2025屆高三數學高考二輪專題復習：平面向量大題專練(含答

案)

1.在VABC中，4(一2,3),磯2,7),。(-6,-5)々是重心，直線跖過點G,交BA于點E,交

BC于點F.

⑴求網

⑵若BE=ABA,BF=piBC,A,〃為正實數，求"+8〃的最小值.

2.如圖，在等邊三角形ABC中，點。滿足池=3而，點E滿足^^3面，點歹是AC邊

上的中點，^a=CA,b=CB.

(1)用表不EF;

(2)若VABC的邊長為2,試求而與前夾角的余弦值.

3.設拋物線C:x2=2py,(p>0)的焦點為歹動點P在直線/：》-'-2=。上運動，過

2025年

尸作拋物線C的兩條切線PA,PB,且與拋物線C分別相切于AB兩點

(1)求拋物線C的方程；

(2)求AAPB的重心G的軌跡方程；

(3)證明：ZPFA=ZPFB.

-----1—■—.1―.

4.如圖，在平行四邊形。4D3中，對角線相交于點C,設BM=/0=#.

BD

(1)以｛礪,OB］為基底表示配和麗；

⑵將平行四邊形放到平面直角坐標系中，若點。(0,0),3(1,2),。(3,2),尸(5,加),且麗與

。萬共線，求實數機的值.

5.在VABC中，內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,a=g,b+c=2,。為BC邊上

的點.

(1)若4=三，求角A的平分線A。的長;

⑵求8c邊上中線AD長的最小值.

6.已知銳角VABC中，角A,B,C所對應的邊分別為a,b,c,且滿足方cosC=a-2cos&

⑴求c的值;

(2)若tan，；■+」一4

求瓦.國的值.

ItanAtanB

7.已知AABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,設向量m=(cosB,-sinB),

n=(cosC,sinC),且2m-"+1=0.

⑴求A

2025年

(2)若c=2,VABC的面積為26，求VABC的周長.

8.在VABC中，角AB,C的對邊分別為a,b,c,為邊BC上的中線.

(1)證明：AD=—小2伍~+c~)—礦；

TT

(2)若A=§,a=2,求A￡)的最大值.

9.對于函數,=/(x),其中〃%)=2sinxcosx+2V§cos2x-V^,%￡R.

⑴求函數,=/(力的單調增區間；

⑵在銳角三角形43c中，若〃A)=1,通?蔗=血，求VABC的面積.

10.已知VABC的內角A,B,C所對的邊分別為。,b,c,向量戊=(°,揚)，H=(cosAsinB),

且ihlln.

(1)求角A的大小；

(2)若°=近，6=2,求VABC的面積.

11.已知向量Z=(2,一"一虛),忖=4,且(3&+亞=

⑴求向量Z與石的夾角；

⑵求快一廳的值；

⑶若向量4a+B與a-防互相垂直，求左的值.

2025年

12.已知向量,滿足五二(1,2),B=(-3,-1)

⑴求向量力與石的夾角；

⑵求向量M在向量石上的投影向量；

(3)若向量G一5與依+B垂直，求實數上的值.

13.在VABC中，〃也。分別是內角A氏C的對邊，且從+C2=5.

⑴若及sinB=GsinC,且VABC的面積為求A；

4

(2)若Z?+c=3,cosA=—,sin3〉sinC,求衣5.屈.

4

14.已知向量a=(T,O),b=(7/z,l),且Z與石的夾角為

⑴求加及.+2@；

(2)若2+/方與￡+26所成的角是銳角，求實數彳的取值范圍.

15.經過拋物線/=8x焦點的直線/交該拋物線于A8兩點.

⑴若直線/的斜率是20,求|AB|的值；

(2)若。是坐標原點，求況?礪的值.

2025年

22

16.已知雙曲線C的方程為左-%=實軸長和離心率均為2.

(1)求雙曲線C的標準方程；

(2)過E(0,2)且傾斜角為45。的直線/與雙曲線C交于M,N兩點，求兩.兩的值.(。為坐

標原點)

17.已知拋物線C:;/=2px(p>0)的焦點尸到準線的距離為2.

⑴斜率為號的直線/與C交于A,B兩點.若IA尸1+麻|=20,求/的方程;

(2)已知。為坐標原點，點P在C上，點。滿足迎=3"，求直線OQ斜率的最大值.

18.設橢圓5+，=1(。>6>0)的離心率為4,上、下頂點分別為A、3,|AB|=4.過點

￡(0,1),且斜率為左的直線/與*軸相交于點尸，與橢圓相交于C,。兩點.

(1)求橢圓的方程；

(2)若麗=無，求左的值；

(3)是否存在實數左，使直線AC平行于直線即？請證明你的結論.

19.已知向量機=(1,班)，〃=(sinx,cosx),設函數/■(無)=機”.

(1)求函數/(元)的最小正周期和最大值；

L1l

(2)設銳角△ABC三個內角ABC的對邊分別為。,4%若。=血,33=§且〃C)=6,求6.

2025年

20.三角形ABC中，￡為邊AC的中點，。為邊靠近點3的三等分點.

(1)根據題意繪制示意圖；

⑵選取｛福,0｝為向量基底，表示向量而屈；

(3)若點N滿足4麗+2通=3高，證明：B、N、E三點共線.

21.在VABC中，已知“，b,c分別為角A,B,C的對邊.若向量慶=(a,cosA),向量

n=(cosC,c),且慶?為=3/?cosB.

(1)求cosB的值；

⑵若2a,b,c成等比數列，求一5二+—的值.

tanAtanC

22

22.已知雙曲線C'過點(2,3若)且與雙曲線C：三一上=1有相同的漸近線，直線/：

218

%y—〃=0與C交于M,N兩點.

⑴求雙曲線C的方程;

(2)若稱=:麗，且尸(1,4),求加的值.

23.已知m=(Gsinox+coscox,-1j,n=[cos0x,]J,其中0>0,若函數〃無)=機?〃的最

小正周期為47t.

⑴求。的值，并求〃尤)的單調遞增區間；

(2)將/■(*)圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的《倍，再將得到的圖象上所有

點向右平移!■個單位，得到8(尤)的圖象，若兀)，求滿足g(a)=母的a的取值集合.

2025年

24.已知同=1，W=0,〈萬,5>=：.

⑴求k+同；

⑵若如山"25),求實數上的值.

2025年

《2025屆高三數學高考二輪專題復習：平面向量大題專練(含答案)》參考答案

1.(l)|BG|=y

(2)6

【分析】(1)法一，由重心坐標公式即可求解；法二，由旃=g(麗+宓)可求解；

(2)由三點共線得到士+；=1,再結合基本不等式即可求解；

【詳解】(1)設點G(x,y),由中心坐標公式得：

-2+2+(-6)

X———乙,

3

3+7+(-5)_5

y------------------——，

33

又3(2,7),

所以，而=[-4,-g),

故匹卜三

法二：

根據題意：麗=(TT),心=(-8,-12),

旃=；(而+品)=,4，TJ

所以，|旃卜g.

(2)由麗=4麗，喬=〃心，

得麗=,屁麻」而，

2jn

所以旃=1■(麗+宿~BE+—BF\=^~BE+-1-BF

3、，3(4〃)323〃

因為EfG三點共線,

所以。+《=1

=3+也++2隹3=6,

則2%+8〃=（24+8〃）

323〃3323432323JLL

當且僅當野啜，即g，T時等號成立,

所以24+8〃的最小值為6.

2025年

—?2—1-

2.(1)EF=——b+—a

32

Q)_回

182

__.21

【分析】⑴根據平面向量基本定理得到訪=反+#=-y+彳￡；

—?2—1一一，2—1一

(2)先由平面向量基本定理得到8=鏟+不，從而結合⑴中匹=-§b+y,求出

EFCD=-1,再求出閉=理，|西=手，從而利用向量夾角余弦公式求出答案.

【詳解】(1)點￡滿足的=3而，點尸是AC邊上的中點，

?2.2____?1.1_

^EC=--CB=--b,CF=-CA=-a,

__.______2_1_

EF=EC+CF=——b+—a；

32

(2)點。滿足荏=3而，

^W=CA+AD=a+-AB=a+-CB--CA=a+-b--a=-a+-b,

3333333

等邊VABC的邊長為2,設①與刀夾角為氏

21一4--2-21-21--

訪.而=二7辦匕.匕+匕——a'b——b+—a+—a-b

32339936

5-7221-2

-----a-b——by+—a

1893=4忖件嗎一I麻+料

--x2x2x---x4+-x4=-

182939f

2

EF=L^+-a]=-b--a-b+-a=3x4-第昧

I32J93493l?II34

---?2(2f1rl4-24--1-*244HI|-*|711

CD=—a+—b=—a+—a-b+—b=—x4+—Lz-Scos—+—x4

l33J99999l?II39

八28

=——16+—4x2x2cx—1+—4=

9929~9

1

CDEF-9國

則cos0=

|CD|-|EF|-2A/7A/13182-

亍*；；亍

2025年

3.⑴V=y

⑵y=g（41-x+2）

（3）證明見解析

【分析】（1）利用拋物線的焦點和標準方程直接求解即可；

（2）設切點43坐標分別為（％,片）和產毛），將切線AP和3P方程聯立解出尸點

坐標，再根據三角形重心的坐標公式和動點P在直線Z：x-V-2=0上運動求重心G的軌跡方

程即可；

（3）利用平面向量數量積的坐標表示求解即可.

【詳解】（1）依題意有與=1,所以P=g,所以拋物線C的方程為/=y.

（2）設切點A,2坐標分別為（%片）和（占，尤：）（%]*%）,y'=2x,

所以切線AP的方程為2xox-y-xl=0,切線BP的方程為2±x_y=0,

由于「既在AP上，又在3尸上，

2xx-y-xl=0

所以＜opp解得尸I"。；%

2王4--"。

所以AAPB的重心G的坐標

Xr.+X.+XpX。+X]+XQ+XQX^（玉）+石）一玉）石4x1，-yp

%=-----------==33―3——3-

所以%=—3%+4就，

由點尸在直線/上運動，從而得到重心G的軌跡方程為％3y+4/）—2=0,

即y=g（4%2_X+2）.

（3）因為

2025年

Xo+--?Q丫1『2111

1XXl+

/PFR_FPFB_21"4)("'4)_°4

恒J埋eIFF||FB|一<\FP\'

?附

故ZPFA=ZPFB.

—.1,1.5>1.

4.mBC=-OA——OB,MN=—OA——OB；

221212

14

(2)m=y.

【分析】(1)利用向量線性運算，結合幾何圖形求得結果.

(2)利用向量坐標表示及共線向量的坐標表示列式求解.

【詳解】(1)在口。中，對角線瓦1相交于點。，則

—.1—.1—.—?1—.1—.

BC=-BA=-(OA-OB)=-OA——OB-

2222

___.1—.―.1.

由5M=55C,C7V=§CD,得

——?—?——?1—?1—?1OA+OB1OA-OB5—?1—?

MN=CN-CM=-OC——CB=---------------+----------------=—OA——OB.

3232221212

(2)由0(0,0),5(1,2),。(3,2),尸(5,機)，得麗=(4,m—2),礪=(3,2),

14

由正與麗共線，得3(*2)=4x2,所以根=9.

5.⑴*；

(2)|.

【分析】(1)應用余弦定理可得灰=；,再由S“ABC=S，AB?+S.AC?及已知列方程求AD;

AD=-(AB+AC)

(2)根據線段的關系及向量加減、數乘的幾何意義有_二,，整理并應用基

BC=AC-AB

本不等式求AD最小值.

【詳解】(1)因為a=b+c=2,A=—,

所以3=匕2+C?-be=(6+cP-3bc=4-3bc,所以be=g,

由S&ABC=S^BD+SAACD,且AD是角A的平分線，

所以工Z?cx^^=L(b+c)xAOx，,所以AZ)=^^.

222V726

2025年

AD=-（AB+AC）

（2）因為。是BC的中點，所以2、>

BC=AC-AB

兩式平方，并代換得蒞2=；（2荏2+2/2-而2）=；（2〃+2c2一/）

=-[2（Z?+C）2-4/?C-3]=--Z>C>--（Z?+C）當且僅當6=c=l時取等號,

44444

所以AD長的最小值為|礪|=3.

6.(l)c=2

(2)3

【分析】(1)法1：由角化邊可得加+仍2-。3=2/C_2/-2C2+2ZA整理得

(c-2)(c2+a2-b2)=0,可求c=2；法2：易證Q=hcosC+ccos5,結合已知可得

Z?cosC=bcosC+ccosB—2cosB,可求。=2；

(2)由已知切化弦可得tan/J7+Jsl與二結合已知可得HcosC=3,可求

[tanAtanBJabcosC

CACB-

【詳解】(1)法1：由bcosC=a—2cos3可得：

,a2+b2-c2_+c2-b2

b----------=a-2----------

lablac

化簡得：ca2+cb1—c3=2a2c—2a2-2c2+2b2

進一步整理得：c3-2c2+(a2-b2)c+2b2-2a2=0

(c-2)(c2+a2-b2)=0.

又已知銳角VABC,.?.(/+/—〃)￡(),...c=2；

法2：先證明Q=Z?COSC+CCOS5

A+B+C=TIsinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC

由正弦定理得：a=bcosC+ccosB

由Z?cosC=a—2cosB,可得：Z?cosC=Z?cosC+ccosB—2cosB,:.c=2；

sinC(cosA+cos3)_sinCsinAcosB+cosAsinB

(2)tanC|---t------

ItanAtanBcosCsinAsinB)cosCsinAsinB

44

..=-------=一，得"cosC=3,

sinAsinBcosCabcosCabcosC3

CA-CB=|CA||C5|COSC=abcosC=3.

2025年

7.⑴A咤

⑵6+26

【分析】（1）根據向量數量積的坐標公式和兩角差的余弦公式即可得cosA=g,再根據三

角形角的范圍即可得到答案；

（2）利用三角形面積公式和余弦定理即可得到。,方值即可.

【詳解】（1）2m-n+\=2（cos5cosC-sin5sinC）+l

=2cos（B+C）+l=-2cosA+l=0,解得cosA=；,

又因為Ae（O,%）,則人=會.

（2）根據余弦定理得"=6?+c?-26ccosA,

即/=片+4-26①，又因為VABC的面積為26，

22

聯立①②解得b=4,a=2生,

則VABC的周長為6+2若.

8.（1）證明見解析

⑵行

【分析】（1）方法一：對通=；（濕+記）兩邊平方，再由余弦定理可得答案；方法二：在

△ADB和△ADC中，由余弦定理可得答案；

（2）在VABC中，由余弦定理得〃=4+。2一”，結合（1）再利用基本不等式可得答案.

【詳解】（1）方法一：:AD為BC邊上中線，AD=^（AB+AC）,

AD=；（AB+AC）nAD=：卜。+6。+26ccosA）,

在VABC中，由余弦定理得：/=〃2+02-2）CCOSA,

2Z?ccosA=b2+c2—a2?

:.AD=^{2b2+2c1-a2）,

=1^b2+c2）-a2.

方法二：?.?AD為2C邊上中線,

2025年

在VABC中，AADB+ZADC=兀,cosZADB+cosZADC=0,

在AADB和△ADC中，由余弦定理得：

AD2+BD2-AB2AD~+CD2-AC2…八…

---------------+----------------=0,BD=CD,

2ADBD2ADBD

即2AD2+BD2+CD--AB2-AC2=0,

...AZ)2=；3+c2T2)

即AO=g小2伊+02)一片；

TT

(2)A=-,a=2,由余弦定理可得6?=62+°2_反，

故k+c?-4=bcwg伊+02),即62+0208,

[b=c

當且僅當,22/7時，即6=。=2時等號成立，

[b+C-4=be

所以AO=；｛2伊+C2)_上=；^2(b2+c2)-4<|V16-4=6,

所以AD取得最小值為由.

9.(1)E一言也+^,(「eZ)

⑵*

【分析】(1)由二倍角正弦、余弦公式及輔助角公式化簡Ax),結合正弦函數的單調性解

不等式求出結果；

(2)由(1)及〃A)=1求出角A,根據數量積的定義求出|麗|?|罔=2,再利用三角形面

積公式可得結果.

【詳解】(1)/(%)=2sinxcosx+2A/3COS2X一百=2sinxcosx+V3(2cos2x-1)

=sin2x+V3cos2x=2sin12x+：J

7171Tl

由2E-QW2x+§W2fei+—GZ,

57rTT

可得防i---W冗WE+一,ksZ,

1212

所以函數/(X)的單調增區間是阮-含E+合，(左ez).

(2)由已知/(A)=2sin[2A+]]=l,所以sin[2A+^]=g

2025年

因為0<A<],所以弓<24+弓<￥，即2A+g=券，所以A=_,

2333364

又荏./=網J園cosA=0,所以畫.困卜2,

所以VABC的面積S=；網罔sinA=gx2x]=#.

71

0（1）?

⑵還

2

【分析】（1）由平行向量的坐標公式代入化簡結合正弦定理即可得出答案;

（2）由余弦定理求出c=3,進而結合三角形的面積公式可得出答案.

【詳解】（1）因為戊=但技），?=（cosAsinB）,且拓〃為，

則Qsin5=y/3bcosA.,

由正弦定理得sinAsinB=\/3sinBcosA,

因為B￡（0,兀），所以sin區WO,

可得sinA=百cosA,即tanA=6.

.JT

且OVAVTI,所以A=§.

（2）在VABC中，由余弦定理可得〃=b2+c2—2bccosA,

gp(V7)2=22+C2-2X2Xcxcos[,

整理可得°?-2c-3=0,解得c=3,或c=—l(舍)，

所以VABC的面積S&ABC=；6csinA=gx2x3x■

IL嗚

(2)4

-1±A/5

⑶笈=~2~

【分析】（1）由向量模的坐標運算得出忖=20,再根據向量數量積的定義及運算律求解即

可；

（2）由及已知條件求得|2Z-邛，即可求模;

（3）由已知得卜￡+可-（￡-左5）=0,根據向量數量積的運算律及已知條件代入求解即可.

2025年

【詳解】(1)因為(32+取=邛=4.

得3瓦+片=，所以急=8,

由Q=倒,-,可得同=2\/5,

因為cos??=,=*,所以向量Z與1的夾角為:

(2)[2〃一q=4〃2+.一4"石=4x8+16-4x8=16,

故忸-0=4.

(3)由向量后+B與2-防互相垂直，得(左〃+石)?(。一防)=0,

k^-k2a.b+a.b-kb=0^整理得/+"1=0,解得％=二^正.

2

12.⑴?；

⑵(U；

(3)-.

2

【分析】(1)根據給定條件，利用向量的夾角公式計算即可.

(2)利用投影向量的定義求解即得.

(3)根據向量垂直關系的坐標表示列式求解即可.

【詳解】(1)由2=(1,2)出=(一3,-1),得Z%=_3xl-2=-5,|￡|=6,|方1=炳,

因此COS〈(7,B〉=:2=f-5==一^~,而(a,b)e[0,7i],

\a\\b\A/5XV102

QTjr

所以向量訝與5的夾角01〉=T.

4

(2)向量苕在向量5上的投影向量為2fB=-^^=一：(-3,-1)=42).

|Z?|2(V10)2222

(3)依題意，a-b=(4,3),ka+b=(k-3,2k-1),由向量2一5與國+5垂直，

3

得m—5)?(阪+5)=4(左一3)+3(2%—1)=10%—15=0,所以k=].

13.(1)4=2或&=等；

OO

2025年

【分析】(1)運用正弦定理邊角互化，再結合面積公式計算即可.

(2)運用余弦定理，結合解方程組和數量積定義計算即可.

【詳解】(1)因為夜sinB=gsinC,所以

又＞2+/=5,所以b=A/3,C—V2,

所以△ABC的面積S=—bcsinA=^-sinA=，

224

則sinA=g,因為Ae(0,7r),所以4=￡或4=,.

(2)因為人+0=3,/+02=5,所以s+c)2=/+c2+2bc=5+2bc=9,

所以be=2.由余弦定理得a=A//?2+c2-2Z?ccosA=2,

因為Z?+c=3,bc=2,所以b=l,c=2或Z?=2,c=l,

又sinB〉sinC,所以Z?>。，所以〃=2,c=l,

__22+22—127

所以*0=_瓦.函=_McosC=_2x2x--------------=——.

2x2x22

14.(l)m=-l,|?+2^|=V13

⑵1_l"，2>(2,+功

【分析】(1)由平面向量的夾角公式結合平面向量數量積的坐標運算可求得機的值，計算

出向量Z+2區的坐標，利用平面向量的模長公式可求得|￡+24的值；

(2)求出向量2+店的坐標，分析可知(Z+篇){Z+zB)〉。且向量2+.與Z+25不共線，

結合平面向量的坐標運算可求得實數％的取值范圍.

【詳解】(1)因為向量￡=(-1,0),b=(mS),且￡與日的夾角為

兀a-b

則COS]解得m=-l,

所以，人=(—1,1),則a+2b=(—1,0)+2(—1,1)=(一3,2),

故歸+2目=卜3『+22=屈.

(2)由(1)可得Q+/IZ?=(—l,0)+X(—1,1)=(―X—1,4),且a+2/?=(―3,2),

2025年

因為2+法與Z+2B所成的角是銳角，貝木+刀）?伍+2石）=3彳+3+2彳>0,解得2>-g,

且向量2+之5與2+25不共線，則—34w—22—2,即％w2,

因此，實數彳的取值范圍是卜|,2）“2,+2.

15.（1）9

⑵-12

【分析】（1）聯立方程可求解方程兩個根，即可根據焦點弦公式求解，

（2）根據向量數量積的坐標運算即可求解.

【詳解】⑴拋物的焦點是（2,0）,直線/方程是y=20（x-2）,與y=8X，聯立得：

尤2-5X+4=0,

解得&=1,毛=4,所以=玉+々+4=9.

（2）當/垂直于x軸時，A（2,4）,B（2,^）,ft4-OB=2x2+4x（^）--12.

*2k

當/不垂直于無軸時，設/:>=Mx-2）,%wO,x=匕，代入得仁產一>-2%=。，

8o

所以。二丁一叫從而d.￥=（2^￡=4.

g1238864

OA-OB-+yxy2=-12,

綜上西?礪二-12.

2

2

16.（l）x-^=l

3

（2）1

【分析】（1）根據離心率以及實軸長即可求解a力,。，即可求解方程，

（2）聯立直線與雙曲線方程得韋達定理，即可根據數量積的坐標運算求解.

2025年

【詳解】（1）由離心率6=￡=2,又02=/+從，則/=3后,

a

又實軸長2〃=2,所以〃2=1,所以從=3,

2

故雙曲線的標準方程為爐-上=1;

3

（2）,??直線/的傾斜角為45。，故其斜率為1,又/過點石（0,2）,

，/的方程為y=x+2；

設知（為,％）,?/（孫力），

y=%+2

2

由*2y之，得2%—4x—7=0,

x--=1

3

?7

%—2,=一—

:.OMON=x1x2+yxy2=再尤2+（石+2）（尤2+2）=2石％2+2（%+々）+4=1

（2）T

【分析】（1）由拋物線焦點與準線的距離即可得拋物線方程，設直線/的方程為y-x+b,

2

聯立方程組，根據題意|4成+|8/1=玉+々+2=20,可得直線方程；

（）設。（如為）,由平面向量的知識可得（。）進而可得七=上乎,

2P4x-3,4%,再由斜

率公式及基本不等式即可得解可得答案.

【詳解】（1）拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點尸［/0）,準線方程為了=-5,

由題意，該拋物線焦點到準線的距離為勺，=2,

所以該拋物線的方程為V=4x,

2025年

設直線/的方程為y=；尤+6,

與y2=4x聯立得，x2+4（b-4）x+4b2=0,

則△=128(2-/)>0#則6<2,

設4（冷））8（孫%），則/+々=4（4叫,

由|AF|+|3F|=20,可得%+務+2=4（4—6）+2=20,

解得6=-；，符合b<2,

所以/的方程為y=；

（2）/（1,0）,設。（題,%）,則題=3斯=（3-3%,-3%）,

所以P（4x0-3,4%）,由P在拋物線上可得（4%y=4（4x0-3）,

所以直線OQ的斜率為后M，

當先=。時，^=0；

當%<0時，koQ=—<0,

xo

k一.一％—_!_<J_="

當%>0時，。。一無。一4），；+3，、「』一46一3

此時當且僅當4%=」，即卜=走時，等號成立；

%°2

⑵(

2025年

（3）不存在，證明見解析.

【分析】（1）由題設列出關于。，4c的方程組即可求解.

（2）先設直線/的方程為丫=履+1（左中0）求出點凡接著聯立直線/和橢圓方程求出CO中

點橫坐標，求出區/中點橫坐標，再由定=市求出瓦/中點即為CO中點，從而建立關

于左的方程即可求解.

（3）假設存在，利用前//麗建立等式求出上不存在即可.

c6

e=—=——

a3a=A/6

【詳解】（1）由題可得2b=4b=2

121

a=b+cc=A/2

22

所以橢圓的方程為菅+5=L

(2)由題可設直線/的方程為>=履+1(b0),

令y=0nx=_J,所以尸［-，,。］

設。(七,%),。(42，%),聯立<64=(2+3左2卜2+6點—9=0,

y=kx+1

則A=36k2-4(2+32x(-9)=36k2+36(2+3〃)>0,

6k9

Xy+%2=一

2+3/2+3公

則C,。中點橫坐標為笆上3k

一一2+3左2

因為E（0,l）,Fl-p0|,所以瓦/中點橫坐標為一白

\?v）乙K

因為斤=麗，所以E,RC,。四點共線，設及/中點為X,則屜=麗,

所以京-麗=反-通即阮=麗，所以“是C，。的中點,

2025年

3k

所以-

2+3k2

（3）不存在實數%,使直線AC平行于直線8。，證明如下:

由題意A（0,2）,3（0,—2）,衣=（%,,_2）,而=（々,%+2）,

若AC//BD,^\ACJIBD,所以赴(％-2)-玉(%+2)=0,

又％=何+1,%=例+1,所以X2（@T）-X,（優+3）=0,化簡得工2=-3占，

3k

所以由玉+々=-2+3.2得玉=

2+3〃

932

所以"』3k3

又x1x2=-,所以

2+3〃2+31C2+3公

整理得2+38=3%2,無解，

所以不存在實數左，使直線AC平行于直線80.

19.⑴最小正周期為期,最大值為2；

⑵6=2夜

【分析】（1）首先根據向量數量積的坐標表示求函數的解析式，再根據三角函數的性質，即

可求解；

（2）根據（1）的結果，以及正弦定理，即可求解.

【詳解】（1）/（^）=m-n=sinx+A/3cosx=2sin^x+y^,

函數的最小正周期為2兀，最大值為2；

(2)/(C)=2sin[c+T=5即sin.l*

因為Ce[o(],貝iJC+ge]所以C+?=f，則C=g,

V3<36J333

因為cosB=—,所以sinB=—cos?B=冬旦,

33

,b二6

根據正弦定理&即云萬一二萬，解得：6=20.

sinBsinC--------

33

20.⑴圖形見解析；

____,2____1_____________1____,

(2)AD=-AB+-AC,BE=-AB+-AC；

(3)證明見解析.

【分析】(1)根據題意，直接畫圖即可；

2025年

（2）根據幾何圖形進行線性運算即可;

（3）利用向量共線定理即可證明.

【詳解】（1）如圖，

（2）因為E為AC的中點，。為邊上靠近點8的三等分點，

所以麗=2麗，衣=配，

則/=麗+^^通+3麗=南+3（而-確=-2亞+3而，

—.2—■1—.

所以=+

BE=BA+AE=-AB+-AC.

2

（3）因為4麗+2通=3蔗，

—?1—■3—■1—■3—■1—■3—?

所以4V=——AB+-AC=——AB+-x2AE=——AB+-AE,

242422

所以2麗=一通+3通n/一通=2（初一而），即屁=2函，

所以通〃函，

又因為麗，麗有公共點E,

所以8,E,N三點共線.

⑵述

2

2025年

【分析】(1)由數量積的坐標運算，結合正弦定理邊角互化，兩角和的正弦公式求解即可.

(2)根據等比中項以及正弦定理邊角互化可得sin23=2sinAsinC,再利用同角三角函數

基本關系式，兩角和的正弦公式求解即可.

【詳解】(1)因為用=3,cosA),n=(cosC,c),且適?為=36cosB,

所以acosC+ccosA=36cosB,

由正弦定理，可得sinAcosC+sinCcosA=3sin5cosB,

所以sin(A+C)=3sinBcosB,即sinB=3sinBcosB,

又B為三角形內角，sinB^O,

所以cosB=g；

(2)因為2a,b,c成等比數列，

所以62=2ac,由正弦定理，可得sin23=2sinAsinC,

又cos3==，8為三角形內角，所以sinB=2也，

33

所以

1+1_cosAcosC_cosAsinC+cosCsinA_sin(A+C)_sin3_2sinB_230

tanAtanCsinAsinCsin