山東省牟平一中2025屆高三下學期質量監控（二模）數學試題試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設為坐標原點，是以為焦點的拋物線上任意一點，是線段上的點，且,則直線的斜率的最大值為()A． B． C． D．12．已知函數，若有2個零點，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．3．已知數列為等差數列，為其前項和，，則（）A．7 B．14 C．28 D．844．已知函數，若對于任意的，函數在內都有兩個不同的零點，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．5．已知雙曲線的右焦點為為坐標原點，以為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點及點，則雙曲線的方程為（）A． B． C． D．6．設命題p:>1,n2>2n,則p為（）A． B．C． D．7．函數的圖象的大致形狀是（）A． B． C． D．8．已知函數fx=sinωx+π6+A．16,13 B．19．在邊長為1的等邊三角形中，點E是中點，點F是中點，則（）A． B． C． D．10．設復數滿足，在復平面內對應的點的坐標為則（）A． B．C． D．11．已知，則p是q的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件12．已知的展開式中第項與第項的二項式系數相等，則奇數項的二項式系數和為（）．A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過直線上一動點向圓引兩條切線MA，MB，切點為A，B，若，則四邊形MACB的最小面積的概率為________．14．若，則______.15．設全集，集合，，則集合______.16．已知復數（為虛數單位），則的共軛復數是_____，_____．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設數列，其前項和，又單調遞增的等比數列，，.(Ⅰ)求數列，的通項公式；(Ⅱ)若，求數列的前n項和，并求證：.18．（12分）如圖，在直三棱柱中，分別是中點，且，.求證：平面；求點到平面的距離.19．（12分）十八大以來，黨中央提出要在2020年實現全面脫貧，為了實現這一目標，國家對“新農合”（新型農村合作醫療）推出了新政，各級財政提高了對“新農合”的補助標準．提高了各項報銷的比例，其中門診報銷比例如下：表1：新農合門診報銷比例醫院類別村衛生室鎮衛生院二甲醫院三甲醫院門診報銷比例60%40%30%20%根據以往的數據統計，李村一個結算年度門診就診人次情況如下：表2：李村一個結算年度門診就診情況統計表醫院類別村衛生室鎮衛生院二甲醫院三甲醫院一個結算年度內各門診就診人次占李村總就診人次的比例70%10%15%5%如果一個結算年度每人次到村衛生室、鎮衛生院、二甲醫院、三甲醫院門診平均費用分別為50元、100元、200元、500元．若李村一個結算年度內去門診就診人次為2000人次．（Ⅰ）李村在這個結算年度內去三甲醫院門診就診的人次中，60歲以上的人次占了80%，從去三甲醫院門診就診的人次中任選2人次，恰好2人次都是60歲以上人次的概率是多少？（Ⅱ）如果將李村這個結算年度內門診就診人次占全村總就診人次的比例視為概率，求李村這個結算年度每人次用于門診實付費用（報銷后個人應承擔部分）的分布列與期望．20．（12分）已知數列的前項和為，且滿足（）.（1）求數列的通項公式；（2）設（），數列的前項和.若對恒成立，求實數，的值.21．（12分）已知點、分別在軸、軸上運動，，．（1）求點的軌跡的方程；（2）過點且斜率存在的直線與曲線交于、兩點，，求的取值范圍．22．（10分）對于正整數，如果個整數滿足，且，則稱數組為的一個“正整數分拆”.記均為偶數的“正整數分拆”的個數為均為奇數的“正整數分拆”的個數為.(Ⅰ)寫出整數4的所有“正整數分拆”;(Ⅱ)對于給定的整數，設是的一個“正整數分拆”，且，求的最大值;(Ⅲ)對所有的正整數，證明:;并求出使得等號成立的的值.(注:對于的兩個“正整數分拆”與，當且僅當且時，稱這兩個“正整數分拆”是相同的.)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】試題分析：設，由題意，顯然時不符合題意，故，則，可得：，當且僅當時取等號，故選C．考點：1．拋物線的簡單幾何性質；2．均值不等式．【方法點晴】本題主要考查的是向量在解析幾何中的應用及拋物線標準方程方程，均值不等式的靈活運用，屬于中檔題．解題時一定要注意分析條件，根據條件，利用向量的運算可知，寫出直線的斜率，注意均值不等式的使用，特別是要分析等號是否成立，否則易出問題．2．C【解析】

令，可得，要使得有兩個實數解，即和有兩個交點，結合已知，即可求得答案.【詳解】令，可得，要使得有兩個實數解，即和有兩個交點，，令，可得，當時，，函數在上單調遞增；當時，，函數在上單調遞減.當時，，若直線和有兩個交點，則.實數的取值范圍是.故選：C.【點睛】本題主要考查了根據零點求參數范圍，解題關鍵是掌握根據零點個數求參數的解法和根據導數求單調性的步驟，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.3．D【解析】

利用等差數列的通項公式，可求解得到，利用求和公式和等差中項的性質，即得解【詳解】，解得．．故選：D【點睛】本題考查了等差數列的通項公式、求和公式和等差中項，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于中檔題.4．D【解析】

將原題等價轉化為方程在內都有兩個不同的根，先求導，可判斷時，，是增函數；當時，，是減函數.因此，再令，求導得，結合韋達定理可知，要滿足題意，只能是存在零點，使得在有解，通過導數可判斷當時，在上是增函數；當時，在上是減函數；則應滿足，再結合，構造函數，求導即可求解；【詳解】函數在內都有兩個不同的零點，等價于方程在內都有兩個不同的根.，所以當時，，是增函數；當時，，是減函數.因此.設，，若在無解，則在上是單調函數，不合題意；所以在有解，且易知只能有一個解.設其解為，當時，在上是增函數；當時，在上是減函數.因為，方程在內有兩個不同的根，所以，且.由，即，解得.由，即，所以.因為，所以，代入，得.設，，所以在上是增函數，而，由可得，得.由在上是增函數，得.綜上所述，故選：D.【點睛】本題考查由函數零點個數求解參數取值范圍問題，構造函數法，導數法研究函數增減性與最值關系，轉化與化歸能力，屬于難題5．C【解析】

根據雙曲線方程求出漸近線方程：，再將點代入可得，連接，根據圓的性質可得，從而可求出，再由即可求解.【詳解】由雙曲線，則漸近線方程：，，連接，則，解得，所以，解得.故雙曲線方程為.故選：C【點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質，需掌握雙曲線的漸近線求法，屬于中檔題.6．C【解析】根據命題的否定，可以寫出：，所以選C.7．B【解析】

根據函數奇偶性，可排除D；求得及，由導函數符號可判斷在上單調遞增，即可排除AC選項.【詳解】函數易知為奇函數，故排除D.又，易知當時，；又當時，，故在上單調遞增，所以，綜上，時，，即單調遞增.又為奇函數，所以在上單調遞增，故排除A，C.故選：B【點睛】本題考查了根據函數解析式判斷函數圖象，導函數性質與函數圖象關系，屬于中檔題.8．A【解析】

將fx整理為3sinωx+π3，根據x的范圍可求得ωx+π3∈π【詳解】f當x∈0,π時，又f0=3sin由fx在0,π上的值域為32解得：ω∈本題正確選項：A【點睛】本題考查利用正弦型函數的值域求解參數范圍的問題，關鍵是能夠結合正弦型函數的圖象求得角的范圍的上下限，從而得到關于參數的不等式.9．C【解析】

根據平面向量基本定理，用來表示，然后利用數量積公式，簡單計算，可得結果.【詳解】由題可知：點E是中點，點F是中點，所以又所以則故選：C【點睛】本題考查平面向量基本定理以及數量積公式，掌握公式，細心觀察，屬基礎題.10．B【解析】

根據共軛復數定義及復數模的求法，代入化簡即可求解.【詳解】在復平面內對應的點的坐標為，則，，∵，代入可得，解得.故選：B.【點睛】本題考查復數對應點坐標的幾何意義，復數模的求法及共軛復數的概念，屬于基礎題.11．B【解析】

根據誘導公式化簡再分析即可.【詳解】因為,所以q成立可以推出p成立,但p成立得不到q成立,例如,而,所以p是q的必要而不充分條件.故選：B【點睛】本題考查充分與必要條件的判定以及誘導公式的運用,屬于基礎題.12．D【解析】因為的展開式中第4項與第8項的二項式系數相等，所以，解得，所以二項式中奇數項的二項式系數和為．考點：二項式系數，二項式系數和．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．.【解析】

先求圓的半徑,四邊形的最小面積,轉化為的最小值為，求出切線長的最小值,再求的距離也就是圓心到直線的距離,可解得的取值范圍,利用幾何概型即可求得概率．【詳解】由圓的方程得，所以圓心為，半徑為，四邊形的面積，若四邊形的最小面積，所以的最小值為，而，即的最小值，此時最小為圓心到直線的距離，此時，因為，所以，所以的概率為．【點睛】本題考查直線與圓的位置關系,及與長度有關的幾何概型,考查了學生分析問題的能力,難度一般.14．【解析】

直接利用關系式求出函數的被積函數的原函數，進一步求出的值．【詳解】解：若，則，即，所以．故答案為：．【點睛】本題考查的知識要點：定積分的應用，被積函數的原函數的求法，主要考查學生的運算能力和轉換能力及思維能力，屬于基礎題．15．【解析】

分別解得集合A與集合B的補集，再由集合交集的運算法則計算求得答案.【詳解】由題可知，集合A中集合B的補集，則故答案為：【點睛】本題考查集合的交集與補集運算，屬于基礎題.16．【解析】

直接利用復數的乘法運算化簡，從而得到復數的共軛復數和的模．【詳解】，則復數的共軛復數為，且.故答案為：；.【點睛】本題考查了復數代數形式的乘除運算，考查了復數的基本概念，是基礎的計算題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1），；（2）詳見解析.【解析】

（1）當時，，當時，，當時，也滿足，∴，∵等比數列，∴，∴，又∵，∴或（舍去），∴；（2）由（1）可得：，∴，顯然數列是遞增數列，∴，即.）18．（1）詳見解析；（2）.【解析】

（1）利用線面垂直的判定定理和性質定理即可證明；（2）取中點為,則,證得平面,利用等體積法求解即可.【詳解】（1）因為，，，是的中點，，為直三棱柱，所以平面，因為為中點，所以平面，，又,平面（2），又分別是中點，.由（1）知，,又平面,取中點為,連接如圖,則，平面，設點到平面的距離為，由，得，即，解得，點到平面的距離為.【點睛】本題考查線面垂直的判定定理和性質定理、等體積法求點到面的距離；考查邏輯推理能力和運算求解能力；熟練掌握線面垂直的判定定理和性質定理是求解本題的關鍵；屬于中檔題.19．（Ⅰ）；（Ⅱ）的發分布列為：X2060140400P0.70.10.150.05期望．【解析】

（Ⅰ）由表2可得去各個門診的人次比例可得2000人中各個門診的人數，即可知道去三甲醫院的總人數，又有60歲所占的百分比可得60歲以上的人數，進而求出任選2人60歲以上的概率；（Ⅱ）由去各門診結算的平均費用及表1所報的百分比可得隨機變量的可能取值，再由概率可得的分布列，進而求出概率．【詳解】解：（Ⅰ）由表2可得李村一個結算年度內去門診就診人次為2000人次，分別去村衛生室、鎮衛生院、二甲醫院、三甲醫院人數為，，，，而三甲醫院門診就診的人次中，60歲以上的人次占了，所以去三甲醫院門診就診的人次中，60歲以上的人數為：人，設從去三甲醫院門診就診的人次中任選2人次，恰好2人次都是60歲以上人次的事件記為，則；（Ⅱ）由題意可得隨機變量的可能取值為：，，，，，，，，所以的發分布列為：X2060140400P0.70.10.150.05所以可得期望．【點睛】本題主要考查互斥事件、隨機事件的概率計算公式、分布列及其數學期望、組合計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．20．（1）（2），.【解析】

（1）根據數列的通項與前n項和的關系式，即求解數列的通項公式；（2）由（1）可得，利用等比數列的前n項和公式和裂項法，求得，結合題意，即可求解.【詳解】（1）由題意，當時，由，解得；當時，可得，即，顯然當時上式也適合，所以數列的通項公式為.（2）由（1）可得，所以.因為對恒成立，所以，.【點睛】本題主要考查了數列的通項公式的求解，等差數列的前n項和公式，以及裂項法求和的應用，其中解答中熟記等差、等比數列的通項公式和前n項和公式，以及合理利用“裂項法”求和是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題.21．（1）（2）【解析】

(1)設坐標后根據向量的坐標運算即可得到軌跡方程.(2)聯立直線和橢圓方程