2025屆高考數(shù)學二輪復習專題卷圓與方程

本試卷滿分150分,考試時間120分鐘。

注意事項：

1.答題前，務必將自己的姓名、班級、考號填寫在答題卡規(guī)定的位置上。

答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦

2.擦干凈后，再選涂其它答案標號。

3.答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上。

4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效。

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選

項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.

1.若圓C與x軸相切，且圓心坐標為（1,2）,則圓C的方程為（）

A.x2+y~-2x-4y+l-0B.x2+y2-2x-4y-l=0

C.%2+_y_—2x—4y—3—0D.x~+_y2—2x—4y+3—0

2.古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代數(shù)學的重要成果.其中有這樣一個結(jié)論：平

面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)/l/wl）的點的軌跡是圓，后人稱這個圓為阿波羅尼斯圓.已知點

0（0,0）,4（4,0）,動點P（x,y）滿足曰=！，則點尸的軌跡q與圓C:（x—1了+（y+1了=1的

\PA\3

公共弦長為（）

A巫B.aC巫D4

1313

3.已知A（2,0）,B（-1,1）,動點滿足6|砌=夜.記動點”的軌跡為曲線G則曲線C

的方程為（）

A.X2+J+]6x-4y+8=0B.爐+J-8x+4y+8=0

C-x2+y2-16x+4_y+8=0D./+J+16x-4y-8=0

4.已知圓G：/+V+4ax+4a2-4=0和圓:%2+y2-2勿+Z?2-1=0只有一條公切線，若

a,b^R,且abwO,則二+二的最小值為（）

ab

A.2B.4C.8D.9

5.已知點A（2,0）,B（0,2卜點C為圓九2+,2_6%_6y+i6=o上一點廁△ABC的面積的最大值

為（）

A.12Bp&C.30D.6

6.已知曲線。：必+）?2+27〃氏一2丁+2=0表示圓，且點尸（1,2）在曲線。外,則根的取值范圍是（）

3

A.—,+co1)(1,+co)

2

D.(1,+co)

7.已知圓C:x~+y2—6x—8y+21=0,O為坐標原點，以O(shè)C為直徑的圓C與圓C交于A,8兩

點，則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.直線AB的方程為3x+4y—21=0

B.|M==一

C.OA,06均與圓C相切

D.四邊形CAOB的面積為4721

8.已知a,b,e是平面向量，且e是單位向量，若非零向量a與e的夾角為TT巴，向量b滿足

4

b-^e-b+3=0,則卜—司+卜―e|的最小值是（）

A.>/5-2B.\fs-1C.2D.>J5

二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選

項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0

分.

9.已知曲線C：ax2+ay2—2x+4a2y=0,下列結(jié)論正確的是（）

A.當=0時，曲線C是一條直線

B.當a/0時，曲線C是一個圓

C.當曲線C是圓時，它的面積的最小值為2兀

D.當曲線C是面積為5兀的圓時，同=1

10.瑞士著名數(shù)學家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上，這條直線

被后人稱為三角形的“歐拉線''.若△ABC滿足AC=5C,頂點A（l,0）,5（—1,2）,且其“歐拉線”

與圓M:（x—3）2+y2=產(chǎn)相切，則下列結(jié)論正確的是（）

A.圓M上的點到原點的最大距離為3+J5

B.圓M上存在三個點到直線x-y-1=0的距離為夜

C.若點（x,y）在圓M上，則上的最小值是-J5

D.若圓M與圓V+（y—4=2有公共點，則aG[-3,3]

11.已知直線/:依―y+2左=0和圓。：必+丁=16，則（）

A.直線/恒過定點（2,0）

B.存在k使得直線I與直線“：x-2y+2=0垂直

C.直線/與圓。相交

D.若上=—1,直線I被圓0截得的弦長為4

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知圓C:x2+y2_4x_2y+l=0,圓C的弦A5被點Q（l,0）平分，則弦A3所在的直線方程

是.

13.已知兩圓必+丁2=10和（x—l）2+（,—3）2=10相交于A,B兩點，則直線AB的方程是

22

14.過原點且傾斜角為60。的直線被圓x+y-4y=0所截得的弦長為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知圓。：爐+產(chǎn)―4x—4y+7=0關(guān)于直線x—y+l=0的對稱圓的圓心為若直線/過點

。，4）?

（1）若直線/與圓C相切，求直線/的方程；

⑵若直線/與圓。交于42兩點，=求直線/的方程.

16.已知圓C經(jīng)過點A。,3）和6（2,4〉且圓心C在直線2x—y—1=0上.

（1）求圓C的標準方程；

（2）過點加（1,—1）作圓C的切線/,求直線I的方程.

17.已知耳，鳥的圓心分別為耳（—2,0）,6（2,0）,半徑分別為小馬，弓=2,々=6,P

的圓心為點p(x,y),半徑為r.

(1)寫出：居，。鳥的標準方程，并判斷其位置關(guān)系;

(2)若。P與C￡外切且一》P與(F2內(nèi)切，求圓心尸的軌跡方程.

18.在平面直角坐標系xOy中，動圓C與圓弓：/+丁2+2工一2'=0內(nèi)切，且與圓

3

22

C2:x+y-21+7=0外切，記動圓C的圓心的軌跡為H.

⑴求軌跡”的方程；

⑵設(shè)。為坐標原點，過點C2且與坐標軸不垂直的直線與軌跡〃交于P,。兩點.線段DC?上是否存

在點N(〃,0),使得QP?NP=PQ?NQ?若存在,求出〃的取值范圍；若不存在，說明理由；

(3)過點片(4,0)且不垂直于x軸的直線與軌跡〃交A,B兩點，點B關(guān)于x軸的對稱點為E,證明：

直線AE過定點.

19.已知圓C:/+(y—2)2=32,點A(6,0)點P在圓C上運動，B為線段AP的中點.

(1)求點B的軌跡方程E,并說明其軌跡；

⑵若過點(1,2)的直線/被曲線E(點E為軌跡中心)截得的弦長為4,求直線/的方程.

參考答案

1.答案：A

解析：由已知得圓C的半徑為2,

故圓C的方程為(尤―iy+(y—2)2=4,

即丁+丁―2%一4丁+1=0.故人正確.

故選：A.

2.答案：C

￡

解析：由題意知―=」

g-4)2+:3

化簡得G：［x+g)+/=；，

其圓心為G1—g,o］，半徑彳=|，

又圓C:(x—l>+(y+l)2=l的圓心為。(1,—1),半徑馬=1,

所以1"/=早，且,―H<|CG|<|G+H，所以兩圓相交,

其公共弦所在的直線方程為3x—2y—3=0,

圓心C到公共弦所在直線的距離d=

故公共弦長為2M=2卜三

故選：C

3.答案：C

解析：因為6|"4|=拒]〃6.即31Hl「

則3[(x—2『+y2]=2[(x+l)2+(y—Ip],整理可得必+,2一16x+4y+8=0-

故選:C.

4.答案：D

解析：由題意可得兩圓相內(nèi)切,

兩圓的標準方程分別為(x+2a)2+y2=4,x2+(y-b)2=l,

圓心分別為(—2a,0),(0,b),半徑分別為2和1,

故有“/+/=1,.-.4?2+b2=1,

b24a之

當且僅當彳=--時,等號成立,

a2b2

11

薪+記的最小值為9.

故選：D

5.答案：D

解析：因為4(2,0),6(0,2卜所以池：%+y—2=0,

又因為圓的方程為(x—3)2+(y—3)2=2，所以圓心為(3,3卜半徑為廠=店,

所以圓上點到直線A5的最大距離為匕=4+直=3JL

所以△ABC的面積的最大值為工義3人義后15r=6，

2

故選：D.

6.答案：D

解析：C:x2+y2+2mx-2y+2=0可化為(x+根J+^-1^)2=rn2-L

2

fm-1>0Q

則1??，解得---1或相>1，

(1+m)+(2-1)>m2-12

即m的取值范圍是［_|,_jj(l,+OO).

故選：D.

7.答案：D

解析：由圓。：/+/一6x—8y+21=0,

得(x-3y+(y-4)2=4,

則圓心C（3,4）,半徑r=2,

線段0C的中點坐標為）叫。ag

則圓C:+(y-2)2

即x2+y2-3x-4y=0.

x2+y2-3x-4y=0

對于選項A：聯(lián)立《

x2+y2-6x-8y+21=0

兩式作差可得：3x+4y—21=0,

即直線AB的方程為3x+4y-21=0,故A正確;

|3x3+4x4-21|_4

對于選項B：圓心。（3,4）到直線A3的距離為

44A/21MF

則網(wǎng)=24------,故B正確;

對于選項C：因為A,3在以0c為直徑的圓上，

則C4LQ4,CBLOB

由圓心與切點的連線與切線垂直，

可得08均與圓C相切，故C正確；

對于選項D：因為C4LQ4,且OC=5,CA=2

則OL=JOC2—6=.5-4=后,

所以四邊形CAOB的面積為5=2x-x2xV21=201,故D錯誤.

故選：D.

8.答案：B

解析：由/?2一46./?+3=0=>/?2—46心+3^2,

/.僅-e）_L（Z?-3e）

設(shè)OA=e,OB—b,OC-a,

以。為原點，Q4的方向為x軸正方向，建立如圖所示的坐標系,

由伍-e),僅-3e),得點B在以。(2,0)為圓心,以1為半徑的圓上,

又非零向量a與e的夾角為烏，

4

設(shè)a的起點為原點，則a的終點在不含端點0的兩條射線y=±x(x>0)上,

則,_耳+卜_e|=|BC|+|AC|的最小值為|CD|—i++|AC|-1

=A/2X2-2X+1+A/2X2-4X+4

表示點(x,0)到(,和(1,1)的距離之和的最小值的0倍,

則最小值為—1]+=6，

.?.(|CD|+|AC|-I'|=V5-I

故選：B.

9.答案：AB

解析：對于A選項，當q=0時，曲線c的方程為了=0,此時，曲線c是一條直線,A對;

對于B選項，當a/0時，曲線c的方程可化為f+y2一4x+4分=0,

+16/=3+16/>0,此時，曲線C是一個圓,B對;

對于C選項,當曲線C是圓時，其半徑為V-+16a

4a-+—>4a2--=2

當且僅當4a2=-L時，即當=土變時，等號成立，即r的最小值為2,

a-2

因此，當曲線C是圓時，它的面積的最小值為兀x22=4兀，C錯；

對于D選項,當曲線C是面積為57r的圓時，其半徑為r=4a2+與=&，

即4a*+-r-=5，解得a=±l或Q=±LD錯.

a22

故選：AB.

10.答案：BD

解析：由題意，△ABC的歐拉線即A3的垂直平分線,

4(1,0),5(-1,2),

2-0

的中點坐標為(0,1),=-----=-1,

則AB的垂直平分線方程為y=x+1,

即“歐拉線”為x-y+1=0.

由“歐拉線”與圓M:(x-3)2+V=產(chǎn)相切，

則圓的方程為：(x—3)2+產(chǎn)=8,

圓心(3,0)到原點的距離為3>2

則圓M上的點到原點的最大距離為3+2a,故A錯誤;

圓心（3,0）到直線x—y—1=0的距離為d=，i=JL

.?.圓M上存在三個點到直線x—y-1=0的距離為夜，故B正確；

出的幾何意義為圓上的點與定點P（-1,0）連線的斜率，

設(shè)過（-1,0）與圓相切的直線方程為y=k（x+\],即y+左=0,

由，左+看=20,解得左=±1,

VF+i

上的最小值是-1,故C錯誤；

X+1

爐+（丁—"）2=2的圓心坐標（0,。），半徑為血，

圓"的（x—3）2+必=8的圓心坐標為（3,0）,半徑為20,

要使圓三+（丁一。）2=2與圓M有公共點,

:.y[2<^+cr<3A/2,

解得—3WaW3,故D正確.

%+2—0x=-2

解析：對于A、C,由/:6—v+2左=0,得左（x+2）—y=0,令1，解得<

-y=oy=0

所以直線/恒過定點（-2,0），故A錯誤；

因為直線/恒過定點（―2,0）,而（—2）2+（）2=4<16，即（―2,0）在圓O：+y216內(nèi),

所以直線I與圓O相交，故C正確;

對于B,直線4：x—2y+2=0的斜率為;,則當左=—2時，滿足直線I與直線/0：x—2y+2=0垂直,

故B正確；

對于D,k=-1時，直線/：x+y+2=0，圓心到直線的距離為d=尸0+2|=④,

#+12

所以直線I被圓O截得的弦長為2/1彳=2卜—(用=2，五，故D錯誤.

故選：BC.

12.答案：y=—x+1

解析：圓C:f+y2—4x-2y+l=0

變形為C：(x-2)2+(y-l)2=4,

圓心為(2,1),半徑為2,

因為圓C的弦A5被點。(1,0)平分，所以CQLA5,

其中七2=F=1,故如=T，

所以弦AB所在的直線方程是y=-(x-1),即y=—無+1.

故答案為：y=-x+l

13.答案：x+3y—5=0

解析：兩個圓方程可化為％2+,2=]0,九2+,2-2%—6y=0，

兩式相減得2x+6y=10,即％+3丁—5=0.

故答案為：x+3y-5=0.

14.答案：2百

解析：設(shè)弦長為/,過原點且傾斜角為60。的直線方程為>=瓜=氐-y=0

整理圓的方程為：Y+(y_2)2=4，圓心為(0,2),半徑丁=2

圓心到直線的距離為：用21=1

2

則：g=Vr2-I2=V3>：.l=2百

故答案為：2G

15.答案：（1）%=1或3x+4y-19=0；

(2)x-y+3=0或x+y-5=0

解析：(1)由題意可知圓4%_4y+7=o的圓心坐標C(2,2)，半徑r=1，當直線的

斜率不存在時，直線/過點(1,4).

即/的方程為％=1時，此時直線與圓相切，符合題意；

當直線的斜率存在時，設(shè)斜率為鼠直線/過點(1,4).

設(shè)直線的方程為y—4=左(尤—1),

即化為一般式：kx-y-k+4=0,直線/與圓C相切,

則d=R左一：一左+4|,即]=|2左一2—左+4],解得上

J-2+1J-2+14

所以/的方程為：—y+；+4=0，即3x+4y—19=o.

綜上，當直線/與圓C相切，直線/的方程為兀=1或3x+4y—19=0.

(2)圓。：必+產(chǎn)―4x—4y+7=0的圓心坐標C(2,2)，半徑廠=1，

設(shè)Q(a,3，因為圓C關(guān)于直線％—y+l=0的對稱圓的圓心為

a+2b+2八

----------+l1=0

22a=l

所以解得圓。的圓心為(1,3)，半徑為L

b-2b=3

、a—2

當直線/斜率不存在時，直線/的方程為％=1，此時直線/過圓。的圓心，|A5|=2w夜，不符合

題意；

當直線/斜率存在時，設(shè)斜率為上,直線/過點(1,4).

設(shè)直線I的方程為y—4=左(％—1)，即化為一般式：立一丁一人+4=0,

圓心D到直線I的距離d=也三士4.

VFTi

若直線,與圓。交于42兩點，=

根據(jù)勾股定理可得d~+(―)2=戶,

2

/一丁+4]正,解得左=±i，

所以直線I的方程為x—y+3=0或x+y—5=0

16.答案：（l）（%_2）2+（y_3）2=l

（2）兀=1或15x—8y—23=0

解析：⑴設(shè)圓C的方程為（x—ap+Q—32=/（廠＞o）,

（1-a）2+（3-Z?）2-r2a=2

則＜（2-d+（4-4=r2，解得"=3,

2a—0—1=0l/T

故圓C的方程為（x—2）2+（y_3）2=i

⑵由⑴知，圓心為C（2,3卜半徑為r=l，

若直線I的斜率不存在，則直線I的方程為％=1,此時，圓心C到直線I的距離為1,合乎題意;

若直線I的斜率存在,設(shè)直線I的方程為＞+1=k（％—1）,即日—y—左—1=0,

由題意可得,解得k=身,

Jr+ide+is

此時，直線/的方程為y+l="（x-1）,即15x-8y-23=0.

綜上所述，直線I的方程為％=1或15%—8y—23=0.

17.答案：（1）答案見解析

22

（2廣+匕="無?4）

1612、）

解析：（1）「耳，耳的圓心分別為大（—2,0）,耳（2,0）,

半徑分別為、r2,4=2,弓=6

所以耳的標準方程為（x+2）2+9=4；

F2的標準方程為（元―2）2+丁=36,

可得|耳耳|=4,可知但且|=型一石=6-2=4,

所以",QF2內(nèi)切.

（2）因為動圓P的半徑為r,

因為動圓P與I6外切且oP與匚鳥內(nèi)切，

則r<6,且尸耳|=r+2+(6—。=8>閨招|,

由橢圓的定義可知，動點尸在以耳(—2,0),月(2,0)為焦點,

8為長軸長的橢圓上，

22

設(shè)橢圓的方程為鼻+斗=1(。〉6〉0),半焦距為C,

ab

則。=4,c=2,則入2=16—4=12,

又因為，:%區(qū)內(nèi)切，則點尸不能在切點處，

即橢圓應去掉點(-4,0),

22

所以動圓的圓心P的軌跡方程為土+匕=1(XW

1612,

⑵存在，?e(0,-)

4

(3)證明見解析

解析：(1)設(shè)動圓C的半徑為凡

由于￡：V+y2+2x—1=0的圓心半徑分別為C](―L0)，4=5,

31

且與圓。2：X+V—2x+彳=0的圓心和半徑分別為G(1，0)，4=5

71

由題意可得|。￡|=5-氏，|。。21=氏+5

故|ccj+1CGI=4>|GGI=2,因此點c軌跡滿足橢圓方程,

且以G，。2為焦點，以4為長軸長的橢圓，

故2〃=4,2c=2,

〃=2,c=l,b=y/3

22

二1

(2)設(shè)直線PQ的方程為：y=k(x-l),左WO,

22

代入二+匕=1,

43

得：(3+4左2)%2—8左2%+4左2—12=0,

A=(―8左2)2—4(3+4左2)(4左2—12)〉0恒成立.

設(shè)PQi，%)，e(x2,y2),線段尸。的中點為Ww，%)，

x,+x24k2，/八3k

則&3=------=------7,%=-1)=-------

23+4左2*33+4左2

由QPNP=PQNQ,

得：PQ(NQ+NP)=PQ(2NR)=Q,

直線NR為直線PQ的垂直平分線,

3”14”2

直線NR的方程為：v+------=——(%-------),

-3+4左2k3+4V

1

令y=0得：N點的橫坐標〃

3+4左2