微拓展2奔馳定理和四心問題

［考情分析］奔馳定理對于利用平面向量解決平面幾何問題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關

的問題，有著決定性的基石作用.在平面向量中有時運用這些內容可能起到意想不到的作用，技巧性較強.

一般難度較大.

考點一奔馳定理

奔馳定理:

如圖，已知尸為△ABC內一點，貝IJ有SAPBC?刀+SAMC?而+SA?AB?麗=0.

例1（1）（2024?焦作模擬）已知△ABC所在平面內一點。滿足0+礪+:沆=0,則3c的面積是4

A3。的面積的（）

A.5倍B.4倍

C.3倍D.2倍

答案A

解析因為瓦?+麗反=0,

即2DA+2DB+DC=0,

所以SABCD:SMCD:SAABD=2：2：1,所以△ABC的面積是△A3D的面積的5倍.

(2)已知點0為AABC內一點，若SAAOB:SABOC:SAAOC=4：3：2,^AO=XAB+/IAC,則實數丸和〃的值

分別為()

A.-,-B.-,-

9999

C.-,-D.-,-

9999

答案A

解析根據奔馳定理，得3m+2萬+4沆=0,

即3OA+2(OA+AB)+4(OA+AC)=0,

整理得前」而+±前，

99

故九3,

［規律方法］已知P為△A3C內一點，S.xPA+yPB+zPC=Q{x,y,zeR,xyz^O,x+y+z^O),則有

(I)SAPBC:SAPAC:SAPAB=|X|?\y\?\z\；

⑵SNBC二l%lSMZC=lylS^PAB=|z|

S^ABC|x|+|y|+|z|S^ABCkl+lyl+klSAABCkl+|y|+kl

跟蹤演練1(1)已知。是△?13c內部一點，滿足萬?+2而+〃/1=0,且#=±,則實數機等于()

SAABC7

A.2B.3

C.4D.5

答案C

解析由奔馳定理得

S/\BOC'OA+S/\AOC,OB+S/\AOB,OC=Q,

5iOA+2OB+mOC=0,

5ABOC:SXAOC:5AAOB-1?2'm.

?S“0B_m_4

S^ABC1+2+m7'

解得m=4.

(2)已知點尸，。在aABC內，~PA+2PB+3PC=2QA+3QB+5QC=0,則獸=

答案-

30

解析根據奔馳定理得S"BC：S/\PAC:5APAB—1?2*3,SAQBC:SAQAC:SAQAB—2：3：5,

S^PAB=S^QAB=^S^ABC,??PQ//AB,

11

又SAPBC=~SAABC,S^QBC=~SAABC,

65

.|可_SAQBC-SNBC_11_1

??|西「ShABC一屋6-30.

考點二奔馳定理與三角形四心

已知點。在△43C內部，有以下四個推論：

①若。為△A3C的重心，則01+礪+反=0=SAAOB:SABOC:S"oc=l：1：1;

②若。為△ABC的外心，貝I］sin2A?瓦5+sin2B礪+sin2c?沆=0,S.\OA\=\OB\=\OC\；

③若。為△ABC的內心，貝U0耐+力赤+c?瓦=0,或sinA^l+sinB而+sinC?瓦=0（°,b,c分別為角A,

B,C的對邊）；

④若O為4ABC的垂心，貝!jtanA"?+tanB-OB+tanCOC=0,且"5?礪=礪?次=瓦

考向1奔馳定理與重心

例2已知。是△A3C的重心，AB-AC=2,且N3AC=60。，則△03C的面積為（）

B.V3

3

D.-

23

答案A

解析是△ABC的重心，

：.OA+OB+OC=0,

由奔馳定理知SM）AB:SM）BC:5AOAC—1?1-1,

.1

S^OBC=~S^ABC-

AB-AC=2,：.\AB\\AC\cosZBAC=2,

9：ZBAC=60°,：.\AB\\AC\=4,

又S^ABc=^AB\\AC\smZBAC=y[3,

.?.△。8。的面積為日.

考向2奔馳定理與外心

例3已知點P是4A3c的外心，且麗+而+亦？=0,C=^,則上.

答案V6—V2

2

解析依題意得，sin2A：sin2B:sin2c=1：1：2,

?\sin2A=sin2B,

,2A=2B或2A+2B=m舍）,

：.A=B,又C=—,

12'

：.A=B=—,

24'

又sin2B_l

sin2CA'

.Sir1__

,1_sin2C_sni~y_5_①一迎

??~sin2B-qin—~V6+V2-2*

考向3奔馳定理與內心

例4已知△ABC的內切圓的圓心為O,半徑為2,且SAABC=14,20A+20B+30C=0,則△ABC的外接

圓面積為.

牧案64TT

7

解析,.?26?+2赤+3前=0，且。為內心，

.?.△ABC的三邊長之比為a：，：c=2：2：3,

令a=2k,則b=2k,c=3k,

設△A3C內切圓半徑為r,外接圓半徑為A,

又S^ABc=^a+b+cyr,

即:x7%x2=14,得k=2,

a=4,b=4,c=6,

?廠.r3V7

??C=—isinC=——

cos88

,解得尺=9=隨

又2R嘖號777

8

...AABC的外接圓面積$=成2=手.

考向4奔馳定理與垂心

例5已知〃在△ABC內，且是△ABC的垂心，若就+2麗+3沅=0,貝UA=.

答案；

解析依題意，可得tanA：tanB：tanC=1：2：3,因為tanA=-tan(3+C)

_tanB+tanC

1-tanBtanC'

整理得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,

可得6tanA=6tan3A,

因為tanA^O,所以tanA=±1.

又因為tanA<tanB<tanC,

所以tanA=l,所以A5.

4

［易錯提醒］涉及三角形的四心問題時，內心和重心一定在三角形內部，而外心和垂心有可能在三角形外

部，上述定理及推論中的點都在三角形內部，解題時，要注意觀察題目有無這一條件.

跟蹤演練2（多選X2024?通化模擬）奔馳定理的幾何表示因酷似奔馳的標志得來，是平面向量中一個非

常優美的結論，它與三角形四心（重心、內心、外心、垂心）有著神秘的關聯.具體內容是：已知知是4

A3C內一點，ABMC,AAMC,△AM3的面積分別為SA，SB，SC，則?麗+Sc?祝=0.以下命

題正確的有（）

A.若SA：SB：SC=1：1：1,則“為3c的重心

B.若M為3c的內心，則BC-'MA+AC-'MB+AB-'MC=O

C.若N3AC=45。，ZABC=60°,〃為△ABC的夕卜心，貝USASB：Sc=2：V3：1

D.若M為△ABC的垂心，3AM+4MB+5MC=0,貝ljcosNAA/3=在

6

答案ABC

解析對于A,如圖，

取BC邊的中點。,連接MD,

由SA：SB：Sc=l：1：1,

得加+通+標=0,

Pjf^2MD+MA=0,所以A,M,。三點共線，5.MA=2MD,所以“為AABC的重心，故A正確；

對于B,如圖，

因為點M為△ABC的內心，可設內切圓半徑為r,則有SA=^BCr,SB=^AC-r,Sc^AB-r,

所以如?，族+/C?『麗+2,而=。,

所以BC-MA+AC^MB+AB-MC=O,故B正確；

對于C,如圖，

A

因為M為△ABC的外心，設外接圓半徑為R,

因為NR4c=45。，ZABC=60°,

所以NBMC=90°,ZAMC=120°,

故/4知3=360。-120。-90。=150。，

22

所以SA：SB：Sc=^sm90°：|7?sin120°：^sin150°=sin90°：sin120°：sin150°

=1：去衿：⑹1，

故C正確；

對于D,由M為AA3c的垂心，3AM+4MB+5MC=0,所以SA：SB.Sc=3：4：5,如圖，

則S“BQ=4SAABC=3

SA'SB

延長AM,BM,CM,分別交BC,AC,A3于點。,F,E,

設MD=x,MF=y,貝ljAM=3x,BM=2y,

所以，得#=2y2，

所以,

6

則cosZAMB=-—，故D錯誤.

6

思維提升拓展練習

1.（2024?安慶模擬）設。點在AABC內部，且有3OA+2OB+OC=0,貝QAOC的面積與△AOB的面積的比值

為（）

A.2B.V3

C.V2D.3

答案A

解析根據奔馳定理△AOC的面積與AAOB的面積的比值為打2.

2.設/為AABC的內心，1.2M+3/B+V7TC=0,則角C為（）

A.-B.-

63

C.-D.-

34

答案B

解析由271+3厲+V77?=o,

可得a：6：c=2：3：夕，

令a=2k,則b=3k,c=V7k,

4k2+9k2-7k21

則COSC--

2-2fc-3k2

又CC（0,兀），所以C=g.

3.已知△ABC的重心為G,AB=6,AC=8,BC=2413,則△3GC的面積為（）

A.12V3B.8V3

C.4V3D.4

答案C

AB2+AC2-BC236+64-521

解析COSA=-

2AB-AC2X6X82

又AG（0,兀），,A=5,

SAABc=1x6x8xsin^=12V3,

又G為△ABC的重心，

：.GA+GB+GC=0,

即SAAGBSAAGC:SABGC=1：1：1,

5ABGC=">S'AABC=4V3.

4.在△A3C中，AB=2,AC=3,BC=4,O為△A3C的內心，^AO=XAB+/LIBC,貝!J32+6〃的值為（）

A.lB.2

C.3D.7

答案C

解析AO=^AB+/iBCRi^OA+WB-WA+juOC-fiOB^,

整理得（1-疝?+（加師+M=0,

所以(1U)：Q-〃)：〃=4：3：2,

解得2=|,,

所以32+6//=3x-+6x-=3.

99

5.已知點A,B,C,P在同一平面內，PQ=~PA,QR^QB,RP=^RC,貝US“BC：SMBC等于()

A19

A—B.-

62

c.-D.-

34

答案D

解析由而=（而，

得麗-麗=式麗-所）,

整理得而4而+1地4而+1可,

由前二河,W?P=|(PC-PR),

整理得而=微配,

.若品”+|可,

整理得4PA+6PB+9PC=Q,

:&ABC:S"BC=（4+6+9）：4=19:4.

6.奔馳定理：已知點。是△ABC內的一點,若△3OC,△HOC,△A03的面積分別記為Si，S2,S3,則

$?戲+S2?礪+邑?瓦=0.“奔馳定理”是平面向量中一個非常優美的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔

馳”轎車的標志很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.如圖，已知。是△43C的垂心，且

OA+2OB+3OC=0,則cosC等于（）

A

A3V1U

A.-----B.四

io10

c至D.些

55

答案B

解析延長CO交A3于點尸，

?.?。是442。的垂心，，0「，48,

1

ASi：S2=(1?OC-BP):Q-OC-AP

2

=BP：AP=(OPtanZPOB)：(OPtanZPOA)

二tanNCOB:tanXCOA

二tan(兀-A)：tan(7i-B)

二tanA:tanB.

同理可得Si:Ss=tanA*tanC,

ASi：S2:S3=tanA：tanB：tanC.

又SI-O2+S2-OB+S3-OC=O,

/.tanA-Oi4+tanBOB+tanCOC=Q.

ROA+2OB+3OC=0,

tanA:tanB:tanC=1：2：3.

不妨設tanA=k,tanB=2k,tanC=3k,其中以0.

??4/八ftanB+tanC

?tanA=-tan(B+C)=-zz^^F

?‘吉'解得E

當k=-l時,此時tanA<0,tanB<0,tanC<0,

則A,B,C都是鈍角，不符合題意，舍去.

故^=1,則tanC=3>0,故C為銳角，

rsinC_?

.?.氤解得cosC=包.

lsin2C+cos2c=1,10

7.（多選）（2024?保定模擬）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優美的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔

馳”轎車的標志很相似，所以形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知。是△A3C內一點，△30C,

△AOC,AAOB的面積分別為SA,SB,SC，則%M+SB?赤+Sc?沆=0.設。是4A臺。內一點，△ABC的三

個內角分別為A,B,C,ABOC,AAOC,ZkAOB的面積分別為8，SB,Sc，30A+40B+50C=0,則以

下命題正確的有（）

A.SA:SB:Sc=3：4：5

B.0有可能是△ABC的重心

C.若0為AABC的外心，則sinA：sinB：sinC=3：4：5

D.若。為△ABC的內心，則△ABC為直角三角形

答案AD

解析對于A,由奔馳定理可得，301+4礪+50?=SA-01+SB-赤+及??瓦=0,

因為市,0B,方不共線，

所以：：：故正確；

SA'SBSC=345,A

對于B,若O是△ABC的重心，

則斯赤+反=0,

因為30A+40B+50C=0,所以麗=2而，即O,3,C三點共線，故B錯誤；

對于C,當。為△A5C的外心時,\OA\=\OB\=\OC\,

所以SA：SB.Sc=sinZBOC:sinZAOC:sinZAOB=3：4：5,

即sin2A：sin2B:sin2C=3：4：5,故C錯誤；

對于D,當。為△ABC的內心時，

SASB'?Sc=^ar^br^cr

=a'bc=34:5（r為內切圓半徑，a,6,c分別為角A,B,C的對邊）,

所以a2+b2=c2,所以C=5,故D正確.

8.（多選）（2024.重慶模擬）已知點。在△ABC所在的平面內，則以下說法正確的有（）

A.^\BC\OA+\AC\OB+\AB\OC=0,則點。是△A3C的重心

B?若面畸一篇）麗儒-翻=3則點。是BC的內心

C.^（OA+'OByAB=（OB+OCyBC=0,則點。是3c的外心

D.若O為△ABC的外心，且2前言+前,則B為AABC的垂心

答案BCD

解析對于A,設a",c分別為角A,B,C的對邊，在A3,AC上分別取點。，E,使得而=絲,

C

裾岑，

貝lj［前1=1荏1=1,以AO,AE為鄰邊作平行四邊形ADFE,如圖所示，

則四邊形ADFE是菱形，且方=而+標=些+生，所以A尸平分NA4C,

cb

因為I前?5+1近I赤+1而I注=0,

即aOA+bOB+cOC=Q,

所以aVA+b-(OA+AB)+c-(OA+AC)=0,

HP(a+b+c)OA+bAB+cAC=0,

bc

所以存AB+AC

a+b+ca+b+c

_be/ABAC\_be

一而*L#公力尸1

所以A,O,歹三點共線,即。在NBAC的平分線上，

同理可得。在其他兩角的平分線上，所以。為△ABC的內心，故A錯誤；

對于B,在A3,AC上分別取點D,E,使得荏=器，AD=^|j,如圖，

則而門福=1，且落著屁,

因為雨儒-喘)=。，

gP01±PE,又|而|=|族|=1知，A0平分NA4c,

同理，可得80平分/A3C,故。為△A5C的內心，故B正確；

對于C,取A3,BC的中點分別為M,N,如圖，

H(OA+OByAB=(OB+OCy'BC=0,

所以20M-AB=20N-'BC=0,

即OMLAB,0N人BC,所以。是△ABC的外心，故C正確；

對于D,因為