四川省成都市溫江區2025年下學期高三數學試題第二次（5月）階段檢測試題考試試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數，則的值等于（）A．2018 B．1009 C．1010 D．20202．某三棱錐的三視圖如圖所示，那么該三棱錐的表面中直角三角形的個數為（）A．1 B．2 C．3 D．03．點在所在的平面內，，，，，且，則（）A． B． C． D．4．已知雙曲線的左焦點為，直線經過點且與雙曲線的一條漸近線垂直，直線與雙曲線的左支交于不同的兩點，，若，則該雙曲線的離心率為（）．A． B． C． D．5．若復數滿足，則對應的點位于復平面的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．（）A． B． C． D．7．如圖，在正四棱柱中，，分別為的中點，異面直線與所成角的余弦值為，則()A．直線與直線異面，且 B．直線與直線共面，且C．直線與直線異面，且 D．直線與直線共面，且8．設，是非零向量，若對于任意的，都有成立，則A． B． C． D．9．已知點是拋物線的對稱軸與準線的交點，點為拋物線的焦點，點在拋物線上且滿足，若取得最大值時，點恰好在以為焦點的橢圓上，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．10．已知為虛數單位，實數滿足，則()A．1 B． C． D．11．執行下面的程序框圖，則輸出的值為（）A． B． C． D．12．已知函數在區間上恰有四個不同的零點，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若一組樣本數據7，9，，8，10的平均數為9，則該組樣本數據的方差為______.14．戊戌年結束，己亥年伊始，小康，小梁，小譚，小楊，小劉，小林六人分成四組，其中兩個組各2人，另兩個組各1人，分別奔赴四所不同的學校參加演講，則不同的分配方案有_________種（用數字作答），15．已知多項式的各項系數之和為32，則展開式中含項的系數為______．16．已知，，，且，則的最小值為___________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）（選修4-4：坐標系與參數方程）在平面直角坐標系，已知曲線（為參數），在以原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立的極坐標系中，直線的極坐標方程為．（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程；（2）過點且與直線平行的直線交于，兩點，求點到，的距離之積．18．（12分）某企業原有甲、乙兩條生產線，為了分析兩條生產線的效果，先從兩條生產線生產的大量產品中各抽取了100件產品作為樣本，檢測一項質量指標值．該項指標值落在內的產品視為合格品，否則為不合格品．乙生產線樣本的頻數分布表質量指標合計頻數2184814162100（1）根據甲生產線樣本的頻率分布直方圖，以從樣本中任意抽取一件產品且為合格品的頻率近似代替從甲生產線生產的產品中任意抽取一件產品且為合格品的概率，估計從甲生產線生產的產品中任取5件恰有2件為合格品的概率；（2）現在該企業為提高合格率欲只保留其中一條生產線，根據上述圖表所提供的數據，完成下面的列聯表，并判斷是否有90%把握認為該企業生產的這種產品的質量指標值與生產線有關？若有90%把握，請從合格率的角度分析保留哪條生產線較好？甲生產線乙生產線合計合格品不合格品合計附：，．0.1500.1000.0500.0250.0100.0052.0722.7063.8415.0246.6357.87919．（12分）已知函數．（1）若關于的不等式的整數解有且僅有一個值，當時，求不等式的解集；（2）已知，若，使得成立，求實數的取值范圍．20．（12分）已知（1）若，且函數在區間上單調遞增，求實數a的范圍；（2）若函數有兩個極值點，且存在滿足，令函數，試判斷零點的個數并證明．21．（12分）在平面直角坐標系中，已知直線l的參數方程為（t為參數），在以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，且與直角坐標系長度單位相同的極坐標系中，曲線C的極坐標方程是.（1）求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標方程；（2）若直線l與曲線C相交于兩點A，B，求線段的長.22．（10分）隨著現代社會的發展，我國對于環境保護越來越重視，企業的環保意識也越來越強.現某大型企業為此建立了5套環境監測系統，并制定如下方案：每年企業的環境監測費用預算定為1200萬元，日常全天候開啟3套環境監測系統，若至少有2套系統監測出排放超標，則立即檢查污染源處理系統；若有且只有1套系統監測出排放超標，則立即同時啟動另外2套系統進行1小時的監測，且后啟動的這2套監測系統中只要有1套系統監測出排放超標，也立即檢查污染源處理系統.設每個時間段（以1小時為計量單位）被每套系統監測出排放超標的概率均為，且各個時間段每套系統監測出排放超標情況相互獨立.（1）當時，求某個時間段需要檢查污染源處理系統的概率；（2）若每套環境監測系統運行成本為300元/小時（不啟動則不產生運行費用），除運行費用外，所有的環境監測系統每年的維修和保養費用需要100萬元.現以此方案實施，問該企業的環境監測費用是否會超過預算(全年按9000小時計算)？并說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

首先，根據二倍角公式和輔助角公式化簡函數解析式，根據所求函數的周期性，得到其周期為4，然后借助于三角函數的周期性確定其值即可．【詳解】解：．，，的周期為，，，，，．．故選：C【點睛】本題重點考查了三角函數的圖象與性質、三角恒等變換等知識，掌握輔助角公式化簡函數解析式是解題的關鍵，屬于中檔題．2、C【解析】

由三視圖還原原幾何體，借助于正方體可得三棱錐的表面中直角三角形的個數.【詳解】由三視圖還原原幾何體如圖，其中，，為直角三角形.∴該三棱錐的表面中直角三角形的個數為3.故選：C.【點睛】本小題主要考查由三視圖還原為原圖，屬于基礎題.3、D【解析】

確定點為外心，代入化簡得到，，再根據計算得到答案.【詳解】由可知，點為外心，則，，又，所以①因為，②聯立方程①②可得，，，因為，所以，即．故選：【點睛】本題考查了向量模長的計算，意在考查學生的計算能力.4、A【解析】

直線的方程為，令和雙曲線方程聯立，再由得到兩交點坐標縱坐標關系進行求解即可.【詳解】由題意可知直線的方程為,不妨設.則，且將代入雙曲線方程中，得到設則由，可得，故則，解得則所以雙曲線離心率故選：A【點睛】此題考查雙曲線和直線相交問題，聯立直線和雙曲線方程得到兩交點坐標關系和已知條件即可求解，屬于一般性題目.5、D【解析】

利用復數模的計算、復數的除法化簡復數，再根據復數的幾何意義，即可得答案；【詳解】，對應的點，對應的點位于復平面的第四象限.故選：D.【點睛】本題考查復數模的計算、復數的除法、復數的幾何意義，考查運算求解能力，屬于基礎題.6、D【解析】

利用，根據誘導公式進行化簡，可得，然后利用兩角差的正弦定理，可得結果.【詳解】由所以，所以原式所以原式故故選：D【點睛】本題考查誘導公式以及兩角差的正弦公式，關鍵在于掌握公式，屬基礎題.7、B【解析】

連接，，，，由正四棱柱的特征可知，再由平面的基本性質可知，直線與直線共面.，同理易得，由異面直線所成的角的定義可知，異面直線與所成角為，然后再利用余弦定理求解.【詳解】如圖所示：連接，，，，由正方體的特征得，所以直線與直線共面.由正四棱柱的特征得，所以異面直線與所成角為.設，則，則，，，由余弦定理，得.故選：B【點睛】本題主要考查異面直線的定義及所成的角和平面的基本性質，還考查了推理論證和運算求解的能力，屬于中檔題.8、D【解析】

畫出，，根據向量的加減法，分別畫出的幾種情況，由數形結合可得結果.【詳解】由題意，得向量是所有向量中模長最小的向量，如圖，當，即時，最小，滿足，對于任意的，所以本題答案為D.【點睛】本題主要考查了空間向量的加減法，以及點到直線的距離最短問題，解題的關鍵在于用有向線段正確表示向量，屬于基礎題.9、B【解析】

設，利用兩點間的距離公式求出的表達式，結合基本不等式的性質求出的最大值時的點坐標，結合橢圓的定義以及橢圓的離心率公式求解即可.【詳解】設，因為是拋物線的對稱軸與準線的交點，點為拋物線的焦點，所以，則，當時，，當時，，當且僅當時取等號，此時，，點在以為焦點的橢圓上，，由橢圓的定義得，所以橢圓的離心率，故選B.【點睛】本題主要考查橢圓的定義及離心率，屬于難題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個重點也是難點，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出;②構造的齊次式，求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解．10、D【解析】，則故選D.11、D【解析】

根據框圖，模擬程序運行，即可求出答案.【詳解】運行程序，，

，，，，，結束循環，故輸出，故選：D.【點睛】本題主要考查了程序框圖，循環結構，條件分支結構，屬于中檔題.12、A【解析】

函數的零點就是方程的解，設，方程可化為，即或，求出的導數，利用導數得出函數的單調性和最值，由此可根據方程解的個數得出的范圍．【詳解】由題意得有四個大于的不等實根，記，則上述方程轉化為，即，所以或．因為，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；所以在處取得最小值，最小值為．因為，所以有兩個符合條件的實數解，故在區間上恰有四個不相等的零點，需且．故選：A．【點睛】本題考查復合函數的零點．考查轉化與化歸思想，函數零點轉化為方程的解，方程的解再轉化為研究函數的性質，本題考查了學生分析問題解決問題的能力．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

根據題意，由平均數公式可得，解得的值，進而由方差公式計算，可得答案．【詳解】根據題意，數據7，9，，8，10的平均數為9，則，解得：，則其方差.故答案為：1．【點睛】本題考平均數、方差的計算，考查運算求解能力，求解時注意求出的值，屬于基礎題．14、1080【解析】

按照先分組，再分配的分式，先將六人分成四組，其中兩個組各2人，另兩個組各1人有種，再分別奔赴四所不同的學校參加演講有種，然后用分步計數原理求解.【詳解】將六人分成四組，其中兩個組各2人，另兩個組各1人有種，再分別奔赴四所不同的學校參加演講有種，則不同的分配方案有種.故答案為：1080【點睛】本題主要考查分組分配問題，還考查了理解辨析的能力，屬于中檔題.15、【解析】

令可得各項系數和為，得出,根據第一個因式展開式的常數項與第二個因式的展開式含一次項的積與第一個因式展開式含x的一次項與第二個因式常數項的積的和即為展開式中含項，可得解.【詳解】令，則得，解得，所以展開式中含項為：，故答案為：【點睛】本題主要考查了二項展開式的系數和，二項展開式特定項，賦值法，屬于中檔題.16、【解析】

由，先將變形為，運用基本不等式可得最小值，再求的最小值，運用函數單調性即可得到所求值.【詳解】解：因為，，，且，所以因為，所以，當且僅當時，取等號，所以令，則，令，則，所以函數在上單調遞增，所以所以則所求最小值為故答案為：【點睛】此題考查基本不等式的運用：求最值，注意變形和滿足的條件：一正二定三相等，考查利用單調性求最值，考查化簡和運算能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）曲線：，直線的直角坐標方程；（2）1.【解析】試題分析：（1）先根據三角函數平方關系消參數得曲線化為普通方程，再根據將直線的極坐標方程化為直角坐標方程；（2）根據題意設直線參數方程，代入C方程，利用參數幾何意義以及韋達定理得點到，的距離之積試題解析：（1）曲線化為普通方程為：，由，得，所以直線的直角坐標方程為．（2）直線的參數方程為（為參數），代入化簡得：，設兩點所對應的參數分別為，則，．18、（1）0.0081（2）見解析，保留乙生產線較好．【解析】

(1)先求出任取一件產品為合格品的頻率，“從甲生產線生產的產品中任取5件，恰有2件為合格品”就相當于進行5次獨立重復試驗，恰好發生2次的概率用二項分布概率即可解決.(2)獨立性檢驗算出的觀測值即可判斷.【詳解】（1）根據甲生產線樣本的頻率分布直方圖，樣本中任取一件產品為合格品的頻率為：．設“從甲生產線生產的產品中任取一件且為合格品”為事件，事件發生的概率為，則由樣本可估計．那么“從甲生產線生產的產品中任取5件，恰有2件為合格品”就相當于進行5次獨立重復試驗，事件恰好發生2次，其概率為：．（2）列聯表：甲生產線乙生產線合計合格品9096186不合格品10414合計100100200的觀測值，∵，，∴有90%把握認為該企業生產的這種產品的質量指標值與生產線有關．由（1）知甲生產線的合格率為0.9，乙生產線的合格率為，∵，∴保留乙生產線較好．【點睛】此題考查獨立重復性檢驗二項分布概率，獨立性檢驗等知識點，認準特征代入公式即可，屬于較易題目.19、（1）（2）【解析】

（1）求解不等式，結合整數解有且僅有一個值，可得，分類討論，求解不等式，即得解；（2）轉化，使得成立為，利用不等式性質，求解二次函數最小值，代入解不等式即可.【詳解】（1）不等式，即，所以，由，解得．因為，所以，當時，，不等式等價于或或即或或，故，故不等式的解集為．（2）因為，由，可得，又由，使得成立，則，解得或．故實數的取值范圍為．【點睛】本題考查了絕對值不等式的求解和恒成立問題，考查了學生轉化劃歸，分類討論，數學運算的能力，屬于中檔題.20、（1）（2）函數有兩個零點和【解析】試題分析：（1）求導后根據函數在區間單調遞增，導函數大于或等于0（2）先判斷為一個零點，然后再求導，根據，化簡求得另一個零點。解析：（1）當時，，因為函數在上單調遞增，所以當時，恒成立．[來源:Z&X&X&K]函數的對稱軸為．①，即時，，即，解之得，解集為空集；②，即時，即，解之得，所以③，即時，即，解之得，所以綜上所述，當函數在區間上單調遞增．（2）∵有兩個極值點，∴是方程的兩個根，且函數在區間和上單調遞增，在上單調遞減．∵∴函數也是在區間和上單調遞增，在上單調遞減∵，∴是函數的一個零點．由題意知：∵，∴，∴∴，∴又=∵是方程的兩個根，∴，,∴∵函數圖像連續，且在區間上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增∴當時，，當時，當