微專題2空間向量與空間角

［考情分析］以空間幾何體為載體考查空間角是高考命題的重點(diǎn).空間向量是將空間幾何問題坐標(biāo)化的工具，

利用空間向量求平面與平面的夾角或線面角是高考熱點(diǎn)，通常以解答題的形式出現(xiàn)，難度中等.

考點(diǎn)一異面直線所成的角

設(shè)異面直線/,根的方向向量分別為a={a\,bi,ci),b=(a2,b?,ci),異面直線/與根的夾角為0.

則⑴兆(0,H；

(2)cos0=\cos(a,b)I半搭?

_\a1a2+b1b2+c1C2\

Ja什反+必］譴+后+農(nóng)

例1(1)在正四面體ABCD中，點(diǎn)、E,F,G分別為棱BC,CD,AC的中點(diǎn)，則異面直線AE,FG所

成角的余弦值為()

A.iB.—

25

C.—D.更

33

答案C

解析連接OE,因?yàn)辄c(diǎn)尸，G分別為棱CD,AC的中點(diǎn)，所以RG〃AO,

所以/EA￡>(或其補(bǔ)角)為異面直線AE,歹G所成的角，

設(shè)正四面體的棱長為?,

則AE=DE=^-a,AD=a,

222

AE+AD-DE扣2+Q2亨2w

由余弦定理得cosZEAD=

2AE-AD

所以異面直線AE,PG所成角的余弦值為

(2)(2024.成都模擬)如圖，等邊三角形ABC的邊長為3,分別交A瓦AC于。，E兩點(diǎn)，且

AD=1,將沿。E折起(點(diǎn)A與尸重合)，使得平面PDE，平面3CED,則折疊后的異面直線P3,

CE所成角的正弦值為()

XD'''

BC

答案D

解析由題意可知D3,DE,DP兩兩垂直，以。為原點(diǎn)，分別以￡>8,DE,DP所在直線為無，y,z軸建

立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

由已知DE=V3，點(diǎn)C到直線BD的距離為尊，

則P(0,0,1),5(2,0,0),C(|,手，0),E(0,V3,0),

從而而=(2,0,-1),CF=(-j,

因此〈麗,CE>是鈍角，sin(PB，限=手，即異面直線,CE所成的角的正弦值為手.

［規(guī)律方法］用向量法求異面直線所成的角的一般步驟

(1)建立空間直角坐標(biāo)系.

(2)用坐標(biāo)表示兩異面直線的方向向量.

(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值.

(4)注意兩異面直線所成角的范圍是(0,],即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的絕

對值.

跟蹤演練1如圖，已知圓柱SO2的底面半徑和母線長均為1，B,A分別為上、下底面圓周上的點(diǎn),

若異面直線。3,02A所成的角為三，則A3的長為.

答案2或魚

解析如圖，過點(diǎn)A作AD垂直于上底面于點(diǎn)。，則AO是母線，連接。8,OiD,QQ,

垂直于上、下底面，

：.AD//OXO2,AD=OIO2,

則四邊形ADO1O2是平行四邊形，OXD/ZOTA,

...QA與0山所成的角就是/。0道或其補(bǔ)角.

當(dāng)NDO1B音時,△DO山是等邊三角形，BD=1,

在RtAABD中，AB=yjBD2+AD2=42；

當(dāng)NDOiB號時,

在△QO3中，BD=2x^=V3,

在RtAABD中，AB=y/BD2+AD2=2.

綜上，AB=2或VI

考點(diǎn)二直線與平面所成的角

設(shè)直線/的方向向量為a,平面a的法向量為n,直線/與平面a所成的角為9,

則⑴先［0,1］；

(2)singeos<a,n>

例2(2024?威海模擬)如圖，在四棱錐尸-A3CD中，平面平面ABC，△尸AD為等邊三角形,

PD.LAB,AD//BC,AD=4,AB=BC=2,M為PA的中點(diǎn).

(1)證明：平面PA3；

(2)求直線PB與平面MCD所成角的正弦值.

(1)證明設(shè)AO中點(diǎn)為。，連接P。,因?yàn)椤鱌4。為等邊三角形，POLAD,

由題意知平面平面ABCD,平面PADC平面ABCD=AD,POu平面PAD,

故PO_L平面ABCD,A3u平面ABCD,

故PO±AB,又PDLAB,PODPD=P,PO,PDu平面PAD,

故AB_L平面PAD,DWu平面PAD,故,

又M為PA的中點(diǎn)，△PAD為等邊三角形，則DM1PA,

因?yàn)锳BOPA=A,AB,PAu平面PAB,

所以平面PAB.

⑵解由(1)知A8_L平面PAD,AOu平面PAD,故,

連接CO,AO=^AD=2,貝UAO//BC,AO=BC,

即四邊形ABCO為平行四邊形，故0C〃A3,

所以O(shè)CLAD,

故以。為坐標(biāo)原點(diǎn),OC,OD,OP所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則尸(0,0,2B),B(2,-2,0),M(0,-1,V3),C(2,0,0),0(0,2,0),

麗=(2,-2,-2V3),MC=(2,1,-V3),MD=(0,3,-V3),

設(shè)平面MCD的法向量為n=(x,y,z),

則(n.田=0,

(n.MD=0,

即+y-V3z=0,

(3y—V3z=0,

令y=l,則n=(l,1,V3),

設(shè)直線尸5與平面MC。所成的角為e,ee［o,=］,

貝！］sin|cos(PB,n)二三

11|PB||n|2I=V鬻5XV5&5

［易錯提醒］(1)線面角8與直線的方向向量a和平面的法向量〃所成的角<?,n>的關(guān)系是〈a,n>+8帶

或<a,n>-6=^,所以應(yīng)用向量法求的是線面角的正弦值，而不是余弦值.

(2)利用方程思想求法向量，計(jì)算易出錯，要認(rèn)真細(xì)心.

跟蹤演練2(2024?秦皇島模擬)如圖，在四棱錐P-A3C。中，BA=BD=BP=^5,CD=\,

PA=PD=42,PA±PD,E是棱P4的中點(diǎn)，且BE〃平面PCD,點(diǎn)尸是棱尸。上的一點(diǎn).

(1)求證：平面PC￡>_L平面尸AD；

⑵若直線PC與平面山法所成角的正弦值為喈,求DF的長.

(1)證明取的中點(diǎn)0,連接P0,80,E0,

因?yàn)镋是棱PA的中點(diǎn)，所以EO〃PD,

又E0評面PCD,PDu平面PCD,

所以E。〃平面PCD,

又BE〃平面PCD,BECEO=E,BE,EOu平面BEO,

所以平面3EO〃平面PCD,

又平面BEOn平面ABCD=BO,平面PCDC平面ABCD=CD,所以BO//CD.

在△ABO中,BA=BD=4S,AD=\PA2+PD2=2,

又。是AD的中點(diǎn)，所以3CUAD,BO=2,

又易得PO=1,BP=V5,所以BO2+PO2=BP-,

所以尸OJ_3O,所以尸O_LC。,AD±CD,

又POCiAD=O,PO,AOu平面PAD,所以C￡>_L平面PAD,

又CDu平面PCD,所以平面PCD,平面PAD.

⑵解當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)。重合時，連接OC,

PC與平面ABb所成的角即為/PCO,

PO=\,(9C=V2,PC=V3,

所以sin/PCO4,不符合題意，所以點(diǎn)廠與點(diǎn)。不重合.

因?yàn)镻A=PD，點(diǎn)。是AD的中點(diǎn)，所以POLAD,

所以O(shè)B,OD,。尸兩兩垂直，

以。為坐標(biāo)原點(diǎn),OB,OD,OP所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.

所以P(0,0,1),D(0,1,0),C(1,1,0),A(0,-1,0),B(2,0,0),

1S.DF=WP=A(O,-1,1)=(0,4,2)(0<2^1),

所以前=麗+麗=(-2,1,0)+(0,4,九)=(-2,14,2),AB=(2,1,0).

設(shè)平面AB尸的法向量為n={x,y,z),

所以fn'BF—2%+(1—A)y+Az=0,

(n-AF=2x+y=0,

令x=A,解得y=-2%,z=4-22,

所以平面ABF的一個法向量為"=(2,-22,4-2%),

又加=(-1,-1,1),設(shè)直線PC與平面A3P所成角的大小為0,

所以sin6=|cos<n,CP)|=\蒜］

_4-2_11V35

7A2+(-2A)2+(4-2A)2-Vl+l+l105

解得或2=9,

341

所以DF±PD—或DF=—PD^^.

334141

考點(diǎn)三平面與平面的夾角

設(shè)平面a,￡的法向量分別為u,v,平面a與平面”的夾角為6,

則⑴先［0,1］；

(2)cosgeos〈"，v>

例3(2024?新課標(biāo)全國I)如圖，四棱錐A43CD中，PA±^ABCD,PA=AC=2,BC=1,AB=43.

p

⑴若證明：AD〃平面PBC；

(2)若ADJ_DC,且二面角4cp。的正弦值為手，求AD

⑴證明因?yàn)镻A_L平面ABCD,

而AOu平面ABCD,

所以PA±AD,

又,PBHPA=P,

PB,PAu平面PAB,

所以AD,平面PAB,

而ABu平面PAB,

所以AD±AB.

因?yàn)锽C2+AB2=AC2,

所以BC1AB,

根據(jù)平面知識可知AD//BC,

又AZXJ平面PBC,BCu平面PBC,

所以AD〃平面PBC.

(2)解方法一以。為原點(diǎn)，DA,反的方向分別為x軸，y軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)AD=p,DC=q,

滿足p2+g2=AC2=4.

則AS,0,0),PS,0,2),C(0“，0),。(0,0,0).

設(shè)平面APC的法向量為機(jī)=(尤1,y\,zi),

因?yàn)楂@二(0,0,2),AC=(-p,q,0),

所以佇皿=2z1=0,

[AC-m=_p%i+qy1=0,

取m={q,p,0).

設(shè)平面OPC的法向量為n=(x2,y2,Z2),

因?yàn)榍?。,0,2),DC=(0,q,0),

OP?n—px+2Z=0,

所以22

^DC-n=qy2=0,

取n=(2,0,-p).

所以|c°s〈明力仁器=后急聲

又因?yàn)閺V+/=4,所以品=/，

解得°=V5(負(fù)值舍去),

即AD=V3.

方法二如圖所示，過點(diǎn)。作OELAC于點(diǎn)E,

R

.二c

B

再過點(diǎn)E作EF±CP于點(diǎn)/，連接DF,

因?yàn)槭珹_L平面ABC。，

PAu平面PAC,

所以平面PAC,平面ABCD,

又平面PA3平面ABCD=AC,

DEu平面ABCD,

所以。EL平面PAC,

因?yàn)镃Pu平面PAC,所以DELCP,

又EF±CP,EFHDE=E,

EF,DEu平面DEF,

所以CP平面DEF,

所以DFYCP,

根據(jù)二面角的定義可知，

ND在即為二面角A-CP-D的平面角，

HPsinZ￡(FE-,

即tanZDFE=V6.

因?yàn)锳DLDC,設(shè)AO=x,0<x<2,

貝ljDC=V4-%2,

由等面積法可得，DE=^^,

又CE=J(4T2)_午上字,

而△斯(7為等腰直角三角形，

所以小宗,

又OE_L平面PAC,Eft平面PAC,

所以DE±EF,

rxd4T2

故tanZr>FE=^=^r=V6,

2V2

解得x=V3,即AD=V3.

［易錯提醒］平面與平面夾角的取值范圍是［o,］,兩向量夾角的取值范圍是［0,兀］,兩平面的夾角與其

對應(yīng)的兩法向量的夾角不一定相等，而是相等或互補(bǔ).

跟蹤演練3(2024?新課標(biāo)全國ID如圖，平面四邊形ABCD中，AB=8,CD=3,AD=5?ZADC=90°,

ZBAD=30°,點(diǎn)E,尸分別滿足族=|而，AF=^AB,將aAE尸沿EP翻折至△PEP,使得PC=4代.

B

(1)證明：EF±PD；

(2)求平面PCD與平面尸所成的二面角的正弦值.

⑴證明由AB=8,AD=5V3,

AE^AD,AF=-AB,

52

得AE=2V3,AF=4,

又NBA￡)=30。，在aAE產(chǎn)中，

由余弦定理得

EF=y]AE2+AF2-2AE-AFcos^BAD

=J12+16-2X2A/3X4Xy=2,

所以AE2+EF2=AF2,

貝ljAELEF,即EF±AD,

所以EFLPE,EFLDE,

又PECDE=E,PE,OEu平面PDE,

所以所_L平面PDE,

又尸。u平面PDE,

故EF±PD.

⑵解連接CE,由ZADC=90°,

ED=3a,CD=3,

貝ijEC2=ED2+Cr>2=36,

在/XPEC中,PC=4V3,

PE=2y/3,EC=6,

得EC2+PE2=PC2,

所以PELEC,由(1)知PELEF,

又ECC\EF=E,

EC,ERz平面ABCD,

所以PEL平面ABC。，

又即u平面ABC。,

所以PELED,

貝ljPE,EF,ED兩兩垂直,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則E(0,0,0),P(0,0,2V3),

D(0,3V3,0),C(3,3V3,0),

F(2,0,0),A(0,-2V3,0),

由尸是A3的中點(diǎn)，得3(4,2百，0),

所以正=(3,3V3,-2V3),

麗二(0,3V3,-2V3),

麗二(4,2V3,-2V3),

PF=(2,0,-2V3),

設(shè)平面PCO和平面P5尸的法向量分別為

n=(xi,yi,zi),m=(X2,yi,z2),

則pi-PC=3%i+—2gzi=0,

(n-PD=3V3yi—2v=0,

(m?PB=4%2+2V3y2-2V3z2=0,

(m?PF=2X2—2V3Z2=0,

令％=2,%2=V3,

得xi=0,zi=3,y2=-l,Z2=l,

所以n=(0,2,3),m=(V3,-1,1),

設(shè)平面PC。和平面PBb所成的二面角為0,

2

貝（］sin0=yJl—cos6=^-^-,

65

即平面PC。和平面b所成的二面角的正弦值為空I

65

專題強(qiáng)化練

（分值:60分）

ID素養(yǎng)提升

1.(13分X2024?安慶模擬)如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD,AB1AD,APA.DP,CD=3AB=3,

AD=2AP=4,PB=V5,AD=4AE,連接BE,CE,PE.

（1）求證：平面P8EL平面PCE；（6分）

（2）求直線CE與平面PCD所成角的正弦值的大小.（7分）

⑴證明因?yàn)锳PIDP,AD=2AP=4,所以NPA。',

又而=4荏，所以AE=1,

根據(jù)余弦定理知P^AE2+AP2-2AE-APCOSZPAD=1+4-2x1x2x1=3,

在直角梯形ABC。中，AB//CD,ABLAD,AD=4,AE=1,CD=3AB=3,

貝ljBE=V2,CE=3V2,

過點(diǎn)3作CD，垂足為F，貝ljBF=AD=4,CF=2,得BC=2通,

貝lj有BE2+PE2=PB2,BE1+C^BC2,

得PEA.BE,BE1.CE,

因?yàn)镻ECCE=E,PE,CEu平面PCE,所以BE,平面PCE,

又BEu平面PBE,所以平面PBE_L平面PCE.

⑵解由(1)得BELPE,P^PE'+AE1,

則PE_LAD,ADCBE=E,AD,BEu平面ABCD,

所以尸E_L平面A3CD

如圖，以點(diǎn)E為原點(diǎn)，分別以ED,EP所在直線為y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則E(0,0,0),P(0,0,V3),C(3,3,0),￡)(0,3,0),

于是記=(3,3,0),

又麗=(3,3,-V3),DC=(3,0,0),

設(shè)平面PCD的法向量為m=(x,y,z),

丁日(m-PC=3%+3y—V3z=0,

(m-DC=3%=0,

令y=l,貝Ux=0,z=V3,即"2=(0,1,V3),

設(shè)直線CE與平面PCD所成的角為0,

貝ijsin9=|cos(EC,m)|J￡￡2^L_2_=叱

11\EC\\m\3=V2X24='

所以直線CE與平面PCD所成角的正弦值為￡

4

2.(15分X2024?邢臺模擬)如圖，已知四邊形A8C。為等腰梯形，E為以8C為直徑的半圓弧上一點(diǎn)，平面

ABCD±平面BCE,O為3c的中點(diǎn)，M為CE的中點(diǎn)，BE=AB=AD=DC=2,BC=4.

(1)求證：DM〃平面ABE；(5分)

(2)求平面4BE與平面OCE夾角的余弦值.(10分)

(1)證明取BE的中點(diǎn)N,連接AN,,

則MN//BC,且MN=^BC,

又,且AD=-BC,

2

所以MN//AD,且MN=AD,

所以四邊形AM0O為平行四邊形，所以。M〃AN.

又DWG平面ABE,ANu平面ABE,

所以DM〃平面ABE

⑵解取AO的中點(diǎn)P,連接OF,

因?yàn)樗倪呅蜛BC。為等腰梯形，所以O(shè)F±BC,

又平面A3C"平面BCE,平面ABCDC平面BCE=BC,Oft平面ABCD,

所以。尸，平面BCE

過點(diǎn)O作直線BC的垂線交比于點(diǎn)G,連接EO,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)G,OC,O尸所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)锽C為直徑，BE=^BC,

所以NBCE=3。。，ZBOE=60°,ZEOG=30°.

在等腰梯形ABC。中，AB=AD=DC=2,BC=4,

所以0尸=122—(等了增,

所以E(V3,-1,0),C(0,2,0),￡>(0,1,V3),8(0,-2,0),A(0,-1,V3),

所以而=(遙,-3,0),CD=(0,-1,V3),BF=(V3,1,0),BA=(0,1,V3).

設(shè)平面DCE的法向量為m=(x,y,z),

則加?演=。,

(m-CD-0,

所以產(chǎn)-*0,

1-y+V3z=0,

令y=y/3,則x=3,z=l,

所以m=(3,V3,1).

設(shè)平面A5石的法向量為n=(a,b,c),

則,E=0,所以悼a3=0,

{n-BA=0,[b+y3c=0,

令b=-V3,則a=l,c=l,所以n=(l,-V3,1).

設(shè)平面A3E與平面。CE的夾角為?,

貝！]cosa=|cos{m,n)|二叫"|

11|m||n|

1_V65

"V13XV5-65，

所以平面ABE與平面DCE夾角的余弦值為絆.

65

3.(15分)(2024?南通模擬)如圖，在直三棱柱A5cA山?中，AB=BC=2,ABLBC,CC\=2?

麗4西(0<kl).

A

⑴當(dāng)見與時，求證：CE,平面ABG；（7分）

(2)設(shè)二面角B-AE-C的大小為6,求sin6的取值范圍.(8分)

(1)證明以｛阮,BA,而;｝為基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),Ci(2,0,2V3),E(0,0,2V3A).

當(dāng)早時,E(0,0,竽),

所以屈=(0,-2,0),BQ=(2,0,2A/3),CF=(-2,0，￥)-

所以相方=0,~BQ-CE=0,

所以CEA.AB,CEl.BCi.

又ABnBCi=B,AB,BGu平面ABCi,

所以CEL平面A3G.

⑵解AC=(2,-2,0),AE=(0,-2,2732),

設(shè)平面AEC的法向量為ni=(x,y,z),

不妨取"1=(何，V32,1).

易知平面ABE的一個法向量為“2=(1,0,0).

所以1c°s年旦=磊，

所以sin0=V1—cos29=1---——

N6A2+1

?22(6/+l)，

又因?yàn)?＜衣1,易知人#=在(0,1)上單調(diào)遞減，

ZZQoA+1)

所以sin0的取值范圍為（當(dāng)，1）.

IN'思維創(chuàng)新

4.（17分）［異面直線的公垂線］如圖，四邊形ACDE為菱形，AC=BC=2,ZACB=120°,平面ACDE,平面

ABC,點(diǎn)尸在AB上，1.AF=2FB,M,N分別在直線CD,AB±..

口D

ANFB

（1）求證：CP_L平面ACDE；（5分）

（2）把與兩條異面直線都垂直且相交的直線叫做這兩條異面直線的公垂線，若NE4C=60。，MN為直線CD,

鉆的公垂線，求利的值;4分）

（3）記直線BE與平面ABC所成的角為a,若tana＞手，求平面BCD與平面CED夾角的余弦值的取值范

圍.（6分）

（1）證明HAB2=AC2+BC2-2ACBCCOSZACB=12,

所以A3=2g,因?yàn)锳F=2FB,

所以4歹=/，CF=-CA+-CB,CF2=-CA2