2025屆河北省滄州市滄衡八縣聯考高三一模數學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.復數ZU-”的虛部為（）

2-31

5用.

----------1

13

2.集合M={xeN|log2X<2}的真子集個數為()

A.15B.16C.31D.32

3.若變量丁與x之間存在線性相關關系,且根據最小二乘法得到的經驗回歸方程為y=2x+a,

樣本點中心為（3,6.5）,則樣本點（2.5,7）的殘差為（）

A.-1.5B.1.5C.0.5D.-0.5

4.已知S〃為等比數列也｝的前〃項和，若J=3--A,則〃3=（）

A.72B.-72C.144D.-144

2222

5.已知.>6>0,橢圓c：5+2=l與雙曲線E:=-4=1的離心率分別為G,%,若

a2b2a2b2

3q=e2,則雙曲線E的漸近線方程為（）

A.x+45y=0B.2x±j=0C.2x±V5y=0D.氐±2y=0

6.設/,2是一個隨機試驗中的兩個事件，若P(豆)=",P(AB)=~,則P(/|8)=()

7.在正四棱臺44G。-482c2。2中，4月=血，4以=3收，44=6,則該正四棱臺

外接球的表面積為（）

A.108萬B.54%C.36〃D.27兀

8.已知函數/（x）=sin（m+0+號）（oeN*,0<°<,在上單調，且/[=

若將函數y=〃x）的圖象向右平移"7（m>0）個單位長度后關于y軸對稱，則機的最小值為（）

試卷第1頁，共4頁

二、多選題

9.某學校組織“綜合體能測試”,現從所有參加體能測試的學生中，隨機抽取100名學生的“綜

合體能測試”成績，并統計如下，則()

成績(70,75](75,80](80,85](85,90](90,95](95,100]

頻數61218302410

A.這100名學生的“綜合體能測試”成績高于80的學生超八成

B.這100名學生的“綜合體能測試”成績的中位數大于85

C.這100名學生的“綜合體能測試”成績的眾數為85

D.這100名學生的“綜合體能測試”成績的平均數在90至95之間

10.在V/2C中，若內角/,B,C滿足sin?/:sin?8:sin2c=4:9:10,則()

A.cosB=—B.60°<C<75°C.tan(yi+C)=-3^D.tan8+tan3/=0

85

11.在平面直角坐標系中，若N?,%),則稱“〃=|再-引+|%~闖超為初，N兩點

的“曼哈頓距離”，若動點E到兩定點片(0,-c),耳(0,c)(c>0)的“曼哈頓距離”之和為定值

2a(a>c),則稱點￡的軌跡為“曼哈頓橢圓”，若點尸為該“曼哈頓橢圓”上一點，則()

A.的周長為2a+2cB.人尸￡與面積的最大值為c("c)

C.該“曼哈頓橢圓”的面積為2(/_02)D.該“曼哈頓橢圓”的周長為

4[V2a+(l-V2)c]

三、填空題

12.已知向量3=(sin?。一1,一1),3=(1,cos2c0，若tanc=；,貝！.

13.將分別標有數字1,2,3,4,5的5個大小相同的小球放入一個不透明的袋子中，甲，

乙兩人分別從袋中摸出一球，互相不知道對方摸出球的數字.甲先對乙說：“我不能確定咱倆

誰的球上面的數字更大.”乙再對甲說：“我也不能確定咱倆誰的球上面的數字更大.”若甲，乙

兩人所說均為真話，請你推斷乙所摸球上的數字為.

14.已知函數/(x)滿足：VxeR,f(x-l)+6>f(x+5),f(x+l)-3>f(x-2),若/(3)=2,

則〃2025)=.

試卷第2頁，共4頁

四、解答題

15.若數列也,｝的前〃項和為S),，且%>0,a^-2Sn+an=0.

(1)求數列｛%｝的通項公式；

⑵若“喙，數列痣｝的前〃項和為北，證明：

16.已知函數/(X)=(x-a)ln(x+l).

(1)若。=0,證明：/(%)>0;

⑵若存在過點(-1,0)的直線與曲線y=/(x)相切，求實數。的取值范圍.

17.某學校為全面提高學生的語文素養和閱讀水平，構建“書香校園”，特舉辦“課外閱讀知

識競賽”，為了調查學生對這次活動的滿意程度，在所有參加“課外閱讀知識競賽”的同學中

抽取容量為300的樣本進行調查，并得到如下2x2列聯表:

單位：人

性別

滿意程度合計

男生女生

滿意120

不滿意150

合計200

(1)請補全上面的2x2列聯表，依據小概率值a=0.001的獨立性檢驗，能否認為滿意程度與

性別有關系；

(2)若競賽成績在前20的同學進入決賽環節，該環節共設置3道試題，且每一道試題必須依

次作答，至少答對2道才能進入總決賽，且每人答對這3道試題的概率分別為苫，；，；，

322

3道試題答對與否互不影響.

(i)用X表示能進入總決賽的人數，求X的數學期望;

(ii)記有n人進入總決賽的概率為尸(〃)，求尸5)取最大值時"的值.

n(ad-be)2

附：z2其中〃=a+b+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.010.001

試卷第3頁，共4頁

%2.7063.8416.63510.828

TT

18.如圖，在三棱錐尸一/8。中，AP=AB=4C,。為BC上一點，NABC=NDAC=一,

(1)證明：平面尸4B_L平面48C；

(2)若PB=BC,43=2,求：

(i)三棱錐P-/3C的體積；

(ii)平面尸與平面尸3c夾角的余弦值.

124

19.經過圓C:(x+2)2+y2=/&>0)上一點(_不,《)作。的切線/,/與拋物線r:V=2px(p>0)

也相切，尸為「上一點.

⑴求r和〃的值；

⑵若點尸(1,2),不經過P的直線4與：T交于不同兩點/,8(位于x軸兩側)，與x=-l相交

于點D,若直線E4,PB,PD的斜率分別為左，k2,白，且占為匕，◎的等差中項，證明：

直線4過定點；

⑶若O為坐標原點，咒為「的焦點，求△尸O尸內切圓面積的最大值.

試卷第4頁，共4頁

《2025屆河北省滄外市滄衡八縣聯考高三一模數學試題》參考答案

題號12345678910

答案BABDCABDABACD

題號11

答案BCD

1.B

【分析】根據復數的除法運算化簡復數，即可根據虛部的定義求解.

【詳解】因為z=魯=：J)1^=?、,所以復數z的虛部為工.

2-31(2-31)(2+31)13131313

故選：B.

2.A

【分析】先解對數不等式，用列舉法寫出集合刊即可求解.

【詳解】不等式log2xV2的解為0<xV4,因為xeN,所以W={1,2,3,4},

所以集合W的真子集個數為24-1=15.

故選：A.

3.B

【分析】先求出線性回歸方程，再由殘差的定義求解即可.

【詳解】依題意，6.5=2x3+G,所以&=0.5,即經驗回歸方程為j>=2x+0.5,

又當x=2.5時，y=2x2.5+0.5=5.5,所以樣本點(2.5,7)的殘差為7-5.5=1.5,

故選：B.

4.D

【分析】利用給定的前〃項和公式，求出q,外,%，再利用等比數列意義列式求解.

【詳解】依題意，%=岳=3-2,a2=S2-Si=(3-42)-(3-2)=-32,

a3=S3-S2=(3-162)-(3-42)=-12^.,由{qj為等比數列，得蠟=%的,

即(一3彳y=(3—2)(—12彳)，解得2=]2或2=0,由％=—32片0,得彳W0,

則4=12,所以%=T44.

故選：D

5.C

【分析】利用離心率和雙曲線漸近線的公式求解即可.

答案第1頁，共13頁

【詳解】依題意，e產魚二匕，,又3q=e?,

aa

所以9(1-〃)=/+〃，整理得4/=5/,所以，=專，

所以雙曲線￡的漸近線方程為V=±,即2x±=0,

故選：C.

6.A

【分析】由題意求出P(/8),再結合互斥事件的概率公式即可求解.

1.12

【詳解】因為解5)V，所以P(3)=l-尸⑻=1-『二,

_?-1

又因為尸(5)二尸(/8)+尸(/5)=§,P(AB)=~,

所以P(/3)=；,

所以*/忸)=尸，:)=0X3=L

v1'P(B)322

故選：A.

7.B

【分析】根據正棱臺中的直角梯形求得棱臺的高，利用勾股定理建立外接球半徑的方程，求

出半徑，從而利用公式計算球表面積.

【詳解】設正四棱臺上底面的中心為?,下底面432c2鼻的中心為Q，因為

AR=6,AR=3也,所以0/=1，O2A2=3.

過4作4后,。2a于E，易得4￡=2,

設該正四棱臺外接球的球心為0,則。在直線。。2上，002=4￡=?/；-4爐=4五，

設00]=x,則0。2=卜后-工|,

2

設外接球的半徑為凡則R=OOl+OtA；=OOl+O2Al,即/+F=(46■一xy+32,解得

答案第2頁，共13頁

x=—,貝11及2=（逑）2+1="，所以外接球的表面積為4%夫2=54%.

222

故選：B.

8.D

【分析】根據三角函數周期性將函數/（x）化簡，再結合單調性計算出。的取值，逐個驗證

后確定。和。的值，即得到函數1（X）的解析式，再根據題意得到平移后的函數解析式，最

后結合函數圖像的對稱性質解得加的最小值.

【詳解】因為函數/（x）=sin10x+0+=cos（0x+0,又函數在［-￡仁）上單調，

27rIT（7T127r

所以函數/（X）的最小正周期T=—>2x—=所以。（3,又OWN*,所以。=1,

co|_6v67J3

2,3.

cosf=0,又0<94，則9無解;

若&=1,則/(x)=cos(x+e),且/

2

?+夕]=0,又0<夕<弓，則e=￡；

若①二2,貝!l/(x)=cos(2x+e),且/cos

0)2233

cos[*+，=0,又0<9</，則9無解.

若①=3,則/(x)=cos(3x+0),且/

2

綜上，/（%）=COSI2x+yI.

所以函數/（力的圖像向右平移m個單位長度后對應解析式為

/(X—m)=cos2(x-m)+y=cosl2x-2m+yI,

jrIT左冗

因為關于y軸對稱，所以二^—2加=ku,左￡Z.所以m=----,keZ,又m>0,所以當左=0

362

71

時，加取最小值為7.

6

故選：D.

9.AB

【分析】根據頻數分布分析數據即可.

【詳解】選項A：這100名學生的“綜合體能測試”成績高于80的學生人數為

18+30+24+10=82,所以A選項正確；

選項B：成績不超過85的學生人數為6+12+18=36,所以B選項正確；

選項C：成績分布在（85,90］的人數為30,但不一定成績的眾數為85,所以C選項不正確;

答案第3頁，共13頁

選項D：由于擊(75x6+80x12+85x18+90x30+95x24+100x10)=89.2,所以D選項不

正確.

故選：AB

10.ACD

【分析】根據給定條件，利用正弦定理邊化角，再利用余弦定理，結合三角恒等變換逐項求

解判斷.

【詳解】設V4BC內角B,C的對邊分別為a,b,c,由sin?/:sin?3:sin2c=4:9:10,

Wsin:sin5:sinC=a:b:c=2:3:，不妨令a=2,b=3,c=V10>

4+10.9、/

對于A,由余弦定理得cos8=理,A正確；

2x2x7108

對于B,cosC=^2^=；,cos75o=cos(450+30°)=交(直一5=瓜-疵>L，C>75。,

2x2x34v722244

B錯誤；

對于C,cos8=，3￡(0,兀)，貝！Jsin8=d-COS25=,

88

tan(y4+C)=-tan一^1,C正確；

VlO5

小工r，10+9-4麗,c10,1c

對于D,cos4=-----；=-=------，cos2Z=2cos4-1=2x------l=-=cosC,

2xV10x34164

TT

又24Ce(0,]),則2/=C,由/+B+C=?t,得3/+6=兀，即B=7t—3/,

因止匕tan3+tan3/=0,D正確.

故選：ACD

11.BCD

【分析】根據“曼哈頓距離”的定義，把“曼哈頓距離”表示出來，根據對稱性研究第一象限及

x軸和y軸非負半軸上點的軌跡，直接去絕對值符號畫圖象即可逐項判斷求解.

【詳解】設點尸的坐標為(xj),

則尸，片兩點的“曼哈頓距離"4=|x|+|y+d，p,用兩點的“曼哈頓距離=國+2-。|，

則4+〃2=2國+卜+4+卜一°|,

易得“曼哈頓橢圓”關于坐標原點(0,0)及坐標軸對稱，可以先研究第一象限及X軸和y軸非

答案第4頁，共13頁

負半軸上點的軌跡,

2x+2y,x>0,y>c2x+2y=2a,x>O,y>c

d]H-ci2=2x+2c,x>0,0<y<c'作曲線

2x+2c=2a,x>0,0<3/<c'

根據對稱性，可作出如圖“曼哈頓橢圓”，則/(。，㈤，C(a-c,O),B(a-c,c),

對于A,B,當點尸與C重合時，△尸于"的周長為2jc2+(a-c)2+2c片2a+2c,

此時人尸片鳥的面積最大為;x閨耳岡OC|=c(a-c),故A不正確，B正確；

對于C,梯形0/8C的面積為國土㈣x|OC|=4^,所以該“曼哈頓橢圓”的面積為

2(a2-c2),故C正確；

對于D,又|48|+|BC|=y/2(a-c)+c=￡/+(1-V2)c,

所以該“曼哈頓橢圓”的周長為4[ga+(l-e)c],故D正確.

【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵是根據“曼哈頓距離”的定義，表示出“曼哈頓距離”,

根據對稱性畫出圖象求解.

7

12.——

5

【分析】由向量數量積的坐標表示以及同角三角函數商的關系計算求解即可；

【詳解】依題意a-b=sin2。一1一cos2a=sin2a-1-(2cos2a-1)=sin2a-2cos?a

_sin2a-2cos2a_tan2a-2_7

sin2a+cos2atan2a+\5

7

故答案為：-

13.3

【分析】閱讀題意，再結合合情推理即可得解.

【詳解】若甲摸出的球上面的數字為1或5,則可以推斷兩人摸出球上面數字的大小,

答案第5頁，共13頁

所以甲摸出的球上面的數字不可能是1或5；

同理，乙摸出的球上面的數字也不可能是1或5；

若乙摸出的球上面的數字為2,甲摸出的球上面的數字可能為3或4,此時乙可判斷大小；

若乙摸出的球上面的數字為4,甲摸出的球上面的數字可能為2或3,此時乙可判斷大小，

所以乙摸出的球上面的數字為3.

故答案為：3.

14.2024

【分析】根據已知條件結合賦值法計算得出〃尤)2/(尤-3)+3,再賦值法結合應用不等關系

計算求解即可.

【詳解】依題意，因為〃x-l)+62f(x+5),則〃x)+62/(x+6),

令》=一3,則/(一3)+64/(3),因為"3)=2,所以/(一3)14,

又因為/(X+1)-32/(X-2),則/(X)-3N/(X-3),Bp/(x)>/(x-3)+3,

令x=0,則〃0)“(-3)+3,即/■(0)2-1,

令x=3,則〃3)-32〃0),所以“0)4-1,故得/(0)=-1,

又“2025)=/(2019+6)</(2019)+6</(2013)+6+6<

…V/■⑶+337x6=2024；

X/(2025)>/(2025-3)+3=/(2022)+3>/(2019)+3+3>???

>/(O)+675x3=-l+2025=2024,

所以2024</(2025)<2024,即/(2025)=2024.

故答案為：2024.

【點睛】關鍵點點睛：解題的關鍵點是對賦值法及不等式的綜合應用.

15.(1)4=〃

(2)證明見解析

【分析】(1)利用S,和。“的關系求解即可；

(2)利用錯位相減法求解即可.

【詳解】(1)當”=1時，。；-24+4=0,%=1,

因為d一2s“+。”=0,當〃22時，<1-2S?_1+a?_1=0,

答案第6頁，共13頁

兩式作差得：/-2S”）=0,

aaaa

即n~n-\~n~n-\=。，故（%十%）（%-T）=。，

又因為。">0,所以。“一。“_1=1（〃至2）,且4=1

所以%=〃.

(2)由(1)可知,\=—,

MT123n-\n

故小§+鏟+靈+…+尹+”'

1123n-1n

—T=—H-—-H----1-------1----：

211111匕々。公〃）〃1

兩式作差得：產=§+鏟+手+￥+-+］一產=丁一一

3

所以（=：（3-汐，因為2詈>0,所以

16.（1）證明見解析

(2)(-<O,-e2-l]U(-l,+<?)

【分析】（1）利用導數只需證/（力*'。即可;

(2)設切點為(%,%),求出切線方程為y-%=/'(Xo)(x-Xo),又切線經過點(-1,0)得

1ln(xn+1)—1Inx—1

(x0-a)ln(x0+1)=(1+x0)ln(x0+1)+x0-a即—=----——，令g(M=------，利用導

。+1%0+1X

數求g(x)a，只需-上冷⑺啰即可?

【詳解】(1)當。=0時，/(x)=xln(x+l),XG(-1,+OO),

Y

貝!)/'(%)=ln(x+1)+---7,%￡(—1+8),

x+1

Y11x+2

令〃(x)=ln(x+l)+-xe(_l,+co)4l]/7'(x)=--+-~-7=---j>Q

x+1尤+1(x+1)(x+1)

所以函數/z(x)在(-1,+8)上單調遞增，

又〃(0)=0,所以當xe(T,0)時，h(x)<0,即/(無)<0,

所以函數/(x)在(-1,0)上單調遞減；

當xe(O,+a))時,h(x)>0,即八x)>0,所以函數〃x)在(0,包)上單調遞增，

所以當x=0時，“無心="0)=0,所以=

答案第7頁，共13頁

(2)設過點(-1,0)的直線與曲線了=/(%)相切于點(%,%),

f'(x)=ln(x+1)+=,則/'(%)=ln(x0+1)+,

則切線方程為尸%=/'(%)(x-x0),又該切線經過點(-1,0),所以0-%=/'(%)(-1一天),

即—(％—a)ln(xo+l)=[ln(xo+l)+――^(-l-x0),

%+1

整理得(x0-a)ln(x0+l)=(l+x0)ln(x0+l)+x0-a,

即XQ+(1+ci)ln(%Q+1)—a=0,即％0+1+(1+a)ln(x0+1)—(tz+1)=0,

即[ln(%+l)—1]3+1)=—(%+D，顯然當〃+l=0時，不合題意；

則一11=+1)—1，令g(x)=I"nx—^1，xe(0,+s),貝i」g，(x)=土2—I萼nX，

當xe(0,e2)時，g'(x)>0,函數g(x)在(0應)上單調遞增；

當xe(e[+oo)時，g'(x)<0,函數g(x)在(e?,+8)上單調遞減；

所以函數g(x)在x=，時取得最大值g(e2)=4.

e

且當XfO時，g(X)f-8,當XT>+8時，g(x)f0,所以g(x)4l，

e

即一一二工《，解得〃〉—1或e2—1,所以實數。的取值范圍為(―8,—e2—1]U(—1,+8).

Q+1e

17.(1)列聯表見解析，推斷犯錯誤的概率不大于0.001

35

(2)(i)了；(ii)12

【分析】(1)完成列聯表，并利用獨立性檢驗的步驟完成計算即可；

(2)(i)由題意可知能進入總決賽的人數服從二項分布，再計算出每個人進入決賽的概率，

利用二項分布的數學期望公式進行計算即可；(ii)寫出P(")的表達式，列出不等式組進行

求解即可.

【詳解】(1)2x2列聯表如下：

答案第8頁，共13頁

滿意12030150

不滿意8070150

合計200100300

零假設為心滿意程度與性別無關，人喂焉磊A……

所以依據小概率值a=0.001的獨立性檢驗，推斷〃。不成立，即能認為滿意程度與性別有關

系，此推斷犯錯誤的概率不大于0.00L

(2)⑴依題意，設4="答對第，道題”(，=1,2,3)；8="某同學進入總決賽”,

211

則尸(4)=§,尸(4)=］，尸(4)=5,

所以尸(8)=尸(444)+尸(44%)+尸(444)+尸(彳44)

=-X—X--1——X—X(1----)H——X(1----)x—I-(1-Tx-X——,

32232232232212

依題意，X?8(20,#,所以E(X)=20xg=?；

(ii)依題意，?⑺=Q。x

G。x(《)"x(1二產"2C零x取產x(1—廣

若尸(〃)最大，則I1；I

G。x(-)"x(l--產-"2C黎x大r1x(l-r

4549

角牟得了(下，因為〃EN*,所以〃=12,

44

所以P(〃)取最大值時〃的值為12.

18.(1)證明見解析

(2)(i)1；(ii)叵

7

【分析】(1)由線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理即可證明；

(2)(i)過點P作尸0_L/8于。，由(1)可知，點P到的距離即為點P到平面N8C的

距離，結合三棱錐體積公式計算即可求解；(ii)連接OC,以。B,OC,。尸所在直線分別

為x,力z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法即可求解面面角的余弦值.

【詳解】(1)在V4BC中，AB=AC,ZABC=^,所以44cB=工，所以/8/C="，

663

答案第9頁，共13頁

717T

又/DAC=—,所以4840=—，即

62

又因為ABcPB=B,所以40_L平面尸48,

又/Du平面NBC,所以平面平面NBC.

(2)(i)因為PB=BC,所以"BC="BP,貝=&，ZAPB=

36

9B

g、i?士cn4Bsin/P4BXo_rr

所以在AABP中，PB=-----------=一/-=2V3

sin/APB￡

2

如圖，過點尸作尸。_L/8于O,PO=P3-sin-=2V3x-=73,

62

由(1)可知，點尸到48的距離即為點P到平面/3C的距離,

所以三棱錐尸一/BC的體積％=gx(；x26x1)x6=1.

/?

(ii)如圖，連接OC,則OC.OB,OC=—AC=43>

2

x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系,

則3(3,0,0),C(0,V3,0),P(0,0,V3)，/(L。,。)，又8/_L=馬回，所以。(1,逋,0),

33

9=(1,0,-百)，麗=(1,苧，-6),麗=(3,0,-百),

設平面PAD的法向量為江=(x,%z),

PA-U=x-也z—0,

則——2仙廠令2=百，則x=3,y=o,所以汗=(3,0,6),

PD-H=x+^—y_?=0,

3

設平面PBC的法向量為爐=,

PB-v=3m—y[3t=0,

則___2-J3/-令，=JJ，則加=1,n=yfi,所以E=(l,JJ,g),

PD-v=m+-^n-yl3t=0,

答案第10頁，共13頁

14av6V21

設平面為。與平面尸8c的夾角為9,則cos8=㈢w

273x77-7

所以平面PAD與平面PBC夾角的余弦值為YH.

7

19.（1）廠=半，°=2

（2）證明見解析

噂

【分析】（1）由（-1[2,4*在圓上可得r,然后利用切線與圓心切點連線垂直可得切線方程,

再把切線方程與拋物線方程聯立，利用判別式為0可得p；

（2）設直線4：X=町+〃（加w0,〃>0）,4>1，必），8（%,%）,將直線4方程與準線方程聯立

?+n+1

可得。點坐標，結合尸（1,2）,《為匕，鼠的等差中項，可得與M%，M+外間關系,

m

然后將直線4與拋物線方程聯立，結合韋達定理可得（“-1）（〃+1）（2加+"-1）=0,討論后可得

答案；

R=-------彳

（3）設尸（%,%,）在第一象限，用兩種方式表示可得%+及+而/，然后構

造函數/（無）=無+8+'/+16（》>0）,利用導數研究其單調性，據此可得答案.

X

【詳解】（1）依題意，點（一I12，*4在圓c：a+2）2+v=/（/>o）上，

則（一號+2）2+（1）2=/,所以廠=拽，

555

--0

又圓心為（-2,0）,設直線/的斜率為左，則h—-----=-1,所以《=

-y-（-2）2

4112

所以直線/的方程為即x-2y+4=0,

x—2y+4=0

又直線/與拋物線「：/=28（？>0）也相切，聯立。，整理得y-4勿+8p=0,

y2=2px

則A=（T°）2-4x8p=0,解得。=0（舍去）或。=2,綜上可得廠=乎，。=2.

（2）由（1）可知，拋物線「的方程為V=4x,準線方程為尤=-1,

答案第11頁，共13頁

設直線4彳0,〃>0),B(x2,y2),

x=-\

x=my+n—1—n

聯立x=-l」"-l-n,即。(T-----).

y=-------m

m

y,—2—2-i-n

又尸(1,2),則