湖北省黃石市部分中學2025年青浦高中高三下開學考數學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設，則，則（）A． B． C． D．2．已知定義在上的函數在區間上單調遞增，且的圖象關于對稱，若實數滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．3．已知m，n是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，給出四個命題：①若，，，則；②若，，則；③若，，，則；④若，，，則其中正確的是（）A．①② B．③④ C．①④ D．②④4．已知函數，若關于的方程有且只有一個實數根，則實數的取值范圍是（）A． B．C． D．5．已知、分別為雙曲線：（，）的左、右焦點，過的直線交于、兩點，為坐標原點，若，，則的離心率為（）A．2 B． C． D．6．在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，P為A1D1的中點，若三棱錐P?ABC的四個頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為（）A．12 B． C． D．107．已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，則A∪B=A．（–1，1） B．（1，2） C．（–1，+∞） D．（1，+∞）8．給出以下四個命題：①依次首尾相接的四條線段必共面；②過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面；③空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角必相等；④垂直于同一直線的兩條直線必平行.其中正確命題的個數是（）A．0 B．1 C．2 D．39．設，則（）A． B． C． D．10．已知函數的零點為m，若存在實數n使且，則實數a的取值范圍是（）A． B． C． D．11．記遞增數列的前項和為.若，，且對中的任意兩項與（），其和，或其積，或其商仍是該數列中的項，則（）A． B．C． D．12．已知函數，滿足對任意的實數，都有成立，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若方程有兩個不等實根，則實數的取值范圍是_____________.14．如圖，已知扇形的半徑為1，面積為，則_____.15．設（其中為自然對數的底數），，若函數恰有4個不同的零點，則實數的取值范圍為________.16．直線是圓：與圓：的公切線，并且分別與軸正半軸，軸正半軸相交于，兩點，則的面積為_________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線的頂點為原點，其焦點關于直線的對稱點為，且.若點為的準線上的任意一點，過點作的兩條切線，其中為切點.（1）求拋物線的方程；（2）求證：直線恒過定點，并求面積的最小值.18．（12分）已知中，角，，的對邊分別為，，，已知向量，且．（1）求角的大小；（2）若的面積為，，求．19．（12分）已知函數，.（1）若函數在上單調遞減，且函數在上單調遞增，求實數的值；（2）求證：（，且）.20．（12分）已知等差數列中，，數列的前項和.（1）求；（2）若，求的前項和.21．（12分）某芯片公司對今年新開發的一批5G手機芯片進行測評，該公司隨機調查了100顆芯片，并將所得統計數據分為五個小組（所調查的芯片得分均在內），得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中．（1）求這100顆芯片評測分數的平均數（同一組中的每個數據可用該組區間的中點值代替）．（2）芯片公司另選100顆芯片交付給某手機公司進行測試，該手機公司將每顆芯片分別裝在3個工程手機中進行初測。若3個工程手機的評分都達到11萬分，則認定該芯片合格；若3個工程手機中只要有2個評分沒達到11萬分，則認定該芯片不合格；若3個工程手機中僅1個評分沒有達到11萬分，則將該芯片再分別置于另外2個工程手機中進行二測，二測時，2個工程手機的評分都達到11萬分，則認定該芯片合格；2個工程手機中只要有1個評分沒達到11萬分，手機公司將認定該芯片不合格．已知每顆芯片在各次置于工程手機中的得分相互獨立，并且芯片公司對芯片的評分方法及標準與手機公司對芯片的評分方法及標準都一致（以頻率作為概率）．每顆芯片置于一個工程手機中的測試費用均為300元，每顆芯片若被認定為合格或不合格，將不再進行后續測試，現手機公司測試部門預算的測試經費為10萬元，試問預算經費是否足夠測試完這100顆芯片？請說明理由．22．（10分）已知為坐標原點，單位圓與角終邊的交點為，過作平行于軸的直線，設與終邊所在直線的交點為，.（1）求函數的最小正周期；（2）求函數在區間上的值域.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．A【解析】

根據換底公式可得，再化簡，比較的大小，即得答案.【詳解】，，.，顯然.,即，，即.綜上，.故選：.【點睛】本題考查換底公式和對數的運算，屬于中檔題.2．C【解析】

根據題意，由函數的圖象變換分析可得函數為偶函數，又由函數在區間上單調遞增，分析可得，解可得的取值范圍，即可得答案.【詳解】將函數的圖象向左平移個單位長度可得函數的圖象，由于函數的圖象關于直線對稱，則函數的圖象關于軸對稱，即函數為偶函數，由，得，函數在區間上單調遞增，則，得，解得.因此，實數的取值范圍是.故選：C.【點睛】本題考查利用函數的單調性與奇偶性解不等式，注意分析函數的奇偶性，屬于中等題.3．D【解析】

根據面面垂直的判定定理可判斷①；根據空間面面平行的判定定理可判斷②；根據線面平行的判定定理可判斷③；根據面面垂直的判定定理可判斷④.【詳解】對于①，若，，，，兩平面相交，但不一定垂直，故①錯誤；對于②，若，，則，故②正確；對于③，若，，，當，則與不平行，故③錯誤；對于④，若，，，則，故④正確；故選：D【點睛】本題考查了線面平行的判定定理、面面平行的判定定理以及面面垂直的判定定理，屬于基礎題.4．B【解析】

利用換元法設，則等價為有且只有一個實數根，分三種情況進行討論，結合函數的圖象，求出的取值范圍.【詳解】解：設，則有且只有一個實數根.當時，當時，，由即，解得，結合圖象可知，此時當時，得，則是唯一解，滿足題意；當時，此時當時，，此時函數有無數個零點，不符合題意；當時，當時，，此時最小值為，結合圖象可知，要使得關于的方程有且只有一個實數根，此時.綜上所述：或.故選:A.【點睛】本題考查了函數方程根的個數的應用.利用換元法，數形結合是解決本題的關鍵.5．D【解析】

作出圖象，取AB中點E，連接EF2，設F1A＝x，根據雙曲線定義可得x＝2a，再由勾股定理可得到c2＝7a2，進而得到e的值【詳解】解：取AB中點E，連接EF2，則由已知可得BF1⊥EF2，F1A＝AE＝EB，設F1A＝x，則由雙曲線定義可得AF2＝2a+x，BF1﹣BF2＝3x﹣2a﹣x＝2a，所以x＝2a，則EF2＝2a，由勾股定理可得（4a）2+（2a）2＝（2c）2，所以c2＝7a2，則e故選：D．【點睛】本題考查雙曲線定義的應用，考查離心率的求法，數形結合思想，屬于中檔題．對于圓錐曲線中求離心率的問題，關鍵是列出含有中兩個量的方程，有時還要結合橢圓、雙曲線的定義對方程進行整理，從而求出離心率.6．C【解析】

取B1C1的中點Q，連接PQ，BQ，CQ，PD，則三棱柱BCQ?ADP為直三棱柱，此直三棱柱和三棱錐P?ABC有相同的外接球，求出等腰三角形的外接圓半徑，然后利用勾股定理可求出外接球的半徑【詳解】如圖，取B1C1的中點Q，連接PQ，BQ，CQ，PD，則三棱柱BCQ?ADP為直三棱柱，所以該直三棱柱的六個頂點都在球O的球面上，的外接圓直徑為，球O的半徑R滿足，所以球O的表面積S=4πR2=，故選：C.【點睛】此題考查三棱錐的外接球半徑與棱長的關系，及球的表面積公式，解題時要注意審題，注意空間思維能力的培養，屬于中檔題.7．C【解析】

根據并集的求法直接求出結果.【詳解】∵，∴，故選C.【點睛】考查并集的求法，屬于基礎題.8．B【解析】

用空間四邊形對①進行判斷；根據公理2對②進行判斷；根據空間角的定義對③進行判斷；根據空間直線位置關系對④進行判斷.【詳解】①中，空間四邊形的四條線段不共面，故①錯誤.②中，由公理2知道，過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面，故②正確.③中，由空間角的定義知道，空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補，故③錯誤.④中，空間中，垂直于同一直線的兩條直線可相交，可平行，可異面，故④錯誤.故選：B【點睛】本小題考查空間點，線，面的位置關系及其相關公理，定理及其推論的理解和認識；考查空間想象能力，推理論證能力，考查數形結合思想，化歸與轉化思想.9．D【解析】

結合指數函數及對數函數的單調性,可判斷出,,,即可選出答案.【詳解】由,即,又,即,,即,所以.故選:D.【點睛】本題考查了幾個數的大小比較,考查了指數函數與對數函數的單調性的應用,屬于基礎題.10．D【解析】

易知單調遞增,由可得唯一零點,通過已知可求得,則問題轉化為使方程在區間上有解,化簡可得,借助對號函數即可解得實數a的取值范圍.【詳解】易知函數單調遞增且有惟一的零點為，所以，∴，問題轉化為：使方程在區間上有解，即在區間上有解，而根據“對勾函數”可知函數在區間的值域為，∴.故選D．【點睛】本題考查了函數的零點問題,考查了方程有解問題,分離參數法及構造函數法的應用,考查了利用“對勾函數”求參數取值范圍問題,難度較難.11．D【解析】

由題意可得，從而得到，再由就可以得出其它各項的值，進而判斷出的范圍．【詳解】解：，或其積，或其商仍是該數列中的項，或者或者是該數列中的項，又數列是遞增數列，，，，只有是該數列中的項，同理可以得到，，，也是該數列中的項，且有，，或（舍，，根據，，，同理易得，，，，，，，故選：D．【點睛】本題考查數列的新定義的理解和運用，以及運算能力和推理能力，屬于中檔題．12．B【解析】

由題意可知函數為上為減函數，可知函數為減函數，且，由此可解得實數的取值范圍.【詳解】由題意知函數是上的減函數，于是有，解得，因此，實數的取值范圍是．故選：B.【點睛】本題考查利用分段函數的單調性求參數，一般要分析每支函數的單調性，同時還要考慮分段點處函數值的大小關系，考查運算求解能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

由知x＞0，故.令，則.當時，；當時，.所以在（0，e）上遞增，在（e，+）上遞減.故，即.14．【解析】

根據題意，利用扇形面積公式求出圓心角，再根據等腰三角形性質求出，利用向量的數量積公式求出.【詳解】設角，則，，所以在等腰三角形中，，則.故答案為：.【點睛】本題考查扇形的面積公式和向量的數量積公式，屬于基礎題.15．【解析】

求函數，研究函數的單調性和極值，作出函數的圖象，設，若函數恰有4個零點，則等價為函數有兩個零點，滿足或，利用一元二次函數根的分布進行求解即可．【詳解】當時，，由得：，解得，由得：，解得，即當時，函數取得極大值，同時也是最大值，（e），當，，當，，作出函數的圖象如圖，設，由圖象知，當或，方程有一個根，當或時，方程有2個根，當時，方程有3個根，則，等價為，當時，，若函數恰有4個零點，則等價為函數有兩個零點，滿足或，則，即（1）解得：，故答案為：【點睛】本題主要考查函數與方程的應用，利用換元法進行轉化一元二次函數根的分布以及．求的導數，研究函數的的單調性和極值是解決本題的關鍵，屬于難題．16．【解析】

根據題意畫出圖形，設，利用三角形相似求得的值，代入三角形的面積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，設，由與相似，可得，解得，再由與相似，可得，解得，由三角形的面積公式，可得的面積為.故答案為：.【點睛】本題主要考查了直線與圓的位置關系的應用，以及三角形相似的應用，著重考查了數形結合思想，以及推理與運算能力，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）見解析，最小值為4【解析】

（1）根據焦點到直線的距離列方程，求得的值，由此求得拋物線的方程.（2）設出的坐標，利用導數求得切線的方程，由此判斷出直線恒過拋物線焦點.求得三角形面積的表達式，進而求得面積的最小值.【詳解】（1）依題意，解得（負根舍去）∴拋物線的方程為（2）設點，由，即，得∴拋物線在點處的切線的方程為，即∵，∴∵點在切線上，①，同理，②綜合①、②得，點的坐標都滿足方程.即直線恒過拋物線焦點當時，此時，可知：當，此時直線直線的斜率為，得于是，而把直線代入中消去得，即：當時，最小，且最小值為4【點睛】本小題主要考查點到直線的距離公式，考查拋物線方程的求法，考查拋物線的切線方程的求法，考查直線過定點問題，考查拋物線中三角形面積的最值的求法，考查運算求解能力，屬于難題.18．（1）;（2）．【解析】試題分析：（1）利用已知及平面向量數量積運算可得，利用正弦定理可得，結合，可求，從而可求的值；（2）由三角形的面積可解得，利用余弦定理可得，故可得.試題解析：（1）∵，，，∴，∴，即，又∵，∴，又∵，∴．（2）∵，∴，又，即，∴，故．19．（1）1；（2）見解析【解析】

（1）分別求得與的導函數，由導函數與單調性關系即可求得的值；（2）由（1）可知當時，，當時，，因而，構造，由對數運算及不等式放縮可證明，從而不等式可證明.【詳解】（1）∵函數在上單調遞減，∴，即在上恒成立，∴，又∵函數在上單調遞增，∴，即在上恒成立，，∴綜上可知，.（2）證明：由（1）知，當時，函數在上為減函數，在上為增函數，而，∴當時，，當時，.∴∴即，∴.【點睛】本題考查了導數與函數單調性關系，放縮法在證明不等式中的應用，屬于難題.20．（1），；（2）.【解析】

（1）由條件得出方程組，可求得的通項，當時，，可得，當時，，得出是以1為首項，2為公比的等比數列，可求得的通項；（2）由（1）可知，，分n為偶數