2025《衡中學案》高考一輪總復習數學提能訓練練

案［41］含答案提能訓練練案［41］

6A組基礎鞏固9

一、單選題

1.給出以下四個命題：

①依次首尾相接的四條線段必共面；

②過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面；

③空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角必相

等；

④垂直于同一直線的兩條直線必平行.

其中正確命題的個數是（B）

A.0B.1

C.3D.4

［解析］只有②正確，故選B.

2.（2022.湖北名師聯盟模擬）如圖，正方體ABCD-AiBiCiDi中，點E,F

分別是AB,AiDi的中點，。為正方形AiBiCiDi的中心，則下列結論正確的是（C）

A.直線EEA。是異面直線

B.直線EF是相交直線

C.直線ER與所成的角為30°

D.直線ER與331所成角的余弦值為竽

［解析］OF統AE,EF、A。是相交直線，A錯;

EF、331是異面直線，B錯；

如圖，OF統BE,

J.EF//BO,

（或其補角）即為ER與3cl所成的角，

設正方體棱長為2,

則3G=2爪，OCi=j,BO=y［6,

：.BCr=OCl+BO2,即反〃OCi,

：.ZOBCi=30°,C對；

ER與331所成角的余弦值為坐，D錯；故選C.

3.（2023?廣東汕頭模擬）已知a,夕，/是三個平面，aC/3=a,a^y=b,p^y

=c,且aC6=。，則下列結論正確的是（C）

A.直線6與直線c可能是異面直線

B.直線a與直線c可能平行

C.直線a,b,c必然交于一點（即三線共點）

D.直線c與平面a可能平行

［解析］因為aC￡=。，aC/=6,aC\b=O,所以。?a,O^p,O^y,因

為夕n〉=c,所以0?c,所以直線a,b,c必然交于一點（即三線共點），A、B

錯誤，C正確；D選項，假設直線c與平面a平行，由。?c,可知。&z,這與

0?a矛盾，故假設不成立，D錯誤.故選C.

4.（2024?四川仁壽一中調研）已知正方體A3CD—AbBCiDi中，E為4?的

中點，則直線4。與CE所成角的余弦值為（A）

A坐B.專

「咽n痍

J10u-15

［解析］解法一：連接AC,在正方體ABC。一ALBICDI中，AA1//CC1,A41

=CC1,即四邊形ACC1A1為平行四邊形，故A1C1〃AC,則直線AC與CE所成

角即為直線4cl與CE所成角，即NEC4即為所求角或其補角；設正方體棱長

為2,連接AE,ECi,則AE=EC=誨可？=小，EC=^(CCI)2+(ECI)2=3,

開「244「2—4"2Q-LQ_5A/O

又AC=2\［2,cosZECA=-----2ECAC」=2X3XRT號而異面直線所

成角的范圍為(0,f,故直線4。與CE所成角的余弦值為坐.故選A.

解法二：如圖建立空間直角坐標系，設A3=2,則AU=(—2,2,0),CE=(1,

—2,2),記4G與CE所成角為仇則cos。=但￥卓=不裊『率故選A.

|AiC1||CE|2v2X32

5.(2023?寧夏中衛市模擬)如圖，在正四棱柱ABC。一ALBICLDI中，AB=^2

AAi,E,R分別為AB,3C的中點，異面直線ABi與CLF所成角的余弦值為加

貝U(B)

\［2

A.直線AiE與直線CiR異面，且機=3

B.直線AiE與直線GR共面，且加=3

C.直線AiE與直線CiR異面，且加=3

D.直線AiE與直線GR共面，且機=々

［解析］,:E、R分別為A3、BC的中點,

：.EF//AC//AiCi,/.Ai,G、E、R共面，

，直線AiE與Ci一共面.

連接CD,則CLD〃A3I,

/.NDCiF為ABi與CtF所成的角（或其補角），

連接。凡不妨令AAi=小,則DR=小，

CiF=小,DCi=y［6,

3+6—5A/2u、＞

J-2X#X獷3'故選B-

6.（2024.陜西漢中聯考）在三棱錐A-BCD中，AB=AC=AD=4,ABCD

的邊長均為6,P為A3的中點，則異面直線PC與3。所成角的余弦值為（C）

［解析］如圖，取AD中點E,連接PE,EC,二.尸是A3的中點，...PE/ZBD,

PE=%B=3,則NCPE是PC與3。所成角（或補角），在△ABC中，AB=AC=4,

BC=6,由余弦定理，cosA=想…二=o…&=Y，在△APC中，

ZACAAnZA4A4o

PC2=AP2+AC2-2XAPXACXCOSA=22+42-2X2X4X(^-|^=22,:.PC=

22,同理，CE="，在△PEC中，由余弦定理可得，cosNCPE=

警，.??異面直線PC與3。所成角的余弦為警.故選C.

2X722X3的鈣

7.(2023?江西南昌一模)如圖E,F,G,H分別是菱形A3CD的邊A3,BC,

CD,上的點，且BE=2AE,DH=2HA,CF=2FB,CG=2GD,現將△ABD

沿3。折起，得到空間四邊形A3CD,在折起過程中，下列說法正確的是(C)

A

EX^\H

A.直線EEHG有可能平行

B.直線EFHG一定異面

C.直線ER,HG一定相交，且交點一定在直線AC上

D.直線EEHG一定相交，但交點不一定在直線AC上

AEAH1

［解析］,:BE=2AE,DH=2HA,，赤=麗=］，

則EH//BD,且EH=^BD,

CFCC

又CF=2FB,CG=2GD,，赤DF=L"j=U2,

2

則FG//BD,且FG=qBD,

.,.EH//FG,且EHrFG,

二四邊形ERGH為平面四邊形，故直線EF,HG一定共面，故B錯誤；若

直線EF與HG平行，則四邊形EFGH為平行四邊形，可得EH=GF,與EHWFG

矛盾，故A錯誤；

12

由EH〃FG,且EH中FG,EH=qBD,FG=qBD,可得直線石尸，HG一定

相交，設交點為。，則。GER,又ERU平面A3C,可得0G平面ABC,同理,

0G平面ACD,

而平面A3CA平面ACD=AC,：.O^AC,即直線ER,HG一定相交，且交

點一定在直線AC上，故C正確，D錯誤.故選C.

8.過正方體ABCD-AiBiCiDi的頂點A作直線I,使I與棱AB,AD,AAi

所成的角都相等，這樣的直線/可以作（D）

A.1條B.2條

C.3條D.4條

［解析］如圖，連接體對角線AC,顯然AC與棱A3,AD,AAi所成的角都

相等，所成角的正切值都為啦.

聯想正方體的其他體對角線，如連接3D1,則3D1與棱3C,BA,BBi所成

的角都相等，因為BC//AD,

所以體對角線3D與棱AB,AD,A41所成的角都相等，

同理，體對角線AC,DR也與棱AB,AD,A4i所成的角都相等，即過A

點分別作AiC,的平行線都滿足題意，故這樣的直線/可以作4條.故

選D.

二、多選題

9.（2022.吉林長春質檢改編）下列命題中的真命題是（AC）

A.若△ABC的三條邊所在直線分別交平面a于尸，Q,R三點,則P,Q,

R三點共線

B.若直線a,6是異面直線，直線6,c是異面直線，則直線a,c是異面直

線

C.若三條直線a,b,c兩兩平行且分別交直線/于A,B,C三點，則這四

條直線共面

D.對于三條直線a,b,c,若a_Lc,》_La,則c〃6

［解析］由公理3,A正確；易知B錯誤；C正確；若a,b,c是過長方體

一頂點的三條棱，則D錯誤，故選AC.

10.如圖，在正方體中，A、B、C、。分別是頂點或所在棱的中點，則A、

B、C、。四點共面的是（ACD）

DB

yyi

［解析］在A、D中AB〃CD,在C中A3、CD相交，在B中A3、CD異面，

故選ACD.

11.（2024河北秦皇島部分學校聯考）如圖為一正方體的展開圖、則在原正方

體中（BCD）

A.AB//CD

B.ABLCD

C.直線A3與ER所成的角為60°

D.直線CD與ER所成的角為60。

［解析］畫出原正方體如圖所示，由圖可知：A3與CD不平行，A選項錯誤；

根據正方體的性質可知BH=AG,所以四邊形A3HG是平行四邊形，

所以而GHLCD,所以ABLCD,所以B選項正確；根據正方體的性

質可知，△ABC是等邊三角形，直線A3與EF所成的角為NA4C,所以直線A3

與ER所成的角為60。，C選項正確；又△EFD是等邊三角形，直線CD與EF

所成的角為NRCD,所以直線CD與ER所成的角為60。，D選項正確.故選BCD.

A(F)G

12.(2024.江蘇泰州中學調研)如圖，正方體A3CD—AbBiGDi的棱長為a,

線段BbDi上有兩個動點E,F,且EF=拳j,以下結論正確的有(ABC)

A.ACJ.BE

B.點A到平面3ER的距離為定值

C.三棱錐A-BEF的體積是正方體ABCD-AiBiCiD｝體積的七

D.異面直線AE,所成的角為定值

［解析］對于A,根據題意，AC±BD,ACXDDi,且所以

AC,平面BDDLBI,而3EU平面BDDLBI,所以ACL3E,所以A正確；對于B,

A到平面BDDiBi的距離為定值，所以點A到ABEF的距離為定值，所以B正確；

對于C,三棱錐A—BEF的體積為VABEF=^X^EFABBBi-sm45。=與專

a-aX^a=^a3,三棱錐A-BEF的體積是正方體ABC。一ALBCLDI體積的4,

所以C正確；對于D,當點E在》處，R為DLBI的中點時，異面直線AE,BF

所成的角是NFSC,當E在DBi的中點時，R在Bi的位置，異面直線AE,BF

所成的角是NEA41,顯然兩個角不相等，命題D錯誤.故選ABC.

三、填空題

13.如圖，正方體ABCD-AiBiCiDi中，。為上底面的中心，則AO與BiC

所成角的余弦值為

［解析］解法一：設A3、BiCi,CC的中點分別為H、M、N,連接。M,

MH,HN,MN,易知MH//AO,MN//B1C,NHMN或其補角為A0與BiC

2

所成的角，設AB=2,則MN=W，MH=NH=丑:.cos/HMN=J^=￥.

AHB

解法二：如圖建立空間直角坐標系，設A3=2,

則次=(1,-1,-2),函=(2,0,2),記A。與BiC所成的角為1則cos。

\OACBi\_2_^3

|O4||CBi|加X2/6

14.(2022.浙江百校高三下學期開學聯考)如圖，在邊長為2的正方體A3CD

—ALBCLDI中，E,R分別為棱CD,DDi的中點，則平面3ER截該正方體所得

9

截面的面積為

F-7/D

\/E

［解析］連接34、CDi,由E、F分別為CD、的中點知ER^統

所以平面截正方體所得截面為等腰梯形ALBER,且EF=yfi,AiB=2P,

BE=y［5,該梯形的高h=ylBE2-(^lB~EF^2=^,二該截面的面積為:(ALB

9

+EF)-h=2-

15.在正方體A3CD—ALBCLDI中，過點。作直線/與異面直線AC和3。

所成的角均為仇則。的取值范圍為

［解析］如圖，因為AC〃ACi,所以NBC14或其補角為異面直線AC和BCi

所成的角.因為AC=301=43,所以△ALBCI是等邊三角形，所以=

60°,過點3作直線/的平行線-,則當-與NBC1A1的角平分線平行時，。取

nn

得最小值為。.故。的取值范圍為

306,2

B組能力提升

1.(2022.甘肅診斷)在棱長均相等的四面體。43c中，M,N分別是棱。4,

3c的中點，則異面直線MN與AB所成的角的大小為(B)

A.30°B.45°

C.60°D.901

［解析］解法一：取的中點H,連接MH、NH、ON、AN,因M為0A

為中點，統上歸，或其補角為MN與A3所成的角.設四面體的

棱長均為2a,則由題意易知MH=HN=a,MN=y［2a,：.MH2+HN2=MN2,：.

ZMHN=9Q°,從而/HMN=45°.故選B.

解法二：不妨設四面體棱長均為2,記檢=a,AC=b,M）=c,則|a|=|Z>|

=|c|=2,ab=bc=ac=2,又訪/=<（"+萬一c）,記異面直線MN與AB所成的

角為仇則COS。="回=-^^=坐，故選B.

\AW\-\a\<2X224

2.（202年河南實驗中學開學考）如圖，在直三棱柱ABD-AiBrDi中，AD=

BD=AAi,ZDAB=45°,P為BDi的中點，則直線3尸與ADi所成的角的余弦

值為（B）

A.fB.f

C.#D.中

［解析］解法一：取3。中點E,連接ED,AE,直三棱柱ABD—AiBbDi中,

AD=BD=AAi,ZDAB=45°,P為B1D1的中點,：.PDi//BE,PDi=BE,.?.四

邊形BEDiP是平行四邊形，PB〃DiE,ZADiE是直線PB與ADi所成的角(或

所成角的補角)，令AD=BD=AAi=2,則NA3D=45。，且AD±DE,：.AE=

ylAD2+DE1=y[5,ADi=y]AD2+DDi=2^2,?石={5西萬萬=小，/.cosZ

ADiE=也母嚼泮=千，二直線PB與AD所成的角的余弦值為邛.故選

B.

解法二：由題意可知A。、BD、DDi兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標系,

設AD=2,3P與ADi所成角為。.則四i二(—2,0,2),麗=(0,-1,2),Acos0=

麗1?兩4VT5

,.故選B.

\ADi\-m2啦X#5

3.（多選題）（2024.廣東廣州執信中學摸底）已知a,4c是兩兩異面的三條直

線，a_L。，c_l_a,直線d滿足d_l_a,d_LO,aAd=P,bAd=Q,則c與d的位

置關系可以是（BC）

A.相交B.異面

C.平行D.垂直

[解析]如圖，在正方體A3CD—ALBCIDI中，直線a,b,d如圖所示.c

為EDi（E為A4i上不與A、Ai重合的點）時與d異面，B正確；c為DDi時與d

平行，C正確；若c與d相交，則a垂直于c,d確定的平面，又a垂直于。，d

確定的平面，則6,c,d在同一個平面內，即6與c共面，與已知矛盾，A錯誤；

若c與d垂直，則c垂直于a,d確定的平面，而6垂直于a,d確定的平面，推

出6與c平行或重合，與已知矛盾，D錯誤，故選BC.

4.（多選題）用一個平面去截一個幾何體，所得截面的形狀是正方形，則原

來的幾何體可能是（ACD）

A.長方體B.圓臺

C.四棱臺D.正四面體

［解析］對于A：若長方體的底面為正方形，則用平行于底面的平面去截幾

何體，所得截面的形狀是正方形，故A正確；

對于B：圓臺的截面均不可能是正方形，故B錯誤；

對于C：若四棱臺的底面是正方形，則用平行于底面的平面去截幾何體，所

得截面的形狀是正方形，故C正確；

對于D：如圖所示正四面體S—ABC,將其放到正方體中，取S3的中點E,

SC的中點。，取A3的中點孔AC的中點G,依次連接EEFG、GD、DE,則

截面DEFG為正方形，故D正確；故選ACD.

5.（多選題）（2023?河北衡水中學模擬）如圖，正方體A3CD—ALBICLDI的棱長

為1,以下結論正確的是（ABD）

A.異面直線4。與AB所成的角為60°

B.直線AiD與3cl垂直

C.直線4。與平行

D.三棱錐A—ACD的體積為上

［解析］連接在正方體A3CD—ALBICIDI中，5C〃ALD,所以NABC（或

其補角）為異面直線4。與AB所成的角，又在正方體A5CD—ALBICLDI中，AC

=BiC=ABi=^2,所以△ABC為等邊三角形，所以NA3iC=60。，故A正確；

連接BiC,在正方體ABCD-AiBiCiDi中，BiC//AiD,又在正方體ABCD-

ABCbDi中，BiC±BCi,所以直線AD與3cl垂直，故選項B正確；若直線4。

與平行，則Ai,B,D,Di四點共面.又Ai,D,Di在側面ADDiAi上，則

點3也應在側面ADDAi上，這與正方體相矛盾.所以直線4。與3D不平行，

故選項C不正確；三棱錐A—A1CD的體積VA-AlCD=Vc-AAlD=-jXS^AAlDXAB=^

X^X1X1X1=1,所以選項D正確.故選ABD.

6.（2024.安徽皖東智校協作聯盟聯考）如圖，在棱長為。的正方體A3CD—

AI1C1D1中，M,N分別是AAi,CiDi的中點，過。，M,N三點的平面與正方

體的下底面AiBiCiDi相交于直線I.

(1)畫出直線/的位置，并說明作圖依據；

(2)正方體被平面DMN截成兩部分，求較小部分幾何體的體積.

［解析］(1)延長DM交DiAi的延長線于E,連接NE,則NE即為直線/的

位置.

'：DMHDiAi=E,:.EGDMU平面DMN,ECDiAiU平面

.?.EW平面DMNn平面A1B1C1D1,，ENU平面DMNn平面AiBiCiDi,則

NE即為直線l的位置.(也可根據線面平行性質確定直線位置).

(2)設直線I與交于點P,則P為AiBi四等分點，正方體被平面DMN

截成兩部分，較小部分為三棱臺AiPM—DiND,V=3(SAA］PM+SAD/D+

SAA]PM-SAD]DN>AIDI

A

M

A

E提能訓練練案［42］

ftA組基礎鞏固9

一、單選題

1.(2023弓可南鄭州、商丘名師聯盟聯考)過平面a外的直線/,作一組平面與

a相交，若所得交線為a,b,c,…，則這些交線的位置關系為(A)

A.平行或交于同一點B.相交于同一點

C.相交但交于不同的點D.平行

［解析］若/〃a,則/〃a,l//b,l//c,…，，a〃6〃c….若/na=P,則a,

b,c,…交于點P.

2.(2022?黑龍江大慶讓胡路區聯考)已知〃是直線，a是平面，JLm//a,

則下列結論中正確的是（B）

A.nUa,都有機〃〃B.3使機_L〃

C.n//m,都有"〃aD.En^_a,使相〃〃

［解析］由加，〃是直線，a是平面，且相〃a,得：對于A,V〃UQ,則加,

〃平行或異面，故A不正確；對于B,Bn^a,使機_L〃，故B正確；對于C,

\/n//m,則〃〃a或〃UQ,故C不正確；對于D,若〃_La,因為用〃a,所以相

J_n,故D不正確，故選B.

3.（2023?山東濟寧期末）已知加、〃為兩條不重合的直線，a、￡為兩個不重

合的平面，則下列說法正確的是（C）

①若根〃a,R//§豆a//則加〃"

②若根〃〃，ml-a,〃_L￡,貝Ua〃4

③若加〃幾，nUa,a〃/，m邛,則加〃夕

④若加〃幾，ri-La,a.L/3,則加〃夕

A.①②B.①③

C.②③D.②④

［解析］在①中的條件下，加〃〃或用與幾相交或相、〃異面，①錯;

mHnn-La

又0‘今。"B，②正確;

n邛,

n///3y

m//n\^m//13,③正確;

m邛J

milnmIa

.\今m〃B或mup,④錯，故選C.

n.LaJa邛.

4.（2023?廣東湛江調研測試）如圖，在長方體ABC。一ALBICLDI中，M是棱

CLDI的中點，則（D）

A.BiC〃平面ALBM

B.ALBI〃平面

C.〃平面ACDi

D.BCi〃平面AiMC

［解析］因為3IC〃ALD,4。與平面ALBM相交，所以&C與平面ALBM不

平行，故A錯誤；因為ALBI〃A3,A3與平面相交，所以ALBI與平面

不平行，故B錯誤；取A3的中點E,連接DiE（圖略），則DiE〃BM.因為DiE

與平面ACDi相交，所以與平面ACDi不平行，故C錯誤；取ALBI的中點N,

連接CMBN（圖略），易知平面3GN〃平面4MC,故D正確.

5.如圖，在正方體A3CD—ALBICLD］中，E,R分別為棱A3,CCi的中點，

在平面ADD14內且與平面DiER平行的直線（D）

A.不存在B.有1條

C.有2條D.有無數條

［解析］由題設知平面ADDiA與平面DiER有公共點。1,由平面的基本性

質中的公理知必有過該點的公共直線/,在平面ADD14內與/平行的線有無數條,

且它們都不在平面DxEF內，由線面平行的判定定理知它們都與平面DiEF平行.

6.（2024.陜西漢中校際聯考）設a,夕，/為不同的平面,m,〃為不同的直線,

則a/邛的一個充分條件是（B）

A.a_Ly,jB-Ly

B.m_La,幾_L￡,m//n

C.a內有無數條直線與夕平行

D.a內有不共線的三點到夕的距離相等

ml.a,n.La,

［解析］如圖,可知A錯誤;m//n今2,

7

a

//P，B正確；由圖/二，可知C錯誤；符合條件D的平面可能

相交，D錯誤.

7.(2022.西南名校聯盟月考)如圖，在正方體A3CD—A山CLDI中，點M為棱

BC的中點，用平行于體對角線BDi且過點A,M的平面去截正方體ABCD-

AiBiCiDi,得到的截面的形狀是(C)

A.五邊形B.平行四邊形

C.梯形D.以上都不對

［解析］設截面為a,；皮平面3DbDna=0P,...3Di〃0P,且器

BOBM1

=OD=AD=2,

又設an平面BC1=MN,則由平面AD1〃平面3C1,aA平面ADi=AP,ctA

平面3Ci=MN知A尸〃MN,顯然APWMN,，截面AMNP為梯形，故選C.

8.(2022.安徽安慶模擬)在正方體A3CD—ALBIGDi中，M、N、。分別是棱

2

DiCi,AiDi,3c的中點，點P在上且3尸=三。1,則下列說法中正確的個

數是(B)

①MN〃平面APC②GQ〃平面APC③A、P、M三點共線④平面MNQ

〃平面APC

A.1B.2

C.3D.4

［解析］對于①，連接MN,AC,則MN〃AC,連接AM、CN,

5M￡

AB

易得AM、CN交于點P,即MNU平面APC,

所以MN〃平面APC是錯誤的；

對于②，由①知M、N在平面APC內，由題易知AN〃CQ,所以〃平

面APC是正確的；

對于③，由①知，A,P,M三點共線是正確的；

對于④，由①知MNU平面APC,又MNU平面MNQ,所以平面MNQ〃平

面APC是錯誤的.故選B.

二、多選題

9.(2023?湖北荊州中學期末)下圖是一個正方體的平面展開圖，則在該正方

體中，下列敘述正確的有(ACD)

A.AHLFC

B.AC//BG

C.3。與RC所成的角為60°

D.AC〃平面3EG

［解析］將平面展開圖以ABCD為下底面，折起還原為正方體，各頂點的字

母標記如圖所示，連接DE,AH±DE,FC//DE,：.AH±FC,故A正確；AC

//EG,EG與BG相交，，AC與3G顯然不平行，故B錯誤；

'SDE//CF,為等邊三角形，:./BDE=60。,故異面直線3。與RC

所成的角為60°,故C正確;

：AC〃EG,ACC平面3EG,EGU平面BEG,，AC〃平面BEG,故D正確.故

選ACD.

10.（2024.廣東佛山南海區摸底）如圖，在下列四個正方體中，A,B為正方

體的兩個頂點，M,N,。為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線A3與

平面MNQ平行的是（BCD）

［解析］0Q〃A3,。。與平面MNQ是相交的位置關系，故A3和平面MNQ

不平行，故A錯誤；

A

Q

由于AB〃CD〃MQ,結合線面平行判定定理可知A3〃平面MNQ,故B正

確；

由于AB〃CD〃MQ,結合線面平行判定定理可知A3〃平面MAQ,故C正

確；

由于A3〃CD〃N。，結合線面平行判定定理可知A3〃平面MNQ,故D正

確；故選BCD。

三、填空題

11.（2023?廣西桂林二模）已知a,b,c為三條不重合的直線，a,4為兩個不

重合的平面，給出下列四個命題：@a//b,b//c^a//c；@a//a,b//a=^a//b；

@a//a,p//a^a//p；④屋ta,"a,a〃。0a〃a.其中正確的命題是一①④一.（寫

出所有正確命題的序號）

［解析］根據線線平行的傳遞性，可知①正確；若。〃a,b//a,則a,6可

能平行、相交、異面，故②不正確；若?！╝,p//a,則a〃4或aU.,故③不正

確；由線面平行的判定定理可知④正確.故正確的命題是①④.

12.已知平面a〃A，點A,CGa,B,D”直線A3與直線CD父于點S,

且AS=8,BS=9,CD=34,則CS的長為16或272.

［解析］本題主要考查兩平面平行的性質定理.①當點S在兩平行平面之間

時，如圖1所示，:?直線A3與直線CD交于點S,直線A3與直線CD可確定一

ASCSAS

加+班

個平面％且any=AC,40/=3?！?七〃小，AC〃JBD,.?.通=而，即

=號，得?="，解得CS=16.②當點S在兩平行平面的同側時，如圖2所示,

8

即-

由①知AC//3D,則有衣=9CS+34'解得

ndCS=272.

13.（2022.江西南昌模擬）在直三棱柱ABC—AB。中，D,E,F,M,N分

別是3C,BiCi,AAi,CCi,AC的中點，

給出下列四個判斷：

①ER〃平面ADBi；

②〃平面ADB；

③EN〃平面AD31；

④平面ADR；

則錯誤的序號為一①

［解析］由AiE〃AD,EC〃3LD易知平面ADBi〃平面ALEC,顯然ER與平

面AiEC相交，從而ER與平面ADR相交，①錯；又EM與BLD相交，從而EM

與平面AD為相交，②錯；由ENU平面AEC知EN〃平面AD51,③對；又

與平面AiEC相交，從而與平面ADBi相交，④錯.

四、解答題

14.（2023?天津聯考（節選））已知底面ABCD是正方形，以，平面A3CD,PA

//DQ,R4=AD=3DQ=3,點E、R分別為線段P&CQ的中點.

求證：EE〃平面必。。.

［證明］證法一：分別取DQ、出的中點M,N,連接EN,FM,MN.

由E為尸3的中點知EN^AB,

同理尺CD,

又A3CD為正方形，：.AB^CD,

:.EN統FM,.?.EAM'為平行四邊形，

又EFQ平面PADQ,MNU平面PADQ,

〃平面PADQ.

證法二：分別取A3、CD的中點G、H,連接EG、GH、FH,

又E、R分別為線段PS、CQ的中點.

所以EG〃必，FH//QD,

因為必〃DQ,所以EG〃FH,

所以點E、G、H、歹四點共面，

因為G、H分別為A3、CD的中點，所以GH〃AD,

因為ADU平面ADQP,平面ADQP,所以GH〃平面ADQP,

又因為FH//QD,QDu平面ADQP,FHQ平面ADQP,所以FH//平面ADQP,

又因為FHCGH=H,FH、GHU平面EGHR,

所以平面EGHF〃平面ADQP,

因為EFU平面EGHF,所以EF//平面ADQP.

證法三：因為A3CD為正方形，且以，平面A3CD,所以AP、AB.AD兩

兩互相垂直，

以點A為坐標原點，以A3、AD,AP所在直線分別為x、y、z軸建立如下

圖所示的空間直角坐標系，

則尸(0,0,3)、C(3,3,0)、Q(0,3,l)、3(3,0,0)、E1|,0,|)、?|,3,

所以前=(0,3,-1),易知平面必DQ的一個法向量。=(1,0,0),所以a?而=

0,所以前，a,

又因為EFQ平面ADQP,所以EF//平面ADQP.

15.(2024.四川南充零診(節選))如圖，在圓錐。。中，。為圓錐頂點，AB為

圓錐底面的直徑，。為底面圓的圓心，C為底面圓周上一點，四邊形。4ED為矩

形，且AC=1,3C=小.若R為3c的中點，求證：DR〃平面ACE.

［證明］證法一：連接DR、OF,

在△ABC中，0、R分別為A3、BC的中點，

所以OR〃AC,

因為ACU平面ACE,。閃平面ACE,

所以OR〃平面ACE,在矩形OAED中，OD〃AE,

同理可得。。〃平面ACE,

又。R0。。=。，OF,ODU平面。。凡

所以平面ODR〃平面ACE,

因為DRU平面ODF,

所以DR〃平面ACE.

證法二：延長3D、AE交于H,連接HC,

YAODE為矩形，

：.OD//AE,

又。為A3的中點，

二。為的中點，

又R為3C的中點，

S.DF//HC,

又DRI平面ACE,

HCU平面ACE,

二。R〃平面ACE.

證法三：取AC的中點H,連接FH,

DE

C

：R為3C的中點，，FH^AB^AO,

又AODE為矩形,

：.AODE,S.FH^DE,

即FHED為平行四邊形,

S.DF//EH,

又DR1平面ACE,EHU平面ACE,

〃平面ACE.

B組能力提升

1.(2024.福建莆田八中月考)如圖是正方體的平面展開圖.關于這個正方體,

有以下判斷:

①EC,平面ARN

②CN〃平面AEB

?BM//DE

④平面3DE〃平面NCF

其中正確判斷的序號是(C)

A.①③B.②③

C.①②④D.②③④

［解析］還原正方體如圖ECLAR,EC1FN,從而EC,平面ARN,??.①正

確；平面CMW〃平面ABR,；.CN〃平面ABR,...②正確；5MLDE,.?.③錯誤;

NF//BD,FC//DE,平面3DE〃平面NCR,.?.④正確.故選C.

2.（多選題）（2022.遼寧沈陽模擬）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為梯形,

AB//CD,則（ABD）

A.平面PAD內任意一條直線都不與3C平行

B.平面PBC內存在無數條直線與平面PAD平行

C.平面PAB和平面PCD的交線不與底面ABCD平行

D.平面以。和平面P3C的交線不與底面A3CD平行

［解析］若平面心。