.18

7.（2024?全國?模擬預測）青少年視力問題是社會普遍關注的問題，視力情況可借助視力表測量，通常用五

分記錄法和小數記錄法記錄視力數據，五分記錄法的數據乙和小數記錄法的數據V滿足乙=5+lgV.已知小

明和小李視力的五分記錄法的數據分別為4.5和4.9,記小明和小李視力的小數記錄法的數據分別為匕匕，

則,（）

A.（1.5,2）B.（2,2.5）C.（2.5,3）D.（3,3.5）

8.（2024?江蘇?模擬預測）盡管目前人類還無法準確預報地震，但科學家通過研究，已經對地震有所了解,

例如，地震時釋放的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級M之間的關系為lgE=4.8+L5M.2OO8年5月12

日我國汶川發生里氏8.0級地震，它所釋放出來的能量是2024年4月3日我國臺灣發生里氏7.0級地震的

（）倍

1548

A.1B.107C.10D.10

9.（2024?寧夏吳忠?模擬預測）從甲地到乙地的距離約為240km,經多次實驗得到一輛汽車每小時耗油量。

（單位：L）與速度v（單位：km/h）（0<v<120）的下列數據：

V0406080120

Q0.0006.6678.12510.00020.000

為描述汽車每小時耗油量與速度的關系，則下列四個函數模型中，最符合實際情況的函數模型是（）

A.2=0.5"+"B.Q^av+b

32

C.Q=av+bv+cvD.Q=k\ogav+b

10.（2024?寧夏銀川?一模）鋰電池在存放過程中會發生自放電現象，其電容量損失量隨時間的變化規律為

Q=ktp,其中Q（單位mAh）為電池容量損失量，P是時間r的指數項，反映了時間趨勢由反應級數決定，

左是方程剩余項未知參數的組合，與溫度T和電池初始荷電狀態M等自放電影響因素有關.以某種品牌鋰電

池為研究對象，經實驗采集數據進行擬合后獲得。=0.5,相關統計學參數戶>0.995,且預測值與實際值誤

差很小.在研究M對。的影響時，其他參量可通過控制視為常數，電池自放電容量損失量隨時間的變化規

律為。二k一二心".）〃，經實驗采集數據進行擬合后獲得A=2.228,8=1.3,相關統計學參數4=0.999,且

預測值與實際值誤差很小.若該品牌電池初始荷電狀態為80%,存放16天后，電容量損失量約為（）

（參考數據為：e3-22x25.08,e3232?25.33,e3265工26.26,e3-628?37.64）

A.100.32B.101.32C.105.04D.150.56

一、單選題

1.（2024?陜西渭南?二模）中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關.經研究可知：在室

溫25。（2下，某種綠茶用85<的水泡制，經過?后茶水的溫度為yc,且>=上0.9227工+25（x20,無eR）.

當茶水溫度降至60°C時飲用口感最佳，此時茶水泡制時間大約為（）

（參考數據：In2?0.69,ln3?1.10,ln7?1.95,lnO.9227X-0.08）

A.6minB.7minC.8minD.9min

2.（2024?河北邯鄲?模擬預測）中國地震臺網測定：2024年4月3日，中國臺灣花蓮縣海域發生里氏7.3級

地震.已知地震時釋放出的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級M之間的關系為lgE=4.8+L5M,20"年3

月11日，日本東北部海域發生里氏9.0級地震，則它所釋放出來的能量約是中國臺灣花蓮縣海域發生里氏

7.3級地震的多少倍？（）

A.98B.105C.355D.463

3.（2024?福建福州?模擬預測）當藥品A注射到人體內，它在血液中的殘余量會以每小時25%的速度減少，

另一種藥物3注射到人體內，它在血液中的殘余量會以每小時10%的速度減少.現同時給兩位患者分別注

射800mg藥品A和500mg藥品2,當兩位患者體內藥品的殘余量恰好相等時，所經過的時間約為（）（參

考數據:0.301,lg3ao.477）

A.0.57hB.1.36hC.2.58hD.3.26h

4.（2024?浙江杭州?二模）某外來入侵植物生長迅速，繁殖能力強，大量繁殖會排擠本地植物，容易形成單

一優勢種群，導致原有植物種群的衰退甚至消失，使當地生態系統的物種多樣性下降，從而破壞生態平衡.

假如不加控制，它的總數量每經過一年就增長一倍.則該外來入侵植物由入侵的1株變成100萬株大約需要

（）（參考數據：1g2?0.301）

A.40年B.30年C.20年D.10年

5.（23-24高三上?內蒙古鄂爾多斯?期末）教室通風的目的是通過空氣的流動，排出室內的污濁空氣和致病

微生物，降低室內二氧化碳和致病微生物的濃度，送進室外的新鮮空氣.按照國家標準，教室內空氣中二氧

化碳日平均最高容許濃度應不超過0.1%.經測定，剛下課時，空氣中含有0.2%的二氧化碳，若開窗通風后

教室內二氧化碳的濃度為>%,且y隨時間c（單位：分鐘）的變化規律可以用函數y=0.05+加得描述，則

該教室內的二氧化碳濃度達到國家標準至少需要的時間為（參考數據：ln3^1.1）（）

A.11分鐘B.13分鐘C.15分鐘D.17分鐘

二、多選題

6.（2024?安徽蚌埠?模擬預測）科學研究表明，物體在空氣中冷卻的溫度變化是有規律的.如果物體的初始

溫度為4℃,空氣溫度q。C保持不變，貝卜分鐘后物體的溫度6（單位：。0滿足：e=q+（q-%）e?g.若

空氣溫度為10℃,該物體溫度從4℃（90<^<100）下降到30。。，大約所需的時間為4,若該物體溫度從

70℃,50。（2下降到3下C,大約所需的時間分別為馬右，則（）（參考數據：In2ao.7,ln3"l）

A.t2=20B,284rl430C.>2?3D.-t2<6

7.（2024?遼寧?二模）半導體的摩爾定律認為，集成電路芯片上的晶體管數量的倍增期是兩年，用/⑺表示

從/=0開始，晶體管數量隨時間/變化的函數，若"0）=1000,則下面選項中，符合摩爾定律公式的是（）

A.若f是以月為單位，則/?）=1000+臂f

B.若f是以年為單位，則"）=1000x（后

C.若才是以月為單位，則1g/⑺=3+譬f

D.若/是以年為單位，則?〃、°Ig/'+l）

lg/（0=3+^^-L

8.（2024?湖南長沙?模擬預測）氤，亦稱超重氫，是氫的同位素之一，它的原子核由一個質子和兩個中子組

成，并帶有放射性，會發生夕衰變，其半衰期是12.43年.樣本中能的質量N隨時間f（單位:年）的衰變規律滿

足^=乂.2一冊，其中3表示笳原有的質量，則（）（參考數據:1g2a0.301）

N

A.r=12.43log2—

No

B.經過24.86年后，樣本中的篩;元素會全部消失

C.經過62.15年后，樣本中的旅元素變為原來的上

D.若x年后，樣本中氤元素的含量為04N。，則x>16

三、填空題

9.（2024?廣東廣州?模擬預測）"阿托秒”是一種時間的國際單位，"阿托秒"等于10-8秒，原子核內部作用過

程的持續時間可用"阿托秒”表示.《莊子?天下》中提到，"一尺之梗，日取其半，萬世不竭"，如果把"一尺之

植"的長度看成1米，按照此法，至少需要經過天才能使剩下"植”的長度小于光在2"阿托秒”內走過的

距離.（參考數據：光速為3x108米/秒，坨220.3,lg3。0.48）

10.（2024?河南洛陽?模擬預測）在高度為3.6m的豎直墻壁面上有一電子眼A,已知A到天花板的距離為2.1m,

電子眼A的最大可視半徑為0.5m.某人從電子眼正上方的天花板處貼墻面自由釋放一個長度為0.2m的木棒

（木棒豎直下落且保持與地面垂直），則電子眼A記錄到木棒通過的時間為s.（注意：位移與時間的函

數關系為s=；g/,重力加速度g取lom/s?）

1.（四川?高考真題）某食品的保鮮時間?。▎挝唬盒r）與儲藏溫度x（單位：回）滿足函數關系y=e"+"

（e=2.718…為自然對數的底數，上力為常數）.若該食品在0回的保鮮時間是192小時，在22國的保鮮時間是48

小時，則該食品在33團的保鮮時間是

A.16小時B.20小時C.24小時D.21小時

2.（全國?高考真題）在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網上銷售業務，每天能完成1200份訂單的配貨，

由于訂單量大幅增加，導致訂單積壓.為解決困難，許多志愿者踴躍報名參加配貨工作.已知該超市某日積壓

500份訂單未配貨，預計第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05,志愿者每人每天能完成50份訂單的配

貨，為使第二天完成積壓訂單及當日訂單的配貨的概率不小于0.95,則至少需要志愿者（）

A.10名B.18名C.24名D.32名

3.（北京?高考真題）顧客請一位工藝師把A、3兩件玉石原料各制成一件工藝品，工藝師帶一位徒弟完成

這

項任務，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工藝師進行精加工完成制作，兩件工藝品都

完成后交付顧客，兩件原料每道工序所需時間（單位：工作日）如下：

工序

時間粗加工精加工

原料

原料A

915

原料B

621

則最短交貨期為一工作日.

4.（上海?高考真題）根據上海市人大十一屆三次會議上的市政府工作報告，1999年上海市完成GDP（GDP

是指國內生產總值）4035億元，2000年上海市GDP預期增長9%,市委、市府提出本市常住人口每年的自

然增長率將控制在0.08%,若GDP與人口均按這樣的速度增長，則要使本市年人均GDP達到或超過1999年

的2倍，至少需年.

按：1999年本市常住人口總數約1300萬.

第07講函數模型及其應用

（3類核心考點精講精練）

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析關聯考點

對數的運算性質的應用

2023年新I卷，第10題,5分對數函數模型的應用

由對數函數的單調性解不等式

2.命題規律及備考策略

【命題規律】本節內容是新高考卷的命題載體內容，通常會結合其他函數知識點考查，需要掌握函數的圖

象與性質，難度中等偏下，分值為5分

【備考策略】1.會選擇合適的函數類型來模擬實際問題的變化規律.

2.會比較一次函數、二次函數、幕函數、對數函數、指數函數增長速度的差異

3.了解函數模型（指數函數、對數函數、哥函數、分段函數等在社會生活中普遍使用的函數模

型）的廣泛應用

【命題預測】本節內容通?？疾榻o定實際問題選擇用合適的函數解析式來模擬或求對應的實際應用值，是

新高考復習的重要內容

知識點1三種常見函數模型的性質

玨、.n，nq知識點2常見函數模型

/核心知1只點

X1-----------------------知識點3解函數模型問題的步驟

型及其應用考點1指數函數模型

玨、a上考點2對數函數模型

核心考點

考點3建立擬合函數模型解決實際問題

知識講解

1.三種函數模型的性質

函數y=（fy=\ogaX

性（〃>1）（。>1）（n>0）

在(0,+8)上

單調遞增單調遞增單調遞增

的增減性

增長速度越來越快越來越慢相對平穩

隨X的增大逐漸表現為隨X的增大逐漸表隨n值變化而各有

圖象的變化

與詡平行現為與理i平行不同

2.常見的函數模型

函數模型函數解析式

一次函數模型J（x）=ax+b（a,Z?為常數，〃W0）

二次函數模型fix）=ax1+bx~\~c（a,b,c為常數，aWO）

k

反比例函數模型fix）=-+b（kfZ?為常數且左WO）

指數函數模型"+c（〃，b,c為常數，〃>0且“Wl,bWO）

對數函數模型fix）=blogax+c（a,b,c為常數，a>0且aWLbWO）

幕函數模型f（x）=axa+b（a,b,。為常數，oWO）

3.解函數模型問題的步驟

(1)審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數量關系，初步選擇數學模型.

(2)建模：將自然語言轉化為數學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數學知識，建立相應的數學模型.

(3)解模：求解數學模型，得出數學結論.

(4)還原：將數學問題還原為實際問題.

以上過程用框圖表示如下：

考點一、指數函數模型

典例I啊

1.(山東?高考真題)基本再生數R。與世代間隔7■是新冠肺炎的流行病學基本參數.基本再生數指一個感染者

傳染的平均人數，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數模型：

/⑺=e”描述累計感染病例數/（t）隨時間t（單位:天）的變化規律，指數增長率r與Ro,7■近似滿足R。=1+".有

學者基于已有數據估計出Ro=3.28,7=6.據此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加1倍需要的

時間約為（ln2=0.69）（）

A.1.2天B.B8天

C.2.5天D.3.5天

【答案】B

【分析】根據題意可得/（r）=e"=e°3。，設在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加1倍需要的時間

為％天,根據6闞'㈤=切38，,解得「即可得結果.

a亦_1

［詳解］因為4=3.28,T=6,4=1+”,所以r=±^|_L=0.38,所以="=e03&,

設在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加1倍需要的時間為。天，

則0。.3s=2產,所以趟=2,所以0.38%=In2,

m2In20.691十

所以。=---x----p1.8o天.

i0.380.38

故選:B.

【點睛】本題考查了指數型函數模型的應用，考查了指數式化對數式，屬于基礎題.

2.（2024?陜西安康?模擬預測）半導體的摩爾定律認為，集成電路芯片上的晶體管數量的倍增期是兩年，用

/⑺表示從U0開始，晶體管數量隨時間看變化的函數，7（0）=1000,若才是以年為單位，則/?）的解析式

為（）

A./?）=1000+卷0/B.%）=1000x7

C./（r）=1000x2^D./。）=1000+2'

【答案】C

【分析】根據題意晶體管數量的倍增期是兩年,也就是晶體管數量每兩年增加一倍，可得了⑺為指數型函數，

即可判斷.

【詳解】晶體管數量的倍增期是兩年，也就是晶體管數量每兩年增加一倍，

根據時間r以年為單位，以及/（。）=1000,得了⑺=1000x21

故選：C.

3.（2024高三下?全國?專題練習）小微企業是推進創業富民、恢復市場活力、引領科技創新的主力軍，一直

以來，融資難、融資貴制約著小微企業的發展活力.某銀行根據調查的數據，建立了小微企業實際還款比例P

-0.968+H

與小微企業的年收入X（單位：萬元）的關系為「=已知小微企業的年收入為80萬元時，

］?v.yOo?KX\/

其實際還款比例為50%,若銀行希望實際還款比例為40%,則小微企業的年收入約為（參考數據:

In3-1.0986,In2?0.6931)()

A.46.49萬元B.53.56萬元C.64.43萬元D.71.12萬元

【答案】A

-0.968+Ax

【分析】先根據題中數據代入計算函數尸=士與即優eR）中參數上的值，然后計算還款比例為40%時的

值即可.

一0.968+80左

【詳解】由題意知50%=igg。=化簡得e"68+8。&=1,

]+g―U.9OO+OUK

故一0.968+80^=0,得左=0.0121.

-0.968+0.0121%T

則當尸=40%時,40%=]g"―v.yoo+。u。.⑵uizix，化簡得e4968+oa2"=3,

兩邊同時取對數，-0.968+0.012lx=In2-In3?-0.4055,得x36.49,

故當實際還款比例為40%時，小微企業的年收入約為46.49萬元.

故選：A

1.（2024?湖南益陽?三模）二手汽車價位受多方因素影響，交易市場常用年限折舊法計算車價位，即按照同

款新車裸車價格，第一年汽車貶值20%,從第二年開始每年貶值10%.剛參加工作的小明打算買一輛約5

年的二手車，價格不超過8萬元.根據年限折舊法，設小明可以考慮的同款新車裸車最高價位是，"（根eN）萬,

則m=（）

A.13B.14C.15D.16

【答案】C

【分析】根據題意，列出不等式，解之并取近似值，即得加的值.

48

【詳解】依題意，〃瑁-20%）（1-10%）<8,解得m<non.=空等，

0.8x0.96561

則〃zV15.24,又機eN,貝lj機=15.

故選：C.

2.（2024?廣東茂名?一模）Gompertz曲線用于預測生長曲線的回歸預測，常見的應用有：代謝預測，腫瘤生

長預測，有限區域內生物種群數量預測，工業產品的市場預測等，其公式為：，（力=3心（其中左>0,6>0,

〃為參數）.某研究員打算利用該函數模型預測公司新產品未來的銷售量增長情況，發現。=e.若x=l表示該

新產品今年的年產量，估計明年（尤=2）的產量將是今年的e倍，那么b的值為（e為自然數對數的底數）（）

A.B.C.75-1D.下+1

22

【答案】A

【分析】由。=e,得到=-e",分別代入x=1、x=2,得到了⑴和“2）的值,進而得到埠=4一尸=e

求解即可.

【詳解】由0=e,得到〃x）=heh,

二當x=l時，f（l）=he/；

當尤=2時，/（2）=抬/.

依題意，明年（》=2）的產量將是今年的e倍，得：牛=e『''=e,

ke

——=1,BPZ>2+￡>—1=0,解得b=—.

,：b>Q,b=――.

2

故選：A.

3.（2024?四川德陽?三模）如今我國物流行業蓬勃發展，極大地促進了社會經濟發展和資源整合.已知某類

果蔬的保鮮時間y（單位：小時）與儲藏溫度M單位：助滿足函數關系.〉=4+〃俗，b.為常數），若該果蔬在

7回的保鮮時間為288小時，在21回的保鮮時間為32小時，且該果蔬所需物流時間為4天，則物流過程中果

蔬的儲藏溫度（假設物流過程中恒溫）最高不能超過（）

A.140B.150C.130D.160

【答案】A

【分析】根據給定的函數模型建立方程組，再列出不等式即可求解.

pja+b_^oo[]

21.+J℃,則即e7〃=j顯然“<0,

{e=3293

設物流過程中果蔬的儲藏溫度為詡于是曖+996=3/3=e-Je2L=e14fl+\

解得因此,

所以物流過程中果蔬的儲藏溫度最高不能超過140.

故選：A

考點二、對數函數模型

典例引領

1.（2024?湖南長沙?三模）地震震級通常是用來衡量地震釋放能量大小的數值，里氏震級最早是由查爾斯?

里克特提出的，其計算基于地震波的振幅，計算公式為"=1/-1乳，其中M表示某地地震的里氏震級，A

表示該地地震臺測振儀記錄的地震波的最大振幅，A）表示這次地震中的標準地震振幅.假設在一次地震中，

某地地震臺測振儀記錄的地震波的最大振幅為5000,且這次地震的標