2025《衡中學案》高考一輪總復習數學提能訓練練案［63］

含答案提能訓練練案［63］

6A組基礎鞏固9

一、單選題

1.(2024.湖南部分重點中學聯考)在如圖所示的表格中填寫1,2,3三個數字，

要求每一行、每一列均有這3個數字，則不同的填法種數為(C)

［解析］第一行填數有AW=6種填法，第二行填數有2種填法，第三行填數

只有1種填法，故總的填數方法有6X2X1=12種.

2.(2023?高考新課標II卷)某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例

分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學

生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生，則不同的抽樣結果共

有(D)

A.C缺C孤種B.C私9私種

C.C私C亂種D.C私C私種

［解析］根據分層抽樣的定義知初中部共抽取60X瑞=40人，高中部共抽

取60*翡=20,根據組合公式和分步計數原理則不同的抽樣結果共有C48oC縱

種.故選D.

3.(2024.黑龍江龍西北高中名校聯盟聯考)將編號為1、2、3、4、5、6的小

球放入編號為1、2、3、4、5、6的六個盒子中，每盒放一球，若有且只有兩個

盒子的編號與放入的小球的編號相同，則不同的放法種數為(B)

A.90B.135

C.270D.360

［解析］在6個盒子中任選2個，放入與其編號相同的小球，有C&=15種,

剩下的4個盒子的編號與放入的小球編號不同，假設這4個盒子的編號為3,4,5,6,

則3號小球可以放進4,5,6號盒子，有3種選法，剩下的3個小球放進剩下的3

個盒子，有3種選法，所以不同的放法種數為15X3X3=135種選法.故選B.

4.(2023?黑龍江哈爾濱質檢)小張接到5項工作，要在下周一、周二、周三、

周四這4天中完成，每天至少完成1項，且周一只能完成其中1項工作，則不同

的安排方式有(A)

A.180種B.480種

C.90種D.120種

［解析］由題意可知不同的安排方式有CgC?A?=180種.故選A.

5.(2023?江西省萍鄉市模擬)如圖，給7條線段的5個端點染色，要求同一

條線段的兩個端點不能同色，現有4種不同的顏色可供選擇，則不同的染色方法

種數有(C)

A.24種B.48種

C.96種D.120種

［解析］由表

端點ABECD

與A同色12

涂法432

與A不同色12

知不同的涂色方法共有4X3X2X1X(2+2)=96G?,故選C.

6.(2024.江蘇揚州模擬)重慶八中五四頒獎典禮上有A,B,C,D,E,R共

6個節日，在排演出順序時，要求A,3相鄰，C,。不相鄰，則該典禮節目演

出順序的不同排法種數為(B)

A.288種B.144種

C.72種D.36種

［解析］A,3相鄰，捆綁作為一個節目與E、R進行全排列，然后把C、D

插入其中的四個空檔中，排法總數為A5A熱彳=144.故選B.

7.（2024.江蘇南京六校聯考）從2位男生，3位女生中安排3人到三個場館

做志愿者，每個場館各1人，且至少有1位男生入選，則不同安排方法有（C）

A.16種B.36種

C.54種D.96種

［解析］當選擇一個男生，二個女生時，不同的安排方法有CXC/用=36；

當選擇二個男生，一個女生時，不同的安排方法有CaC》A』=18,所以不同安排

方法有36+18=54種，故選C.

8.（2024.湖南名校聯盟、河南焦作、陜西商洛階段測試）位于成都市龍泉驛

區的東安湖體育公園是第31屆世界大學生夏季運動會的核心場館，它包含一座

綜合運動場、一座多功能體育館、一座游泳跳水館和一座綜合小球館.現安排包

含甲、乙在內的6名同學到這4個場館做志愿者，每人去1個場館，每個場館至

少安排1個人，則甲、乙兩人安排在相同場館的方法種數為（C）

A.96B.144

C.240D.360

［解析］先將6名同學分成4組：一種方式是甲、乙組成一組，再從另外4

人任選2人組成一組，其余的一人一組，另一種方式是甲、乙與另外4人中的1

人組成一組，其余的一人一組.再把4組人分到4個場館，所以安排方法種數為

（C1+CU）A彳=240.故選C.

9.（2024弓可南洛陽創新發展聯盟階段測試）中國救援力量在國際自然災害中

為拯救生命做出了重要貢獻，很好地展示了國際形象，增進了國際友誼.現有6

支救援隊前往A,B,C三個受災點執行救援任務，若每支救援隊只能去其中的

一個受災點，且每個受災點至少安排1支救援隊，其中A受災點至少需要2支

救援隊，則不同的安排方法種數是（D）

A.180B.320

C.345D.360

［解析］若6支救援隊按1,1,4分成3組,則不同的安排方法種數是蜜?A3=

30,若6支救援隊按1,2,3分成3組，則不同的安排方法種數是C&Cg@A3=240,

若6支救援隊按2,2,2分成3組，則不同的安排方法種數是^?A3=90,故不同

的安排方法種數是360.

二、多選題

10.（2024弓可北石家莊摸底）甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列說

法正確的是（BD）

A.若甲、乙、丙按從左到右的順序排列，則不同的排法有12種

B.若甲、乙不相鄰，則不同的排法有72種

C.若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，則不同的排法共有72種

D.如果甲、乙必須相鄰且乙在甲的右邊，則不同的排法有24種

A5

［解析］由u=20（種）知A錯；由A3A3=72（種）知B正確；若甲在最右端有

A￡=24（種）排法，若甲不在最右端有CiCU?=54種排法，54+24=78（種）知C

錯；由A4=24（種）知D正確.故選BD.

11.（2023?遼寧模擬）某中學為提升學生勞動意識和社會實踐能力，利用周末

進社區義務勞動，高三一共6個班，其中只有1班有2個勞動模范，本次義務勞

動一共20個名額，勞動模范必須參加并不占名額，每個班都必須有人參加，則

下列說法正確的是（BD）

A.若1班不再分配名額，則共有C%種分配方法

B.若1班有除勞動模范之外學生參加，則共有CN種分配方法

C.若每個班至少3人參加，則共有90種分配方法

D.若每個班至少3人參加，則共有126種分配方法

［解析］對于A,若1班不再分配名額，則20個名額分配到5個班級，每

個班級至少1個，根據插空法，有C，9種分配方法，故A錯誤；

對于B,若1班有除勞動模范之外學生參加，則20個名額分配到6個班級，

每個班級至少1個，根據插空法，有C?9種分配方法，故B正確；

對于C、D,若每個班至少3人參加，相當于16個名額被占用，還有4個

名額需要分到6個班級，分5類：①4個名額到一個班，有6種；②一個班3個

名額，一個班1個名額，有AV=30種；③兩個班都是2個名額，有C/=15種；

④兩個班1個名額，一個班2個名額，有CAQ=60；⑤四個班都是1個名額，

有C2=15種，則共有126種，故C錯誤，D正確.故選BD.

12.（2024.云南曲靖一中月考）下列說法正確的是（BC）

A.UX12X…X20可表示為A8

B.5個朋友聚會，見面后每兩人握手一次，一共握手10次

C.若把英語單詞“happy”的字母順序寫錯，則可能出現的錯誤共有59種

D.4名老師派到兩個學校支教，每個學校至少派1人，則共有8種不同的

分派方法

［解析］Ali=10XHX12X13X-X20,故A錯誤；5人兩兩握手，共握

Cg=10（次），故B正確；在5個位置中選3個位置填入九a,y,剩下2個位置

填入口共有Ag=60（種），其中正確的只有1種，則可能出現的錯誤共有60—1

=59（種），故C正確；將4人按3,1分派，共C度執當=8種；將4人按2,2分派,

共有寶?A2=6種.故每個學校至少派1人，共有14種分派方法，故D錯誤.故

選BC.

三、填空題

13.（2024.江蘇常州教育學會期中）將5本不同的書分發給4位同學，其中甲、

乙兩本書不能同時發給某一位同學，每位同學都發到書，每本書只能給一位同學，

則不同的分配方案數為216（用數字作答）

［解析］5本書送4人共有CgA?=240,甲，乙送一人有A?=24個結果，240

-24=216.

14.（2024.浙江名校新高考研究聯盟聯考）杭州亞運會舉辦在即，主辦方開始

對志愿者進行分配.已知射箭場館共需要6名志愿者，其中3名會說韓語，3名

會說日語.目前可供選擇的志愿者中有4人只會韓語，5人只會日語，另外還有

1人既會韓語又會日語，則不同的選人方案共有140種.（用數字作答）.

［解析］若從只會韓語中選3人，則C20+C支1）=4X20=80種，若從只

會韓語中選2人，則C?ClCg=6X10=60種，故不同的選人方案共有60+80=

140種.

15.（2024.湖南衡陽名校月考）在數學中，有一個被稱為自然常數（又叫歐拉

數）的常數e-2.71828.小明在設置銀行卡的數字密碼時，打算將自然常數的前6

位數字2,7,1,828進行某種排列得到密碼.如果排列時要求兩個2相鄰，兩個8

不相鄰，那么小明可以設置的不同密碼共有個.

［解析］如果排列時要求兩個2相鄰，兩個8不相鄰，兩個2捆綁看作一個

元素與7』全排列，排好后有4個空位，兩個8插入其中的2個空位中，注意到

兩個2,兩個8均為相同元素，那么小明可以設置的不同密碼共有AR3=36.

B組能力提升

1.（2023?貴州遵義新高考協作體質檢）現有甲、乙、丙、丁四位同學要與兩

位老師站成一排合影留念，則甲同學不站兩端且兩位老師必須相鄰的站法有（B）

A.72種B.144種

C.288種D.576種

［解析］教師排兩端有0A支a=72種排法，

教師不排兩端有A&A執3=72種排法.

故共有72+72=144種排法.選B.

2.（多選題）（2024.廣東佛山S71聯考）現安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學

參加2023年杭州亞運會志愿者服務活動，有翻譯、導游、禮儀、司機四項工作

可以安排，則以下說法正確的是（AD）

A.若每人都安排一項工作，則不同的方法數為45

B.若每項工作至少有1人參加，則不同的方法數為A&CL

C.如果司機工作不安排，其余三項工作至少安排1人，則這5名同學全部

被安排的不同方法數為（CgG+C支g）A引

D.每項工作至少有1人參加，甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙、

丁、戊都能勝任四項工作，則不同安排方案的種數是。4以用+&/

［解析］每人都安排一項工作，每人有4種安排方法，則有45種安排方法，

A正確；先將5人分為4組，再將分好的4組全排列，安排4項工作，有CWA才種

安排方法，B錯誤;先將5人分為3組，有1安+等I種分組方法，將分好的

三組安排翻譯、導游、禮儀三項工作，有A3種情況，則有筆+甯A3種安

排方法，C錯誤；①從丙，丁，戊中選出1人開車，②從丙，丁，戊中選出2人

開車，則有C4C3A3+C3AW種安排方法，D正確.故選AD.

3.（2023?廣東茂名一中模擬）由數字0,1,2,3,4組成的各位上沒有重復數字的

五位數中，從小到大排列第88個數為（C）

A.42031B.42103

C.42130D.42301

［解析］由數字0,l,2,3,4組成的各位上沒有重復數字的五位數中，1在萬位

的有AM=24（個）；2在萬位的有Al=24（個）；3在萬位的有A彳=24（個）；4在萬

位的有A彳=24（個）；則從小到大排列第88個數為4在萬位的五位數.4在萬位0

在千位的有A§=6（個）；4在萬位1在千位的有A』=6（個）；4在萬位2在千位的

有A』=6（個），則從小到大排列第88個數為4在萬位2在千位的五位數.4在萬位

2在千位的五位數從小到大排列依次為：42013,42031,42103,42130,42301,42

310則從小到大排列第88個數為42130.故選C.

4.（2024.南京師大蘇州實驗學校調研）有8個座位連成一排，甲、乙、丙、

T4人就坐，要求有且僅有兩個空位相鄰且甲、乙兩人都在丙的同側，則共有上蹌

種不同的坐法.

［解析］先排甲、乙、丙、丁4人就坐，不妨設為1,2,3,4號位置，因為甲、

乙兩人都在丙的同側，當丙在1號位置有A^=6種排法，當丙在2號位置有A5=

2種排法，當丙在3號位置有A3=2種排法，當丙在4號位置有A3=6種排法，

共有16種排法；又因為有且僅有兩個空位相鄰，將兩個空位捆在一起，與剩余

兩個空位插入甲、乙、丙、丁形成的5個空位中，有5c3=30種排法，所以共有

16X30=480種排法.

5.（2024.浙江新陣地教育聯盟聯考）首個全國生態主場日活動于2023年8月

15日在浙江湖州舉行，推動能耗雙控轉向碳排放雙控.有A,B,C,D,E,F

共6項議程在該天舉行，每個議程有半天會期.現在有甲、乙、丙三個會議廳可

以利用，每個會議廳每半天只能容納一個議程，若要求A,3兩議程不能同時在

上午舉行，而C議程只能在下午舉行，則不同的安排方案一共有252種.（用

數字作答）

［解析］分兩種情況，第一種，A,3議程中只有一項在上午，有C」dA3A§=

216種選擇，第二種，A,5議程都安排在下午，有A執3=36種選擇，綜上：不

同的安排方案一共有216+36=252種選擇.提能訓|練.練案［64］

f：A組基礎鞏固J

一、單選題

1.（2024.山西師大附中月考）二項式［2》一86展開式的常數項為（B）

A.1160B.60

C.120D.240

［解析］古）6展開式的通項為：A+I=C￡（2X）6-{—左）=CB26F（一

6-3k3

1盧無一，令6—/=0得上=4,所以展開式的常數項為C3X22X（—11=60,

故選B.

2.（202年江蘇鎮江一中學情檢測）的展開式中含2項的系數是（B）

A.-112B.112

C.-28D.28

=(_2)中號

［解析］由題意可得，其通項公式為7r+l=C§X8

3

0WrW8,r￡N,令8—1r=5,可得廠=2,所以含x5項的系數是（一2）20=112.

故選B.

3.（2023?河南新鄉聯考）若二項式t）（“?N*）的展開式中只有第5項的

二項式系數最大，則展開式中％2項的系數為（D）

A.-1120B.-1792

C.1792D.1120

［解析］因為展開式中只有第5項的二項式系數最大，所以〃=8.通項為刀+

i=C§(2x)8-1—左)=印8-r.(令8_|『2,得『4,所以展開式

中％2項的系數為C貶4(—1)4=1120.故選D.

4.(2024.山東新高考質檢聯盟聯考)設(1+尤)+(1+尤A+…+(1+力7+(1+1)8

=ao-ha\x-\-----\-aix1+i/sx8,則=(A)

A.84B.56

C.36D.28

［解析］依題意，＜22=C5+C^H-----FC§=C^+C?H-----HC&=C?+C+H-----

=---=C^+C§=C^=84,故選A.

5.(2024.湖北武漢九所重點中學聯考)多項式(ax+l)6的一項系數比好項系

數多35,則其各項系數之和為(D)

A.1B.243

C.64D.0

［解析］項系數比好項系數多35,，C勿2—C〃3=35,即3屋一4足=7,

解得：。=—1.，(一龍+l)6=Cb6—C&^+CW—C舐3+cZx2—C靚i+Cg,令x=l

可得各項系數之和為eg—C&+以一以+d—以+以=0.故選D.

6.(2023弓可北示范性高中調研)關于二項式(l+tzx+x2)。一x",若展開式中

含％2的項的系數為21,則a=(C)

A.3B.2

C.1D.-1

［解析］(1—x)8的展開式的通項為Tr+1=(—lye既r,x2的系數為1X4X(一

1)2+aXCiX(-l)+lXC§=21,解得a=C故選項C正確.

7.(20221匕京高考)若(2x—l)4=a4%4+a3X3+a2X2+aix+ao,貝！J<70+42+04=

(B)

A.40B.41

C.-40D.-41

［解析］令X=l,則。4+。3+。2+。1+。0=1,令X=-1,則<24—。3+。2-a\

［+8］

+ao=(—3)4—81,故。4+。2+。0=2=41,故選B.

8.(2024?安徽屯溪一中模擬)已知J(x)=(2—x)s=ao+aix+a2X1-\-\~a^,

則下列描述正確的是(B)

A.。1+。2+…+。8=1

B.八一1)除以5所得的余數是1

C.|+㈤+|B|+…+1。8|=38

D.2。2+3。3+…+8。8=-8

［解析］令］=1得：Qo+ai+〃2+…+。8=1；令元=0,得。0=2\Ql+〃2+…

+^8=1-28,因此A錯誤；/(-l)=38=94=(10-l)4=104-Cil03+C2102-C^10

+1=10X(lO^CllO^aiO1-Ci)+1,因此B正確；因為(2—尤)8二項展開式的

通項公式為7；+i=C§28>(—%y=(—1人328一%，由通項公式知，(2一%)8二項展開

式中偶數項的系數為負數，所以|Q1|+|〃2|+|Q3|H-----H〃8|=——Q3H----h〃8,

由(2—尤)8=40+41%+zX2]----1〃8%8,令%=0,得到40=28,令%=—1,得到。0

—ai+ai—B+…+。8=3:所以|41|+|〃2|+|43|+，，，+|。8|=38—28,因此C錯誤；

對原表達式的兩邊同時對X求導，得到一8X(2—X)7=Q1+2Q2%+3Q3X2H----p

8Q8A7,令X=1,得至Iai+2〃2+3〃3+…+8備=—8,令x=0,得m=-8X27,

所以，2〃2+3〃3+…+8制=-8+8X27=8(2’-1),所以選項D錯誤.故選B.

9.(2023?廣東廣州階段測試)(l+%)2+(l+%)3d-----k(l+x)9的展開式中x2的

系數是(C)

A.45B.84

C.120D.210

［解析］解法一：(l+x)2+(l+x)3H----h(l+x)9的展開式中，含項的系數

為C夕+C4+C1T——FC5=C5o=12O,故選C.

解法二：(1+x)2+(1+x)3H-------H(1+X)9=(1+：個工；"］=

(1+"。一(l+x)：*的系數為c?o=］2o.故選匚

二、多選題

10.(2024.山東青島調研)已知12x—3”的展開式的各二項式系數的和為256,

則(ABD)

A.〃=8

B.展開式中丁2的系數為—448

C.展開式中常數項為16

D.展開式中所有項的系數和為1

［解析］由二項式系數之和為2〃=256,可得冏=8,A選項正確；(2x—

展開式的通項為Tr+i=C§(2x)8—：)=C§(—1盧28丁.必-2*8—2r=—2時，r=5,

展開式中/2的系數為c9(—1)5.2廠5=—448,B選項正確；8—2廠=0時，r=4,

展開式中常數項為Cg(—1)40-4=1120,C選項錯誤；(2x—::中，令》=1,得

展開式中所有項的系數和為（2—1）8=1,D選項正確.故選ABD.

11.（2024.河北師大附中期中）在仔+利9的展開式中，下列結論正確的是

（BC）

A.第6項和第7項的二項式系數相等

B.奇數項的二項式系數和為256

C.常數項為84

D.有理項有2項

［解析］，+點）的展開式中共有I。項，由二項式系數的性質可得展開式中

的第5項和第6項的二項式系數相等，故A錯誤；由已知可得二項式系數之和

為且展開式中奇數項的二項式系數和與偶數項的二項式系數和相等，所以奇

r

數項的二項式系數和為28=256,故B正確；展開式的通項為Tr+i=C^.

193_Q

（冤-2）r=cj?2：（）WrW9,reN,令9—1廠=0,解得〃=6.故常數項為C8=C&=

84,故C正確；有理項中工的指數為整數，故r=0,2,4,6,8,故有理項有5項，

故D錯誤.故選BC.

三、填空題

12.（2024?安徽江淮十校聯考）若（2%—1）6=。（）+〃1（尤-1）+。2（%—1>+…+〃6a

—1）6,則QO+02+04+06=365.（用數字作答）

［角星析］令％=0,貝！J40—。1+〃2—。3+〃4—〃5+〃6=1,令％=2貝!Jao+〃l+〃2

+“3+04+05+期=36=729,兩式相加得：2（。（）+。2+。4+。6）=730,.二00+02+

〃4+〃6=365.

13.（2024.南京師大蘇州實驗學校調研改編）若二項式百十工"展開式的

前三項的系數成等差數列，則展開式的中間項為

一=Ox----.

(1A

二項式,+不〃通項為：n

［解析］Tr+1=Cn(yjx)'4

I2叩力12.出J

=C；C^°=l,第二項的系

,所以第一項的系數為:

數為：第三項的系數為：C(1)2=F，由于前三項的系數成等差數

n〃2一n

2X5=1+-?-,8,1,

列，所以Zo解得九=或九=因為至少有前三項，所以“=

1(舍)，故〃=8,所以展開式有9項，中間一項為75=或@)4%1=專工

14.(2024.廣西“貴百河”調研)在的二項式中，所有的二項式系數

之和為64,則各項的系數的絕對值之和為729.

［解析］由題意知2"=64,...“=6,設的各項的系數為ao,…，

126,則各項的系數的絕對值之和為|ao|+|ai|+|a21HH\a(\,即為中各項

的系數的和,令X=1,|ao|+|ai|+㈤\~|〃6|=(1+2)6=36,即各項的系數的絕

對值之和為36=729.

15.(2023弓可南駐馬店期末;)若/+(%—2)I°=QO+QI(%—1)+02(%—1產+…+

。9(%—l)9+aio(x—1)1°,貝！J6/5=—231

［解析］x7+(x—2)10=［(x—1)+l］7+［(x—1)—I］10,因為［(%—1)+1］7展開式

的通項7；+1=?(%—1)7),令7-「=5,得r=2,則T3=C%x—l)5=21(x—.因

1Or，

為口一1)—1嚴展開式的通項Vr'+l=Cfo(X-l)--(-1/,令io—n=5,

得/=5,則76=CM%—1)5.(—1)5=—252(%—1)5,故〃5=21—252=—231.

B組能力提升

1.(2024.遼寧朝陽聯考)［1—中(x—95的展開式中》與2的系數為(A)

A.